Tong hop ly thuyet non tru cau le minh tam

TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12 Mục lục  Chủ đề 01 KHỐI NĨN  Dạng 1.1 Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao  Dạng 1.2 Tính diện tích xung quanh – tồn phần – thể tích  Dạng 1.3 Thiết diện  Dạng 1.4 Nội – ngoại tiếp  Dạng 1.5 Min – max liên quan khối nón 11  Dạng 1.6 Bài toán thực tế 13  Chủ đề 02 KHỐI TRỤ  Dạng 2.1 Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao 18  Dạng 2.2 Tính diện tích xung quanh – tồn phần – thể tích 19  Dạng 2.3 Thiết diện 21  Dạng 2.4 Nội – ngoại tiếp 24  Dạng 2.5 Min – max liên quan khối trụ 26  Dạng 2.6 Bài toán thực tế 29  Chủ đề 03 KHỐI CẦU  Dạng 3.1 Tính bán kính khối cầu 39  Dạng 3.2 Tính diện tích mặt cầu – thể tích khối cầu 40  Dạng 3.3 Thiết diện 42  Dạng 3.5 Nội – ngoại tiếp 44  Dạng 3.6 Min – max liên quan khối nón 47 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 KHỐI TRỊN XOAY KHỐI NĨN A LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa  Trong mặt phẳng  P  :  Cho đường thẳng d , góc với    cắt O chúng tạo thành  90  Quay P xung quanh trục với góc khơng thay đổi gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O   Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón gọi trục,   Đường thẳng   Đường thẳng d gọi đường sinh,   Góc gọi góc đỉnh Hình nón trịn xoay  Cho OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón)   Đường thẳng OI gọi trục,   O đỉnh,   OI gọi đường cao,   OM gọi đường sinh hình nón   Hình trịn tâm I , bán kính R  IM đáy hình nón Diện tích – Thể tích  Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy r đường sinh ℓ có: Sxq  r.l   Diện tích xung quanh:   Diện tích đáy (hình trịn): Sd  r   Diện tích tồn phần hình trịn: Stp  Sxq  Sd   Thể tích khối nón: 1 V  B.h  r h 3  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Tính chất Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng:  Đi qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra:  Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh →Thiết diện tam giác cân  Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh →Mặt phẳng tiếp diện mặt nón  Mặt phẳng cắt mặt nón tạo góc  Khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra:  Mặt phẳng cắt vng góc với trục hình nón →Giao tuyến đường trịn  Mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón →Giao tuyến đường parabol  Mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón →Giao tuyến nhánh hypebol  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Mối liên hệ thường gặp Công thức góc vng cịn lại h  C1   R  C2 l  c /huyen  Loại Nội dung Quay quanh cạnh huyền  tạo nón: + Nón (nón chứa C) + Nón (nón chứa B) c /huyen  h1  h2  1     2  R1 R2 C1 C2 l  C & l  C 2 1 Loại Trường hợp Quay quanh đường cao  Thiết diện qua trục tam giác  l h   l  R  Quay quanh cạnh  tạo nón  l1  l2  C  C   R1  R2    C  h1  h2   Loại Quay quanh cạnh góc vng C1 C cạnh VNG Loại ĐỀU Hình minh họa  h  R   2R  l VUÔNG Thiết diện Qua trục l  R   l h   ĐỀU + Vẽ trung điểm dây + Nối với tâm  kí hiệu vng góc + Xem giả thiết: Khơng qua trục     t /dien; d /cao    t /dien; m/day   d O; t /dien  d  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 B CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 1.1 Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao  Trường hợp đơn giản, áp dụng cơng thức có   Diện tích xung quanh: Sxq  r.l   Diện tích đáy (hình trịn): Sd  r   Diện tích tồn phần hình trịn: Stp  Sxq  Sd   Thể tích khối nón: 1 V  B.h  r h 3  Ví dụ 1.1.1 Cho tam giác ABC vuông A , AB  a AC  a Tính độ dài đường sinh hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB A a B a C 2a D 3a Lời giải Chọn C Hình nón có đỉnh B , Tâm đường trịn đáy A , Bán kính đáy AC  a , Chiều cao hình nón AB  a Vậy độ dài đường sinh là:  BC  AB2  AC  2a  Ví dụ 1.1.2 Cho hình nón có đường sinh d hình nón A d  2a  2a hợp với đáy góc B d  a  Lời giải C d  a  600 Tính đường kính D d  a Chọn A  SA   2a Ta có:   R  OA  SA.cos 600  a  d  2a  SAO  60  Ví dụ 1.1.3 Cho hình nón đỉnh S với đáy đường trịn tâm O bán kính R Gọi I điểm nằm mặt phẳng đáy cho OI  R Giả sử A điểm nằm đường tròn (O ; R) cho OA  OI Biết tam giác SAI vng cân S Tính đường cao hình nón A R B R C 2R D R  Lời giải Chọn B AOI có: IA2  OA2  OI  4R2  IA  2R IA 2R  R SAI vuông cân S :  SA  2 Xét Xét SOA ta có: SO  SA2  OA2  2R2  R2  R  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 1.2 Tính diện tích xung quanh – tồn phần – thể tích  Cho hình nón  H  có bán kính đáy r , chiều cao SO  h độ dài đường sinh l Ký hiệu Sxq , Stp diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón  H  , ta có   Diện tích xung quanh: Sxq  r.l   Diện tích đáy (hình trịn): Sd  r   Diện tích tồn phần hình trịn: Stp  Sxq  Sd   Thể tích khối nón: 1 V  B.h  r h 3  Lưu ý:  SAB tam giác cân đỉnh S gọi thiết diện qua trục khối nón  l  h2  r  Ví dụ 1.2.1 Cho hình nón có đường sinh l  , bán kính đáy r  Tính diện tích xung quanh hình nón A B 15 C 15 D Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh hình nón Sxq  rl  3.5  15  Ví dụ 1.2.2 Tính diện tích tồn phần hình nón có chiều cao a bán kính đáy a A a2 B 3 a C 32 a2 D a2 Lời giải Chọn D Ta có h  a , r  a  l  h2  r  3a2  a2  2a Vậy Stp  rl  r  a.2a  a2  a2  Ví dụ 1.2.3 Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a A a2 B a2 C a2 D a2 Lời giải Chọn B Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp trung điểm BC Ta có AO  2 a a AM    3 Sxq  OA.SA   Biên soạn: Gv Lê ABC M a a2 a  3 Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.2.4 Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a a2 A B a2 C 3a3 D a2 2 Lời giải Chọn C Ta có l  CB  2a , BCA  30 AB r Xét ABC : sin 30    r  l.sin 30  2a  a CB l cos 30  CA h   h  l.cos 30  2a a CB l Suy V   Ví dụ 1.2.5 2 r h a a  3 3a3 Cho khối nón có độ dài đường sinh 10 diện tích xung quanh 60 Tính thể tích khối nón cho A a2 B a2 C a2 D a2 Lời giải Chọn B Ta có: l  10 Sxq  60  rl  60  10 r  60  r  h  l  r  102  62  64  Do thể tích là: V   Ví dụ 1.2.6 r h 62.8  96 3 Cho khối nón có đường cao h  , khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh Thể tích khối nón cho 2000 2000 16 80 A B C D 27 3 Lời giải Chọn B Khối nón có h  SO  , d O, SA   OH  1   2 OH SO OA2 1 1 400       2  OA2  2 OA OH SO 5 2000 Thể tích khối nón: V  OA2 SO  27 Xét SAO :  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 1.3 Thiết diện  P  Mặt phẳng qua  trục, cắt khối chóp theo thiết diện SAB cân đỉnh S Mặt phẳng  P qua  đỉnh hình nón cắt mặt nón theo đường sinh ⇒ Thiết diện cân Mặt phẳng cắt vng góc với trục hình nón ⇒ Thiết diện đường trịn  Ví dụ 1.3.1 Cho hình nón trịn xoay có chiều cao h  20  cm  , bán kính đáy r  25  cm  Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12  cm  Tính diện tích thiết diện    A 500 cm   B cm  C 260 cm   D 350 cm Lời giải Chọn A Theo ta có AO  r  25; SO  h  20; OK  12 1  2  OI  15  cm  OK OI OS2 Lại có AB  AI  252  152  40  cm  ; SI  SO  OI  25  cm  S SAB    25.40  500 cm  Ví dụ 1.3.2 Cho khối nón có bán kính đáy 9cm , góc đường sinh mặt đáy 30 Tính diện tích thiết diện khối nón cắt mặt phẳng qua hai đường sinh vng góc với   A 12 cm    B 54 cm  C 20 cm   D 10 cm Lời giải Chọn B Mặt phẳng qua hai đường sinh vng góc SA AM cắt khối nón theo thiết diện SAM Góc đường sinh mặt đáy SAO  30 r 6 cos 30 Vì SA  AM nên SAM vng S Ta có SM  SA  Diện tích  Biên soạn: Gv Lê SAM là: S  SA.SM  54  cm  Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 1.4 Nội – ngoại tiếp  Bài tốn 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp  Loại 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác Khi hình nón có: + Đường sinh l cạnh bên hình chóp + Chiều cao h chiều cao hình chóp + Bán kính đáy r AB  Loại 2: Hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác Khi hình nón có: + Đường sinh l cạnh bên hình chóp + Chiều cao h chiều cao hình chóp + Bán kính đáy r AB 2  Bài toán 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp  Loại 1: Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác Khi hình nón có: + Đường sinh l SN + Chiều cao h chiều cao hình chóp + Bán kính đáy r  OM  AB  Loại 2: Hình nón nội tiếp hình chóp tứ giác Khi hình nón có: + Đường sinh l SN + Chiều cao h chiều cao hình chóp AB + Bán kính đáy r   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh còn lại góc vuông: Chóp S.ABC có SAC  SBC  900 Lúc đó, mặt cầu nội tiếp chóp có:  Tâm:  I trung điểm SC  Bán kính: SC  Bán kính: R   IA  IB  IC Chóp S.ABCD có SAC  SBC  SDC  900 Lúc đó, mặt cầu nội tiếp chóp có:  Tâm:  I trung điểm SC  Bán kính: SC  Bán kính: R   IA  IB  IC  ID Hình chóp đều: Cho hình chóp S.ABC  Tâm:  Gọi O tâm đáy  SO trục đáy  Trong SAO  , ta vẽ đường trung trực cạnh SA  SA  M  I tâm mặt cầu  SO  I SM SI  SO SA SM.SA SA   IA  IB   Bán kính: R  IS  SO 2SO Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA   ABC  đáy ABC nội tiếp  Bán kính: SMI SOA  đường tròn tâm O  Tâm:  Từ tâm O ngoại tiếp đường trịnđáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với  ABC  O  Trong  d ; SA  , dựng đường trung trực cạnh SA  SA  M  I tâm mặt cầu d  I  Bán kính:  Ta có: MIOA hình chữ nhật  Xét  Biên soạn: Gv Lê  SA  MAI vng M có: R  AI  MI  MA  AO      Minh Tâm - 093.337.6281 2 Trang 35 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAB   ABC  đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O  Tâm:  Từ tâm O ngoại tiếp đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với  ABC  O  Trong  d ; SH  , dựng đường trung trực cạnh SH  SH  M  I tâm mặt cầu d  I  Bán kính: SMI vng M có: R  SI  SM  MI  Rb2  HO   Xét 2  Rb  HO 1  AHO vng H có: HO  AO  AH  R   AB  2   Rd  AB  Xét 2 d   AB   Từ   &   R  R  R      b 2 d Hình chóp khác:  Tâm: đáy  Dựng trục  Dựng mặt phẳng trung trực   I I   cạnh bên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  I tâm mặt cầu  Bán kính:  khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 36 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 10.Tổng hợp công thức đặc biệt khối tròn xoay: Chỏm cầu: r Sxq  Rh   h2   h h V  h R   h  3r 3   h  r R Hình trụ cụt: Sxq  R  h1  h2  h h  V  R2     h2 h1 R Hình nêm loại 1: V R tan Hình nêm loại 2:  2 V     R3 tan  3 Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay: Sparabol  Rh R R h 1 V R2 h  Vtru 2 Diện tích Elip Thể tích khối trịn xoay sinh Elip: S  a.b b Vxoayquanh 2b  ab Vxoay quanh a  ab2 a a b Diện tích Elip Thể tích khối trịn xoay sinh Elip: S R  r2  R r Diện tích Elip Thể tích khối trịn xoay sinh Elip: V 2  Biên soạn: Gv Lê  R  r  R  r        Minh Tâm - 093.337.6281 r R Trang 37 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 11 Tổng hợp tính bán kính mặt cầu: Nội dung Đáy Loại Cạnh bên SA   day  ABC vuông B ABC vuông C Loại Chóp Cơng thức Rmc  Rd2  h2 SC SB R SA R 2.SO R Loại Mặt bên vuông góc với đáy R  Rb2  Rd2  AB2 Loại Ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đáy nội tiếp đường tròn Rmc  Rd2  h2 Loại Ngoại tiếp khối hộp chữ nhật dài; rộng; cao a ; b ; c R Loại Nội tiếp hình lập phương cạnh a R  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 a2  b2  c 2 a Trang 38 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 B CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 3.1 Tính bán kính khối cầu  Trường hợp đơn giản, áp dụng cơng thức có  Diện tích mặt cầu:  Thể tích khối cầu: VC  SC  R2  Ví dụ 3.1.1 Tính bán kính khối cầu tích 36   A cm    cm  ?  B cm R  C cm D  cm  Lời giải Chọn B V  Ví dụ 3.1.2 4 R  36  R  R   cm  3 Mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2, 3, có bán kính: A B C 49 D Lời giải Chọn A Mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật có bán kính R  22  32  62  2  Ví dụ 3.1.3 Nếu tăng diện tích hình trịn lớn hình cầu lên lần bán kính khối cầu tăng lên lần? A B C D 16 Lời giải Chọn B Gọi R bán kính khối cầu lúc đầu, R ' bán kính khối cầu sau tăng Theo đề ta có: R '2 =4 R2  R '  2R  Ví dụ 3.1.4 Cho mặt cầu  S  tâm O điểm A , B , C nằm mặt cầu  S  cho AB  , AC  , BC  khoảng cách từ O đến  ABC  Bán kính khối cầu  S  A 29 B C 29 D Lời giải Chọn A Ta có AB2  AC  25  BC  ABC vng A Gọi H hình chiếu O  ABC   H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Vì ABC vng A nên H trung điểm BC Vì khoảng cách từ O đến  ABC  nên OH  OHB : OB  OH  BH   Biên soạn: Gv Lê 29 29  R  OB  2 Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 39 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.2 Tính diện tích mặt cầu – thể tích khối cầu  Trường hợp đơn giản, áp dụng cơng thức có   Diện tích mặt cầu: SC  R2   Thể tích khối cầu: VC   Ví dụ 3.2.1 R  cm  Diện tích mặt cầu bao nhiêu? C 36  cm  D 27  cm   Cho khối cầu  S  tích 36 A 16  cm  B 18  cm 2 Lời giải Chọn C Ta có: V   Ví dụ 3.2.2 R  36  R3  27  R   S  R2  36 Cho mặt cầu  S1  bán kính R1 , mặt cầu  S2  bán kính R2 Biết R2  R1 , tính tỉ số diện tích mặt cầu  S2  mặt cầu  S1  A B C D Lời giải Chọn C S1  R12  R2  S2 R2 Ta có: R2  2R1 ;     R1 S2  R2   S1 R1  Ví dụ 3.2.3 Khinh khí cầu Montgolfier nhà phát minh khinh khí cầu dùng khí nóng Coi khinh khí cầu mặt cầu có đường kính 11m thể tích khinh khí cầu bao nhiêu? (lấy A 380, 29 22 làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ 2) B 697 ,19 C 190,14 D 95, 07 Lời giải  Chọn B Bán kính khí cầu R   Ví dụ 3.2.3   11 m  V  R  697.19 m  Một bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích 128 m3  Tính diện tích xung quanh bồn chứa nước bồn chứa nước  theo đơn vị m A 48 B 18 C 36 D 27 Lời giải Chọn A  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 40 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Gọi 4x  m  đường sinh hình trụ Khi đường trịn đáy hình trụ mặt cầu có bán kính x  m  Thể tích bồn chứa nước thể tích khối trụ có bán kính đáy R  x đường sinh l  h  4x thể tích khối cầu có bán kính R  x  128   128   x  2m  x   m    x x  x   Do đó:  x x  x3    3     4x Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:   2.x.4 x  48 m   Ví dụ 3.2.4 Cho đường trịn tâm O có đường kính AB  2a nằm mặt phẳng  P  Gọi I điểm đối xứng với O qua A Lấy điểm S cho SI   P  SI  2a Tính diện tích mặt cầu qua đường tròn cho điểm S 65 a 65 a A S  65 a2 B S  C S  Lời giải D S  65 a 16 Chọn B SI   SAB    SAB    P  Nhận xét:  SI   P  Mặt khác: SAB  chứa đường kính đường tròn tâm O Nên SAB  cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn lớn qua ba điểm S , A , B Do tâm mặt cầu tâm đường trịn ngoại tiếp x S K R x R H A R x a I SAB O B y P Gọi mặt cầu tâm H qua đường tròn tâm O điểm S Khi ta có tứ giác HOIS hình thang vng O I Ta có SI  OI  2a  2OA Gọi R  HA  HS  HB bán kính mặt cầu cần tìm  HA  HO  OA2  x  a2  Kẻ HK  SI  K  SI  , đặt HO  x  KI  x      HS  HK  SK   2a  x   4a 2 7a Vì HA  HS nên  2a  x   4a2  x  a2  x  65 a  7a  a 65 S  R  HA   a  Suy Vậy   4    Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 41 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.3 Thiết diện  Cho mặt cầu S O; R   P  Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến  P  H hình chiếu O  P   d  OH  Nếu d  R   P   S O; R  Nếu d  R   P  không  Nếu d  R   P  có cắt mặt cầu S O; R  theo giao tuyến đường tròn  P  tâm H , bán kính điểm chung Ta nói mặt cầu S O; R  tiếp xúc  P  r  HM  R2  d2  R2  OH   Do đó, điều kiện cần đủ để  P  tiếp xúc với mặt cầu S O; R  d O ,  P   R  Ví dụ 3.3.1 Cho hình cầu đường kính a Mặt phẳng  P  cắt hình cầu theo thiết diện hình trịn có bán kính a Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến  P  A C a B 10a 10a D a 10 Lời giải Chọn A Bán kính hình cầu cho R  2a Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng  P  d  Ví dụ 3.3.2   2a    a  2 I R H  10a A P  Cho mặt cầu S O; R , A điểm mặt cầu  S   P  mặt phẳng qua   A cho OA;  P   60 Diện tích giao tuyến khối cầu  P  : R2 A B R2 R2 C D R2 Lời giải Chọn D Gọi H hình chiếu vng góc O  P  * H tâm đường trịn giao tuyến  P   S    * OA,  P   OA, AH   60 Đường trịn giao tuyến có: r  HA  OA.cos 60  R 2  2R  R2 Diện tích đường trịn giao tuyến: r          Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 42 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 3.3.3 Cho mặt cầu  S  có tâm O , bán kính R  Đường thẳng khoảng Mặt phẳng  P  thay đổi chứa cố định cách O cắt  S  theo giao tuyến đường tròn C  Tính bán kính nhỏ đường tròn C  B A 2 C D Lời giải Chọn A  OI  d O, Gọi I hcvg O     Ta có d O ,  P   OI  Gọi x bán kính C   x  R2  d O,  P     x min d  O ,  P     d O ,  P   OI   max   d O,  P   max   Khi d O ,  P   OI   x  R2  OI  2 Vậy bán kính đường trịn C  nhỏ 2  Ví dụ 3.3.4 Cho mặt cầu S O; R   P  cách O khoảng h   h  R  Gọi  L  đường tròn giao tuyến mặt cầu  S   P  có bán kính r Lấy A điểm cố định thuộc  L  Một góc vuông xAy  P  quay quanh điểm A Các cạnh Ax , Ay cắt  L  C D Đường thẳng qua A vng góc với  P  cắt mặt cầu B Tính diện tích lớn A BCD 2r r  4h B r r  4h 2 2 C r  4h 2 D 2r r  h Lời giải Chọn B Đường thẳng qua A vng góc  P  cắt mặt cầu B  B   L đáy mặt trụ nội tiếp  S   AB  2h Gọi H hình chiếu A lên CD Ta có: AH  AO1  r , với O1 tâm đường tròn  L  Xét ABH , A  90  BH  AB2  AH  S BCD   2h   r  4h  r 1 BH.CD  4h2  r 2r  r r  4h2 2 Vậy diện tích  Biên soạn: Gv Lê BCD lớn r r  4h2 Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 43 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.5 Nội – ngoại tiếp  Tóm tắt dạng bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Nội dung Rmc  Đáy Loại Cạnh bên SA   day  Công thức Rd2 h2  SC SB R SA R 2.SO R ABC vuông B ABC vng C Loại Chóp Loại Mặt bên vng góc với đáy R  Rb2  Rd2  AB2 Loại Ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đáy nội tiếp đường tròn Rmc  Rd2  h2 Loại Ngoại tiếp khối hộp chữ nhật dài; rộng; cao a ; b ; c R Loại Nội tiếp hình lập phương cạnh a R  Ví dụ 3.5.1 a2  b2  c 2 a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với độ dài đường chéo 2a , cạnh SA có độ dài 2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ? A a B 2a C a D a 10 Lời giải Chọn A Gọi I trung điểm SC , vuông cạnh huyền SC SAC , SBC , SCD Nên S , A , B , C , D nằm mặt cầu đường kính SC có tâm I , Các a 1 Bán kính R  SC  SA2  AC  2a2  4a2  2 2  Ví dụ 3.5.2 Cho hình chóp S.ABC , SA   ABC  ABC vuông A , SA  BC  2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A a C a B a D a 10 Lời giải Chọn C  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 44 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Gọi M trung điểm BC Gọi d đường thẳng qua M vng góc  ABC  ABC 1 Khi đó, d trục đường tròn ngoại tiếp Gọi N trung điểm SA , qua N song song với AM Dựng d  I Khi đó, NI đường trung trực đoạn SA   Từ 1    IA  IB  IC  ID hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC SA2 BC  a 4  R  IA  NA2  AM   Ví dụ 3.5.3 Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC , biết cạnh đáy có độ dài a , cạnh bên SA  a A a B 6a C a D a 10 Lời giải Chọn B Gọi H trung điểm SA Trong SAO  kẻ d qua H d  SA cắt d  SO  I Khi IS  IA  IB  IC Ta có AM  Do SHI a a 6a ; AO  ; SO  SA2  OA2  3 SOA : SI SH SH.SA 6a    SI  SA SO SO  Ví dụ 3.5.4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  a , AD  a AC A  45 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật A a3 B a3 C a3 D 16 a3 Lời giải Chọn C Gọi I giao điểm AC AC Khi I trung điểm AC I tâm khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD AC Ta có: AC  a2  3a2  2a  AC   2a cos 45 AC R a 2 Vậy thể tích khối cầu là: V   Biên soạn: Gv Lê 4 R  3 Minh Tâm - 093.337.6281 a  a3  A D a a B C I A' D' 45° B' C' Trang 45 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 3.5.5 Cho hình lập phương có cạnh Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương A B C D Lời giải Chọn C Gọi R bán kính mặt cầu Ta có R   1 AC  AA2  AC 2 AA2  AB2  BC  2 Diện tích mặt cầu S  R2   Ví dụ 3.5.6 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  BC  3a , SAB  SCB  90 Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) a Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 3 A 72 18 a3 B 18 18 a C 18 a D 24 18 a3 Lời giải Chọn D Gọi I , H trung điểm cạnh SB AC Ta có SAB, SCB vuông A C  IA  IB  IC  IS  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ABC vng B  H tâm đường tròn ngoại tiếp  IH   ABC  Ta có: ABC    AC   d H , SBC  a    d  H ,  SBC   HC d A ,  SBC  Gọi K trung điểm BC  HK  BC  HK / / AB, AB  BC    Lại có: BC  IH IH   ABC   BC   IHK  Mặt khác: BC  SBC   SBC    IHK  theo giao tuyến IK   Trong  IHK  , gọi HP  IK  HP  SBC  P  HP  d H ;  SBC   a 1 1      HI  3a 2 2 HP HI HK HI AB 4 Xét IHB : IB  IH  HB2  3a  R Vậy V  R  24 18 a3 Xét IHK :  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 46 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.6 Min – max liên quan khối nón  Xây dựng cơng thức cần tìm – max  Dùng cách để tìm – max Dạng a BĐT Bunyakovsky    b2 c  d   ac  bd   a22   an2 b12  b22   bn2   a1b1  a2b2   anbn  a   ab  ab a1  a2   an n  a1 a2 an  n  1 n BĐT AM – GM Khảo sát hàm số khoảng xác định Dấu “=” xảy a b  c d a a1 a2    n b1 b2 bn ab a1  a2   an Tính đạo hàm lập BBT, từ kết luận theo yêu cầu toán   AB.AC.sin AB; AC Khi đó, để SABC  max SABC  Đánh giá lượng giác        sin AB; AC   sin AB; AC   AB; AC  900  AB  AC   max  Ví dụ 3.6.1 Hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính R  a cho trước A 64 a3 27 B 32 a3 81 C 32 a3 27 D 64 a3 81 Lời giải Chọn C Bán kính đáy hình nón x , Chiều cao hình nón y   x  R,  y  2R  SS ' đường kính mặt cầu ngồi tiếp hình nón Thì ta có x2  y  2R  y  Gọi V1 thể tích khối nón ta có: V1   x y y.y  2R  y  3  4R  2y  y.y   R  y  y  y  32 R3    6 81  Vậy thể tích V1 đạt giá trị lớn  4R  y  y  y  32 R3 32 a3  81 27 R 2a 4R  R  8R 4R R   , từ x  hay x      3  Ví dụ 3.6.2 Cho mặt cầu có bán kính R , hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Thể tích nhỏ khối chóp A 3R  Biên soạn: Gv Lê B 3R Minh Tâm - 093.337.6281 C 3R D 16 3R3 Trang 47 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Lời giải Chọn C Tâm mặt cầu I  SH ( SH  ( ABC ) H ) Đặt AB  a,SH  h Do mặt cầu R tiếp xúc với mặt nên IH  IJ  R  SI  h  R Ta có SHM SJI SI IJ    SM HM hR 2Ra2 h  a  12R2 a   a h2       R 1 2Ra2 a2 R a4 VS.ABC  SH.SABC   3 a  12R2 a2  12R2 a4 Xét hàm f  a   R 3;  a  12R2 a  2a5  48R2 a3 Ta có f   a      a2  12R2  a  2R       Suy fmin  f R  48R Vậy Vmin  8R3  Ví dụ 3.6.3 Cho mặt cầu  S  có bán kính R   cm  Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến đường trịn C  có chu vi cho A , B , C  cm  Bốn điểm A , B , C , D thay đổi thuộc đường tròn C  , D  S   D   C   ABC tam giác Tính thể tích lớn tứ diện ABCD A 32 B C 18 D 12 Lời giải Chọn A Gọi I tâm mặt cầu  S  H hình chiếu I  P   H tâm đường tròn C  trọng tâm Đường tròn C  có chu vi Và ABC  r   IH  ABC nội tiếp đường trịn C  nên có cạnh có diện tích khơng đổi Do thể tích tứ diện ABCD lớn  khoảng cách từ D đến  ABC  lớn  H , I , D thẳng hàng Khi DH    1  32 Vậy Vmax  DH.SABC  3 Hết  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 48