168 toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp ( có lời giải chi tiết) Bài : Số có 1995 chữ số chia cho 15 phần thập phân thương bao nhiêu? A A A A 0,2 Giải : Gọi số có 1995 chữ số A Ta có: 15 Một số chia hết cho tổng chữ số số chia hết cho Tổng chữ số A 1995 x Vì 1995 chia hết 1995 x chia hết cho Do A = 777 77777 chia hết cho 1995 chữ số Một số chia hết cho chia cho cho số dư Chữ số tận A không chia hết cho 3, A chia hết phép chia A cho số cuối chia cho phải 27 Vậy chữ số tận thương phép chia A cho 9, mà x = 18, số A/3 x 0,2 số có phần thập phân Vì chia A = 777 77777 cho 15 thương có phần thập phân 1995 chữ số Nhận xét : Điều mấu chốt lời giải toán việc biến đổi A/15 = A/3 x 0,2 Sau chứng minh A chia hết cho tìm chữ số tận thương phép chia A cho Ta mở rộng tốn tới tốn sau : Bài (1* ): Tìm phần thập phân thương phép chia số A cho 15 biết số A gồm n chữ số a A chia hết cho ? Nếu kí hiệu A = aaa aaaa giả thiết A chia hết cho (tức n x a chia hết cho 3), n chữ số a tương tự cách giải tốn ta tìm phần thập phân thương chia A cho 15 sau : - Với a = phần thập phân (A = 111 1111 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 222 2222 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 333 3333 , với n tùy ý) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 444 4444 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 555 5555 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 666 6666 , với n tùy ý) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 777 7777 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 888 8888 , với n chia hết cho 3) n chữ số Nhấp vào link để nhận nhiều chia sẻ hữu ích dành cho học sinh lớp https://youtube.com/playlist?list=PLQqBB591ryC33sQFYWNZoi8_zE2iDNpEt - Với a = phần thập phân (A = 999 9999 , với n tùy ý) n chữ số Trong toán (1*) số chia 15 Bây ta xét tiếp ví dụ mà số chia khơng phải 15 Bài Tìm phần thập phân thương phép chia số 111 1111 cho 36 ? 2007 chữ số Giải Đặt A = 111 1111 2007 chữ số A A A 0,25 36 9 Ta có: Vì 0,25 có hai chữ số phần thập phân nên ta tìm hai chữ số tận thương phép chia A cho Một số chia hết cho tổng chữ số số chia hết cho Tổng chữ số A 2007 x = 2007 Vì 2007 chia hết A = 111 1111 chia hết cho 2007 chữ số Một số chia hết cho chia cho cho số dư số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Chữ số tận A không chia hết cho 9, A chia hết phép chia A cho 9, bước cuối (ta gọi bước k) : số chia cho phải 81 Vậy chữ số tận thương phép chia A cho Cũng phép chia A cho 9, trước bước cuối (bước k - 1) : số chia cho cho số dư 71 thương ta số giáp số cuối Vậy hai chữ số tận thương phép chia A cho 79 A 0,25 Do số = 79 X 0,25 = ,75 số có phần thập phân 75 Nhận xét: a) Vì số 0,25 có phần thập phân số có hai chữ số, nên ta tìm chữ số tận thương phép chia A cho sau nhân chữ số cuối với 0,25 kết khơng b) Cũng biến đổi 36 = 12 x 36 = x 6, nhiên việc tính tốn phức tạp nhiều trường hợp không thực Vận dụng: Tìm phần thập phân thương phép chia : a) Số 111 1111 cho 12 ? 2001 chữ số b) Số 888 8888 cho 45 ? 2007 chữ số c) Số 333 3333 cho 24 ? 1000000 chữ số Bài : Cho mảnh bìa hình vng ABCD Hãy cắt từ mảnh bìa hình vng cho diện tích cịn lại diện tích mảnh bìa cho Bài giải : Theo đầu hình vng ABCD ghép hình vng nhỏ tam giác (trong có tam giác to, tam giác con) Ta thấy ghép tam giác để tam giác to đồng thời ghép tam giác để hình vng nhỏ Vậy diện tích hình vng ABCD diện tích + x + x = 18 (tam giác con) Do diện tích hình vuông ABCD : 18 x (10 x 10) / = 900 (cm2) Bài 5:Tuổi ông tuổi cháu 66 năm Biết tuổi ông năm tuổi cháu nhiêu tháng tính tuổi ông tuổi cháu (tương tự Tính tuổi - thi Giải toán qua thư TTT số 1) Giải Giả sử cháu tuổi (tức 12 tháng) ông 12 tuổi Lúc ông cháu : 12 - = 11 (tuổi) Nhưng thực ông cháu 66 tuổi, tức gấp lần 11 tuổi (66:11=6) Do thực tuổi ơng : 12 x = 72 (tuổi) Còn tuổi cháu : x = (tuổi) thử lại tuổi = 72 tháng ; 72 - = 66 (tuổi) Đáp số :Ông : 72 tuổi Cháu : tuổi Bài 6: Một vị phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo : "Thưa thầy, lớp có học sinh ?" Thầy cười trả lưịi :" Nếu có thêm số trẻ em số có thêm nửa số đó, lại thêm 1/4 số đó, thêm quý vị (một lần nữa) vừa trịn 100" Hỏi lơp có học sinh ? Giải: Theo đầu tổng tất số HS tất số HS 1/2 số HS 1/4 số HS lớp : 100 - = 99 (em) Để tìm số HS lớp ta tìm trước 1/4 số HS lớp Giả sử 1/4 số HS lớp em lớp có HS Vậy : 1/4 số HS lứop : : = (em) Suy tổng nói : + + + = 11 9em) Nhưng thực tế tổng phải 99 em, gấp lần 11 em (99 : 11 = 9) Suy số HS lớp : x = 36 (em) Thử lại: 36 + 36 = 36/2 + 36/4 + = 100 Đáp số: 36 học sinh Bài 7:Tham gia hội khoẻ Phù Đổng huyện có tất 222 cầu thủ thi đấu hai mơn: Bóng đá bóng chuyền Mỗi đội bóng đá có 11 người Mỗi đội bóng chuyền có người Biết có thảy 27 đội bóng, tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền Giải Giả sử có đội bóng đá, số đội bóng chuyền là: 27 - = 20 (đội bóng chuyền) Lúc tổng số cầu thủ là: x 11 + 20 x = 197 (người) Nhưng thực tế có tới 222 người nên ta phải tìm cách tăng thêm: 222 - 197 = 25 (người), mà tổng số dội không đổi Ta thấy thay dội bóng chuyền đội bóng đá tổng số đội khơng thay đổi tổng số người tăng thêm: 11 - = (người) Vậy muốn cho tổng số người tăng thêm 25 số dội bống chuyền phải thay đọi bóng đá là: 25 : = (đội) Do đó, số đội bóng chuyền là: 20 - = 15 (đội) Còn số đội bống đá là: + = 12 (đội) Đáp số: 12 đội bóng đá, 15 đội bóng chuyền Bài 8:Số gà nhiều số thỏ 28 số chân gà nhiều số chân thỏ 40 chân Hỏi có gà, thỏ? Giải Giả sử có 10 thỏ, có : 10 + 28 = 38 (con) Số chân gà : 38 x = 76 (chân) Số chân thỏ : 10 x = 40 (chân) Hiệu số chân gà thỏ : 76 - 40 = 36 (chân) Vì thực tế số chân gà số chân thỏ tới 40 chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu : 40 - 36 = (chân) Ta thấy bớt thỏ gà hiệu số gà thỏ khơng thay đổi song hiệu số chân gà thỏ tăng thêm: - = (chân) Để hiệu số chân tăng thêm số thỏ gà phải bớt : : = (con) Vậy số thỏ là: 10 - = (con thỏ) Số gà : 38 - = 36 (con gà) Đáp số : 36 gà thỏ Bài 9: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ Sau từ B A với vận tốc 45 km/giờ Tính quãng đường AB biết thời gian từ B A thời gian từ A đến B 40 phút Giải : Tỉ số vận tốc vận tốc quãng đường AB : 30 : 45 = 2/3 Vì quãng đường nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Do tỉ số thời gian thời gian 3/2 Ta có sơ đồ : Thời gian từ A đến B : 40 x = 120 (phút) Đổi 120 phút = Quãng đường AB dài : 30 x = 60 (km) Bài 10 : Tích sau có tận chữ số ? Bài giải Tích bốn thừa số x x x = 16 2003 : = 500 (dư 3) nên ta viết tích 2003 thừa số dạng tích 500 nhóm (mỗi nhóm tích bốn thừa số 2) tích ba thừa số cịn lại Vì tích thừa số có tận là số có tận nên tích 500 nhóm có tận Do x x = nên nhân số có tận với ta số có tận (vì x = 48) Vậy tích 2003 thừa số số có tận Bài 11 : Một người mang cam đổi lấy táo lê Cứ cam đổi táo lê, táo đổi lê Nếu người đổi hết số cam mang 17 táo 13 lê Hỏi người mang cam ? Bài giải cam đổi táo lê nên 18 cam đổi táo lê Vì táo đổi lê nên 18 cam đổi : + = (quả táo) Do cam đổi táo Cứ táo đổi lê nên 10 cam đổi lê Vậy cam đổi lê Số cam người mang để đổi 17 táo 13 lê : x 17 + x 13 = 99 (quả) Bài 12 : Tìm số tự nhiên cho lấy 1/3 số chia cho 1/17 số có dư 100 Bài giải Vì 17 x = 51 nên để dễ lí luận, ta giả sử số tự nhiên cần tìm chia thành 51 phần Khi 1/3 số 51 : = 17 (phần) ; 1/17 số 51 : 17 = (phần) Vì 17 : = (dư 2) nên phần số có giá trị 100 suy số : 100 : x 51 = 2550 Bài 13 : Tuổi 1/2 hiệu tuổi bố tuổi Bốn năm trước, tuổi 1/3 hiệu tuổi bố tuổi Hỏi tuổi 1/4 hiệu tuổi bố tuổi tuổi người bao nhiêu? Bài giải Hiệu số tuổi bố không đổi Trước năm tuổi 1/3 hiệu này, năm : 1/2 - 1/3 = 1/6 (hiệu số tuổi bố con) Số tuổi bố : : 1/6 = 24 (tuổi) Khi tuổi 1/4 hiệu số tuổi bố tuổi là: 24 x 1/4 = (tuổi) Lúc tuổi bố : + 24 = 30 (tuổi) Bài 14 : Hoa có sợi dây dài 16 mét Bây Hoa cần cắt đoạn dây để có đoạn dây dài 10 mét mà tay Hoa có kéo Các bạn có biết Hoa cắt không ? Bài giải Cách : Gập đơi sợi dây liên tiếp lần, sợi dây chia thành phần Độ dài phần chia : 16 : = (m) Cắt phần cịn lại phần Khi độ dài đoạn dây cịn lại : x = 10 (m) Cách : Gập đôi sợi dây liên tiếp lần, sợi dây chia thành phần Độ dài phần chia : 16 : = (m) Đánh dấu phần chia đầu dây, phần đoạn dây lại gập đôi lại, cắt phần đầu bên độ dài đoạn dây cắt : (16 - 4) : = (m) Do độ dài đoạn dây lại : 16 - = 10 (m) Bài 15 : Một ruộng hình chữ nhật chia thành mảnh, mảnh nhỏ trồng rau mảnh cịn lại trồng ngơ (hình vẽ) Diện tích mảnh trồng ngơ gấp lần diện tích mảnh trồng rau Chu vi mảnh trồng ngơ gấp lần chu vi mảnh trồng rau Tính diện tích ruộng ban đầu, biết chiều rộng mét Bài giải Diện tích mảnh trồng ngơ gấp lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung cạnh nên cạnh cịn lại mảnh trồng ngơ gấp lần cạnh cịn lại mảnh trồng rau Gọi cạnh lại mảnh trồng rau a cạnh cịn lại mảnh trồng ngơ a x Vì chu vi mảnh trồng ngô (P1) gấp lần chu vi mảnh trồng rau (P2) nên nửa chu vi mảnh trồng ngô gấp lần nửa chu vi mảnh trồng rau Nửa chu vi mảnh trồng ngô nửa chu vi mảnh trồng rau : a x + - (a + 5) = x a Ta có sơ đồ : Độ dài cạnh lại mảnh trồng rau : x : (5 x a - x a) = 7,5 (m) Độ dài cạnh lại mảnh trồng ngô : 7,5 x = 45 (m) Diện tích ruộng ban đầu : (7,5 + 4,5) x = 262,5 (m2) Bài 16 : Tôi từ trường nhà với vận tốc km/giờ Về đến nhà đạp xe đến bưu điện với vận tốc 15 km/giờ Biết quãng đường từ nhà tới trường ngắn quãng đường từ nhà đến bưu điện km Tổng thời gian từ trường nhà từ nhà đến bưu điện 32 phút Bạn tính qng đường từ nhà tơi đến trường Bài giải Thời gian để km xe đạp : : 15 = 0,2 (giờ) Đổi : 0,2 = 12 phút Nếu bớt km quãng đường từ nhà đến bưu điện thời gian hai quãng đường từ nhà đến trường từ nhà đến bưu điện (đã bớt km) : 32 phút - 12 phút = 20 phút = 80 phút Vận tốc xe đạp gấp vận tốc : 15 : = (lần) Khi quãng đường không đổi, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên thời gian từ nhà đến trường gấp lần thời gian từ nhà đến thư viện (khi bớt km) Vậy : Thời gian từ nhà đến trường : 80 : (1 + 3) x = 60 (phút); 60 phút = Quãng đường từ nhà đến trường : x = (km) Bài 17 : Cho phân số : a) Có thể xóa tử số mẫu số số mà giá trị phân số không thay đổi không ? b) Nếu ta thêm số 2004 vào mẫu số phải thêm số tự nhiên vào tử số để phân số không đổi ? Bài giải = 45 / 270 = 1/6 a) Để giá trị phân số khơng đổi ta phải xóa số mẫu mà tổng gấp lần tổng số xóa tử Khi tổng số cịn lại mẫu gấp lần tổng số cịn lại tử Vì đổi vai trị số bị xóa với số cịn lại tử mẫu ta có thêm phương án xóa Có nhiều cách xóa, ví dụ: Số số bị xóa mẫu tăng dần tổng chia hết cho 6: mẫu xóa 12 tử xóa ; mẫu xóa 18 tử xóa xóa 1, ; mẫu xóa 24 xóa 11, 13 tử xóa xóa 1, ; mẫu xóa 12, 18 13, 17 14, 16 tử xóa 2, 1, ; mẫu xóa 12, 24 11, 25 13, 23 14, 22 15, 21 16, 20 17, 19 tử xóa 1, 2, 1, 2, ; mẫu xóa 18, 24 17, 25 19, 23 20, 22 11, 13, 18 12, 13, 17 11, 14, 17 11, 15, 16 12, 14, 16 13, 14, 15 tử xóa 1, 2, 3, 1, 2, ; b) Để giá trị phân số khơng đổi, ta thêm số vào tử 1/6 số thêm vào mẫu Vậy thêm 2004 vào mẫu số phải thêm vào tử : 2004 : = 334 Bài 18 : Người ta lấy tích số tự nhiên liên tiếp từ đến 30 để chia cho 1000000 Bạn cho biết : 1) Phép chia có dư khơng ? 2) Thương số tự nhiên có chữ số tận ? Bài giải : Xét tích A = x x x x 29 x 30, thừa số chia hết cho 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = x coi có thừa số chia hết cho Mỗi thừa số nhân với số chẵn cho ta số có tận số Trong tích A có thừa số số chẵn không chia hết cho : 2, 4, 6, 8, 12, , 26, 28 (có 12 số) Như vật tích A có cặp số có tích tận 0, tích A có tận chữ số Số 000 000 có tận chữ số nên A chia hết cho 000 000 thương số tự nhiên có tận chữ số Bài 19 : Ba bạn Toán, Tuổi Thơ có số Nếu lấy 40% số Toán chia cho Tuổi Thơ số ba bạn Nhưng Tốn bớt số Tốn tổng số Tuổi Thơ Hỏi bạn có ? Bài giải Đổi 40% = 2/5 Nếu lấy 2/5 số Toán chia cho Tuổi Thơ bạn Tuổi hay Thơ thêm 2/5 : = 1/5 (số Tốn) Số cịn lại Tốn sau cho : - 2/5 = 3/5 (số Tốn) Do lúc đầu Tuổi hay Thơ có số : 3/5 - 1/5 = 2/5 (số Toán) Tổng số Tuổi Thơ lúc đầu : 2/5 x = 4/5 (số Toán) Mặt khác theo đề Tốn bớt số Toán tổng số Tuổi Thơ, ứng với : - 4/5 = 1/5 (số Toán) Số Toán : : 1/5 = 25 (quyển) Số Tuổi hay Thơ : 25 x 2/5 = 10 (quyển) Bài 20 : Hai số tự nhiên A B, biết A < B hai số có chung đặc điểm sau: - Là số có chữ số - Hai chữ số số giống - Không chia hết cho ; a) Tìm số b) Tổng số chia hết cho số tự nhiên ? Bài giải a) Vì A B khơng chia hết cho nên A B có tận ; ; ; Vì + = + = 18 số chia hết loại trừ số 33 99 A < B nên A = 11 B = 77 b) Tổng hai số : 11 + 77 = 88 Ta có : 88 = x 88 = x 44 = x 22 = x 11 Vậy tổng số chia hết cho số : ; ; ; ; 11 ; 22 ; 44 ; 88 Bài 21 : Cho mảnh bìa hình vng ABCD Hãy cắt từ mảnh bìa hình vng cho diện tích cịn lại diện tích mảnh bìa cho Bài giải Theo đầu hình vng ABCD ghép hình vng nhỏ tam giác (trong có tam giác to, tam giác con) Ta thấy ghép tam giác để tam giác to đồng thời ghép tam giác để hình vng nhỏ Vậy diện tích hình vng ABCD diện tích + x + x = 18 (tam giác con) Do diện tích hình vuông ABCD : 18 x (10 x 10) / = 900 (cm2) Bài 22 : Hai bạn Xuân Hạ lúc rời nhà đến nhà bạn Họ gặp điểm cách nhà Xuân 50 m Biết Xuân từ nhà đến nhà Hạ 12 phút cịn Hạ đến nhà Xuân 10 phút Hãy tính quãng đường nhà hai bạn Bài giải Trên quãng đường tỉ số thời gian Xuân Hạ : 12 : 10 = 6/5 Thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc nên tỉ số vận tốc Xuân Hạ 5/6 Như Xuân Hạ xuất phát đến gặp quãng đường Xuân 5/6 quãng đường Hạ Do quãng đường Hạ : 50 : 5/6 = 60 (m) Quãng đường nhà Xuân Hạ : 50 + 60 = 110 (m) Bài 23 : A số tự nhiên có 2004 chữ số A số chia hết cho ; B tổng chữ số A ; C tổng chữ số B ; D tổng chữ số C Tìm D Bài giải Vì A số chia hết cho mà B tổng chữ số A nên B chia hết cho Tương tự ta có C, D chia hết cho đương nhiên khác Vì A gồm 2004 chữ số mà chữ số không vượt nên B không vượt 9x 2004 = 18036 Do B có không chữ số C < x = 45 Nhưng C số chia hết cho khác nên C ; 18 ; 27 ; 36 Dù trường hợp xảy ta có D = Bài 24 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 120 m Người ta mở rộng khu vườn hình vẽ để vườn hình chữ nhật lớn Tính diện tích phần mở thêm Bài giải Nếu ta “dịch chuyển” khu vườn cũ ABCD vào góc khu vườn EFHD ta hình vẽ bên Kéo dài EF phía F lấy M cho FM = BC diện tích hình chữ nhật BKHC diện tích hình chữ nhật FMNK Do phần diện tích mở thêm diện tích hình chữ nhật EMNA Ta có AN = AB + KN + BK AB + KN = 120 : = 60 (m) ; BK = 10 m nên AN = 70 m Vậy diện tích phần mở thêm : 70 x 10 = 700 (m2) Bài 25 : Bao nhiêu ? Khi gặp nước ngước dịng Khó khăn đến bến tong tám Khi từ lúc xuống đò Đến cập bến bốn nhẹ Hỏi riêng khóm bèo Bao nhiêu để trơi theo ta ? Bài giải : Cách : Vì đị ngược dòng đến bến nên đị 1/8 qng sơng Đị xi dịng trở nên đị 1/4 qng sơng Vận tốc đị xi dịng vận tốc đị ngược dịng : 1/4 - 1/8 = 1/8 (qng sơng đó) Vì hiệu vận tốc đị xi dịng vận tốc đị ngược dịng lần vận tốc dịng nước nên khóm bèo trơi : 1/8 : = 1/16 (qng sơng đó) Thời gian để khóm bèo trơi theo đị : : 1/16 = 16 (giờ) Cách : Tỉ số thời gian đị xi dịng thời gian đị ngược dòng :4 : = 1/2 Trên quãng đường vận tốc thời gian chuyển động tỉ lệ nghịch với nên tỉ số vận tốc đị xi dịng vận tốc đị ngược dịng Vận tốc đị xi dịng vận tốc đị ngược dịng lần vận tốc dịng nước Ta có sơ đồ: Theo sơ đồ ta có vận tốc ngược dịng gấp lần vận tốc dịng nước nên thời gian để cụm bèo trơi theo đò gấp lần thời gian ngược dòng Vậy thời gian cụm bèo trơi theo đị : x = 16 (giờ) Bài 26 : Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu Bài giải Khi tăng chiều rộng thêm 45 m chiều rộng trở thành chiều dài hình chữ nhật mới, cịn chiều dài ban đầu trở thành chiều rộng hình chữ nhật Theo đề ta có sơ đồ : Do 45 m ứng với số phần : 16 - = 15 (phần) Chiều rộng ban đầu : 45 : 15 = (m) Chiều dài ban đầu : x = 12 (m) Diện tích hình chữ nhật ban đầu : x 12 = 36 (m2) Bài 27: Bạn An có số kiểm tra, bạn tính : Nếu thêm ba điểm 10 ba điểm điểm trung bình tất Nếu thêm điểm hai điểm 10 điểm trung bình tất 7,5 Hỏi bạn An có tất kiểm tra ? Bài giải Nếu thêm ba điểm 10 ba điểm số điểm thêm : 10 x + x = 57 (điểm) Để điểm trung bình tất số điểm phải bù thêm vào cho kiểm tra : 57 - x (3 + 3) = (điểm) Nếu thêm điểm hai điểm 10 số điểm thêm : x + 10 x = 28 (điểm) Để điểm trung bình tất 7,5 số điểm phải bù thêm vào cho kiểm tra : 29 - 7,5 x (1 + 2) = 6,5 (điểm) Như tăng điểm trung bình tất từ 7,5 lên tổng số điểm kiểm tra tăng lên : - 6,5 = 2,5 (điểm) Hiệu hai điểm trung bình : - 7,5 = 0,5 (điểm) Vậy số kiểm tra bạn An : 2,5 : 0,5 = (bài) Bài 28 : Bạn cắt hình vng có diện tích / diện tích bìa hình vng cho trước Bài giải : Chia cạnh bìa hình vng cho trước làm phần (bằng cách gấp đơi liên tiếp) Sau cắt theo đường AB, BC, CD, DA Các miếng bìa AMB, BNC, CPD, DQA xếp trùng khít lên nên AB = BC = CD = DA (có thể kiểm tra thước đo) Dùng êke kiểm tra góc bìa ABCD ta thấy góc vng Nếu kẻ bút chì đường chia bìa ban đầu thành vng hình vẽ ta thấy : + Diện tích bìa MNPQ 16 vng (ghép hình tam giác với hình chữ nhật gồm hình vng) Do diện tích hình vng ABCD 16 – = 10 (ơ vng) nên diện tích vng ABCD 10 / 16 = / diện tích bìa ban đầu Bài 29 : Một mảnh đất hình chữ nhật chia thành hình chữ nhật nhỏ có diện tích ghi hình vẽ Bạn có biết diện tích hình chữ nhật cịn lại có diện tích hay khơng ? Bài giải Hai hình chữ nhật AMOP MBQO có chiều rộng có diện tích hình MBQO gấp lần diện tích hình AMOP (24 : = (lần)), chiều dài hình chữ nhật MBQO gấp lần chiều dài hình chữ nhật AMOP (OQ = PO x 3) (1) Hai hình chữ nhật POND OQCN có chiều rộng có chiều dài hình OQCN gấp lần chiều dài hình POND (1) Do diện tích hình OQCN gấp lần diện tích hình POND Vậy diện tích hình chữ nhật OQCD : 16 x = 48 (cm2) Bài 30 : Cho A = 2004 x 2004 x x 2004 (A gồm 2003 thừa số) B = 2003 x 2003 x x 2003 (B gồm 2004 thừa số) Hãy cho biết A + B có chia hết cho hay khơng ? Vì ? Bài giải : A = (2004 x 2004 x x 2004) x 2004 = C x 2004 (C có 2002 thừa số 2004) C có tận nhân với 2004 nên A có tận (vì x = 24) B = 2003 x 2003 x x 2003 (gồm 2004 thừa số) = (2003 x 2003 x 2003 x 2003) x x (2003 x 2003 x 2003 x 2003) Vì 2004 : = 501 (nhịm) nên B có 501 nhóm, nhóm gồm thừa số 2003 Tận nhóm (vì x = ; x = 27 ; 27 x = 81) Vậy tận A + B + = Do A + B chia hết cho Bài 31 : Biết số A viết chữ số Hãy tìm số tự nhiên nhỏ mà cộng số với A ta số chia hết cho 45 Bài giải : Cách : A viết chữ số nên: Vậy A chia cho 45 dư Một số nhỏ mà cộng với A để số chia hết cho 45 số cộng với phải 45 Vậy số : 45 - = 36 Cách : Gọi số tự nhiên nhỏ cộng vào A m Ta có A + m số chia hết cho 45 hay chia hết cho (vì x = 45 ; không chia hết cho số số khác 1) Vì A viết chữ số nên A chia hết cho 9, m chia hết cho A + m chia hết cho A + m có tận mà A có tận nên m có tận Số nhỏ có tận mà chia hết cho 36 Vậy m = 36 Bài 32 : Cho hình thang vng có đáy lớn m, đáy nhỏ chiều cao m Hãy chia hình thang thành hình tam giác có diện tích Hãy tìm kiểu chia khác cho số đo chiều cao số đo đáy tam giác số tự nhiên Bài giải : Diện tích hình thang : (3 + 2) x : = (m2) Chia hình thang thành tam giác có diện tích diện tích tam giác : : = (m2) Các tam giác có chiều cao số đo đáy số tự nhiên nên chiều cao 1m đáy m Nếu chiều cao m đáy m Có nhiều cách chia, via dụ : Bài 33 : Bạn tính chu vi hình có từ hình vng bị cắt phần đường gấp khúc gồm đoạn song song với cạnh hình vng Bài giải : Ta kí hiệu điểm hình vẽ sau : Nhìn hình vẽ ta thấy : CE + GH + KL + MD = CE + EI = CI EG + HK + LM + DA = ID + DA = IA Từ chu vi hình tơ màu : AB + BC + CE + EG + GH + HK + KL + LM + MD + DA = AB + BC + (CE + GH + KL + MD) + (EG + HK + LM + DA) = AB + BC + CI + IA = AB x Vậy chu vi hình tơ màu : 10 x = 40 (cm) Bài 34 : Cho băng giấy gồm 13 ô với số ô thứ hai 112 số ô thứ bảy 215 Biết tổng ba số ba ô liên tiếp 428 Tính tổng chữ số băng giấy Bài giải : Ta chia thành nhóm ơ, nhóm đánh số thứ tự sau : Tổng số nhóm liên tiếp 428 Như ta thấy số viết ô số 215, ô số 112, ô số : 428 - (215 + 112) = 101 Ta có băng giấy ghi số sau : Tổng chữ số nhóm : + + + + + + + + = 14 Có tất nhóm ô số ô số nên tổng chữ số băng giấy : 14 x + + + = 64 Bài 35 : Tuổi em lần tuổi tuổi anh tơi tuổi em Đến tuổi em tơi tuổi anh tơi tổng số tuổi hai anh em 51 Hỏi anh tôi, em tuổi ? Bài giải : Hiệu số tuổi hai anh em số khơng đổi Ta có sơ đồ biểu diễn số tuổi hai anh em thời điểm : Trước (TĐ), (HN), sau (SN) : Giá trị phần : 51 : (7 + 10) = (tuổi) Tuổi em : x = 12 (tuổi) Tuổi anh : x = 21 (tuổi) Bài 36 : Tham gia SEA Games 22 mơn bóng đá nam vịng loại bảng B có bốn đội thi đấu theo thể thức đấu vòng tròn lượt tính điểm theo quy định hành Kết thúc vòng loại, tổng số điểm đội bảng B 17 điểm Hỏi bảng B mơn bóng đá nam có trận hịa ? Bài giải : Bảng B có đội thi đấu vịng trịn nên số trận đấu : x : = (trận) Mỗi trận thắng đội thắng điểm đội thua điểm nên tổng số điểm : + = (điểm) Mỗi trận hịa đội điểm nên tổng số điểm : + = (điểm) Cách : Giả sử trận thắng tổng số điểm : x = 18 (điểm) Số điểm dôi : 18 - 17 = (điểm) Sở dĩ dôi điểm trận thắng trận hịa : - = (điểm) Vậy số trận hòa : : = (trận) Cách : Giả sử trận hịa số điểm bảng B : x = 12 (điểm) Số điểm bảng B bị hụt : 17 - 12 = (điểm) Sở dĩ bị hụt điểm trận hịa trận thắng : - = (điểm) Vậy số trận thắng : : = (trận) Số trận hòa : - = (trận) Bài 37 : Một cửa hàng có ba thùng A, B, C để đựng dầu Trong thùng A đựng đầy dầu thùng B C để khơng Nếu đổ dầu thùng A vào đầy thùng B thùng A cịn 2/5 thùng Nếu đổ dầu thùng A vào đầy thùng C thùng A cịn 5/9 thùng Muốn đổ dầu thùng A vào đầy thùng B thùng C phải thêm lít Hỏi thùng chứa lít dầu ? Bài giải : So với thùng A thùng B chứa số dầu : - 2/5 = 3/5 (thùng A) Thùng C chứa số dầu : - 5/9 = 4/9 (thùng A) Cả thùng chứa số dầu nhiều thùng A : (3/5 + 4/9) - = 2/45 (thùng A) 2/45 số dầu thùng A lít dầu Do số dầu thùng A : : 2/45 = 90 (lít) Thùng B chứa : 90 x 3/5 = 54 (lít) Thùng C chứa : 90 x 4/9 = 40 (lít) Bài 38 : Hải hỏi Dương : “Anh phải 30 tuổi phải không ?” Anh Dương nói : “Sao già ! Nếu tuổi anh nhân với số có ba chữ số, hai chữ số cuối tuổi anh” Các bạn Hải tính tuổi anh Dương Bài giải : Cách : Tuổi anh Dương không 30, nhân với số có chữ số Vậy chữ số hàng trăm tích Hai chữ số cuối số có chữ số tuổi anh Vậy tuổi anh Dương nhân với tuổi anh Dương 100 tuổi Ta có sơ đồ : Tuổi anh Dương : 100 : (6 - 1) = 20 (tuổi) Cách : Gọi tuổi anh Dương (a > 0, a, b chữ số) Vì khơng q 30 nên nhân với số có ba chữ số mà chữ số hàng trăm Ta có phép tính : Vậy tuổi anh Dương 20 Bài 39 : SEA Games 22 vừa qua, chị Nguyễn Thị Tĩnh giành Huy chương vàng cự li 200 m Biết chị chạy 200 m chị chạy 400 m hết giây ? Bài giải : giây Bạn cho biết Kết thi đấu SEA Games 22 cho biết : Chị Nguyễn Thị Tĩnh chạy cự li 400 m với thời gian 51 giây 82 Nhận xét : Dụng ý người đề muốn bạn giải tốn lưu ý đến tính thực tế đề toán Đề toán đọc lên loại toán tương quan tỉ lệ thuận Đa số bạn tưởng nên giải sai, đáp số giây (!) Bài 40 : Hãy khám phá “bí mật” hình vng điền nốt bốn số tự nhiên cịn thiếu vào trống Bài giải : “Bí mật” hình vng tổng số hàng ngang, hàng dọc đường chéo hình vng 34 (các bạn tự kiểm tra lại) Gọi số cần tìm góc hình vng a, b, c, d hàng ngang đầu tiên, ta có : a + + + b = 34, từ a + b = 34 - = 29 (1) Ở cột dọc ta có : a + + + d = 34, từ a + d = 34 - 14 = 20 (2) Từ (1) (2) ta có : a + b - (a + d) = 29 - 20 = hay b - d = (3) Ở đường chéo, ta lại có : b + + 11 + d = 34, từ b + d = 34 - 17 = 17 (4) Từ (3) (4) ta có : (b - d) + (b + d) = + 17 hay b + b = 26 ; b = 13 Vì b + d = 17 nên d = 17 - 13 = Vì a + b = 29 nên a = 29 - 13 = 16 Ở đường chéo thứ hai, ta có a + 10 + + c = 34 hay a + c = 34 - 17 = 17 Từ c = 17 - 16 = Thay a, b, c, d số vừa tìm ta có hình vng sau : Nhận xét : Hình vng gọi hình vng kì ảo (hoặc ma phương) cấp Người ta nhìn thấy lần khắc họa sĩ Đuy-rơ năm 1514 Các bạn thấy : Tổng bốn số bốn bốn góc 34 Bài 41 : Bạn cắt hình : thành 16 hình: Bạn nói rõ cách cắt ! Bài giải : Tổng số ô vuông : x = 64 (ơ) Khi ta cắt hình vng ban đầu thành phần nhỏ (hình chữ T), phần gồm vng số hình : 64 : = 16 (hình) Ta cắt theo nhiều cách khác nhau: Bài 42 : Cho hình vng hình vẽ Em thay chữ số thích hợp cho tổng số ô thuộc hàng ngang, cột dọc, đường chéo Bài giải Vì tổng số hàng ngang, cột dọc, đường chéo nên ta có : a + 35 + b = a + + d hay 26 + b = d (cùng trừ vế a 9) Do d - b = 26 b + g + d = 35 + g + 13 hay b + d = 48 Vậy b = (48 - 26 ) : = 11, d = 48 - 11 = 37 d + 13 + c = d + + a hay + c = a (cùng trừ vế d 9) Do a - c = 4, a + g + c = + g +39 hay a + c = + 39 (cùng trừ vế g), a + c = 48 Vậy c = (48 - 4) : = 22, a = 22 + = 26 35 + g + 13 = a + 35 + b = 26 + 35 + 11 = 72 Do 48 + g = 72 ; g = 72 - 48 = 24 Thay a = 26, b = 11, c = 22, d =37 , g = 24 vào hình vẽ ta có : Bài 43 : Số chữ số dùng để đánh số trang sách lần số trang sách Hỏi sách có trang ? Bài giải : Để số chữ số lần số trang sách trung bình trang phải dùng hai chữ số Từ trang đến trang có trang gồm chữ số, nên thiếu chữ số Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang, trang đủ hai chữ số Từ trang 100 trở trang có chữ số, trang thừa chữ số, nên phải có trang để “bù” đủ cho trang gồm chữ số Vậy sách có số trang : + 90 + = 108 (trang) Bài 44 : Người ta ngăn đất hình chữ nhật thành mảnh, mảnh hình vng, mảnh hình chữ nhật Biết chu vi ban đầu chu vi mảnh đất hình vng 28 m Diện tích đất ban đầu diện tích hình vng 224 m2 Tính diện tích đất ban đầu Bài giải : Nửa chu vi hình ABCD nửa chu vi hình AMND : 28 : = 14 (m) Nửa chu vi hình ABCD AD + AB Nửa chu vi hình AMND AD + AM Do : MB = AB - AM = 14 (m) Chiều rộng BC hình ABCD : 224 : 14 = 16 (m) Chiều dài AB hình ABCD : 16 + 14 = 30 (m) Diện tích hình ABCD : 30 x 16 = 480 (m2) Bài 45 : Trong hội nghị có 100 người tham dự, có 10 người khơng biết tiếng Nga tiếng Anh, có 75 người biết tiếng Nga 83 người biết Tiếng Anh Hỏi hội nghị có người biết thứ tiếng Nga Anh ? Bài giải : Cách : Số người biết thứ tiếng Nga Anh : 100 - 10 = 90 (người) Số người biết tiếng Anh : 90 - 75 = 15 (người) Số người biết tiếng Nga tiếng Anh : 83 - 15 = 68 (người) Cách : Số người biết thứ tiếng : 100 - 10 = 90 (người) Số người biết tiếng Nga : 90 - 83 = (người) Số người biết tiếng Anh : 90 - 75 = 15 (người) Số người biết thứ tiếng Nga Anh : 90 - (7 + 15) = 68 (người) Bài 46 : Một hình chữ nhật bị cắt hình vng góc Chỉ cần nhát cắt thẳng, bạn chia phần lại thành phần có diện tích Giải : Chỉ cần bạn biết tính chất: Mọi đường thẳng qua tâm hình chữ nhật để chia hình chữ nhật thành hai hình có diện tích Có thể chia nhiều cách: Bài 47 : Cho biết : x 396 x 0,25 : (x + 0,75) = 1,32 Hãy tìm cách đặt thêm dấu phẩy vào chỗ đẳng thức để giá trị x giảm 297 đơn vị Bài giải : Theo đề : x 396 x 0,25 : (x + 0,75) = 1,32 ; x 0,25 = nên ta có : 396 : (x + 0,75) = 1,32 hay x + 0,75 = 396 : 1,32 = 300 Khi x giảm 297 đơn vị tổng x + 0,75 giảm 297 đơn vị, tức x + 0,75 = 300 - 297 = hay x = - 0,75 = 2,25 Trong đẳng thức x + 0,75 = 396 : 1,32 ; để x = 2,25 phải thêm dấu phẩy vào số 396 để có số 3,96 Như cần đặt thêm dấu phẩy vào chữ số số 396 để x giảm 297 đơn vị Các bạn thử lại Bài 48 : Điền đủ chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, vào ô trống sau để phép tính : Bài giải : Bài tốn có bốn cách điền sau : x 78 = 156 = 39 x 4 x 39 = 156 = 78 x x 58 = 174 = 29 x 6 x 29 = 174 = 58 x Bài 49 : Tính tuổi ông biết: Thời niên thiếu chiếm 1/5 quãng đời ơng, 1/8 qng đời cịn lại tuổi sinh viên, 1/7 số tuổi cịn lại ơng học trường quân đội Tiếp theo ông rèn luyện năm liền sau vinh dự trực tiếp đánh Mĩ Như thời gian đánh Mĩ vừa trịn 1/2 qng đời ơng Bài giải : Phân số số tuổi lại sau thời niên thiếu ông : 1- 1/5 = 1/4 (số tuổi ông) Thời sinh viên ông có số năm : 4/5 x 1/8 = 1/10 (số tuổi ông) Số năm cịn lại sau thời sinh viên ơng : 4/5 - 1/10 = 7/10 (số tuổi ông) Số năm học trường quân đội ông : 7/10 x 1/7 = 1/10 (số tuổi ơng) Do đó: năm rèn luyện ông : - (1/5 + 1/10 + 1/10 + 1/2) = 1/10 (số tuổi ông) Suy số tuổi ông : 7: 1/10 = 70 (tuổi) Bài 50 : Một miếng bìa hình chữ nhật, có chiều rộng 30 cm, chiều dài 40 cm Người ta muốn cắt hình chữ nhật nằm miếng bìa cho cạnh hai hình chữ nhật song song cách nhau, đồng thời diện tích cắt 1/2 diện tích miếng bìa ban đầu Hỏi hai cạnh tương ứng hai hình chữ nhật ban đầu cắt cách ? Bài giải : Chia miếng bìa ABCD thành vng, vng có cạnh cm Số vng miếng bìa : x = 48 (ơ vng) Số vng hình chữ nhật MNPQ : x = 24 (ơ vng) Vì 48 : 24 = (lần) nên hình chữ nhật MNPQ có diện tích diện tích hình cắt Mặt khác cạnh hình chữ nhật MNPQ song song cách cạnh tương ứng miếng bìa ABCD Vì hình MNPQ hình chữ nhật bị cắt Mỗi cặp cạnh tương ứng hình ABCD MNPQ cách cm Bài 51 : Tìm số tự nhiên có tổng 2003 Biết xóa bỏ chữ số hàng đơn vị số thứ ta số thứ hai Nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị số thứ hai ta số thứ ba Nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị số thứ ba ta số thứ tư Bài giải : Số thứ nhiều chữ số tổng số 2003 Nếu số thứ có chữ số khơng tồn số thứ tư Vậy số thứ phải có chữ số Gọi số thứ abcd (a > 0, a, b, c, d < 10) Số thứ hai, số thứ ba, số thứ tư : abc ; ab ; a Theo ta có phép tính: abcd + abc + ab + a = 2003 Theo phân tích cấu tạo số ta có : aaaa + bbb + cc + d = 2003 (*) Từ phép tính (*) ta có a < 2, nên a = Thay a = vào (*) ta : 1111 + bbb + cc + d = 2003 bbb + cc + d = 2003 - 1111 bbb + cc + d = 892 (**) b > b nhỏ bbb + cc + d nhỏ 892 ; b < b = bbb = 999 > 892 Suy b Thay b = vào (**) ta : 888 + cc + d = 892 cc + d = 892 - 888 cc + d = Từ suy c d = Vậy số thứ 1804, số thứ hai 180, số thứ ba 18 số thứ tư Thử lại : 1804 + 180 + 18 + = 2003 (đúng) Bài 52 : Một người mang chợ giỏ táo gồm hai loại Số táo giỏ : 20 ; 25 ; 30 ; 35 40 Mỗi giỏ đựng loại táo Sau bán hết giỏ táo đó, người thấy : Số táo loại lại nửa số táo loại Hỏi số táo loại lại ? Bài giải : Số táo người mang chợ : 20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 150 (quả) Vì số táo loại lại nửa số táo loại nên sau bán, số táo lại phải chia hết cho Vì tổng số táo mang chợ 150 chia hết số táo bán phải chia hết cho Trong số 20, 25, 30, 35, 40 có 30 chia hết cho Do người bán giỏ táo đựng 30 Tổng số táo lại : 150 - 30 = 120 (quả) Ta có sơ đồ biểu diễn số táo loại loại lại : Số táo loại lại : 120 : (2 + 1) = 40 (quả) Vậy người cịn lại giỏ đựng 40 số táo loại lại Đáp số : 40 Bài 53 : Không thay đổi vị trí chữ số viết bảng : mà viết thêm dấu cộng (+), bạn cho kết dãy phép tính 90 khơng ? Bài giải : Có hai cách điền : + + 65 + + + + = 90 + + + + 43 + 21 = 90 Để tìm hai cách điền ta có nhận xét sau : Tổng + + + + + + + = 36 ; 90 - 36 = 54 Như muốn có tổng 90 số hạng phải có hai số số có hai chữ số Nếu số có hai chữ số 87 76 mà 87 > 54, 76 > 54 nên khơng thể Nếu số có hai chữ số 65 ; 65 + 36 - - = 90, ta điền : + + 65 + + + + - 90 Nếu số có hai chữ số 54 khơng thể có tổng 90 54 + 36 - < 90 Nếu số có hai chữ số 43 ; 43 < 54 nên khơng thể Nếu tổng có số có hai chữ số 43 21 ta có 43 + 21 - (4 + + + 1) = 54 Như ta điền : + + + + 43 + 21 = 90 Bài 54 : Cho phân số M = (1 + + + 9)/(11 + 12 + +19) Hãy bớt số hạng tử số số hạng mẫu số cho giá trị phân số khơng thay đổi Tóm tắt giải : M = (1 + + + 9)/(11 + 12 + +19) = 45/135 = 1/3 Theo tính chất hai tỉ số 45/135 = (45 - k)/(135 - kx3)(k số tự nhiên nhỏ 45) Do tử số M bớt ; ; tương ứng mẫu số phải bớt 12 ; 15 ; 18 Bài 55 : Chỉ có ca Đựng đầy vừa lít Bạn mau cho biết Đong nửa lít ? Bài giải : Ai khéo tay tinh mắt Nghiêng ca hình Sẽ đạt yêu cầu liền Trong ca : nửa lít ! Bài 56 : Điền số thích hợp theo mẫu : Bài giải : Bài có hai cách điền : Cách : Theo hình 1, ta có trung bình cộng (vì (3 + 5) : = 4) Khi hình 2, gọi A số cần điền, ta có A trung bình cộng 13 Do A = (5 + 13) : = Ở hình 3, gọi B số cần điền, ta có 15 trung bình cộng B Do + B = 15 x Từ tìm B = 22 Cách : Theo hình 1, ta có : x + x = x Khi hình ta có : x + A x A = 13 x 13 suy A x A = 144 Vậy A = 12 (vì 12 x 12 = 144) Ở hình ta có : x + 15 x 15 = B x B Suy B x B = 289 Vậy B = 17 (vì 17 x 17 = 289) Bài 57 : Cả lớp 4A phải làm kiểm tra toán gồm có tốn Giáo viên chủ nhiệm lớp báo cáo với nhà trường : lớp em làm bài, lớp có 20 em giải toán thứ nhất, 14 em giải toán thứ hai, 10 em giải toán thứ ba, em giải toán thứ hai thứ ba, em giải tốn thứ thứ hai, có em 10 điểm giải ba Hỏi lớp học có em tất ? Bài giải : Mỗi hình trịn để ghi số bạn giải Vì có bạn giải nên điền số vào phần chung hình trịn Số bạn giải I II nên phần chung hai hình trịn mà khơng chung với hình trịn cịn lại ghi số (vì - = 1) Tương tự, ta ghi số vào phần lại Số học sinh lớp 4A tổng số điền vào phần : 13 + + + + + + = 32 (HS) Bài 58 : Bạn điền số từ đến vào trống để phép tính thực (cả hàng dọc hàng ngang) Bài giải : Ta đặt tên cho số phải tìm bảng Các số điền vào trống số có chữ số nên tổng số lớn 17 cột 1, có A + D : H = 6, nên H lớn Cột có C + G : M = nên M lớn * Nếu H = A + D = = + 4, M = H + K = x = = + K = B x E = + = 9, B E 1, điều chứng tỏ H khơng thể * Nếu H = M phải 3; M = H + K = 2, K = 0, điều Vậy M = ; H + K = K = H = A + D = 12 = + ; A = 5, D = D = 5, A = K = B x E = + = = x ; B = 1, E = E = 1, B = M = C + G = 15 = + ; C = 6, G = G = 6, C = ; G G = D + E = 10, mà số 1, 5, 7, khơng có hai số có tổng 10 Vậy C = A + B = 8, B 1, A = D = E = Các số điền vào bảng hình sau Bài 59 : S = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 có phải số tự nhiên khơng ? Vì ? Bài giải : Ta giải theo hướng sau: Hướng : Tính S = 201/280 Hướng : Khi qui đồng mẫu số để tính S mẫu số chung số chẵn Với mẫu số chung 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; 1/6 ; 1/7 trở thành phân số mà tử số số chẵn, có 1/8 trở thành phân số mà tử số số lẻ Vậy S phân số có tử số số lẻ mẫu số số chẵn nên S số tự nhiên Hướng : Chứng minh 5/4 < S < Thật 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > x 1/8 = ¾ nên S > 3/4 + 1/2 = 5/4 Mặt khác : 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 < x 1/4 = nên S < + 1/2 + 1/3 + 1/8 = + 1/2 + 11/24 12; tổng ba số lớn 12300 a nhận giá trị 2, 3, - Nếu a = số thứ 2345, số thứ hai 5432 Số thứ ba là: 12300 (2345 + 5432) = 4523 (đúng, số có chữ số 2, 3, 4, 5) - Nếu a = số thứ 3456, số thứ hai 6543 Số thứ ba : 12300 - (3456 + 6543) = 2301 (loại, số có chữ số khác với 3, 4, 5, 6) - Nếu a = số thứ 4567, số thứ hai 7654 Số thứ ba là: 12300 - (4567 + 7654) = 79 (loại) Vậy số mà cu Tí viết : 2345, 5432, 4523 Bài 72: Với chữ số dấu phép tính bạn viết biểu thức để có kết không? Tôi cố gắng viết biểu thức để có kết chưa Còn bạn? Bạn thử sức xem nào! Bài giải: Với bốn chữ số ta viết biểu thức có giá trị là: 22 : - = Không thể dùng bốn chữ số để viết biểu thức có kết Bài 73: Với 36 que diêm xếp hình 1) Bạn đếm hình vng? 2) Bạn nhấc que diêm để cịn hình vng khơng? Bài giải : 1) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy có loại hình vng, hình vng có cạnh que diêm hình vng có cạnh que diêm Hình vng có cạnh que diêm gồm có 13 hình, hình vng có cạnh que diêm gồm có hình Vậy có tất 17 hình vng 2) Mỗi que diêm nằm cạnh nhiều hình vng, nhặt que diêm ta bớt nhiều : x = 12 (hình vng), cịn lại 17 - 12 = (hình vng) Như khơng thể nhặt que diêm để cịn lại hình vng Bài 74: Có thùng đựng đầy dầu, thùng nửa thùng dầu vỏ thùng Làm chia cho người để người có lượng dầu số thùng ? Bài giải: Gọi thùng đầy dầu A, thùng có nửa thùng dầu B, thùng khơng có dầu C Cách 1: Khơng phải đổ dầu từ thùng sang thùng Người thứ nhận: 3A, 1B, 3C Người thứ hai nhận: 2A, 3B, 2C Người thứ ba nhận: 2A, 3B, 2C Cách 2: Không phải đổ dầu từ thùng sang thùng Người thứ nhận: 3A, 1B, 3C Người thứ hai nhận: 3A, 1B, 3C Người thứ ba nhận: 1A, 5B, 1C Cách 3: Đổ dầu từ thùng sang thùng Lấy thùng chứa nửa thùng dầu (4B) đổ đầy sang thùng không (2C) để thùng đầy dầu (2A) Khi có 9A, 3B, 9C người nhận 3A, 1B, 3C Bài 75: Hãy vẽ đoạn thẳng qua điểm hình bên mà khơng nhấc bút hay tơ lại Bài giải: Cái khó tốn vẽ đoạn thẳng vẽ nét nên cần phải “tạo thêm” hai điểm bên ngồi điểm thực yêu cầu đề Ta có cách vẽ với hai “đường đi” khác (bắt đầu từ điểm kết thúc điểm với đường theo chiều mũi tên) sau: Khi xoay lật hai hình ta có cách vẽ khác Bài 76: Chiếc bánh trung thu Nhân tròn Hãy cắt lần Thành 12 miếng Nhưng nhớ điều kiện Các miếng Và lần cắt Cũng qua bánh Bài giải: Có nhiều cách cắt bạn đề xuất Xin giới thiệu cách Cách 1: Nhát thứ chia đôi theo bề dầy bánh để nguyên vị trí cắt thêm nhát (như hình vẽ) Lưu ý AM = BN = DQ = CP = 1/6 AB IA = ID = KB = KC = 1/2 AB Ta dễ dàng chứng minh 12 miếng bánh nhát cắt qua tâm bánh Cách 2: Cắt nhát theo đường chéo để miếng chồng miếng lên cắt nhát để chia miếng thành phần (lưu ý: BM = MN = NC) Cách 3: Nhát thứ cắt cách để nguyên vị trí để cắt thêm nhát hình vẽ Lưu ý: AN = AM = CQ = CP = 1/2 AB Bài 77: Mỗi đỉnh bìa hình tam giác đánh số 1; 2; Người ta chồng tam giác lên cho khơng có chữ số bị che lấp Một bạn cộng tất chữ số nhìn thấy kết 2002 Liệu bạn có tính nhầm khơng? Bài giải: Tổng số ba đỉnh hình tam giác + + = Tổng số chia hết cho Khi chồng hình tam giác lên cho khơng có chữ số bị che lấp, tính tổng tất chữ số nhìn thấy phải có kết số chia hết cho Vì số 2002 khơng chia hết bạn tính sai Bài 78: Bạn điền đủ 12 số từ đến 12, số vào ô vuông cho tổng số nằm cột hay hàng Bài giải: Tổng số từ đến 12 là: (12+1) x 12 : = 78 Vì tổng số nằm cột hay hàng nên tổng số hàng cột phải số chia hết cho Đặt chữ A, B, C, D vào ô vng (hình vẽ) Khi tính tổng số hàng cột số A, B, C, D tính hai lần Do để tổng hàng, cột chia hết cho tổng số ô A, B, C, D phải chia cho dư (vì 78 chia cho dư 2) Ta thấy tổng số là: 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42 Ta xét vài trường hợp: 1) Tổng số bé 10 Khi số 1, 2, 3, Do tổng hàng (hay cột) là: (78 + 10) : = 22 Xin nêu cách điền hình dưới: 2) Tổng số 14 Ta có: 14 = + + + = + + + = + + + = + + + Do tổng hàng (hay cột) là: (78 + 14) : = 23 Ta điền hình sau: Các trường hợp lại cho ta kết hàng (hay cột) 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 Bài 79: Một đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi mơn Văn, Tốn, Ngoại ngữ thành phố tổ chức đạt 15 giải Hỏi đội tuyển học sinh giỏi có học sinh? Biết rằng: Học sinh có giải Bất kỳ mơn có học sinh đạt giải Bất kỳ hai môn có học sinh đạt giải hai mơn Có học sinh đạt giải môn Tổng số học sinh đạt giải, giải, giải tăng dần Bài giải: Gọi số học sinh đạt giải môn a (học sinh) Gọi số học sinh đạt giải môn b (học sinh) Gọi số học sinh đạt giải môn c (học sinh) Tổng số giải đạt là: x a + x b + c = 15 (giải) Vì tổng số học sinh đạt giải, giải, giải tăng dần nên a < b < c Vì mơn có học sinh đạt giải mơn nên: - Có học sinh đạt giải mơn Văn Tốn - Có học sinh đạt giải mơn Tốn Ngoại Ngữ - Có học sinh đạt giải môn Văn Ngoại Ngữ Do b= Giả sử a = b bé 3, c bé 4; tổng số giải bé là: x + x + = 16 > 15 (loại) Do a < 2, nên a = Ta có: x + x b + c = 15 suy ra: x b + c = 12 Nếu b = c = 12 - x = (đúng) Nếu b = c = 12 - x = (loại trái với điều kiện b < c) Vậy có bạn đạt giải, bạn đạt giải, bạn đạt giải Đội tuyển có số học sinh là: + + = 10 (bạn) Bài 80: Điền số Sử dụng số 3, 5, 8, 10 dấu +, - , x để điền vào ô trống bảng sau( Chỉ điền dấu số vào hàng cột Điền từ trái sang phải, từ xuống dưới): Bài giải: Ta xét tổng theo hàng, cột khơng khó khăn có kết sau: Bài 81: 20 Giỏ dưa hấu”Trí Dũng giúp bố mẹ xếp 65 dưa hấu nặng 1kg, 35 dưa hấu nặng 2kg 15 dưa hấu nặng 3kg vào 20 giỏ Mọi người làm việc, Trí chạy đến bàn học lấy giấy bút ghi ghi Trí la lên: “Có xếp nữa, ln tìm giỏ 20 giỏ có khối lượng nhau” Các bạn chứng tỏ Trí nói Bài giải: Tổng khối lượng dưa là: x 65 + x 35 + x 15 = 180 (kg) Giả sử khối lượng dưa giỏ khác tổng khối lượng dưa 20 giỏ bé là: + + + + 19 + 20 = 210 (kg) Vì 210 kg > 180 kg nên chắn phải có giỏ 20 giỏ có khối lượng Vậy Trí nói Bài 82: Hoàng mua vở, Hùng mua Hai bạn góp số với số bạn Sơn, chia cho Sơn tính phải trả bạn 800 đồng Tính giá tiền vở, biết ba bạn mua loại Bài giải: Vì Hồng Hùng góp số với số Sơn, chia cho nhau, nên tổng số ba bạn số chia hết cho Số Hoàng Hùng chia hết số Sơn số chia hết cho Số Sơn phải số Sơn nhiều số Hoàng (6 quyển) sau góp lại chia Sơn trả thêm 800 đồng Số Sơn khác (Sơn phải có góp chung với bạn chứ!), nhỏ chia hết Sơn có Số bạn sau chia là: (6 + + 3) : = (quyển) Như Sơn bạn đưa thêm: - = (quyển) Giá tiền 800 đồng Bài 83: Hãy điền số từ đến vào ô trống để phép tính Bài giải: Đặt chữ vào trống: Theo đầu ta có chữ khác biểu thị số khác Do đó: a ≠ 1; c ≠ 1; d ≠ 1; b > 1; e > Vì = x = x nên b ≠ e ≠ 9; = x nên b ≠ e ≠ Do đó: b = e = b = e = Vì = x = x nên a = b : c = e : d = Trong ô trống a, b, c, d, e có số 2, 3, 4, 6, 8; số 1, 5, 7, điền vào ô trống g, h, i, k * Nếu e = g = h = Do a = i - k = - = 42 (loại) * Nếu e = g = h = Do a = i - k = - = (đúng) Khi đó: b = c = Kết quả: Bài 84: Có 13 bìa, bìa ghi chữ số xếp theo thứ tự sau: Khơng thay đổi thứ tự bìa, đặt chúng dấu phép tính + , - , x dấu ngoặc cần, cho kết 2002 Bài giải: Bài tốn có nhiều cách đặt dấu phép tính dấu ngoặc Ví dụ: Cách 1: (123 + x 5) x (6 + - + + - - + 4) = 2002 Cách 2: (1 x + x 4) x (5 + 6) x [(7 + + 9) - (1 + x + 4)] = 2002 Cách 3: (1 + + + x 5) x (6 x + + - + 23 - 4) = 2002 Bài 85: Hai bạn Huy Nam mua 18 gói bánh 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan Huy đưa cho cô bán hàng tờ 100000 đồng trả lại 72000 đồng Nam nói: “Cơ tính sai rồi” Bạn cho biết Nam nói hay sai? Giải thích sao? Bài giải: Vì số 18 số 12 chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo phải số chia hết cho Vì Huy đưa cho bán hàng tờ 100000 đồng trả lại 72000 đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo là: 100000 x - 72000 = 128000 (đồng) Vì số 128000 khơng chia hết cho 3, nên bạn Nam nói “Cơ tính sai rồi” Bài 86: Có hai đồng hồ cát phút phút Có thể dùng hai đồng hồ để đo thời gian phút khơng? Bài giải: Có nhiều cách để đo phút: Bạn cho đồng hồ cát chảy lúc chảy hết cát lần Khi đồng hồ phút chảy hết cát lần (4 x = 12(phút)) bạn bắt đầu tính thời gian, từ lúc đến đồng hồ phút chảy hết cát lần vừa phút (7 x - 12 = 9(phút)); cho hai đồng hồ chảy lúc, đồng hồ phút chảy hết cát lần (7 phút), đồng hồ phút chảy hết cát lần (16 phút) Khi đồng hồ phút chảy hết cát ta bắt đầu tính thời gian, từ lúc đến lúc đồng hồ phút chảy hết cát lần vừa phút (16 - = (phút)); Bài 87: Vui xuân mới, bạn làm phép toán sau, nhớ chữ khác cần thay chữ số khác nhau, chữ giống thay chữ số giống NHAM + NGO = 2002 Bài giải: - Vì A≠G mà chữ số hàng chục tổng nên phép cộng có nhớ sang hàng trăm nên hàng trăm: H + N + (nhớ) = 10; nhớ sang hàng nghìn Do H + N = 10 - = - Phép cộng hàng nghìn: N + (nhớ) = nên N = - = Thay N = ta có: H + = nên H = - = - Phép cộng hàng đơn vị: Có trường hợp xảy ra: * Trường hợp 1: Phép cộng hàng đơn vị khơng nhớ sang hàng chục Khi đó: M + O = A + G = 10 Ta có bảng: (Lưu ý chữ M, O, A, G phải khác khác 1; 8) * Trường hợp 2: Phép cộng hàng đơn vị có nhớ sang hàng chục Khi đó: M + O = 12 A + G = Ta có bảng: Vậy tốn có 24 đáp số Bài 88: Hãy xếp qn đơminơ vào hình vng 4x4 cho tổng số chấm hàng ngang, dọc, chéo hình vng 11 Lời giải: Có ba cách giải sau: Từ ba cách giải tạo nên nhiều phương án khác, chẳng hạn: Bài 89: Sử dụng số biển số xe ô tô 39A 0452, 38B 0088, 52N 8233 dấu +, -, x, : dấu ngoặc ( ), [ ] để làm thành phép tính Lời giải: * Biển số 39A 0452 Có số cách: (4 x - + 0) x = 5x2-4+3+0=9 45 : - - = (9 + - 3) x = 40 (4 + 5) : + + = : - ( - + 2) = - : (4 + 5) - = : (4 + 5) + + = (9 + 5) : - + = + : (5 - 2) + = 5+2-9:3-0=4 (9 : + 0) + - = (9 + 3) : + + = * Biển số 38B 0088 Có nhiều lời giải dựa vào tính chất “nhân số với số 0” 38 x 88 x = tính chất “chia số cho số khác 0” : (38 + 88) = Một vài cách khác: (9 - 8) + - : = 8:8+8+0+0=9 * Biển số 52N 8233 Có số cách: 5x2-8+3-3=2 : (5 x - - 3) = [(23 - 3) : 5] x = (5 + + 2) - (3 : 3) = (8 : - 3) x (3 + 2) = [(8 + 2) x : 3] : = (5 x + + 3) : = 3x3-5+2+2=8 Bài 90: Một đồng hồ hoạt động bình thường, kim kim phút không trùng Hỏi sau 24 (tức ngày đêm), hai kim trùng lần? Hãy lập luận để làm sáng tỏ kết qu Lời giải: Với đồng hồ hoạt động bình thường, trơi qua kim phút quay vịng, cịn kim quay 1/12 vòng Hiệu vận tốc kim phút kim là: - 1/12 = 11/12 (vòng/giờ) Thời gian để hai kim trùng lần là: : 11/12 = 12/11 (giờ) Vậy sau 24 hai kim trùng số lần : 24 : 12/11 = 22 (lần) Bài 91: Có ba người dùng chung két tiền Hỏi phải làm cho két ổ khố chìa để két mở có mặt hai người? Lời giải: Vì két mở có mặt hai người, nên số ổ khoá phải lớn a) Làm ổ khố + Nếu làm chìa có hai người có loại chìa; hai người không mở két + Nếu làm nhiều chìa có người cầm chìa khác loại; cần người mở két Vậy khơng thể làm ổ khố b) Làm ổ khố + Nếu làm chìa cần phải có đủ ba người mở két + Nếu làm chìa chìa có hai người khơng mở két + Nếu làm chìa (mỗi khố chìa) người cầm hai chìa khác cần hai người mở két Vậy phải làm ổ khoá ổ khoá làm chìa Bài 92 : Có gỗ dài gỗ hình cung trịn Nếu xếp hình bên chuồng nhốt thỏ, lại chưa có chuồng Bạn xếp lại gỗ để có đủ chuồng cho thỏ có chuồng riêng Bài giải : Bài tốn có nhiều cách xếp Xin nêu ba cách xếp sau: Bài 93: Một phân xưởng có 25 người Hỏi phân xưởng có 20 người 30 tuổi 15 người nhiều 20 tuổi khơng? Bài giải: Vì có 25 người, mà có 20 30 tuổi 15 người nhiều 25 tuổi, nên số người điểm lần là: (20 + 15) - 25 = 10 (người) Đây số người có độ tuổi 30 tuổi nhiều 20 tuổi (từ 21 tuổi đến 29 tuổi) Số người từ 30 tuổi trở lên là: 25 - 20 = (người) Số người từ 20 tuổi trở xuống là: 25 - 15 = 10 (người) Số người 30 tuổi là: 10 + 10 = 20 (người) Số người nhiều 20 tuổi là: 10 + = 15 (người) Vậy có 20 người 30 tuổi 15 người 20 tuổi; từ 21 đến 29 tuổi có hai người độ tuổi Bài 94: Tìm số tự nhiên liên tiếp có tích 3024 Bài giải: Giả sử số 10 tích 10 x 10 x 10 x 10 = 10000 mà 10000 > 3024 nên số tự nhiên liên tiếp phải bé 10 Vì 3024 có tận nên số phải tìm khơng thể có tận Do số phải bé 5, lớn Nếu số phải tìm 1; 2; 3; thì: x x x = 24 < 3024 (loại) Nếu số phải tìm 6; 7; 8; thì: x x x = 3024 (đúng) Vậy số phải tìm 6; 7; 8; Bài 95: Có loại que với số lượng độ dài sau: - 16 que có độ dài cm - 20 que có độ dài cm - 25 que có độ dài cm Hỏi xếp tất que thành hình chữ nhật khơng? Bài giải: Một hình chữ nhật có chiều dài (a) chiều rộng (b) số tự nhiên (cùng đơn vị đo) chu vi (P) hình phải số chẵn: P = (a + b) x Tổng độ dài tất que là: x 16 + x 20 + x 25 = 131 (cm) Vì 131 số lẻ nên khơng thể xếp tất que thành hình chữ nhật Bài 96: Hãy phát mối liên hệ số sử dụng mối liên hệ để điền số hợp lý vào (?) Bài giải: Để cho gọn, ta ký hiệu số trịn theo bảng sau: Lấy A chia cho K: 72 : = Lấy G chia cho C: : = Lấy B chia cho H: 16 : = Lấy E chia cho D: 24 : = cho kết ô Đ Vậy (?) Bài 97: Cô giáo yêu cầu: “Các lấy điểm đường trịn, nối điểm đoạn thẳng tô mực xanh mực đỏ” Bạn lớp trưởng tập hợp hình vẽ lại xem, bạn lên: “Bạn vẽ tam giác mà cạnh màu mực”! Bạn thử làm lại xem Ai lập luận để làm rõ tính chất này? Bài giải: Ta gọi điểm nằm đường tròn A1, A2, A3, A4, A5, A6 Bằng bút xanh đỏ ta nối A1 với điểm cịn lại ta đoạn thẳng có hai màu xanh đỏ Theo ngun lý Điríchlê có đoạn thẳng màu Khơng làm tính tổng quát, ta nối đoạn A1A2, A1A3, A1A4 bút màu đỏ Ta nối tiếp A2A4 A2A3 Để tam giác A1A2A3 tam giác A1A2A4 có cạnh khơng màu A2A4 A2A3 phải tơ màu xanh Bây ta tiếp tục nối A3A4, ta thấy A3A4 tơ màu xanh đỏ ta tam giác có cạnh màu (hoặc A 1A3A4 có cạnh đỏ A2A3A4 có cạnh màu xanh) Bài 98: Thi bắn súng Hôm Dũng thi bắn súng Dũng bắn giỏi lắm, Dũng bắn 11 viên, viên trúng bia trúng vòng 8;9;10 điểm Kết thúc thi, Dũng 100 điểm Dũng vui Cịn bạn có biết Dũng bắn viên kết bắn vào vòng không? Bài giải: Số viên đạn Dũng bắn phải 13 viên (vì Dũng bắn 13 viên Dũng số điểm là: x 11 + x + 10 x = 107 (điểm) > 100 điểm, điều vô lý) Theo đề Dũng bắn 11 viên nên số viên đạn Dũng bắn 12 viên Mặt khác 12 viên trúng vào vòng 8, 9, 10 điểm nên có 10 viên vào vòng điểm, viên vào vòng điểm, viên vào vịng 10 điểm Do số điểm Dũng bắn là: x 10 + x + 10 x = 99 (điểm) Số điểm hụt so với thực tế là: 100 - 99 = (điểm) Như có viên khơng bắn vào vịng điểm mà bắn vào vịng điểm; có viên khơng bắn vào vịng điểm mà bắn vào vịng 10 điểm Nếu có viên Dũng khơng bắn vào vịng điểm mà bắn vào vịng 10 điểm tổng cộng có 10 viên vào vòng điểm viên vào vịng 10 điểm (loại khơng có viên bắn vào vịng điểm) Vậy có viên khơng bắn vào vòng điểm mà bắn vào vòng điểm, tức có viên vào vịng điểm, viên vào vòng điểm viên vào vòng 10 điểm Bài 99: Ai xem ca nhạc? Một gia đình có năm người: bà nội, bố, mẹ hai bạn Chi, Bảo Một hơm gia đình tặng vé mời xem ca nhạc Năm ý kiến năm người sau: a) “Bà nội mẹ đi” b) “Bố mẹ đi” c) “Bố bà nội đi” d) “Bà nội Chi đi” e) “Bố Bảo đi” Sau cùng, người theo ý kiến bà nội ý kiến người khác có phần Bà nội nói câu nào? Bài giải: Một tốn lơgíc khó, sau lời giải Ta ký hiệu theo thứ tự “đi xem” ca nhạc: n (Bà nội), m (mẹ), b (Bố), C (Chi) B (Bảo) năm người họ “không đi” n, m, b, C B Như theo ý kiến năm người là: a) n m b) b m c) b n d) n C e) b B Mỗi năm ý có phần phần sai (trừ ý bà!) Câu mà bà nội nói với năm ý - Nếu chọn câu a) khơng có e tức b B - Nếu chọn câu b) khơng có d tức n C - Nếu chọn câu c) ý kiến khác có phần Bà nội nói câu c) Bài 100: Chơi bốc diêm Trên mặt bàn có 18 que diêm Hai người tham gia chơi: Mỗi người đến phiên lấy số que diêm Mỗi lần, người lấy không que Người lấy số que cuối người thắng Nếu bạn bốc trước, bạn có chắn thắng không? Bài giải: Giả sử A B tham gia chơi mà A lấy diêm trước Để thắng trước lần cuối A phải để lại que diêm, trước A phải để lại 10 que diêm lần bốc A để lại 15 que diêm, dù B có bốc que cịn lại số que để A cần bốc lần hết.Muốn lần trước A phải để lại 10 que diêm , dù B bốc que cịn lại số que mà A bốc để lại que Tương tự lần bốc A phải để lại 15 que diêm Với " chiến lược" A người thắng Bài 101: Tơ màu Hình bên gồm đỉnh A, B, C, D, E, F cạnh nối số đỉnh với Ta tô màu đỉnh cho hai đỉnh nối cạnh phải tô hai màu khác Hỏi phải cần màu để làm việc đó? Bài giải: Tất đỉnh A, B, C, D, E nối với đỉnh F nên đỉnh F phải tô màu khác với đỉnh lại Với đỉnh lại A C tơ màu B D tô màu, E tô riêng màu, cần màu để tơ đỉnh cho đỉnh nối cạnh tơ màu khác Vậy cần màu để tơ đỉnh hình theo yêu cầu đề Bài 102: Điền số đường tròn Điền số chẵn từ đến 12 vào chấm vòng tròn cho tổng số nằm vòng tròn 18 Bài giải: Sáu số chẵn là: 2, 4, 6, 8, 10, 12 Ta có: 18 = + + 12 18 = + + 10 18 = + + Trên hình vẽ ta thấy hai đường trịn lại có điểm chung Như số điền vào điểm chung thuộc hai tổng cho Ta thấy số 2, số 4, số lặp lại hai lần nên ba số điền vào ba điểm chung Các số cho điền vào hình vẽ sau: Bài 103 : Tìm hai số biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng tích chúng gấp 4008 lần hiệu chúng Bài giải : Coi hiệu hai số phần tổng chúng phần Do số lớn (5 + 1) : = (phần) Số bé : - = (phần) Tích hai số : x = (phần), mà tích hai số 4008 nên giá trị phần : 4008 : = 668 Số bé : 668 x = 1336 ; số lớn : 668 x = 2004 Bài 104 : Trong kho đơn vị dân cơng cịn lại bao gạo chứa 39 kg gạo Bác cấp dưỡng cần lấy 11/13 số gạo Hỏi với cân loại cân đĩa cân kg, bác cấp dưỡng phải làm để sau lần cân lấy đủ số gạo cần dùng Bài giải : Số gạo bác cấp dưỡng cần lấy : 39 x 11/13 = 33 (kg) Số gạo lại sau bác cấp dưỡng lấy : 39 - 33 = (kg) Cách thực cân sau : Lần : Đặt cân lên đĩa cân, đổ gạo vào đĩa cân bên đến cân thăng bằng, kg gạo Lần : Đặt cân sang đĩa có kg gạo vừa cân đổ gạo vào đĩa cân trống đến cân thăng bằng, kg gạo Lần : Đặt kg gạo cân hai lần vào đĩa cân, đĩa cân đổ gạo vào cân thăng bằng, bên kg gạo Như số gạo có sau ba lần cân kg Số gạo cịn lại bao số gạo mà bác cấp dưỡng cần dùng Bài 105 : Lan nói số có chữ số 1/5 số viết theo thứ tự ngược lại Đố bạn biết Lan nói hay sai ? Bài giải : Gọi số (a > ; a, b, c, d < 10) Số viết theo thứ tự ngược lại Theo đầu ta có : Nhưng d x có tận (khác 1) nên khơng tìm giá trị a d Vậy bạn Lan nói sai Bài 106 : Bác Phong có mảnh đất hình chữ nhật, chiều rộng mảnh đất dài m Bác ngăn mảnh thành hai phần, phần để làm nhà, phần cịn lại để làm vườn Diện tích phần đất làm nhà 1/2 diện tích mảnh đất cịn chu vi phần đất làm nhà 2/3 chu vi mảnh đất Tính diện tích mảnh đất bác Bài giải : Có hai cách chia mảnh đất hình chữ nhật thành hai phần có diện tích Cách chia : hình Hình Gọi mảnh đất hình chữ nhật ABCD phần đất làm nhà AMND Vì diện tích phần đất làm nhà nửa diện tích mảnh đất nên M, N điểm AB CD Do AM = MB = CN = ND Chu vi phần đất làm nhà : (AM + AD) x = (AM + 8) x = = AM x + x = AB + 16 Chu vi mảnh đất : (AB + AD) = (AB + 8) x = = AB x + x = AB x + 16 Hiệu chu vi mảnh đất chu vi phần đất làm nhà : (AB x + 16) - (AB + 16) = AB Hiệu so với chu vi mảnh đất chiếm : - 2/3 = 1/3 (chu vi mảnh đất) Do ta có : AB x = AB x + 16 AB x - AB x = 16 AB x (3 - 2) = 16 AB = 16 (m) Vậy diện tích mảnh đất : 16 x = 128 (m2) Cách chia : hình Hình Lập luận tương tự trường hợp trên, ta tìm AB = m Điều vơ lí AB chiều dài mảnh đất hình chữ nhật, đương nhiên phải lớn m Do trường hợp bị loại Bài 107 : Cho phép chia hai số tự nhiên có dư Tổng số : số bị chia, số chia, số thương số dư 769 Số thương 15 số dư số dư lớn có phép chia Hãy tìm số bị chia số chia phép chia Bài giải : Số dư phép chia số dư lớn nên số chia đơn vị Ta có sơ đồ sau: Theo sơ đồ, gọi số chia phần, thêm đơn vị vào số dư số bị chia tổng số phần số chia, số bị chia số dư (mới) gồm : 15 + + + = 18 (phần) Khi tổng số chia, số bị chia số dư (mới) : 769 - 15 + + = 756 Số chia : 756 : 18 = 42 Số dư : 42 - = 41 Số bị chia : 42 x 15 + 41 = 671 Bài 108 : Số táo An, Bình Chi An cho 17 quả, Bình cho 19 lúc số táo Chi gấp lần tổng số táo lại An Bình Hỏi lúc đầu bạn có táo ? Bài giải : Nếu coi số táo Chi gồm phần tổng số táo An Bình 10 phần Số táo mà An Bình cho : 17 + 19 = 36 (quả) Vì số táo Chi gấp lần tổng số táo lại An Bình nên số táo cịn lại hai bạn gồm phần Như An Bình cho số phần : 10 - = (phần) Vậy số táo Chi : (36 : 9) x = 20 (quả) Vì ba bạn có số táo nên bạn lúc đầu có 20 Bài 109 : Con số số 2, 3, 4, cần thay vào dấu chấm hỏi (?) để hợp lôgic ? Bài giải : Gọi số thay vào hình trịn a, số thay vào tam giác b số thay vào hình vng c, ta có : a + x b = 22 Vì x b chia hết cho ; 22 chia cho dư nên a chia cho dư (*) Ta lại có x a + x c = 10, c nhỏ nên a lớn (10 - x 2) : = (**) Từ (*) (**) ta có a = Do + x b = 22 ; b = (22 - 1) : = ; c = (10 - x 1) : = Vậy số cần thay vào dấu chấm hỏi để hợp lôgic số Bài 110 : Hãy dùng tất chữ số, chữ số lần để viết năm số tự nhiên, có số 1/2 ; 1/3 ; 1/4 1/5 số lại Bài giải : Gọi số tự nhiên xếp theo thứ tự từ bé đến lớn A ; B ; C ; D ; E Nếu A có chữ số E khơng vượt q x = 45 Như có số có không chữ số nên dùng không chữ số (2 x + = 9) Vậy A có nhiều chữ số Nếu E có chữ số A có chữ số (vì 100 : = 20) Như có số có chữ số số có chữ số nên phải dùng nhiều 10 chữ số (2 x + = 11) Vậy số phải số có chữ số E lớn 45 chia hết cho Vậy E : 95 ; 90 ; 85 ; 80 ; 75 ; 70 ; 65 ; 60 ; 55 ; 50 Ta có bảng lựa chọn sau : Số thứ 18, số thứ hai 36, số thứ ba 54, số thứ tư 72 số thứ 90 Bài 111 : Bạn xóa chữ số để phép tính : 151 x 375 = 450 Bài giải : Hai thừa số vế trái đẳng thức có chữ số lẻ nên dù xóa chữ số kết phép nhân số lẻ Vậy vế phải 45 Trường hợp : Kết phép nhân 45 ta có cách xóa : Trường hợp : Kết phép nhân ta có hai cách xóa : Bài 112 : Có hai bìa hình vng mà số đo cạnh số tự nhiên chia hết cho Đặt bìa hình vng nhỏ lên bìa hình vng lớn diện tích phần bìa khơng bị chồng lên 63 cm2 Tìm cạnh bìa Bài giải : Ta đặt bìa hình vng nhỏ lên bìa hình vng lớn cho cạnh hình vng nhỏ trùng khít với cạnh hình vng lớn Gọi hai hình vng ABCD AEGH Diện tích phần bìa khơng bị chồng lên bao gồm hai hình chữ nhật BCKE DKGH Hai hình chữ nhật có BE = DH (chính hiệu số đo cạnh hai hình vng) Chuyển hình chữ nhật BCKE xuống bên cạnh hình chữ nhật DKGH ta hình chữ nhật GKMN Khi ta có diện tích hình chữ nhật HDMN 63 cm2 Ta thấy hình chữ nhật HDMN có chiều dài chiều rộng tổng hiệu số đo hai cạnh hình vng Vì hai hình vng có số đo cạnh số tự nhiên chia hết cho 3, nên tổng hiệu số đo hai cạnh hình vng phải số chia hết cho Do chiều dài chiều rộng hình chữ nhật HDMN số chia hết cho Vì 63 = x 63 = x 21 = x nên chiều dài chiều rộng hình chữ nhật HDMN phải 21 cm cm Vậy độ dài cạnh bìa hình vng nhỏ : (21 - 3) : = (cm) Độ dài cạnh bìa hình vng lớn : + = 12 (cm) Bài 113 : So sánh M N biết : Bài giải : Bài 114 : Một bảng vng gồm dịng cột hình vẽ Trên dịng ta điền số tự nhiên liên tiếp từ đến vào ô theo thứ tự tùy ý (mỗi ô số số điền lần) cho tổng số cột Bạn Nhi cho làm cịn bạn Tín khẳng định khơng điền Hỏi đúng, sai ? Bài giải : Giả sử điền theo u cầu tốn (Bạn Nhi nói đúng) Tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến : + + + + + + + = 36 Mỗi dòng điền số tự nhiên liên tiếp từ đến nên tổng số dòng bảng vng : 36 x = 108 Vì tổng số cột nên tổng tất số bảng ô vuông phải số chia hết cho Nhưng 108 không chia hết điều giả sử sai tức bạn Nhi nói sai bạn Tín nói Bài 115 : Nếu đếm chữ số ghi tất ngày năm 2004 tờ lịch treo tường kết ? Bài giải : Năm 2004 năm nhuận có 366 ngày Một năm có 12 tháng, tháng có ngày từ mùng đến mùng ngày viết số có chữ số Như số ngày viết số có chữ số : x 12 = 108 (ngày) Số ngày lại năm viết số có chữ số : 366 - 108 = 258 (ngày) Vậy đếm chữ số ghi tất ngày năm 2004 tờ lịch ta : x 108 + x 258 = 624 (chữ số) Bài 116 : Cho : Hãy so sánh S 1/2 Bài giải : Bài 117 : Cho số tự nhiên, viết thêm chữ số vào bên phải số ta số số cho 2004 đơn vị Tìm số cho chữ số viết thêm Bài giải : Cách : Khi viết thêm chữ số vào bên phải số tự nhiên cho ta số 10 lần số tự nhiên cộng thêm chữ số viết thêm Gọi chữ số viết thêm a, ta có sơ đồ : lần số cho : 2004 - a Số cho : (2004 - a) : Vì số cho số tự nhiên nên 2004 - a phải chia hết cho 9, số 2004 chia dư nên a chia cho phải dư 6, mà a chữ số nên a = Số tự nhiên cho (2004 - 6) : = 222 Cách : Gọi số tự nhiên cho A chữ số viết thêm x số Ta có - A = 2004 A x 10 + x - A = 2004 (phân tích số) A x 10 - A + x = 2004 A x (10 - 1) + x = 2004 (một số nhân với tổng) A x + x = 2004 Vì A x chia hết cho ; 2004 chia dư nên x chia cho phải dư Vì x chữ số nên x = Ta có : A x + = 2004 A x = 2004 - A x = 1998 A = 1998 : A = 222 Vậy số tự nhiên cho 222 ; chữ số viết thêm Bài 118 : Một tờ giấy hình vng có diện tích 72 cm2 đường chéo tờ giấy dài ? Bài giải : Gọi tờ giấy hình vng ABCD Nối hai đường chéo AC BD cắt O (hình vẽ) Hình vng chia thành tam giác vng nhỏ có diện tích Diện tích tam giác AOB : 72 : = 18 (cm2) Vì diện tích tam giác AOB (OA x OB) : 2, (OA x OB) : = 18 (cm2) Suy OA x OB = 36 (cm2) Vì OA = OB mà 36 = x nên OA = (cm) Vì AC = x OA nên độ dài đường chéo tờ giấy : x = 12 (cm) Bài 119 : Trong đợt trồng đầu năm, lớp 5A cử số bạn trồng trồng 180 cây, học sinh trồng Tính số học sinh tham gia trồng cây, biết số học sinh tham gia số chia hết cho Bài giải : Nếu bạn trồng số người tham gia : 180 : = 20 (người) Vì 180 : = 22 (dư 4) nên số người tham gia nhiều 22 người có người trồng cây, cịn lại người trồng Theo đầu số người tham gia số chia hết có 21 bạn tham gia Bài 120 : Chứng minh thay chữ chữ số để có phép tính : = 2004 Bài giải : Cách : Đặt tính : Xét chữ số hàng đơn vị : Có trường hợp xảy : Trường hợp : I > C Khi phép trừ hàng đơn vị khơng có nhớ sang hàng chục Ở chữ số hàng chục : U - O = hay U = O Ở chữ số hàng trăm : V - H = hay V = H Do (vì chữ số hàng nghìn C < I) Trường hợp : I < C Khi phép trừ hàng đơn vị có nhớ sang hàng chục Do hàng chục : U - O - = hay U - O = nên O < U Phép trừ khơng có nhớ sang hàng trăm hàng trăm : V - H = hay V = H Vì (vì chữ số hàng chục nghìn O < U) Vậy ta thay chữ chữ số để có phép tính cho Cách : Dùng tính chất chia hết hiệu : Ta thấy số có tổng chữ số nên số có số dư chia cho 9, hiệu hai số chắn chia hết cho Mà 2004 không chia hết cho 9, hiệu hai số khơng thể 2004 Nói cách khác ta khơng thể thay chữ chữ số để có phép tính Bài 121 : Số chữ số dùng để đánh số trang sách số chia hết cho số trang sách Biết sách 100 trang 500 trang Hỏi sách có trang ? Bài giải : Vì sách 100 trang 500 trang nên số trang sách số có chữ số Gọi số trang sách với a, b, c chữ số a khác Các số trang sách số tự nhiên từ đến Có trang có chữ số nên cần chữ số để đánh số trang cho trang Có 90 trang có chữ số nên cần x 90 = 180 (chữ số) để đánh số trang cho trang Số trang có chữ số - 99 trang Số chữ số dùng để đánh số trang có chữ số : x ( - 99) Số chữ số dùng để đánh số trang sách : + 180 + x ( - 99) = 189 + x - 297 = x - 180 Vì số chữ số dùng để đánh số trang sách số chia hết cho số trang sách nên chia hết cho hay 108 chia hết cho Suy 108 Vậy sách có 108 trang Bài 122 : Cha 43 tuổi Nếu tính sang năm tuổi cha vừa gấp tuổi Hỏi lúc tuổi tuổi cha gấp lần tuổi ? Có tuổi cha gấp lần tuổi khơng ? Vì ? Bài giải : Tuổi cha sang năm : 43 + = 44 (tuổi) Tuổi : 44 : = 11 (tuổi) Tuổi cha tuổi : 43 - 11 = 32 (tuổi) Khi tuổi cha gấp lần tuổi cha 32 tuổi Ta có sơ đồ tuổi cha gấp lần tuổi sau : Nhìn vào sơ đồ ta thấy : Tuổi : 32 : (5 - 1) = (tuổi) Nếu tuổi cha gấp lần tuổi con, tuổi phần tuổi cha phần Tuổi cha tuổi số phần : - = (phần), cha 32 tuổi ; 32 không chia hết không tuổi cha gấp lần tuổi (vì ta coi tuổi hàng năm số tự nhiên) Bài 123 : Có bình (đánh số 1, 2, 3, 4) đựng số lượng bi Lấy từ bình thứ số viên bi, lấy gấp đơi số từ bình thứ hai, lấy gấp ba số từ bình thứ ba cuối lấy gấp bốn số từ bình thứ tư Khi tổng số bi cịn lại bốn bình 40 viên bình thứ tư cịn lại viên bi Hỏi ban đầu số lượng bi bốn bình ? Bài giải : Số bi lấy từ bình : (40 - x 4) : (3 + + 1) = (viên) Lúc đầu số lượng bi bốn bình : (6 x + 1) x = 100 (viên) Bài 124 : Từ tờ giấy kẻ ô vuông, bạn Khang cắt hình bốn cánh hình bên Hình có diện tích ô vuông ? Bài giải : Cách : Diện tích hình diện tích hình vng gồm 16 vng trừ diện tích bốn hình tam giác Mỗi tam giác có diện tích vng Do diện tích hình : 16 - x = (ô vuông) Cách : Cắt ghép để từ hình ta có hình mà hình diện tích vng Bài 125 : Một đoàn tàu hỏa dài 200 m lướt qua người xe đạp ngược chiều với tàu hết 12 giây Tính vận tốc tàu, biết vận tốc người xe đạp 18 km/giờ Bài giải : Đoàn tàu hỏa dài 200 m lướt qua người xe đạp hết 12 giây, có nghĩa sau 12 giây tổng quãng đường tàu hỏa xe đạp 200 m Như tổng vận tốc tàu hỏa xe đạp : 200 : 12 = 50/3(m/giây), 50/3 m/giây = 60 km/giờ Vận tốc xe đạp 18 km/giờ, vận tốc tàu hỏa : 60 - 18 = 42 (km/giờ) Bài 126 : Cho số gồm bốn chữ số có chữ số hàng trăm chữ số hàng chục Tìm số cho biết số chia hết cho 27 Bài giải : Gọi số phải tìm (a khác ; a ; b 61) + Nếu số bi Xuân số bi Hạ 3, số bi Thu 27 (3 x = 27) Số bi Đông : 61 - (2 + + 27) = 29 (viên) Bài 134 Thay chữ chữ số (chữ khác thay chữ số khác nhau) cho kết phép tính đạt giá trị lớn CHUC + MUNG + THAY + CO + NHAN + NGAY - 20 - 11 Lời giải Vì N xuất hàng cao nhiều lần nên N phải để kết lớn Tiếp C xuất hàng cao lại giống M T C hai hàng khác nên C Nếu M T ngược lại, kết phép tốn khơng thay đổi Với lập luận H 5, U G Từ A 2, Y O Vậy ta có đáp số : 8548 + 6493 + 7521 + 80 + 9529 + 9321 - 20 - 11 = 41461 8548 + 7493 + 6521 + 80 + 9529 + 9321 - 20 - 11 = 41461 Bài 135 : Thăng đố Long biết số học sinh trường Thăng cuối năm học vừa có học sinh nhận thưởng ? Biết số học sinh nhận thưởng số có ba chữ số thú vị chữ số hàng trăm, chữ số hàng đơn vị giống Nếu nhân số với tích số có ba chữ số tích có chữ số Bài giải : Gọi số phi tìm aba(a khác b;a ; b nhỏ 9) Theo đầu ta có: aba x = deg (d khác ; d; e; g nhỏ 9).Nếu a lớn tích nhiều chữ số.Vậy a = Ta có 1b1x = deg ( deg có chữ số 2) Do : g = x = d lớn Vì : e = Vì b x = nên b = b = Nếu b = 121 x = 726 (Đúng) Nếu b = 171 x = 1026 (Loại) Vậy số học sịnh nhận thưởng 121 bạn Bài 136 : Em di chuyển hai que diêm lại vị trí để kết phép tính : Bài giải : Cách : Ta chuyển que diêm chữ số để có chữ số Lấy que diêm ghép vào chữ số số 502 để số 602 Lấy que diêm chữ số số 2003 đặt vào vị trí khác chữ số để chuyển số 2003 thành số 2002, ta có phép tính : Cách : Ta chuyển que diêm số để có chữ số lấy que diêm ghép vào chữ số số 502 để số 602 Lấy que diêm chữ số số 602 đặt vào vị trí khác chữ số để chuyển số 602 thành số 603, ta có phép tính : Bài 137 : Một bạn chọn hai số tự nhiên tuỳ ý, tính tổng chúng lấy tổng nhân với Bạn làm tưng tự hiệu hai số mà chọn Cuối cộng hai tích tìm với Hỏi tổng hai tích số chẵn hay số lẻ ? Vì ? Bài giải : Sẽ xảy hai trường hợp : C hai số chẵn (hoặc lẻ) ; số chẵn số lẻ a) Hai số chẵn (hoặc hai số lẻ) Tổng, hiệu hai số số chẵn Số chẵn nhân với số chẵn Do cộng hai tích (là hai số chẵn) phải số chẵn b) Một số chẵn số lẻ Tổng, hiệu chúng số lẻ Số lẻ nhân với số lẻ Do cộng hai tích (là hai số lẻ) phải số chẵn Vậy theo điều kiện tốn kết toán phải số chẵn Bài 138 : a) Hãy phân tích 20 thành tổng số tự nhiên cho tích số tự nhiên 20 b) Bạn làm với số tự nhiên không ? Bài giải : Phân tích 20 thành tích số tự nhiên khác 20 = x x = x = 10 x Trường hợp : x x = 20 tổng chúng : 2+ + = Vậy để tổng 20 phải thêm vào : 20 - = 11, ta thay 11 tổng 11 số tích khơng thay đổi Lí luận tương tự với trường hợp : 20 = x 20 = 10 x Ta có cách phân tích sau : Cách : 20 = x x x x x x x x x x x x x 20 = + + + + + + + + + + + + + Cách : 20 = x x x x x x x x x x x x 20 = + + + + + + + + + + + + Cách : 20 = 10 x x x x x x x x x 20 = 10 + + + + + + + + + b) Một số chia hết cho khơng làm tích 1với ln nhỏ tổng với Bài 139 : Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho dư 1, chia cho dư 1, chia cho dư chia hết cho Bài giải : Vì a chia cho dư nên a số lẻ Vì a chia cho dư nên a có tận Do a phải có tận - Nếu a số có hai chữ số a chia hết a = 81, loại 81 : = 11 dư (trái với điều kiện đề bài) - Nếu a số có ba chữ số để a nhỏ chữ số hàng trăm phải Khi để a chia hết cho theo dấu hiệu chia hết cho ta có chữ số hàng chục phi (để + + = 9) Vì 171 : = 24 dư nên a = 171 Vậy số phải tìm nhỏ thỏa mãn điều kiện đề 171 Bài 140 : Số nằm phạm vi số tự nhiên từ đến 58 Khi viết "nó" khơng sử dụng chữ số ; ; Ngồi "nó" số lẻ không chia hết cho số ; ; Vậy "nó" số ? Bài giải : Nó số lẻ nằm phạm vi số tự nhiên từ đến 58, viết khơng sử dụng chữ số ; ; nên : ; ; ; 45 ; 47 ; 49 ; 55 ; 57 ; 59 Nhưng khơng chia hết cho ; ; nên số có số 47 thỏa mãn Vậy số 47 Bài 141 : Bạn Tân thực phép chia số cho 12 dư chia số cho 14 dư Bạn chứng tỏ Tân làm sai phép tính Bài giải : A = 12 x p + = 14 x q + (với p ; q số tự nhiên) Ta thấy : 12 x p số chẵn nên A = 12 x p + số lẻ 14 x q số chẵn nên A = 14 x q + số chẵn A vừa lẻ vừa chẵn nên chắn có phép tính sai Bài 142 : Vườn bà Thược có số chưa đến 100 có loại : xồi, cam, mít, bưởi Trong số xồi chiếm 1/5 số cây, số cam chiếm 1/6 số cây, số bưởi chiếm1/4 số cịn lại mít Hãy tính xem loại có cây? Bài giải : Số xoài chiếm 1/5 số cây, số cam chiếm 1/6 số cây, số bưởi chiếm 1/4 số nên số vườn phải chia hết cho 4, 5, Mà = x nên số vườn phải chia hết cho 3, 4, Số nhỏ 100 chia hết cho 3, 4, 60 Vậy số vườn 60 Số xoài vườn : 60 : = 12 (cây) Số cam vườn : 60 : = 10 (cây) Số bưởi vườn : 60 : = 15 (cây) Số mít Vườn : 60 - (12 + 10 + 15) = 23 (cây) Đáp số : xoài : 12 ; cam : 10 ; bưởi : 15 ; mít : 23 Bài 143 : Bạn chia bìa bên thành phần giống hệt hình dạng phần có bơng hoa Bài giải : Ta chia bìa thành vng nhỏ hình vẽ sau : Nhìn hình vẽ ta thấy tổng số ô vuông nhỏ 18 ô Do chia bìa thành phần giống hệt hình dạng phần có số ô : 18 : = (ô) hình dạng phần phải có dạng hình chữ L Ta có cách chia sau : (cắt theo đường màu) Bài 144 : Cho dãy số chẵn liên tiếp : ; ; ; ; ; 998 ; 1000 Sau điền thêm dấu + dấu - vào số theo ý mình, bạn Bình thực phép tính kết 2002 ; bạn Minh thực phép tính kết 2006 Ai tính ? Bài giải : Từ đến 1000 có : (1000 - 2) : + = 500 (số chẵn) Tổng số : N = (1000 + 2) x 500 : = 250500 Số chia hết cho Khi thay + a thành - a N bị giảm a x số chia hết cho Do kết cuối phải số chia hết cho Bình tính 2002, Minh tính 2006 số khơng chia hết cho Vậy hai bạn tính sai Bài 145 : Trường Tiểu học Xuân Đỉnh tham gia hội khỏe Phù Đổng, có 11 học sinh đoạt giải, có em giành giải, có em giành giải có em giành người giải Hỏi trường giành giải ? Bài giải : Có 11 em đoạt giải, có em giành giải nên số học sinh giành em giải : 11 - = (em) Có em giành giải, có em giành giải nên số em giành em giải : - = (em) Có em giành giải có có em giành em giải nên số em giành em giải : - = (em) Số em giành từ đến giải : + + + = 11 (em) Do khơng có em giành nhiều giải Vậy số giải mà trường giành : x + x + x + x = 23 (giải) Bài 146 : Tính nhanh tổng sau : Bài giải : Đặt tổng A ta có : Bài 147 : Tìm số tự nhiên a để biểu thức : A = 4010 - 2005 : (2006 - a) có giá trị nhỏ Bài giải : Để A có giá trị nhỏ số trừ 2005 : (2006 - a) có giá trị lớn khơng vượt 4010 Để 2005 : (2006 - a) có giá trị lớn số chia (2006 - a) có giá trị nhỏ lớn Vậy 2006 - a = a = 2006 - a = 2005 Bài 148 : Một lớp có 29 học sinh Trong lần kiểm tra tả bạn Xuân mắc lỗi, cịn bạn lớp mắc lỗi Chứng minh : Trong lớp có bạn có số lỗi (kể trường hợp số lỗi 0) Bài giải : Vì bạn lớp có lỗi Xn, nên bạn có số lỗi từ đến Trừ Xn số bạn cịn lại : 29 - = 28 (bạn) Nếu chia bạn cịn lại thành nhóm theo số lỗi tối đa có nhóm Nếu nhóm có khơng q bạn nhóm có khơng q x = 27 (bạn) Điều mâu thuẫn với số bạn cịn lại 28 bạn Chứng tỏ phải có nhóm có bạn tức lớp có có bạn có số lỗi Bài 149 : Hợp tác xã Hịa Bình dự định xây dựng khu vui chơi cho trẻ em xã Vì họ mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để diện tích gấp ba lần diện tích ban đầu Chiều rộng mảnh đất tăng lên gấp đơi nên phải mở rộng thêm chiều dài Khi mảnh đất trở thành hình vng Hãy tính diện tích khu vui chơi Biết chu vi mảnh đất ban đầu 56 m Bài giải : Gọi mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu ABCD, mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để mảnh đất hình vng APMN có cạnh hình vng gấp lần chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ABCD diện tích gấp lần diện tích mảnh đất hình chữ nhật Khi diện tích mảnh đất hình chữ nhật ABCD, DCHN, BPMH Mảnh đất hình chữ nhật BPMH có độ dài cạnh BH gấp lần độ dài cạnh AD nên Nửa chu vi mảnh đất ban đầu 56 m nên AD + AB = 56 : = 28 (m) Ta có : Chiều rộng mảnh đất ban đầu (AD) : 28 : (3 + 4) x = 12 (m) Cạnh hình vng APMN : 12 x = 24 (m) Diện tích khu vui chơi : 24 x 24 = 576 (m2) Bài 150 : Cho (1), (2), (3), (4) hình thang vng có kích thước Biết PQ = cm Tính diện tích hình chữ nhật ABCD Bài giải : Vì hình thang vuông PQMA, QMBC, QPNC, PNDA nên : MQ = NP = QP = cm CN = AD Mặt khác AD = NP + QM = + = (cm) Do : CN = AD = cm Diện tích hình thang vng PQCN : (CN + PQ) x NP : = (8 + 4) x : = 24 (cm2) Suy : Diện tích hình chữ nhật ABCD : 24 x = 96 (cm2) Bài 151 : Một ô tô dự định từ C đến D Do thời tiết xấu nên vận tốc tơ giảm 14 km/giờ đến D muộn so với thời gian dự định Tính qng đường CD Giải : Thời gian tơ thực quãng đường CD : + = (giờ) Tỉ số thời gian dự định thời gian thực : = 3/4 Vì qng đường CD khơng đổi nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Do tỉ số vận tốc dự định (v dự định) vận tốc thực (vthực đi) 4/3 Nếu vdự định vthực tính theo đơn vị km/giờ ta có sơ đồ sau : Vận tốc dự định quãng đường CD : 14 x = 56 (km/giờ) Quãng đường CD dài : 56 x = 168 (km) Bài 152 : Một ca nơ xi dịng từ A đến B hết ngược dòng từ B A hết Tính khoảng cách AB biết vận tốc dịng nước km/giờ Phân tích : Đây tốn chuyển động dịng nước Ngồi giả thiết mà toán cho, cần biết thêm kiến thức chuyển động dòng nước sau : Vận tốc xi dịng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dịng nước Từ ta có : Vận tốc xi dịng - Vận tốc ngược dịng = x Vận tốc dịng nước Bài tốn cho biết vận tốc dịng nước nên ta tính hiệu vận tốc xi dịng ngược dịng Biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng ta dựa vào tìm tỉ số vận tốc đưa dạng tốn tìm số biết hiệu tỉ Giải : Hiệu vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng lần vận tốc dịng nước nên hiệu : x = (km/giờ) Tỉ số thời gian xi dịng thời gian ngược dịng : = 5/6 Vì qng đường không đổi nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Do tỉ số vận tốc xi dịng ngược dịng 6/5 Ta có sơ đồ : Vận tốc xi dịng : x = 36 (km/giờ) Quãng đường AB : 36 x = 180 (km) Bài 153 : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M N điểm AB CD Nối DM, BN cắt AC I K Chứng tỏ AI = IK = KC Giải : (ở ta cần vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác) Ta có : dt (ABC) = x dt (AMD) (vì AB = x AM AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC c.cao BC) Suy dt (DCM) = x dt (AMD) Gọi CH AE chiều cao tam giác DCM DAM xuống đáy DM, CH = x AE Nhưng CH AE chiều cao tam giác ICM IAM có chung cạnh đáy IM Vậy dt (ICM) = x dt (IAM) Mà tam giác IAM ICM chung chiều cao từ M, IC = x AI, suy AC = x AI hay AI = 1/3 AC Làm tương tự với cặp tam giác ABN CBN ; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy IK = 1/3 AC Do AI = IK = KC Chú ý : để chứng tỏ đoạn thẳng ta phải chứng tỏ tam giác có chung chiều cao diện tích Bài 154: Cho tam giác ABC, gọi điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho : AB = x AM, AC = x AN Gọi I điểm cạnh BC a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN b) Chứng tỏ đoạn thẳng BN, CM, AI cắt điểm Giải : a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC Từ suy : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B) Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN) Hơn từ AC = x AN, nên NC = x AN, dt (NBC) = x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy dt (NBC) = 3/2 x x dt (MBN) = x dt (MBN) Mà tam giác NBC tam giác MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vì đáy BC = x MN b) Gọi BN cắt CM O Ta chứng tỏ AI cắt BN O Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I) Theo phần a) ta có dt (NBC) = x dt (ABN) Mà tam giác NBC tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN Nhưng chiều cao tương ứng hai tam giác BCO BAO có chung đáy BO, dt (BCO) = x dt (BAO) Tương tự ta có dt (BCO) = x dt (CAO) Do dt (BAO) = dt (CAO) Hai tam giác BAO CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B chiều cao từ C xuống đáy AO Đó chiều cao tương ứng hai tam giác BOK COK có chung đáy OK, dt (BOK) = dt (COK) Mà hai tam giác BOK tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K điểm cạnh BC Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O Bài 155: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua vua ban thưởng cho cam vườn thượng uyển, phải tự vào vườn hái Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào lúc ông phải biếu ta nửa số cam, thêm nửa quả” Qua cổng thứ hai thứ ba lính canh giao hẹn Hỏi để có cam mang viên quan phải hái cam vườn? Giải: Số cam viên quan lại sau cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là: Số cam viên quan lại sau cho lính gác cổng thứ ba (cổng cùng) là: Số cam viên quan phải hái vườn là: Vậy để có cam mang viên quan phải hái 15 vườn Đáp số: 15 cam Bài 156: Có giống bèo ngày lại nở tăng gấp đôi Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ bèo 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ Vậy ban đầu cho vào 16 bèo ngày sau bèo phủ kín mặt hồ? Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số bèo mặt hồ: Nhìn vào bảng ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 bèo ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ Bài 157 : Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng 29 ; lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng cây? Phân tích : Bài tốn cho số lớp 4D trung bình cộng số c lớp mà cịn trung bình cộng số bốn lớp Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có : Tổng số lớp 4A ; 4B ; 4C thêm lần trung bình cộng số lớp Từ ta tìm số lớp 4D Giải : Theo ta có sơ đồ: Nhìn vào sơ đồ ta có trung bình cộng số lớp : (21 + 22 + 29 + 3) : = 25 (cây) Số lớp 4D trồng : 25 + = 28 (cây) Nhận xét : Nếu có số a ; b ; c số chưa biết x mà x lớn trung bình cộng số a ; b ; c ; x n đơn vị trung bình cộng bốn số là: (a + b + c + n) : hay (a + b + c + x) : = (a + b + c + n) : (Vận dụng giải tập sau: Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng 29 Lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng cây?) Bài 158 : Hưng xe đạp từ nhà lên huyện với vận tốc 12 km/giờ Sau trở với vận tốc 10 km/giờ Tính quãng đường từ nhà lên huyện biết thời gian lúc lâu lúc 10 phút Giải Nhận xét : Ta thấy Hưng đoạn đường từ nhà lên huyện Do thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc lúc vận tốc lúc tỉ số vận tốc lúc lúc 12/10 = 6/5 Vậy tỉ số thời gian thời gian 5/6 Mà thời gian lúc lâu lúc 10 phút hay nhiều 10 phút Từ ta có sơ đồ : Thời gian lúc hết :10 : (6 - 5) x = 60 (phút) Đổi : 60 phút = Quãng đường từ nhà lên huyện : 10 x = 10 (km) Đáp số : 10 km Bài 159 : Cho tam giác ABC có diện tích 75 cm2 Trên BC lấy M cho BM = 2/3 BC Tính diện tích tam giác ABM Nhận xét : Ta thấy tam giác ABM tam giác ABC có chiều cao AH ; hai đáy tương ứng BM BC Do đáy diện tích hai đại lượng tỉ lệ thuận với tỉ số hai đáy : BM/BC = 2/3 Vậy tỉ số diện tích hai tam giácABM ABC 2/3 Vì diện tích tam giác ABC 75 cm2, nên diện tích tam giác ABM : 75 : x = 50 (cm2) Đáp số : 50 cm2 Bài 160: Cô giáo xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp 4A Nếu xếp bàn bạn thiếu bàn Nếu xếp bàn bạn thừa bàn Hỏi lớp có bàn, học sinh ? Nhận xét : Số học sinh không đổi nên số bàn số học sinh xếp bàn hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Số bàn cần có để xếp bạn bàn nhiều số bàn cần có để xếp bạn bàn : + = (bàn) Ở tỉ số số bạn xếp bàn bạn bàn bạn Do tỉ số số bàn xếp bàn bạn bàn bạn Vậy ta có sơ đồ : Số bàn cần đủ để xếp bạn bàn : : (5 - 4) x = 10 (bàn) Số bàn lớp 4A : 10 - = (bàn) Số học sinh lớp 4A : x + = 40 (học sinh) Đáp số : bàn ; 40 học sinh Bài 161: “Bạn Yến có bó hoa hồng đem tặng bạn lớp Lần đầu Yến tặng nửa số hồng thêm Lần thứ hai Yến tặng nửa số bơng hồng cịn lại thêm Lần thứ ba Yến tặng nửa số bơng hồng cịn lại thêm bơng Cuối Yến cịn lại bơng hồng dành cho Hỏi Yến tặng hồng ?” Bài giải *Cách : Ta có sơ đồ số bơng hồng : Số bơng hồng cịn lại sau Yến tặng lần thứ hai : (1 + 3) x = (bơng) Số bơng hồng cịn lại sau Yến tặng lần thứ : ( + 2) x = 20 (bông) Số hồng lúc đầu Yến có : (20 + 1) x = 42 (bông) Số hồng Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông) Đáp số : 41 hồng *Cách : Gọi số bơng hồng lúc đầu Yến có a Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ : a : - (bơng hồng) Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ hai : (a : - 1) : - (bông hồng) Số hồng lại sau Yến cho bạn lần thứ ba : ((a : - 1) : - 2) : - (bông hồng) Theo đề ta có : ((a : - 1) : - 2) : - = (bông hồng) ((a : - 1) : - 2) : = + (bông hồng) ((a : - 1) : - 2) : = (bông hồng) (a : - 1) : - = x (bông hồng) (a : - 1) : - = (bông hồng) (a : - 1) : = + (bông hồng) (a : - 1) : = 10 (bông hồng) a : - = 10 x (bông hồng) a : - = 20 (bông hồng) a : = 20 + (bông hồng) a : = 21 (bông hồng) a = 21 x (bông hồng) a = 42 (bông hồng) Số hồng mà Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông hồng) Đáp số : 41 hồng *Cách : Biểu thị : A số hồng lúc đầu Yến có B số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ C số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai Ta có lưu đồ sau : Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho lần thứ : (1 + 3) x = (bơng hồng) Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho lần thứ : (8 + 2) x = 20 (bông hồng) Số bơng hồng lúc đầu Yến có : (20 + 1) x = 42 (bông hồng) Số hồng Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông hồng) Đáp số : 41 hồng Nhận xét : Cách giải cách giải thông thường mà học sinh tiểu học lựa chọn để giải Mục đích việc vẽ sơ đồ nhằm giúp học sinh dễ dàng nhìn thấy mối liên hệ toán Tuy nhiên, em học sinh giỏi việc vẽ sơ đồ khơng cần thiết em thành thạo Đối với cách giải 2, nhiều người cho rằng, giải cách không vừa sức học sinh tiểu học Điều khơng đúng, thực học sinh cần vận dụng kiến thức học chương trình tiểu học tìm thành phần chưa biết phép tính vào kiện cho để đưa lời giải Ví dụ bước 1, học sinh thực tìm số bị trừ biết số trừ hiệu, bước học sinh thực tìm số bị chia biết thương số chia v.v Ở cách giải 3, thấy cho nửa số hồng Yến có cịn lại nửa số bơng hồng Sau lại cho thêm bơng hồng nữa, nghĩa số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ nửa số hồng lúc đầu bớt Tương tự số hồng cịn lại sau cho lần thứ hai nửa số hồng sau cho lần thứ bớt bông hồng dành cho Yến nửa số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai bớt bơng Tới đây, muốn tìm C ta lấy (1 + 3) x Tương tự, ta tìm số bơng hồng lúc đầu Yến có (A) Bài 162: Hãy cho biết 2/7 75 bao nhiêu? Giải :Ta có sơ đồ: 2/5 75 : 75 : x = 30 hay 75 x 2/5 = 30 Bài 163 : Tìm 3/4 5/6 Giải : Ta có sơ đồ : 3/4 5/6 : 5/6 : x = 5/8 hay 5/6 x 3/4 = 5/8 Bài 164 : Biết 2/3 số 20 Hãy tìm số Giải : Ta có sơ đồ : Số cần tìm : 20 : x = 30 hay 20 : 2/3 = 30 Bài 165: Biết 8/9 số 2/3 Tìm số Giải : Ta có sơ đồ : Số cần tìm : 2/3 : x = 3/4 hay 2/3 : 8/9 = 3/4 Bài 166 : Có tất 720 kg gạo gồm loại : 1/6 số gạo gạo thơm, 3/8 số gạo gạo nếp, cịn lại gạo tẻ Tính số kg gạo loại Giải : 1/6 số gạo gạo thơm, nên khối lượng gạo thơm :720 x 1/6 = 120 (kg) 3/8 số gạo gạo nếp, nên khối lượng gạo nếp : 720 x 3/8 = 270 (kg) Khối lượng gạo tẻ : 720 - (120 + 270) = 330 (kg) Đáp số : 120 kg, 270 kg, 330 kg Bài 167 : Một người bán cam,buổi sáng bán 3/5 số cam mang đi, buổi chiều bán thêm 52 số cam lại 1/8 số cam bán Tính số cam mà người mang bán Giải : Số cam lại 1/8 số cam bán, hay 1/9 số cam mà người mang bán Số cam buổi chiều người bán - (3/5 + 1/9) = 13/45 số cam mang Số cam buổi chiều người bán 52 nên số cam người mang chợ : 52 : 13/45 = 180 (quả) Bài 168 : Ba người chia số tiền Người thứ (NT1) lấy 1/4 số tiền bớt lại 50000 đồng, người thứ hai (NT2) lấy 3/5 số tiền lại bớt lại 40000 đồng Người thứ ba lấy 240000 đồng vừa hết Số tiền đem chia ? Giải : Ta có sơ đồ sau : 2/5 số tiền cịn lại sau người thứ lấy : 240000 - 40000 = 200000 (đồng) Số tiền lại sau người thứ lấy : 200000 : 2/5 = 500000 (đồng) 3/4 tổng số tiền : 500000 - 50000 = 450000 (đồng) Tổng số tiền : 450000 : 3/4 = 600000(đồng) Đáp số : 600000 đồng