S6 chuyên đề 2 chủ đề 2 so sánh lũy thừa bằng phương pháp trực tiếp

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA ĐS6 CHUYÊN ĐỀ - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2-3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP VÀ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc so sánh: + Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành lũy thừa số số mũ để so sánh Nếu luỹ thừa số (lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn a m  a n  a  1  m  n Nếu luỹ thừa số (nhỏ 1) luỹ thừa có số mũ lớn nhỏ a m  a n  a  1  m  n Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn a n  bn  n    a  b Khi số 1, hai lũy thừa với số mũ tự nhiên + Để so sánh lũy thừa A B, ta tìm lũy thừa M cho A  M  B A  M  B Trong A M ; M B so sánh trực tiếp + Để so sánh hai lũy thừa A B , ta tìm hai lũy thừa X Y cho: A  X  Y  B Hoặc A  X  Y  B Trong lũy thừa A X ; X Y ; Y B so sánh trực tiếp PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Biến đổi số số mũ Bài 1: Hãy so sánh: 19 25 a 16 11 b 27 81 Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy, câu a) 16 số liên quan tới lũy thừa số 2, câu b) 27 81 liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa các lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA b) Lời giải: 19 19 76 25 25 75 a) Ta có 16 (2 ) 2 ;8 (2 ) 2 76 75 19 25 Vì   16  b) Ta có 818  34 2711   11   81  27 33   32   3   3 11 Bài 2: Hãy so sánh: 24 a 128 36 24 b 11 60 50 c 32 81 500 300 d Lời giải: a) Ta có : a) Ta có : 1287 (27 )7 249 424 (22 ) 24 248 49 48 Vì  24 Nên 128  b) Ta có: 536 12512   536  1124 24 12  11 121  c) Ta có : 3260 2300 8100   3260  8150 50 200 100  81 3 9  d) Ta có: Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 3500 243100   3500  7300 300 100  343  Bài 3: Hãy so sánh: 19 25 a) 16 b) 625 125 Lời giải: 19 19 76 25 25 75 a) Ta có: 16 (2 ) 2 ;8 (2 ) 2 76 75 19 25 Vì   16  5 20 21 b) Ta có: 625 (5 ) 5 ;125 (5 ) 5 20 21 Vì   625  125 Bài 4: Hãy so sánh: 210 350 a) 21 31 b) 10 30 c) 3.24 Lời giải: a) Ta có: 3210 27 70 2350 3270  3210  2350 b) Ta có: 231 2.230 2.810 321 3.320 3.910  321  231 c) Ta có: 430 230.230 (23 )10 (22 )15 810.415  810.315 3.2410 3.(3.8)10 810.311 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 10 15 10 11 Mà  nên 810.415  810.311 hay 430  3.2410 27 63 28 Bài 5: Chứng minh   Lời giải: Ta có:  527 1259 27 63    (1) 63 9 (2 ) 128  263 (29 )7 3127  63 28    (2) 28 7 (5 ) 625  27 63 28 Từ (1) (2)    Bài 6: Hãy so sánh: 2n 23 n  n  N *  a) 300 500 b) Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy, câu a) lũy thừa có chung số mũa n, câu c) lũy thừa có chung số mũ 100 Do để soa sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với b) Lời giải: a) Ta có: n 32 n  32  9n n 23n  23  8n mà   32  23 2n 3n Vậy  b) Ta có: 5300  53  100 125100 3500  33  100 243100  5300  3500 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Bài 7: Hãy so sánh: n n 2 a)  n1 n n5 b) 256 16 (với n  N ) Lời giải: a) Ta có: 32 n ( n 2) 9 n ( n 2) 9 n 9( n 1) 9n 2 2 n 2 n 1 n  n   n  2n  9( n 1)  9n.( n 2)  9( n 1)  32 n ( n 2) (n  N ) n 2n b) Ta có 256 16 , suy tốn trở thành so sánh 2n n  n 2n +) Nếu 2n  n   n   256  16 n 2n +) Nếu 2n n   n 5  256 16 n 2n +) Nếu 2n  n   n   256  16 5 Bài 8: Hãy so sánh 3.27 243 Lời giải: Ta có: 2435  35  325 3.27 3  33  3.315 316 16 25 5 Vì   3.27  243 Dạng 2: Đưa tích có thừa số giống 303 202 Bài 1: Hãy so sánh 202 303 Lời giải: 303 303 303 303 303 3.101 8101.1013.101 8101.101101.1012.101 Ta có: 202 (2.101) 2 101 2 101 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 303202 (3.101) 2.101 32.101.101 2.101 9101.1012.101  202303  303202 15 Bài 2: Hãy so sánh 21 27 49 Lời giải: Ta có: 2115 315.715 275.498 315.716 15 16 Mà  15 Vậy 21  27 49 2015 2014 2016 2015 Bài 3: Hãy so sánh 2015  2015 2015  2015 Lời giải: Ta có: 20152015  20152014 20152014 (2015  1) 2014.20152014 20152016  20152015 2014.20152015 2015  20152014 Mà 2015  20152016  20152015  20152015  20152014 10 10 Bài 4: Hãy so sánh 2015  2015 2016 Lời giải: Ta có: 201510  20159 20159 (2015 1) 2016.20159 201610 2016.20169 Mà 2015  2016  201610  201510  20159 45 44 44 43 Bài 5: Hãy so sánh A 72  72 B 72  72 Lời giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 44 44 Ta có: A 72 (72  1) 72 71 B 7243 (72  1) 7243.71  A  B Mà 44  43  AB 75 50 Bài 6: Hãy so sánh 37 71 Lời giải: Ta có: 7150  7250  8.9  37 75  3675  4.9  Mà 75 50 2150.3100  1 2150.3150   2150.3150  2150.3100   75 50 Từ (1)(2)(3) suy 37  71 Bài 7: Hãy so sánh: 23 22 a) 6.5 13 16 b) 7.2 12 c) 15 81 125 Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy số lũy thừa cần so sánh số mũ chúng đề khơng có ước chung, số chúng biểu diễn dạng chung số Do việc đưa lũy thừa lũy thừa có số (hoặc số mũ) để so sánh khơng khả quan Tuy nhiên số lũy thừa có ước chung, nên việc tách lũy thừa thành tích, để xuất thừa số chung so sánh thừa k n số riêng khả quan Để làm điều ta cần dùng phương pháp sau: Biến đổi a dạng c.d , m k n m biến đổi b dạng e.d so sánh hai số e c Từ so sánh hai số a b b) Lời giải: a) Ta có: 5.5  6.5 23 22 22  6.522  523 b) Ta có: 7.2  8.2 2 2 13  216  7.213 Trang 13 13 16 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA c) Ta có: 813.1253  34   53  1512.53 mà 15  15 12 12  813.1255  1512 c) Nhận xét: Việc phân tích lũy thừa thành tích lũy thừa giúp nhìn thừa số chung lũy thừa, từ việc so sánh hai lũy thừa dựa vào việc so sánh thừa số riêng 20 10 Bài 8: Hãy so sánh 99 9999 Lời giải: Ta có: 10 9920  992   99.99  999910  99.101 99.99  Vì  10 10 10   99.101 10 10 Nên 99  9999 Bài 9: Hãy so sánh: a) 3.4 10 b) 10 48.50 Lời giải: 15 14 a) Ta có: 2 2.2 3.47 3.214 Vì  14 14 Nên 2.2  3.2 Vậy  3.4 10 10 10 10 b) Ta có: 10 2 2.2 48.505  3.24   25.510  3.29.510 Vì  10 10 Nên 2.2  3.2  1010  48.505 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 10 30 Bài 10: Hãy so sánh 3.24 Lời giải: Ta có: 430  2  30  2.2  30 10 15 230.230  23   2  810.415 10 2410.3  8.3 810.310 810 311 Vì 311  415  810.311  810 415  430  3.2410 10 10 Bài 11: Hãy so sánh 1990  1990 1991 Lời giải: Ta có: 199010  19909 19909  1990  1 1991.19909 199110 1991.19919 Vì 19909  19919  199010  19909  199110 12 11 11 10 Bài 12: Hãy so sánh 78  78 78  78 Lời giải: Ta có: 7812  7811 7811  78  1 7811.77 7811  7810 7810  78  1 7810 77 Vì 7811  7810  7811.77  7810 77  7812  7811  7811  7810 Dạng 3: So sánh thông qua lũy thừa trung gian I Phương pháp giải: Để so sánh lũy thừa A B , ta tìm lũy thừa M cho A  M  B AM B Trong A M ; M B so sánh trực tiếp II Bài toán 30 30 30 10 Bài 1: Hãy so sánh   3.24 Lời giải: Ta có: Trang 430  22  30  2.2  30 10 15 10 230.230  23   2   810 315  810.310.3  8.3  2410.3 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 30 30 30 Vậy + + > 24 10 Bài 2: Hãy so sánh: 151 225 a) b) 199 20 15 2003 36 91 c) Lời giải: a) Ta có 2 225 (23 ) 75 875  975 (32 ) 75 3150  3151        A B M  2225  3151 b) Ta có: 19920  200 20 (8.25) 20 (23.52 )20 (23.52 ) 20 260.540 ; 200315  200015 (16.125)15 (24.53 )15 (2 4.53 )15 260.545  260.545  260.540  200315  19920 c) Ta có: 18 36 2 91  290 (25 )18 3218  25    5        A M B  291  536 Bài 3: Hãy so sánh: 20 10 30 a) 99 11 42 93 b) 961 100.23 Lời giải: 20 10 10 10 30 a) Ta có 99 [(99) ] 9801  (22 ) 22 2230 (2.11)30 230.1130 810.1130 10 30 10 30 mà 11  11 20 10 30 Nên 99  11 b) Ta có: Trang 10 ' CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 96142  100042 10126 100.10124 100.10124 100.(104 )31  100.(233 ) 31 100.2393  96142  100.2393 Bài 4: Hãy so sánh: a) 107 50 75 73 39 21 b) 33 11 Lời giải: a) Ta có 10750  10850 (4.27)50 2100.3150 7375  7275 (8.9)75 2225.3150  7375  10750 b) Ta có: 339  340 (34 )10 8110 1121  1120 (112 )10 12110  1121  339 27 63 28 Bài 5: Chứng tỏ rằng:   Lời giải: 27 63 63 28 Gợi ý: Hãy chứng tỏ   Ta có: 263  27  1289 527  53  1259  263  527  1 Lại có: 263  27  1289 528  54  6257  263  528   27 63 28 Từ (1)(2)    Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 75 50 Bài 6: Hãy so sánh 37 71 Lời giải: k n m k a) Phân tích: Biến đổi a dạng cd , biến đổi b dạng e.d so sánh hai số e c Từ so n m sánh hai số a b b) Lời giải: Ta có: 7150  7250  8.9  37 75  3675  4.9  Mà 75 50 2150 3100  1 2150 3150   2150 3150  2150 3100  3 75 50 Từ (1)(2)(3)  37  71 Bài 7: Hãy so sánh: 20 10 a) 50 2550 10 b) 999 999999 Lời giải: 50 20   50     a) Ta có 10 250010  255010  5020  255010 99910   999    9980015  9999995  99910  9999995   b) Ta có 56789 1234 Bài 8: Hãy so sánh A 1234 B 56789 Lời giải: A 123456789  100050000 10150000 1234 2000 1010000 Ta có B 56789  100000 10000 Vì 10  10150000  567891234  123456789 1979 Bài 9: Hãy so sánh 11 Lời giải: Ta có 111979  (113 )660 1331660 Trang 12 1320 37 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 371320 (37 )660 1369660 660 1331 1979 Nên 11  1369660  371320 Dạng 4: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian I Phương pháp giải: Để so sánh hai lũy thừa A B , ta tìm hai lũy thừa X Y cho: A X Y  B Hoặc A  X  Y  B Trong lũy thừa A X ; X Y ; Y B so sánh trực tiếp II Bài toán Bài 1: Hãy so sánh a) 17 20 b) 199 15 31 20 100 24 11 14 c) 31 17 Lời giải: a) Ta có: 20 20 15 17 280  275 (25 )15 3215  31   16              A B X Y b) Ta có: 1995  2005 25.1005 32.1005 (1) 1006 100.1005 (2)  1995  1006  (1995 )  (1006 ) 20 24 Từ (1) (2)  199  100 c) Ta có: 3111  3211 255 1714  164 (24 )14 256  3111  1714 Bài 2: Hãy so sánh 1979 a) 11 1321 37 Lời giải: Trang 13 b) 107 50 75 51 201 119 c) CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA a) Ta có: 111979  111980 (113 ) 660 1331660 371321  371320 (37 )660 1369660  1331660  1369660  111979  371321 b) Ta có: 107 201 c) Ta có: 50  15050 (3.50)50 9 25.5050  50 25.5050 5075  5175  3200 (35 ) 40 24340 ; 6119  6120 (63 ) 40 216 40  3201  6119 1995 863 Bài 3: Chứng minh  Lời giải: p h n q k m a) Phân tích: Xét a biến đổi dạng c d b biến đổi dạng e g k h q k p h q p Nếu c  e d  g c d  e g b)Lời giải: 1995 1990 863 860 Ta có: 2 ;5 5 5 860 1990 Nhận xét: 32  125 nên cần so sánh 10 10 1720 172 860 Ta có: 1024;5 3025     1990 1720 270 1720 270 1720 172 Lại có 2 , cần so sánh 2 với số sau: 24 172 11 11 270 37 2187; 211 2048  37  211 ;         2 1720 270 1720 172 860 1990 860 Do 2     5 1995 863 Mà    1999 714 Bài 4: Chứng minh  Lời giải: Ta có: 10   1025 10 10 238 238 238 2380 238 714  256   3.7         ;   35  28  7 343 3 243 Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 3238 33 3235 33  35  47  33  28  47  25.2376 2381  3238  2381  22380  3238 7714  22380  2381 714  21999  7714 Mà:  PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài Khơng tính kết biểu thức, so sánh (Trích đề thi HSG Hoa Lư) a) A 2019.2021 B 2020 102021  102022  M  2022 N  2023 10  10  b) Lời giải: a) A 2019.2021 2019.(2020  1) 2019.2020  2019 B 20202 2020.2020 2020.(2019  1) 2020.2019  2020 Vì 2019  2020 Nên A  B b) 10 M 1  10 N 1  Vì 10 Nên 1 10 1 10 2022 2022 2023  1  10 2023 10 2022 1 1 1 10 2023 1 Vậy M  N 2021 2022 B       2021  2022  3 3 3 16 (Trích đề thi HSG thị xã Bài 2: Chứng minh Hoài Nhơn) Lời giải: Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 2021 2022 B       2021  2022 3 3 3 2021 2022  3B 1      2020  2021 3 3  B B  3B 1  Đặt A 1  1 1 2022     2020  2021 3 3 1 1     2020  2021 3 3 1 1 1 A 2       2019  2020 3 3 3 => A  A  A 3  2021 3  A  (2) Từ (1) (2)  B   B  A  16 1 1 M      101 2 2 Chứng tỏ M < Bài 3: Cho Lời giải: 1 1 M 1      100 2 2 Ta có M 2M  M 1  Mà M 1  2101 2101 1 1 1 S         50 50 Mà 2 2 50 1 1 S        2 50 Vậy 1 A 1     100  Chứng minh 50  A  100 Bài 6: Cho Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Lời giải: 1 1   1  1 1  1  A 1                    99  99   100  15  1  1  3  7  2 Có 99 nhóm tổng A 1 1  1 1 1 1 1 1                      99  99   99  8 2   2  4 4 8 2 A A       100  1  1 1  1 1 1   A 1                     99  100   100  100   100      10 16  1   1  Có 99 nhóm tổng A  1 1 1 1  1 1 1   A                      100  100   100  100   100  4   8 8   16 16 16  2  2 1 1 1 A         100 1  50  100  50 2  2 2 2    2 100 so hang 1 1 1       Bài 7: Chứng minh rằng: 16 32 64 Lời giải: n Hướng dẫn : Đưa dạng tổng S 1  a  a  a   a để tính tổng so sánh 1 1 1 1 1 1 A            16 32 64 2 23 25 26 Đặt  A 1  1 1     2 2 25  A  A 3 A 1  Trang 18 26   1 26 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA  A   A  10 28 398      98 Bài 8: Cho B = 27 Chứng minh B < 100 Lời giải: 10 28 398 1 10 28 398 1 B      98      98 27 3 3 10 28 398  10 28 398   B  98         98       98 3 3 27 1 1 B  98      98 3 3 1 1  3( B  98) 1      97 3 3  3( B  98)  ( B  98) 1   2( B  98)  Trang 19 98 97 97 97  B  98   B 98   100 98 196 196 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Trang 20