1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA 2022 2023 ☼ BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giảng viên hướng dẫn Đặng Văn Vinh Sinh viên thực hiện Nhóm 12 Lớp L04 Thành phố Hồ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA 2022-2023 ···☼··· BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giảng viên hướng dẫn: Đặng Văn Vinh Sinh viên thực hiện:Nhóm 12 Lớp: L04 Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 THÀNH VIÊN NHÓM 12 LỚP: L04 Tên thành viên MSSV Lê Nguyên Khôi 2211681 Nguyễn Thị Ngọc Tuyền 2213829 Nguyễn Thị Ngọc Hân 2210944 Hồ Trung Tài 2212969 Phan Trần Thế Huy 2211259 Email khoi.lenguyen2910@hcmut.edu.vn tuyen.nguyentuyen2501@hcmut.edu.vn han.nguyenhan@hcmut.edu.vn tai.hodtbk22@hcmut.edu.vn huy.phantgk@hcmut.edu.vn Đề tài: MỤC LỤC Nêu sở lí thuyết phương CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ pháp SOR ( successive over- THUYẾT relaxation) dể giải hệ phương 1.1 Lời mở đầu: .4 trình tuyến tính 1.2 Giới thiệu phương pháp SOR: Nêu điều kiện hội tụ phương pháp 1.3 Khái niệm: .5 Viết chương trình sử dụng thuật 1.4 Cơng thức: .5 tốn successive over-relaxation 1.5 Ví dụ: để giải hệ CHƯƠNG II ĐIỀU KIỆN HỘI Nêu ứng dụng vào TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP toán thực tế 2.1 Giới thiệu: 2.2 Phương pháp SOR: .7 2.3 Ma trận đối xứng : 2.4 Ma trận không đối xứng: .10 2.5 Kết luận 11 CHƯƠNG III CHƯƠNG TRÌNH THUẬT TỐN 13 CHƯƠNG IV ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 14 CHƯƠNG V THAM KHẢO 15 CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Lời mở đầu: Đại số tun tính nhánh tốn học liên quan đến phương trình tuyến tính, ánh xạ tuyến tính biểu diễn chúng khơng gian vectơ hay thông qua ma trận Đại số tuyên tính sử dụng nhiều tốn học, đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích để giải tốn phép quay khơng gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm hệ phương trình vi phân, tìm đường trịn qua ba điểm Nó có vơ vàng ứng dụng khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ ) khoa học xã hội (kinh tế ), mơ hình phi tuyến tính hay gặp tự nhiên xã hội thường xấp xỉ mơ hình tuyến tính Với đa dạng ứng dụng Đại số tuyến tính thực tiễn việc am hiểu hệ trẻ môn học cần thiết 1.2 Giới thiệu phương pháp SOR: Phép giãn liên tiếp (SOR) phương pháp quan trọng để giải phương trình hệ tuyến tính lớn Nó có ý nghĩa vơ quan trọng ứng dụng như: động lực học chất lỏng, lập trình tốn học, đàn hồi tuyến tính máy học,… Các ví dụ ứng dụng SOR Động lực học bao gồm nghiên cứu dẫn nhiệt ổn định, dòng chảy rối, dòng chảy lớp biên dịng chảy phản ứng hóa học Vì lý này, phương pháp SOR quan trọng nhà nghiên cứu nhà hoạch định sách kinh doanh Trong thực tế, nói đến việc giải hệ phương trình việc tìm cho phương pháp xác với kết gần điều vô thời gian Và lúc phương pháp thư giãn mức liên tiếp (SOR) phát huy tác dụng Tiêu chuẩn công nghiệp để tìm phương pháp xác, loại bỏ Gaussian phương pháp SOR cho giá trị gần cho giá trị gần nhanh nhiều so với phương pháp loại bỏ Gaussian SOR phát triển vào năm 1950 David Young H Frankel vào năm 1950 phát triển để sử dụng máy tính kỹ thuật số 1.3 Khái niệm: Phương pháp giãn mức liên tiếp (SOR) biến thể phương pháp GaussSeidel để giải hệ phương trình tuyến tính, dẫn đến hội tụ nhanh hơn, với phép phân tách A=D+L+U D ma trận đường chéo, L U ma trận tam giác Đối với ma trận vng , bắt buộc phải trội theo đường chéo đối xứng xác định dương phương pháp Gauss-Seidel Đối với hệ thống mức xác định, tự động chuyển thành phương trình bình thường 1.4 Cơng thức: + Cho hệ phương trình vng n phương trình tuyến tính với ẩn số x: Ax = b Sau đó, A phân tách thành thành phần đường chéo D thành phần tam giác nghiêm ngặt L U : A=D+L+U Hệ phương trình tuyến tính cịn viết lại sau: (𝐷+𝜔𝐿)𝑥=𝜔𝑏−[𝜔𝑈+(𝜔−1)𝐷]𝑥 số 𝜔>1, gọi hệ sô hồi phục + Phương pháp giãn mức liên tiếp kỹ thuật lặp giải phía bên trái biểu thức cho x, sử dụng giá trị trước cho x phía bên tay phải Điều viết lại: x(k+1) = (D + 𝜔𝐿)-1 (𝜔𝑏 – [𝜔𝑈 + (𝜔 − 1)𝐷]𝑥 (𝑘) ) = 𝐿𝜔 𝑥 (𝑘) + c đâu x(k) xấp xỉ lần lặp thứ k x x(k + 1) lần lặp k +1 x Tuy nhiên, cách tận dụng tam giác (D + 𝜔𝐿), phần tử x(k + 1) tính cách thay thuận: xi (k+1) = (1 - 𝜔)xi(k) + 𝜔 𝑎𝑖𝑖 ( bi - ∑ 𝑗𝑖 với i = 1,2,3,…,n 1.5 Ví dụ: Giải hệ phương trình: 27𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 = 85 {6𝑥 + 15𝑦 − 2𝑧 = 72 𝑥 + 𝑦 + 54𝑧 = 110 Chính xác đến số thập phân với 𝜔 = 1,25 + Phương trình xấp xỉ: xk+1 = (1 - 𝜔)𝑥 𝑘 + 𝜔 27 yk+1 = (1 − 𝜔) 𝑦 𝑘 + z k + = (1 − 𝜔 ) 𝑧 𝑘 + (85 − 6𝑦 𝑘 + 𝑧 𝑘 ) 𝜔 15 𝜔 54 (72 − 6𝑥 𝑘+1 + 2𝑧 𝑘+1 ) (110 − 𝑥 𝑘+1 − 𝑦 𝑘+1 ) với 𝜔 = 1,25 xk + = −0,25𝑥 𝑘 + 0,046 (85 − 6𝑦 𝑘 + 𝑧 𝑘 ) yk + = −0,25𝑦 𝑘 + 0,083 (72 − 6𝑥 𝑘+1 + 2𝑧 𝑘 ) zk + = −0,25𝑧 𝑘 + 0,023 (110 − 𝑥 𝑘+1 − 𝑦 𝑘+1 ) 𝑥 = 2,288 Cho k bắt đầu chạy từ => {𝑦 = 4,122 𝑧 = 1,906 (𝑘) 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ) CHƯƠNG II ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP 2.1 Giới thiệu: Kết tập hợp n phương trình tuyến tính đồng thời, 𝑀𝑥 = 𝑐 (1.1) Trong M ma trận khơng suy biến M c thực Để đơn giản hóa đại số, thuận tiện ta xét hệ 𝐴𝑥 = 𝑏 (1.2) Trong đó: 𝐴 = 𝐷𝑀, 𝑏 = 𝐷𝐶 + D ma trận đường chéo chọn cho phần tử đường chéo A Khi 𝐴 biểu diễn dạng tổng ba ma trận 𝐴 =𝐼+𝐿+𝑈 (1.4) Trong 𝐼 ma trận đơn vị 𝐿, 𝑈 ma trận tam giác Loại quy trình lặp xem xét gọi phương pháp Gauss-Seidel ngoại suy, phương pháp giãn mức liên tiếp (SOR) Tiêu chí hội tụ thiết lập cho phương pháp Ostrowski cho trường hợp M đối xứng Bài viết suy điều kiện đủ để phương pháp hội tụ áp dụng cho tốn liên quan đến ma trận khơng đối xứng 2.2 Phương pháp SOR: Gọi 𝑥𝑖+1 𝑥𝑖 nghiệm gần liên tiếp phương trình 𝐴𝑥 = 𝑏 Phương pháp SOR xác định bằng: (2.1) 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝜔[(I + U)𝑥𝑖 + Lxi+1 − b] Loại bỏ U phương trình phép từ phương trình (1.4) ta được: (2.2) (𝐼 + 𝜔L)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ) = −𝜔(A𝑥𝑖 − b) Bây 𝜖𝑖 dư tương ứng với nghiệm gần 𝑥𝑖 xác định bởi: 𝜖𝑖 = A𝑥𝑖 − b => 𝜖𝑖+1 = A𝑥𝑖+1 − 𝑏 𝐴−1 (𝜖𝑖+1 − 𝜖𝑖 ) = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 Phương trình (2.2) trở thành: (𝐼 + 𝜔L) 𝐴−1 (𝜖𝑖+1 − 𝜖𝑖 ) = −𝜔𝜖𝑖 Đưa liên hệ lặp lại: (2.3) 𝜖𝑖+1 = [𝐼 − 𝜔𝐴(𝐼 + 𝜔𝐿)−1 ] 𝜖𝑖 Phương trình có dạng: (2.4) 𝜖𝑖+1 = (𝐼 − 𝐵)𝜖𝑖 điều kiện đủ cho hội tụ trình thuộc loại rút Định lý Một điều kiện đủ cho hội tụ trình vectơ dư tn theo phương trình 𝜖𝑖+1 = (𝐼 − 𝐵)𝜖𝑖 tồn ma trận S G cho 𝑆 > 𝐺 = 𝐵𝑇 𝑆 + 𝑆𝐵 − 𝐵𝑇 𝑆𝐵 > (Ký hiệu 𝑆 > có nghĩa 𝑆 đối xứng xác định dương, số T biểu thị phép chuyển vị.) Chứng minh Đặt 𝑓𝑖 = 𝜖𝑖𝑇 𝑆𝜖𝑖 Theo giả thuyết, 𝑆 > 0, 𝑓𝑖 > với 𝜖𝑖 ≠ Suy ra, 𝑓𝑖 → 𝑖 → ∞ điều kiện cần đủ để hội tụ Ta có: 𝑇 𝑓𝑖+1 = 𝜖𝑖+1 𝑆𝜖𝑖+1 = 𝜖𝑖𝑇 (𝐼 − 𝐵𝑇 )𝑆(𝐼 − 𝐵)𝜖𝑖 =𝜖𝑖𝑇 (𝑆 − 𝐺) 𝜖𝑖 Đặt 𝜙𝑖 = 𝜖𝑖𝑇 𝐺𝜖𝑖 Suy ra, 𝑓𝑖+1 = 𝑓𝑖 − 𝜙𝑖 Điều kiện đủ để 𝑓𝑖 có xu hướng tiến tới i tăng tồn số dương k cho (2.5) 𝜙𝑖 ≧ 𝑘𝑓𝑖 từ 𝑓𝑖+1 ≦ (1 − 𝑘) 𝑓𝑖 dãy 𝑓𝑖 hội tụ Vì 𝑆 > 0, tất giá trị riêng thực dương, giá trị lớn 𝜆𝑚𝑎𝑥 (2.6) 𝑓𝑖 ≦ 𝜆𝑚𝑎𝑥 𝜖𝑖𝑇 𝜖𝑖 Vì 𝑆 = 𝑆 𝑇 , ma trận 𝐺 đối xứng giá trị riêng thực Biểu thị nhỏ 𝜇𝑚𝑖𝑛 Thì 𝜙𝑖 ≧ 𝜇𝑚𝑖𝑛 𝜖𝑖𝑇 𝜖𝑖 Suy từ phương trình 𝜇min 𝜙𝑖 ≧ 𝑓 𝜆𝑚𝑎𝑥 𝑖 Nếu 𝐺 > 0, 𝜇min > phương trình thỏa mãn Điều chứng minh cho định lý Hệ Nếu 𝑆 > 𝐺 ≦ 0, tức 𝐺 ma trận nửa xác định âm q trình khơng hội tụ Nếu 𝐺 ≦ 0, 𝜙𝑖 ≦ 𝑓𝑖+1 ≧ 𝑓𝑖 Do 𝑓𝑖 khơng giảm 0, hệ chứng minh Định lý áp dụng cho phương pháp SOR Vì từ phương trình (2.3), 𝐵 = 𝜔𝐴(𝐼 + 𝜔𝐿)−1 , điều kiện đủ để SOR hội tụ tồn ma trận S 𝑆 > cho 𝜔(𝐼 + 𝜔𝐿𝑇 )−1 𝐴𝑇 𝑆 + 𝜔𝑆𝐴(𝐼 + 𝜔𝐿)−1 (2.7) −𝜔2 (𝐼 + 𝜔𝐿𝑇 )−1 𝐴𝑇 𝑆𝐴(𝐼 + 𝜔𝐿)−1 > Điều kiện đơn giản hóa cách sử dụng bổ đề sau • Bổ đề Điều kiện cần đủ để P > 𝑄𝑇 𝑃𝑄 > 𝑄 ma trận khơng suy biến Chứng minh Cho 𝑄𝑥 = 𝑧 Khi 𝑥 𝑇 𝑄𝑇 𝑃𝑄𝑥 = 𝑧 𝑇 𝑃𝑧 Nhưng 𝑄 ma trận khơng suy biến, nên với 𝑥 khác tồn 𝑧 khác khơng ngược lại Bổ đề tn theo Vì (𝐼 + 𝜔𝐿) ma trận không suy biến nên điều kiện đủ (2.7) biến đổi bổ đề thành (2.8) 𝜔[𝐴𝑇 𝑆(𝐼 + 𝜔𝐿) + (𝐼 + 𝜔𝐿𝑇 )𝑆𝐴 − 𝜔𝐴𝑇 𝑆𝐴] > 2.3 Ma trận đối xứng : Giả sử 𝑀 ma trận đối xứng Đặt 𝑆 = 𝐷 −1 𝑀−1 𝐷 −1 Điều kiện (2.8) trở thành (3.1) 𝜔[𝐷 −1 (𝐼 + 𝜔𝐿) + (𝐼 + 𝜔𝐿𝑇 )𝐷 −1 − 𝜔𝑀] > Từ phương trình (1.3), (1.4) phép đối xứng giả định ma trận 𝑀 , ta 𝑀 = 𝐷 −1 (𝐼 + 𝐿 + 𝑈) = (𝐼 + 𝐿𝑇 + 𝑈 𝑇 )𝐷 −1 Cân vùng tam giác hai biểu diễn ma trận 𝑀 ta (3.2) 𝐷 −1 𝑈 = 𝐿𝑇 𝐷 −1 Do phương trình (3.1) rút gọn thành (3.3) 𝜔(2 − 𝜔)𝐷 −1 > Do SOR hội tụ, 𝑀 > < 𝜔 < Tuy nhiên, 𝜔 < 𝜔 < ma trận 𝐺 trở thành xác định âm, đó, theo hệ định lý 1, SOR không hội tụ 𝜔 nằm phạm vi → 2.4 Ma trận khơng đối xứng: Lấy 𝑆 phương trình (2.8) ma trận (𝐴𝑇 )−1 𝐴−1 Vì 𝐴 ma trận không suy biến nên 𝐴 tự động thỏa mãn điều kiện đối xứng xác định dương Điều kiện để hội tụ trở thành 𝜔𝐴−1 (𝐼 + 𝜔𝐿) + 𝜔(𝐼 + 𝜔𝐿𝑇 )(𝐴𝑇 )−1 − 𝜔2 𝐼 > 𝐴 ma trận khơng suy biến nên bổ đề đưa 𝜔(𝐼 + 𝜔𝐿)𝐴𝑇 + 𝜔𝐴(𝐼 + 𝜔𝐿𝑇 ) − 𝜔2 𝐴𝐴𝑇 > Phân tích 𝐴 theo phương trình (1.4) rút gọn ta (4.1) 𝜔(𝐴 + 𝐴𝑇 ) − 𝜔2 [(𝐼 + 𝑈)(𝐼 + 𝑈 𝑇 ) − 𝐿𝐿𝑇 ] > Điều kiện thứ hai, tương tự điều kiện cho phương trình (4.1) suy cách đặt 𝑆 = 𝐼 vào phương trình (2.8) Ta 𝜔𝐴𝑇 (𝐼 + 𝜔𝐿) + 𝜔(𝐼 + 𝜔𝐿𝑇 )𝐴 − 𝜔2 𝐴𝑇 𝐴 > Rút gọn 𝐴 đơn giản hóa ta điều kiện đủ để hội tụ (4.2) 𝜔(𝐴 + 𝐴𝑇 ) − 𝜔2 [(𝐼 + 𝑈 𝑇 )(𝐼 + 𝑈) − 𝐿𝑇 𝐿] > Bây 𝐴 + 𝐴𝑇 > tìm 𝜔 dương cho điều kiện (4.1) và( 4.2) Định lý 2: Nếu 𝑃 > 𝑄 = 𝑄𝑇 tồn 𝜔 dương cho 𝑃 + 𝜔𝑄 > Chứng minh Đặt 𝑓1 = 𝑥 𝑇 𝑃𝑥 Vì 𝑃 > nên tất giá trị riêng thực dương Đặt giá trị nhỏ 𝜆𝑚𝑖𝑛 𝑓1 ≧ 𝜆𝑚𝑖𝑛 𝑥 𝑇 𝑥 Bây Q ma trận đối xứng, tất giá trị riêng thực Biểu thị giá trị đại số nhỏ 𝜇𝑚𝑖𝑛 Nếu 𝑓2 = 𝑥 𝑇 𝑄𝑥 𝑓2 ≧ 𝜇𝑚𝑖𝑛 𝑥 𝑇 𝑥 𝑓 = 𝑥 𝑇 (𝑃 + 𝜔𝑄 )𝑥 ≧ (𝜆𝑚𝑖𝑛 + 𝜔𝜇𝑚𝑖𝑛 )𝑥 𝑇 𝑥 Bây xem xét hai trường hợp (a) 𝜇𝑚𝑖𝑛 ≧ Trong trường hợp 𝑓 > với 𝜔 ≧ 10 𝜇𝑚𝑖𝑛 = −|𝜇𝑚𝑖𝑛 | < (b) 𝑓 > (𝜆𝑚𝑖𝑛 − 𝜔|𝜇𝑚𝑖𝑛 |)𝑥 𝑇 𝑥 𝑓 > 𝑣ớ𝑖 𝜔 < 𝜆𝑚𝑖𝑛 𝑣à 𝑥 ≠ |𝜇𝑚𝑖𝑛 | Điều chứng minh Định lý Một điều kiện đủ để hội tụ suy từ phương trình (4.2) Định nghĩa ma trận 𝑃 𝑄 theo 𝑃 = (𝐼 + 𝐿𝑇 )(𝐼 + 𝐿) − 𝑈 𝑇 𝑈 𝑄 = (𝐼 + 𝑈 𝑇 )(𝐼 + 𝑈) − 𝐿𝑇 𝐿 𝑃 + 𝑄 = 𝐴 + 𝐴𝑇 Phương trình (4.2) trở thành 𝜔2 𝑃 − 𝜔(𝜔 − 1)𝑄 > (4.3) Do SOR hội tụ 𝜔 = 𝑃 > Một điều kiện tương tự rút từ phương trình (4.1) theo cách tương tự 2.5 Kết luận Định lý điều kiện (4.1) (4.2) thỏa mãn 𝐴 + 𝐴𝑇 xác định dương giá trị dương đủ nhỏ 𝜔 sử dụng Bây giờ, ma trận 𝐴 biểu diễn dạng tổng thành phần đối xứng phản đối xứng, ma trận 𝐴 + 𝐴𝑇 đơn gấp đơi thành phần đối xứng Do đó, ma trận phân rã theo cách thành phần đối xứng xác định dương, ln tìm 𝜔 cho phép giãn mức liên tiếp (SOR), phép giãn mức liên tiếp, hội tụ Đây rõ ràng dạng tổng quát định lý Ostrowski, mà rút gọn trường hợp giới hạn thành phần phản đối xứng không Điều kiện (4.3) suy từ phương trình, khác đặc điểm Nó SOR hội tụ với 𝜔 = (5.1) (𝐼 + 𝐿𝑇 )(𝐼 + 𝐿) − 𝑈 𝑇 𝑈 > Điều dẫn đến kết luận ma trận tồn yếu tố quan trọng đảm bảo hội tụ phương pháp nới lỏng mức liên tiếp (SOR) "thống trị tam giác thấp (lower triangular dominence)" Trong trường hợp giới hạn U trở 11 thành 0, (5.1), 𝜔 lấy giá trị phương trình giải bước Việc điều kiện 𝑃 > 𝐴 + 𝐴𝑇 > khơng tương đương minh họa rõ ví dụ (5.2) 𝐴=[ −2 ] Trong trường hợp này, 𝐴 phản đối xứng mạnh thành phần đối xứng xác định dương 𝑃 Q khơng có tính chất Sự nới lỏng liên tiếp (successive relaxation) dẫn đến nghiệm 𝜔 đủ nhỏ, ví dụ, (5.3) 𝐴= [ ] Ở 𝐴 chiếm ưu tam giác thấp (lower-triangularly dominant) 𝑃 xác định dương, 𝐴 + 𝐴𝑇 𝑄 khơng Sự hội tụ đảm bảo cho 𝜔 = Cần nhấn mạnh điều kiện (4.1), (4.2) (4.3) đủ để hội tụ chúng không cần thiết Đặc biệt, giá trị lớn 𝜔 mà (4.1) (4.2) bị vượt q mà khơng cần phân kỳ q trình (process diverging) Tuy nhiên, chúng tồn rõ hai loại ma trận không đối xứng mà SOR hội tụ với điều kiện giá trị phù hợp 𝜔 chọn 12 CHƯƠNG III CHƯƠNG TRÌNH THUẬT TỐN 13 CHƯƠNG IV ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ - Dẫn nhiệt ổn định: Dẫn nhiệt dạng truyền nhiệt từ vùng có nhiệt độ cao đến vùng có nhiệt độ thấp truyền động va chạm phân tử nguyên tử chất nhiệt độ khác Áp dụng phương pháp sor vào phương trình nhiệt kết hợp với matlab, giải toán cách nhanh hơn, tiện hiệu cao - Dòng chảy rối: Đối với dòng chảy qua đập tràn cơng trình thủy lợi, dịng chảy thường có tính nhớt độ rối tương đối cao Việc mơ dịng chảy qua đập tràn trước phương pháp số thường áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn với tính chất chất lỏng khơng nhớt, dịng khơng xốy… Với phát triển máy tính phát triển nghiên cứu mơ hình dịng chảy rối, việc mơ dịng chảy qua đập tràn nói riêng dịng chảy tự nói chung mơ hình tốn có bước phát triển đáng kể phương pháp SOR vào việc mơ tính tốn dịng chảy tự qua đập tràn mặt cắt WES -Dịng chảy lớp biên: Vật thể có cấu trúc hình nón trịn xoay thường gặp thiết bị bay máy bay, tên lửa có ưu điểm khí động lực học tốc độ âm Vì ứng dụng quan trọng lý thuyết lớp biên cho vật thể lĩnh vực chế tạo vũ khí đạn dược Lý thuyết lớp biên học chất lỏng có vị trí đặc biệt nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn Một kết bật lý thuyết lớp biên tồn nghiệm đồng dạng nhiều trường hợp mà trường hợp vật thể hình nón điển hình Đối với nghiệm đồng dạng hệ phương trình lớp biên cho trường hợp hai chiều dẫn đến phương trình vi phân thường Từ đó, phương pháp SOR nghiên cứu tính chất chung nghiệm tính tốn cách dễ dàng - SOR tốn bổ sung tuyến tính đối xứng chương trình bậc hai sử dụng để đào tạo máy vectơ hỗ trợ (SVM) để phân biệt phần tử hai liệu lớn, có hàng triệu điểm Bởi SOR xử lý điểm thời điểm, SOR xử lý liệu lớn khơng cần nằm nhớ Thuật tốn hội tụ tuyến tính đến giải pháp Các kết số đáng khích lệ trình bày liệu có tới 10 000 000 điểm Các vấn đề phân biệt đối xử lớn xử lý phương pháp lập trình tuyến tính bậc hai thông thường Đối với vấn đề nhỏ hơn, SOR xử lý nhanh 14 CHƯƠNG V THAM KHẢO http://pubs.sciepub.com/ajams/4/4/3/index.html?zarsrc=1303 &utm_source=zalo&utm_medium=zalo&utm_campaign=zal o&gidzl=oTO0OFdPgNxFpGLZiUWVSt52sVXdQ9yWfS9R-7BzYRRabek9pp8zx3NclkmVDvZPzUDcK2Efqh-jckVG https://en.m.wikipedia.org/wiki/Successive_over-relaxation https://ieeexplore.ieee.org/document/788643 15