TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP NGHIEN CỨU KHOA HỌC

ĐẠI HỌC HUẾ VIỆN ĐÀO TẠO MỞ VÀ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TIỂU LUẬN HỌC PHẦN PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU TÌM KIẾM HEURISTIC CHO CÁC BIẾN THỂ CỦA BÀI TỐN HƠN NHÂN ỔN ĐỊNH Chuyên ngành đào tạo: Khoa học máy tính Mã số sinh viên: 7052900505 Họ tên học viên: ThS Nguyễn Thị Uyên Cơ quan công tác: Viện Kỹ thuật Công nghệ, Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đức Vũ Đại học Huế Huế, 08/2023 Mục lục Tính cấp thiết đề tài 1.1 Mô tả toán 1.2 Lý chọn đề tài 1.3 Ý nghĩa đề tài Mục tiêu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đối tượng phạm vi nghiên cứu 10 5.1 Đối tượng nghiên cứu 10 5.2 Phạm vi đề tài 10 Phương pháp nghiên cứu 10 Bố cục luận án 11 Các nghiên cứu liên quan 11 Tiến độ thực đề tài 14 10 Dự kiến kết đạt 16 11 Người hướng dẫn 16 Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 1.1 Tính cấp thiết đề tài Mơ tả tốn Bài tốn nhân ổn định (Stable Marriage Problem, SMP) toán ghép cặp tiếng giới thiệu lần Gale Shapley [12] Bài toán SMP gồm tập n người nam tập n người nữ, người xếp hạng “thích” người khác giới theo thứ tự ưu tiên từ đến n danh sách xếp hạng Mục đích tốn tìm phép ghép người nam người nữ cho thỏa mãn tính ổn định (stable) theo tiêu chuẩn Một ví dụ tốn SMP gồm nam nữ với xếp hạng “thích” người cho bảng [40] Trong M0 phép ghép ổn định tối ưu cho tập nam, M10 phép ổn định tối ưu cho tập nữ, M3 phép ghép ổn định tối ưu bình đẳng theo giới tính M6 phép ghép ổn định tối ưu tương đương theo giới tính Đây Bảng 1: Danh sách xếp hạng ưu tiên nam nữ Man m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 Preference list Woman Preference list 43152687 w1 47381526 28453716 w2 53421867 58142367 w3 28643751 64325817 w4 56834712 65481723 w5 18523647 74256813 w6 86251743 85637214 w7 52836471 47135826 w8 45716283 toán ghép cặp số lượng tương đương nam nữ để thỏa mãn điều kiện ổn định tối ưu Bài tốn nhân ổn định kích thước n gồm tập n người đàn ông tập n người phụ nữ người xếp hạng thứ tự "thích" người khác Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 giới theo thứ tự ưu tiên từ đến n danh sách mà gọi danh sách xếp hạng thứ tự thích Một phép ghép (matching) M tập n cặp (nam, nữ) người đàn ơng ghép với người phụ nữ ngược lại Nếu nam m nữ w cặp phép ghép M m w gọi "bạn ghép" hay cặp ghép M ký hiệu m = M (w) w = M (m) Một nam m nữ w tạo thành cặp ghép khối (blocking pair) M m "thích" w M (m) (tức thứ tự ưu tiên w bé M (m) danh sách thích m) w thích m M (w) Một phép ghép M mà khơng chứa cặp ghép khối M gọi phép ghép ổn định, ngược lại M gọi không ổn định Ký hiệu pm (w) thứ tự nữ w danh sách xếp hạng thích nam m pw (m) thứ tự nam m danh sách xếp hạng thích nữ w Cho phép ghép ổn định M , giá tập nam phép ghép M , ký hiệu sm(M ), giá tập nữ phép ghép M , ký hiệu sw(M ), định nghĩa sau: sm(M ) = X pm (w), (1) pw (m) (2) (m,w)∈M sw(M ) = X (m,w)∈M Định nghĩa (tối ưu cho tập nam): Một phép ghép M gọi phép ghép ổn định tối ưu cho tập nam (man-optimal stable matching) M có giá trị sm(M ) bé tất phép ghép ổn định Định nghĩa (tối ưu cho tập nữ): Một phép ghép M gọi phép ghép ổn định tối ưu cho tập nữ (woman-optimal stable matching) M có giá trị sw(M ) bé tất phép ghép ổn định Cho tốn nhân ổn định kích thước n, Gale and Shapley Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 đề nghị thuật toán, gọi thuật tốn Gale-Shapley [?], để tìm nghiệm tối ưu cho tập nam thời gian O(n2 ) Về bản, thuật toán dãy đề nghị từ nam tới người nữ để tìm phép ghép tối ưu cho tập nam giới Nếu vai trò nam giới thay đổi cho nữ giới, tức đề nghị từ nữ tới nam, nghiệm thuật tốn Gale-Shapley nghiệm tối ưu theo tập nữ Chú ý rằng, phép tối ưu theo tập nam giới nam chọn người phụ nữ mà thích nữ có người nam mà thích Tương tự, phép tối ưu theo tập nữ giới nữ chọn người nam mà thích nam có người phụ nữ mà thích Với tốn nhân ổn định kích thước n, có nhiều phép ghép ổn định khác với phép ghép ổn định tối ưu theo tập nam phép ghép ổn định tối ưu theo tập nữ Hơn nữa, nói phép ghép ổn định tối ưu theo tập nam phép ghép ổn định tối ưu theo tập nữ phép ghép “ích kỷ” cho tập nam tập nữ, tức người đề xuất ln có bạn ghép mà thích cịn người ghép ln nhận bạn ghép tồi danh sách ưu tiên họ Do cần tìm phép ghép ổn định tối ưu khác mà cân cho tập nam tập nữ Cho phép ghép ổn định M , giá phép ghép bình đẳng theo giới tính (egalitarian cost) M , ký hiệu c(M ), giá ghép tương đương theo giới tính (sex-equality cost) M , ký hiệu d(M ), định nghĩa sau: c(M ) = sm(M ) + sw(M ), (3) d(M ) = |sm(M ) − sw(M )| (4) Định nghĩa (tối ưu bình đẳng theo giới tính): Một phép ghép M gọi phép ghép ổn định tối ưu bình đẳng theo giới tính (egalitarian cost) M có giá trị c(M ) bé tất Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 phép ghép ổn định Định nghĩa (tối ưu tương đương theo giới tính): Một phép ghép M gọi phép ghép ổn định tối ưu tương đương theo giới tính (sex-equality cost) M có giá trị d(M ) bé tất phép ghép ổn định Bài tốn nhân ổn định có ràng buộc chặt, yêu cầu số nam số nữ phải người phải xếp thứ tự ưu tiên tất người khác giới theo thứ tự ưu tiên nghiêm ngặt tốn khơng ứng dụng nhiều thực tế Từ đó, biến thể tốn SMP đề xuất Một biến thể SMP gọi tốn nhân ổn định với thứ tự ưu tiên ngang (SMT - Stable Marriage Problem with Ties), nghĩa người xếp hạng mức độ ưu tiên kết hôn với hai hay nhiều người khác giới Một biến thể khác SMP tốn nhân ổn định với danh sách ưu tiên không đầy đủ (SMI - Stable Marriage Problem with Incomplete lists), nghĩa người không xếp hạng người khác giới cách khơng đưa người vào danh sách ưu tiên Kết hợp hai biến thể trên, ta có dạng tổng quát tốn nhân ổn định với thứ tự ưu tiên ngang danh sách ưu tiên không đầy đủ (SMTI - Stable Marriage Problem with Ties and Incomplete lists) Các biến thể SMP xuất phổ biến nhiều ứng dụng thực tế xếp sinh viên thực tập [36], phân công đề tài [1, 3], xếp phòng [19, 11], nhiều ứng dụng kinh tế lĩnh vực khác Năm 2012, Shapley Roth trao giải thưởng Nobel kinh tế với kết đạt vận dụng mơ hình xuất phát từ tốn Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 Bảng 2: SMT với danh sách xếp hạng ưu tiên nam nữ Man m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 Preference list Woman Preference list [4 3] w1 [7 3] [8 4] w2 [4 2] 8 [4 2] w3 [6 4] [4 2] w4 [8 3] [5 4] w5 [6 7] [2 6] w6 [6 2] [5 3] w7 [5 2] 7 [1 5] w8 [5 7] Bảng 3: SMI với danh sách xếp hạng ưu tiên nam nữ Man m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 1.2 Preference list Woman Preference list 452687 w1 47381526 284516 w2 53421867 5814267 w3 2864351 645817 w4 56834712 6581723 w5 18523647 7426813 w6 8651743 8563214 w7 5236471 4713826 w8 4516283 Lý chọn đề tài Cho tới nhiều thuật toán đề xuất giải toán SMP biến thể (xem phần tổng quan vấn đề nghiên cứu) Với thuật tốn tìm phép ghép tối ưu bình đẳng theo giới tính (egalitarian cost) tối ưu tương đương theo giới tính (sex-equality cost), có tốn SMP quan tâm Trong đó, biến thể SMT, SMI hay SMTI thường xuất nhiều ứng dụng thực tế Mặt khác, thuật tốn đề xuất thường khơng hiệu thời gian tính tốn Điều phần chúng Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 thuật tốn chưa áp dụng tính chất cấu trúc tập ghép cặp ổn định để làm giảm chi phí tính tốn Do đó, nghiên cứu cách có hệ thống tốn SMP biến thể để tìm phương pháp hiệu nhằm giải biến thể tốn SMP với kích thước lớn lý quan trọng để chọn đề tài Gần đây, toán SMP nhận nhiều quan tâm nhà nghiên cứu lĩnh vực Trí tuệ nhân tạo Tính tốn tối ưu Năm 2012, Shapley Roth trao giải thưởng Nobel kinh tế thành tựu đạt dựa mơ hình xuất phát từ tốn SMP lĩnh vực quản lý thị trường chứng khoán Mỹ Ngồi ra, tốn SMP có nhiều ứng dụng thực tế như: (i) toán phân bổ sinh viên ngành y tới thực tập bệnh viện [30]; (ii) tốn phân cơng giảng viên hướng dẫn sinh viên thực đề tài [1]; (iii); (iv) toán phân bổ nhà cho cư dân [6, 11]; (v) tốn tối ưu hóa u cầu dịch vụ người dùng Internet tới nhà mạng viễn thông [5] Gale Shapley đề xuất thuật tốn Gale-Shapley (GS) [12] để tìm cặp ghép ổn định tối ưu từ phía theo nam (man-optimal ) theo nữ (woman-optimal ) Tuy nhiên ràng buộc nghiêm ngặt danh sách xếp hạng, tức yêu cầu số nam số nữ phải người phải xếp hạng tất thành viên khác giới theo thứ tự ưu tiên định, tốn SMP thường gặp ứng dụng thực tế Do đó, số biến thể toán SMP đề xuất gần như: (i) tốn nhân ổn định với thứ tự ưu tiên ngang (Stable Marriage problem with Ties, SMT), tức người xếp hạng nhiều người khác giới với thứ tự ưu tiên nhau; (ii) tốn nhân ổn định với danh sách không đầy đủ (Stable Marriage problem with incomplete, SMI), tức người xếp hạng số người khác giới danh sách xếp hạng; (iii) tốn nhân ổn định với thứ tự ưu tiên ngang không đầy đủ (Stable Marriage Problem with Ties Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 and Incomplete lists, SMTI), kết hợp biến thể SMT SMI Trong toán SMT SMTI, với xuất thứ tự ngang hàng danh sách xếp hạng, Irving cộng [22] ba điều kiện phép ghép ổn định gồm: ổn định yếu (weakly stable), ổn định mạnh (strongly stable) siêu ổn định (super-stable) Các tác giả chứng minh phép ghép ổn định yếu tồn tại, phép ghép ổn định mạnh siêu ổn định không tồn với thể toán SMT SMTI Luận án tập trung nghiên cứu tốn tìm phép ghép ổn định yếu cho có nhiều số cặp nam nữ ghép, gọi toán MAXSMTI Để đơn giản, luận án gọi phép ghép ổn định yếu phép ghép ổn định Manlove cộng [7] chứng minh tốn MAXSMTI NP-khó, việc nghiên cứu thuật toán toán hiệu để giải vấn đề thách thức cho nhà nghiên cứu Gần đây, toán SMTI cộng đồng nghiên cứu quan tâm nhiều ứng dụng thực tế như: (i) tốn phân bổ sinh viên ngành y tới thực tập bệnh viện (Hospitals/Residents with Ties problem, (HRT)) [30]; (ii) tốn phân cơng giảng viên hướng dẫn sinh viên thực đề tài (Student-Project Allocation problem, SPA) [1, 24]; (iii) toán phân bổ nhà cho dân cư (Stable Roommates problem, SR) [6, 11] Mục tiêu tốn MAXHRT tìm phép ghép ổn định cho có nhiều số sinh viên ngành y phân bổ thực tập bệnh viện Tương tự tốn MAXSPA, có nghĩa tìm phép ghép ổn định cho có nhiều số sinh viên nhận đề tài giảng viên hướng dẫn Trong năm qua, nhiều thuật toán đề xuất giải toán SMTI biến thể mở rộng HRT [30] SPA [1, 13, 24, 26, 33, 32, 4] Các hướng tiếp cận chủ yếu thuật toán xấp xỉ [1, 2, 25, 18], lập trình ngun [29, 27], lập trình thích nghi [32], tìm kiếm cục [13, 39, 37, 40], tìm kiếm bầy đàn [38] số Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 phương pháp khác [4, 41, 8] Bài toán SMTI biển thể mở rộng tốn NP-khó [31, 23] Mặc dù, có nhiều hướng tiếp cận để giải toán này, nhiên, phương pháp đề xuất chưa đạt kết mong muốn chất lượng nghiệm thời gian thực cho tốn với kích thước lớn Hướng tiếp cận theo heuristic phương pháp giải toán dựa kinh nghiệm thông qua việc khám phá phần khơng gian tìm kiếm nhằm đưa nghiệm chấp nhận được, hướng tiếp cận tăng tốc độ tìm kiếm nghiệm Ngồi ra, phương pháp heuristic thường thể tự nhiên với cách suy nghĩ hành động người dựa kinh nghiệm hiểu rõ toán đặt 1.3 Ý nghĩa đề tài − Về khoa học: Đóng góp thuật tốn để giải biến thể SMP kích thước lớn, có độ phức tạp thuật toán thấp thuật toán trước − Về thực tiễn: Nếu đề tài thành cơng ứng dụng cho nhiều tốn thực tế có kích thước lớn Mục tiêu đề tài Luận án tập trung nghiên cứu thuật toán heuristic để tìm phép ghép ổn định yếu với kích thước tối đa cho toán MAX-SMTI mở rộng toán gồm MAX-HRT [30] MAX-SPA [1, 24] Mục tiêu nghiên cứu luận án tập vào ba nội dung chính: (i) Đề xuất thuật tốn heuristic để giải toán MAX-SMTI; (ii) Đề xuất thuật toán heuristic để giải toán MAX-HRT; (iii) Đề xuất thuật toán heuristic để giải toán MAXSPA Với mục tiêu đặt ra, luận án đạt kết sau: − Đề xuất hai thuật toán giải toán MAX-SMTI bao Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 gồm thuật toán MCS thuật toán HR Các đóng góp trình bày Chương luận án cơng bố cơng trình [A.1] [A.2] − Đề xuất hai thuật toán giải toán MAX-HRT bao gồm thuật toán MCA thuật tốn HS Các đóng góp trình bày Chương luận án công bố công trình [A.3] [B.1] (đang gửi tạp chí) − Đề xuất hai thuật giải toán MAX-SPA bao gồm thuật tốn SPAPheuristic thuật tốn HAG Các đóng góp trình bày Chương luận án cơng bố cơng trình [A.4], [B.2] (đang gửi tạp chí) [A.5] Nhiệm vụ nghiên cứu − Nghiên cứu tổng quan toán SMP biến thể toán SMP − Nghiên cứu phương pháp đề xuất giải toán SMTI biến thể toán SMTI − Nghiên cứu thuật tốn tìm kiếm heuristic để giải toán SMTI biến thể toán SMTI − Cài đặt, thử nghiệm, so sánh đánh giá thuật toán đề xuất với thuật toán khác cơng bố cho tốn SMTI biến thể tốn SMTI với kích thước lớn Ý nghĩa khoa học thực tiễn − Về khoa học: Luận án đề xuất thuật tốn tìm kiếm heuristic để giải toán SMTI biến thể tốn SMTI Đóng góp thuật toán để giải toán hiệu chất lượng nghiệm thời gian thực so với thuật toán trước Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 − Về thực tiễn: Các thuật tốn đề xuất áp dụng để giải toán tối ưu thỏa mãn ràng buộc, thuộc lớp tốn NP-khó cho nhiều ứng dụng thực tế có kích thước lớn lĩnh vực y tế, giáo dục, kinh tế xã hội 5.1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu − Nghiên cứu tổng quan toán MAX-SMTI biến thể − Nghiên cứu thuật tốn tìm kiếm heuristic cho tốn MAX-SMTI − Nghiên cứu thuật tốn tìm kiếm heuristic cho toán MAX-HRT MAX-SPA 5.2 Phạm vi đề tài − Nghiên cứu đề xuất thuật tốn tìm kiếm heuristic cho toán SMTI biến thể toán SMTI − Nghiên cứu phương pháp tiến hành thực nghiệm, so sánh đánh giá thuật toán đề xuất so với hướng tiếp cận khác Phương pháp nghiên cứu − Nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu tốn nhân ổn định biến thể công bố ngồi nước Phân tích ưu điểm tồn thuật toán đề xuất Trên sở đó, đề xuất thuật tốn tìm kiếm heuristic để giải tốn với kích thước lớn − Nghiên cứu thực nghiệm: Nghiên cứu các phương pháp xử lý số liệu thực nghiệm; cài đặt thuật toán đề xuất nghiên 10 Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 cứu phương pháp đánh giá hiệu thuật toán thực ngơn ngữ lập trình MATLAB Bố cục luận án − Mở đầu: Trình bày tổng quan toán nghiên cứu, lý chọn đề tài, đối tượng, mục tiêu nội dung nghiên cứu luận án − Chương : Trình bày sở lý thuyết tổng quan tình hình nghiên cứu toán SMP biến thể − Chương : Trình bày thuật tốn đề xuất giải tốn MAX-SMTI − Chương : Trình bày thuật toán đề xuất giải toán MAX-HRT − Chương : Trình bày thuật tốn đề xuất giải tốn MAX-SPA − Kết luận: Trình bày kết đạt hướng phát triển tương lai Lịch sử nghiên cứu liên quan Cho tốn SMP kích thước n, Gusfield [16] đề xuất thuật toán để sinh tất phép ghép ổn định với độ phức tạp thời gian O(n2 + n|S|), |S| số phép ghép ổn định SMP Irving cộng [21] khai thác cấu trúc mạng lưới (lattice) tập phép ghép ổn định sử dụng lý thuyết đồ thị để tìm phép ghép tối ưu bình đẳng với độ phức tạp thời gian O(n4 ) Vì thuật tốn thuật tốn vét cạn, chúng tìm nghiệm xác theo tiêu chuẩn tối ưu Tuy nhiên số lượng phép ghép ổn định toán SMP tăng theo hàm mũ [20], thuật tốn khơng hiệu để tìm nghiệm tốn SMP có kích thước 11 Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 lớn Everaere cộng [10] đề xuất thoán tốn Swing để tìm phép ghép ổn định tối ưu tương đương Ở vịng lặp lẻ thuật tốn, nam giới đóng vai trị người đề nghị nữ giới đóng vai trị người đáp ứng vai trị nam nữ hốn đổi vịng lặp chẳn Thuật tốn Swing có độ phức tạp thời gian O(n3 ) tìm phép ghép ổn định thay phép ghép ổn định tối ưu tương đương Giannakopoulos cộng [15] đề xuất tht tốn ESMA [15] để tìm phép ghép ổn định M mà có giá trị c(M ) lớn d(M ) bé Về bản, ý tưởng thuật toán ESMA tương tự ý tưởng thuật toán Swing, tức nam nữ người đề nghị người đáp ứng vịng lặp thuật tốn Tuy nhiên, ESMA người đề nghị nam dấu hàm sin(k ) dương người đề nghị nữ dấu hàm âm, k biến đếm vịng lặp thuật tốn Thuật tốn ESMA có độ phức tạp thời gian O(n2 ) tìm phép ghép ổn định M với c(M ) lớn d(M ) bé M phép ghép ổn định tối ưu bình đẳng phép ghép ổn định tối ưu tương đương SMT biến thể toán SMP, với thứ tự ưu tiên ngang Manlove cộng nghiên cứu thuật toán xấp xỉ với độ dài cho toán SMT [7] Với mở rộng việc tìm phép ghép ổn định tương đối phức tạp Tuy nhiên, nghiên cứu này, tác giả đề xuất hai giải thuật xấp xỉ để giải toán ghép cặp ổn định SMT với danh sách ưu tiên ghép cặp có nhiều phép ghép có độ ưu tiên có độ dài Halldorsson cộng [17] đề xuất thuật toán với độ phức tạp đa thức để tìm nghiệm xấp xỉ tối ưu bình đẳng tối ưu tương đương cho toán SMT dựa lý thuyết đồ thị Gần đây, D´aniel Marx cộng nghiên cứu thuật tốn tìm kiếm cục thuật toán xấp xỉ FPT [9] với độ phức tạp NP để tìm nghiệm tối ưu bình đẳng Ngoài ra, Trang cộng đề xuất phương 12 Đề cương dự tuyển trình độ tiến sỹ - năm 2019 pháp tìm kiếm cục để giải tốn SMT nhằm tìm kiếm kết hợp ổn định bình đẳng bình đẳng giới [37] Thuật toán dựa vào phép ghép ổn định nam giới thông qua chuỗi kết hợp ổn định Đồng thời, dựa vào chuỗi kết hợp ổn định để tìm kiếm kết hợp ổn định bình đẳng bình đẳng giới Đối với kết hợp ổn định chuỗi, tập hợp lân cận xây dựng cách sử dụng thao tác ghép cặp Kết hợp ổn định lân cận tốt chọn để tiếp tục tìm kiếm Thực nghiệm cho thấy thuật toán tương đối hiệu SMI biến thể khác toán SMP với danh sách ưu tiên khơng đầy đủ Patrick Prosser trình bày tốn bạn phòng ổn định (Stable Roommates-SR) [34] Nghiên cứu sử dụng mã hóa ràng buộc (Constraint Encoding-CE) với O(n2 ) ràng buộc nhị phân (binary constraints) với thời gian thực O(n3 ) Mơ hình hóa tốn phịng ổn định với danh sách khơng đầy đủ (SRI) tương tự mơ hình hóa vấn đề hôn nhân ổn định (SM) với danh sách khơng đầy đủ (SMI) Mơ hình tốn SRI cho kết tốt cho trường hợp có n