Chuyên đề 9 toán quỹ tích

Chun đề 9: TỐN QUỸ TÍCH A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Quỹ tích điểm có tính chất T tập hợp tất điểm có tính chất T Các quỹ tích - Quỹ tích điểm cách hai đầu đoạn thẳng cố định đường trung trực đoạn thẳng (1) - Quỹ tích điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc (2) - Quỹ tích điểm cách đường thẳng cố định khoảng h không đổi hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h (3) - Quỹ tích điểm cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi đường trịn tâm O, bán kính R (4) Cách giải tốn tìm quỹ tích điểm có chung tính chất T a) Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất T điểm M thuộc hình H b) Phần đảo: Chứng minh điểm M thuộc hình H điểm M có tính chất T c) Kết luận: Quỹ tích điểm M hình H Một số lưu ý giải tốn tìm quỹ tích a) Tìm hiểu đề Cần xét xem: - Yếu tố cố định ( quỹ tích có nói đến yếu tố cố định điểm, đoạn thẳng, góc,….) - Yếu tố không đổi ( thường khoảng cách khơng đổi, góc có số đo khơng đổi,…); - Quan hệ khơng đổi ( ví dụ điểm cách hai đầu đoạn thẳng, cách hai cạnh góc,…); - Yếu tố chuyển động ( điểm có vị trí thay đổi, liên quan đến điểm phải tìm quỹ tích nào?) b) Dự đốn quỹ tích Vẽ nháp vài vị trí điểm cần tìm quỹ tích ( thường vẽ ba vị trí) - Nếu ba điểm thẳng hàng ta dự đốn quỹ tích đường thẳng ( đường thẳng song song, đường trung trực, tia phân giác,…) - Nếu ba điểm khơng thẳng hàng quỹ tích đường trịn c) Giới hạn quỹ tích Có nhiều tốn quỹ tích cần tìm phần hình H, phần cịn lại khơng thỏa mãn điều kiện toán, ta phải loại trừ phần Làm gọi tìm giới hạn quỹ tích Việc tìm giới hạn quỹ tích thường làm sau phần thuận, trước phần đảo Trang B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC D điểm di động cạnh BC Vẽ DE//AB, DF//AC ( AC , F Ỵ AB) Gọi M trung điểm EF Tìm quỹ tích điểm M Giải (h.9.1) a) Phần thuận Tứ giác AEDF có DE//AF, DF//AE nên hình bình hành Suy AD EF cắt trung điểm đường Vậy trung điểm M EF trung điểm AD Vẽ MK ^ BC , AH ^ BC Do AH cố định nên AH có độ dài khơng đổi Xét D AHD có MK đường trung bình, MK = AH ( khơng đổi) Điểm M cách đường thẳng BC cố định khoảng xy / / BC cách BC khoảng AH không đổi nên điểm M nằm đường thẳng AH (xy nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A) Giới hạn: Khi điểm D di động tới điểm B điểm M di động tới trung điểm P AB Khi điểm D di động tới điểm C điểm M di động tới trung điểm Q AC Vậy M nằm đường trung bình PQ tam giác ABC b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng PQ Vẽ tia AM cắt BC D Vẽ DE // AB, DF // AC ( AC , F Ỵ AB) Ta phải chứng minh M trung điểm EF Thật vậy, xét tam giác ABC có PQ // BC PA = PB nên MA = MD Tứ giác AEDF hình bình hành nên hai đường chéo cắt trung điểm đường Do M trung điểm AD nên M trung điểm EF c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M đường trung bình PQ tam giác ABC Nhận xét: Điểm M trung điểm EF Đây tính chất ban đầu điểm M, chưa phải tính chất theo quỹ tích (1), (2), (3), (4) Dó chưa thể vận dụng để trả lời điểm M nằm hình Ta giải vấn đề cách biến đổi tính chất ban đầu điểm M sau: M trung điểm EF ( tính chất ban đầu) Þ M trung điểm AD ( tính chất T’) Trang Þ M cách đường thẳng BC cố định khoảng không đổi AH ( tính chất điểm M) Þ M nằm đường thẳng xy // BC cách BC khoảng AH Như ta phải chuyển tính chất ban đầu điểm M qua tính chất trung gian đến tính chất điểm M theo quỹ tích trả lời điểm M nằm hình Ví dụ 2: Cho góc vng xOy, điểm A cố định tia Ox, điểm B di động tia Oy Vẽ hình chữ nhật AOBC Gọi M giao điểm hai đường chéo AB OC Tìm quỹ tích điểm M Giải (h.9.2) a) Phần thuận M giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật nên MO = MA Điểm M cách hai đầu đoạn thẳng OA cố định nên M nằm đường trung trực OA Giới hạn: Khi điểm B tiến dần tới điểm O điểm C tiến dần đến điểm A Khi điểm M tiến dần đến M1 trung điểm OA Khi điểm B xa vô tận điểm M xa vơ tận Vậy M nằm tia M1t thuộc đường trung trực OA, tia nằm góc xOy, trừ điểm M1 b) Phần đảo Lấy điểm M tia M1t Vẽ tia AM cắt tia Oy B Vẽ hình chữ nhật AOBC Ta phải chứng minh M giao điểm hai đường chéo Thật vậy, xét D AOB có M1t / /OB ( vng góc với OA) Mặt khác, M1O = M1A nên MA= MB Vậy M trung điểm AB Þ M trung điểm OC ( AOBC hình chữ nhật) c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M tia M1t thuộc đường trung trực OA, tia nằm góc xOy, trừ điểm M1 Ví dụ Cho góc vng xOy Điểm A cố định tia Ox cho OA = 2cm Điểm B di động tia Oy Vẽ tam giác ABM vng cân M M O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AB Tìm quỹ tích điểm M Giải (h.9.3) a) Phần thuận · Vẽ MH ^ Ox , MK ^ Oy ta HMK = 90° Trang · · Mặt khác, ·AMB = 90° nên HMK (hai góc có cạnh tương ứng vng = KMB góc nhọn) D HMA = D KMB ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy MH = MK Điểm M nằm góc xOy cách hai cạnh góc nên điểm M nằm tia phân giác Ot góc xOy Giới hạn: Khi điểm B trùng với điểm O điểm M trùng với điểm M1 ( M1 nằm tia Ot OM1 = cm) Khi điểm B xa vơ điểm M xa vơ Vậy M nằm tia M1t b) Phần đảo Lấy điểm M tia M1t Từ M vẽ đường thẳng vng góc với MA cắt tia Oy B Ta phải chứng minh D ABM vuông cân M · Thật vậy, vẽ MH ^ Ox , MK ^ Oy ta có MH = MK HMK = 90° · · (hai góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn) Þ HMA = KMB Do D HMA = D KMB (g.c.g) Þ MA = MB D ABM vng M có MA = MB nên tam giác vuông cân c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M tia M1t nằm tia phân giác góc xOy Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB cố định, BC = 2cm Tìm quỹ tích giao điểm O hai đường chéo Giải (h.9.4) a) Phần thuận Gọi M trung điểm AB Do AB cố định nên M điểm cố định O giao điểm hai đường chéo hình bình hành Þ OA = OC Vậy OM đường trung bình D ABC Þ OM = BC = 1cm Điểm O cách điểm M cố định khoảng cm nên điểm O nằm đường tròn tâm M, bánh kính cm Giới hạn: Vì ba điểm O, A, B không thẳng hàng nên điểm O nằm đường trịn tâm M, bán kính 1cm trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng AB b) Phần đảo Lấy điểm O đường trịn tâm M, bán kính 1cm OM = 1cm Vẽ điểm C đối xứng với A qua O, xẽ điểm D đối xứng với B qua O Ta phải chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành BC = 2cm Trang Thật vậy, tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành OM đường trung bình tam giác ABC nên Þ OM = BC Þ BC = 2.1 = 2cm c) Kết luận Quỹ tích điểm O đường trịn tâm M bán kính 1cm trừ giao điểm đường trịn với đường thẳng AB C Bài tập vận dụng · Đường thẳng song song 9.1 Cho hai đường thẳng a b song song với cách 2cm Tìm quỹ tích điểm M có tổng khoảng cách đến a b 4cm 9.2 Cho góc vng xOy điểm A cố định tia Ox cho OA = a Điểm B di động tia Oy Vẽ vào góc vng tam giác ABC vng cân A Tìm quỹ tích điểm C 9.3 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tam giác DAC EBC vuông cân D E Gọi M trung điểm DE Tìm quỹ tích điểm M điểm C di động A B 9.4 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Vẽ tam giác DAC EBC nửa mặt phẳng bờ AB Gọi M trung điểm DE Tìm quỹ tích điểm M điểm C di động A B 9.5 Cho tam giác ABC cân A Một điểm D di động đáy BC Đường thẳng vng góc với BC vẽ từ D cắt đường thẳng AB AC E F Gọi M trung điểm EF Tìm quỹ tích điểm M · Đường trung trực đường thẳng vng góc 9.6 Cho góc vng xOy điểm A góc Một góc vng đỉnh A quay quanh A, cạnh cắt Ox B, cạnh cắt Oy C Gọi M trung điểm BC Tìm quỹ tích điểm M 9.7 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm hình chữ nhật cạnh 1) Chứng minh MA + MC2 = MB2 + MD ; 2) Tìm quỹ tích điểm M MA + MC = MB + MD 9.8 Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx ^ BC lấy điểm D Vẽ tam giác CDM (M B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ CD) Tìm quỹ tích điểm M D di động tia Bx · Tia phân giác 9.9 Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia AD lấy điểm E di động Trên tia đối tia BS lấy điểm F di động cho DE = BF Vẽ hình bình hành ECFM Hỏi điểm M di động đường nào? Trang 9.10 Cho ta giác ABC vuông A Dọi D E điểm di động hai cạnh AB BC cho BD = BE Từ E vẽ đường thẳng vng góc với DE cắt AC F Gọi M trung điểm DF Tìm quỹ tích điểm M µ = 60° , đỉnh B di động 9.11 Cho góc xOy có số đo 60° Một hình thoi ABCD có cạnh a, B tia Ox, đỉnh D di động tia Oy, hai điểm A O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ BD Tìm quỹ tích điểm A · Đường trịn 9.12 Cho hình vng ABCD cạnh 4cm Tia Dx nằm hai tia DA DC Vẽ tia phân giác góc ADx cắt AB E, tia phân giác góc CDx cắt BC F Tia Dx cắt EF M Hỏi tia Dx quay quanh D từ vị trí DA đến vị trí DC điểm M di động đường nào? 9.13 Cho góc vng xOy Một đoạn thẳng AB = 2a khơng đổi, có A Ỵ Ox b Ỵ Oy Tìm quỹ tích trung điểm M AB 9.14 Cho hình bình hành ABCD cạnh CD cố định, AC = 2cm Tìm quỹ tích đỉnh B Trang Hướng dẫn giải 9.1 (h.9.5) · Xét trường hợp điểm M nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa b a) Phần thuận Vẽ MH ^ a , đường thẳng MH cắt b K Ta có: MH + MK = 4cm; MK - MH = 2cm Suy ra: MH = ( - 2) : = 1cm Điểm M nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa b cách a 1cm nên điểm M nằm đường thẳng d song song với a cách a 1cm b) Phần đảo Lấy điểm M đường thẳng d Vẽ MH ^ a cắt đường thẳng d K Ta có: MH = 1cm; HK = 2cm Þ MK = 3cm Do MH + MK = 4cm c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M đường thẳng d // a cách a 1cm ( d nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa b) · Xét trường hợp điểm M nằm nửa mặt phẳng bờ b không chứa a Cũng chứng minh tương tự trên, ta quỹ tích điểm M đường thẳng d ¢// b cách b 1cm ( d ¢nằm nửa mặt phẳng bờ b không chứa a) Kết hợp trường hợp ta được: Quỹ tích điểm M hai đường thẳng d d ¢ nằm ngồi phần mặt phẳng giới hạn a b cho d// a cách a 1cm; d ¢// b cách b 1cm 9.2 (h.9.6) a) Phần thuận ¶ =A µ (cùng phụ với A ¶ ) Vẽ CH ^ Ox ta C 1 D HAC = D OBA ( cạnh huyền, góc nhọn ) Þ CH = OA = a Điểm C cách đường thẳng Ox khoảng a nên C nằm đường thẳng d / /Ox cách Ox khoảng a cho trước Giới hạn: Nếu B trùng với O C trùng với C1 ( C1 Ỵ d C1 A ^ OA ) Nếu B xa vô điểm C xa vơ Vậy điểm C nằm tia C1t đường thẳng d b) Phần đảo Lấy điểm C tai C1t Vẽ đoạn thẳng AC Trang Từ A vẽ AB ^ AC (B Ỵ Oy ) Ta phải chứng minh tam giác ABC vuông cân A Thật vậy, vẽ CH ^ Ox µ =O µ = 90; HC = OA = a; C ả =A (cùng phụ với A ¶ ) D HAC D OBA có : H 1 Dó D HAC = D OBA (g.c.g) AC = AB Vậy D ABC vuông A c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm C tia C1t / /Ox cách Ox khoảng a 9.3 (h.9.7) a) Phần thuận Gọi O giao điểm hai tia AD BE Như O điểm cố định µ =B µ = 45° nên AOB · Xét D AOB có A = 90° Tứ giác OECD có ba góc vng nên hình chữ nhật Hai đường chéo DE OC cắt trung điểm đường nên trung điểm M DE trung điểm OC Vẽ OH ^ AB, MK ^ AB MK đường trung bình D OHC , suy MK = OH Điểm M cách đường thẳng AB cho trước khoảng xy / / AB cách AB OH nên điểm M nằm đường thẳng OH Giới hạn: Khi điểm C di động dần tới A điểm M dần tới trung điểm P OA Khi điểm C di động dần tới B điểm M dần tới trung điểm Q OB Vậy điểm M di động đường trung bình PQ D OAB (trừ hai điểm P Q) b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng PQ (M không trùng với P, Q) Vẽ tia OM cắt AB C Vẽ CD ^ OA, CE ^ OB Ta phải chứng minh D DAC , D EBC vuông cân M trung điểm DE Thật vậy, xét D OAB có OP = PA, PQ / / AB nên MO = MC µ = 45° nên tam giác vuông cân D Xét D DAC vng D có A Tương tự, D EBC vng cân E Tứ giác OECD có ba góc vng nên hình chữ nhật Do hai đường chéo cắt trung điểm đường Mặt khác, M trung điểm OC nên M trung điểm DE c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M đường trung bình PQ tam giác OAB trừ hai điểm P Q Trang 9.4 (h.9.8) Gọi O giao điểm hai tia AD BE Như O điểm cố định Giải tương tự 9.3, ta quỹ tích điểm M đường trung bình PQ D OAB trừ hai điểm P Q 9.5 (h.9.9) a) Phn thun =A ả (tớnh cht ca tam giác cân) Vẽ AH ^ BC AH / / DE v A ả =A (cp gúc so le trong); F =A ả (cp gúc đồng vị) Ta có: E 1 µ =A ả nờn E ả =F Suy D AEF cân Vì A 1 Ta có: ME = MF Þ AM ^ EF Tứ giác AHDM có ba góc vng nên hình chữ nhật Þ MD = AH (khơng đổi) Điểm M cách đường thẳng BC cho trước khoảng bẳng AH nên điểm M nằm đường thẳng xy // BC cách BC khoảng AH Giới hạn: Khi điểm D trùng với B E trùng với B điểm F trùng với F1 ( F1 nằm tia CA AF1 = AC ) Khi điểm M trùng với M1 ( M1 giao điểm xy với B F1 ) Tương tự, điểm D trùng với C điểm M trùng với M2 Vậy M nằm đoạn thẳng M1 M2 đường thẳng xy b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng M1 M2 Qua M vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt BC, AB, AC D, E, F Ta phải chứng minh M trung điểm EF Thật vậy, tứ giác AHDM có hai cặp cạnh đối song song nên hình bình hành Hình bình hành có µ = 90° nên hình chữ nhật, suy M ¶ = 90 H ả =A à,F =A ả m A =A ả nờn E ả =F Do D AEF cân Ta có: E 1 2 1 Vì AM đường cao nên đường trung tuyến Þ ME = MF c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm M đoạn thẳng M1 M2 đường thẳng xy // BC cách BC khoảng AH 9.6 (h.9.10) a) Phần thuận Vẽ đoạn thẳng MO, MA ta được: MO = MA = BC Trang Điểm M cách hai đầu đoạn thẳng OA cố định nên điểm M nằm đường trung trực OA Giới hạn: Khi điểm C di động tới điểm O điểm B di động tới B1 ( AB1 ^ AO ), điểm M di động tới M1 trung điểm OB1 Khi B di động dần tới O điểm C di động tới C1 ( AC1 ^ AO ), điểm M di động tới M2 trung điểm OC1 Vậy điểm M di động đoạn thẳng M1 M2 b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng M1 M2 Trên tia Ox lấy điểm B ( B ¹ O ) cho MB = MA Tia BM cắt Oy điểm C Ta phải chứng minh D ABC vuông A M trung điểm BC Thật vậy, ta có: MB = MA mà MO = MA (vì M nằm đường trung trực OA) nên MB = MO (1) =O ả ị D MOB cõn ị B 1 + BCO · ¶ + BCO · Xét D OBC vng O có B = 90°Þ O = 90° 1 ¶ ) Þ D MOC cân Þ MO = MC (2) · · (vì phụ với O Þ MOC = MCO Từ (1) (2) suy MB = MC Vậy M trung điểm BC Xét D ABC có MA = MB = MC nên MA = BC Þ D ABC vng A c) Kết luận quỹ tích điểm M đoạn thẳng M1 M2 thuộc đường trung trực OA 9.7 (h.9.11) 1) Chứng minh MA2 + MC = MB + MD (1) Qua M vẽ đường thẳng vng góc với hai cặp cạnh đối hình chữ nhật dùng định lý Py-ta-go để chứng minh 2) Tìm quỹ tích điểm M a) Phần thuận Ta có: MA + MC = MB + MD (2) Suy ( MA + MC ) = ( MB + MD ) Þ MA2 + MC + MA.MC = MB + MD + MB.MD Þ MA.MC = MB.MD (3) Từ (1) (3) ta có: Þ MA2 + MC - MA.MC = MB + MD - MB.MD Þ ( MA - MC ) = ( MB - MD ) Trang 10 Suy MA - MC = MB - MD (4) MA - MC = MD - MB (5) ìï MA + MC = MB + MD g Từ (2) (4) ta có: ïí ïïỵ MA - MC = MB - MD Do đó: MA = MB Þ MA = MB Vậy điểm M nằm đường trung trực AB ìï MA + MC = MB + MD g Từ (2) (5) ta có; ïí ïïỵ MA - MC = MD - MB Do đó: MA = MD Þ MA = MD Vậy điểm M nằm đường trung trực AD Giới hạn: Vì M nằm hình chữ nhật cạnh nên M nằm hai đoạn thẳng EF GH nối trung điểm hai cặp cạnh đối diện hình chữ nhật b) Phần đảo (h.9.12) Lấy điểm M đoạn thẳng GH Khi MA = MD; MB = MC Vậy MA + MC = MB + MD Nếu M Ỵ EF ta có kết c) Kết luận: Quỹ tích điểm M hai đoạn thẳng EF GH nối trung điểm hai cặp cạnh đối diện hình chữ nhật 9.8 (h.9.13) a) Phần thuận ¶ =C ¶ (vì cộng với ACD cho 60° ); CA = CB D MAC D DBC có: MC = DC ; C Vậy D MAC = D DBC (c.g.c) · · Þ MAC = DBC = 90° Suy MA ^ AC A Do điểm M nằm đường thẳng qua A vng góc với AC Giới hạn: Khi điểm D trùng với B điểm M trùng với A Khi điểm D xa vơ điểm M xa vơ Vậy điểm M nằm tia Ay b) Phần đảo Lấy điểm M tia Ay Vẽ đoạn thẳng MC Trên tia Bx lấy điểm D cho CD = CM Ta phải chứng minh D MCD µ =B µ = 90°; CM = CD; CA = CB Thật vậy, D MAC D DBC có: A Do D MAC = D DBC (cạnh huyn, cnh gúc vuụng) ả =C ả ị MCD Ã · Suy C = BCA = 60° Trang 11 · D MCD cân có MCD = 60° nên tam giác c) Kết luận Quỹ tích điểm M tia Ay ^ AC (tia Ay nằm nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B) 9.9 (h.9.14) ¶ =C ¶ D DCE = D BCF (c.g.c) Þ CE = CF C ¶ + BCE · ¶ + BCE · Ta có: C = 90°Þ C = 90° · Hình bình hành ECFM có CE = CF ECF = 90° nên ECFM hình vng Þ ME = MF · Vẽ MH ^ AB, MK ^ AD ta MHK = 90° · · · Mặt khác, EMF (hai góc có cạnh tương = 90° nên HMF = KME ứng vng góc nhọn) Suy D HMF = D KME (cạnh huyền, góc nhọn) Þ MH = MK Điểm M nằm góc vng EAB cách hai cạnh góc nên M nằm tia phân giác Ax góc EAB Lưu ý: Bài tốn khơng hỏi quỹ tích điểm M, mà hỏi điểm M nằm đường lời giải trình bày nội dung phần thuận 9.10 (h.9.15) Xét D EDF vng E có EM đường trung tuyến nên EM = DF = DM =B ả D BDM = D BEM (c.g.c) Þ B Vậy điểm M nằm tia phân giác Bx góc B Giới hạn: g Khi điểm D trùng với A điểm M trùng với điểm M1 ( M1 giao điểm tia Bx với AC) g Khi điểm D trùng với B điểm M trùng với điểm M2 ( M2 trung điểm BM1 ) b) Phần đảo Lấy điểm M đoạn thẳng M1 M2 Lấy điểm D cạnh AB cho MD = MA (1) Lấy điểm E cạnh BC cho BE = BD Tia DM cắt cạnh AC F Ta phải chứng minh M trung điểm DF EF ^ DE Thật vậy, D BMD = D BME (c.g.c) Þ MD = ME (2) Trang 12 ả =A D MAD cõn ị D 1 ả +F = 90; A +A ả = 90 m D ả =A nờn F =A ả Ta cú: D 1 1 Þ MF = MA (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: MD = ME = MF Vậy M trung điểm DF D DEF vng E Þ EF ^ DE c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M đoạn thẳng M1 M2 tia phân giác góc B 9.11 (h.9.16) a) Phần thuận Vẽ AH ^ Ox, AK ^ Oy Khi · HAK = 180°- 60°= 120° · Mặt khác, BAD = 180- 60= 120 Ã Ã =A ả Nờn HAK = BAD Þ A D HAB = D KAD (cạnh huyền, góc nhọn) Þ AH = AK Điểm A nằm góc xOy cách hai cạnh góc xOy nên A nằm tia phân giác Ot góc xOy Giới hạn: Khi điểm B trùng với O D trùng với O điểm A trùng với A1 ( A1 Ỵ Ot cách O khoảng OA1 = a ) Khi AB ^ Ox AD ^ Oy , điểm A trùng với A2 ( A2 Ỵ Ot cách O khoảng OA2 = 2a ) b) Phần đảo Lấy điểm A đoạn thẳng A1 A2 Vẽ AH ^ Ox, AK ^ Oy AH = AK (tính chất tia phân giác) Trên đoạn thẳng HO lấy điểm B, tia Ky lấy điểm D cho AD = AB = a Vẽ hình bình hành ABCD, µ = 60° ta phải chứng minh ABCD hình thoi cạnh a, B Thật vậy, hình bình hành ABCD có AB = AD = a nên hỡnh thoi cnh a =A ả D HAB = D KAD (cạnh huyền, cạnh góc vng) Þ A Ã = 180- 120= 60 ịÃ BAD = HAK =180°- 60°= 120° Do B c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm A đoạn thẳng A1 A2 thuộc tia phân giác Ot góc xOy 9.12 (h.9.17) ¶ =D ¶ , ¶D = D ¶ Ta có: D Trang 13 ¶ +D ¶ =D ¶ +D ¶ = 90° : = 45° Þ D Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = CF D ADN = D CDF (c.g.c) ¶ =D ¶ Þ DN = DF D ¶ +D ¶ =D ¶ +D ¶ = 45° Do D · · Suy NDE = FDE = 45° · · D NDE = D FDE (c.g.c) Þ NED = FED Do D DAE = D DME (c.g.c) Þ DM = DA = 4cm Điểm M cách điểm D cho trước khoảng không đổi 4cm nên điểm M nằm đường trịn tâm D, bán kính 4cm 9.13 (h.9.18) a) Phần thuận Vẽ đoạn thẳng OM ta có: OM = AB = a (tính chất trung tuyến tam giác vuông) Điểm M cách điểm O cho trước khoảng a cho trước nên M nằm đường trịn tâm O, bán kính a Giới hạn: g Khi điểm B di động tới O A tới điểm A1 Ỵ Ox OA1 = 2a Khi điểm M di động tới M1 trung điểm OA1 g Khi điểm A di động tới O B tới điểm B1 Ỵ Oy OB1 = 2a Khi điểm M di động tới M2 trung điểm OB1 Vậy M nằm cung M1 M2 đường tròn tâm O, bán kính a b) Phần đảo Lấy điểm M cung M1 M2 Trên tia Ox lấy điểm A cho MA = MO (1) Tia AM cắt tia Oy B Ta phải chứng minh M trung điểm AB AB = 2a =O ả Tht vy, vỡ MA = MO nờn D MOA nờn ị A 1 +B ả = 90ị O ả +B ả = 90 Xét D AOB vng O có A 2 ¶ =B ¶ (cùng phụ với O ¶ ) Þ O 2 Do D MOB cân MB = MO (2) Trang 14 Từ (1), (2) suy ra: MA = MB = MO = a Do đó: AB = 2a c) Kết luận Quỹ tích điểm M cung M1 M2 đường trịn tâm O, bán kính a 9.14 (h.9.19) a) Phần thuận Gọi O điểm đối xứng với D qua C O điểm cố định Tứ giác ABOC có AB // OC; AB = OC (vì CD) nên ABOC hình bình hành Þ OB = AC = 2cm Điểm B cách điểm O cố định khoảng 2cm nên điểm B nằm đường trịn tâm O bán kính 2cm Giới hạn: Vì B, C, D khơng thẳng hàng nên B nằm đường trịn tâm O, bán kính cm trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng CD b) Phần ảo Lấy điểm B đường trịn tâm O bán kính 2cm (trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng CD) Suy OB = 2cm Vẽ hình bình hành ABCD Ta phải chứng minh hình bình hành có AC = 2cm Thật vậy, AB / / CD AB = CD Þ AB / / CO AB = CO Do tứ giác ABOC hình bình hành, suy AC = OB = 2cm c) Kết luận Vậy quỹ tích điểm B đường trịn tâm O bán kính 2cm Trang 15