Hh9 cđ1 hệ thức lượng trong tam giác vuông 2

BÀI 3: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC GÓC NHỌN A Kiến thức cần nhớ Các tỉ số lượng giác góc nhọn a (hình) B định nghĩa sau: Cạnh huyền Cạnh đối AB AC AB AC sin a = ;cosa = ;tan a = ;cot a = BC BC AC AB Các tính chất A α Cạnh kề C Cho    90 ta có: - < sin a < 1;0 < cosa < 1; - tan a > 0;cot a > 2 - sin   cos  1 -  cot 2  tan  - tan cot 1 sin 2 - sin cos -  tan 2  cot  cos 2 cos sin Hai góc phụ nhau: Với hai góc a, b mà a + b = 90 , ta có : sin a = cosb;cosa = sin b;tan a = cot b;cot a = tan b - Nếu hai góc nhọn a b có sin a = sin b cosa = cosb a = b Các lưu ý khác - Mở rộng : Góc 180  radian,   chu vi đường trịn chia đường kính đường trịn   - Góc 90  radian; Góc 60  radian a b c   2 R - Định lí hàm sin: Trong ABC nhọn ta có: SinA SinB SinC R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC 2 2 2 2 - Định lí hàm cos : b a  c  2ac.cosB; c a  b  2ab.cosC ; a b  c  2bc.cosA 1 SABC  a.b.sinC ;  b.c.sinA  a.c.sinB 2 - Diện tích ABC : Với số góc đặc biệt ta có: 1 cos300 = sin600 = ;cot 600 = tan300 = sin300 = cos600 = ;sin450 = cos450 = 2 tan450 = cot 450 = 1;cot 300 = tan600 = Bài 1: Tính giá trị biểu thức 2 2 a) A cos 18  cos 52  cos 38  cos 72 2 2 b) B Sin  Sin   Sin 87  Sin 89 0 0 c) C tan5 tan10 tan80 tan85 Lời giải a) A cos 2180  cos 520  cos 380  cos 720  cos 2180  cos 720    cos 520  cos 380   A 1  2 b) Nhận xét: Tổng B có 45 số hạng B cos 89  cos 87   cos 210  B  sin 210  cos 210    sin 890  cos 890  45  B  45 c) Tổng C có  80   :  17 thừa số C tan50.tan100 tan800.tan850  C  tan50.cot 50   tan850.cot850   C 1  C 1 Bài 2: a) Cho góc nhọn  Chứng minh rằng: b) Cho góc nhọn  có Sin   tan 2  1 ;1  cot 2  2 cos  sin  Hãy tính Cos ; tan ; cot Lời giải a) Ta có tan  sin sin 2  cos 2  sin    tan 2 1      cos cos  cos   cos  sin 2  cos 2  cos   cot   1  cot 1      sin  sin  sin   sin  b)    90   cos  1; tan  0; cot    16 sin 2  cos 2 1  cos 2 1  sin 2 1      cos  25  5 Do Cho ABC vuông A Bài 3: có B AB 6cm, tanB  12 Hãy tính độ dài cạnh tam giác đường cao AH H C A Lời giải Ta có tanB  AC 50   AC   cm  AB 12 13 BC   cm  Áp dụng định lí Pitago ta Lại có AH BC  AB AC  AH  AB AC 30   cm  BC 13 Bài 4: a) Chứng minh Sin150  6 C b) Tính Cos15 B 3a Lời giải 0   Dựng ABC vng A có B 30  C 60 Đặt AC a  BC 2a  AB  3a (theo pitago)  Kẻ đường phân giác BK  K  AC   ABK 15 AK Sin150 Sin ABK  BK Ta có Lại có AC AB AK    AK  KC AB  BC a Áp dụng định lí Pitago ta có: a K 2a 3a  BK   32 a 6.a   AK    2 1 2 3 2  1 A Từ  1    Sin150  6 2 ; Cos150   Sin 2150  4 Bài 5: Cho ABC có ba góc nhọn có đường A cao AH , BK , CE Chứng minh rằng: H M S HKE 1  Cos A  Cos B  Cos 2C S ABC K N B C Lời giải S AMN MH AN AM AN    MH / / BK  S BK AC AB AC ABC *) Cách 1: Ta có S AMN  AM AN SinA AM AH  AB AC S ABC  AB AC.SinA *) Cách 2: Ta có S AKE AE AK AE AK   CosA.CosA Cos A Áp dụng ta có: S ABC AB AC AC AB S S BHE Cos B; CHK Cos 2C S ABC Tương tự ta có: S ABC  S HKE S ABC  S AEK  S BHE  SCHK  1  Cos A  Cos B  Cos 2C S ABC S ABC Bài 6:  Cho ABC có B 60 Chứng minh rằng: 2 A AC  AB  BC  AB AC A B B C H Lời giải Ta xét trường hợp: - TH1: Tam giác ABC tam giác nhọn tam giác vuông Kẻ đường cao AH ABC , ta có H nằm B C H C Trường hợp ABC có góc vng, giả sử vng C  600  BH  AB ; AH  AB B 2 AHB vng H có Ta có 2 AC  AH  HC  AH   BC  BH  2 AB   2  AB   BC    AB  BC  AB.AC   - TH2: Tam giác ABC tam giác tù  Khơng tính tổng qt, giả sử C  90 Chứng minh tương tự (lưu ý: HC HB  BC ) Bài 7: Chu Văn An Hà nội – Amsterdam 2005 Cho ABC vuông A, có AB  AC A   trung tuyến AM có ACB  ; AMB  Chứng minh rằng:  Sin  cos  1  Sin B H M C Lời giải Ta có  sin  cos  sin 2  cos 2  2sin cos 1  2sin cos 1  2 AB AC  AH BC   Sin  cos  1  Mà 1  AB AC BC BC AB AC AH BC AH AB 1  1  1  BC BC BC BC BC BC AH 1  sin  AM đpcm Bài 8: Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao A AD BE Gọi H trực tâm tam giác E ABC Gọi a , b , c độ dài cạnh G H BC , CA , AB tam giác ABC a) Chứng minh b) Chứng minh rằng: tanB.tanC  DH DA  AD HD B BC Lời giải K D C tanB  a) Ta có AD AD , tanC  BD DC điều phải chứng minh tanB.tanC  AD AD   AD.HD BD.DC BD.DC HD     +) Ta có AHG DHC  BAD HCD  BAD#HCD  gg   BD AD   BD.CD  AD.HD HD CD (đpcm)  a b  ab     b) Ta chứng minh 2  a  b  0  a b     ab  Xét hiệu   Dấu ‘”=” xảy  a b BC  BD  DC  DH DA BD.CD    BD CD    Áp dụng ta có:  ABC cân A (đường cao trùng đường trung tuyến) Bài 9: Cho ABC có a, b, c độ dài A cạnh BC , CA, AB Chứng minh rằng: a) b) Sin A a  b c Sin A B C Sin Sin  2 H B D C Lời giải a) Dựng phân giác AD Từ B hạ BH  AD  sin A BH  AB BD DC BD  DC BD a ac      BD  c bc b c Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: AB AC AB  AC Vậy Sin A BH BD a    c c b c b) Chứng minh tương tự ta có: Sin B b C c  ; Sin  a c a b  Sin A B C abc Sin Sin  2  a  b  b  c  c  a Ta chứng minh abc   a  b  b  c  c  a  a  b 2 ab  b  c 2 bc   a  b   b  c   c  a  8abc  c  a 2 ca Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  Dấu “=” xảy  a b c Bài 10:  Cho ABC có A 60 Chứng minh A 1   AB AC AD B D Lời giải S ABC  AB AC.sinA Nhắc lại: Ta có 3 S ABC  AB AC  AB AC 2 Áp dụng ta có: 1 S ABD  AB AD.Sin A1  AB AD; S ACD  AC AD Vậy  S ABC S ABD  S ACD  3 AB  AC AB AC  AD  AB  AC    4 AB AC 1  AB AC (đpcm) Bài 11: C   Cho ABC có A 90 , ABC 15 Chứng C H minh BC 4 AB AC M B A Lời giải Gọi M trung điểm BC  MA MB MC Hạ AH  BC  AB AC 4 AH BC   Ta có AMB cân M , MBA 15  AMC 30 AMH 30  AH  AM  BC Tam giác vng AHM vng H , có Vậy AB AC 4 AH BC BC (đpcm) Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao AD A BE cắt H Biết HD : HA 1: , E chứng minh tanB.tanC 3 H B Lời giải Ta có Lại có tanB  AD AD AD ; tan C   tanB tanC   1 BD CD BD.CD BDH #ADC  gg   Từ (1)(2) suy DH BD   BD.DC DH AD   DC AD tan B.tan C  AD AD  DH AD DH  3 HD HD HD       AD 3HD AD Theo giả thiết AH AH  HD  Thay (3) vào ta tan B.tan C  3HD 3 DH Bài 13: D C Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S , A đường cao AH h Cho biết S h Chứng minh cotB  cotC 2 c B b y H C Lời giải S  BC AH h  BC 2h Ta có Lại có cotB  BH CH BH CH BC 2h ;cotC   cotB  cotC     2 AH AH AH AH h h (đpcm) Bài 14:    90 Cho góc xOy có số đo   x Trên tia phân giác góc lấy H M điểm A cố định Qua A vẽ đường t thẳng thay đổi cắt Ox, Oy y 1  M N Chứng minh OM ON O có giá trị không đổi Lời giải Vẽ AH  Ox, AK  Oy  AH  AK d 1 S AOM  OM AH  OM d 2 Vì A cố định nên d khơng đổi Ta có: 1 S AON  ON AK  ON d 2 SOMN  OM ON sin  Vì  S AOM  S AON SOMN  1 d  OM  ON   OM ON sin  2 OM  ON sin  1 sin      OM ON d OM ON d (không đổi) Bài 15: K N Cho tam giác ABC vuông A, AH  BC , HF  AC  H  BC , E  AB, F  AC  A F Chứng minh rằng: E a) AE AB  AF AC ; BH BC.cos B B H AB BE  b) AC CF 3 2 c) BC  CF  BE d) Cho BC 2a Điểm A thay đổi cho giả thiết Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác AEHF Lời giải a) Ta có AHB vng H , có HE  AB  AH  AB AE  1 Tương tự ta có AH  AC AF   Từ (1)(2) suy AB AE  AC AF +) BH  AB.cos B; AB BC.cos B  BH BC.cos B b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AB BC.BH ; AC BC.CH ; BH  AB.BE; CH  AC.CF  AB BH AB BH AB.BE AB BE       AC CH AC CH AC CF AC CF c) Ta có BE BH cos B; BH  AB.cos B; AB BC cos B 3 2 2 Do BE  AB.cos B BC.cos B  BE BC cos B  BE  BC cos B 3 2 Tương tự ta có: CF  BC sin B  BE  CF  BC  cos B  sin B   BC d) Tứ giác AEHF hình chữ nhật  S AEHF  AE AF Lại có Do AE  AH AH ; AF  AB AC S AEHF  AH AH AH AO3 a a      AB AC BC AH BC BC 2a với O trung điểm BC Dấu “=” xảy  H O  ABC vuông cân A 10 C minh tam giác ABC cân Lời giải  a) ABM vng A , có ABM 15 , theo chứng minh ta có: BC 4 AB AC  AB AC  BC BM  BM 4 1 S ABC  AB AC  BM  BM 2S ABC 2.16 32  BM 4 2 Do BM 4 b) Cách 1: Kẻ BD  AC , DP  AB   Tam giác ABD vuông D có BAD 75 nên ABD 15 , theo chứng minh 1b) ta có C DP  AB 1 CH  AB  DP  CH 2 Theo giả thiết ta có D Lại có DP / / CH  DP đường trung bình tam giác A P H B ACH , hay D trung điểm AC C Vậy tam giác ABC cân B Cách 2: Qua C kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt AB B ' Tam giác CAB ' vuông C A H  ' 15  CH  AB B 1 CH  AB  AB  AB 2 Theo giả thiết, ta có hay B trung điểm AB ' Từ suy BC BA Vậy tam giác ABC cân B Bài 3: 20 B B'