Cđ1 thực hiện phép tính 2

Dạng 4: Tính tổng dãy phân số có quy luật S Bài tốn 1: Tính tổng 1 1     a1a2 a2 a3 a3 a4 an  1an Với a2  a1 a3  a2 a4  a3  an  aa  1 Phương pháp: Ta có: a a 1  1  ; a1a2 a1a2 a1 a2 a a 1    ; a2 a3 a2 a3 a2 a3 an  1an  an  an  1   an  an an  a n S Do đó: 1 1 1 1 1           a1 a2 a2 a3 a3 a4 an  an a1 an Bài 1: 1 1 S     1.2 2.3 3.4 2004.2005 Tính tổng Lời giải 1   ; Ta có: 1.2 1 1 1   ;   2.3 2004.2005 2004 2005 Cộng vế với vế đẳng thức ta  1 2004  1  1  S 1             1    2005 2005  2  3  2004 2004  2005 Bài 2: Tính tổng S 1    9.10 10.11 2004.2005 Lời giải Ta thấy tổng giống hệt tổng ta dùng cách tách số hạng 1: 1 1 1 1 1996 S          10 10 11 2004 2005 2005 18045 Nhận xét: Nếu số hạng tổng quát có dạng n  n  1 Thì ta tách sau: 1   n  n  1 n n  Từ ta có cơng thức tổng qt để tính tổng sau: 1 1 S    1  1.2 2.3 n  n  1 n 1 Bài 3: Tính tổng sau A 1    5.6 6.7 24.25 Lời giải  1 1 1 1 1  A                6  7  24 25  25 25 Ta có: Vậy A 25 S Bài tốn 2: Tính tổng 1 1     a1a2 a2 a3 a3 a4 an  1an Với a2  a1 a3  a2 a4  a3  an  aa  k  Phương pháp: Ta có: k a a 1  1  ; a1a2 a1a2 a1 a2 a a k 1    ; a2 a3 a2 a3 a2 a3 k an  1an  an  an  1   an  an an  a n 1 1 1 1 1  1 1  S              k  a1 a2 a2 a3 a3 a4 an  an  k  a1 an  Do Bài 6: HSG Thị Xã SaPa, năm học 2021 - 2022 1 1 B      99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Tính Lời giải 1 1 B      99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Ta có 1 1   B         93.95 95.97 97.99   1.3 3.5 B  1 2 2          1.3 3.5 93.95 95.97 97.99  B  1 1 1 1 1              21 3 93 95 95 97 97 99  B  1  98 49 1     99  99 99 Bài 6: HSG Thị Xã Nghi Sơn, năm học 2020 - 2021 A 34 51 85 68 39 65 52 26 A    B    7.13 13.22 22.37 37.49 7.16 16.31 31.43 43.49 Tính tỉ số B , biết Lời giải Ta có A 34 51 85 68    7.13 13.22 22.37 37.49 17.2 17.3 17.5 17.4 A    7.13 13.22 22.37 37.49   A 17       7.13 13.22 22.37 37.49  17  15 12  A        7.13 13.22 22.37 37.49  17  1 1 1 1  A            13 13 22 22 37 37 49  17  1  A      49  B 39 65 52 26    7.16 16.31 31.43 43.49 B 13.3 13.5 13.4 13.2    7.16 16.31 31.43 43.49   B 13       7.16 16.31 31.43 43.49  13  15 12  B        7.16 16.31 31.43 43.49  13  1 1 1 1  B            16 16 31 31 43 43 49  13  1  B      49  17   A   B 13    7   49  17 17    13 13  49  Bài 6: HSG Hương Sơn, năm học 2020 - 2021 Tính S 1 1     2.6 6.10 10.14 98.102 Lời giải Ta có Bài 6: HSG Cẩm Giang, năm học 2018 - 2019 1 1 A     15 35 63 9999 Tính giá trị biểu thức Lời giải 1 1 1 1 A          15 35 63 9999 3.5 5.7 95.97 99.101 Ta có 11 1 1 1  1  50             1  2 5 95 97 99 101   101  101 50 A 101 Vậy Bài 6: HSG Yên Định, năm học 2021 - 2022 Tìm x , biết 2 2 2013      2.3 3.4 4.5 x  x  1 2015 Lời giải Ta có 2 2 2013     2.3 3.4 4.5 x  x 1 2015  1 1  2013        x  x  1  2015  2.3 3.4 4.5 1  2013 1 1 1           x x   2015 2 3 4  2013 1 2013     1    x   2015 x  2015  2013 2 1    x 1 2015 x  2015  x  2015  x 2014 Vậy x 2014 Bài 6: HSG Cầu Giấy, năm học 2020 - 2021 1 1     3.8 8.13 13.18 33.38 A 21 15 27 33     3.10 10.15 15.24 24.27 27.38 Cho a) Tính giá trị A 26 12 b) Tìm x , biết (2  11.4 ) A 8 ( x  3) Lời giải Xét tử số, ta có: 1    3.8 8.13 33.38 5 1 1 1 1 5T              3.8 8.13 33.38 8 13 33 38 38 11  T     38  T Xét mẫu số, ta có: 21 15 27 33     3.10 10.15 15.24 24.27 27.38 3.7 3.5 3.9 3.3 3.11 M     3.10 10.15 15.24 24.27 27.38 11   M 3        3.10 10.15 15.24 24.27 27.38  M 1 M 3   3 1 M 3   3 1 1        10 10 15 27 38    38  11   5 A 1 3  3 Từ đó, ta suy 2 b) Thay 26   38    15  38   11.412  A 88  x  3 A , ta được: 88  x  3 15  224.4 11.224  151 224  x  3 2 26  11.412  224   11 224  x  3 15 x  1 x 4 x 2 Bài 6: HSG Việt Yên, năm học 2020 - 2021 Tìm x , biết 1 1 49      1.3 3.5 5.7  x  1  x 1 99 Lời giải Ta có: 1 1 49      1.3 3.5 5.7  2x  1  2x 1 99   1 49        2  2x  1  2x 1  99  1.3 3.5 5.7  2 2 98      1.3 3.5 5.7  2x  1  2x 1 99 1 1 1 1 98           3 5  2x  1  2x 1 99  1 98  2x  99  98 1  2x  99  1  2x  99 0 nên 2x  99  x 49 Vậy x 49 Bài 6: HSG Lục Ngạn Bắc Giang, năm học 2020 - 2021 S Tính 1 1     2.6 6.10 10.14 98.102 Lời giải Ta có S 1 1     2.6 6.10 10.14 98.102 4S  4 4     2.6 6.10 10.14 98.102 1 1 1 1 25 4S           6 10 98 102 102 51 S 25 25 :4  51 204 Bài 1: 2 2 A     1.3 3.5 5.7 99.101 Tính tổng Lời giải Ta có : 3 1    1.3 1.3 5 1    3.5 3.5 101  99 1    99.101 99.101 99 101  1 1  1  1  1 100 B                  1  1 3  5  7  99 101  101 101 Do : Bài 2: 1 S    1.3 3.5 2003.2005 Tính tổng Lời giải Cách 1: Học sinh phải nhận dạng số hạng có dạng - Tử số số hạng - Mẫu tích hai số tự nhiên hai đơn vị 1  3 1        1  Ta tách sau: 1.3 1.3  1.3    11 1     Tương tự: 3.5   ……………………… 1 1      2003.2005  2003 2005  Cộng vế với vế đẳng thức ta được:    1     1002  S                1       2003 2005    2005  2005 Nhận xét kết quả: - Thừa số nhỏ nhất, lớn mẫu số hạng 1; 2005 - Kết tích hiệu nghịch đảo thừa số nhỏ thừa số lớn mẫu với nghịch đảo đơn vị 1 S    1.3 3.5 2003.2005 Cách 2: Ta có: a b a b 1     Ta thấy: b.a b.a b.a b a  a, b  N , a  b  Ta phải biến đổi cho tử số tất số hạng phải khoảng cách hai thừa số mẫu tất hạng tử tách được: 1   1.3 1   3.5 1   2003.2005 2003 2005  2  2004 1 1  1                  1  1.3 3.5 2003.2005     2005 2005  2003 2005  1 2 2004 Mµ S      2S      1.3 3.5 2003.2005 1.3 3.5 2003.2005 2005 2004 1002  S :2  2005 2005 1   Chú ý: Thơng qua ví dụ cần phải khắc phục cho học sinh sai hay gặp 3.5 sai m 1   Nhận xét tổng quát: b.a b a với a  b m Bài toán tổng quát: Sn  1    a( a  m) (a  m)(a  2m)  a   n  1 m  a  nm 11  Sn     m  a a  nm  Bài 3: Tính nhanh tổng sau 52 52 52 A    1.6 6.11 26.31 a) với m = 1;2;3 n = 1;2;3 4 4 B     11.16 16.21 21.26 61.66 b) Lời giải 5  1   1 1 D 5            5      26.31  26 31   1.6 6.11 11.16  6 11 11 16 a) Ta có : 1 30 150  D 5    5  31 31  31  Bài 3: Tính tổng sau a) A 32 32 32 32 32     2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 4 4     61.66 b) 11.16 16.21 21.26 Lời giải 32 32 32 32 32 A     2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 a) Ta có : 1  1 1 1  15 45         3     14 17   17  = 34 34 = 2 5 45 A 34 Vậy 1  5    B 4            5B 4   61.66  61.66   11.16 16.21 21.26  11.16 16.21 21.26 b) Ta có: 1   1 1 1  55 5B 4         B   4     B 4 61 66   11 16 16 21  11 66  11.66 66 33 Bài 4: Tính giá trị biểu thức 3   25 25 25   A            106.113   50.55 55.60 95.100   1.8 8.15 15.22 Lời giải 7   3 3  B 3      B      106.113   1.8 8.15 15.22 1.8 8.15 15.22 106.113 Ta có 1   112 3.112 48 1 1 1   B 3           B    3    3 106 113  113 7.113 113  8 15 15 22  113  C 25 25 25 5     C    50.55 55.60 95.100 50.55 55.60 95.100  1 1 C    C 50 100 100 20 48 847 A B  C    113 20 2260 Khi : Bài 5: 9     1999.2009 Tính nhanh 19 19.29 29.39 Lời giải 9 9 9     A  A      1999.2009 9.19 19.29 29.39 1999.2009 Ta có: 19 19.29 29.39 10 10 10   10  1  10 A 9       9    1999.2009   9.19 19.29 29.39  2009  10 A 9 2000 2000 200   A 9.2009 2009 2009 Bài 6: Thực phép tính A 3 1 1     15  17 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 Lời giải Ta có : A 3 1 1 15 17     15  17      1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 = 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 1 1  1  1  1  1                     1   1 2  3  4  8  9 9 Bài 3: Tính nhanh tổng sau 1 1 1 A      91 247 475 755 1147 a) 2 2 B     15 35 63 99 143 b) Lời giải 1 1 1 1 1 36 E     1       1   1.7 7.13 13.19 31.37 7 13 31 37 37 37 a) Ta có : b) Ta có : C 2 2 1        3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 11 33 Bài 3: 10 Bài 2: 1 1 A     1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12 Tính nhanh tổng sau Lời giải 2 2   1     2A                 1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12  1.2 2.3   2.3 3.4   10.11 11.12  Ta có: 1 65 65 2A     A 1.2 11.12 132 264 1  1 1 A       : 1.2.3 2.3.4 n  n  1  n     n  1  n    Tổng quát: b) Tính tổng sau: 1 Sn     1.2.3.4 2.3.4.5 n  n 1  n    n   Nhận xét đề - Tử số hạng - Mẫu số hạng tích số tự nhiên liên tiếp - Số hạng tổng quát có dạng n  n  1  n    n  3 Ta có: 1  k  k  1  k    k  3 k  k  1  k    k      k  3  k 1 1     k  k  1  k    k  3  k  k  1  k    k  1  k    k    Do đó: 1 1      1.2.3.4  1.2.3 2.3.4  1 1      2.3.4.5  2.3.4 3.4.5   1 1     n  n  1  n    n  3  n  n  1  n    n  1  n    n    Cộng vế với vế đẳng thức ta  1 1 1 1 Sn           1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n  n  1  n    n  1  n    n  3  15 =  1 1     1.2.3  n  1  n    n    Bài 2: 1 1     27.28.29.30 Tính nhanh tổng sau 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 Lời giải 1 1   ,   , , Nhận xét: 12 3 3 4 2 3 4 3 4 4 5 3 4 5 1   27 28 29 28 29 30 27 28 29 30 Gọi biểu thức phải tính A , ta được: 1 4059 3A    2 3 28 29 30 28 29 30 Vậy A 1353 8120 c) Bài toán tổng quát 1 Sn     1.2.3 m 2.3.4  m 1 n  n 1  n    n  m  1 Sn  Ta có   1    m   1.2.3  m  1  n  1  n    n    n  m  1  Với m 2;3; 4; n 1; 2;3; Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy tổng 1 Sn     1.2.3 2.3.4 n  n 1  n   Thì  4   n   n 2 2  Sn     1.2.3 2.3.4 n  n  1  n       1  1  S n             1.2 2.3   2.3 3.4   n  n  1  n  1  n    1   1.2  n  1  n    1 1  Sn      1.2  n  1  n    16 Như vậy: * 2m 1   a  a  m   a  2m  a  a  m   a  m   a  2m  * 3m 1   a  a  m   a  2m   a  3m  a  a  m   a  2m   a  m   a  2m   a  3m  Dạng 5: Tính tổng tự nhiên dạng tích Bài 1: a) Tính tổng A 1.2  2.3  3.4   98.99 2 2 b) Sử dụng kết câu a, tính: B 1     97  98 c) Sử dụng kết câu a, tính: C 1.99  2.98  3.97   98.2  99.1 Lời giải a) Để tách số hạng thành hiệu hai số nhằm triệt tiêu cặp hai số, ta nhân số hạng A với Thừa số viết dạng  số hạng thứ nhất,  số hạng thứ hai,  số hạng thứ ba, …., 100  97 số hạng cuối Ta có: A 1.2(3  0)  2.3   1  3.4      97.98  99  96   98.99  100  97   1.2.3  2.3.4  3.4.5   97.98.99  98.99.100   (0.1.2  1.2.3  2.3.4   96.97.98  97.98.99) 98.99.100 Suy A 323400 Tổng quát ta có: 1.2  2.3   n  n  1  n  n  1  n   2 2 b) B 1     97  98 1  1    1    1   97  98  1  98  99  1  1.2  2.3  3.4   97.98  98.99        97.98  A  98.99 323400  4851 318549 2 2 Tổng quát:     97  98  n  n  1  n   n  n  1 n  n  1  2n  1   c) C 1.99  2.98  3.97   98.2  99.1 1.99   99  1   99     98  99  97   99  99  98  17  1.99  2.99  3.99   98.99  99.99    1.2  2.3   97.98  98.99  99      99   A 99 99.100 98.99.100 99.100.101   166650 Tổng quát: 1.n   n  1   n      n  1  n.1  n  n  1  n   Bài 2: Tính tổng B 1.2.3  2.3.4  3.4.5  17.18.19 Lời giải Ta có: B 1.2.3.4  2.3.4   1  3.4.5     17.18.19  20  16  B 1.2.3.4  2.3.4.5  1.2.3.4  3.4.5.6  2.3.4.5   17.18.19.20  16.17.18.19 B 17.18.19.20 B 17.18.19.5 29070 Bài 3: Tính nhanh tổng sau a) D 1.4  2.5  3.6   100.103 b) E 1.3  2.4  3.5   97.99  98.100 Lời giải a) Ta có: D 1   3    3    3   100  100   D  1.1  1.3   2.2  2.3    3.3  3.3     100.100 100.3  D  1.1  2.2  3.3   100.100       100  Đặt A 1.1  2.2  3.3   100.100 B 1      100 2 2 Ta có : A 1     100  A 1  1    1    1   100  101  1  A  1.2  2.3  3.4   100.101       100   D  1.2  2.3  3.4   100.101      100  Đặt C 1.2  2.3  3.4   100.101 , Tính tổng C ta : 3C 1.2     2.3   1  3.4      100.101  102  99  3C  1.2.3  0.1.2    2.3.4  1.2.3    3.4.5  2.3.4     100.101.102  99.100.101 3C 100.101.102  0.1.2 100.101.102  C 100.101.34 18 B 1      100  100  1 100 101.50 5050 Vậy D C  B 100.101.34  5050 348450 b) Ta có: E 1             97  97    98  98   E  1.1  1.2    2.2  2.2    3.3  3.2     97.97  97.2    98.98  98.2  E  1.1  2.2  3.3   97.97  98.98         97  98  Đặt A 1.1  2.2  3.3   98.98 B 1      97  98 Tính tương tự câu a thay vào E Bài 4: Tính nhanh tổng sau a) F 1.3  5.7  9.11   97.101 b) G 1.2.3  2.3.4  3.4.5   98.99.100 Lời giải a) F 1              97  97   F  1.1  1.2    5.5  5.2    9.9  9.2     97.97  97.2  F  1.1  5.5  9.9   97.97        97  Đặt A 1.1  5.5  9.9   97.97, B 1     97 , tính thay vào F b) 4G 1.2.3     2.3.4   1  3.4.5      98.99.100  101  97  4G  1.2.3.4  0.1.2.3    2.3.4.5  1.2.3.4    3.4.5.6  2.3.4.5     98.99.100.101  97.98.99.100  4G 98.99.100.101  G  98.99.100.101 Bài 4: Tính nhanh tổng sau a) H 1.99  2.98  3.97   50.50 b) K 1.99  3.97  5.95   49.51 Lời giải a) H 1.99   99  1   99     50  99  49  19 H 1.99   2.99  1.2    3.99  2.3     50.99  49.50  H  1.99  2.99  3.99   50.99    1.2  2.3  3.4   49.50  Đặt A 99      50  , B 1.2  2.3  3.4   49.50 Tính A B thay vào H b) K 1.99   99     99     49  99  48  K 1.99   3.99  2.3   5.99  4.5     49.99  48.49  K  1.99  3.99  5.99   49.99    2.3  4.5   48.49  Đặt A 99      49  , B  2.3  4.5  6.7   48.49  Tính A B thay vào K Bài 4: Tính nhanh C 1.3  3.5  5.7   97.99 Lời giải C 1              97  97   C  1.1  1.2    3.3  3.2    5.5  5.2     97.97  97.2  C  1.1  3.3   97.97        97  Đặt A 1.1  23.3  5.5   97.97, B 1      97 Tính A B thay vào C Bài 4: 1.2  2.4  3.6  4.8  5.10 Tính 3.4  6.8  9.12 12.16 15.20 Lời giải Ta có 3.4  6.8  9.12  12.16  15.20 6.1.2  6.2.4  6.3.6  6.4.8  6.5.10 6  1.2  2.4  3.6  4.8  5.10  1.2  2.4  3.6  4.8  5.10 1.2  2.4  3.6  4.8  5.10   3.4  6.8  9.12 12.16 15.20  1.2  2.4  3.6  4.8  5.10  Bài 5: 2 2 2 Biết     10 385 Tính tổng S 2    20 Lời giải 20