Giáo trình cơ học lượng tử

Lê Đình-Trần Cơng Phong GIÁO TRÌNH H P CƠ HỌC LƯỢNG TỬ U H TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ Huế, tháng năm 2011 Lời nói đầu Cơ học lượng tử môn mở đầu vật lý lượng tử Đối tượng nghiên cứu rộng rãi, từ hạt sơ cấp đơn giản electron, proton đến hệ vi mô phức tạp nguyên tử, phân tử Phạm vi nghiên cứu học lượng tử cịn mở rộng tính đến hiệu ứng tương đối tính hạt chuyển động với vận tốc lớn Như vậy, việc nghiên cứu học lượng tử thiếu nghiên cứu vật lý mà nói riêng sinh viên ngành vật lý Theo tài liệu hành, có nhiều cách khác việc trình bày nội dung học lượng tử Vấn đề tùy thuộc vào ý đồ tác giả Mỗi cách có ưu, nhược điểm riêng phụ thuộc vào kiến thức toán học hỗ trợ tương ứng Giáo trình tổ chức thành 09 chương, bao gồm: -Chương chương trình bày sở vật lý toán học dẫn đến việc hình thành xây dựng mơn học lượng tử Các tiên đề học lượng tử trình bày chương Phương trình học lượng tử (phương trình Schrodinger) đưa vào chương 4, khảo sát phần phụ thuộc thời gian phần không phụ thuộc thời gian Một số toán đơn giản có tính kinh điển học lượng tử khảo sát chi tiết chương Chương khảo sát biến thiên đại lượng động lực theo thời gian, từ phân tích liên quan tính đối xứng khơng-thời gian định luật bảo tồn - Chương trình bày việc ứng dụng học lượng tử để giải tốn chuyển động trường xun tâm, khảo sát chi tiết lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro Chương trình bày khái niệm biểu diễn để làm sở cho chương đề cập đến H P H U ii Lời nói đầu khái niệm spin hệ hạt đồng nguyên lý loại trừ Pauli Chương trình bày đại cương lý thuyết nhiễu loạn để làm sở cho phép tính gần sau Để thuận tiện cho sinh viên học tập, cuối chương tập áp dụng với hướng dẫn ngắn gọn cách giải Giáo trình biên soạn chủ yếu dựa giảng tác giả qua nhiều năm giảng dạy mơn có tham khảo nhiều tài liệu có liên quan ngồi nước Trong q trình biên soạn chúng tơi cố gắng trình bày chương mục cách ngắn gọn dễ hiểu, sử dụng công cụ tốn học cần thiết để giảm biết khó khăn cho sinh viên, đồng thời để nêu bật khái niệm vật lý Tác giả mong góp ý xây dựng để tập tài liệu ngày hoàn thiện Huế, tháng năm 2011 Nhóm tác giả H P H U Mục lục Lời nói đầu Mục lục H P Cơ sở vật lý học lượng tử Các đặc điểm vật lý học cổ điển Tính chất hạt xạ 2.1 Bức xạ nhiệt vật đen tuyệt đối 2.2 Định luật Stefan-Boltzmann 2.3 Định luật Rayleigh-Jeans khủng hoảng miền tử 2.4 Thuyết lượng tử lượng Planck Thuyết lượng tử ánh sáng Einstein 3.1 Hiệu ứng quang điện 3.2 Các định luật quang điện 3.3 Thuyết lượng tử ánh sáng Einstein Hiệu ứng Compton Giả thuyết De Broglie - Tính chất sóng hạt vật chất 5.1 Lưỡng tính sóng hạt ánh sáng 5.2 Giả thuyết De Broglie sóng vật chất 5.3 Thí nghiệm kiểm chứng giả thuyết De Broglie Hàm sóng hạt vi mơ - Ý nghĩa thống kê hàm sóng 6.1 Hàm sóng hạt tự 6.2 Ý nghĩa thống kê hàm sóng 6.3 Sự chuẩn hóa hàm sóng 6.4 Điều kiện tiêu chuẩn hàm sóng Bó sóng 7.1 Bó sóng định xứ 7.2 Bó sóng hệ thức bất định 7.3 Chuyển động bó sóng Tóm tắt Chương Bài tập Chương iii H U ngoại i iii 1 4 10 10 11 12 14 17 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 25 28 31 32 iv MỤC LỤC Cơ sở toán học học lượng tử Xác suất trị trung bình 1.1 Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.2 Đại lượng ngẫu nhiên 1.3 Trị trung bình phép đo đại lượng ngẫu nhiên 1.4 Độ lệch khỏi trị trung bình 1.5 Trị trung bình bình phương độ lệch Không gian Hilbert 2.1 Khơng gian tuyến tính 2.2 Không gian Hilbert 2.3 Ký hiệu Dirac 2.4 Một số tính chất tích vơ hướng 2.5 Chiều sở không gian Hilbert Toán tử học lượng tử 3.1 Khái niệm toán tử 3.2 Các phép toán toán tử 3.3 Hàm riêng trị riêng toán tử 3.4 Sự suy biến trị riêng 3.5 Tốn tử tuyến tính 3.6 Toán tử Hermite 3.7 Hàm toán tử 3.8 Toán tử nghịch đảo toán tử đơn nguyên 3.9 Các tính chất tốn tử Hermite 3.10 Điều kiện trực chuẩn hàm riêng 3.11 Toán tử chiếu Các toán tử học lượng tử 4.1 Toán tử tọa độ 4.2 Toán tử xung lượng 4.3 Toán tử lượng 4.4 Toán tử momen xung lượng 4.5 Hệ thức giao hoán toán tử Tóm tắt Chương Bài tập Chương H P U H Các tiên đề học lượng tử Mở đầu Tiên đề I: Trạng thái thông tin Tiên đề II: Các đại lượng động lực Tiên đề III: Tính chất thống kê lượng tử 36 36 36 37 38 39 39 40 40 41 41 42 44 46 46 46 47 49 49 49 53 54 54 56 57 58 58 59 61 62 65 65 66 72 72 73 74 75 MỤC LỤC v 4.1 Trường hợp đại lượng động lực có phổ trị riêng gián đoạn 4.2 Trường hợp đại lượng động lực có phổ trị riêng liên tục 4.3 Trị trung bình phép đo đại lượng động lực Sự đo đồng thời đại lượng động lực 5.1 Khái niệm hàm riêng chung 5.2 Điều kiện để hai đại lượng động lực đồng thời xác định Hệ thức bất định Heisenberg 6.1 Độ bất định phép đo đại lượng động lực 6.2 Hệ thức bất định phép đo hai đại lượng động lực 6.3 Hệ thức bất định toạ độ xung lượng Tóm tắt Chương Bài tập Chương H P Phương trình Schrodinder Mở đầu Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Mật độ dòng xác suất-Sự bảo toàn số hạt Phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian Các tính chất nghiệm phương trình Schrodinger dừng Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động chiều 6.1 Các tính chất chuyển động chiều 6.2 Chuyển động hạt tự 6.3 Giếng vng góc sâu vơ hạn 6.4 Ghi trường hợp giếng đối xứng 6.5 Giếng hình chữ nhạt có chiều sâu hữu hạn 6.6 Chuyển động qua bậc thang 6.7 Chuyển động qua hàng rào 6.8 Dao động tử điều hòa lượng tử Phương trình Schrodinger chuyển động chiều 7.1 Giải phương trình Schrodinger trường hợp ba chiều 7.2 Hạt giếng chiều 7.3 Hạt giếng chiều 7.4 Dao động tử điều hòa chiều Tóm tắt Chương Bài tập Chương U H 76 78 79 82 82 82 84 84 85 86 89 90 97 97 98 99 101 103 103 103 105 108 111 114 119 122 128 133 134 135 136 138 139 140 Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian 147 Mở đầu 147 Đạo hàm toán tử theo thời gian 148 vi MỤC LỤC Phương trình chuyển động lượng tử Định lý Erenfest Tích phân chuyển động định luật bảo toàn 4.1 Tích phân chuyển động 4.2 Tính đối xứng không gian, thời gian định luật Tóm tắt Chương Bài tập Chương 149 152 152 bảo toàn 153 157 158 Chuyển động hạt trường xuyên tâm 162 Các đặc điểm chuyển động hạt trường xuyên tâm 162 1.1 Khái niệm trường xuyên tâm 162 1.2 Tốn tử mơ-men xung lượng 163 1.3 Các đặc điểm hạt chuyển động hạt trường xuyên tâm170 Phương trình Schrodinger hạt trường xuyên tâm 171 2.1 Phương trình bán kính phương trình góc 171 2.2 Khảo sát phương trình bán kính 172 Bài toán nguyên tử Hydro ion tương tự 174 3.1 Giá trị âm lượng electron nguyên tử 174 3.2 Năng lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro ion tương tự 175 3.3 Kết luận toán nguyên tử Hydro ion tương tự 178 Sự phân bố electron nguyên tử Hydro ion tương tự 180 4.1 Sự phân bố electron theo bán kính 180 4.2 Sự phân bố electron theo góc 182 Tóm tắt Chương 183 Bài tập Chương 184 H P U H Lý thuyết biểu diễn Khái niệm biểu diễn Biểu diễn trạng thái lượng tử 2.1 Biểu diễn lượng 2.2 Biểu diễn xung lượng Biểu diễn ma trận toán tử 3.1 Trường hợp tốn tử Fˆ có phổ trị riêng gián đoạn 3.2 Trường hợp tốn tử Fˆ có phổ trị riêng liên tục Trị trung bình đại lượng động lực dạng ma trận Phương trình trị riêng tốn tử dạng ma trận Dạng ma trận phương trình Schrodinger Dạng ma trận phương trình Heisenberg Sự chuyển biểu diễn - Phép biến đổi đơn nguyên 190 190 192 192 193 195 196 198 201 202 204 206 209 MỤC LỤC 10 11 vii 8.1 Sự chuyển biểu diễn 8.2 Sự chuyển biểu diễn hàm sóng 8.3 Sự chuyển biểu diễn toán tử 8.4 Một số tính chất phép biến đổi unita Biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg biểu 9.1 Biểu diễn Schrodinger 9.2 Biểu diễn Heisenberg 9.3 Biểu diễn tương tác Tóm tắt Chương Bài tập Chương diễn tương tác H P Spin hệ hạt đồng Mômen động lượng quỹ đạo mômen từ quỹ đạo Sự tách mức lượng nguyên tử Hydro từ trường Mô-men động lượng riêng electron-spin hạt vi mô 3.1 Thí nghiệm Stern-Gerlach 3.2 Spin hạt vi mô Toán tử spin 4.1 Toán tử spin hàm spin hạt vi mô 4.2 Spin 1/2 ma trận Pauli 4.3 Hàm spin Hệ hạt đồng 5.1 Nguyên lý không phân biệt hạt đồng 5.2 Trạng thái đối xứng phản đối xứng 5.3 Hàm sóng hệ hạt đồng không tương tác 5.4 Nguyên lý loại trừ Pauli Tóm tắt Chương Bài tập Chương U H Lý thuyết nhiễu loạn Khái niệm lý thuyết nhiễu loạn Nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian 2.1 Nhiễu loạn dừng không suy biến 2.2 Nhiễu loạn dừng có suy biến 2.3 Ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn dừng 2.4 Trạng thái nguyên tử Heli ion tương 2.5 Hiệu ứng Stark Nhiễu loạn không dừng Sự chuyển dời lượng tử ảnh hưởng nhiễu loạn tự 209 211 212 213 216 217 218 219 221 222 229 229 230 232 232 233 235 235 235 239 242 242 243 244 251 251 252 256 256 258 258 263 268 268 271 276 279 viii MỤC LỤC 4.1 Khái niệm chuyển dời lượng tử 4.2 Xác suất chuyển dời lượng tử Tóm tắt Chương Bài tập Chương Chỉ mục H P H U 279 281 287 288 303 Chương Cơ sở vật lý học lượng tử § H P MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG • Mục tiêu chương trình bày trình hình thành phát triển học lượng tử, lưỡng tính sóng -hạt vật chất giả thuyết De Broglie tính chất sóng hạt vật chất khảo sát cách chi tiết U làm sở cho nghiên cứu tính chất thống kê học lượng tử • Sau học xong chương này, sinh viên hiểu hình thành học lượng tử mặt lịch sử nội dung nó, sinh viên H nắm khái niệm hàm sóng hạt vi mơ tính chất hàm sóng, đồng thời giải số toán liên quan đến việc chuẩn hố hàm sóng, xác suất tìm hạt chuyển động khơng gian cho §1 CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA VẬT LÝ HỌC CỔ ĐIỂN Cuối kỷ 19 vật lý học xây dựng hoàn thiện thường gọi vật lý học cổ điển, bao gồm ba ngành chủ yếu, học cổ điển, thuyết điện từ nhiệt động lực học Trong vật lý học cổ điển, người ta phân biệt hai dạng vật chất chủ yếu, hạt sóng Vật lý học cổ điển cho hạt đặc trưng lượng E xung lượng p⃗, lúc sóng đặc trưng biên độ vectơ sóng ⃗k (|⃗k| = 2π/λ) hướng truyền sóng c(k) = √ √ e−ikx dx = √ = = √ πa (−ik) πa k 2π 2a −a (4.32) (4.33) −a H P Như vậy, hàm sóng hạt thời điểm t có dạng: ∫ ∞ sin ka i(kx− ~k 2m t) dk Ψ(x, t) = √ e π 2a −∞ k (4.34) Tích phân (4.34) khơng thể biểu diễn qua hàm sơ cấp mà tính phương pháp số Ta phân biệt hai trường hợp sau: + Khi a bé U H Hình 4.2: Đồ thị hàm Ψ(x, 0) theo x hàm c(k) theo k sin(ka) ≈ ka, nên ck ≈ √a π Hình 4.2 mơ tả đồ thị hàm Ψ(x, 0) theo x hàm c(k) theo k trường hợp a bé + Khi a lớn c(k) viết lại sau: √ sin ka a sin ka c(k) = √ = π ka πa k (4.35) 108 Chương Phương trình Schrodinder Hình 4.3: Đồ thị hàm Ψ(x, 0) theo x hàm c(k) theo k H P Như vậy, sin ka/ka cực đại ka = hay k = giảm ka = ±π, hay k = ±π/a Hình 4.3 mơ tả đồ thị hàm Ψ(x, 0) theo x hàm c(k) theo k trường hợp a lớn U Từ đồ thị hai hình vẽ ta kiểm tra cách hình ảnh đắn hệ thức bất định Heisenberg tọa độ x xung lượng k 6.3 H GIẾNG THẾ VNG GĨC SÂU VƠ HẠN Xét trường hợp hạt chuyển động tự trong giếng chiều có bề rộng L Lúc hạt hồn tồn bị nhốt giếng Về mặt hình thức hạt coi tương đương với viên bi trượt không ma sát dọc theo sợi dây căng hai tường rắn cho va chạm viên bi với chúng tuyệt đối đàn hồi Thế xét có dạng Hình 4.4 Hình 4.4: Sơ đồ giếng chiều vng góc sâu vơ hạn § Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động chiều Dạng giải tích là: { 0, ≤ x ≤ L, U (x) = ∞, x < x > L 109 (4.36) Ta thấy ngồi giếng U (x) = ∞ hàm sóng ψ(x) = 0, hạt khơng tồn ngồi giếng Như ta xét hạt giếng (0 ≤ x ≤ L) Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: d2 ψ(x) 2mE + ψ(x) = dx2 ~ H P (4.37) Đặt k = 2mE/~2 , phương trình (4.37) trở thành d2 ψ(x) + k ψ(x) = dx2 (4.38) Giả sử ta chọn nghiệm phương trình dạng: ψ(x) = A sin kx + B cos kx (4.39) U Do điều kiện liên tục hàm sóng điểm biên (điểm gián đoạn) nên ta có: ψ(x) = ψ(L) = Ta suy ra: B = sin kL = Vì vậy: kL = nπ Vì k = 2mE/~2 nên ta có biểu thức lượng hạt hố thế: H π ~2 n = n2 E0 , (4.40) 2mL đó: E0 = π ~2 /2mL2 lượng hạt ứng với n = gọi En = lượng hạt trạng thái Như vậy, hạt giếng tìm thấy với giá trị lượng E0 , 4E0 , , 9E0 , 16E0 , Vì lượng hạt động nên vận tốc hạt có giá trị định Đây điều khác hẳn với trường hợp cổ điển: viên bi trượt không ma sát với vận tốc đầu vận tốc ln ln khơng đổi vận tốc ban đầu Hàm riêng (4.39) viết lại sau: ψn (x) = A sin kx = A sin nπ x L (4.41) 110 Chương Phương trình Schrodinder Hệ số A xác định từ điều kiện chuẩn hóa ⟨ψn (x)|ψn (x)⟩ = 1, hay ∫ L sin2 A tính tích phân này, ta A = nπ xdx = 1, L √ 2/L Vậy hàm sóng trạng thái dừng ứng với hạt có lượng En √ ψn (x) = nπ sin x, L L n = 1, 2, (4.42) H P Ta đưa số kết luận tốn giếng chiều vng góc sâu vơ hạn sau: (a) Năng lượng En hạt giếng bị lượng tử hóa Điều xảy chuyển động hạt tự bị giới hạn (b) Hàm sóng ψn hàm chẵn (khi n lẽ) hàm lẽ (khi n chẵn) tâm giếng U (c) Hàm sóng ψn có n − nút (node) H Hình 4.5: Đồ thị hàm sóng ψn (x), mật độ xác suất|ψn (x)|2 lượng En giếng vuông chiều sâu vô hạn Hình 4.5 đồ thị hàm sóng ψ, mật độ xác suất tìm hạt mức lượng tương ứng với trạng thái khác § Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động chiều 6.4 111 GHI CHÚ VỀ TRƯỜNG HỢP GIẾNG THẾ ĐỐI XỨNG Trong trường hợp này, có dạng: { −L/2 < x < +L/2 U (x) = ∞ |x| > L/2 (4.43) Sơ đồ có dạng hình 4.6 Vì hàm chẵn tọa độ nên nghiệm phương trình (4.38) phân H P thành hai lớp nghiệm lẻ nghiệm chẵn: + Đối với lớp nghiệm chẵn: ψ(x) = ψ(−x), thay vào hàm sóng (4.39), ta được: ψn (x) = B cos kx (4.44) Áp dụng điều kiện biên ψ(L/2) = 0, ta U cos kL/2 = 0, suy k = nπ/L n = Hình 4.6: Sơ đồ giếng 1,3,5 H đối xứng chiều + Tương tự, lớp nghiệm lẻ: ψ(x) = −ψ(−x), thay vào hàm sóng (4.39), ta được: ψn (x) = A sin kx, với k = nπ/L n = 2, 4, (4.45) √ Dùng điều kiện chuẩn hố ta tính hệ số A B có giá trị 2/L Như vậy, hai lớp nghiệm ta có: k = nπ/L lượng hạt tính theo hệ thức: π ~2 E= n 2mL2 (4.46) Ví dụ 6.3.1: Một hạt khối lượng m bị nhốt giếng vuông chiều sâu vô hạn bề rộng a Tại t = hàm sóng chuẩn hóa hạt là: √ [ ( πx )] πx Ψ(x, 0) = + cos sin 5a a a (4.47) 112 Chương Phương trình Schrodinder a) Tìm hàm sóng thời điểm t = t0 b) Tìm lượng trung bình t = t = t0 c) Tìm xác suất tìm hạt phần bên trái giếng (nghĩa miền ≤ x ≤ a/2 t = t0 Lời giải: a) Hàm sóng thời điểm t khai triển theo hàm trạng thái dừng: ∑ ∑ i Ψ(x, t) = cn ψn (x, t) = cn ψn (x)e− ~ En t , √ ψn (x) = n a n H P sin nπ x a Từ đó, hàm sóng thời điểm t = có dạng: ∑ Ψ(x, 0) = cn ψn (x) n Mặt khác, hàm Ψ(x, 0) (4.47) viết lại sau: √ [ ( πx )] πx Ψ(x, 0) = + cos sin a √ 5a √a πx 2πx = sin + sin 5a √ 5a√ a √ √ a 2 πx 2πx = sin + sin = c1 ψ1 (x) + c2 ψ2 (x) a a a a U H Như vậy, hàm sóng thời điểm t = t0 là: ∑ ∑ i π ~2 n2 i Ψ(x, t0 ) = cn ψn (x)e− ~ En t = cn ψn (x)e− ~ 2ma2 t n=1,2 n=1,2 iπ ~t − 2ma20 iπ ~t0 = c1 ψ1 (x)e + c2 ψ2 (x)e− 2ma2 √ √ πx − iπ2 ~t20 2πx − i2π2 ~t2 = sin e 2ma + sin e ma 5a a 5a a √ [ ] i2π ~t0 − iπ2 ~t20 πx πx − = e 2ma + e ma cos sin 5a a a b) Năng lượng trung bình hạt khơng phụ thuộc thời gian có dạng: ∑ ∑ ∑ 4π ~2 E= wn En = |cn (t)|2 En = |cn (0)|2 En = E1 + E2 = 5 5ma n n n § Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động chiều 113 c) Xác suất tìm hạt miền ≤ x ≤ a/2 t = t0 là: √ √ ∫ a/2 iπ ~t0 πx 2πx − i2π2 ~t2 P = |Ψ(x, t0 )|2 dx = sin e− 2ma2 + sin e ma 5a a 5a a √ [ ] i2π ~t0 − iπ2 ~t20 πx πx − = e 2ma + e ma2 cos sin 5a a a ( )] ∫a/2 ( πx ) [ πx πx 3π ~t0 = sin2 + cos2 + cos cos dx 5a a a a 2ma2 ( ) 16 3π ~t0 = + cos 15π 2ma2 H P Ví dụ 6.3.2: Một electron chuyển động tự giếng chiều sâu vơ hạn có thành x=0 x=a Electron ban đầu trạng thái bản, ta đột ngột tăng bề rộng giếng lên lần, tính xác suất tìm electron trạng thái giếng U Lời giải: Năng lượng hàm sóng trạng thái (n=1) electron giếng có bề rộng a là: √ ( πx ) π ~2 E1 = , ψ (x) = sin ) 2ma2 a a Khi bề rộng giếng lên lần x biến thiên khoảng x = đến x = 4a H Năng lượng hàm sóng trạng thái (n=1) electron giếng có bề rộng 4a là: π ~2 π ~2 ′ E1 = = , ϕ1 (x) = 2m(4a)2 32ma2 √ ( πx ) sin ) 2a 4a Xác suất tìm electron trạng thái ϕ1 giếng xác suấtđể electron có lượng E1′ với trạng thái ban đầu ψ1 Theo công thức tính xác suất, ta có: ∫ w1 (E ′1 ) = |⟨ϕ1 |ψ1 ⟩|2 = a ∫ a ( πx ) ( πx )