Cđ5 giá trị tuyệt đối 1

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A Hệ thống kiến thức GTTĐ Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số a ( a  R ) khoảng cách từ a đến điểm O trục số Kí hiệu: a giá trị tuyệt đối a - Giá trị tuyệt đối số khơng âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối Tổng quát: + Nếu a 0  a a + Nếu a   a  a + Nếu x  a 0  x  a x  a + Nếu x  a   x  a a  x Tính chất + a 0, a + a 0  a 0 2n 2n * + a a , n  N + a  b a b + a  b a  b - Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị  a b a b    a  b tuyệt đối chúng hai số đối - Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối nó:  a a  a  a a  a 0; a  a  a 0 - Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn hơn: Nếu a  b   a  b - Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn: Nếu  a  b  a  b - Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối: a.b  a b - Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối: a a  b b - Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số đó: a a - Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu: a  b  a  b a  b  a  b  a.b 0 B Các dạng tập Dạng 1: Phá giá trị tuyệt đối a,  a 0  a   a,  a   Phương pháp: Áp dụng công thức sau Bài 1: Phá giá trị tuyệt đối a x  b x  c 3x  d  x Lời giải   3   x  3 x     x     3    x  3 x      a) Ta có:  1   4x   x 2    x    1    4x  x   2   b) Ta có:  5   3x   x 3    3x    5    3x  x   3   c) Ta có:   x  x 2   x   x   x   d) Ta có: Bài 2: Phá giá trị tuyệt đối a x   x  b x   x  Lời giải a) Ta có bẳng sau: x 2x  x / - + - / + + Khi ta có: - Nếu x   x   x    x     x   3x  - Nếu x   x   x  2 x    x x  - Nếu x 3  x   x  2 x   x  3 x  b) Ta có bảng sau: x x x 6 - -6 / Khi ta có : - Nếu x    x   x  5  x  x   x  - Nếu  x   x   x  5  x  x  11 + / + + - Nếu x 5  x   x  x   x  2 x  Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: a  x  1  x  b x   x  Lời giải a) Nếu x 5   x  1  x  6 x    x   5 x  Nếu x    x  1  x  6 x     x  7 x  b) Nếu Nếu x x 3  x   x  2 x   x  3x  3  x   x   x   x   x  Bài 4: Rút gọn biểu thức sau: a 3x    3x b  x  1  x  Lời giải x   x    3x 3x    3x 0 a) Nếu : x   3x    x 3x    3x  1 6 x  Nếu b) Nếu x    x  1  x  3x    x  3 x  Nếu x     x  1  x  3x    x   5 x  Bài 5: Tính giá trị biểu thức: a A 3x  x  với x 0,5 b B = Lời giải  x 0,5 x 0,5    x  0,5 a) Vì 3x   x  với x  3 1 x 0,5  A 3       2 Trường hợp 1: 1 11   1 x  0,5  A 3        4   Trường hợp 2:  x  x    1  x  b) Vì 1 8 x   B      3 3 Trường hợp 1: Trường hợp 2: x 1 1 1  10   B    1   3 3 Bài 6: Tính giá trị biểu thức: a A 6 x3  3x  x  với x 2 b 2x3y x  ; y  với Lời giải 2 2 2  2  2 x  x    A 6.   3.    52 3 3  3  3 a) Với 1 x   x  , y   y 3  B 2 x  y 2  3.3 1   2 b) Với Bài 7: Tính giá trị biểu thức: a x    x với x = b Lời giải a) Với x 4  A 2 x    x 2   4    x  x   1  x   b) Với D 5x2  x  1 x  3x  với 1   1 5 x  D  2  Trường hợp 1: 1   1  23 x  D  1 10  Trường hợp 2: Bài 8: A  x  3x    x  x  Cho x Chứng tỏ giá trị biểu thức A không âm với giá trị Lời giải 4 Vì x 0,3x 0  x  3x   Từ  x  x  2 x  x   A 2 x  x   x  x  2 x 0 với x Vậy giá trị A không âm với x Dạng 2: Tìm giá trị x thỏa mãn đằng thức f ( x) a Trong f  x  biểu thức chứa x, a số Ví dụ: Tìm x , cho x  1 Cách giải: +) Nếu a   phương trình vơ nghiệm f ( x) 0 +) Nếu a 0  f ( x) 0  f ( x) a a 0   f ( x)  a +) Nếu Bài 1: HSG Huyện Hoằng Hoá, năm học 2020 - 2021 : x   0, 25  12 Tìm x , thỏa mãn: Lời giải : x   0, 25  12 Tìm x biết 1 : x   12 : x   12 x  x  1 ;    2 2 Bài 2: HSG Huyện Gia Viên, năm học 2020 - 2021 39 15  3x2  Tìm x , thỏa mãn: Lời giải 15  39  3x2   39 15  3x    2  39  x  15  2 Ta có: 39 15 39 15  3x   3x    x 12 2 Nếu  x 4  x 2 39 15 39 15  x   3x    x 27 2 Nếu  x 9  x 3 Vậy x   2; 3 Bài 3: HSG Huyện Tam Dương, năm học 2020 - 2021 Tìm x , thỏa mãn: 3x   7 Lời giải   3x    3x   7  3x   Ta có:  7   3x       3x   9 34  x   x   20   loai    30  20  x ;  9  Vậy Bài 4: HSG Huyện Lý Nhân, năm học 2020 - 2021   2x  Tìm x , thỏa mãn: 2 Lời giải   2x  Ta có: 2 17    2x     17  17    2x     2x   2x   2 6 7   2x     x 10  7  x   x 5  Vậy  5 x ;   3 Bài 5: Tìm x , thỏa mãn: a x  7 b x   3 Lời giải  x  7  x 9 x  7     x 3 x   x      a) Ta có: b) Ta có:  x  7 x   3    x    2;4;6;12  x  1 Bài 6: Tìm x biết: a 3x   5 b 3x   2 35 c Lời giải  3x  2 3x   5  x  4  x  2    3x   a,   3x  13 3x     3x     35 5  3x   b, 13  5  13  5  x   3 x   3    x    c, Bài 7: Tìm x biết: a) 3x   11 3 b) Lời giải x   20 x   3  3x   11 3 3x   11 3    3x   11  a, Ta có :  x   20 x   20    x    20 b, Ta có : Bài 8: Tìm biết: x     3,   5 Lời giải Ta có  x 4 14 x      3,2    x     x  2   5 5 x  2     x 3   x   7  5 x ;  3  Vậy Bài 9: Tìm biết: x       3.   Lời giải  x  9 3 x           x  9    x    Ta có  x 5  x   Vậy x   5;  4 Bài 10: 21 : 2x   22 Tìm biết: Lời giải Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu Trường hợp 2: Nếu Vậy x x 1 21 21 : x    :  x  1   x  (tm) , ta 22 22 x 1 21 21 : x    :   x    x  (tm) , ta 22 22 4 x Bài 11: Tìm biết: 2  x  3, 25    1,25   2,5.0,25    0, 25     Lời giải  x   x   4  x   Ta có Vậy x 3 x Bài 12: 2     x   :      1 3 5   10 Tìm biết  10 Lời giải 2       21   x   :      1     x2 :     x2 :  3 5 10   10   10  10  10 Ta có:  10 Vậy x 0 x  Bài 13: x  3   x  3  x  16 Tìm x nguyên biết:  Lời giải 1  x   x  2  x  2     x    x   5 x   2 x   x  16  x  16  Ta có: Vậy x 5 1 x 10  x 2 x    x 2 x    x    x 2 x  Xét ta có Hay Xét  x   x  x (loại) , ta có x    x 2 x    x    x 2 x  Hay  x 2  x  (nhận) x    x 2 x       2.( 2) 2.(  2)  Với x  ta có    12    12   16  (vơ lý) Vậy phương trình vơ nghiệm Khơng có giá trị x thỏa yêu cầu toán Bài 6: HSG Huyện Gia Viên, năm học 2020 - 2021 x   x  ( 1) 2016 3x  20210 x Tìm , biết Lời giải Ta có: x   x  ( 1) 2016 3x  20210 x   x  3 x 1 (*) Điều kiện để x thỏa mãn tốn Khi x 1 1  x 1  , nên (*) trở thành 3x   x  3 x   x   x Nếu x 1 x  0  x  ta có 3x –  x nên (điều kiện x 0 ) x Nếu x 1 ta có  3x  x nên (thỏa mãn) x (thỏa mãn) 3 3 x ;  2 4 Vậy Bài 7: Tìm x , thỏa mãn a  x  2 x b  x 4 x  Lời giải 14 a)  x  2 x   x 2 x  7(1) x  0  x    x 0   x  (7  x) 2 x  Nhận thấy điều kiện: (1)  x  2 x   phương trình vơ số nghiệm với Vậy giá trị x thỏa mãn là: x x 7 b)  x 4 x  +) Nếu  x 0  x 1   x 4 x   x 0 (thỏa mãn) +) Nếu  x   x   x  4 x   x  2 (loại) Vậy x 0 giá trị cần tìm Bài 8: x  x   x  10 x  11 Tìm x , thỏa mãn x  x   2( x  x  5)(1) Ta có: Đặt t x  x   (1)  t  2t  1(2) Điều kiện:  2t  0  t  1  t  t  (2) :  t  2t   t  (thỏa mãn)  x 2 x  x    x  x  0    x 3 Từ đó: Bài 9: x  x  x  2018(*) Tìm x , cho : Lời giải 2 Có: x x x 2 Đặt t  x  t  x x (t 0) (*)  t  t  2t  2018(1) 15  t  t  2t  2018 t  2t  2018 (t  1)  2017  0t     t   (t  2t  2018) Nhận thấy 2019   t  (tm)   2t  2t  2017 0(2) 2 Gải (2)  t  (t  1)  2016 0  x  Vậy t 2019 2019  x 2 Bài 10: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 42  y  4(2018  x) Lời giải  4(2018  x) 42  (2018  x)  Từ đề +) (2018  x) 1  42  y  4.1  y   42  11   (2018  x) 0   (2018  x) 1 38 Z (loại)  y  10 (2018  x) 0  x 2018  y  14    y 18 +) Vậy có hai cặp  x; y  thỏa mãn toán: (2018, 18); (2018, -10) Bài 11: Tìm x biết: a x  x  b x     3,   5 Lời giải a) Trường hợp 1: Trường hợp 1: x x 3  x  x   x  (thỏa mãn) 3 5   x  x   x  (thỏa mãn)  x 14 14 x     x    2   5 5 x  b) 2  Bài 12: Tìm x biết: a  x  x 3 b x   x  6 Lời giải 16 c 3x  x  2 a) Trường hợp 1: x 4    x   x 3  x  (thỏa mãn) Trường hợp 2: x    x    x 3  x  (loại) x 7  x   x  6  x  b) Trường hợp 1: (loại) Trường hợp 2: x    x  x  6  x  (thỏa mãn) c) Trường hợp 1: Trường hợp 2: x x 1  3x   x  1 2  x 3 (thỏa mãn) 1  3x   x  1 2  x  (loại) Bài 13: Tìm x biết a x  x  b x   x 7 c 3x  x  Lời giải x   x  x   x 0 a) Trường hợp 1: (loại) Trường hợp 2: x   x x   x 2 (loại) x   x   x 7  x  (thỏa mãn) b) Trường hợp 1: 2 x    x  x 7  x  (thỏa mãn) Trường hợp 2: x   x  x   x  (thỏa mãn) c) Trường hợp 1: Trường hợp 2: x 5   3x x   x  (thỏa mãn) Bài 14: Tìm x biết a x   x 15 b x   x 14 Lời giải a) Trường hợp 1: Trường hợp 2: x x 3  x   x 15  x 4 (thỏa mãn) 3  18   x   x 15  x  (thỏa mãn) 17 c 3x   x 4 x  10 x    x  3  x 14  10 x   x 14  x 20  x  (thỏa mãn) b) Trường hợp 1: 2 x     x   x 14   10 x  x 14   12 x 8  x  (thỏa mãn) Trường hợp 2: x   x   x 4 x  10  x  c) Trường hợp 1: (loại) Bài 15: Tìm x biết a x  x  b x   x  6 Lời giải   3   x  x   x     x  x       3    x  x   x      a) Ta có  x  1 tm    x    loai   Vậy x  giá trị cần tìm  x   x  6  x 7  x   x  6     x  x  6  x   b) Ta có Bài 16: 10 11 Tìm x thỏa mãn x  10  x  11 1 Lời giải - Nếu x  11 x  10 x  10  x  11   Suy x  10  1; x  11  (loại) - Nếu 10  x  11  x  10  1;0  11  x   x  10  1; x  11  10 Do x  10 11 x  10  x  10  x  10; x  11  11  x 11  x 10 Suy 11  x  10  x  10; x  11  11  x x  10 10 11  11  x 11  x 11  x  11  x  10  11  x 1 (loại) - Nếu x 10 x 11 (thỏa mãn) Vậy x 10; x 11 giá trị cần tìm Bài 17: 18 10 11 Tìm x thỏa mãn x  10  x  11 1 Lời giải  x 3 x  2    x  Vì x  x   nên  1  x  x  x  hay 2 Bài 18: Tìm x thỏa mãn x   x    1 2016 3 x  2017 Lời giải x   x    1 2016 3 x  2017  x   x  3x  1(*) Ta có Điều kiện để x thỏa mãn tốn Khi x x  0  x  1 1  x  0 nên (*) trở thành 3x   x  3 x   x   x Nếu x 1 ta có 3x  x nên (điều kiện x 0) x Nếu x 1 ta có  3x x nên (thỏa mãn) x (thỏa mãn) 3 3 x ;  2 4 Vậy Dạng 4:  f ( x ) g ( x ) 2 f ( x )  g ( x)   hoac f ( x)  g ( x)  ( f ( x)) ( g ( x))   f ( x)  g ( x)   f ( x )  g ( x)  0  f ( x)  g ( x ) Chú ý: Ta lập bảng xét dấu dạng toán 19 Bài 1: HSG Thị Xã SaPa, năm học 2020-2021 Tìm x biết: x + = 2012x2 + 4024x Lời giải éx + = 2012x2 + 4024x x + = 2012x + 4024x Û ê ê- x - = 2012x2 + 4024x ê ë Ta có: é2012x ( x + 2) - ( x + 2) = Û ê ê2012x x + + x + = ( ) ( ) ê ë é( x + 2) ( 2012x - 1) = Û ê êx + 2012x + = )( ) ê ë( ééx + = êê êê2012x - = êë Û êê x +2= êé êê ê êê2012x + = ëë ééx = - êê êê êêx = êë ê 2012 ê é êx = - êê êê êêx = - ê 2012 ë ëê ìï ïï 1 ü x ẻ ùớ - ; ;ý ùợù 2012 2012ùỵ ù Vậy Bài 2: HSG Huyện Kiến Xương, năm học 2021-2022 1 3 x     1,  Tìm x biết: Lời giải 1 3 3 x     1,   x      2 2 5  3 x   1 2 1 1 1 x   x   x  2 4  x Vậy x x x ; 20