8 ôn tập toán

Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn §5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ  I Bất phương trình vơ tỷ B    A  B   A 0   A  B2   B 0   A B   A 0   A B   A  B  A  B3 A   A 0  B 0 A B      A  B B    B 0  A 0 A B       A B B   A  B  A  B3 2n B  2n   A B 0  B 0    A 0    B  B      B  A  B A   A  A 0  A 0    B B    B 0 A B  A  B  Nhóm bất phương trình đưa dạng Ví dụ 273 Giải bất phương trình: 5x   x   2x  () Phân tích Phương trình có dạng A  B  C , ta cần đặt điều kiện, chuyển vế cho hai vế dương bình phương lên đưa dạng Từ có lời giải chi tiết sau:  Lời giải Điều kiện: x 2 ()  5x   x   x   x  3x   (2 x  4)( x  1)  (2 x  4)( x  1)  x  ( i )  (2 x  4)( x  1)  ( x  2)  x  10 x    x  10 Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x   2;10  Nhận xét Trong (i) vế dương nên tơi bình phương trực tiếp mà khơng sử dụng cơng thức A  B Ví dụ 274 Giải bất phương trình: 2( x  16) x  x  7 x () x  Lời giải Điều kiện: x 4 ()  2( x  16)  x    x   x  16 0   10  x  212 2( x  16)  10  x (i) 10  x 0  x 5  x5    2 2( x  16)  (10  x) 10  34  x  10  34 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 x    x  10   10  34  x 5 34 Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm cần tìm x  (10  34; ) Nhận xét Trong (i) với điều kiện x 4 10  2x chưa biết dấu nên ta phải áp  A 0  B 0    dụng công thức: A  B    A  B B   2x   Ví dụ 275 Giải bất phương trình:  x   10 x  3x  0 x     2x2  x    Lời giải Ta có: ()    10 x  3x  0 x       x 3  x   10 x  3x  0  x 3     1   10 x  x       x   x      3 x  x    1 0   x    x   x 4  x   2 3 1 5 Kết luận: Tập nghiệm cần tìm x   ;    3  3 2 ()  x 3    x   B  2n Nhận xét Bất phương trình có dạng : A B 0  B 0    A 0 Thơng thường học sinh quên trường hợp B 0 bỏ sót nghiệm Ví dụ 276 Giải bất phương trình: x2  3x   2x  () 2 x   2 x      Lời giải Ta có: ()   2 2 x  x    x  3x   x   2 x    x     2 x  3x    x    x   x  3x  4 x  x     x   5   x  x    x 1 x     x   x  2 2    x   x 2  213 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đoàn    3 Kết luận: Tập nghiệm cần tìm x    ;     1;    2;     2  Nhận xét Trong giải trên, sử dụng công thức tương tự dạng  B  B  1      Ngồi ra, giải cách: tìm , cụ thể: A B A   A B điều kiện chia khoảng điều kiện để xác định mẫu dương hay âm bỏ mẫu để đưa dạng  Nhóm bất phương trình sử dụng chia khoảng & tách Ví dụ 277 Giải BPT: () x  x  15  x  x  15  x  18 x  18 Đại học Dược Hà Nội Phân tích Nhận thấy biểu thức có nghiệm chung x 3, làm cho ta suy nghĩ đến việc tách căn, đặt thừa số chung có lời giải sau:  x 5  x 3  x  x  15 0  x 5      Lời giải Điều kiện:  x  x  15 0   x 3  x    x   4 x  18 x  18 0   x 3   x 3  x  ()  ( x  5)( x  3)  ( x  5)( x  3)  ( x  3)(4 x  6) (1)  Trường hợp Nếu x 3 (1) ln nên x 3 nghiệm (1)  Trường hợp Nếu x 5, suy ra: x  0; x   0; x   0; x   thì:  x 5  x 5 (1)     x  3( x   x  5)  x  x  2 x  x  25 4 x   x 5  x 5 17  17     x   x   5;   x  25  x  x   3  x  25 x    Trường hợp Nếu x  5, suy ra: x   0, x   0, x  0, x   : (1)   (5  x)(3  x)  (  x  5)(3  x)  (3  x)(6  x)  x (  x   x  5)   x  x  x   x      x   x    x  x  x  25 6  x  x     x  25 3  x  x    2  x  25 x  x   x    17  x   x    ;  5  x    17  Kết luận: Hợp trường hợp, tập nghiệm x   3    ;     5;    3 214 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 Ví dụ 278 Giải BPT: x  x   x  x  2 x  x  ()  Lời giải Điều kiện: x 1 x 4 ()  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  3) 2 ( x  1)( x  4) (1)  Trường hợp Nếu x 1 (1)  x 1 nghiệm (1)  Trường hợp Nếu x  x   0, x   0, x   0, x   : (1)  (1  x)(2  x)  (1  x)(3  x) 2 (1  x)(4  x)   x (  x   x ) 2  x  x  (2)  x   x 2  x   x   x  Ta có: x     2 x  3 x 2 4 x   x   x Từ (2), (3), suy (2) vô nghiệm x   Trường hợp Nếu x 4 x   0, x   0, x   0, x   : (1)  x  1( x   x  3) 2 x  x   (3) (4) x   x  2 x   x   x   Ta có: x 4    x   x  2 x   x   x  Từ (4), (5), suy (5) x 4, nên ln có x   4;   (5) Kết luận: Hợp ba trường hợp, suy tập nghiệm x   1   4;   Nhận xét Tương tự ví dụ trước, tơi dùng phương pháp chia khoảng – tách Nhưng (2), (4) biểu thức chứa x bậc đồng hệ số nên ta dễ dàng so sánh đánh giá để kết luận tập nghiệm trình bày Nếu khơng phát điều này, ta giải cách bình phương hai vế (do ln dương) để đưa bất phương trình trình bày phần lý thuyết dài dịng Ví dụ 279 Giải bất phương trình: x2  x   x  x  x   x 1  x 3  x  x  0     Lời giải Điều kiện:  2 x  x  0  x   x 1  2  x 1   x 1    x 3  ()  ( x  1)( x  3)  ( x  1)(2 x  1) x   Trường hợp Nếu x 1 (1) x 1 nghiệm (1)  Trường hợp Nếu x 3 x   0, x  0, x   0, lúc đó: (1)  x  1( x   x  1) ( x  1)2  x 3 () (1) 2x   x  x   x  : vô nghiệm x   x   0, x 3  Trường hợp Nếu x  x   0, x   0, x  0, lúc đó:  x 1 215 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn (1)    x(  x   x )  (  x )2  3 x   x   x  x   x   x   x  (3  x)(1  x) 1  x 1    (3  x)(1  x) 0 : ln x  , nên ln có x   ;    2  1  Kết luận: Hợp ba trường hợp, tập nghiệm x   1   ;    2   Nhóm bất phương trình có mẫu số Đối với bất phương trình chứa mẫu số, hướng xử lý thường gặp xét mẫu số khử mẫu Nghĩa mẫu dương bỏ mẫu làm cho bất phương trình khơng đổi dấu, cịn mẫu âm bất phương trình đổi dấu Cịn thật chưa biết dấu khơng thể bỏ mà cần phải chia hai trường hợp âm, dương bỏ mẫu đưa bất phương trình dạng tích – thương xét dấu Do đó, bỏ mẫu ta cần lý luận chứng minh mẫu ln dương hay ln âm Cơng cụ để đánh giá điều thường đưa đẳng thức với: ( ax b)2  c  c , c  ( ax  b)2  c , a  (bx  c) a sử dụng phương pháp phản chứng bất đẳng thức cổ điển cực trị hàm số,… Để làm rõ ý tưởng này, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 280 Giải bất phương trình:  x2  3x   x2  x  1 ()  Lời giải Điều kiện: x  3x  0  x  x  Ta có:  x  x  1  (2 x  1)2  1   0, x   ()   x  3x    x  x  1, (do :  x  x   0)   x2  x   x2  x   x2  x   x2  x   x  x  x   x     13  x  x   x   x  x  0    x  x  x     x2  x   4x2   13   ;    Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm cần tìm x      Ví dụ 281 Giải bất phương trình: 216 x( x  2) ( x  1)3  1 x () khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821  x( x  2) 0; x 0   x 0, suy ra:  Lời giải Điều kiện: ( x  1) 0   ( x  1)  x 0 ()  x( x  2)  ( x  1)3  ( x  1)3  x  x  x( x  2) ( x  1)  x( x  1)  x  x3  x2  x   2( x  1) x( x  1) 0, (do : x 0  x   0)  ( x  1)( x  x  1)  2( x  1) x( x  1) 0  ( x  1)( x  x   x  x ) 0    x  x   x  x 0  ( x  x )  x  x  0  ( x  x  1) 0  2 x  x  0  x  x  0  x   1  1 x   2 5  Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x  Ví dụ 282 Giải bất phương trình: Ta có: x 1 x 2( x  x  1) 1 2( x  x  1)  x  ( x  1)   1, suy ra:  Điều kiện: x 0 Khi đó: ()  x  x 1  () (ĐH A – 2010) 2( x  x  1)  2( x  x  1) (1)  Lời giải Do x 0 không nghiệm (1), nên chia hai vế cho x 0: 1  1  x  t     x    0, (2) Đặt t  x  x x x x  1  tt0  1 (2)  tt  2(tt2  2)  0  2  1     tt  2t  0 (  1) 0 (1)  x t 1   t  1, suy ra: t  0 x x   x 5 3  x  2 Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x  3  a  x 0  2( x  x  1) 2 x2  2(1  x) 2 a  2b2  Lời giải Đặt:  b   x  a  b 0 a  b 0 (1)  2a  2b2 a  b     a b 2 2 a  2b ( a  b) ( a  b) 0 Suy ra: x 1  x  x 5 3  x  2 217 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đoàn Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x  2tt4  2tt2    Lời giải Đặt t  x 0 (1)   tt  tt 1tt0  2 (tt 2tt  2tt  tt t 5  2 x    0   2   1) (   1) 0 3   1    0 2    0 5 3  x  2 Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x  Ví dụ 283 Giải bất phương trình: x ( x   x2 ) x x 1 x2  x3 3  () 1  Lời giải Điều kiện: x 1 Ta có: x x   ()  x  x x x   x ( x   x ) x x   x x x   x  0, x   0;1 x2  x3  x  x 1  x(1  x )  x  x 1  x(1  x2 )  x(1  x )  x  x  x   x 0  ( x )2  x  x2  (  x2 ) 0  ( x   x )2 0  x   x2 5  x  x  0   x : thỏa mãn điều kiện 0 x 1 Kết luận: Bất phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ 284 Giải bất phương trình:  Lời giải Điều kiện: x 0, suy ra: x x 5  1 2( x  x  1)  () 2( x  x  1)     0, nên: ()  x  x  x  12 x    x   x  12 x   x   Trường hợp Nếu x 0, (1)    nên x 0 nghiệm (1)  Trường hợp Nếu x  0, chia hai vế (1) cho (1)  (2)  218 (1) x  0, ta được: 1  1  x  t    x    12   0, (2) Đặt: t  x  x x x x  t   4  t  4  t 0 2tt2  16       2t  16 0 tt   t  x khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821  ( x )2  x      x    x  17   x  33  17     x   x  Kết luận: Hợp trường hợp, tập nghiệm BPT x   0; 33  37   1;   Lưu ý Ta giải (1) theo phương pháp lũy thừa  Ví dụ 285 Giải bất phương trình:  Lời giải Điều kiện: x 1  Trường hợp Nếu x   0;1 1  () x 2( x  x  1)  x 2( x  x  1)  x  x  ( x  1)2   x  x   nên () Suy ra: x   0;1 tập nghiệm ()  2( x  x  1)  x  x  ( x  1)2   x   Trường hợp Nếu x      x   ()   x   2( x  x  1)  x  x   x (1)  tt 2( x  1)  x  x 0  1   x     0, (1) Đặt t  x  x x x  tt 0 2tt2   0  2       tt  2t  0  t 1   x x 1  ( x )2  x  0  x x t  x    (  1) 0 1 3  x  2    Kết luận: Hợp trường hợp, tập nghiệm BPT x   0;1      Nhận xét Ở lời giải trên, xác định lượng 2( x  x  1)  x  0, cịn chưa xác định nên chia trường hợp x   Ví dụ 286 Giải bất phương trình:  Lời giải Ta có: x2 2( x  x  1)   x1 x   để giải x ()  1 3 2( x  x  1)    x        2 2  2( x  x  1)  x  Trường hợp Nếu x    x  Điều kiện: x 1 Khi đó: ()  x   (1)  ( x  2)( x  1)  2( x4  x2  1)   (1) 2( x  x  1) x  x  219 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đoàn  x  x  0 x  x  0   2 2( x  x  1) ( x  x  1)  x  x  x  x  0  x  x  0  x  x  0 1    x : thỏa mãn điều kiện 2 ( x  x  1) 0  x  x  0  Trường hợp Nếu x    x    x   (1)  ( x  2)( x  1)  2( x  x  1)     x    x           2    ( x  x  1) 0    Kết luận: Hợp hai trường hợp, suy tập nghiệm x    ;1      Nhận xét Ở lời giải trên, xác định lượng 2( x  x  1)   0, cịn x  chưa xác định nên chia hai trường hợp x   x   để giải Ví dụ 287 Giải bất phương trình: (2 x  1) x x  (2  x )  x   x 1 ()  Lời giải Điều kiện: x 1 Ta có: x  (2  x )  x   x 2 x   x  x  x  (  x ) 2( x   x )   x ( x   x ) ( x   x )(2   x )  0, x   0;1 ()  (2 x  1)  x ( x   x ) (2   x )   ( x )2  (  x )2   x ( x   x ) (2   x )   ( x  x ) ( x   x )  x ( x   x ) (2   x ) ( x  x ) x 2   x , : x   x  0, x   0;1  x   x(1  x) 2   x  x    x (1  x) : x   0;1 Kết luận: Tập nghiệm cần tìm bất phương trình x   0;1 Ví dụ 288 Giải bất phương trình: x2  x   x  x3 6( x  5x  2) 2( x2  10) 0 ()  Lời giải Giả sử: x   2( x  10)  ( x  3)2  2( x  10)  x  x  11   ( x  3)2   0, x  , suy ra: x    x  x  0   x 3 Do x   Điều kiện:  x 0  x  x  0  220 2( x  10)  2( x  10)  nên: khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 ()   x2  x   x  6( x  5x  2) 0 x  x   x  6( x  5x  2) Do vế không âm nên lũy thừa:  x  x   49 x  14 x( x  x  6) 6( x  5x  2)  14 x( x  3)( x  2) 5 x  18 x  (i )  14 ( x  x)( x  2) 5( x  x)  3( x  2) (1) Do với x 3  x   nên chia hai vế (1) cho x   0, ta được: (1)  14   x2  3x x  3x x  3x x2  3x 5    5  14   0 x2 x2 x2 x2 x  3x  3 Do x2 x2  3x 0 nên ta xét x2 x2  3x 3 x2 x  3x 9  x  12 x  18 0   x 6  x2 Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm BPT x   3;   Bình luận: Trong ví dụ trên, tơi dùng phương pháp phản chứng để chứng minh  mẫu số x   2( x  10)  0, cịn ví dụ trước dùng phương pháp biến đổi đẳng thức đưa dạng ( ax b)2  c  c dạng c  ( ax  b)2  c để chứng minh mẫu số dương âm Ngoài ra, phép biến đổi (i) sang (1) giải quen thuộc giải phương trình đẳng cấp dạng:  f ( x)  .g( x)  f ( x).g( x) Tương tự, bất phương trình:  f ( x)  .g( x)   f ( x).g( x) ta giải sau: Xét g(x) = giải tìm nghiệm Với g(x) > 0, chia hai vế cho g(x), ta được: f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)               Đây bất phương trình bậc g( x ) g( x ) g( x) g( x) hai với ẩn f ( x)  mà biết cách giải Thơng thường tích f(x).g(x) chưa g( x) phân tích sẵn  ,  ta tìm phương pháp đồng (xem lại phương pháp giải  phương trình đẳng cấp dạng  f ( x)  .g( x)  f ( x).g( x) Ví dụ 289 Giải bất phương trình:  Lời giải Điều kiện: x  x  5x2   x  x  x2  x   2x  x  1 ()  x  x  0 221