Cđ5 giá trị tuyệt đối 2

Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa dấu GTTĐ A Lý thuyết Bài tốn tìm GTNN, GTLN Cho biểu thức (hàm số) f ( x) xác định tập D Ví dụ: f ( x) x xác định tập R với x f ( x)  x xác định với x 0  D R /  O  f ( x) M x  D  x  D / f ( x0 ) M f ( x ) M D - Nếu GTLN tập hợp thì:  Ví dụ: f ( x)  x  xác định với  1 x  R;    GTLN 1 x 0 : fx) 1  f ( x)   f ( x ) mx  D  x  D / f ( x0 ) m f ( x ) D - Nếu m GTNN tập hợp thì:  Ví dụ: f ( x) x  2  minA 2  x 0 Các kiến thức thường dùng - So sánh: So sánh lũy thừa so sánh phân số - Các bất đẳng thức bản: x 0x; x 0x; x  y 2 xy;( f ( x)) k 0x  TXD(k  N * ) - Bất đẳng thức liên quan đến GTTĐ +) x  y  x  y x, y  x, y dấu +) x  y  x  y x, y  x  y y dấu *) Lưu ý: x - x y  x y - x x - y  x ( y 0) y 2 - x x - x  x B Bài tập Bài 1: HSG Huyện Thanh Oai, năm học 2013-2014 Tìm GTNN biểu thức A  x  2013  x  2014  x  2015 Lời giải Ta có: A  x  2013  2015  x   x  2014 A  x  2013  2015  x   A 2 Vậy MinA 2  x 2014 Bài 1: HSG Huyện Việt Yên, năm học 2020-2021 Tìm GTNN biểu thức P  x  y  z  3x  xy  yz  xz  2000 Lời giải Vì 7x  y 0 2z  3x 0 với x, y với x, z xy  yz  xz  2000 0 với x, y, z  7x  y  2z  3x  xy  yz  xz  2000 0 với x, y, z  P 0  Min P 0 Dấu “ = ” xảy khi:  7x  y 0    2z  3x 0   xy  yz  xz  2000 0 7x  y 0  2z  3x 0  xy  yz  xz  2000 0  x y 5 7 7x = y    x z   2z = 3x     xy  yz  xz = 2000 2   xy  yz  xz = 2000    x 10k  y 14k     z 15k  xy  yz  xz = 2000 y z x    k 10 14 15  xy  yz  xz = 2000  x 10k   y 14k    z 15k 140k  210k  150k = 2000  x 10k  y 14k    z 15k k 4  k 2 +) Với k 2 x 20, y 28, z 30 +) Với k  x  20, y  28, z  30 Kết luận: Vậy Min P = x 20, y 28, z 30 x  20, y  28, z  30 Bài 1: HSG Huyện Triệu Sơn, năm học 2020-2021 Tìm GTNN biểu thức: A  x  2019  x  2017  x  2015   x   x   x    x  2019  x  2021 Lời giải Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  2019  x  2017  x  2015   x   x   x    x  2019  x  2021 Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối: a  b  a b , dấu xảy a.b 0 A  x  2019  x  2017  x  2015   x   x   x    x  2019  x  2021 ta có A  x  2021  2019  x  x  2019  2017  x   x    x  x  A 4040  4036  4032     A (4040  4).1010 : 2042220 Dấu xảy  x  2021 (2019  x) 0   2021  x 2019  x  2019  (2017  x) 0   2019  x 2017      x    x  3 (1  x) 0   x 1  x  0   x   Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2042220 x  Bài 1: HSG Huyện Chương Mỹ, năm học 2020-2021 Tìm GTNN biểu thức: A | x  2019 | 2020 | x  2019 | 2021 Lời giải A Ta có | x  2019 | 2020 1 1  | x  2019 | 2021 x  2019  2021 x  2019 0 Với giá trị x ta có: x  2019  2021 2021   1  x  2019  2021 2021  1 1  x  2019  2021 2021 1 1 1 1  x  2019  2021 2021 Hay A 2020 2021 dấu xảy x  2019 0  x 2019 A Vậy giá trị nhỏ 2020 2021 x 2019 Bài 1: HSG Cửa Lị, năm học 2021-2022 C Tìm GTNN biểu thức: x  2017  2018 x  2017  2019 Lời giải C Ta có x  2017  2018  x  2017  2019   1  1  x  2017  2019 x  2017  2019 x  2017  2019 Biểu thức C đạt giá trị nhỏ Mà x  2017 0 x  2017  2019 có giá trị nhỏ x  2017  2019 2019 nên Dấu “=” xảy x 2017  C 2018 2019 2018 Vậy giá trị nhỏ C 2019 x 2017 Bài 1: HSG Huyện Yên Thành, năm học 2020-2021 A  2021  x  Tìm GTNN biểu thức: (  2) 4040  x Lời giải A  2021  x  Ta có: (  2) 4040  x  2021  x  2020  x = 2021  x  x  2020  2021  x  x  2020   A 1 Dấu “ = ” xảy  2021  x   x  2020  0  2020  x 2021 Vậy giá trị nhỏ A 2020  x 2021 Bài 1: HSG Huyện Việt Yên, năm học 2020-2021 Tìm GTNN biểu thức: P  x  y  z  3x  xy  yz  xz  2000 Lời giải Vì 7x  y 0 với x, y 2z  3x 0 với x, z xy  yz  xz  2000 0 với x, y, z  7x  y  2z  3x  xy  yz  xz  2000 0 với x, y, z  P 0  Min P 0 Dấu “ = ” xảy khi:  7x  y 0    2z  3x 0   xy  yz  xz  2000 0 7x  y 0  2z  3x 0  xy  yz  xz  2000 0  x y 5 7 7x = y   x z   2z = 3x     xy  yz  xz = 2000 2   xy  yz  xz = 2000    x 10k  y 14k    z  15 k   xy  yz  xz = 2000 y z x    k 10 14 15  xy  yz  xz = 2000  x 10k   y 14k   z  15 k  140k  210k  150k = 2000  x 10k  y 14k    z 15k k 4  k 2 +) Với k 2 x 20, y 28, z 30 +) Với k  x  20, y  28, z  30 Kết luận: Vậy Min P = x 20, y 28, z 30 x  20, y  28, z  30 Bài 1: HSG Huyện Tân Kỳ, năm học 2020-2021 Tìm GTNN biểu thức: x   x   | x  |  2021 Lời giải Ta có: x   x   | x  |  2021  x    x  | x  |  2021  x    x  | x  |  2021 | x  |  2017  2017 P = -2017 x  = x =    x 3  ( x  )(8  x ) ≥  x    Dấu “=” xảy khi: Bài 1: HSG Sông Lô, năm học 2018 - 2019 C x a  x b  x c  x d Cho a  b  c  d , tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x  a x  a Với a  b  c  d ta có: x  b x  b x  c c  x x  d d  x  x  a  x  b  x  c  x  d x  a  x  b  c  x  d  x  C c  d  a  b x  x    x   x  Dấu “=” xảy ta a 0 b 0  c 0 d 0  x a  x b  x b    b  x c   x c  x c  x d Vậy GTNN C c  d  a  b  b  x c Bài 1: HSG Huyện Yên Thành, năm học 2020-2021 Tìm GTNN biểu thức: Lời giải Bài 1: Tìm GTNN a A  x   x  b B  x  a  x  b (a  b) c C  x   x   x   x  Lời giải a Ta có A  x   x   x    x  ( x  3)  (5  x) 2  ( x  3)(5  x) 0  x 5 Vậy Amin 2  x 5 b B  x  a  x  b (a  b )  B  x  a  b  x  b  a b  a  minB b  a  (x  a )(b  x ) 0  a x b c 1 x 4 C  x   x   x   x   x    x  x    x  C 4    x 3           x 3  3 2 Bài 2: Tìm GTNN a A  x   x  b B  x  a  x  b (a  b) Lời giải a Ta có: A  x   x   x   ( x  2) 7 Dấu “ = ” xảy  ( x  2) dấu  x  0  x 2 b Ta có: B  x  a  x  b  x  a  ( x  b)  a  b a  b  ( x  b)(a  b) 0  x  b 0  x  b Bài 3: Tìm GTNN của: A  x  16  x  17  y  18  x  19  20 Lời giải Ta có: A  x  16  x  17  y  18  x  19  20  x  16  x  17  x  19  y  18  20 Lại có: x  16  x  19  x  16  (19  x) 3  x 19  x 17 x  17 0  x 17; y  18 0  y 18  A 3    20 23    y 18 - Bài 4: A Tìm GTLN của: x 3 ( x  Z ; x 1) x 1 Lời giải - TH1: Nếu x   x  0; x    A 0 x   A  - TH2: Nếu - TH3: Nếu Vì  23 1  1 x 0  x  x   A  x 0  x  1  x 3 1  x 1 x 1 2  A 1  3  x 0 x 1 Vậy GTLN A = x = Bài 5: Tìm GTNN GTLN C  x  1  x   y  30 Lời giải Ta có: C  x  1  x   y  30 30  MinC 30  x  0   x   y 0  Dấu  x    2   1   y 0  x    y  Bài 6: B Tìm GTNN GTLN của: x4 2 Lời giải x   2  Ta có: 4  2  B 2  MaxB 2 x4 2 Dấu x  0  x  Bài 7: Tìm GTNN A a x3 A b x  3 B c 5,8 2,5  x  5,8 Lời giải x    a) Ta có: 6    A   MaxA  x  3 x   3  b) Ta có: 1 1   A   MaxA  x  3 3 2,5  x  5,8 5,8  c) Ta có: , dấu x 0 , dấu x 2 5,8 1  B 1  MaxB 1 2,5  x  5,8 , dấu “=” xảy x 2,5 Bài 8: Tìm GTNN C 2  a 12 x 5 4 D b x 2 E 4x5 c Lời giải x   4  a) Ta có: 12 12  3  C 2  5  MaxC 5 x 5  4 Dấu ‘=” xảy x  , x 3 3x1 b) Ta có: 12 x  12 x  15  23 23 4D   3  4x5 4x5 4x5 4 x    x   x 1  x 1   x   Để D đạt 4 x    x   x   x 2   x   Để D đạt max Bài 9: Tìm GTNN F a x   11 G 7x   b y   13 2y   b 15 x   32 A x 1  Lời giải F 7x    7x   a) Ta có: 2  7x   x   4  , mà 3 11   F 2   7x   4 4 11 5  MaxF  x  0  x  , dấu ‘=’ xảy 2G  b) Ta có 2 y   26 2y   2 y   6  Mà MaxG  1  20 2y 7 6 20 20 10 10    2G 1  2y   6 3 13 7 y  0  y  20 , dấu ‘‘=’’ xảy 2A  c) Ta có 30 x   32 x 1  x   8  Mà  30 x   40  x 1  5  x 1  8 1   5  4 x 1  x 1   A 4  A 2  MinA 2 , x  0  x  Bài 10: Tìm GTNN B 5  a 8 x   24 b 14 C  5 y   35 Lời giải D c 21 x   33 4x   5 x   24 24  a) Ta có: 8 8 1  14    B 5   x   24 24 3 14 7 MinB  x  0  x  , dấu ‘‘=’’ xảy Khi y   35 35   b) Ta có Khi MinC  D 8 y  0  y   , dấu ‘‘=’’ xảy 21 x   35  4x   d) Ta có x   5  mà Hay MinD  14 14    C   y   35 35 5 5 7  2 4x   2 2  33   D 7   4x   5 5 33 3 x  0  x  , dấu ‘‘=’’ xảy Bài 11: Tìm GTNN E a y   14 F y   14  15 x   68 b x   12 Lời giải E y   42  28 a) Ta có: y   14 y   14 14  Mà 3   28 y   14  28  28    E 3     1 y   14 14 Hay MinE 1 , dấu ‘‘=’’ xảy y  0  y  F b) Ta có:  15 x   60  x   12 x   12 12  Mà Hay MinF    8 x   12 8 8   17   F    x   12 12 3  17 , dấu ‘‘=’’ xảy x  0  x  Bài 12: Tìm GTNN a 15 28 C  12 x  y  x   35 H b 10 3  x  2 4 x  y  x   6  b) Ta có 24 24  4  D    2 x  y  2x 1  6 1   x  y 0  x    2 x  0  y  Hay MaxD  , dấu ‘‘=’’ xảy Bài 15: Tìm GTLN a 21 E   x  y   x   14 F b x  3 Lời giải  x  3y   x   14 14  a) Ta có: 13 MaxE  , dấu ‘‘=’’ xảy Hay x   3  b) Ta có: 21  x  3y 21 3 13    E    x   14 14  x  y 0    x  0 1   F x  3 3 Hay  x    5  y  MaxF  , dấu ‘‘=’’ xảy x  0  x 1 Bài 16: Số giá trị x thỏa mãn : x   x  1012  x   x  1003 2013 Lời giải Ta có: VT  x   1012  x  x    1003  x  x   1012  x  x   1003  x  x  1  1012  x  0   x   1003  x       1013  1000 2013 , dấu ‘‘=’’ xảy    x 1012  x     1003 x  Vậy khơng có giá trị x Bài 17: Tìm GTNN của: A  x   x   x    x  100 Lời giải Ta có A  x   100  x    x   99  x     x  50  51  x   A 99  97    2500  A 2500 , dấu ‘‘=’’ xảy 12 1 x 100 2 x 99   50 x 51   50 x 51 Bài 18: Tìm GTNN của: A  x  y  z  3x  xy  yz  zx  2000 Lời giải Ta có A  x  y 0, z  3x 0 xy  yz  zx  2000 0  A  x  y  z  x  xy  yz  zx  2000 0 Mà A 0  x  y  z  3x  xy  yz  zx  2000 0 Có x  y 0  x 5 y  x y x y  ; z  x 0   ; xy  yz  zx  2000 0  xy  yz  zx 2000  x 20; y 28; z 30  Từ tìm  x  20; y  28; z  30 A 0   x; y; z   20; 28;30   x; y; z    20;  28;  30  Vậy minA 0   x; y; z   20;28;30   x; y; z    20;  28;  30  Bài 1: 2 Tìm GTLN biểu thức: P  x  y    15 y  x   xy  90 Lời giải Ta có: 2 2 P  x  y    15 y  x   xy  90  x  y    x  15 y   xy  90  x  y    x  y   xy  90   8. x  y   xy  90    2 Ta thấy  x  y  0 với x, y nên  x  y  0 với x, y xy  90 0 với x, y Khi  x  y   xy  90 0 với x, y    x  y   xy  90  0   Suy với x, y Hạy P 0 với x, y Dấu " " xảy  x  y  0    xy  90 0 x y   5  xy 90 13 x y  k  x 5k ; y 2k Đặt 2 Mà xy 90  5k.2k 90  k 9  k 3 Nếu k 3  x 15; y 6 Nếu k   x 15; y   x 15; y 6 maxP 0    x  15; y  Vậy Bài 20: 2 Tìm GTLN biểu thức: H  3x  y    y  x   xy  24 Lời giải Ta có: 2 2 H  3x  y    y  x   xy  24 H  3x  y    y  3x   xy  24   3x  y   xy  24   3x  y   xy  24 Ta có: 3. 3x  y  0x, y; xy  24 0x, y Do đó: 3. 3x  y   xy  24 0, x, y   3. 3x  y   xy  24  0, x, y   Nên Hay H 0 Dấu " " xảy 3x  y 0 xy  24 0(1) Với 3x  y 0  x 2 y  x y  x y  k  x 2k ; y 3k Đặt  k 2 2k 3k  24 0    k  Thay x 2k , y 3k vào (1) ta được:  x 2.2 4 k 2    x 3.2 6 Với  x  k     y  với 14  x 4; y 6 0   x  4; y  Vậy giá trị lớn H Dạng 8: Giải bất phương trình liên quan đến giá trị tuyệt đối có dạng A x  a Phương pháp: Với A x  a   a  A x  a  A x  a A x  a    A  x    a Với Bài 1: Tìm x, biết rằng: a x   b x   c 3x   Lời giải a) Ta có x      x      x  b) Ta có c) Ta có 5x      5x     5x    3x    3x  3x        3x     3x    x 1  x 1  x 5  Bài 2: Tìm x, biết rằng: a) 3x   x  b) 3x   x  c) x  5 Lời giải x   3x   x   x   x  a) Trường hợp 1: Với Trường hợp 2: Với x   3x  x    x    x  x   3x   x   x  x   x   x  b) Trường hợp 1: Với Trường hợp 2: Với x  5   2 x  5   2 x 2   x 1 Bài 3: Tìm x, biết rằng: a) x   b) 3x  7 c)  x   13 15 A x  a Lời giải  2x    2x  x 4 2x        2x     2x   x1 a) Ta có b, 3x  7   3 x  7   3 x 8   x   x   10  x   13  x   10     x    10  2x   x   15   c,  x   x   15  Bài 4: Tìm x biết: x   x  Lời giải Trường hợp 1: Với Trường hợp 2: Với x 3   x  3  x   x   x    x   x   x 3   x   x    x  12  x   2 16 Dạng 9: Sử dụng tính chất A  B  A  B Bài 1: Tìm x nguyên biết: a x   x   x   x  8 b x  2010  x  2012  x  2014 2 Lời giải a) Ta có : x   x   x   x  8   x  x   x  x  x  7 x  x  5 x  x    x  x    x   8  x  1   x  0   x 5 x  3   x  0    dấu “=’’ xảy b) Ta có: VT  x  1010  2014  x  x  2012  x  2010  2014  x  x  2012 2  x  2012 2  x  2010   1014  x  0  x 2012  x  2012 0 x  2012    Vì , dấu ‘’=’’ xảy Bài 2: Tìm x nguyên biết: x   x   x    x  100 2500 Lời giải Ta có : VT  x   100  x    x   99  x     x  50  51  x  VT  x   100  x    x   99  x     x  50  51  x  99  97  95   2500 dấu “=’’ xảy  x  1  100  x  0,  x    99  x  0,  x  50   51  x  0  x 50    x 51 Bài 3: Tìm x nguyên biết: x   x   y   x  3 Lời giải a) Đặt A  x   x   y   x  17 Ta có x   x   x    x 3  x  1   x  0  , A 3 nên x 2, y 3 Bài 4: Tìm x nguyên biết: 2004  x   x  10  x  101  x  990  x  1000 Lời giải Ta có VP   x  x  1000  10  x  x  990  x  101 VP 1004  1000  x  101 2004 Dấu   x   x  1000  0   10  x   x  990  0  x  101  x  101 0  Bài 5: Tìm x nguyên biết: x  2005  x  2006  y  2007  x  2008 3 Lời giải Đặt A  x  2005  x  2006  y  2007  x  2008 Khi ta có : A  x  2005  2008  x  x  2006  y  2007 3  x  2006  y  2007  x  2005   2008  x  0   x  2006  y  2007   Dấu xảy :   x 2006   y 2007 Bài 6: Tìm x biết: x   x  7 Lời giải Ta có:  x  x  3  x  x  7 dấu xảy Bài 7: Tìm x biết: x  2,5  x  6,5  x  9,5 7 Lời giải x  2,5  x  2,5 , x  6,5 0 x  9,5  x  9,5 Nên: VT  x  2,5  x  9,5 7 , dấu xảy x  6,5 18 3  x 0    x  0  x    x  x   y  0 Bài 8: Tìm x nguyên biết: x   x   x    x  100 605 x Lời giải Vì x  0, x  0, x  100 0  VT 0  605 x 0  x 0 Với x 0  VT  x  1   x     x  3    x  100  605 x  100 x  5050 605 x  505 x 5050  x 10 Bài 9: Tìm biết: x   x  3x Lời giải Vì x  0, x  0  3x 0  x 0  x  x  x 0     x  3   x  1 3x  x  3 x  x 4 x  x    Với Bài 10: Tìm x biết: x 11  x  x 4 x 17 17 17 Lời giải Vì x 11 0, x  0, x  0  VT 0  x 0  x 0 17 17 17 11   2  4   x     x     x   4 x  3x  4 x  x 1 Khi  17   17   17  Bài 11: Tìm x biết: x  0,8  x  5,  x  9,7 4 x Lời giải a) Vì x  0,8 0, x  5,2 0, x  9,7 0  x 0  x 0 Khi đó:  x  0,8    x  5,2    x  9,7  4 x  x  15,7 4 x  x 15,7 Vậy x 15,7 19 20