Dạng 8: Tính tổng số mũ Bài 1: Tính 2 2 a) A 1 98 2 2 2 b) B 19 20 Lời giải a) Ta có A 1.1 2.2 3.3 98.98 A 1 1 1 1 98 99 1 A 1.2 2.3 3.4 98.99 98 Đặt B 1.2 2.3 3.4 98.99 , tính tổng B ta được: 3B 1.2 2.3 1 3.4 98.99 100 97 3B 1.2.3 0.1.2 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 98.99.100 97.98.99 3B 98.99.100 0.1.2 98.99.100 B Thay vào A ta A B 98.99.100 98.99 98.99.100 98.99 2 2 2 2 2 2 b) Ta có B 19 20 B (1 19 20 ) B 12 22 32 192 202 22 42 62 202 20.21.22 20.21 2 2 B 2.2 10 10.11.12 10.11 B 20.22.7 20.7 20.7.23 10.11.4 5.11 Bài 2: Tính 2 2 a) D 1 99 2 2 b) 11 13 15 199 Lời giải a) Ta có D 12 22 32 42 992 1002 2 62 100 100.101.102 100.101 2 2 D 50 Đặt A 12 22 32 502 A 50.51.52 50.51 , thay vào D ta : D 100.101.34 50.101 50.52.17 25.51 b) Ta có : E 112 122 132 142 152 199 200 12 14 200 2 2 2 Đặt A 11 12 13 200 , B 12 14 200 Tính ta được: A 11.11 12.12 13.13 200.200 11 12 1 12 13 1 200 201 1 A 11.12 11 12.13 12 13.14 13 200.201 200 A 11.12 12.13 13.14 200.201 11 12 13 200 200.201.202 10.11.12 211.190 A 2 100.101.102 5.6.7 106.95 B 22 62 72 82 1002 4 Và Vậy E A B Bài 3: Tính 2 2 a) C 2 20 2 2 b) F 1 100 Lời giải a) Ta có C 22 12 22 32 102 2 2 Đặt A 1 10 1.1 2.2 3.3 10.10 A 1 1 1 1 10 11 1 10.11.12 10.11 A 1.2 2.3 3.4 10.11 10 b) Ta có F 1.1 4.4 7.7 10.10 100.100 F 1 3 3 10 10 13 100 103 F 1.4 1.3 4.7 3.4 7.10 3.7 10.13 10.3 100.103 100.3 F 1.4 4.7 7.10 10.13 100.103 10 100 Đặt A 1.4 4.7 7.10 100.103, B 1 10 100 Tính A 1.4 4.7 10 1 7.10 13 100.103 106 97 A 1.4.9 0.1.4 4.7.10 1.4.7 7.10.13 4.7.10 100.103.106 97.100.103 100.103.106 A 1.4.9 100.103.106 1.4.7 A Tính B thay vào F ta F A 3B Bài 4: Tính 2 2 2 2 Cho biết 12 650 Tính nhanh tổng sau 24 Lời giải Ta có 22 42 62 242 22 12 22 122 4.650 Bài 5: Tính tổng 2 2 b) K 1.2 2.3 3.4 99.100 Lời giải b) Ta có: K 1.2.2 2.3.3 3.4.4 99.100.100 K 1.2 1 2.3 1 3.4 1 99.100 101 1 K 1.2.3 1.2 2.3.4 2.3 3.4.5 3.4 99.100.101 99.100 K 1.2.3 2.3.4 3.4.5 99.100.101 1.2 2.3 3.4 99.100 Đặt A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 99.100.101, B 1.2 2.3 3.4 99.100 Tính A A 1.2.3 2.3.4 1 3.4.5 99.100.101 102 98 A 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 99.100.101.102 98.99.100.101 A 99.100.101.102 A 99.100.101.102 Tính B tương tự thay vào K Bài 6: Tính tổng 2 2 a) H 2 100 2 2 b) I 1.3 3.5 5.7 97.99 Lời giải a) Ta có : H 22 12 22 32 502 4 A A 1.1 2.2 3.3 4.4 50.50 A 1 1 1 1 1 50 51 1 A 1.2 1 2.3 3.4 50.51 50 A 1.2 2.3 3.4 50.51 50 Tính tổng A ta A 50.51.51 50.51 , thay vào H ta 2 2 b) Ta có I 1.3 3.5 5.7 97.99 I 1.3.3 3.5.5 5.7.7 97.99.99 I 1.3 3.5 5.7 97.99 101 I 1.3.5 1.3.2 3.5.7 3.5.2 5.7.9 5.7.2 97.99.101 97.99.2 I 1.3.5 3.5.7 5.7.9 97.99.101 1.3 3.5 5.7 97.99 Đặt A 1.3.5 3.5.7 5.7.9 97.99.101, B 1.3 3.5 5.7 97.99 Ta có: A 1.3.5.8 3.5.7 1 5.7.9 11 97.99.101 103 95 A 1.3.5.8 3.5.7.9 1.3.5.7 5.7.9.11 3.5.7.9 97.99.101.103 95.97.99.101 A 1.3.5.8 97.99.101.103 1.3.5.7 97.99.101.103 15 Tương tự tính B thay vào I A 97.99.101.103 15 Dạng 9: Tính tổng số Cách giải: Để giải toán thuộc dạng dùng phương pháp giải phương trình (làm trội) Tính tổng dạng: S 1 a a a a n 1 Phương pháp: Bước 1: Nhân vào hai vế đẳng thức với số a ta aS a a a a a n 1 (2) Bước 2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được: aS S a n 1 S a n 1 a A) Tính tổng dãy có số lớn Bài 1: Tính tổng 100 a) A 3 3 2009 b) B 2 Lời giải a) Ta thấy số hạng sau gấp số hạng liền trước “3” lần Ta có 3S 31 32 3100 3101 A A 2 A 32 32 32000 32000 32001 1 S 3101 S 3101 2 2009 2011 b) Ta có B 2 B B 3B 23 23 25 25 22009 22009 22011 3B 2 2011 22011 2 B Bài 2: Tính tổng 2018 2019 a) A 5 5 101 b) B 5 Lời giải 2018 2019 2018 2020 a) Ta có A 5 A 5 A A 51 52 52018 52020 50 51 52 52018 52019 A 52020 A 52020 103 103 b) Ta có B 5 25 B B 24 B 5 5103 B 24 Bài 3: 100 99 98 Thực phép tính A 2 Lời giải Ta có A 2100 299 298 22 1 99 98 100 99 Đặt B 2 B 2 B B B 2100 Vậy A 2100 B 2100 2100 1 1 Vậy A 1 Bài 4: 2016 Tính tổng G 1 Lời giải 2 2016 2018 Ta có: G 2 4G G 3G 2 4 2016 2 2016 2 2018 2018 1 3G 2 G 22018 Bài 5: Tính tổng 50 49 48 a) M 2 100 99 98 97 b) N 3 Lời giải a) Ta có M 250 22 23 248 49 48 49 50 Đặt A 2 , tính A ta A 2 , M 250 A 250 250 2 Thay vào M ta 98 99 100 b) Ta có N 1 N 3 32 33 34 399 3100 3101 N N 3 32 32 33 33 3100 3100 3101 N 3101 N 3101 Bài 6: 2008 Tính giá trị biểu thức B 1 Lời giải 2008 B 2 22 23 24 22009 Ta có B 1 B B 3B 1 22009 B 22009 Bài 7: Tính giá trị biểu thức A 2000 20019 20018 20012 2001 Lời giải 10 Đặt B 2001 2001 2001 2001 2001B 2001 2001 2001 2001B B 2000 B 200110 2001 10 10 Khi A 2000 B 2001 2001 1 2001 2000 Bài 8: 2010 2009 2008 H Cho H 2 Tính 2010 Lời giải Ta có H 22010 22 23 2008 22009 2009 Đặt A 1 2010 Tính tổng A ta A 2 , thay vào H ta được: H 22010 22010 1 1 2010 H 2010 Bài 9: 99 Tính H 1 2.6 3.6 4.6 100.6 Lời giải 100 Ta có: H 6 2.6 3.6 4.6 100.6 H H 5H 2.6 3.6 2.6 4.63 3.6 100.699 99.6 99 100.6100 5H 6 62 63 699 100.6100 99 Đặt A 6 , Tính A ta A 6100 , Thay vào H ta được: H A 100.6100 H 6100 6100 500.6100 499.6100 100.6100 5 499.6100 25 B) Tính tổng dãy có số bé Bài 1: 1 S 2005 1 2 Tính tổng sau Lời giải Cách 1: Ta thấy số hạng liền sau tổng số hạng liền trước “2” lần 1 S 1 2004 2 (2) Trừ vế với vế (2) cho (1) ta được: 1 1 S 2006 2 Cách 2: Ta có: S 1 22005 22005 22005 (3) Trừ vế với vế (1) cho (3) ta được: S 1 22005 1 2005 2005 S 2006 2006 S 2006 S 2005 2 2 2 Bài 2: 1 1 A 3 3 Tính nhanh Lời giải 1 A 1 3 Ta có (1) 1 A 3 (2) Lấy (1) trừ (2) Do A A 1 1 6560 1 6561 6561 3280 6561 Bài 3: 1 1 A 100 7 7 Tính tổng Lời giải 1 1 1 A 100 101 7 7 a) Ta có: A 100 100 1 1 1 1 1 A 100 100 101 A 101 A 100 7 7 7 7 7 7 6.7 Bài 4: 1 1 B 20 3 3 Tính tổng Lời giải 1 1 1 B 20 21 3 3 Ta có: B 20 20 1 1 1 1 B 20 20 21 B 21 B 201 3 3 3 3 3 3 2.3 Bài 5: Tính tổng 1 1 1 1 D 7 7 7 7 a) b) E 2017 1 1 1 50 51 3 3 3 Lời giải a) Ta có: D 1 1 1 2016 2017 7 7 1 1 1 D 2017 2018 7 7 7 1 1 1 1 D D 2017 2017 2018 7 7 7 7 2018 2018 D 2018 D 7 8.7 2018 1 1 1 E 51 52 3 3 b) Ta có: 51 51 1 1 1 1 1 E E 51 51 52 E 52 E 511 3 3 3 3 3 3 4.3 Bài 6: 3 3 A 100 5 5 Tính tổng Lời giải 1 1 3 3 A 100 A 3 100 5 5 5 5 Ta có: 1 1 1 1 B 100 B 10 103 5 5 5 5 Đặt B 1 1 1 1 B 100 100 103 125 5 5 5 5 124.B 1 5102 5102 103 103 A 100 125 5 5 124 Bài 7: Tính tổng 2 200 100 K 2 99 100 a) 1 1 1 I 1 2 2 2 b) Lời giải 2 2 2 TS 1 3 4 5 100 a) Ta có: 198 2 99 2.MS TS 2MS TS K 2 100 100 MS MS 1 1 1 1 1 I 1 100 I 100 101 2 2 2 2 2 b) Ta có : I 1 1 1 1 1 I 100 100 101 2 2 2 2 2 2101 2101 I 101 I 100 2 Bài 8: 1 1 C 99 2 2 Tính tổng Lời giải 1 1 1 C 99 101 2 2 2 a) Ta có : C 1 1 1 C C 98 98 101 4 2 2 2 2 10 100 Dạng 10: Tính tỉ số hai tổng Bài 1: Thực phép tính 1.2.3 2.4.6 4.8.12 7.14.21 a) 1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35 1.7.9 3.21.27 5.35.45 7.49.63 b) 1.3.5 3.9.15 5.15.25 7.21.35 Lời giải 1.2.3 2.2.2 4.4.4 7.7.7 1.2.3 1.2.3 2.4.6 4.8.12 7.14.21 1.3.5 2.2.2 4.4.4 7.7.7 1.3.5 1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35 a) Ta có: = 1.7.9 3.21.27 5.35.45 7.49.63 1.7.9 3.3.3 5.5.5 7.7.7 1.7.9 21 b) Ta có: 1.3.5 3.9.15 5.15.25 7.21.35 = 1.3.5 3.3.3 5.5.5 7.7.7 1.3.5 Bài 2: 1.2 2.4 3.6 4.8 5.10 Thực phép tính 3.4 6.8 9.12 12.16 15.20 Lời giải 1.2 2.2 3.3 4.4 5.5 1.2 1.2 2.4 3.6 4.8 5.10 3.4 2.2 3.3 4.4 5.5 3.4 3.4 6.8 9.12 12.16 15.20 Ta có: = Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau 1 1 97 99 A 1 1 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 a) 1 1 100 B 99 98 97 99 b) Lời giải 12 a) Ghép phân số số bị chia thành cặp để MC giống mẫu phần số tương ứng số chia Biến đối số bị chia : cộng cặp phân số cách hai đầu ta : 1 1 100 1 100 100 100 49.51 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 Biểu thức gấp 50 lần số chia Vậy A 50 b) Biến đổi số chia : viết phần tử thành hiệu : 100 1,100 2, ,100 99 100 100 100 100 99 99 số chia : 100 99 100 100 100 99 99 1 1 100 100 99 99 2 1 1 1 1 100 100 99 99 100 2 2 B 100 Biểu thức 100 lần số bị chia Vậy Bài 4: 3 98 D 1.98 2.97 3.96 98.1 a) Tính b) Chứng minh biểu thức E có giá trị 1.98 2.97 3.96 98.1 E 1.2 2.3 3.4 98.99 Lời giải a) Số bị chia gồm 98 tổng, số có mặt 98 tổng, số có mặt 97 tổng, số có mặt 96 tổng…, số 97 có mặt tổng, số 98 có mặt tổng Như số bị chia 1.98 2.97 3.96 97.2 98.1 , số chia Vậy D 1 b) Theo câu a, số bị chia bằng: 3 98 1.2 2.3 98.99 2 , Theo cơng thức tính tổng số tự nhiên liên tiếp, biểu thức bằng: 1 E số chia Vậy Bài 5: 13 1 1 1 9120 9506 9900 A 12 30 50 51 52 97 98 99 50 51 52 53 98 99 100 a) Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí Lời giải 1 1 1 T 12 30 9120 9506 9900 Xét tử: 1 1 1 T 1.2 3.4 5.6 95.96 97.98 99.100 T 1 1 1 1 97 98 99 100 1 1 1 1 1 T 97 98 99 100 98 100 2 1 1 1 1 T 99 100 49 50 1 1 T (1) 51 52 53 99 100 Xét mẫu: 50 51 52 97 98 99 51 52 53 98 99 100 99 50 51 98 M 1 1 51 52 99 100 1 1 M (2) 51 52 99 100 M 50 Từ (1) (2) suy ra: tử mẫu Do đó: A 1 Bài 6: 1 1 A 2019 : 2019 2 2 Tính Lời giải 1 1 1 1 A 2019 : 2019 A 2 2019 : 2019 2 2 2 2 Ta có 1 A 2018 : 2019 2 Xét hiệu: 1 1 1 A A 2018 : 2019 2019 : 2019 2 2 2 14 1 1 1 A 2018 2019 : 2019 2 2 2 A 2019 : 2019 1 Vậy A 1 Bài 7: A 2012 2012 2012 2012 1 1 A B 51 52 53 100 1.2 3.4 5.6 99.100 Tính tỉ số B biết Lời giải 1 A 2012 100 51 52 53 Ta có : 1 1 1 1 1 1 B 99 100 99 100 1 1 B 100 1 1 1 100 2 1 1 1 1 50 51 52 53 100 1 A 2012 2012 Khi đó: B Bài 8: A 1 1 1 A B 1.2 3.4 5.6 199.200 101.200 102.199 200.101 Tính tỉ số B biết Lời giải 1 1 1 1 1 1 A 200 200 1 2 4 199 200 2 Ta có: 1 1 A 200 1 1 1 1 100 101 102 200 1 1 301 301 301 A 150.151 101 200 102 199 150 151 101.200 102.199 1 1 1 B 101.200 200.101 102.199 199.102 150.151 151.150 Và 2 B 101.200 102.199 150.151 A 301 Khi đó: B Bài 9: 15 A 1 1 A 1.2 3.4 5.6 101.102 Tính tỉ số B biết B 1 1 52.102 53.101 54.100 102.52 77.154 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 A 101 102 101 102 1 2 4 Ta có : 1 1 1 1 A 101 102 102 1 2 1 1 A 102 1 1 1 1 1 51 52 53 101 102 1 1 154 154 154 154 A 76.78 77.154 52 102 53 101 76 78 77 52.102 53.101 1 B 52.102 102.52 53.101 101.53 76.78 78.76 77.154 B 2 2 A 154 77 52.102 53.101 76.78 77.154 B Bài 10: 1 1 1 1 99 100 51 52 100 Chứng minh Lời giải 1 1 VT 99 100 Ta có : 1 VT 100 1 1 100 2 1 1 VP 50 51 52 100 Bài 11: 99 1 100 100 100 Chứng minh Lời giải 99 1 1 VT 1 100 VP (đpcm) 2 3 100 Ta có : Bài 12: 16 A 92 1 1 A 92 B 10 11 100 45 50 55 500 Tính tỉ số B , biết Lời giải 2 3 92 8 1 1 A 8 100 100 10 11 100 10 10 Ta có : A 40 1 1 B B 10 100 Khi : Dạng 11: Tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau B 2a 5b 6c d 2a 5b 6c d 5b 6c d 2a biết 5b 6c d 2a a, b, c, d 0 Lời giải Đặt B 2a 5b 6c d k 5b 6c d 2a 2a 5b 6c d k 1 k 1 B 4 5b 6c d 2a Bài 2: 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d Tính giá trị biểu thức sau 3b 4c 5d 2a biết 3b 4c 5d 2a Lời giải 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d k k 1 k 1 3b 4c 5d 2a Đặt : 3b 4c 5d a 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 1 Khi : 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a Bài 3: Tính giá trị biểu thức B a m a 2n b 2n b 2m a b2 Lời giải 17 Ta có: 2 a m n b2 m n a b m n B m n a2 b2 a b2 Bài 4: ab bc cd da abcd Thực phép tính c d a b b c a d Lời giải Ta có: MS ca cb da bd ab bd ca cd ab bc cd da Khi đó: TS (ab bc cd da )abcd abcd MS ab bc cd da Bài 5: A Tính giá trị biểu thức sau a b x y a y b x abxy xy ay ab bx Lời giải Ta có: TS ax ay bx by ab ax yb xy ay ab bx xy A Khi đó: ay ab bx xy abxy ay ab bx xy 1 abxy Bài 6: a b c b c a c a b c a b Cho a, b, c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: b a c B a c b Hãy tính giá trị biểu thức Lời giải + Nếu a b c 0 , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b 1 c a b a b c a b c b c a ca b a b b c c a 1 1 2 2 c a b c a b Mà b a c b a c a b c B 8 a c b a c b Vậy + Nếu a b c 0 , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b 0 c a b a b c a b c b c a c a b a b b c c a 1 1 1 1 c a b c a b Mà 18 b a c b a c a b c B 1 a c b a c b Vậy Bài 7: a 3 b a 3 b 0 Cho Chứng minh a b Lời giải Ta có: a 3 b a 3 b 0 Tính 6a 8b ab 4a 3b 12 ab 4a 3b 12 0 a a b b 4 Bài 8: Cho x, y, z số thực thỏa mãn xyz 1 1 P 1 x xy y yz z zx Chứng minh Lời giải x x Ta có: y yz x xy xyz x xy ; xy xy Mặt khác: z zx xy xyz x yz x xy 1 P x xy y yz z zx Do đó: x xy x xy 1 x xy x xy x xy x xy (đpcm) Bài 9: Cho abc 2 Tính B a b 2c ab a bc b ac 2c Lời giải B a b abc a b abc 1 ab a abc bc b ac abc abc a b bc bc b ac bc b Bài 10: 2010 x y z 1 Cho xyz 2010 Chứng minh xy 2010 x 2010 yz y 2010 xz z 19 Lời giải Ta có VT x yz y z 1 xy x yz xyz yz y xyz xz z Bài 11: Tính giá trị biểu thức A 10a 16b 4a 2b với a b 50 Lời giải Ta có : A 10a 4a 16b 2b 14a 14b 14 a b 14.50 700 Bài 12: x 2 Tính giá trị biểu thức x x với Lời giải x 2 x 2 x Ta có: Khi x 3 x 0 Khi x 3 A 5 x x 5.9 6.3 61 Khi x 0 A 5 x x Bài 13: 2020 2020 x x y 2 Tính giá trị biểu thức P x y 2020 0 Lời giải x 0 2020 x x y 2 0 2020 x y Ta có: Do để x x y 2 2020 x 0 2020 x y 2 0 0 x 1 x y 1 x y 2 2020 2020 2020 2020 Vậy: P x y 1 2 Bài 14: x 1 Tính giá trị biểu thức x y , biết 2020 y 2 2022 0 Lời giải x 1 2020 0 x 0 x 1 2020 2022 x 1 y 2 0 2022 y 0 y y 0 Ta có: Vì Thay vào ta được: A 14 1 40 45 20