Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 28 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
BẤT ĐẲNG THỨC, GTLN-GTNN Phần BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN Câu 1) Cho x Chứng minh rằng: 4x 4x Câu 2) Chứng minh với số thực khác không x, y , ta có: x2 y x y y2 x2 y x Câu 3) Chứng minh với số thực khác không x, y ta có: x y x2 y 3 y x y x Câu 4) Cho x 1, y Chứng minh x y y x xy Câu 5) Cho hai số thực x, y khác Chứng minh rằng: x2 y x y2 x2 y2 y2 x2 Câu 6) Cho số thực dương a , b Chứng minh bất đẳng thức sau: a 2b a 2ab 2a b 3 2a b Câu 7) Cho số thực dương a , b Chứng minh bất đẳng thức 2ab a2 b2 ab ab ab 2 Câu 8) Cho a, b, c 1; 2 a b c Chứng minh rằng: a) b) a2 b2 c2 ; 2abc a b c 2abc 2; c) a b c abc Câu 9) Cho số thực không âm a , b, c Chứng minh a b c a b3 c3 24abc Câu 10) Cho a, b, c thỏa mãn a b c a bc b ca c ab a bc b ca c ab Câu 11) Cho số thực dương a , b, c Chứng minh Chứng minh a b3 c abc 9a b c 2 33 a b c Câu 12) Cho số thực a , b, c Chứng minh a b c a 3b b3c c3a Câu 13) Cho số x, y , z x y z Chứng minh x y z 1 x 1 y 1 z 2ab b2 Câu 14) Cho số thực dương a, b Chứng minh: 2 a 4b 3a 2b Câu 15) Cho số thực dương a , b Chứng minh bất đẳng thức a b 16 1 1 2 5 b a ab a b Câu 16) Cho số thực dương a, b Chứng minh bất đẳng thức sau: 3a 2ab 3b 2 a2 b2 ab Câu 17) Giả sử x, y số thực không âm thỏa mãn: x3 y xy x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 x x y 1 y Câu 18) Cho a, b, c dương thỏa mãn: 6a 3b 2c abc Tìm giá trị lớn B a 1 2 b 4 c 9 Câu 19) Cho số a, b, c không âm Chứng minh a b c 3 abc ab bc ca Đẳng thức xảy nào? Câu 20) Cho số thực dương a, b cho ab b Tìm GTNN P a Câu 21) Cho a, b, c 0; 2 a b c Chứng minh rằng: a b3 c a 1 b 1 c 1 1 b2 a b HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 4x 4x 4 4x 4x 4x 4x Bất đẳng thức chứng minh x y x2 y x y x y Câu 2) Bất đẳng thức cho tương đương với: 2 y x y x y x y x x y x xy y x y x y 1 0 x2 y2 y x y x Mà x xy y x y x y 0, x, y nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y Câu 3) Bất đẳng thức cho tương đương với: x y x y x2 y 3 3 y x y x y x x y x xy y x y x y 0 1 x2 y y x y x Mà x xy y x y x y với số thực x, y khác Nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y Câu 4) Đặt a x 1, b y a 0, b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 1 b b 1 a a 1 b b 1 a 1 b b 1 a 1 b a 1 b 1 b 1 a a 1 b b 1 b 1 a 1 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b hay x y Câu 5) Bất đẳng thức cho tương đương với: x2 y x y2 x2 y x2 y x2 y2 x4 x2 y2 y4 1 0 y x x2 y x2 y2 x2 y2 x y2 x y 2 2 x x 2 y2 x2 y 2 1 0 x2 y2 2 x y x y 2 y2 x2 y2 x2 y x2 y x2 y2 x4 y4 x2 y x2 y x2 y2 0 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y Câu 6) Dấu đẳng thức xảy với a b khi: a 2b a 2ab ; 2 3 2a b 2a b Ta có biến đổi sau: a 2b a 2ab a 2b a 2ab 1 2a b 3 2a b 2a b 3 2a b 2 a b 2a b 2a b a b 2a b 0 a b 2 3 2a b 2a b 2a b a b 3 2a b3 2a b 2a b a b 2a3 2b3 2a 2b 2ab a b a b (đpcm) a b 2ab a b Câu 7) Ta có: a b 2a b a b2 ab a b a b2 a b2 ab ab 2 a b ab Do bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a b a b a b 2ab 1 ab 0 2 ab a b2 ab ab 2 a b 2a 2b a b ab Vì a b nên ta cần chứng minh: 2a 2b a b2 ab (*) a b a b2 a b ab a b a b 2 a2 b2 a b a b a b Do bất đẳng thức (*) tương đương với: a b a b 0 2 a b a b a b a2 b2 a b a b 0 a b a b ab a b 2 a b 4ab a b ab 0 a b a b ab Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b Câu 8) Cho a, b, c 1; 2 a b c Chứng minh rằng: 2 a) a b c ; b) 2abc a b c 2abc 2; c) a b c abc Hướng dẫn giải Vì a, b, c 1; 2 nên có số bất đẳng thức hiển nhiên a 1 a 0, a 1 b 1 c 1 0, a b c a) Do a, b, c 1; 2 nên a 1 a a a Tương tự ta suy ra: a b c a b c (do a b c ) b) Vì a, b, c 1; 2 nên a 1 b 1 c 1 , hay abc ab bc ca a b c abc ab bc ca (do a b c ) (1) Mặt khác a b c nên a b c , tức ab bc ca a b2 c2 (2) Từ (1) (2) ta có: a b2 c a b c 2abc Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a 1, b 1, c abc * Ta phải chứng minh a b c 2abc Khơng tính tổng qt, giả sử a b c Từ suy 1 c abc c 1 Sử dụng đánh giá này, ta 2abc a b c a b Suy a b c 2abc a b c a b a b c Dấu đẳng thức có a b c c) Vì a, b, c 1; 2 nên a b c , hay abc ab bc ca a b c abc ab bc ca (do a b c ) (3) Từ (3) (2) ta có: abc a b c a b c abc Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a 2, b 1, c 1 Câu 9) Hướng dẫn giải: Ta có: a b c a b3 c3 a b b c c a Nên bất đẳng thức cho tương đương với: a b b c c a 8abc ab ac bc ba ca cb abc ab 2abc ac bc 2abc ba ca 2abc cb 2 a b c b c a c a b Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c Câu 10) Ta có: a bc a a b c bc a b a c nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a a b c bc b a b c ca c a b c ab a b a c b c b a c a c b a ab ac bc b c b ba bc ca c a c ca ca ab a b a b b c c a ab ac bc ba ca cb abc 2 a b c b c a c a b Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy a b c Câu 11) Bất đẳng thức cho tương đương với: a b3 c3 abc 9a b c 2 27 a b c a b c a b2 c ab bc ca 18 a b2 c ab bc ca 0 abc a2 b2 c2 abc a b c ab bc ca 0 2 a b c abc 2 a b b c c a a b c a b c 9abc 2 Do a b b c c a nên ta cần chứng minh a b c a b c 9abc a b3 c3 3abc a b c b c a c a b 6abc Bất đẳng thức ta có: a b3 c 3abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a 2 0 2 Và a b c b c a c a b 6abc a b c b c a c a b Đẳng thức xảy a b c Câu 12) Hướng dẫn giải: Từ đẳng thức: a 2 b c a 3b b c c a 2 a b 2bc ab ac 2 2 b c 2ca bc ba c a 2ab ca cb 2 Suy ta có điều phải chứng minh Câu 13) Do x y z nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: x y z x y z x y y z z x Do vai trò x z bất đẳng thức nên ta hồn tồn giả sử xz 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a b 4ab , ta có x y z x y z Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh hoàn tất ta x x y z x y z x y x z , hiển nhiên theo giả sử x z Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x z ; y Câu 14) Viết lại bất đẳng thức thành: 2ab b2 2ab b2 2a 10ab 8b 3a 3b 0 a 4b 3a 2b 5 a 4b2 3a 2b2 a 4b 3a 2b2 a b a 4b a b a b 0 a 4b 3a 2b2 a b a 4b 3a 2b a b a 4b 2 a b 9a3 21a 2b 16ab 4b3 a b 3a 2b Ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a b a b Câu 15) Vì a , b nên bất đẳng thức cho tương đương với: a b 1 1 4 0 b b a a ab a b 4ab a b a b b a 4 0 b a a b ab a b a b a b a 2b a b ab 2 a b a b 4ab a b Bất đẳng thức cuối nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b Câu 16) Bài tốn có chứa nên để xuất nhân tử chung dạng a b ta cần ý a b a2 b2 a b đến phép biến đổi 2 a b2 a b Khi đó: 3a 2ab 3b 3a 2ab 3b2 2 a2 b2 a b 2 a b2 a b ab ab 2 2a b a b a b a b2 a b a b ab a2 b2 a b a b a b2 a b a b a2 b2 a b 0 Bất đẳng thức cuối a , b dương Đẳng thức xảy a b Câu 17) x3 y xy x y x y xy x y xy x y xy Đặt x y a; xy b , ta có: a 3ab 3b a a a 1 3b a 1 x y 1 a a 1 a 3b x y xy a 3b Vì x y xy; x, y suy x y x y Với x y P 0 x y 1 y , P ; P max 0 y x x Nếu x y khác , ta có x y x 0, y 1; P max x 1; y b c Câu 18) Đặt x a, y , z x, y, z số dương x y z xyz 1 Khi đó: A 2 1 x 1 y 1 z2 Vậy P Ta có: x 1 xyz x x y z xyz yz x y x z y z 2 x y 2 x z Tương tự ta có: y 1 x z x y ; 2 x y 2 y z z 1 2 x z 2 y z A x y xz yz 2 x y 2 x z 2 y z Dấu đẳng thức xảy khi: x y z a 3, b 3, c 3 Vậy giá trị lớn biểu thức A Câu 19) Đặt 3 đạt a 3, b 3, c 3 a x; b y; c z Suy ra: a x ; b y ; c z a x ; b y ; c z x, y, z Bất đẳng thức cho thành: x3 y z xyz x3 y y z z x (1) Vì vai trị x, y, z bình đẳng nên giả sử x y z 2 Khi đó: x x y z y z z x y x y y z Suy ra: x3 y z 3xyz xy x y yz y z zx z x (2) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: xy x y xy xy x3 y Tương tự ta có: yz y z y z zx z x z x3 (3) (4) (5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3),(4),(5) ta Từ (2) (6) ta có: x y z xyz được: xy x y yz y z zx z x 3 z x x3 y y z z x3 x3 y y z (6) 3 Hay a b2 c 3 abc ab bc ca Đẳng thức xảy x y z hay a b c b Câu 20) Giả thiết ta suy a b Ta có P a a Đặt t b a b b2 2 a b a b 1 2 a 2t 9t 2t 1 t 4t 0 t2 t2 t2 Ta chứng minh: P Thật ta có: 2t Do t , dấu đẳng thức xảy t b 4a a b Câu 21) Cho a, b, c 0; 2 a b c Chứng minh rằng: a b3 c a 1 b 1 c 1 Hướng dẫn giải 10 Đặt a x 1, b y 1, c z x, y, z 1;1 x y z Ta có P a3 b3 c3 a 1 b 1 c 1 3 x 1 y 1 z 1 xyz x y z xyz x y z x y z Mà x y z nên x3 y z xyz x y z x y z xy yz zx Do P x y z Trong số x,y,z tồn số dấu, khơng tính tổng qt y,z, suy ≤ yz Nên x y z x y z yz x ( y z ) x Vậy ta có x y z Suy ra: P 14 Câu 3) Đưa biểu thức dạng P z4 z y 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: y z4 x2 z x z 4 2 z4 z x2 x x 2 x 2 2 x2 x 2 y 3 y 3 y 3 y 3 y 3 y 11 1 Cộng vế ba bất đẳng thứctrên ta có P Vậy 2 2 3 1 1 max P x 4, y 6, z 2 4 Câu 4) Viết lại biểu thức dạng: P x 1 x.4 y x.4 y.16 z Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 4x y z x y x y 16 z hay P Từ x y z (2) suy P Vậy 12 max P P x Câu 5) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: x3 x y3 y x3 y3 xy ; 11 ; 11 1 27 27 x3 y x3 y x y xy x y xy Do , ta có: 2 27 27 Cộng vế ta có: Suy P 27 x3 y 432 (4) Dấu (4) xảy x 2, y Vậy P 432 , giá trị nhỏ đạt x 2, y Câu 6) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: Hay x3 1 x 1 y 3 1 x 1 y x3 1 x 1 y 1 x 1 y 8 x3 x y 3x y3 1 z 1 x 3y Lập luận tương tự ta có: 8 1 x 1 y 1 z 1 x z3 x y 3z 1 x 1 y Cộng vế ta có P x y z Dấu = xảy x y z Lại theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: x y z 3 xyz Từ suy 3 P Dấu (5) xảy x y z (do xyz ) Như 4 P Giá trị nhỏ đạt x y z P 15 Câu 7) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: P x3 9x y y2 y 8 27 x3 y y2 y x y 27 27 x3 y y2 y (1) Dấu (1) xảy P y 27 27 x3 y2 x y 1 y 1; y 8 27 y3 y z z2 Lập luận tương tự ta có: y 2; x z3 27 x3 y2 y 2; y 8 27 z3 z x x2 x 8 27 (2) (3) Cộng vế (1),(2),(3) có: 10 x y z x y z 18 x3 y3 z3 y z x3 27 (4) 30 x y z xy yz zx 18 x3 y3 z3 Do x y z nên (4) có y 8 z 8 x 8 27 x3 y3 z3 xy yz zx hay P 3 y z x 27 (5) Dấu (5) xảy đồng thời có dấu (1),(2),(3) x y z Vậy P x y z Câu 8) Ta có: x 1 y Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: y y x 1 x 1 y 1 y2 1 x 1 y x xy y Chứng minh tương tự, ta có: x 1 x 1 y 1 2y Suy x y z xy yz zx y 1 yz z z 1 zx x ; z 1 suy P y 1 z 1 x 1 2 Do x y z xy yz zx xy yz zx Vậy P x y z Câu 9) Hướng dẫn giải: Ta có: x xy xy xy xy y y x Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: , 1 y2 1 y2 y2 y suy ra: y yz x xy Tương tự ta có: y ; x 2 1 z 1 y có P x y z z zx z Cộng vế ta 1 x xy yz zx 2 x y z Do x y z x y z x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx xy yz zx (7) Vậy P Câu 10) x y z 16 Ta có: x2 xy x Theo bất đẳng thức Cơ si, x y3 x y3 x y x y y 3 xy y x suy x2 xy x x y x Tương tự, có: x 2y 2y x z2 y2 , z x z Cộng vế ta có: y z z 3 z 2x y 2z P x y z 2 z y x z y x , hay P z y x z y x Theo bất đẳng 3 thức cô si ta có: x xz xz x z , y yx yx y x z zy zy z y Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: x y z xy yz zx x z y x z y2 x y z xy yz zx xy yz zx Do x y z , suy 2.3 x z y x z y x y y x z y P Vậy P x y z x2 xy Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: x x y2 x y2 Câu 11) Ta có: x y x y y 3 xy Suy x2 xy 2 Tương tự, ta có: x x xy x y2 3 xy 2 y2 z2 , y yz z zx Cộng theo vế ta có: 2 z 2x y 2z 2 2 P x y z xy yz zx Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: 3 x xy y 3 x y , y yz z 3 y z , z zx x 3 z x Từ suy 2 x y z xy yz zx xy yz zx (7) Dễ thấy dấu (7) xảy x y z Kết hợp với x y z , ta 2 2 2 có: xy yz zx xy yz zx Vậy P P hay P x y z Câu 12) Ta có: x2 Theo bất đẳng thức Cơ si, x x 2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 2x z x yz y (do x y z ) Tương tự, ta có: , Suy P y 1 z 1 2 Từ suy P x y z 17 y 2X 2Y 2Z ;y ;z Đặt x Y Z X x 1 y 1 z 1 Câu 13) Viết lại P dạng: P Khi có X , Y , Z (vì xyz ) Lúc này: 1 1 1 X Y Z x 1 y 1 z 1 1 1 1 Y Z X Y Z X Y2 Z2 X2 Áp dụng bất đẳng thức X Y 2Y Z Z X XY Y 2YZ Z 2ZX X 2 Cauchy- Schwarz X Y Z X Y Z , suy 1 2 2 x y z XY Y 2YZ Z 2ZX X X Y Z P Vậy max P x y z 1 2 y z2 Câu 14) Ta có: P x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz x y z y z 1 z x y 1 1 x y z xy yz zx xy yz zx Do xyz , nên ta có: P P 2 2 xy yz zx xy yz zx x y z Lại theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xy yz zx 3 xyz (do xyz Suy P 3 x y z Câu 15) Viết lại biểu thức P dạng: Vậy P y z x 2x 2y 2z 1 1 1 2x 2y 2z 3 1 x 1 y 1 z 1 x z x y z 1 y x 1 z y Do x y z , nên ta có: P 1 1 1 1 P 2x 2y 2z 3 zx x yz z x y y xy 2 xy yz zx yz zx z y z x z x y x y z y z x z x y x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: xy z yz zx xy yz yz zx x y z x y x z x zx x y y x y xy yz zx y z z x x y z x z x z x y x y xy Rõ ràng, ta lại có: z a b c 2 yz zx x y z Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên x y xy yz zx ab bc ca suy ra: x y z x y z z y z x z x y x y 18 xy yz zx suy P Vậy z y z x z x y x y Từ x y z ta có: max P x y z Câu 16) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: x y x z 2 2 y x z x x y z x x Tương tự, ta có: x y x z x yz Suy ra: x x y x z x yz x y y P y z y x abc P Q y , y zx z z z x z y x y z P x yz y zx z xy y z ;b x x a z x ;c y y z Suy z xy 1 Đặt y z z x x y 2 2 2 x x y y z z x y , a, b, c z z b c c a a b 1 2a 2b 2c a b c 12 a b c ab bc ca a b c ab bc ca Theo bất a b c ab bc ca abc a b c ab bc ca ab bc ca đẳng thức Cơ si : ab bc ca abc suy P Vậy max P x y z Câu 17) Ta có: x5 x x 3 x x x x x 1 x 1 x 1 x x 1 3 x 1 x x x 3 x 1 x 1 x3 1 x 1 x 1 x3 x x 3 Do x x3 x 3x , nên từ (2) suy x5 x 3x x x xy xy x 1 y y xyz Suy P yz y 1 xy x x x 3xy , z z xyz xy x 1 Tương tự, ta có: zx z 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta yz y zx z 1 1 có: 1 1 xy x xy x yz y zx z 1 yz y zx z 19 xy x P 1 1 3 yz y zx z xy x yz y zx z 1 Vậy max P x y z xy x yz y zx z Câu 18) Ta có: xy yz zx P x y z x y z x2 y2 z2 2 x2 y2 z 2P x2 y x2 y2 z Vậy P có dạng: x y z 9 x x x 3x Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: y y y y z z z z Suy : x y z x y z x y z Vậy P x y z Câu 19) Vì x x; y y; z z , nên ta có: P x y z Ta có: x y 1 y z 1 z x 1 x y z y 1 z 1 x 1 1 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 x y 1 y z 1 z x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 3 P 2 x y 1 y z 1 z x 1 x y 1 y z 1 z x 1 2 y 1 z 1 x 1 1 2 y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz : 2 y 1 z 1 x 1 y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1 y z x 1 Để ý do: x y z , nên ta y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1 có: y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1 x y z xy yz zx x y z 2 x y z x y z xy yz zx x y z 3 2 2 y 1 z 1 x 1 Vậy y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1 max P x y z 2 Câu 20) Nhận xét: a 1 a3 a Thật vậy, 4a a 4a a 4a 4a a a 1 Cũng chứng minh 20 2 a a a2 a 2 bất đẳng thức Cauchy: 1 a 1 a 1 a a Áp dụng vào x2 tốn ta có: P 1 x3 1 y y2 1 y 1 z 3 4z2 1 z 1 x3 x2 y2 4z2 x2 y2 z2 Đặt a ; b ; c 4 x2 y y z z x2 Khi x, y, z xyz a, b, c abc Suy ra: P 16a 16b 16c Hay 4a 4b 4b 4c 4c 4a a b c P 4 1 2a 1 2b 1 ab 1 2c 1 2c 1 2a a 1 2c b 1 2a c 1 2b a b c ab bc ca Ta có: P4 P4 a b c ab bc ca 8abc 1 2a 1 2b 1 2c a b c 3 abc a b c ab bc ca 8abc 1 8abc a b c ab bc ca a b c ab bc ca Suy P Vậy P x y z Câu 21) Ta có nhận xét sau: với x, y, z số thực dương, ta có: x3 x3 y z x2 x2 y2 z2 (1) Thật vậy, (1) x3 x3 y z 3 x3 x x y z y z x x x z 2x y z x4 2 x y z y z x y z 2 2 2 Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: x x y z y z 2 x y z ràng: y z y z 2 y3 y3 z x y2 (6), x2 y z Cộng vế (1),(6),(7) có P Vậy P x y z Chú ý: Ta chứng minh: đẳng thức Cau chy (3) Rõ (4) Từ (3),(4) suy ra: 2x y z y z x y z x y z Tương tự (1), ta có: a3 z3 z3 x y (5) z2 x2 y z (7) (8) x3 x3 y z x2 nhanh cách áp dụng bất x2 y2 z2 a 1 a a 1 a2 2 yz thay a suy x a 1 a