Khóa luận tốt nghiệp đại học định lí ostrogradsky – gauss trong trƣờng vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ẠI Đ ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC H C Ọ GIẢI CÁC BÀI TỐN VẬT LÍ SƯ Chun ngành: Vật lí lí thuyết ẠM PH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC Đ ẠI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ C Ọ H SƯ Chun ngành: Vật lí lí thuyết PH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ẠM Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn đƣợc hoàn thành khoa Vật lí, ngành Sƣ phạm Vật lí – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội Với lịng biết ơn sâu sắc, tơi xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Thị Phƣơng Lan, ngƣời tận tình hƣớng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo tổ Vật lí lí thuyết – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, Thƣ viện trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tạo điều kiện cho cho thời gian học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ tơi ẠI Đ q trình học tập hồn thành cơng trình nghiên cứu Do điều kiện chủ quan khách quan chắn luận văn không SƯ Trân trọng cảm ơn! C thầy cô bạn Ọ H thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp PH Hà Nội, tháng… năm 2018 Tác giả ẠM Nguyễn Thị Anh LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan viết khóa luận “Định lí Ostrogradsky – Gauss trƣờng vector ứng dụng việc giải tốn vật lí” kết nghiên cứu cá nhân dƣới hƣớng dẫn Thạc sĩ Nguyễn Thị Phƣơng Lan Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng… năm 2018 Tác giả ẠI Đ Nguyễn Thị Anh C Ọ H SƯ ẠM PH DANH MỤC VIẾT TẮT Từ viết tắt Từ đầy đủ Rota Rotation Dive Divergence O–G Ostrogradsky – Gauss ẠI Đ C Ọ H SƯ ẠM PH DANH MỤC HÌNH Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt dƣới tác động từ trƣờng tạo thành từ phổ biểu đồ gió Hình 1.2: Điểm gốc Hình 1.3: Điểm uốn Hình 1.4: Hình dạng lịng chảo Hình 1.5: Hình ảnh của trƣờng lực f điểm (0,0); (1,1); (-1,2); (-2,-4); (4,4) Hình 1.6: Minh họa chiều dƣơng chu tuyến ẠI Đ Hình 1.7: Chu tuyến L mặt phẳng Oxy Hình 1.8: Đƣờng sức điện trƣờng H C Hình 1.10: Ống dịng Ọ Hình 1.9: Đƣờng dịng dịng nƣớc SƯ Hình 1.8: Mặt S vector vi phân diện tích d S  ndS ẠM PH Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu CHƢƠNG I: TRƢỜNG VECTOR 1.1 Trƣờng vector 1.1.1 Khái niệm trƣờng vector 1.1.2 Ví dụ cụ thể trƣờng vector 1.2 Rotation 1.3 Đƣờng dòng 11 Đ ẠI 1.3.1 Trƣờng vận tốc 11 1.3.2 Đƣờng dòng 12 H Ọ 1.4 Thông lƣợng Divergence trƣờng vector 15 C 1.4.1 Thông lƣợng trƣờng vector 15 SƯ 1.4.2 Divergence trƣờng vector 16 PH 1.4.3 Ý nghĩa divergence 19 CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƢỜNG ẠM VECTOR 20 2.1 Đinh lí Ostrogradsky- Gauss 20 2.2 Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trƣờng 21 2.3 Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trƣờng 26 Chƣơng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trƣờng vector vào giải toán vật lí 30 3.1 Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho tốn đối xứng trụ 32 3.2 Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng cầu 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài tập vật lí có vai trị quan trọng nhận thức phát triển tƣ cho ngƣời học Nó giúp cho ngƣời học đào sâu mở rộng kiến thức học, từ hình thành kĩ kĩ xảo để giải lạo tập Vì việc đƣa dạng phƣơng pháp giải chung cho dạng cần thiết Vật lí lí thuyết mơn khoa học nghiên cứu vấn đề nhƣ học lí thuyết, điện động lực học, vật lí thống kê, học lƣợng tử Là môn ẠI Đ chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lí Dựa tảng mơ hình vật lí , nhà khoa học vật lí xây dựng thuyết vật lí Thuyết vật lí Ọ H hiểu biết tổng quát ngƣời lĩnh vực, phạm vi C vật lí định Dựa mơ hình vật lí tƣởng tƣợng, nhà vật lí lí SƯ thuyết phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy luận toán học đề PH hệ thống quy tắc, định luật, nguyên lí vật lí dùng làm sở để giải thích tƣợng, kiện vật lí để tạo khả tìm hiểu, ẠM khám phá, tác động hiệu vào đời sống thực tiễn Sau tìm hiểu mơn tơi biết số ngun lí đặc trƣng có định lí Ostrogradsky – Gauss trƣờng vector định lí quan trọng Tơi nhận thấy phần khó phải biết đƣợc chất vật lí phƣơng pháp tốn học ( giải tích vector hay tính loại tích phân, ) kiến thức tốn học cịn hạn chế Do việc giải toán vật lí gặp nhiều khó khăn Chính lí nên tơi chọn đề tài:“ Định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector ứng dụng việc giải tốn vật lí ” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trƣờng vector Tìm hiểu định lí Ostrogradsky- Gauss trƣờng vector ( điện trƣờng từ trƣờng) Phƣơng pháp giải số tốn vật lí Đối tƣợng nghiên cứu Trƣờng vector Định lí Ostrogradsky – Gauss trƣờng vector (điện trƣờng từ trƣờng) Một số tốn vật lí Nhiệm vụ nghiên cứu ẠI Đ Nghiên cứu trƣờng vector Nghiên cứu định lí Otragradsky – Gauss trƣờng vector (điện Ọ H trƣờng từ trƣờng) C Nghiên cứu số phƣơng pháp giải tốn vật lí SƯ Phƣơng pháp nghiên cứu PH Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo Thống kê, lập luận, diễn giải ẠM 6.Cấu trúc đề tài Chƣơng 1.Trƣờng véc tơ 1.1 Khái niệm trƣờng véc tơ 1.2 Rotation 1.3 Đƣờng dịng 1.4 Thơng lƣợng Divergence trƣờng vector Chƣơng Định lí Ostrogradsky – Gauss trƣờng vector 2.1 Định lí Ostrogradsky – Gauss 2.2 Định lí Ostrogradsky – Gauss điện trƣờng 2.3 Định lí Ostrogradsky – Gauss từ trƣờng Chƣơng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trƣờng vector vào giải tốn vật lí 3.1 Dạng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng trụ 3.2 Dạng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho tốn đối xứng cầu 3.3 Dạng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng phẳng ẠI Đ C Ọ H SƯ ẠM PH Điện thông qua hai mặt đáy hình trụ vector cƣờng độ điện trƣờng song song với đáy Điện phân toàn phần qua mặt Gauss điện thơng qua mặt bên hình trụ  Điện tích bên mặt Gauss điện tích đoạn dây nằm hai đáy hình trụ: q =l Do cƣờng độ điện trƣờng cách trục dây khoảng r có độ lớn:  ẠI Đ C Ọ H SƯ Hình 3.2 ẠM PH BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Hình bên cho thấy đoạn hai ống trụ dài đồng trục với bán kính a b ( a R Bài Hình dƣới thể mặt cắt vng góc hai dịng điện phẳng song song dài vô hạn ngƣợc chiều Khoảng cách hai dòng điện AB = 38 10 cm Cƣờng độ dòng điện lần lƣợt I1 = 20A, I2 = 30A Xác đinh vector cƣờng độ từ trƣờng tổng hợp hai điểm M1, M2, M3 Biết M1A = 2cm, M2A = 4cm, BM3 =3cm (Hai dòng điện đặt khơng khí) Bài Ngƣời ta đặt hiệu điện U = 450V hai hình trụ dài đồng trục kim loại mỏng bán kính r1 =3cm, r2 = 10 cm Tính Điện tích đơn vị dài hình trụ b Mật độ điện mặt hình trụ c Cƣờng độ điện trƣờng điểm gần sát mặt trong, mặt ngoài, ẠI Đ a C Ọ H (trung điểm) mặt mặt SƯ PH Bài Tính cƣờng độ điện trƣờng hình trụ đặc, bán kính R dài vơ ẠM hạn tích điện với mật độ điện khối điểm cách trục đoạn r Bài 10 Hai dây dẫn dài song song xun qua vng góc với mặt phẳng hình vẽ Khoảng cách hai dây 32cm, khoảng cách từ dòng điện I1 đến điểm M 8cm, khoảng cách từ dòng điện I2 đến N 8cm Dịng điện I2 có chiều nhƣ hình vẽ có cƣờng độ 5A a Hỏi dịng I1 phải có chiều nhƣ có cƣờng độ 39 để cảm ứng từ N 0? b Xác định vector cảm ứng từ điểm M trƣờng hợp dòng điện I1 vừa tìm đƣợc Bài 11 Giữa hai dây dẫn hình trụ song song cách khoảng l = 15 cm Ngƣời ta dặt hiệu điện U = 1500V Bán kính dây r = 0.1 cm Hãy xác định cƣờng độ điện trƣờng trung điểm khoảng cách hai sợi dây Biết sợi dây đặt khơng khí 3.2 Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng Đ ẠI cầu H Cũng tƣơng tự nhƣ tốn đối xứng trụ tốn đối xứng cầu C Ọ ta giải tƣơng tự Đầu tiên ta chọn mặt Gauss cho phù hợp, SƯ ta thƣờng nên chọn mặt Gauss mặt cầu đồng tâm Tiếp ta áp dụng công thức liên quan để giải toán Xác định cƣờng độ điện trƣờng E điện tích cầu ẠM mật độ điện khối PH Ví dụ 3: Quả cầu tích điện đều: Một cầu bán kính R tích điện với gây điểm bên bên cầu Biết số điện môi Giải: Xét tọa độ cầu, gốc O trùng tâm cầu bán kính R divE  E   { sin  ( r E )  r ( E sin  )  r } r  r sin  r   Do điện tích phân bố mặt cầu với mật độ vào r hay E  E( r ) nên divE    { sin (r Er )}= (r Er ) r sin  r r r 40 nên E phụ thuộc Mặt khác theo định lí O – G ta có: divD       divE   D   E   Bên cầu ta có điện trƣờng:     ( r E )   ( r E ) r T T r r  r   r ET  1 1 C r  C  ET  r 3 3 r Do tính chất đối xứng điện tích quanh gốc O nên điện trƣờng r = phải 0, ET ( r 0)  C  Từ ta có : 1 r 3 ẠI Đ ET  E phụ thuộc vào r , E có phƣơng H C Ọ trƣờng cầu dƣới dạng vector là: E T  1 r 3 SƯ  Bên cầu r nên ta có cƣờng độ điện PH Chọn mặt Gauss S2 mặt tròn đồng tâm cách tâm khoảng r ẠM Do D phƣơng với vector pháp tuyến mặt Gauss nên D xác định hay D = const Áp dụng định lí O – G cho mặt Gauss ta có:  Dd S  q    dV  D  dS    dV V  D 4 r    R 3 đó: r bán kính mặt Gauss, R bán kính cầu D  3r R3 41 D   R3 R  EN  r mà D   E  EN    3 r 3. r Ở cầu, cƣờng độ điện trƣờng giảm dần, tỉ lệ nghịch với bình phƣơng khoảng cách đến tâm cầu Kết cho thấy điện trƣờng bên cầu tích điện có tính chất giống nhƣ điện trƣờng điện tích điểm đặt tâm cầu Đ ẠI Ví dụ 4: Tìm cƣờng độ điên trƣờng gây điểm cách tâm mặt Giải: SƯ cầu đoạn r C điện mặt Ọ H mặt cầu bán kính R tích điện đều, mật độ PH Vì lí đối xứng nên vector cƣờng độ điện trƣờng điểm khác ẠM có phƣơng qua tâm Tại điểm cách mặt cầu có độ lớn cƣờng độ điện trƣờng Chọn mặt Gauss mặt cầu đồng tâm với mặt cầu tích điện Khi xét vi phân diện tích dS: d  EndSE  EdS cos  EdS Vậy mặt kín ta có: 42    d   EdS  E 4 r n Theo định lí O-G:   E 4 r  q i i 1 o  Nếu r < R: q = E =  Nếu r>=R : R 2 q  4 R   E  r 0 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho cầu tích điện với mật độ điện khối bán kính a Tính hiệu điện hai điểm cách tâm lần lƣợt a/2 a ẠI Đ Chú ý: Các công thức cần nhớ  Điện trƣờng điểm nằm mặt cầu tích điện khối H C Ọ  Mối liên hệ điện cƣờng độ điện trƣờng SƯ Bài Hai mặt cầu đồng tâm tích điện có bán kính 10cm 15cm Điện a ẠM điện trƣờng ở: PH tích mặt cầu 4.10-8C mặt cầu ngồi 2.10-8C Tìm r = 12cm b r = 20cm Bài Một vỏ cầu kim loại mỏng với bán kính a điện tích qa vỏ cầu kim loại khác tâm với vỏ cầu có bán kính b (b > a) tích điện qb Tìm điện trƣờng điểm r nằm dọc theo bán kính với a r