(Tiểu luận) báo cáo hết học phần toán cao cấp 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LAO ĐỘNG – XÃ HỘI (CSII) KHOA: GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG BÁO CÁO HẾT HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Sinh viên Mã số sinh viên Lớp Mã học phần Giảng viên : Phạm Cao Mẫn Nhi : 2153404040692 : Đ21NL3 : TCC11122L : Th.S Tô Thị Thanh Hà TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC LAO ĐỘNG – XÃ HỘI (CSII) KHOA: GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG TOÁN CAO CẤP HƯỚNG DẪN SINH VIÊN Bài tiểu luận bao gồm NĂM (5) câu hỏi Tất giải thích cách có câu trả lời phải trình bày chi tiết Sinh viên gửi làm MỘT LẦN tệp pdf DUY NHẤT Bài tiểu luận phải gửi trước ngày 25 tháng 12 năm 2021, sau ngày 25 tháng 12 năm 2021 nhận điểm KHƠNG Sinh viên khơng chép làm người khác Sinh viên phải in làm đưa cho giảng viên cứng sau quay trở lại trường • Giống từ 10 - 30% với khác: trừ 20% tổng số điểm • Giống từ 31 - 50% với khác: trừ 40% tổng số điểm • Giống 50% với khác: nhận điểm KHÔNG NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA GIẢNG VIÊN MƠN: TỐN CAO CẤP Sinh viên: Phạm Cao Mẫn Nhi Mã số sinh viên : 2153404040692 -Hình thức: (0.5 điểm) -Nội dung: (9.5 điểm) Tổng CÂU ĐIỂM MỖI CÂU 1 2 2.5 TỔNG 9.5 Điểm số ĐIỂM SINH VIÊN Điểm chữ điểm Cán chấm thi Cán chấm thi (Kí ghi rõ họ tên) (Kí ghi rõ họ tên) TÔ THỊ THANH HÀ CÂU HỎI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Lưu ý: K số cuối mã số sinh viên CÂU 1: (1 điểm) Cho ma trận: 3/2 K135 A 6038 11123 K K/2 ; B 22340 ; C0 3/2 K/2 T Tính: A + 3B - 2C CÂU 2: (2 điểm) Cho ma trận 1 A 1 1 K a.(1.5 điểm) Tính định thức ma trận A cách dùng định nghĩa khai triển theo dòng b -1 (0.5 điểm) Đặt A = (cij) Tìm phần tử c23 CÂU 3: (2.5 điểm) Cho vectơ: X1 1,5,9,13, ; X 2, 6,10,14, ; X 3,7, m,15, ; X 4,8,10,K, Gọi A ma trận có cột vec tơ X 1, X2, X3, X4 a (1 điểm) Giải biện luận theo m hạng ma trận A b (1 điểm) Giải phương trình AX = 05x1 m = 11 c (0.5 điểm) Khi m =11, đặt L khơng gian nghiệm phương trình AX = Tìm sở số chiều L CÂU 4: (3 điểm) Cho hệ phương trình: x1 x2 x3 x4 2x5 2x 3x x 6x x 2K x1 x2 x3 14 x4 x5 x 3x x 4x x K x1 x2 x3 11 x4 3x1 K 2K x2 x3 x4 mx5 K a (1 điểm) Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận hệ số mở rộng ma trận bậc thang 3 b (0.5 điểm) Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình c (1.5 điểm) Giải hệ phương trình m = CÂU 5: (1 điểm) -1 a (0.5 điểm) Cho A = P BP Tính A b (0.5 điểm) Tính A K+4 biết 0 41 B 0 01 1 ;P ;A P BP 33 BÀI LÀM T CÂU 1: (1 điểm) Tính: A + 3B - 2C Để thực phép tính tốn ma trận theo yêu cầu đề bài, cần bước sau: Với K=2, ta 213 ( 32⁄ 60 0) 3−8−2 C= ( A)ij = (A)ij, i,j , điều kiệnℝmxn, ta g [B]ij ( −6 −9 -2CT=(−3 −20 T nxm chuy n v ể T 32⁄ a A n u: c ế ị ủ −32⁄ T ) C( ) 12 −31−1) −8 −2 −4 ( 12 −1) ọ = −6 = [A]ji, i,j, ký hiệu B = A ( iB Phép chuyển vị ma trận: cho A −3 1 Khi nhân số với ma trận, ta áp dụng công thức: −3 −32⁄ A= 3B = −2 2 2 0) Vậy A + 3B - 2C = −2 Với K=2, ta A = −1 CÂU 2: ( −3 −1 −2 ) −2 −1 −1 a.(1.5 điểm) Tính định thức ma trận A cách dùng định nghĩa khai triển theo dòng Phần phụ đại số: Giả sử A = (aij) n, với i,j phần tử: i+j Aij = (-1) Mij Được gọi phần phụ đại số aij Giả sử A = (aij) ta có: n, =1 a) det(A) = b) det(A) = iq iq ijcij, ∑ p c , q =1 gọi công thức khai triển định thức theo dịng p cơng thức b) gọi Công thức a) ∑ công thức khai triển định thức theo cột q Gắn với yêu cầu đề bài, áp dụng công thức khai triển định thức: det(A) = a41.A41 + a42.A42 + a43.A43 + det(A) = (-2) (−1) −1 |1 4+3 (−1) (−1) 4+4 + 1−1 −3 = −1| | (−1) −1| −2 + 1+2 | −1 (-1) (−1)1+1 | −1 | (−1) (−1) −1 −3 + 1| 10 1| −2 −1 4+2 + (-1) −2 1| −3 (-1) + a44.A44 −2 [ | ] −3 −2 (−1)1+1 | 1 −1 1+1 (−1) | −1 1+2 | +(−1) (−1) + + | | 1| −2 −3 | −3 −2 [ +(−1) (−1)1+3 | ] 1 | −3 [1 (−2) − (−1) (−3)] { +[1 = + (-1) [(−1) (−2) (−1) −}1.0] [1 (−2) − − (−1)] + (−3) (−1)] + 2.{ = (-10) + (-1) + (- [1.3 − (−3) 1] +(−1) [1 (−3) } − 2.1] 5)+22=6 Vậy tính định thức ma trận A cách dùng định nghĩa khai triển theo dòng ta det(A) = b -1 (0.5 điểm) Đặt A = (cij) Tìm phần tử c23 Ta có det(A) ≠ nên ma trận A khả nghịch det ( ) Công thức: = A-1 det ( ) Phần tử c23 = T −1 3+2 (−1) |1 −1 | −2 −1 = [1 (−1) CÂU 3: 1+1 (-1) | + (−1) (−1) | (-1) = detA(i/j) A32 i+j , với cij = (-1) = (cij) −1 −1 1+2 −2 −1 =− 10 13 (1 điểm) Giải biệ n 10 14 15 −1 −2 −3 −4 ( ) a luận theo m hạng ma trận A A= 10 3↔ 10 13 14 15 (−1 −2 −5 |] [1.2 − (−1) (−1) + 1.2 − (−2) (−1)] Với K=2, ta có ma trận A = 2→ | → −1 −2 −3 −4 ) −3 −4 13 14 (9 10 15 10) 3→ 3+ 5→ −9 4→ 4−13 → ( −4 −8 −12 0 0 −12 −8 −24 −50 3↔ → − 27 −26 ) ( −4 −8 −12 −8 − 27 −26 −12 0 −24 −50 ) −1 2→ → 2 0 −8 −12 − 27 −26 −24 → +8 → −50 ) 1 0 −11 −2 4→ 4+12 0 −14 (0 0 0 Trường hợp 1: Khi m - 11 = m = 11 ma trận A có dạng 0 ( ) → ( 0 0 0 ậy đó, hạng →4−73 −2 V → −14 ) ma0 0 0 0 −2 ( ) trận A 3, r(A) = Trường hợp 2: Khi m – 11 ≠ m ≠ 11 ma trận A có dạng → ( 0 0 −11 −2 V ậy dó,0 hạng −14 ) ma0trận A 4, r(A) = b (1 điểm) Giải phương trình AX = 05x1 khi1 m = 11 Gọi X5x1 ma trận nghiệm gồm ẩn: X = ma5 trận A hệ phương trình tuyến tính Dựa vào kết câu a, m = 11 ta ( ) liên kết với có dạng A= 0 Nhận 12 ,Ā= 01 0 0 −2 0 −2 | 0 00 00 0 00 00 ( ) AX = 05x1 00 ( ) = thấy, r(A) = r(Ā) = < ẩn, nên hệ phương trình có vơ số nghiệm gồm ẩn ẩn tự Đặt ẩn tự do, có: 1 ( 0 0 −2 0 = ) 0 0 1+2 { + 0)( +3 + 4= 23 + 4=0 −2 (0) + 22 + 33 { =0 +2 +3 4=0 =0 + 44 = 22 { + 33 = − +2 {2 2+3 3=− =0 {−4 3+3 3=− =−2 =4=0 =0 =−2 =0 = −2 { 3= =0 c (0.5 điểm) Khi m =11, đặt L khơng gian nghiệm phương trình AX = Tìm sở số chiều L } { =( ,−2 , ,0)ℝ Có L khơng gian nghiệm phương trình AX = 0, dựa vào kết câu b, ta L = Vậy X L có ( , −2 , , 0) (1, −2,1,0) = (1) X L=>X= = P1 thể biểu diễn tuyến tính qua P1 (2) Có {P1} độc lập tuyến tính Từ (1) (2) => khơng gian nghiệm L phương trình AX = có P sở dim L = CÂU 4: a (1 điểm) Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận hệ số mở rộng ma trận bậc thang 1 −1 Với K = 2, ta có ma trận hệ số mở rộng sau: Ā= → 3→→ 3−4 → −11 (−3 −2 → 4− −6 −4 1 −1 → −5 1 → +3 −18 0 2 −16 → −3 ( → → −1 −2 1 −1 5−2 −8 −4 0 −2 0 −4 0 0 0 −13 37 ( → 11 −2 −3 | 10 −6 | −7 ) −5 | | −8 −11 −2 −3 | 10 −3 | −7) −2 16 ) − 26 16 −39 1 −1 3 5↔ −1 0 0 3→2 → → +4 5→ +13 → −2 −3 −8 −3 5⁄ | −4 11 −13 37 −26 (0 0 1 −1 −8 0 −3 −7 −11 | −39 0 −2 | 0 −1 0 −2 + 132⁄ (0 0 0 1 −1 −2 −8 5→ 5−2 0 −3 → 0 −1 0 0+ 1⁄2 0 Trường hợp 1: + 12 | 13 −3 ⁄2 |4 | 0) điểm) Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình −1 −2 −8 −3 5⁄2 −3 0 | 0 −1 0 0 | (0 0 0 0) Nhận thấy r(A) ≠ r(Ā) (4≠5) nên hệ phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: + ≠ => ≠ −1 , ta có: Ā= ) =0=> =−12 , ta có: b Ā= 5⁄2 (0.5 −3 ( ) 1 −1 −8 0 −3 −1 −2 −3 5⁄2 | 0 0 0+ 1⁄2 ( 0 | 0 0) Nhận thấy r(A) = r(Ā) = số ẩn = nên hệ phương trình có nghiệm − − Vậy = , hệ phương trình vơ nghiệm ≠ , hệ phương trình có nghiệm c (1.5 điểm) Giải hệ phương trình m = 1 −2 Khi m = ma trận mở rộng có dạng Ā= 1 −1 −8 −3 0 0 0 0 3⁄2 | (0 0 0 + −3+4 −3 5⁄2 |8 −1 − 25 0) = −3 Và có hệ phương trình tương đương +3 3−8 4+5 − 34 + −4 { 5 − 25 +3 3−8 + =2 =0 = =1 + 33 =4 = −3 =2 =1 =2 =2 { ;P 1 ;A P = −3 + 55 =8 =1 − 25 − 25 + 5= 100 + 1+2−3+4 CÂU 5: B − 84 − 34 =2 {5 − 3+ { − 25 +3 3−8 + =2 + − 3+ +3 5=5 { −4 { = −3 + 5= − 34 =5 =3 + − 3+ =4 + 35 =8 BP =0 =2 =1 =2 =4 = −3 0 a -1 (0.5 điểm) Cho A = P BP Tính A 2+4 -1 A = P BP 10 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Khi :A = A.A = (P BP).(P BP) = P B.P P B.P = P B.B.P = P B P -1 -1 -1 -1 -1 Khi: A = A A = (P B P).( P BP) = P B P.P B.P = P B P n -1 n Vậy rút kết luận A = P B P -1 Nên A = P B P b (0.5 điểm) Tính A Tính P -1 det(P) = (-3).1.1 + 4.0.3 + (-1).(-1).(-3) – (-1).1.3 – (-3).0.(-30 – 4.(-1).1 = Ta có det(P) ≠ nên ma trận P khả nghịch det ( ) (−1) Phần tử c11 = | A11 = | 1+1 −3 Phần tử c12 = A21 = 1 (−1) 2+1 | det ( ) =1 −1 | −3 = -1 Tương tự 1trên,−1ta1có phần tử c13, ,c33 (101) -1 Suy P = Tính A Phép nhân hai ma trận: ,B= Cho A = =>AB= Định nghĩa: Dòng nhân cột (12… )1 1+ 2+⋯+ () ⋮ Theo đề bài, có: = 1 1−11 0 −3 −1 A=P-BP (1 = 1) ( −1 0 −1 0) ( −1 1+0+0 0+1+0 0+0−1 −3 (1 +0+0 0+0+0 0+0−1)( (1 −1)( −1 0) −1 −1 0+0+0 0−3+0 0+0−1 = −3 3−31 −3 −1 −1 0) 0)