Toán d“kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức côsi vào giải một số bài toán”

Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Mơn tốn mơn khoa học tự nhiên Nó đóng vai trị quan trọng thực tiễn sống, ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, tiền đề cho mơn khoa học tự nhiên khác Vì việc giảng dạy mơn Tốn vấn đề quan trọng Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy theo phương pháp dạy học nay, giáo viên cần có đầu tư, làm việc suy nghĩ nhiều hơn, lấy học sinh làm trung tâm, kích thích tính độc lập sáng tạo học sinh Khi học toán học sinh bồi dưỡng trí tuệ :Trí tưởng tượng, kĩ vận dụng vào giải toán, vào khoa học kĩ thuật, vào đời sống rèn nhiều phẩm chất tư duy, phẩm chất đạo đức tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính kiên trì chịu khó, tính xác, khả phân tích tổng hợp kiện Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng Trong chương trình THCS ( phần nâng cao), bất đẳng thức có nhiều ứng dụng vào nhiều dạng tập đại số hình học Đặc biệt, bất đẳng thức cauchy (Côsi) bất đẳng thức có nhiều ứng dụng phong phú vào: tốn hình học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ hất biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình Trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi gặp tốn cần ứng dụng bất đẳng thức Côsi Tuy nhiên, áp dụng bất đẳng thức Cơsi vào giải tốn học sinh thường gặp số vấn đề sau: - Lúng túng, thụ động, khơng biết đâu, phân tích - Chưa nắm chất bất đẳng thức Cơsi hệ thường gặp - Sử dụng bất đẳng thức Cơsi cách máy móc, không linh hoạt, không hiệu quả, hay đó, chưa biết liên hệ vận dụng tình khác - Thường mắc số sai lầm điều kiện xẩy dấu bằng, điều kiện áp dụng bất đẳng thức Các tài liệu viết bất đẳng thức Cơsi nhiều có tài liệu giải thích lại làm vậy, không cách tư không hướng dẫn phân tích Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy hiệu hơn, mạnh dạn đưa đề tài nghiên cứu: “Kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức Cơsi vào giải số tốn” Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu bất đẳng thức Cơsi đặc biệt kỷ thuật vận dụng bất đẳng thức việc giải toán để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống, đồng thời bồi dưỡng, tích lũy chun mơn cho giáo viên - Sử dụng đề tài làm tài liệu giảng dạy - Trang bị cho học sinh cách có hệ thống kỷ thuật vận dụng bất đẳng thức Côsi để giải tốn , qua rèn cho em kỹ phân tích tổng hợp, kỹ tính tốn - Rèn luyện phát triển lực tư toán học cho học sinh, đặc biệt tư lôgic, biết sáng tạo học tập biết vận dụng linh hoạt kiến thức học vào giải tập toán -Trang bị cho em hệ thống kiến thức vững chắn, giúp cho em tự tin bước vào kỳ thi bậc trung học sở tạo tảng cho bậc học THPT Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng học: Học sinh giỏi khối 8, Cụ thể nghiên cứu thể nghiệm trường giảng dạy số trường lân cận - Phân môn nghiên cứu: Nghiên cứu chủ đề bất đẳng thức Côsi thuộc phân mơn đại số ứng dụng mơn hình học Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” Phương pháp quan sát Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 Nhìn nhận lại q trình học tập mơn tốn học sinh trường trường lân cận năm học vừa qua Đưa số biện pháp để nâng cao kết học tập cho học sinh giai đoạn II NỘI DUNG A Bất đẳng thức Cauchy ( CÔSi )  Nội dung bất đẳng thức sau: Với n số không âm a1 , a2 , a3 , , an ta có: a1  a2  a3   an n  a1a2 a3 an n Dấu “=” xảy  a1 a2 a3  an  Một số hệ quả: Ta có số bất đẳng thức quen thuộc hệ bất đẳng thức Côsi sau: 1) a  b 2ab  a  b2  a  b  2ab Dấu “=” xảy  a = b 2) a  b  c ab  bc  ca  a  b2  c   a  b  c  ab  bc  ca Dấu “=” xảy  a = b = c 3) a  b 2 b (ab > 0) Dấu “=” xảy  a = b a hay a  2 (a > 0) Dấu “=” xảy  a = a 4)      a1 a2 a3 an n2 a1  a2  a3   an hay  a1  a2  a3   an        n a a a a  n   a1 , a2 , a3 , , an   Dấu “=” xảy  a1 a2 a3  an Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 5)a.Nếu hai số khơng âm có tổng số S khơng đổi tích chúng lớn hai số b.Nếu hai số khơng âm có tích số P khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số  Chứng minh hệ nêu bất đẳng thức Côsi Hệ 1: a  b 2ab  a  b2  a  b  2ab Dấu “=” xảy  a = b Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a  b2 2 a 2b 2  ab  2 ab 2ab  a b  Dấu “=” xảy  a b    a b ab 0 ab 0 Từ a  b 2ab   a  b  a  b2  2ab  a  b  Do ta có: a  b  a  b  2 Dấu “=” xảy  a b Mặt khác, từ a  b 2ab  a  b  2ab 4ab   a  b  4ab Nên  a  b  2ab Dấu “=” xảy  a b 2 Hệ 2: a  b  c ab  bc  ca  a  b2  c   a  b  c  ab  bc  ca Dấu “=” xảy  a = b = c Giải: Theo chứng minh  a  b 2ab  2 2 2 2 b  c 2bc  a  b  b  c  c  a 2ab  2bc  2ca c  a 2ca    a  b  c  2  ab  bc  ca   a  b  c ab  bc  ca a b Dấu “=” xảy  b c  a b c c a  Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 Mà a  b  c ab  bc  ca   a  b  c  2  ab  bc  ca    a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c Dấu “=” xảy  a b c Lại có: a  b  c ab  bc  ca   a  b  c  3  ab  bc  ca    a  b  c ab  bc  ca Hệ 3: a  b 2 b (ab > 0) Dấu “=” xảy  a = b a Giải: Vì ab > nên a, b dấu  a , b  b a Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a  b 2 a b 2 b a b Dấu “=” xảy   b  a  ab  a2 a3 b a  ab  ab    a b   a  b a  b    Hệ 4:      a1 a an n2 a1  a2  a3   an hay  a1  a2  a3   an        n a a a a  n   a1 , a2 , a3 , , an   Dấu “=” xảy  a1 a2 a3  an Giải: Theo bất đẳng thức Cơsi thì: a1  a2  a3   an n n a1a2 a3 an   1 1 1 1      n n     a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an  1 1 1   a1  a2  a3   an       n an   a1 a2 a3 Chia hai vế bất đẳng thức vừa chứng minh cho a1  a2  a3   an  ta có  1 1 n2     a1 a2 a3 an a1  a2  a3   an Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 a1 a2 a3  an Dấu “=” xảy   1 1  a1 a2 a3  an  a  a  a  a n  Hệ 5: a.Nếu hai số không âm có tổng số S khơng đổi tích chúng lớn hai số b.Nếu hai số khơng âm có tích số P khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Giải: Gọi a, b hai số khơng âm a+b = S , a.b = P a Theo bất đẳng thức Cơsi a  b 2 ab  S 2 ab  ab  S Do Max  ab   S  a b  S b Tương tự a  b 2 P Vậy Min  a  b  2 P  a b  P B Một số quy tắc chung sử dụng bất đẳng thức Côsi a Quy tắc song hành: Chúng ta sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh toán để định hướng cách giải nhanh b Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trị quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính giải tốn chứng minh bất đẳng thức toán cực trị ta cần rèn luyện cho thói quen tìm điều kiện dấu số không yêu cầu trình bày phần c Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức dấu “=” phải thỏa mãn với điều kiện biến d Quy tắc biên: Đối với toán cực trị có điều kiện ràng buộc cực trị thường đạt vị trí biên Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 e Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng vai trị biến bất đẳng thức dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có điều kiện đối xứng dấu “=”xảy biến giá trị cụ thể C Một số kỷ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi Trước tiên cần cho học sinh nắm vững bất đẳng thức Côsi dạng ‘biến thể’ bất đẳng thức Côsi, yêu cầu học sinh chứng minh hệ nắm hệ với việc kết hợp với kỷ thuật giải để từ vận dụng vào số tập 1.Kỷ thuật thêm bớt Nếu ta khéo léo thêm, bớt giá trị vào biếu thức, tốn bất đẳng thức khó giải cách dẽ dàng Bài tốn 1: Tìm GTNN của: a) A x  (x  1) b) B   x  x  1) x 1 x x Phân tích: Nếu ta thêm bớt vào biểu thức A B lượng A B xuất biểu nghịch đảo Vì ta nghĩ đến hệ Giải a) Ta có : A (x  1)   Theo hệ 3: (x  1)  2 x x Vậy A≥2+1=3 Nên giá trị nhỏ A  x  1 (loại x = x>1)  (x  1) 1  x 2 x b) Ta có : B   x    x   3(1  x)  x  x 1 x x 1 x x 1 x Vì < x < nên 3(1  x)  x  1 x x Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: 3(1  x)  x 2 x 1 x Vậy B 2  Suy B 2   3(1  x)  x x 1 x Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100  3  x1   x  x  0    3  (loại)  x2   Vậy B 2   x   Bài toán Chứng minh a, b, c  ta có bất đẳng thức sau: a b c    b c c a a b (**) a b c Phân tích : Nếu ta cộng thêm đơn vị vào phân số b  c , c  a , a  b tử số phân số a+b+c Vì ta có cách giải nhờ áp dụng hệ sau: Giải: Ta có: a b c a b c b c a c a b      3 b c c a a b b c c a a b 1    a  b  c       b c c  a a b  1      b  c    c  a    a  b        b c c  a a b  Áp dụng hệ ta có: a b c    9   b c c a a b 2 Dấu “=” xảy  b  c c  a a  b  a b c Chú ý: Bất đẳng thức (**) bất đẳng thức Nesbitt (Ne-xbít) cho số dương Ngồi ra, cịn nhiều cách khác để chứng minh bất đẳng thức này.( Ví dụ dùng kỷ thuật đổi biến số- đề cập mục sau) Bài toán 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: c2 a2 b2 a b c    a b b c c a Giải:  c2 a2 b2 c2   a2   b2     a     b     a  b  c    c  a b b c c a  a b  bc  c  a  c   a   b   c    a    b     a  b  c  a b   b c   c  a  Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100  a b c   b c a   c a b  c   a   b    a  b  c  a b   b c   c a  a b   c  a  b  c       a  b  c  a b b c c a  a b  c   a  b  c     1  a b b c c a  Theo bất đẳng thức Nesbit chứng minh tốn thì: a b c    b c c a a b Do c2 a2 b2   a b c    a  b  c   1  a b b c c a 2  (đpcm) Dấu “=” xảy  b  c c  a a  b  a b c Bài toán Cho x, y, z, t > Tìm GTNN biểu thức x t t y y z z x    t  y y  z z  x x t Phân tích : Khi cộng vào số hạng M ta hai cặp phân số M tử, từ ta nghĩ đến hệ trường hợp n = ;   , với a, b > a b a b sau : Giải  x t  t y   y z   z x  Ta có : M M     1    1    1    1    t  y   y  z   z  x   x t x  y t  z y  x z t =    4 t  y y  z z  x x t   1    x  y     z  t      y  z x t  ty zx   4 x  y  4 z  t     0 x  y  z t x  y  z t Vậy giá trị nhỏ M khi: t z 1 1 t  y  z  x hay    hay  t  y z  x y  z x t  y  z x  t x y Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 Kỷ thuật đánh giá từ trung bình cộng(TBC) sang trung bình nhân (TBN) từ trung bình nhân sang trung bình cộng Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC là đánh giá với dấu “≤”, đánh giá từ tích sang tổng Sau số ví dụ: a, Đánh giá từ trung bình cộng(TBC) sang trung bình nhân (TBN Bài tốn 5: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a1  b   b1  c   c1  a  33 abc  abc  Phân tích: - Dấu “≥” gợi ý cho ta việc đánh giá từ tổng sang tích - Các bậc ba gợi ý cho ta áp dung bất đẳng thức Côsi cho số Giải: Ta có: a1  b   b1  c   c1  a   a  b  c    ab  bc  ca  Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: a  b  c 33 abc ab  bc  ca 33  abc    a  b  c    ab  bc  ca  33 abc  33  abc     a1  b   b1  c   c1  a  33 abc  abc 33 abc  33 abc   (đpcm) Dấu xẩy khi: a = b =c ab = bc = ac hay a = b = c Bài toán Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: 10 Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 - Trong bất đẳng thức mà hai vế biến có vai trị xem xét đến kỷ thuật ghép đối xứng - Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: a b bc ca   2  2 a  b  c   a  b    b  c    c  a   Phép cộng: a  b  c  Phép nhân:  abc   2  a b c ab bc ca ,  a , b, c 0   ab  bc  ca  ≥ Ở toán bất đẳng thức đối xứng, thông thường hay gặp hai dạng toán sau: * Dạng 1: Chứng minh : X + Y + Z ≥ A + B + C Ý tưởng: Nếu ta chứng minh X + Y ≥ 2A X + Z ≥ 2C Z+ Y ≥ 2B (Nhờ tính đối xứng tốn) Sau ta cộng vế theo vế rút gọn cho 2, ta điều cần chứng minh - Trong toán tổng quát nữa, ta ra: mX + nY + pZ ≥ (m + n + p)A mY + nZ + pX ≥ (m + n + p)B mZ + nX + pY ≥ (m + n + p)C Từ cộng chúng lại rút gọn, thu điều phải chứng minh * Dạng 2: Chứng minh XYZ ≥ ABC với X, Y, Z ≥0 Ý tưởng: Nếu chứng minh XY ≥ A2 YZ ≥ B2 ZX ≥ C2 ( Nhờ tính đối xứng tốn) Sau đó, nhân vế theo vế bất đẳng thức trên, lấy bậc 2, ta có: XYZ  A2 B 2C  ABC  ABC Bài toán 14: Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca   a  b  c c a b Phân tích: ab bc biểu thức đối xứng b ( tức a c có vai trị ; c a nhau) Do đó, sử dụng kỷ thuật ghép đối xứng, ta thử chứng minh: 17 Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 ab bc  2b c a Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab ; bc ta có: c a ab bc ab bc  2 2b Vậy ta sử dụng kỷ thuật ghép đối xứng với toán c a c a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ab ; bc ta có: c a ab bc ab bc  2 2b ( Vì b>0) c a c a Tương tự ta có: ca  bc 2 ca bc 2c b a b a ab ac ab ac  2 2a c b c b Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: 2( ab bc ca ab bc ca   ) 2(a  b  c)    a  b  c (Đpcm) c a b c a b Dấu xẩy a = b = c Bài toán 15: Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: (a  b)(b  c)(c  a ) (a  b )(b  c )(c  a )  8abc (a  bc)(b  ca )(c  ab) Phân tích : Vì a, b, c dương nên (a +b)( b+c )(c + a); 8abc; (a2 +b2)( b2+c2 )(c2 + a2); (a2 +bc)( b2+ca)(c2 + ab) số dương, sau nhân chéo, bất đẳng thức đề trở thành: (a  b)(b  c)(c  a )(a  bc)(b  ca )(c  ab) 8abc(a  b )(b  c )(c  a ) Nếu chứng minh được: (c  ab)(a  b) 2 ab(b  c )(c  a ) ta sử dụng kỷ thuật ghép đối xứng Thật vậy: (c  ab)(a  b) a(c  ab)  b(c  ab) a (b  c )  b(c  a ) 2 ab(b  c )(c  a ) Từ tốn giải hồn tồn Giải: Ta có: (c  ab)(a  b) a(c  ab)  b(c  ab) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: (c  ab)(a  b) a(c  ab)  b(c  ab) a(b  c )  b(c  a ) 2 ab(b  c )(c  a ) 18 Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 ( Vì a, b, c số dương nên a(b2+c2) b(a2+c2) số dương) Tương tự ta có: (b  ca )(c  a) 2 ca(a  b )(b  c ) ( a  bc)(b  c) 2 bc(a  b )(c  a ) Vì vế bất đẳng thức đề dương, nhân vế theo vế ta được: (a  b)(b  c)(c  a )(a  bc)(b  ca )(c  ab) 8abc(a  b )(b  c )(c  a ) (a  b)(b  c )(c  a) (a  b )(b  c )(c  a ) ( Đpcm)   8abc (a  bc)(b  ca )(c  ab) Dấu xẩy khi: a = b = c Kỷ thuật Cơsi ngược dấu: Xét tốn sau: Bài tốn 16: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a  b  c 3 Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c    b 1 c 1 a 1 2 Phân tích định hướng lời giải: Ở này, nhìn sử dụng bất đẳng thức Côsi kiểu: a a  , ta bị 1 b 2b ngược dấu Hẫy xét cách khéo léo sau để hiệu đáng kinh ngạc a ab ab ab  a   a  a  (1) (Áp dụng Côsi) 2 2b b 1 b 1 có: 2b b  bc (2) ; 2c c  ca (3) 2 c 1 a 1 kỷ thuật này: Tương tự ta Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a b c ab  bc  ca   a  b  c  b 1 c 1 a 1 2 Mặt khác ta có: a2  b2 ab  bc  ca   ab  bc  ca  Vậy : b2  c c2  a 2   a  b  c  a  b  c  -  ab  bc  ca  2  a  b  c 3 a b c 3   3   2 b 1 c 1 a 1 (đpcm) Dấu bất đẳng thức xẩy a = b = c = Bài toán 17: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 a b c    2 2 2 a b b c c a 19 Sáng Kiến kinh nghiệm Nguyễn Anh Văn ĐT 0833703100 Giải : Sử dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : Tương tự ta có : a3 ab ab b  a   a  a  2 2 a b a b 2ab b3 c b  2 b c c3 a c  2 c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : a3 b3 c3 a b c    2 2 2 ( Đpcm) a b b c c a Dấu ‘=’ xẩy a = b = c Chú ý : Kỷ thuật Côsi ngược dấu chứng tỏ đột phá đơn giản vô hiệu việc góp phần giải nhiều bất đẳng thức hốn vị khó Kỷ thuật chọn điểm rơi Chúng ta quay lại toán 13 : Sau đặt t ( x  y )2 2 ta cần chứng minh bất đẳng thức: t  t 5(t 4) x y Vậy chứng minh bất đẳng thức lại biến đổi vế trái thành: 4  t  t  ( t  ) sau áp dụng bất đẳng thức Cơsi ? t 4 t Là dự đoán dấu ‘=’ bất đẳng thức xẩy t = 4, từ có cách biến đổi thích hợp Đó kỷ thuật ‘chọn điểm rơi’ - Điểm rơi bất đẳng thức giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong bất đẳng thức dấu “=” thường xảy trường hợp sau:  Các biến có giá trị Khi ta gọi tốn có cực trị đạt tâm  Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi tốn có cực trị đạt biên 20