Chương I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chuyên đề HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH A Kiến thức cần nhớ Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc (h.1.1) · · Hai góc đối đỉnh nhau: ·AOC BOD ; ·AOD BOC B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho góc bẹt AOB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB vẽ hai tia OM ON cho ·AOM BON · Chứng minh hai góc AON BOM hai góc đối đỉnh Giải (h.1.2) * Tìm cách giải Để chứng tỏ hai góc AON BOM hai góc đối đỉnh, ta cần chứng tỏ cạnh góc tia đối cạnh góc Vì có hai tia OA, OB đối nên phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối cách chứng tỏ MON góc bẹt * Trình bày lời giải · Góc AOB góc bẹt nên hai tia OA, OB đối Hai góc AOM BOM kề bù nên ·AOM BOM 180 · · · Mặt khác ·AOM BON (đề cho) nên BON BOM 180 · Suy MON 180 Vậy hai tia OM, ON đối Hai góc AON BOM có cạnh góc tia đối cạnh góc nên chúng hai góc đối đỉnh Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng EF GH cắt O tạo thành bốn góc khơng kể góc bẹt Biết tổng · · · EOG GOF FOH 250 Tính số đo bốn góc tạo thành Giải (h.1.3) * Tìm cách giải Để tính số đo bốn góc tạo thành, trước tiên cần tính số đo bốn góc * Trình bày lời giải · · · · · Ta có EOG GOF FOH 250 (đề cho), mà EOG GOF 180 · (hai góc kề bù) nên FOH 250 180 70 · · · Ta có GOF FOH 180 (hai góc kề bù) GOF 180 70 110 · · · · Vậy EOG FOH 70 (hai góc đối đỉnh); HOE GOF 110 (hai góc đối đỉnh) * Nhận xét: Sau tính số đo góc, ta tính số đo ba góc cịn lại nhờ vận dụng tính chất hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh Ví dụ 3: Cho bốn đường thẳng cắt điểm Xét góc khơng có điểm chung, chứng tỏ tồn hai góc nhỏ 45 Giải (h.1.4) * Tìm cách giải Hai góc đối đỉnh Do để chứng tỏ tồn hai góc nhỏ 45 , ta cần chứng tỏ tồn góc nhỏ 45 * Trình bày lời giải Bốn đường thẳng cắt điểm tạo góc khơng có điểm chung Nếu tất góc lớn 45 tổng chúng lớn 45 360 Điều vơ lí, tổng góc 360 Vậy phải tồn góc nhỏ 45 Góc góc đối đỉnh với Do tồn hai góc nhỏ 45 Ví dụ 4: Trong hình 1.5, hai góc AOC BOD hai góc đối đỉnh Hai tia OE, OF hai tia đối Cho biết tia OE tia phân giác góc AOC, chứng tỏ tia OF tia phân giác góc BOD Giải (h.1.5) * Tìm cách giải ¶ O ¶ Muốn phải sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh Ta cần chứng tỏ O * Trình bày lời giải Hai góc AOC BOD hai góc đối đỉnh nên tia OA, OB đối nhau, tia OC, OD đối Ngồi ¶ O ¶ (đề cho) ¶ O ¶ ;O ¶ O ¶ (hai góc đối đỉnh) Vì O ra, hai tia OE, OF đối nên ta có O ¶ O ¶ (1) nên O Mặt khác, tia OF nằm hai tia OB, OD (2) nên từ (1) (2) suy tia OF tia phân giác góc BOD C Bài tập vận dụng Tính số đo góc 1.1 Hai đường thẳng AB, CD cắt O tạo thành bốn góc khơng kể góc bẹt Biết ·AOC BOD · 100 Tính số đo góc tạo thành Hướng dẫn giải (h.1.6) · · Ta có: ·AOC BOD (hai góc đối đỉnh) mà ·AOC BOD 100 nên ·AOC BOD · 100 : 50 · Hai góc AOC BOC kề bù nên BOC 180 50 130 · Do ·AOD BOC 130 (hai góc đối đỉnh) 2· · MOP 1.2 Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt O tạo thành bốn góc khác góc bẹt Biết NOP Tính số đo góc tạo thành Hướng dẫn giải (h.1.7) 2· · · · Hai góc NOP MOP kề bù nên NOP MOP 180 mà NOP MOP 180 · · 72 ; MOP nên NOP 180 72 108 3 · · · · Suy MOQ NOP 72 (hai góc đối đỉnh); NOQ MOP 108 (hai góc đối đỉnh) 1.3 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt O Vẽ tia OM tia phân giác góc AOC Biết · · BOD a (0 a 180) Tìm giá trị a để BOM 155 Hướng dẫn giải (h.1.8) · Ta có ·AOC BOD a (hai góc đối đỉnh) a · Tia OM tia phân giác góc AOC nên ·AOM MOC · · Hai góc ·AOM BOM kề bù nên ·AOM BOM 180 suy a · BOM 180 a a a · 155 180 155 180 155 25 a 50 Ta có BOM 2 Vậy a 50 Lưu ý: Kí hiệu đọc “khi khi” Khi viết A B ta hiểu từ A suy B ngược lại, từ B suy A 1.4 Cho hai đường thẳng EF, GH cắt O Vẽ tia phân giác OK góc EOG Biết · · FOK m (0 m 180) Tìm giá trị m để FOH 110 Hướng dẫn giải (h.1.9) · · Hai góc EOK FOK kề bù nên EOK FOK 180 · EOK 180 m · 2 180 m Tia OK tia phân giác góc EOG nên EOG · · · · EOG 2 180 m Vì FOH đối đỉnh với EOG nên FOH · 110 180 m 110 180 m 55 Ta có FOH m 180 55 m 125 Vậy m 125 · 1.5 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt O, BOC 60 Một tia Ox trùng với tia OB OC nằm hai tia Vẽ tia Oy tia đối tia Ox Tìm số đo lớn góc AOy Hướng dẫn giải (h.1.10) · Hai góc AOy BOx hai góc đối đỉnh nên ·AOy BOx · · Ta có BOx nên ·AOy 60 ; dấu “=” xảy tia Ox trùng với BOC tia OC Vậy số đo lớn góc AOy 60 tia Ox trùng với tia OC 1.6 Cho ba đường thẳng AB, CD MN cắt O a) Trong hình vẽ có tất góc? b) Chứng tỏ góc nói tồn hai góc tù Hướng dẫn giải a) Ba đường thẳng cắt O tạo thành tia Số góc tia tạo là: 6.5 15 (góc) b) Xét hai đường thẳng AB CD ba đường thẳng cho (h.1.11) Hai đường thẳng tạo thành bốn góc khơng có điểm chung Tổng bốn góc 360 nên bốn góc phải tồn góc lớn 90 Thật vậy, góc nhỏ 90 tổng chúng nhỏ 90 360 : vơ lí Giả sử góc tồn nói góc BOD · · - Nếu BOD 90 ·AOC BOD 90 , tốn giải xong · - Nếu BOD 90 ta xét tiếp đường thẳng thứ ba MN qua O (h.1.12) Giả sử tia ON nằm góc BOD Khi góc BON góc nhọn ·AON · góc tù (vì BON ·AON hai góc kề bù) Góc AON góc tù góc · BOM góc tù (vì BOM ·AON ) Vậy ln tồn hai góc tù số 15 góc tạo thành Chứng tỏ hai tia đối 1.7 Chứng tỏ hai tia phân giác hai góc đối đỉnh hai tia đối Hướng dẫn giải (h.1.13) Xét hai góc đối đỉnh AOC BOD Gọi tia OM tia phân giác góc AOC; tia ON tia phân giác góc BOD Ta phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối ¶ O ¶ (một nửa hai góc ¶ O ¶ ;O ¶ O ¶ nên O · Ta có ·AOC BOD (hai góc đối đỉnh) mà O nhau) · Vì ·AOB 180 nên ·AOD DOB 180 ¶ O ¶ 180 ·AOD O ¶ O ¶ ) ¶ O ¶ 180 (vì O ·AOD O 1 · Do MON 180 Suy hai tia OM, ON đối 1.8 Cho hai đường thẳng AB MN cắt O cho ·AOM 90 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia OM, vẽ tia OC cho tia OM tia phân giác góc AOC Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia ON vẽ tia OD cho tia ON tia phân giác góc BOD Chứng tỏ hai tia OC, OD hai tia đối Hướng dẫn giải (h.1.14) · · · · Theo đề ta có ·AOM MOC mà ·AOM BON (hai góc , BON DON · · đối đỉnh) nên MOC DON · · · · Ta có MOD DON 180 (hai góc kề bù), suy MOD MOC 180 Hai góc MOD MOC hai góc kề, có tổng 180 nên hai tia OC, OD đối Chứng tỏ tia tia phân giác 1.9 Cho hai góc AOB AOC hai góc kề nhau, góc góc tù Vẽ tia OB tia đối tia OB, tia OC tia đối tia OC Chứng tỏ tia OA tia phân giác góc BOC Hướng dẫn giải (h.1.15) · · Ta có ·AOB ·AOC (đề cho) mà BOC COB (hai góc đối đỉnh) nên ·AOB BOC · · ·AOC COB · Do ·AOC AOB (1) Mặt khác, tia OA nằm hai tia OB OC (2) Nếu từ (1) (2) ta tia OA tia phân giác góc BOC 1.10 Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia OC OD cho ·AOC BOD · 150 Vẽ tia OE tia đối tia OD Chứng tỏ tia OB tia phân giác góc COE Hướng dẫn giải (h.1.16) · Hai góc AOC BOC kề bù nên ·AOC BOC 180 · BOC 180 150 30 Tương tự, ta tính ·AOD 30 · Ta có BOE ·AOD 30 (hai góc đối đỉnh) · · Suy BOC BOE 30 (1) Tia OB nằm hai tia OC OE (2) Từ (1) (2) ta tia OB tia phân giác góc COE Đếm góc, đếm tia 1.11 Cho bốn đường thẳng cắt điểm Tìm số cặp góc đối đỉnh tạo thành (khơng kể góc bẹt) a) Bằng cách liệt kê; b) Bằng cách tính tốn Hướng dẫn giải (h.1.17) a) Liệt kê cặp góc đối đỉnh Xét cặp góc “đơn”: Góc đối đỉnh với góc 5; Góc đối đỉnh với góc 6; Góc đối đỉnh với góc 7; Góc đối đỉnh với góc Có tất góc “đơn” đối đỉnh Xét cặp góc “ghép đơi” (ghép hai góc đơn kề thành góc “ghép đơi”): Góc 12 đối đỉnh với góc 56; Góc 23 đối đỉnh với góc 67; Góc 34 đối đỉnh với góc 78; Góc 45 đối đỉnh với góc 81 Có tất cặp góc “ghép đơi” đối đỉnh Xét cặp góc “ghép ba” (ghép ba góc đơn kề thành góc “ghép ba”): Góc 123 đối đỉnh với góc 567; Góc 234 đối đỉnh với góc 678; Góc 345 đối đỉnh với góc 781; Góc 456 đối đỉnh với góc 812 Có tất cặp góc “ghép ba” đối đỉnh Vậy tổng cộng có 4.3 12 cặp góc đối đỉnh b) Xây dựng cơng thức tính số cặp góc đối đỉnh Có đường thẳng cắt điểm nên có: 4.2 8 (tia) Số góc tia tạo 8.7 28 (góc) Khơng kể góc bẹt số góc cịn lại là: 28 24 (góc) Mỗi góc 24 góc có góc đối đỉnh với nên số cặp góc đối đỉnh tạo thành 24 : 12 (cặp) * Nhận xét: Nếu có n đường thẳng cắt điểm số cặp góc đối đỉnh (khơng kể góc bẹt) tạo thành n n 1 Thật vậy, số tia n đường thẳng cắt điểm tạo 2n (tia) Số góc 2n tia tạo là: 2n 2n 1 n 2n 1 2 Không kể n góc bẹt số góc cịn lại là: n 2n 1 n 2n n n 2n 2n 2n n 1 Số cặp góc đối đỉnh là: 2n n 1 n n 1 1.12 Cho n đường thẳng cắt điểm, chúng tạo thành: a) 20 cặp góc đối đỉnh (khơng kể góc bẹt); b) 90 cặp góc đối đỉnh (khơng kể góc bẹt) Tính giá trị n trường hợp Hướng dẫn giải a) Ta có: n n 1 20 b) Ta có: n n 1 90 n n 1 5.4 n 5 n n 1 10.9 n 10 Vậy n 5 Vậy n 10