1 bdt bai tap ren luyen ngay 26 02 23

BẤT ĐẲNG THỨC, GTLN-GTNN Phần BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN Câu 1) Cho   x  Chứng minh rằng:  4x   4x  Câu 2) Chứng minh với số thực khác không x, y , ta có: x2 y x y    y2 x2 y x Câu 3) Chứng minh với số thực khác không x, y ta có:  x y x2 y    3   y x y x Câu 4) Cho x  1, y  Chứng minh x y   y x   xy Câu 5) Cho hai số thực x, y khác Chứng minh rằng: x2 y x  y2   x2 y2   y2 x2 Câu 6) Cho số thực dương a , b Chứng minh bất đẳng thức sau: a 2b a  2ab   2a  b 3 2a  b Câu 7) Cho số thực dương a , b Chứng minh bất đẳng thức 2ab a2  b2 ab   ab  ab 2 Câu 8) Cho a, b, c   1; 2 a  b  c  Chứng minh rằng: a) b) a2  b2  c2  ; 2abc  a  b  c  2abc  2; c) a  b  c   abc Câu 9) Cho số thực không âm a , b, c Chứng minh  a  b  c   a  b3  c3  24abc Câu 10) Cho a, b, c    thỏa mãn a  b  c  a  bc b  ca c  ab    a  bc b  ca c  ab Câu 11) Cho số thực dương a , b, c Chứng minh Chứng minh  a  b3  c  abc 9a  b  c  2  33 a b c Câu 12) Cho số thực a , b, c Chứng minh  a  b  c    a 3b  b3c  c3a  Câu 13) Cho số x, y , z  x  y  z  Chứng minh x  y  z  1  x 1  y 1  z  2ab b2   Câu 14) Cho số thực dương a, b Chứng minh: 2 a  4b 3a  2b Câu 15) Cho số thực dương a , b Chứng minh bất đẳng thức a b 16 1 1  2  5   b a ab a b Câu 16) Cho số thực dương a, b Chứng minh bất đẳng thức sau: 3a  2ab  3b  2  a2  b2  ab Câu 17) Giả sử x, y số thực không âm thỏa mãn: x3  y  xy  x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  1 x  x   y 1 y Câu 18) Cho a, b, c dương thỏa mãn: 6a  3b  2c  abc Tìm giá trị lớn B a 1  2  b 4 c 9 Câu 19) Cho số a, b, c không âm Chứng minh a  b  c  3  abc    ab  bc  ca  Đẳng thức xảy nào? Câu 20) Cho số thực dương a, b cho ab   b Tìm GTNN P  a  Câu 21) Cho a, b, c  0; 2 a  b  c  Chứng minh rằng:  a  b3  c   a  1 b  1 c  1  1  b2  a b HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:   4x   4x  4    4x  4x    4x  4x  Bất đẳng thức chứng minh  x y x2 y x y x y Câu 2) Bất đẳng thức cho tương đương với:       2  y x y x y x  y x  x  y   x  xy  y  x y  x y          1   0 x2 y2 y x  y x  Mà  x  xy  y   x  y   x  y   0, x, y  nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x  y  Câu 3) Bất đẳng thức cho tương đương với:  x y  x y x2 y    3     3   y x  y x y x  x  y   x  xy  y  x y  x y  0         1   x2 y y x  y x  Mà  x  xy  y   x  y   x  y   với số thực x, y khác Nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x  y  Câu 4) Đặt a  x  1, b  y  a  0, b  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  1 b   b  1 a   a  1 b   b  1   a  1 b   b  1   a  1 b    a  1 b  1   b  1 a    a  1 b   b  1   b  1  a  1  Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a  b  hay x  y  Câu 5) Bất đẳng thức cho tương đương với: x2 y x   y2  x2 y   x2  y  x2 y2 x4  x2 y2  y4 1       0 y x x2 y  x2  y2    x2  y2  x  y2   x  y 2  2 x  x 2  y2  x2 y 2   1 0    x2  y2   2   x y  x  y 2     y2   x2 y2 x2 y  x2  y     x2  y2  x4  y4  x2 y x2 y  x2  y2  0 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x   y Câu 6) Dấu đẳng thức xảy với a  b khi: a 2b a  2ab  ; 2  3 2a  b 2a  b Ta có biến đổi sau: a 2b a  2ab a 2b a  2ab      1 2a  b 3 2a  b 2a  b 3 2a  b 2    a  b   2a  b   2a  b    a  b 2a  b   0   a  b    2 3 2a  b  2a  b  2a  b     a  b  3  2a  b3    2a  b   2a  b      a  b   2a3  2b3  2a 2b  2ab     a  b  a  b   (đpcm) a  b 2ab  a  b    Câu 7) Ta có: a  b 2a  b a  b2  ab a  b   a  b2  a  b2  ab   ab    2   a b  ab  Do bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:     a  b   a b a  b 2ab 1   ab      0 2 ab  a  b2 ab   ab     2   a  b   2a  2b   a  b   ab     Vì  a  b   nên ta cần chứng minh: 2a  2b   a  b2   ab  (*) a  b   a  b2    a  b  ab   a b  a  b 2  a2  b2    a  b    a  b   a b  Do bất đẳng thức (*) tương đương với:   a  b      a b    0  2 a  b    a  b     a  b    a2  b2   a  b    a b 0    a  b    a  b   ab        a  b 2  a  b   4ab  a  b   ab 0  a  b   a  b   ab Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b Câu 8) Cho a, b, c   1; 2 a  b  c  Chứng minh rằng: 2 a) a  b  c  ; b) 2abc  a  b  c  2abc  2; c) a  b  c   abc Hướng dẫn giải Vì a, b, c   1; 2 nên có số bất đẳng thức hiển nhiên  a  1 a    0,  a  1 b  1 c  1  0,  a   b   c    a) Do a, b, c   1; 2 nên  a  1 a     a  a  Tương tự ta suy ra: a  b  c  a  b  c   (do a  b  c  ) b) Vì a, b, c   1; 2 nên  a  1 b  1 c  1  , hay abc  ab  bc  ca  a  b  c    abc  ab  bc  ca   (do a  b  c  ) (1) Mặt khác a  b  c  nên  a  b  c   , tức ab  bc  ca   a  b2  c2 (2) Từ (1) (2) ta có: a  b2  c    a  b  c   2abc Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a  1, b  1, c  abc  * Ta phải chứng minh a  b  c  2abc Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c Từ suy 1  c  abc   c 1 Sử dụng đánh giá này, ta 2abc  a b c  a b Suy a  b  c  2abc  a  b  c  a b   a  b   c  Dấu đẳng thức có a  b  c  c) Vì a, b, c   1; 2 nên  a   b   c    , hay abc   ab  bc  ca    a  b  c     abc   ab  bc  ca    (do a  b  c  ) (3) Từ (3) (2) ta có: abc  a  b  c    a  b  c   abc Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a  2, b  1, c  1 Câu 9) Hướng dẫn giải: Ta có:  a  b  c   a  b3  c3   a  b  b  c  c  a  Nên bất đẳng thức cho tương đương với:  a  b  b  c  c  a   8abc  ab  ac  bc  ba  ca  cb  abc  ab  2abc  ac  bc  2abc  ba  ca  2abc  cb  2  a b  c   b  c  a   c  a  b   Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Câu 10) Ta có: a  bc  a  a  b  c   bc   a  b  a  c  nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  a  b  c   bc b  a  b  c   ca c  a  b  c   ab     a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b    a  ab  ac  bc   b  c    b  ba  bc  ca   c  a   c  ca  ca  ab   a  b    a  b  b  c  c  a   ab  ac  bc  ba  ca  cb  abc 2  a b  c   b  c  a   c  a  b   Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Câu 11) Bất đẳng thức cho tương đương với:  a  b3  c3  abc 9a  b  c   2  27  a b c  a  b  c   a  b2  c  ab  bc  ca  18  a  b2  c  ab  bc  ca    0 abc a2  b2  c2  abc    a  b  c  ab  bc  ca    0 2  a b c   abc 2   a  b    b  c    c  a    a  b  c   a  b  c   9abc     2 Do  a  b    b  c    c  a  nên ta cần chứng minh  a  b  c   a  b  c   9abc   a  b3  c3  3abc  a  b  c   b  c  a   c  a  b   6abc  Bất đẳng thức ta có: a  b3  c  3abc   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c   a  b    b  c    c  a  2   0 2 Và a  b  c   b  c  a   c  a  b   6abc  a  b  c   b  c  a   c  a  b   Đẳng thức xảy a  b  c Câu 12) Hướng dẫn giải: Từ đẳng thức: a  2  b  c    a 3b  b c  c a   2 a  b  2bc  ab  ac    2 2 b  c  2ca  bc  ba    c  a  2ab  ca  cb   2 Suy ta có điều phải chứng minh Câu 13) Do x  y  z  nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:  x  y  z  x  y  z    x  y  y  z  z  x  Do vai trò x z bất đẳng thức nên ta hồn tồn giả sử xz 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng  a  b   4ab , ta có  x  y  z   x  y  z  Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh hoàn tất ta x  x  y  z    x  y  z  x   y  x  z   , hiển nhiên theo giả sử x  z Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x  z  ; y  Câu 14) Viết lại bất đẳng thức thành: 2ab b2 2ab b2 2a  10ab  8b 3a  3b          0 a  4b 3a  2b 5 a  4b2 3a  2b2 a  4b 3a  2b2  a  b  a  4b   a  b  a  b    0 a  4b 3a  2b2   a  b    a  4b   3a  2b    a  b   a  4b    2   a  b   9a3  21a 2b  16ab  4b3     a  b   3a  2b   Ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a  b a  b Câu 15) Vì a , b  nên bất đẳng thức cho tương đương với: a b 1 1      4   0 b b a a  ab a b 4ab   a  b  a b b a   4 0 b a  a  b  ab  a  b a  b  a  b  a 2b  a  b  ab 2   a  b   a  b   4ab     a  b     Bất đẳng thức cuối nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a  b  Câu 16) Bài tốn có chứa nên để xuất nhân tử chung dạng  a  b  ta cần ý  a  b  a2  b2    a  b   đến phép biến đổi 2  a  b2    a  b  Khi đó: 3a  2ab  3b 3a  2ab  3b2  2  a2  b2     a  b   2  a  b2    a  b  ab ab 2 2a  b  a  b    a  b    a  b2    a  b    a  b       ab  a2  b2    a  b    a  b    a  b2    a  b       a  b  a2  b2   a  b 0 Bất đẳng thức cuối a , b dương Đẳng thức xảy a  b Câu 17) x3  y  xy  x  y   x  y   xy  x  y   xy   x  y   xy Đặt x  y  a; xy  b , ta có: a  3ab  3b  a   a  a  1  3b  a  1  x  y 1 a    a  1  a  3b       x  y   xy  a  3b Vì  x  y   xy; x, y  suy x  y  x  y  Với x  y  P  0  x  y 1 y  , P      ; P  max     0  y  x  x  Nếu x y khác , ta có x  y    x  0, y  1; P  max   x  1; y  b c Câu 18) Đặt x  a, y  , z  x, y, z số dương x  y  z  xyz 1 Khi đó: A    2 1 x 1 y 1 z2 Vậy P    Ta có:  x 1 xyz  x  x  y  z   xyz yz  x  y  x  z   y z  2 x  y 2 x  z Tương tự ta có: y 1  x z x y  ;   2 x  y 2 y  z z 1 2 x  z 2 y  z  A x y xz yz    2 x  y 2 x  z 2 y  z Dấu đẳng thức xảy khi: x  y  z   a  3, b  3, c  3 Vậy giá trị lớn biểu thức A Câu 19) Đặt 3 đạt a  3, b  3, c  3 a  x; b  y; c  z Suy ra: a  x ; b  y ; c  z  a  x ; b  y ; c  z x, y, z  Bất đẳng thức cho thành: x3  y  z  xyz   x3 y  y z  z x  (1) Vì vai trị x, y, z bình đẳng nên giả sử x  y  z  2 Khi đó: x  x  y   z  y  z    z  x  y  x  y  y  z   Suy ra: x3  y  z  3xyz  xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x  (2) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: xy  x  y   xy xy  x3 y Tương tự ta có: yz  y  z   y z zx  z  x   z x3 (3) (4) (5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3),(4),(5) ta  Từ (2) (6) ta có: x  y  z  xyz   được: xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x   3  z x  x3 y  y z  z x3 x3 y  y z  (6) 3 Hay a  b2  c  3  abc    ab  bc  ca  Đẳng thức xảy x  y  z hay a  b  c b Câu 20) Giả thiết ta suy a   b Ta có P  a   a  Đặt t  b a b  b2  2 a b a b 1 2 a 2t  9t   2t  1  t  4t      0 t2 t2 t2 Ta chứng minh: P  Thật ta có: 2t  Do  t  , dấu đẳng thức xảy t  b  4a   a    b Câu 21) Cho a, b, c   0; 2 a  b  c  Chứng minh rằng:  a  b3  c   a  1 b  1 c  1  Hướng dẫn giải 10 Đặt a  x  1, b  y  1, c  z  x, y, z   1;1 x  y  z  Ta có P  a3  b3  c3   a  1 b  1 c  1 3   x  1   y  1   z  1  xyz  x  y  z  xyz   x  y  z    x  y  z   Mà x  y  z  nên x3  y  z  xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   Do P   x  y  z   Trong số x,y,z tồn số dấu, khơng tính tổng qt y,z, suy ≤ yz Nên  x  y  z  x  y  z  yz  x  ( y  z )  x  Vậy ta có  x  y  z  Suy ra:  P  14 Câu 3) Đưa biểu thức dạng P  z4   z    y 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: y z4 x2   z x  z  4    2 z4  z x2   x     x  2  x   2 2 x2  x 2 y 3   y  3   y  3  y   3 y 3  y 11 1  Cộng vế ba bất đẳng thứctrên ta có P      Vậy 2 2 3 1 1  max P       x  4, y  6, z  2 4 Câu 4) Viết lại biểu thức dạng: P  x  1 x.4 y  x.4 y.16 z Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 4x  y  z x  y x  y  16 z hay P  Từ x  y  z  (2) suy P  Vậy  12 max P  P x Câu 5) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: x3 x y3 y x3 y3 xy ; 11  ; 11   1  27 27  x3 y   x3 y  x y xy  x y xy          Do    , ta có:     2   27   27  Cộng vế ta có:  Suy P  27 x3  y  432 (4) Dấu (4) xảy x  2, y  Vậy P  432 , giá trị nhỏ đạt x  2, y  Câu 6) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: Hay x3 1 x 1 y   3 1  x 1  y  x3 1 x 1 y 1  x 1  y  8 x3  x  y 3x y3 1 z 1 x 3y Lập luận tương tự ta có:       8 1  x 1  y  1  z 1  x  z3  x  y 3z    1  x 1  y  Cộng vế ta có P    x  y  z  Dấu = xảy  x  y  z  Lại theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: x  y  z  3 xyz  Từ suy 3   P  Dấu (5) xảy  x  y  z  (do xyz  ) Như 4 P  Giá trị nhỏ đạt  x  y  z  P 15 Câu 7) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: P  x3 9x  y  y2    y 8 27 x3 y  y2  y  x    y  27 27 x3 y  y2  y    (1) Dấu (1) xảy  P  y  27 27  x3 y2  x  y 1  y  1; y 8 27 y3 y  z  z2    Lập luận tương tự ta có:     y  2; x   z3  27 x3 y2 y  2;    y 8 27  z3 z  x  x2   x 8 27 (2) (3) Cộng vế (1),(2),(3) có: 10  x  y  z    x  y  z   18 x3 y3 z3     y  z  x3  27 (4) 30   x  y  z    xy  yz  zx    18 x3 y3 z3   Do x  y  z  nên (4) có    y 8 z 8 x 8 27  x3 y3 z3     xy  yz  zx   hay P  3 y  z  x  27 (5) Dấu (5) xảy  đồng thời có dấu (1),(2),(3)  x  y  z  Vậy P   x  y  z  Câu 8) Ta có:  x  1 y Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: y   y x 1  x 1 y 1 y2 1  x  1 y  x   xy  y Chứng minh tương tự, ta có: x 1  x 1 y 1 2y Suy x  y  z   xy  yz  zx  y 1 yz  z z 1 zx  x ;  z 1 suy P    y 1 z 1 x 1 2 Do   x  y  z    xy  yz  zx   xy  yz  zx  Vậy P   x  y  z  Câu 9) Hướng dẫn giải: Ta có: x xy xy xy xy  y  y  x    Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: , 1 y2 1 y2  y2 y suy ra: y yz x xy Tương tự ta có:  y ;  x 2 1 z 1 y có P  x  y  z  z zx  z  Cộng vế ta 1 x xy  yz  zx 2  x  y  z  Do x  y  z     x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx     xy  yz  zx    xy  yz  zx   xy  yz  zx  (7) Vậy P  Câu 10)  x  y  z  16 Ta có: x2 xy  x  Theo bất đẳng thức Cơ si, x  y3 x  y3 x  y  x  y  y  3 xy  y x suy x2 xy  x   x  y x Tương tự, có: x  2y 2y x z2 y2 ,  z  x z Cộng vế ta có:  y  z z 3 z  2x y  2z P   x  y  z  2 z y  x z  y x , hay P   z y  x z  y x Theo bất đẳng 3     thức cô si ta có: x  xz  xz  x z , y  yx  yx  y x z  zy  zy  z y Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:  x  y  z    xy  yz  zx    x z  y x  z y2    x  y  z    xy  yz  zx   xy  yz  zx  Do x  y  z  , suy    2.3  x z  y x  z y  x y  y x  z y   P  Vậy P   x  y  z  x2 xy Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:  x  x  y2 x  y2 Câu 11) Ta có: x  y  x  y  y  3 xy Suy x2 xy 2 Tương tự, ta có:  x   x  xy   x  y2 3 xy 2 y2 z2 ,  y  yz  z   zx  Cộng theo vế ta có:   2 z  2x y  2z 2 2  P   x  y  z    xy    yz    zx   Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: 3  x  xy  y  3 x y , y  yz  z  3 y z , z  zx  x  3 z x Từ suy 2    x  y  z    xy  yz  zx    xy    yz    zx     (7) Dễ thấy dấu (7) xảy  x  y  z  Kết hợp với x  y  z  , ta   2   2 2 có:    xy    yz    zx     xy    yz    zx   Vậy P    P  hay P   x  y  z  Câu 12) Ta có: x2 Theo bất đẳng thức Cơ si, x   x   2 x 1 x 1 x2 x    1 x 1 2x z x yz y  (do x  y  z  ) Tương tự, ta có:   ,   Suy P   y 1 z 1 2  Từ suy P   x  y  z  17  y  2X 2Y 2Z ;y ;z     Đặt x  Y Z X  x 1 y 1 z 1  Câu 13) Viết lại P dạng: P    Khi có X , Y , Z  (vì xyz  ) Lúc này:  1 1 1      X Y Z x 1 y 1 z 1 1 1 1 Y Z X Y Z X Y2 Z2 X2      Áp dụng bất đẳng thức X  Y 2Y  Z Z  X XY  Y 2YZ  Z 2ZX  X 2 Cauchy- Schwarz  X Y  Z   X  Y  Z   , suy 1     2 2 x  y  z  XY  Y  2YZ  Z  2ZX  X  X Y  Z  P  Vậy max P   x  y  z  1 2 y z2   Câu 14) Ta có: P  x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz x  y  z  y  z  1 z  x  y  1 1 x y z  xy  yz  zx  xy  yz  zx   Do xyz  , nên ta có: P  P  2 2  xy  yz  zx   xy  yz  zx  x y z Lại theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xy  yz  zx  3  xyz   (do xyz  Suy P  3  x  y  z  Câu 15) Viết lại biểu thức P dạng: Vậy P   y z x    2x 2y 2z 1 1  1        2x     2y    2z    3 1 x 1 y 1 z 1 x z  x y z  1 y x   1 z y  Do x  y  z  , nên ta có: P  1   1 1 1  P  2x     2y    2z   3 zx x  yz z  x y y   xy 2 xy yz zx yz zx           z  y  z  x  z  x y  x  y z y  z x z  x y x  y         Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:  xy    z yz zx   xy yz  yz  zx     x y   z  x  y x  z  x  zx x y  y  x  y   xy yz zx       y  z  z  x  x  y    z  x  z  x  z  x y  x  y   xy  Rõ ràng, ta lại có:  z  a  b  c 2 yz zx      x  y  z  Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên x y   xy yz zx    ab  bc  ca  suy ra:  x  y  z       x  y  z  z  y  z  x  z  x y  x  y  18  xy yz zx      suy P  Vậy  z  y  z  x  z  x y  x  y  Từ x  y  z  ta có:  max P   x  y  z  Câu 16) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:  x  y  x  z    2 2   y    x    z     x x  y z       x x  Tương tự, ta có:   x  y  x  z    x  yz  Suy ra: x   x  y  x  z  x  yz x y y P  y  z  y  x  abc  P  Q   y , y  zx z  z  z  x  z  y  x y z P   x  yz y  zx z  xy y z ;b  x x a  z x ;c  y y  z Suy z  xy 1   Đặt y z z x x y 2 2 2 x x y y z z x y , a, b, c  z z   b   c     c   a     a   b  1    2a 2b 2c   a   b   c  12   a  b  c    ab  bc  ca    a  b  c  ab  bc  ca    Theo bất   a  b  c    ab  bc  ca   abc   a  b  c  ab  bc  ca    ab  bc  ca  đẳng thức Cơ si : ab  bc  ca   abc   suy P  Vậy max P   x  y  z  Câu 17) Ta có: x5  x    x  3  x  x  x   x  x  1   x  1   x  1  x  x  1  3   x  1  x  x  x  3   x  1  x  1   x3  1   x  1    x  1  x3  x  x  3 Do x   x3  x  3x  , nên từ (2) suy x5  x   3x   x  x   xy   xy  x  1   y  y  xyz  Suy P   yz  y  1     xy  x   x  x   3xy , z  z  xyz   xy  x  1  Tương tự, ta có:  zx  z  1  1   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta yz  y  zx  z      1 1 có:      1   1   xy  x   xy  x  yz  y  zx  z     1   yz  y  zx  z   19   xy  x  P   1 1   3    yz  y  zx  z   xy  x  yz  y  zx  z   1    Vậy max P   x  y  z  xy  x  yz  y  zx  z  Câu 18) Ta có: xy  yz  zx  P x y z   x  y  z   x2  y2  z2  2   x2  y2  z    2P  x2  y    x2  y2  z Vậy P có dạng:   x  y  z 9  x  x  x  3x  Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:  y  y  y  y   z  z  z  z Suy : x  y  z    x  y  z   x  y  z   Vậy P   x  y  z  Câu 19) Vì x   x; y   y; z   z , nên ta có: P x y z   Ta có:  x  y  1  y  z  1  z  x  1  x y z y 1   z 1   x 1     1    1    1   x  y 1 y  z 1 z  x 1  x  y 1   y  z 1   z  x 1   y 1 z 1 x 1   y 1 z 1 x 1   3     P    2  x  y 1 y  z 1 z  x 1   x  y 1 y  z 1 z  x 1   2   y  1  z  1  x  1 1      2   y  1 x  y  1  z  1 y  z  1  x  1 z  x  1  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz : 2  y  1  z  1  x  1     y  1 x  y  1  z  1 y  z  1  x  1 z  x  1 y   z   x  1   Để ý do: x  y  z  , nên ta  y  1 x  y  1   z  1 y  z  1   x  1 z  x  1 có:  y  1 x  y  1 z  1 y  z  1   x  1 z  x  1   x  y  z   xy  yz  zx  x  y  z   2 x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z  3  2 2  y  1  z  1  x  1    Vậy  y  1 x  y  1  z  1 y  z  1  x  1 z  x  1 max P   x  y  z  2 Câu 20) Nhận xét: a 1  a3    a   Thật vậy,   4a  a  4a   a  4a  4a   a  a  1  Cũng chứng minh 20 2   a   a  a2   a  2 bất đẳng thức Cauchy: 1  a   1  a  1  a  a    Áp dụng vào     x2 tốn ta có: P   1  x3 1  y   y2 1  y  1  z  3 4z2  1  z 1  x3  x2 y2 4z2 x2 y2 z2 Đặt   a  ; b  ; c  4   x2   y    y   z    z   x2  Khi x, y, z  xyz   a, b, c  abc  Suy ra: P  16a 16b 16c Hay     4a   4b    4b   4c    4c   4a    a b c P  4     1  2a 1  2b  1  ab 1  2c  1  2c 1  2a   a 1  2c   b 1  2a   c 1  2b  a  b  c   ab  bc  ca  Ta có: P4 P4   a  b  c    ab  bc  ca   8abc 1  2a 1  2b 1  2c  a  b  c  3 abc   a  b  c   ab  bc  ca     8abc  1  8abc     a  b  c    ab  bc  ca     a  b  c    ab  bc  ca   Suy P  Vậy P   x  y  z  Câu 21) Ta có nhận xét sau: với x, y, z số thực dương, ta có: x3 x3   y  z   x2 x2  y2  z2 (1) Thật vậy, (1)  x3 x3  y  z   3  x3  x  x  y  z    y  z    x  x  x  z   2x   y  z   x4 2 x  y  z     y  z   x  y  z  2 2 2 Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: x  x  y  z    y  z   2 x  y  z  ràng:  y  z    y  z  2 y3 y3   z  x   y2 (6), x2  y  z Cộng vế (1),(6),(7) có P  Vậy P   x  y  z  Chú ý: Ta chứng minh: đẳng thức Cau chy (3) Rõ (4) Từ (3),(4) suy ra: 2x  y  z    y  z   x  y  z   x  y  z  Tương tự (1), ta có: a3   z3 z3   x  y  (5)  z2 x2  y  z (7) (8) x3 x3   y  z   x2 nhanh cách áp dụng bất x2  y2  z2  a  1  a  a  1  a2  2 yz thay a  suy   x a 1 a 