Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
1,19 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: a, ab ba 11 HD: c, abcabc7,11,13 b, ab ba 9 (a > b) a, Ta có : ab ba 10a b 10b 11b 11b 11 b, Ta có : ab ba (10a b) (10b a ) 9a 9b 9 c, Ta có : abcabc abc.1001 abc.7.11.137,11,13 Bài 2: Chứng minh rằng: a, ( n 10)( n 15) 2 b, n(n 1)(n 2) 2,3 HD: a, Ta có: Nếu n số lẻ n 152 c, n n không 4,2,5 n 10 n 15 2 Nếu n số chẵn n 102 , Như với n số tự nhiên : n n 1 n b, Ta có: Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2,1 số chia hết cho n ( n 1) c, Ta có : số lẻ nên khơng cho 4,2 có chữ số tận khác Bài 3: Chứng minh rằng: a, (n 3)(n 6) 2 b, n n không c, aaabbb37 HD: a, Ta có: Nếu n số chẵn n 62 n 3 n 2 Nếu n lẻ n 32 , Như với n số tự nhiên b, Ta có : n n n n 1 : 0, 2, 6, Do : , Vì n n 1 n n 1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận có tận 6, 8, nên khơng c, Ta có : aaabbb aaa 000 bbb a.11100 b.111 a.300.37 b.3.37 chia hết cho 37 Bài 4: Chứng minh rằng: a, aaa a ,37 HD: b, ab(a b)2 c, abc cba99 a, Ta có : aaa a.111 a.3.37 chia hết cho a chia hết cho 37 b, Ta có: Vì a, b hai số tự nhiên nên a,b có TH sau: TH1: a, b tính chẵn lẻ=> (a+b) số chẵn nhưu a+b chia hết cho TH2: a, b khác tính chẵn lẻ số phải có số chẵn số chia hết cho abc cba 100a 10b c 100c 10b a 99a 99c 99 a c 99 c, Ta có: Bài 5: CMR : ab 8.ba 9 HD: ab 8.ba 10a b 10b a 18a 18b 18 a b 9 Ta có: ab a b 2, a , b N Bài 6: Chứng minh rằng: Bài 7: Chứng minh số có dạng : abcabc ln chia hết cho 11 HD : abcabc a.105 b.104 c.103 b.10 c a.102 103 1 b.10 103 1 c 103 1 Ta có : 103 1 a.102 b.10 c 1001 a.10 b.10 c 11.91.abc 11 A n 5 n 6n Bài 8: Tìm n số tự nhiên để: HD: A 12 n n n 1 30 A6n n n 1 306n Ta có: , Để n n 1 n 30n n U 30 1;2;3;5;6;10;15;30 Ta có: n n 1 6 n n 1 3 n 1;3;6;10;15;30 Và n 1;3;10;30 Thử vào ta thấy thỏa mãn yêu cầu đầu Bài 9: CMR : 2x+y 9 5x+7y 9 HD: x y 9 x y 9 14 x y 9 x x y 9 x y 9 Ta có : Bài 10: Chứng minh rằng: a, Nếu ab cd 11 abcd 11 b, Cho abc deg 7 cmr abc deg 7 HD: a, Ta có: ab cd a.10 b 10c d (a c )10 b d (a c )(b d ) 11 hay (a+c) – (b+d) 11 Khi abcd 11 có (a+c) - ( b+d) 11 b, Ta có: Ta có abc deg 1000abc deg 1001abc (abc deg) mà abc deg 7 nên abc deg 7 Bài 11: Chứng minh rằng: b, Cho abc27 cmr bca27 a, CMR: ab 2.cd abcd 67 HD: a, Ta có: Ta có abcd 100ab cd 200cd cd 201cd 67 b, Ta có : Ta có abc 27 abc 027 1000a bc027 999a a bc 027 27.37a bca 27 Nên bca27 Bài 12: Chứng minh rằng: a, abc deg 23, 29 abc 2.deg b, Cmr (ab cd eg )11 abc deg 11 HD: a, Ta có : abc deg 1000abc deg 1000.2deg deg 2001deg deg.23.29.3 b, Ta có : abc deg 10000.ab 100cd eg 9999ab 99cd ( ab cd eg ) 11 Bài 13: Chứng minh rằng: a, Cho abc deg 37 cmr abc deg 37 b, Nếu abcd99 ab cd 99 HD: a, Ta có : abc deg 1000abc deg 999abc (abc deg) 37 99.ab ab cd 99 ab cd 9 abcd 100.ab cd b, Ta có : Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu abcd 101 ab cd 101 HD : abcd 101 100.ab cd 101.ab ab cd 101.ab ab cd 101 Ta có : => ab cd 101 Bài 15: Chứng minh rằng: a, 2a - 5b+6c 17 a-11b+3c 17 (a,b,c Z) b, 3a+2b 17 10a+b 17 (a,b Z) HD: a, Ta có: a-11b+3c 17 17a-34b +51c 17 nên 18a-45b+54c 17 => 9(2a-5b+6c) 17 b, Ta có: 3a+2b 17 17a - 34b 17 nên 20a – 32b 17 10a – 16b 17 10a +17b – 16b 17 10a+b 17 Bài 16: Chứng minh rằng: a, abcd 29 a 3b 9c 27d 29 b, abc 21 a 2b 4c21 HD: a, Ta có : abcd 1000a 100b 10c d 29 => 2000a+200b+20c+2d 29 => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d 29 => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29 b, Ta có: abc 100a 10b c 21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c 21 => 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21 Bài 17: Chứng minh rằng: a, abcd 4 d 2c 4 HD: b, abcd 16 d 2c 4b 8a 16 (c chẵn) a, Ta có: Vì e, abcd 4 cd 4 10c d 4 2c d 4 b, Ta có: Vì abcd 16 1000a 100b 10c d 16 992a 8a 96b 4b 8c 2c d 16 => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nên 8c 16 => (8a+4b+2c+d) 16 Bài 18: Chứng minh rằng: a, Cho a - b cmr 4a+3b 7 (a,b Z) b, Cmr m +4n 13 10m+n 13 HD: a, Ta có: a – b 7 nên 4(a –b) 7 => 4a – 4b +7b 7 => 4a +3b b, Ta có: m+4n 13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n 13 =>10m+ n 13 Bài 19: Cho a,b số nguyên, CMR 6a+11b 31 a+7b 31, điều ngược lại có khơng? HD: Ta có : 6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31 Bài 20: Cho a,b số nguyên, CMR 5a+2b 17 9a+7b 17 HD: Ta có : 5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b 17 Bài 21: Cho a,b số nguyên, CMR 2a+3b 8a + 5b HD: Ta có: 2a+3b 7 => 4(2a+3b) 7 =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b 7 Bài 22: Cho a,b số nguyên, CMR a - 2b a-9b 7, điều ngược lại có khơng? HD: Ta có: a – 2b 7 => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại Bài 23: Cho a,b số nguyên 5a+8b cmr a, - a +2b b, 10a +b (-3) c, a +16b HD: a, Ta có: 5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b 3=> -a+2b 3 b, Ta có: 5a +8b 3 => 2(5a+8b) 3=>10a+16b 3=>10a+16b-15b 3 c, Ta có: 5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b 3 =>a+16b 3 Bài 24: Cho biết a-b 6, CMR biểu thức sau chia hết cho a, a +5b b, a +17b c, a - 13b HD: a, Ta có: a-b 6 => a-b+6b 6=> a+5b 6 b, Ta có: a-b 6 => a-b +18b 6=> a+17b 6 c, Ta có: a - b 6 => a-b-12b 6=> a-13b Bài 25: CMR : x 25 3x y 5 ngược lại Bài 26: Cho hai số nguyên a b không chia hết cho 3, chia cho có số dư: CMR: (ab-1) HD: Ta có: a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r Z, r=1,2) r 1 r 03 r 2 r 33 ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r2-1 Bài 27: Chứng minh viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 HD: Ta có : Gọi số tự nhiên có chữ số ab theo ta có abba11 abba 1001a 110b 7.11.13a 11.10b Bài 28: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cịn tổng số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a,a+1,a+2 xét tổng Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta 4 a a 1 a a 3 4a Bài 29: Chứng minh tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, cịn tổng số lẻ liên tiếp khơng chia hết cho 10 HD: Gọi số chẵn liên tiếp a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được: a a a a a 5a 2010 Vì a số chẵn a 1, a 1, a 3, a 5, 2a 7, xét tổng ta : Tương tự với số lẻ liên tiếp : 2a 1 2a 1 2a 3 2a 2a 10a 15 10 Bài 30: Khi chi 135 cho số tự nhiên ta thương dư, Tìm số chia thương HD: 135 6 x r r x Gọi số chia x số dư r, Khi => r 135 x 135 x x 135 x x 135 x 22 Từ 135 135 x x x x 19 7 , Vậy x 20, 21, 22 Từ Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết số có hai chữ số mà tổng chữ số 14 , sau bạn Thắng đem chia số cho đươc dư , chia cho 12 dư a, CMR bạn Thắng làm sai phép chia b, Nếu phép chia thứ đúng, phép chia cho 12 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cần tìm n= ab a, n chia dư =>n chẵn n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn b, Vì a+b=14 nên ab 3 dư ab chia 12 dư Nếu phép chia thứ ab chia dư 4=> ab 4 => ab 12 => n chia 12 dư Bài 32: Chứng minh abc chia hết cho 37 bca cab chia hết cho 37 Bài 33: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Bài 34: Tìm số tự nhiên biết chia cho 17 số dư hai lần bình phương số thương Bài 35: Chứng minh tồn số tự nhiên chia cho 21 dư chia cho 84 lại dư Bài 36: Cho số nguyên dương khác thỏa mãn : tổng hai số chia hết cho tổng ba số chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ cảu tổng bốn số Bài 37: Tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 27, biết hai số 97 HD: Gọi số cần tìm a97b a97b 5 nên b = b = => trường hợp TH1: Với b 0 a97027 a a 169 a 2 , Khi số cần tìm 2970 thỏa mãn chia hết cho 27 TH2: Với b 5 a97527 a a 219 a 6 , Khi số cần tìm 6975 khơng chia hết cho 27 Bài 38: Tìm số có hai chữ số biết số chia hết cho tích chữ số HD: Gọi số cần tìm ab ab a.b 10a b ab 10a b a ba b k a k N => ab 10a b Mà Và 10a b b 10a b , mà b chia hết cho a=> 10a b.q 10a z.k q 10 k q Do k số có chữ số nên k= 1;2;5 Với k=1=> a=b, ta có số 11,22,33, 99, có số 11 thỏa mãn Với k=2=>b=2a, ta có số 12, 24, 36, 48, có số 12, 24, 36 thỏa mãn Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn Vậy số cần tìm 11, 12, 24, 36, 15 Bài 39: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số nó, cmr b a HD: Ta có: ab =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>b a Bài 40: Tìm a, b, c biết: 2009abc315 HD: (5;7;9) 1 2009abc BCNN 5;7;9 Ta có: 315 5.7.9 , Mà Ta có: 2009abc 2009000 abc 315.6377 245 abc 245 abc 315 315 U 245 abc Mà 100 abc 999 345 245 abc 1244 245 abc 630;945 abc 385;700 Bài 41: Tìm a,b biết: a-b=3 (14a3 35b2) 9 HD: Ta có: Để : 14a3 35b29 a b a b 189 a b 9 mà a b số chó chữ số nên a b 0, a b 9, a b 18 kết hợp với a - b =3 để tìm a b Bài 42: Tìm a,b biết:c, 5a 6b 23 a - b=4 HD: Để 5a 6b 23 a b a b 133 a b 13 Do a, b hai số tự nhiên có chữu số nên: a b 2, a b 5, a b 8, a b 11, a b 14, a b 17, , Kết hợp với a b 4 để tìm a,b 1999 1a 29 Bài 43: Tìm a,b biết rằng: 1999 19a8 1997 Bài 44: Tìm a biết rằng: Bài 45: Cho a/ 22x y HD: x y 7 x, y Z , CMR biểu thức sau chia hết cho x 20 y b/ c/ 11x 10 y a, Ta có: x y 7 x y 7 x y 21x 7 22 x y 7 b, Ta có: x y 7 x y x 21y 7 x 20 y 7 c, Ta có: x y 7 11x 11 y 7 11x 11y 21y 7 11x 10 y 7 Bài 46: Cho A 111 Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 khơng? HD: Ta có: 111 3.37 , nên để 111 1111 111 13 chia hết cho 37 Ta có: 111 ( 20 số ) có tổng chữ số 1+1+1+ +1=20 111 không chia hết 111 1 Bài 47: CMR: 7x+4y 29 9x+y 29 HD: Ta có: x y 9 36 x 29 x y 9 36 x y 9 x y 9 x y 9 Bài 48: CMR abcd 29 a+3b+9c+27d chia hết cho 29 HD: Ta có: abcd 29 1000a 100b 10c d 29 200a 200b 20c 2d 29 2001a 1 203b 3b 29c 9c 29d 2d 29 2001a 203b 29c 29d a 3b 9c 27 d 29 69.29a 7.29b 29c 29d a 3b 9c 27d 29 Khi đó: a 3b 9c 27d 29 Bài 49: Chứng minh x,y số nguyên cho ngược lại HD: x y 13 x y chia hết cho 13 x y 13 x y 13 20 x 16 y 13 x y 13 Ta có: Từ ta ngược lại Bài 50: Cho A n n , CMR A không chia hết cho 15 với số tự nhiên n HD: n n n n 1 0, 2, 6, Do : , Vì n n 1 n n 1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận : có tận 2, 4, nên không 5, A không chia hết cho 35 Bài 51: Cho a,b hai số phương lẻ liên tiếp, CMR : HD: Ta có: Vì a, b số lẻ nên Đặt a 1 b 1 192 a 1 b 1 4 a 2k 1 , b 2k 1 a 1 4k k 1 , b 1 4k k 1 k k 1 k 3 a 1 b 1 16k k 1 k 1 Khi : , Mà k k 1 , k k 1 Và chia hết cho 2 k k 1 k 1 12 a 1 b 1 16k k 1 k 1 192 Nên , Khi a, b số phương lẻ liên tiếp Bài 52: Tìm số nguyên tố tự nhiên n biết 2n+7 chia hết cho n+1 12n+1 HD: 2n 7n x 5n n 1 5n n 1 U Ta có : Tương tự : 2n 12n 2n 12n 12n 4212n 12n 4112n 1 12n 1 U 41 Bài 53: Tìm x,y nguyên dương biết (x+1) chia hết cho y (y+1) chia hết cho x HD: Ta có : Vì vai trị x, y bình đẳng nên giả sử : x y y 1 x 1 x 2y x; y 1;1 , 1; y 2 Nếu x 1y x 2 x y x 1 y 1 xy x y 1 xy x y 1 xy y x Nếu x y 1 1 xy x y xy số nguyên dương x y Mà 1 1 1 1 1 x y xy 2 4 x y xy (1) 1 1 1 x 5 x 2 x y xy x x x x , Thay vào (1) ta có : 1 1 y 3 y 2y Vậy cặp số (x ; y) phải tìm : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2) Bài 54: Tìm số có ba chữ số biết số chia cho 11 thương tổng chữ số số HD : Ta có : Gọi số cần tìm : abc abc 11 a b c 100a 10b c 11a 11b 11c Theo ta có : 89a b 10c 89a cb , Vì cb số có hai chữ số nên < a< => a = 1, Khi ta có : 89 cb bc 98 abc 198 n : 6 1 n 1 n 1 24 Bài 55: Chứng minh : HD : n;6 1 n 2, n n 2k 1, n 3k 1, n 3k Vì n 2k A 2k 1 2k 1 4k k 1 8 Với: n 3k A 3k 3k 3 A24 TH1 : n 3k A 3k 1 3k 3 3 A24 TH2: n 4 n Bài 56: CMR: a a 30, với n số nguyên dương Bài 57: Chứng minh 2x+3y chia hết cho 17 9x+5y chia hết cho 17 HD: Ta có : x y 17 x y 17 18 x 27 y 17 18 x 10 y 17 x y 17 Khi : x y 17 , Chứng minh tương tự điều ngược lại Bài 58: CMR: nguyên HD: M a b a c a d b c b d c d chia hết cho 12, Với a, b, c, d số M a b a c a d b c b d c d Ta có : Trong số a,b,c,d chắn có hai số chia cho có số dư, Nên hiệu chúng chia hết cho 3, Như M chia hết cho Lại có số nguyên a,b,c,d có số chẵn có số lẻ, Giả sử a,b số chẵn, c,d số lẻ a b , c d 2 a b c d 4 M 4 Khi Hoặc khơng phải số tồn số chia có số dư nên hiệu chúng chia hết cho 4, Khi M Như M chia hết cho nên M chia hết cho 12 Bài 59: Một số chia cho dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cho A, theo ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7 Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) a+39 đồng thời chia hết cho 7,17,23 Mà 7,17,23 đôi nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, A chia 27737 dư 2698 20 Bài 60: CMR: A 8 , chia hết cho 17 HD: 88 220 2 24 220 220 24 1 220.17 17 Ta có: A = Bài 61: Khi chia số tự nhiên gồm chữ số giống cho số tự nhiên gồm chữ số giống ta thương dư, Nếu xóa chữ số số bị chia xóa chữ số số bị chia thương phép chia số dư giảm trước 100, Tìm số chia số bị chi lúc đầu? HD: Gọi số bị chia lúc đầu aaa số chia lúc đầu bbb , số dư lúc đầu r Ta có: aaa 2.bbb r aa 2.bb r 100 nên aaa aa 2 bbb bb 100 a00 2.b00 100 a 2b Do a, b chữ số nên ta có bảng: Bài 62: Cho D=1-2+3-4+ +99-100 a, D có chia hết cho không, cho 3, cho không? sao? b, D có ước số tự nhiên, ước số nguyên? HD: a, Ta tính D= - 50, nên D có chia hết cho 2, không chia hết cho b, D = -50 2.5 nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, có 12 ước nguyên 2011 Bài 63: CMR : 10 chia hết cho 72 HD: 102011 1000 008 2010 Có tổng chữ số nên chia hết cho 9, có chữ số tận 008 nên chia hết cho 8, Như chia hết cho 8.9 = 72 1999 1997 Bài 64: Cho A 999993 555557 , CMR A chia hết cho HD: A 999993 1996 3 555557 1996 1 9999931996.9999933 5555571996.555557 Ta có : A .7 05 A5 cho 5, chia cho số dư khác nhau, Bài 65: Cho số tự nhiên liên tiếp CMR: tổng chúng 5 * n Bài 66: Cho a, n N , biết a 5 , cmr a 150 chia hết cho 25 HD: 2 Ta có: a 5 mà số nguyên tố a 5 a 25 a 15025 Bài 67: Chứng minh a khơng bội a chia hết cho Bài 68: Chứng minh a a 10 Bài 69: CMR : p n 3n , không chia hết cho 121 với số tự nhiên n 10 Dạng 2: CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀ ĐỒNG DƯ THỨC A Lý thuyết: + Một số có chữ số tận : 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa n 0 số có chữ số tận (0; 1; 5; 6) + Số có chữ số tận 2; 4; nâng lên lũy thừa số có chữ số tận + Số có chữ số tận 3; 7; nâng lên lũy thừa số có chữ số tận Chú ý 1: + số tự nhiên nâng lên lũy thừa 4k+1 chữ số tận khơng thay đổi + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n số có chữ số tận + Còn lại chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, nâng lên lũy thừa 4n tận + Nếu a b có số dư chia cho m a gọi đồng dư với b theo modum m a b mod m KH: mod 11 mod 18 0 mod Ví dụ: + Một số tính chất đồng dư: a b mod m a c mod m b c mod m + Nếu: a b mod m a c b d mod m c d mod m + Nếu: a b mod m a.c b.d mod m c d mod m + Nếu: a b mod m a n bn mod m + Nếu: a b mod m a : d b : d mod m + Nếu d UC(a; b) thỏa mãn: ( d; m) = a b m d UC a; b; d mod a b mod m , d Z , d d d + Nếu thỏa mãn : Chú ý : Không chia vế dồng dư thức : 12 mod10 6 mod10 Ví dụ : , điều sai B Bài tập áp dụng: 2004 Bài 1: Tìm số dư phép chia 2004 chia cho 11 HD: Dấu hiệu chia hết cho 11 hiệu chữ số hàng lẻ với chữ số hàng chẵn tính từ bên trái chia hết cho 11 200211 2004 2 mod11 2004 2004 22004 mod11 Ta có: 210 1 mod11 20042004 24.22000 24 210 Mà 2004 Vậy 2004 chi cho 11 dư 2005 Bài 2: Tìm số dư chia A 1944 cho HD: 200 mod11 24 mod11 5 mod11 13 Ta có: 1944 mod 19442005 2 Mà Vậy mod 1944 2004 2005 668 mod 668 mod 1 mod 1 mod 1944 2005 1 mod hay A chia cho dư 1000 A 1, B 61001 bội số Bài 3: Chứng minh rằng: HD: 1 mod 61000 1 mod A 0 mod A7 Ta có: Chứng minh tương tự với B Bài 4: Tìm số dư phép chia: 1532 chia cho HD: 1532 2 mod 15325 25 mod 5 mod 15325 4 mod Ta có: , Nên 2n n Bài 5: Chứng minh rằng: A 7.5 12.6 19 HD: n n 25n 6n mod19 7.25n 7.6n mod19 Ta có: A 7.25 12.6 , Vì A 7.6n 12.6n mod19 6n.19 mod19 0 mod19 A19 2003 Bài 6: Tìm dư phép chia: chia cho 13 HD: 33 1 mod 13 33 667 Ta có: 2002 Bài 7: Chứng minh : 431 HD : 32 32 mod13 25 32 1 mod 31 25 , Vậy số dư 400 2 4 mod 31 A 2 2002 0 mod 31 Ta có : 5555 2222 Bài 8: Chứng minh : 2222 5555 7 HD : 5555 2222 mod 22225555 mod Ta có : 5555 4 mod 55552222 4 2222 mod Và , Khi : 5555 2222 A mod 4 Mà : 5555 3333 2222 A 4 2222 33333 1 mod 1 , có 43 1 mod 43333 1 mod 43333 0 mod , hay A7 Xét 70 50 Bài 9: Tìm dư phép chia : khichia cho 12 HD: 52 1 mod 12 570 1 mod 12 Ta có: 72 1 mod 12 750 1 mod12 Và , Khi số dư 776 777 778 Bài 10: Tìm số dư A 776 777 778 , chia cho chi cho HD : 776 1 mod 3 776776 1 mod 3 Ta có : 777 0 mod 3 777777 0 mod 3 3333 778 1 mod 3 778778 1 mod Mặt khác : 776 1 mod 5 776 776 , Khi A chia có dư 1 mod 14 777 mod 5 777777 3 777 mod 5 778 3 mod 5 778778 3778 mod A 1 3777 3778 mod 5 1 3.3777 3777 mod 5 1 3777 1 mod 1 2.3777 mod Khi 33 mod 5 3777 32 Mà Vậy 388 mod 3 mod A 1 2.3 mod 5 2 mod 5 hay A chia dư 2005 2005 Bài 11: Tìm số dư A 3 chia A cho 11 chia cho 13 HD: Ta có: Và 35 1 mod11 35 45 1 mod11 45 401 401 1 mod11 1 mod11 668 Mặt khác: 33 1 mod13 43 mod13 43 , Khi A chia cho 11 dư 3 mod13 668 4 mod13 Và , Khi A chia cho13 dư Bài 12: Tìm chữ số tận số sau: 20002008 ;11112019 ;2007 2017 ;13582018 ;234567 ;5235 ;204 402 ;20133102 ;10201040 Bài 13: Tìm chữ số tận của: 99 a, HD: 67 b, 4k 9 a, Ta có: số lẻ có TH 4k k 1 94 k.9 1.9 TH1 : k 3 9 k.93 1.93 TH2 : 4k b, Ta thấy : số lẻ nên chia có TH : 4k 2008 2008 2008 Bài 14 : Cho A 17 11 , Tìm chữ số tận A HD : Ta có : A 25 21 Bài 15 : Cho M 17 24 13 , Chứng minh rằng: M 10 HD: Ta có: M M 10 n C 92 32 n N , n 1 Bài 16: Chứng minh rằng: HD: n 2n 2.2n 812 C 42 Ta có: C 9 9 102 102 Bài 17: Chứng minh rằng: A 8 10 2003 2024 2005 Bài 18: Tìm chữ số tận số sau: 2222 ;2018 ;2005 Bài 19: Chứng minh rằng: n1 n1 4n 110 a, 35 b, c, 15 n2 15 Bài 20: Chứng minh rằng: n Bài 21: Chứng minh số có dạng: A 2 n N , n 1 có chữ số tận 15 HD: n Ta có: n n 41n 4.4n A 2 2 4.4 16 4n n B 32 45 n N , n 2 Bài 22: Chứng minh số có dạng: HD: n n n n 4.2n B 32 34.2 55 Ta có: 2 n Bài 23: Chứng minh số có dạng HD: C 34 110 n N , n 1 n Ta có: 4n 41n 4.4 n C 34 34 4n 81 Bài 24: Tìm chữ số hàng đơn vị của: 1111 1111 5555 a, 6666 1111 66 10n 555n 666n , n N , n 1 b, 99992 n 9992 n 1 10n , n N * c, 20184 n 20194 n 2007 n , n N * d, Bài 25: Tìm chữ số tận số sau: a, A= 24n - (n > 0, n N) b, B= 24n+2 + (n N) HD: n a, Ta có : A= 4n 10 c, C= 74n – (n N ) n 24 n 16 n 2 24 n.4 6.4 b, Ta có : B 2 4n c, Ta có : C 7 Bài 26: Tìm chữ số tận số sau: n n a, D= HD: b, E= n n n 2 4.2 (24 )2 a, Ta có : =2 =2 =4.2 => 2 n n n n 1 n 4.4n 24 2 4.4 (2 ) b, Ta có : 4 n 2+n-2 n-2 n-2 Bài 27: Chứng minh rằng: 22 4n a, A = 15 b, B= 410 HD: 22 a, Ta có : 2 155 n c, C= 110 n b, Ta có : Ta có có tận n n n n 1 n 2.2 n 92 92.2 (9 ) 10 c, Ta có : 2 Bài 28: Chứng minh rằng: n1 n1 4n a, E= 35 b, F= 110 c, H= 15 HD: n 1 24 n.2 6.2 a, Ta có : 2 n 1 2n b, Ta có : 9 1.9 4n c, Ta có : Bài 29: Chứng minh rằng: 16 n 15 a, I= HD: n n b, K= 45(n 2) c, M= 110(n 1) n 2 2 n.22 6.4 a, Ta có : n n n 2n 22.2n 4.2n 32 34.2 b, Ta có : 2 n n n 1 n 4.4n 34 34.4 c, Ta có : 4 Bài 30: Chứng minh rằng: n1 2n a, D= 25 b, G= 1cả HD: n 1 4n a, Ta có : 3 1.3 55 2n b, Ta có : Bài 31: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 n 1 n 1 2(n N ) a, 1(n N ) b, HD: n 1 4n a, Ta có : 3 1.3 4 n 1 24 n.2 6.2 b, Ta có : Bài 32: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 n a, 4(n N, n 2) n b, 6(n N , n 1) HD: n n n 2n 22.2n 4.2n 22 2 4.2 a, Ta có : 2 n n n 1 n 4.4 n 94 94.4 b, Ta có : 4 Bài 33: Chứng minh rằng: a, 94260 - 35137 b, 995 – 984 +973 – 962 2 HD: 15 942 a, Ta có : 351 37 .1 55 4 b, Ta có : 99 98 97 96 99 99 98 97 96 1.99 Hiển nhiên chia hết cho Bài 34: Chứng minh rằng: 25 21 a, 17 24 13 10 HD: 102 102 b, 10 25 21 24 20 a, Ta có: 17 24 13 17 17 24 13 13 1.17 1.13 chia hết cho 10 102 102 100 100 b, Ta có: 8 2 6.64 6.4 nên chia hết cho 10 Bài 35: Chứng minh rằng: 28 36 10 a, 36 45 b, 10 872 HD: 36 10 a, Ta có: 36 9 .1.81 36 10 Chia hết cho 5, ta thấy 369 36 9,9 9 đpcm 28 b, Ta có : 10 10 00 1000 0088 có tổng chữ số nên chia hết cho Khi chia hết cho 72 Bài 36: Chứng minh rằng: 20 15 a, 17 b, 16 33 HD: a, Ta có: 88 220 23 220 224 220 220 24 1 220.17 17 17 165 215 24 215 220 215 215 25 1 215.3333 b, Ta có: Bài 37: Chứng minh rằng: a, 10 59 HD: 13 b, 81 27 45 a, Ta có: 106 57 2.5 57 26.56 57 56 26 56.59 59 13 817 279 913 34 33 32 328 327 326 326 32 1 326.5 324.4545 b, Ta có: Bài 38: CMR: 100 99 a, 2008 2008 2009 HD: a, Ta có: b, 12345 678 12345677 12344 2008100 200899 200899 2008 1 200899.2009 2009 12345678 12345677 12345677 12345 1 12345677.1234412344 b, Ta có: Bài 39: Cho n số tự nhiên, CMR : A=17n+111 (n chữ số 1) HD: Ta có : A 18n n 111 Số 1111 có tổng chữ số 1+1+1+1+ +1 có n số nên n Khi A 18n n 1111 có 18n9 nên cần 1111 1-n chia hết cho mà 1111 - n có tổng chữ số nên chia hết cho Vậy A chia hết cho 9 8009 Bài 40: Tìm chữ số tận tổng sau: S 2 2004 HD: Ta thấy lũy thừa S có số mũ chia cho dư Nên tổng S có chữ số tận là: 2004 9009 S có chữ số tận 11 8011 Bài 41: Tìm chữ số tận của: T 2 2004 HD: Ta thấy lũy thừa T có dạng chia dư 3, Nên tổng T có chữ số tận : 199 + 9019 Vậy chữ số tận T Bài 42 : Tìm số dư : 8005 a, A 2 2003 chia cho 11 8007 b, B 2 2003 chia cho Bài 43: Tìm chữ số tận : 10 8010 a, C 2 2004 12 16 8016 b, D 2 2004 Bài 44: Chứng minh chữ số tận số sau giống nhau: 8013 11 8015 a, A 2 2005 B 2 2005 Bài 45: Tìm chữ số tận của: 13 4013 4017 a, A 10 12 14 2014 2016 13 4021 4025 b, B 9 11 2015 2017 11 15 4027 4031 c, C 5 2015 2017 13 3997 4001 d, D 21 23 25 2017 2019 43 47 51 203 207 e, E 20 22 24 98 100 12 16 8016 f, F 2 2004 18 Bài 46: Tìm chữ số tận của: n A 194 7, n 2 a, n 2017 2016 n 2 b, n n n C 19994 19972 19964 2017 n 2 Bài 47: Tìm chữ số tận của: 10 Bài 48: Tìm số tự nhiên n để n 110 HD: 2 n10 n n 110 n n Ta có: 10=4.2+2, nên 1999 1997 Bài 49: CMR: 999993 55557 5 phải có tận 9=> n=3 n=7 19 Chú ý: Đối với tìm chữ số tận cùng: + Với chữ số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa bao nhiên (Khác 0) có chữ số tận n + Các số 26 ln có tận 76 (n>1) 10 20 + Các số: ,3 có tận 76 01 + Còn lại đưa lên lũy thừa 2,4,5 trở 76 01 100 100 Bài 1: Tìm chữ số tận của: , HD: 10 Ta có: 2100 210 76 10 76 Và 666 101 101 Bài 2: Tìm chữ số tận : 51 ,99 ,6 ;14 16 HD: 51 25 Ta có: 5151 512 51 01 49 9999 99 99 01 49 3100 320 01 01 99 25 51 51 99 99 6666 65133.6 76.6 56 50 14101.16101 224101 224 224 76.224 24 99 2k k 1 2n n 1 99 5n n 1 66 Bài 3: Tìm chữ số tận của: 51 ,51 ,99 ,99 ,99 ,6 ,6 ,6 HD: 99 9999 99 9999 2n 9999 99 n 1 n N , n 1 99 ; 99 Ta thấy: thấy số lẻ nên n 99 n1 99 99 99 01 99 2003 2003 2004 2005 2004 Bài :Tìm số tận : ,9 ,74 ,18 68 ,74 Bài : Tìm chữ số : 492 n ;492 n 1 n N a, 24 n.38n n N b, 3n n 23n 3.3n 1 n N c, 742 n ,74 n 1 n N d, HD : 24 n.38 n 24 n 32 4n 18 4n b, Bài : Chứng minh : 2n 10 n N , n 1 a, A 26 265 B 242 n 1 76100 n N b, 2000 2000 2000 c, M 51 74 99 HD: c, Có chữ số tận 76 2008 Bài 7: Chứng minh rằng: A 10 12545 HD: A có chữ số tận nên A 5 Mặt khác A có tổng chữ số :1+1+2+5=9 9 nên A9 20