(Luận văn thạc sĩ) phân tích dao động tự do dầm fgm thành mỏng tiết diện kín dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ PHẠM TRUNG HIẾU PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO DẦM FGM THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN KÍN DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG SKC008220 Tp Hồ Chí Minh, tháng 6/2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ PHẠM TRUNG HIẾU PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO DẦM FGM THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN KÍN DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG - 858021 Hướng dẫn khoa học: tựa luận văn) TS NGUYỄN NGỌC DƯƠNG i QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI ii BIÊN BẢN CHẤM ĐIỂM CỦA HỘI ĐỒNG iii NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN iv v vi vii LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƯỢC: Họ & tên: Phạm Trung Hiếu Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 15/03/1997 Nơi sinh: Đồng Tháp Quê quán: Đồng Tháp Dân tộc: Kinh Chỗ riêng địa liên lạc: Số 459, Phú Thành, Tân Phú Đông, TP Sa Đéc, tỉnh Đồng Tháp Điện thoại : 094 22 33 204 II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: Đại học: Hệ đào tạo: Chính Quy Thời gian đào tạo từ 09/2015 đến 09/2019 Nơi học (trường, thành phố): Trường Đại học Cửu Long, tỉnh Vĩnh Long Ngành học: Công nghệ Kỹ thuật xây dựng cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Tên đồ án, luận án môn thi tốt nghiệp: Thiết kế kết cấu biện pháp thi công tòa nhà Ký túc xá Trường đại học Bạc Liêu (10 tầng) Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án thi tốt nghiệp: 31/05/2019 Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Hiền Gia Hoàng Thạc sĩ: Hệ đào tạo: Chính Quy Thời gian đào tạo từ 09/2015 đến 12/2022 Nơi học (trường, thành phố): Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Hồ Chí Minh, thành phố Hồ Chí Minh Ngành học: Kỹ Thuật Xây Dựng Tên đồ án, luận án mơn thi tốt nghiệp: Phân tích dao động tự dầm FGM thành mỏng tiết diện kín dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án thi tốt nghiệp: 30/05/2023 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Dương viii III Q TRÌNH CƠNG TÁC CHUN MƠN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm 05/201907/2019 Công ty TNHH Đồng Phát 07/201907/2020 Công ty Cổ phần Xây dựng Trung Giám sát trường Hậu 08/202012/2020 Công ty TNHH DVK Châu Á Giám sát trường 01/202108/2022 Công ty TNHH Kiến Lập Thiết kế kết cấu Làm tự Thiết kế kết cấu 08/2022-nay ix Thiết kế kết cấu  K 11  T 12  K  T K 13  T 14  K  T K 15  T 16  K  T K 17  K 12 K 13 K 14 K 15 K 16 K 22 K 23 K 24 K 25 K 26 T K 23 T K 24 K 33 T K 34 K 34 K 44 K 35 K 45 K 36 K 46 T K 25 T K 35 T K 55 K 56 K 26 T K 27 T K 36 T K 37 T T K 45 K 46 T K 47 T K 56 T K 57 0  G 22  0   N0  0 0  0 0  K 66 T K 67 0 G 24 G 33 G 34 G 44 0 0 0 K 17   K 27  K 37   K 47  K 57   K 67  K 77  0   w  0    0 0 u  0  0   v  0      0 0 Φ   0  0   ψ y  0      0   ψ x  0      0 0 ψ  0  (22) K ma trận độ cứng, G ma trận hình học cho Bảng Bảng Các hệ số ma trận độ cứng K K ij11  E11  0Li j dz K ij34   E57  E78   0Li j dz K ij12  E16  0Li j dz K ij35  E27  0Li j dz  E67  0Li j dz K ij13  E17  0Li j dz K ij36  E37  0Li j dz  E77  0Li j dz K ij14   E15  E18   0Li j dz K ij37  E47  0Li j dz   E78  E57   0Li j dz K ij15  E12  0Li j dz  E16  0Li  j dz K ij44   E55  E58  E88   0Li j dz K ij16  E13  0Li j dz  E17  0Li j dz K ij45   E25  E28   0Li j dz   E56  E68   0Li j dz K ij17  E14  0Li j dz K ij46   E35  E38   0Li j dz   E57  E78   0Li j dz   E18  E15   0Li j dz K ij22  E66  0Li j dz K ij47   E45  E48   0Li j dz   E88  E55   0Li j dz K ij23  E67  0Li j dz K ij55  E22  0Li j dz  E26  0L i j  i j  dz   E66  0Li j dz 84 K ij24   E56  E68   0Li j dz Kij56  E23  0Li j dz  E27  0Li j dz  E36  0Li j dz  E67  0Li j dz K ij25  E26  0Li j dz  E66  0Li j dz K ij57  E24  0Li j dz   E28  E25   0Li j dz  E46  0Li j dz   E68  E56   0Li j dz K ij26  E36  0Li j dz  E67  0Li j dz K ij66  E33  0Li j dz  E37  0L i j  i j  dz  E77  0Li j dz K ij27  E46  0Li j dz K ij67  E34  0Li j dz   E38  E35   0Li j dz   E68  E56   0Li j dz  E47  0Li j dz   E78  E57   0Li j dz K ij77  E44  0Li j dz   E48  E45   0L i j  i j  dz K ij33  E77  0Li j dz   E88  E58  E55   0Li j dz Bảng Các hệ số ma trận hình học G Gij22  Gij33   l0i j dz Gij34    l0 x pi j dz Gij24   l0 y pi j dz Gij44   l0 Ip A i j dz Ví dụ số Trong phần này, ví dụ số thực để khảo sát hội tụ lời giải so sánh với nghiên cứu trước Các thông số vật liệu sử dụng sau [17] : - Metal (Al): Em  70 GPa  70 109 N / m2 ; vm  0,3 - Ceramic ( Al2O3 ) : Ec  380 GPa  380 10 N / m ; vc  0,3 Thơng số hình học: Chiều dài: L = 8m; Chiều cao: h = 0,1m; Chiều rộng dầm: b = 0,2m; Độ dày thành hộp: t = 0,005m 3.1 Khảo sát hội tụ lời giải: Để khảo sát hội tụ lời giải, tác giả thực toán cho ba dạng dầm 85 hộp A, B, C với số tỷ lệ thể tích p=1 Dầm B có lớp với tỷ lệ chiều dày lớp 1-1-1 Dầm C có tỷ lệ chiều dày lớp 1-2-1 Bảng thể lực tới hạn dầm với dạng điều kiện biên (ĐKB) C-F, S-S C-C Kết cho thấy lời giải hội tụ m=8, giá trị lấy để xuất kết cho ví dụ số Bảng Khảo sát hội tụ lực tới hạn (MN) dầm hộp sandwich FGM m Loại vật liệu A B (1-1-1) C (1-2-1) ĐKB 10 12 C-F S-S C-C C-F S-S C-C C-F S-S C-C 0,0546 0,2126 0,833 0,0658 0,2499 1,0043 0,055 0,2141 0,839 0,0516 0,2078 0,8981 0,0622 0,2496 0,9933 0,052 0,2093 0,8297 0,0516 0,2063 0,8268 0,0622 0,2487 0,9913 0,052 0,2078 0,8281 0,0516 0,2063 0,8222 0,0622 0,2487 0,9913 0,052 0,2078 0,8281 0,0516 0,2063 0,8222 0,0622 0,2487 0,9913 0,052 0,2078 0,8281 0,0516 0,2063 0,8222 0,0622 0,2487 0,9913 0,052 0,2078 0,8281 3.2 Kiểm chứng khảo sát ảnh hưởng thông số p, L/h: a Kiểm chứng lời giải Do khơng có liệu lực ổn định dầm hộp sandwich FGM dùng lý thuyết bậc nên để đánh giá kết nghiên cứu, tác giả xác định lực ổn định so sánh với nghiên cứu sử dụng lý thuyết cổ điển Lanc cộng [17] Các bảng 5, trình bày lực ổn định trục x y Các kết cho thấy lực ổn định gần trùng khớp với kết tài liệu tham khảo [17] Điều phù hợp, tỷ số L/h = 80 nên ảnh hưởng biến dạng cắt không đáng kể Bảng Lực ổn định (MN) dầm hộp loại A Điều kiện biên S-S x y C-F C-C p Nghiên cứu Lanc 0,08552 0,24420 0,34209 0,97683 1,36903 3,90921 cộng [17] x y 86 x y Bài báo 0,2 Lanc 0,07435 0,21146 0,29740 0,84587 1,19017 3,38512 cộng [17] Bài báo 0,5 10 0,05162 0,14532 0,20629 0,57837 0,82219 2,26778 Lanc 0,04001 0,11239 0,16004 0,44956 0,64047 1,79912 cộng [17] Bài báo 0,04000 0,11218 0,15984 0,44646 0,63706 1,75050 Lanc 0,02810 0,07890 0,11240 0,31562 0,44982 1,26307 cộng [17] Bài báo 0,02809 0,07876 0,11226 0,31343 0,44742 1,18561 Lanc 0,02255 0,06355 0,09022 0,25421 0,36105 1,01732 cộng [17] Bài báo 1000 0,06304 0,17827 0,25194 0,70949 1,00417 2,78204 Lanc 0,05163 0,14559 0,20654 0,58237 0,82655 2,33061 cộng [17] Bài báo 0,07432 0,21107 0,29702 0,84004 1,18389 3,29410 Lanc 0,06306 0,17859 0,25225 0,71439 1,00947 2,85891 cộng [17] Bài báo 0,08550 0,24376 0,34168 0,97016 1,36192 3,80452 0,02255 0,06343 0,09011 0,25209 0,35914 0,98985 Lanc 0,01583 0,04519 0,06332 0,18076 0,25340 0,72340 cộng [17] Bài báo 0,01582 0,04511 0,06324 0,17953 0,25209 0,70402 87 Bảng Lực ổn định (MN) dầm hộp loại B(1-1-1) p Nghiên cứu C-F x 0,2 0,5 10 1000 Điều kiện biên S-S x y y C-C x y Lanc cộng [17] 0,08552 0,24420 0,34209 0,97683 1,36903 3,90921 Bài báo 0,08550 0,24376 0,34168 0,97016 1,36192 3,80461 Lanc cộng [17] 0,07776 0,22206 0,31106 0,88828 1,24484 3,55482 Bài báo 0,07774 0,22167 0,31069 0,88223 1,23838 3,45966 Lanc cộng [17] 0,07001 0,19993 0,28003 0,79973 1,12067 3,20043 Bài báo 0,06999 0,19957 0,27969 0,79429 1,11485 3,11481 Lanc cộng [17] 0,06225 0,17779 0,24901 0,71117 0,99651 2,84606 Bài báo 0,06223 0,17747 0,24871 0,70635 0,99134 2,76995 Lanc cộng [17] 0,05450 0,15565 0,21799 0,62263 0,87238 2,49170 Bài báo 0,05448 0,15538 0,21773 0,61841 0,86786 2,42510 Lanc cộng [17] 0,04674 0,13352 0,18698 0,53408 0,74829 2,13735 Bài báo 0,04673 0,13184 0,18676 0,53047 0,73170 2,08025 Lanc cộng [17] 0,04322 0,12346 0,17289 0,49384 0,69189 1,97629 Bài báo 0,04321 0,11758 0,17268 0,49050 0,68830 1,92350 Lanc cộng [17] 0,03899 0,11138 0,15598 0,44554 0,62423 1,78303 88 Bài báo 0,03903 0,11132 0,15598 0,44306 0,62173 1,73746 Bảng Lực ổn định (MN) dầm hộp loại C(1-2-1) p Nghiên cứu C-F x 0,2 0,5 10 Điều kiện biên S-S x y y C-C x y Lanc cộng [17] 0,06919 0,19551 0,27677 0,78207 1,10761 3,12980 Bài báo 0,06917 0,19516 0,25366 0,72883 1,10177 3,04559 Lanc cộng [17] 0,06349 0,17903 0,25398 0,71613 1,01639 2,86587 Bài báo 0,06347 0,17870 0,25366 0,71122 1,01102 2,78867 Lanc cộng [17] 0,05777 0,16251 0,23108 0,65007 0,92475 2,60152 Bài báo 0,05775 0,16222 0,23079 0,64560 0,91985 2,53133 Lanc cộng [17] 0,05201 0,14596 0,20803 0,58387 0,83253 2,33658 Bài báo 0,05199 0,14570 0,20778 0,57984 0,82810 2,27345 Lanc cộng [17] 0,04620 0,12936 0,18479 0,51747 0,73952 2,07086 Bài báo 0,04618 0,12913 0,18456 0,51389 0,73557 2,01481 Lanc cộng [17] 0,04031 0,11269 0,16126 0,45078 0,64536 1,80399 Bài báo 0,04030 0,11248 0,16106 0,44765 0,64191 1,75509 Lanc cộng [17] 0,03761 0,10508 0,15044 0,42034 0,60205 1,68216 Bài báo 0,03760 0,10489 0,15025 0,41742 0,59882 1,63654 89 1000 Lanc cộng [17] 0,03436 0,09601 0,13745 0,38407 0,55007 1,53702 Bài báo 0,03435 0,09584 0,13728 0,38140 0,54712 1,49532 b Khảo sát ảnh hưởng p, L/h đến lực tới hạn dầm Hình Biểu đồ mối liên hệ lực tới hạn số tỷ lệ thể tích p ( Loại A) Hình thể biến thiên lực tới hạn theo số tỷ lệ thể tích p dầm loại A với điều kiện biên khác Ta thấy rằng, p tăng lực tới hạn giảm Điều mơ-đun đàn hồi gốm lớn kim loại ( Ec  Em ) Khi p=0, vật liệu gốm nên độ cứng dầm lớn Khi p tăng tỷ lệ thể tích gốm giảm dần tỷ lệ thể tích kim loại tăng dần dẫn đến độ cứng tổng thể dầm giảm dần Mặt khác, với số tỷ lệ thể tích p, lực tới hạn lớn với điều kiện biên C-C nhỏ với điều kiện biên C-F 90 Hình Biểu đồ mối liên hệ lực dọc tới hạn số tỷ lệ thể tích p (Loại B, ĐKB C-F) Hình thể biến thiên lực tới hạn loại dầm B(1-1-1) (lớp gốm t ), B(1-22 1) (lớp gốm t ), B(2-2-1) (lớp gốm t ) theo số tỷ lệ thể tích p Có thể thấy rằng, p=0, dầm gốm nên lực tới hạn loại dầm Khi p tăng lực tới hạn giảm Với số tỷ lệ thể tích, ảnh hưởng chiều dày lớp gốm  2  t  t  t  nên dầm B(1-2-1) B(1-1-1) có có lực tới hạn lớn bé  4 91 Hình Biểu đồ mối liên hệ lực tới hạn số tỷ lệ thể tích p (Loại C, ĐKB C-C) Ở Hình thể biến thiên lực tới hạn loại dầm C(1-1-1) (lớp gốm 2-1) (lớp gốm t ), C(13 1 t ), C (2-2-1) (lớp gốm t ) theo số tỷ lệ thể tích p Khi p=0, lớp lõi FG gốm nên tỷ lệ lớp gốm dầm C(1-1-1), C(1-2-1) C (2-2-1) lần 3 t , t t , lực tới hạn dầm loại C(1-2-1) lớn  3  t  t  t  Khi p tăng hàm lượng gốm dầm giảm dần dẫn đến lực tới  5 lượt hạn giảm Có thể thấy rằng, p > lớp lõi FG dần chuyển sang pha kim loại, tỷ lệ lớp gốm dầm C(1-1-1), C(1-2-1), C (2-2-1) lúc 1 t , t , t Do đó, dầm C(1-1-1) có lực tới hạn lớn tỷ lệ gốm dầm lớn hai loại 1 1  dầm lại  t  t  t   3 92 Hình Biểu đồ thể ảnh hưởng độ mảnh đến lực tới hạn dầm Để khảo sát ảnh hưởng độ mảnh đến lực tới hạn dầm, xét dầm hộp FGM loại A với p =1, chiều dài L thay đổi theo tỷ lệ L/h, thơng số kích thước khác không thay đổi Lực tới hạn dầm với điều kiện biên C-F, S-S C-C thể Hình Ta thấy rằng, độ mảnh tăng lên lực tới hạn giảm Điều phù hợp độ cứng dầm giảm độ mảnh tăng a) N01 = 0,05162 MN b) N02 = 0,14532 MN c) N03 = 0,29075 MN Hình Dạng ổn định dầm loại A, ĐKB C-F Các dạng ổn định loại dầm A với điều kiện biên C-F thể Hình Các giá trị chuyển vị dọc trục, góc xoay xác định cách giải phương trình đặc trưng (22) tìm véc-tơ riêng với số tỷ lệ thể tích p=1; thơng số hình học đặc trưng vật liệu khác không thay đổi Dạng ổn định trục x thể Hình 7a Hình 7b trình bày dạng ổn định trục y Cuối cùng, Hình 7c dạng ổn định xoắn 93 Kết luận Bài báo sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc để phân tích ổn định dầm hộp sandwich FGM Phương pháp Ritz sử dụng với hàm xấp xỉ dạng mũ kết hợp với đa thức để xấp xỉ trường chuyển vị Thơng qua ví dụ số, tác giả rút kết luận sau: - Dầm C-C có lực tới hạn lớn dầm C-F có lực tới hạn bé - Chỉ số tỷ lệ thể tích tăng làm giảm độ cứng dầm nên dẫn đến lực tới hạn giảm - Độ mảnh tăng làm giảm lực tới hạn dầm - Lời giải Ritz với hàm xấp xỉ dạng mũ kết hợp với đa thức đơn giản hiệu phân tích ứng xử ổn định dầm hộp sandwich FGM Tài liệu tham khảo [1] Shigeyuki Somiya (2015) Handbook of Advanced Ceramics Composite Part B, 76: 273-285 [2] M.S.El-wazery, A.R.EL-Desouky (2015) A review on Functionally Graded Ceramic-Metal Materials Journal of Materials and Environmental Science, University of Mohammed Premier Oujda, 6(5): 1369-1376 [3] Bình, B V., (2009) Vật liệu chức tiềm ứng dụng Việt Nam Tạp Chí Khoa Học Cơng Nghệ Hàng Hải, 18: 58-63 [4] Long, N V., Tú, T M., & Quốc, T H.(2021) Phân tích đặc trưng dao động dầm FGM theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli tiếp cận giải tích Tạp Chí Khoa Học Cơng Nghệ Xây Dựng (KHCNXD) – ĐHXDHN , 15(3V): 1-15 [5] Liên, T., Khiêm, N., & Đức, N.(2017) Phân tích dao động cưỡng dầm Timoshenko vật liệu FGM có nhiều vết nứt Tạp Chí Khoa Học Công Nghệ Xây Dựng (KHCNXD) – ĐHXDHN, 11(3):10-19 [6] Bích Phượng, N., Tú, T., & Thu Hiền, P (2012) Tính tốn chịu uốn làm vật liệu có tính biến thiên Tạp Chí Khoa Học Cơng Nghệ Xây Dựng (KHCNXD) ĐHXDHN, 6(3), 18-26 [7] Long, N V., Tú, T M., & Trang, V T T (2021) Lời giải Navier phân tích ổn định dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM rỗng bão hòa chất lỏng đặt 94 đàn hồi Pasternak Tạp Chí Khoa Học Cơng Nghệ Xây Dựng (KHCNXD) ĐHXDHN, 15(5V), 1-14 [8] Vlasov (1961) Thin-walled elastic beams 2nd ed Israel Program for Scientific Translation [9] Gjelsvik A (1981) The theory of thin walled bars Krieger Pub Co [10] Bauld NR, Lih-Shyng T (1984) A Vlasov theory for fiber-reinforced beams with thin-walled open cross sections International Journal of Solids and Structures, Pergamon-Elsevier Science Ltd, 20(3): 277–297 [11] Pandey MD, Kabir MZ, Sherbourne AN (1995) Flexural-torsional stability of thinwalled Composite I-section beams Composite Engineering, Elsevier Sci Ltd, 5(3): 321– 342 [12] Lee J.(2005) Flexural analysis of thin-walled composite beams using sheardeformable beam theory Composite Structure, Elsevier Sci Ltd, 70(2): 212–222 [13] Vo TP, Lee J.(2008) Flexural–torsional behavior of thin-walled composite box beams using shear-deformable beam theory Engineering Structure, Elsevier Sci Ltd, 30(7): 1958–1968 [14] Nguyen T-T, Nam-II Kim, Lee J (2016) Analysis of thin-walled open-section beams with functionally graded materials Composite Structure, Elsevier Sci Ltd, 138: 75–83 [15] Nguyen T-T, Kim N-I, Lee J (2016) Free vibration of thin-walled functionally graded open section beams Composites Part B: Engineering, Elsevier Sci Ltd, 95: 105– 116 [16] Nguyen T-T, Thang PT, Lee J.(2017) Lateral buckling analysis of thin-walled functionally graded open-section beams Composite Structure, Elsevier Sci Ltd, 160: 952–963 95 [17] Domagoj Lanc, Thuc P.Vo, Goran Turkalj, Jaehong Lee (2015) Buckling analysis of thin-walled functionally graded sandwich box beams Thin-Walled Structures, Elsevier Sci Ltd , 86: 148-156 [18] Kim N-I, Lee J.(2017) Flexural-torsional analysis of functionally graded sandwich I-beams considering shear effects Composites Part B: Engineering, Elsevier Sci Ltd, 108: 436–450 [19] Kim N-I, Lee J (2017) Coupled vibration characteristics of shear flexible thinwalled functionally graded sandwich I-beams Composites Part B: Engineering, Elsevier Sci Ltd, 110: 229–47 [20] Kim N-I, Lee J (2018) Investigation of coupled instability for shear flexible FG sandwich I-beams subjected to variable axial force Acta Mechanica, Springer Wien, 229(1): 47–70 [21] Kim N-I, Lee J (2018) Nonlinear analysis of thin-walled Al/Al2O3 FG sandwich I-beams with nobo-symmetric cross-section European Journal of Mechanics A-Solids, Elsevier, 69: 55–70 [22] Kim, N I., & Lee, J (2017) Improved formulation for spatial free vibration of thinwalled Al/Al2O3 FG sandwich beams with non-symmetric open, single-and double-cell sections Composite Structures, Elsevier Sci Ltd, 178: 162-185 [23] Ziane, N., Meftah, S A., Belhadj, H A., & Tounsi, A (2013) Free vibration analysis of thin and thick-walled FGM box beams International Journal of Mechanical Sciences, Pergamon-Elsevier Science Ltd, 66: 273-282 [24] Nguyen N D, Nguyen T K, Vo T P, Nguyen T.N, Seunghye Lee (2019) Vibration and buckling behaviors of thin-walled composite and functionally graded sandwich Ibeams Composites Part B: Engineering 2019, Elsevier Sci Ltd, 166: 414-427 [25] Nguyen N D, Nguyen T K, Vo T P, & Nguyen, L B (2020) Bending, buckling and free vibration behaviors of thin-walled functionally graded sandwich and composite 96 channel-section beams Mechanics Based Design of Structures and Machines, Taylor & Francis Inc, 51(2): 932-960 [26] Krishnaiyengar Rajagopalan (2022) Torsion of Thin Walled Structures Springer Singapore [27] Lee J Center of gravity and shear center of thin-walled open-section composite Beams (2001) Composite Structures, Elsevier Sci Ltd, 52(2): 255–60 [28] Lee J Flexural analysis of thin-walled composite beams using shear - deformable beam theory (2005) Composite Structures, Elsevier Sci Ltd, 70(2): 212–22 [29] Salim HA, Davalos JF (2005) Torsion of Open and Closed Thin-Walled Laminated Composite Sections Journal of Composite Materials, Sage Publications Ltd, 39(6): 497524 [30] Nguyen T-K, Sab K, Bonnet G (2008) First-order shear deformation plate models for functionally graded materials Composite Structures, Elsevier Sci Ltd, 83(1):25–36 [31] Hutchinson J (2001) Shear coefficients for Timoshenko beam theory Journal of Applied Mechanics, The American Society of Mechanical Engineers, 68(1):87–92 Tác giả chịu trách nhiệm viết: Họ tên: Phạm Trung Hiếu Điện thoại: 0942233204 Email: trunghieusadec@gmail.com 97