7 ôn tập toán

Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn II Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để giải phương trình vơ tỷ Ý tưởng giải tốn  Biến đổi phương trình về: f ( x) a , ( a const a h( x)), mà ta dùng bất đẳng thức chứng minh kết f ( x) a f ( x) a Lúc đó, nghiệm tất các giá trị x thỏa mãn dấu " " xảy  Biến đổi phương trình dạng f ( x) g( x), mà ta dùng BĐT  f ( x) a  f ( x) a hay  , ( a const a h( x)) chứng minh được:   g( x) a  g( x) a  f ( x) a  Lúc đó, nghiệm của phương trình các giá trị x thỏa hệ:   g( x) a Các bất đẳng thức cổ điển thường sử dụng  Bất đẳng thức Cauchy:  Với a , b 0 thì: a  b 2 a.b Dấu " " xảy  a b  Với a , b , c 0 thì: a  b  c 3 a.b.c Dấu " " xảy  a b c  Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacôpxki): ( a.x  b.y )2 ( a  b2 )( x  y )  Với a , b , x , y ta ln có:   2 2  a.x  b.y  ( a  b ).( x  y ) a b x y Dấu " " xảy   hay   x y a b ( a.x  b.y  c.z)2 ( a  b2  c )( x  y  z )  Với x , y , z thì:   2 2 2  a.x  b.y  c.z  ( a  b  c )( x  y  z ) a b c x y z Dấu " " xảy    hay    x y z a b c     Bất đẳng thức véctơ: cho u ( a; b), v ( x; y), w ( m; n) đó:       a b  u  v  u  v Dấu " " xảy  u, v chiều    x y       a b  u  v  u  v Dấu " " xảy  u, v chiều    x y      a b  u v u.v Dấu " " xảy  u, v chiều    x y       a x m  u  v  w  u  v  w Dấu " " xảy     b y n ♦ Lưu ý Thơng thường, tơi sử dụng casio để tìm nghiệm của phương trình (điểm rơi) Dựa vào điểm rơi để ghép hợp lý sử dụng BĐT  Các ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Cauchy – Schwarz 186 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Ví dụ 233 Giải phương trình: () x    x x2  10 x  27 Tạp chí Tốn Học & Tuổi Trẻ số 402 2 Phân tích Do VP() x  10 x  27 ( x  5)  2 đánh giá vế trái VT()  x    x 2 khả sử dụng bất đẳng thức để giải cao Thật VT có dạng A  B với A  B  số, dấu nhận dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy Cauchy – Schwarz Nếu sử dụng Cauchy, số thức nhiêu có nhiêu hạng tử tích số Đối với thức x  có hạng tử, cần thêm hạng tử số dạng m.( x  4) với m x  5  (do dự đoán nghiệm x 5 casio phù hợp với dấu " " xảy vế phải) Ta làm tương tự với thức  x Điều kiện: x 6 a.b   Lời giải Sử dụng Cauchy dạng ab  VP() x  10 x  27 ( x  5)2  2 (1) Cauchy  ( x  4) x     2   VT  x    x 2 (2)  ( ) Cauchy  (6  x) x    x  1.(6  x)    2   x    x 2 , nên nghiệm phương trình () các giá Từ (1), (2), suy   x  10 x  27 2 trị để dấu " " (1), (2) đồng thời xảy  x 5 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 5  x   1.( x  4)   Lời giải Sử dụng Cauchy – Schwarz dạng a.x  b.y  ( a  b2 )( x  y )  Ta có: f ( x) x2  10 x  27 ( x  5)2  2  Mà: g( x) 1 x    x Cauchy  Schwarz  x    x 2 (1) (2)  x    x 2 , nên nghiệm phương trình () các giá Từ (1), (2), suy   x  10 x  27 2 trị để dấu " " (1), (2) đồng thời xảy  x 5 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 5 () Ví dụ 234 Giải phương trình: 16 x  6 x  x Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Nguyễn Văn Linh – Phú Yên 187 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đồn  Phân tích Do VT() 16 x   0, x  , nên phương trình có nghiệm cần điều kiện kéo theo x  x  x(4 x  1)   x  Sử dụng casio, tìm nên dựa vào điểm rơi để tìm trọng số hợp lý cho áp dụng Cauchy đảm bảo dấu đẳng thức xảy x   Đối với 2 mx 4 x  m 4 1 x  x 6 mx.(4 x  1).n   Khi x      Từ m.n n 2 n 4 x  có lời giải chi tiết sau:  Lời giải Điều kiện: x  nghiệm phương trình x  Cauchy VP() 6 x  x 3 x(4 x  1).2  x  x2  (1) VT() 16 x  4 x  x   (2 x  1)2 (2 x  x  1) 0 : đúng x  (2) Do nghiệm của phương trình () tất các giá trị làm cho dấu của đẳng 4 x 4 x  2  x  thức (1) (2) đồng thời xảy   2 x  0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x   () Ví dụ 235 Giải phương trình: x  x2  x  40  4 x  0 Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chun Lê Q Đơn – Ninh Thuận Phân tích Phương trình  x  3x  x  40 8 4 x  sử dụng casio, tìm nghiệm phương trình x 3 Vế phải có bậc bốn nên thức có hạng tử tích số Tức có 4 x   (4 x  4).16.16.16 có lời giải chi tiết sau:  Lời giải Điều kiện: x  0  x  ()  x  3x  x  40 8 4 x  (1) Cauchy x  52 x  13 (2) 2 Mà: x  x  x  40 x  13  ( x  3) ( x  3) 0 : đúng x  (3) Từ (2), (3), suy nghiệm (1) các giá trị làm cho dấu đẳng thức (2) 4 x  16  x 3 (3) đồng thời xảy    x  0 Ta có: VP(1) 8 4 x   (4 x  4).16.16.16  Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x 3 Ví dụ 236 Giải phương trình: 188  3x   x 2 x  x  () khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Phân tích Sử dụng casio, tìm phương trình có nghiệm x 0 Hình thức tốn khó cho việc sử dụng liên hợp, hàm số nên ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Nhưng sử dụng Cauchy biểu thức thức (bậc 1  x 0  x  ba) phải dương Với điều kiện 2 x  x  2 x ( x  1)   nên để phương trình có nghiệm cần điều kiện: 1  x   Do thêm bớt (1  3x).a.b , (1  x).c để áp dụng BĐT Cauchy với điểm rơi x 0 hạng tử tích thức nên a b 1  3.0 1, c 1  2.0 1 Từ định hướng này, ta có lời giải chi tiết sau: 1  Lời giải Điều kiện:   x   Cauchy   3x   •  (1  x).1.1  1  x  nhân  3 Ta có:    x  x 1  x (1) Cauchy  2x   •  (1  x).1  1  x  Dấu " " (1) xảy x 0  1 2 Mà: x  x  1  x  x (2 x  3) 0 : đúng x    ;  (2)  3  3x  x    Dấu " " (2) xảy x 0   x  x 1  x (1), (2), , nên nghiệm () tất các giá trị Từ suy ra:  2 2 x  x  1  x làm cho dấu " " (1), (2) đồng thời xảy  x 0 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x 0 Ví dụ 237 Giải phương trình: x  x    x  x  x  x  () Phân tích Sử dụng casio, nhận thấy phương trình có nghiệm x 1 Bài tốn có dạng A  B  đa thức, ta hồn tồn giải bất đẳng thức Cauchy cho thức sau cộng lại dựa vào chứng minh vế cịn lại sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Hiển nhiên cách cần dựa vào điểm rơi x 1 để ghép số hợp lý Từ phân tích này, có lời giải chi tiết sau:  1 5 1  x  x  0  x   Điều kiện:  2  x  x  0 ab  Dấu " " xảy a b  Lời giải Sử dụng Cauchy dạng a.b  189 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn Cauchy  Ta có:  x2  x Cauchy  x2  x   x  x   1.(  x  x  1)  x  x   1.( x  x  1)  (1)  (2)   VT()  x  x    x  x  x  (3) Dấu " " (3) xảy chi dấu " " (1), (2) đồng thời xảy  x  x  1  x  x  0  x 1  x      x 1  x 0  x 1  x  x  1  x  x 0 2 Ta lại có: VP() x  x  ( x  x  1)  ( x  1) ( x  1)  ( x  1) x  (4) Dấu " " (4) xảy x  0  x 1  x  x    x  x  x  (3), (4), ,  Từ suy ra:  x  x  x  nên nghiệm phương trình () các giá trị làm cho dấu " " (3), (4) đồng thời xảy  x 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 2 2  Lời giải Sử dụng Cauchy – Schwarch dạng a.x  b.y  ( a  b )( x  y ) VT() 1 x2  x   x  x   (12  12 )( x2  x   x  x2  1) 2 x Dấu " " (1)  x 1 x  x  x  x 1    x 1 xảy 1  x  VP() x  x  2 x  ( x  1)2  ( x  1)2 0 : đúng x   (2)  x  0  x 1  Dấu Dấu xảy  x  0 Từ (), (1), (2), suy nghiệm phương trình các giá trị làm dấu " " (1), (2) đồng thời xảy  x 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 " " Ví dụ 238 Giải phương trình: x   3x    x 12 Điều kiện:  x 5  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Cauchy  1 x 7   x    ( x  3).4  2  Cauchy 1 3x     3x    (3x  1).4  2  Cauchy  Ta có:   x 2 (5  x).4   x   190 (1) (2) (3) () khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Suy ra: (1)  (2)  (3)  x   x    x 12 (4) Từ (), (4), suy nghiệm phương trình các giá trị làm cho dấu đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời xảy  x 1 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x 1  Lời giải Cauchy – Chwarz dạng ax  by  cz  ( a  b2  c )( x  y  z ) Cauchy  SChwarz Ta có: x   x   20  x  12  12  2 24 12 (5) Suy nghiệm làm cho dấu đẳng thức (5) xảy ra: 20  x  x 1 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x 1  x   3x   Ví dụ 239 Giải phương trình: 3x   x  x  x x  (7 x  x  4)  Phân tích Nhận thấy x  nghiệm phương trình vế trái có nhiều phức tạp nên ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ba số để đánh giá VT  f ( x) Rồi dựa vào f ( x) điểm rơi x  để tách ghép vế phải nhằm chứng minh VP  f ( x) bất đẳng thức Cauchy dạng a  b 2 ab 3 x  0  x   Lời giải Điều kiện:  x 1  x  x 0 Áp dụng Cauchy – Schwarz dạng ax  by  cz  ( a  b2  c )( x  y  z ) có: (i) x   x  x  (  x) x2   12  12  (  x)2 x   x  x  x  Suy ra: 3x   x  x  x x   (5x  x)( x  2) (1) 2  (5 x  x)  2( x  2)  áp dụng bất đẳng   4  2 thức Cauchy cho hai số dương (5 x  x); 2( x  2), ta được: Ta có: VP (7 x  x  4)  Cauchy (5 x  x)  2( x  2)  (5 x  x).2( x  2) 2 (5 x  x).( x  2) (2)  x   x  x  x x   (5 x  x)( x  2)  , nên có Từ (1), (2), suy ra:  (7 x  x  4)   (5 x  x)( x  2)  nghiệm của phương trình đã cho tất các giá trị làm cho dấu đẳng thức 3x  x  x  x  (1), (2) đồng thời xảy   2 5x  x 2( x  2) Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x  191 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đồn Ví dụ 240 Giải phương trình: x  x  1  1 x x (MO Yugoslavia) () Phân tích Sử dụng casio tìm nghiệm xấu ta tiếp tục sử dụng casio tìm nhân tử bậc hai dạng x  x  chức table Đối với áp dụng Cauchy dấu đẳng thức xảy x  với nhân tử vừa tìm Cịn 1 x  1   x   1 x x  1  x  x  0 phù hợp x 1  ( x  1) áp dụng bất đẳng thức Cauchy x x x  x  x  0 Từ có lời giải sau: x  Lời giải Điều kiện: x 1 1 1 x     Cauchy x  x    x    x x 1   Ta có:   VP()  x    x (1) x x x  Cauchy 1     ( x  1)  x  x x  (  ) Suy nghiệm của phương trình tất các giá trị làm cho dấu đẳng thức đạt dấu đẳng thức  1 x  x 1 1  x  x  0  x   x  (1) xảy  2  x   x Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  Ví dụ 241 Giải phương trình: Phân tích Do biểu thức: 4 1  x  x   x   4  x  x x x  30 x  x   (4  x)( x  2)  (4  x).( x  2) , giúp ta ab phù hợp với điểm rơi x 3 tìm casio x   4  x thuộc dạng A  B có A  B số nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cơng việc cịn lại tách ghép x x hợp lý dựa vào điểm rơi x 3 Nếu dựa vào điểm rơi này, đa 3x số học sinh áp dụng 3.x  khó khăn cho việc cịn lại Do ta ước lượng tổng hai đánh giá 3, nên ta áp dụng Cauchy cho x x cho suy nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: 192 ab  khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Cauchy x 3x 27  x để VT x  30, tức: x 3x 2 27.x  27  x , đảm bảo dấu " " xảy vị trí x 3 có lời giải chi tiết sau:  Lời giải Điều kiện: x 4 Cauchy 4 xx 1 Dấu " " của (1) xảy chi x 3 Ta có:  x2  x   Mặt khác: (4  x).( x  2)  (1) Cauchy  SChwarz x   4  x 1 x   4 x Cauchy  SChwarz  x    x   2( x    x ) (12  12 )( x    x) 2 (2) Dấu " " của (2) xảy chi x 3 Cauchy Ta lại có: x 3x 2 27.x  27  x Dấu " " của (2) xảy chi x 3 (3) (1)  (2)  (3)  VT( )   x  x   x   4  x  x x x  30 VP( ) Suy nghiệm của phương trình các giá trị làm cho dấu " " (1), (2), (3) đồng thời xảy  x 3 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 3 Ví dụ 242 Giải phương trình:  x2  x2   x2   x 2x2 () Phân tích Sử dụng casio, tìm phương trình có nghiệm x 2 Do ta cần thêm trọng số để áp dụng bất đẳng thức Cauchy đảm bảo dấu " " xảy 1 2   (8  x ) 4 (chọn m 4 vị trí x 2 Với  x  (8  x ) m  m 2 sau áp dụng Cauchy có dấu " "  x m , với x 2  m 4) Ta làm x2  x2  x2   m  2  có lời giải sau: 2 2x 2x 2x2 m   2 x    Lời giải Điều kiện:   x 2 tương tự cho   x   (8  x ) 4  x2  x2     x2 x2 Ta có: Cauchy  Cauchy  12  x x2  3  2 (1) x2     4 x x2 (2) x  15 x (3)    4 x2 2x2 Dấu " " (3) xảy dấu " " (1), (2) đồng thời xảy (1)  (2)  VT()   x  193 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đoàn 8  x 4   x 4   x2     x 2    x 4  2x 2  x 15 x x   1            0 Ta lại có:  x 4 x 2   x 2 (4) x   0 (4)  x 2 Dấu " " xảy    0  x x  15 x 1  x2      , nên nghiệm 4 x2 x 2x2 phương trình () các giá trị làm cho dấu " " (3), (4) xảy  x 2 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x 2 Từ (3), (4), suy ra:  x2  () Ví dụ 243 Giải phương trình: x  x  x  x Phân tích Sử dụng casio tìm phương trình có nghiệm x 1 x 0 không nghiệm nên ()   x  x x   Nhận thấy vế phải có dạng x nghịch đảo gợi ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy, vế trái sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Cchwarz lần triệt tiêu biến x có lời giải chi tiết sau:  Lời giải Điều kiện:  x 0   x  4 Do x 0 không nghiệm nên ()   x  x x  (1) x  Cauchy (2)  x   x  2 x x Ta có:   4 4 1  x  1.x  2  x  x  2 (2  x )  x 2 (3) Nghiệm phương trình (1) các giá trị làm cho dấu " " (2), (3) đồng   x  x  x   thời xảy    x 1   x x  Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x 1 Ví dụ 244 Giải phương trình: x 1  4( x   x  2) 3( x   1)2 3  Lời giải Điều kiện: x 2 Suy ra: x   x   0, x 2 ()  x   3 ( x   x  2)( x   1) 194 () (1) khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Đặt a  x  1, b  x  , ( a  b 0) Khi đó: (1)  a  Ta có: a  3 ( a  b)(b  1)2 (2)  b 1  b 1 ( a  b)   1    2 ( a  b)(b  1)     ( a  b)(b  1) Cauchy  b  1  b  1  4 ( a  b)   3 (3)        ( a  b)(b  1) Suy nghiệm của phương trình (2) các giá trị làm cho dấu " " (3) a 2  x  2    x 3 xảy   b 1  x  1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x 3 3 kỹ thuật tách cặp nghịch đảo để Nhận xét Việc đánh giá a  ( a  b)(b  1)2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy Việc áp dụng dựa theo ý tưởng: “tách phần nguyên theo mẫu số để sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy số biến số giống (hoặc gần giống) vế phải” Bạn đọc tìm hiểu rèn luyện bất đẳng thức đề cương học tập toán 10 tác giả trang web: w.w.w.mathvn.com, trang 115 Ví dụ 245 Giải phương trình: 3x   x  (1  x)  x  x   2( x  1) 3 x () Phân tích Sử dụng casio, tìm nghiệm phương trình x 1 Vế trái có dạng phân số với tử số dạng nên nghĩ đến việc áp dụng BĐT Cauchy dạng A  B  f ( x) Nên cần đánh giá mẫu số ? để phân số dấu  biểu thức mẫu có chứa 2( x  1)  (12  12 )( x2  12 ) , gợi ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Chwarz viết ngược dạng: ( a  b )( x  y ) a.x  b.y Kiểm tra lại thấy dấu " " xảy x 1, phù hợp với dự đoán casio nên hướng  Lời giải Điều kiện: x 1 Cauchy  1 3x   x    (3 x  1) 4   2  x   x  x  Ta có:  Cauchy  x    ( x  3) 4  x   2 3 x  4  x 1 Dấu " " (1) xảy   x  4 Mà: x   2( x2  1) x   (12  12 )( x  12 ) Cauchy  Schwarz  x   x  2( x  3) Dấu " " xảy x 1 195 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 0 x2   x  x  2 y  x  4x  , suy hệ phương trình:  Đặt y  2x   x   1  y  x2  2 Lấy (2)  2.(1)  (  x  x)       y  y  x x   Cauchy  Schwarz     x  x 3 •  x  (  2).( x 2) Ta có:  Cauchy  Schwarz 2 2 •   (  2)     3  x x2 x x  Lời giải Điều kiện:  x 0  (1) (2) (3) (4) (5)  2 Lấy (4)  (5)  VT(3) (  x  x)      6 (6) x x  VP(3) y  y  6  ( y  1)2 ( y  y  3) 6  ( y  1)2  ( y  1)   6 (7) Do nghiệm của phương trình (3) các giá trị làm cho dấu đẳng thức của (6), (7) đồng thời xảy  dấu đẳng thức (4), (5), (7) đồng thời xảy ra, tức:  x2  4x    x  x y  1   x         x  2 x  x    2x x x x   x  x  0  ;  1     Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x  Ví dụ 248 Giải phương trình: 3x  x   5x  10 x  14 4  x  x () Phân tích Để ý biểu thức ngồi đưa dạng đẳng thức 2 dạng a 2 ab  b ( a b) 0 kết hợp với dự đoán nghiệm x  casio nên có lời giải chi tiết sau:  Lời giải Điều kiện:  x  x 0 ?!    x   ()  3( x  1)2   5( x  1)2  5  ( x  1)2 (1) VT  3( x  1)2   5( x  1)2    5 (2) (1) Ta có:  (3) VP(1) 5  ( x  1) 5 Suy nghiệm phương trình đã cho các giá trị làm cho dấu đẳng thức (2), (3) đồng thời xảy x  Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  197 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn Ví dụ 249 Giải phương trình:  x  x4  x  x ( x  1)2   x () Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 lần – THPT Chuyên Đại học Vinh  Lời giải Điều kiện:  x 0   x 2 ()  x   x x  x  ( x  x)2   Ta có: x   x  (1) 4  x  x 4, x    2;  Suy ra: x   x 2, x    2;  (2) Dấu đẳng thức (2) xảy x 0 x 2 Đặt t  ( x  x)2 , x    2;  nên suy ra: t    1;  Khi đó: (1)  x   x tt3  2  với t    1;  (3) Xét hàm số f (tt) t  2    1;  có f (tt) 3tt2  t0  0    22 f t2  max ( ) 2  Tính ff(  1)  1, ff(0) 2,  f t , (2)   27   1;2  Do x  x  ( x  x)2  2   ( ) 2 (4) Dấu đẳng thức (4) xảy x 0 x 2 Suy nghiệm của phương trình (1) các giá trị làm cho dấu đẳng thức (2) (4) đồng thời xảy  x 0, x 2 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x  2, x 0, x 2  Các ví dụ sử dụng bất đẳng thức véctơ Ví dụ 250 Giải phương trình: x  x   x  x  10  29 () Phân tích Các biểu thức thức đưa dạng bình phương, ta khơng làm ví dụ điểm rơi toán x  dò casio Nhưng để ý, biểu thức thức có dạng tổng bình phương (mơđun     véctơ) gợi ta sử dụng bất đẳng thức véctơ dạng: u  v  u  v Tức biến đổi phương   trình  ( x  1)2  2  ( x  1)2  32  29 chọn u ( x  1; 2), v ( x  1; 3)   Nhưng vế phải số nên ta cần điều chỉnh lại cách chọn véctơ u v để     triệt tiêu x tính u  v điều chỉnh u (1  x; 2), v ( x  1; 3) 2 tính chất số phương, ta ln có: ( x  1) (1  x) có lời giải chi tiết sau:  Lời giải Ta có: ()  ( x  1)2  2  ( x  1)2  32  29 (1)   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét hai véctơ u (1  x; 2), v ( x  1; 3) 198 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848     u  (1  x)2  2 u  v (2; 5)    ,  Suy ra:   2  v  ( x  1)2  32  u  v    29      2 2 Mà ta ln có: u  v  u  v  ( x  1)   ( x  1)   29 (2) Từ (1), (2), suy nghiệm của phương trình () các giá trị làm cho dấu " "   1 x   x  (2) xảy  u, v chiều  x 1 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x   Ví dụ 251 Giải phương trình: x2  x   x2  x   x2  12 x  13 ()  Lời giải Tập xác định: D  (1) ()  (2 x  1)2  12  ( x  1)2  2  (3 x  2)    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét hai véctơ: u (2 x  1; 1), v ( x  1; 2)   u  (2 x  1)2  12      u  v (3 x  2; 3)  u  v  (3 x  2)2  Suy ra:    v  ( x  1)2  2      Ta có: u  v  u  v  (2 x  1)2  12  ( x  1)2  2  (3x  2)2  32 (2) Từ (1), (2), suy nghiệm của phương trình các giá trị làm cho dấu " "   2x  1   x  (2) xảy  u, v chiều  x Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất: x   Ví dụ 252 Giải phương trình: x2  2x   Phân tích Phương trình  ( x  1)2  2  x  x  10  () ( x  3)2  12  với vế trái có dạng hiệu biểu thức bên có dạng tổng hai bình phương gợi ý ta sử dụng bất đẳng       thức véctơ dạng u  v  u  v với việc chọn u ( x  1; 2) v ( x  3;1)   tính u  v x triệt tiêu phù hợp với vế phải số có lời giải sau:  Lời giải Tập xác định: D  ()  ( x  1)2  2  ( x  3)2  12    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét hai véctơ: u ( x  1; 2), v ( x  3;1)   u  ( x  1)2  2      u  v (2;1)  u  v  2  12  Suy ra:    v  ( x  3)2  12  (1) 199 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đoàn     2 Ta ln có: u  v  u  v  ( x  1)   ( x  3)2  12  (2) Từ (1), (2), suy nghiệm của phương trình các giá trị làm cho dấu " "   x   x 5 (2) xảy  u, v chiều  x Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất: x 5 Ví dụ 253 Giải: 25 x  20 x  13  x  x  13  16 x  40 x  26 ()  Lời giải Tập xác định: D  (1) ()  (5x  2)2  32  ( x  3)2  2  (4 x  5)  12    u  (5 x  2)2  32 u  5x  2;        v  ( x  3)2  2 Chọn: v  x  3;      u  v  x  5; 1  u  v  (4 x  5)2  12      2 2 2 Ta có: u  v  u  v  (5x  2)   ( x  3)   (4 x  5)  (2) Từ (1), (2), suy nghiệm của phương trình () các giá trị làm cho dấu " "   5x  13   x  (2) xảy  u, v chiều  x3 13 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất: x   Ví dụ 254 Giải phương trình: x2  20 x  34  x2  x   x2  6 () Phân tích Phương trình  (2 x  5)2  32  ( x  1)2  2  x  6 với biểu thức có dạng f ( x)  a2 , gợi ta sử dụng bất đẳng thức véctơ          dạng u  v  w  u  v  w Cần biến đổi (2 x  5)2 (5  x)2 để biến x triệt tiêu vế phải số có lời giải chi tiết sau:  Lời giải Tập xác định: D  (2) ()  (2 x  5)2  32  ( x  1)  2  x  6    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét u (5  x; 3), v (1  x; 2), w ( x;1)    2 2 Suy ra: u  (5  x)  , v  ( x  1)  , w  x        u  v  w  6;  nên u  v  w 6       2 2 Có: u  v  w  u  v  w  (2x  5)   ( x  1)   x  6 (2) 200 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Từ (1), (2), suy nghiệm của phương trình các giá trị làm cho dấu " "    (2) xảy  u, v , w chiều  x 1 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất: x 1  vô tỷ Nhận xét Qua ví dụ, nhận thấy dấu hiệu nhận dạng giải phương trình              bất đẳng thức u  v  u  v ; u  v  u  v u  v  w  u  v  w biểu thức biến đổi dạng: ( ax b)2   () Lúc đó, ta cần chọn tọa độ véctơ dựa vào () theo cơng thức tính mơđun véctơ hợp lý Ví dụ 255 Giải phương trình: x 3x    x  2( x  1)( x  3) () Đề nghị Olympic 30/04 – THPT Bình Phú – Tp HCM Phân tích VT x x    x làm ta nhớ đến "hoành nhân hoành + tung   nhân tung", nghĩa tích hai véctơ u.v x 3x    x với véctơ u ( x; 1)  v ( 3x  2;  x ) Khi hiển nhiên liên quan đến bất đẳng thức véctơ dạng:      u.v  u v tính u v VP việc giải phương trình hướng   2 Thật u v  x  x   2( x  1)( x  3) VP có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện:  x 4 (1) ()  x 3x    x  x  x     u  x2  u ( x;1)    Chọn:   v ( 3x  2;  x )  v  ( 3x  2)2  (  x )2  x      Suy ra: u.v x x    x u v  x  x     Ta ln có: u.v  u v  x 3x    x  x  x  (2) Từ (1), (2), suy nghiệm của phương trình các giá trị làm cho dấu " "   x   x  x  3x    xảy  u, v chiều  3x  4 x  x 0  x 0    x 2 x 1  2 x (4  x )  x  x  x  x     Kết luận: So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm x 2, x 1  () Ví dụ 256 Giải phương trình:  x  3x   x  x   x Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Long An – Tỉnh Long An 201 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đoàn    Lời giải Điều kiện:  3x 0 Chọn: u (  x;1), v (  x ;  x )     u  x2   u v  x   x    Suy ra:       v   4x u.v  x  x   x     Ta ln có: u.v  u v   x  x   x  x   x (1) Từ (), (1), suy nghiệm của () các giá trị làm cho dấu đẳng thức (1)    3x 1 x xảy  hai véctơ u, v chiều    3x  x  x x  x 0  x 0  1    x : TMĐK 2 2  x  x (1  x ) ( x  2)( x  x  1)    Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x   1 Ví dụ 257 Giải phương trình: (3  x) x    x  40  34 x  10 x  x ()    Lời giải Điều kiện: x  Chọn: u (3  x;1) v ( x  1;  x )    u  (3  x)2  u.v (3  x) x    x    Suy ra:    2 v  4 x  u v  (3  x)   x  40  34 x  10 x  x     Ta có: u.v  u v  (3  x) x    x  40  34 x  10 x  x (1) Từ (), (1), suy nghiệm của () các giá trị làm cho dấu " " (1) xảy   3 x   (3  x)  x  x   u, v chiều  x  2x 3  x 0  x 3    x 2 2 (3  x) (5  x) x  2 x  17 x  49 x  46 0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm nhất: x 2 III Đưa tổng số không âm dạng A n Bn Dấu nhận dạng: Hệ số trước thức thường số chẵn Đưa tổng số không âm 202 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Dùng các biến đổi hoặc tách ghép (chủ yếu hằng đẳng thức) để đưa  A 0  2 dạng tổng các số không âm A  B  C  0   B 0  C 0  Biến đổi dạng A n Bn Biến đổi đưa phương trình dạng: an bn , (n   )  a b n lẻ n n  a b , (n   )  a  b n chẵn  Các ví dụ đưa tổng số khơng âm Ví dụ 258 Giải phương trình: x  2 x  11x  23 () Phân tích Nhận thấy hệ số trước dấu số chẵn nên có nhiều khả đưa dạng tổng hai số không âm đẳng thức: a2 2ab  b ( a b)2 phân tích nên xuất phát từ 2.a.b để thêm bớt dễ dàng  Lời giải Điều kiện: x  ()  ( x   x  1.2  2 )  2( x  x  9) 0  ( x   2)  2( x  3) 0  x   0    x  0  x  4  x 3   x 3 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 3 Ví dụ 259 Giải phương trình: x  x    x 11 () Phân tích Cũng xuất phát từ  2.2 x  3;  2.1  x đưa dạng : A  B2 0 có cách giải Ngồi ra, sử dụng casio tìm nghiệm x 1, ta sử dụng tách, ghép hợp lý để nhân lượng liên hợp đưa phương trình tích số có lời giải  x  0   x   Điều kiện:   x    Lời giải Đưa tổng hai số không âm ()  11  x  x    x 0  ( x   x   4)  (3  x   x  1) 0  x   0  ( x   2)2  (  x  1)2 0    x 1   x  0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x 1  Lời giải Liên hợp sử dụng casio tìm nghiệm x 1 ()  4( x   2)  2(  x  1)  ( x  1) 0 203 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đoàn  4( x  1)  x3 2 Xét hàm số f ( x)  f ( x)   x 1  ( x  1) 0     2x   x   4( x  1) x3 2  x  3( x   2)   2x   0 (i )  3  đoạn   3;  có:  2x     3  0, x    3;   2  x (  x  1)   3 Do hàm số f ( x) nghịch biến đoạn   3;   2  f ( x)  f (  3) 2 Suy   3;  hay VT( i ) 2 nên phương trình (i ) vơ nghiệm  2 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x 1 Nhận xét Qua hai lời giải, nhận thấy lời giải ngắn gọn dễ dàng Do bắt gặp phương trình vơ tỷ mà hệ số trước thức số chẵn, bạn ưu tiên phương pháp đưa tổng số không âm dạng A n Bn Ví dụ 260 Giải phương trình: x x   2 x  4 x  3x  ()  Lời giải Điều kiện: x  0 ()  (4 x  2.2 x x   x  3)  (1  2 x   x  1) 0 2 x  x  0 x  1)2 0    x 1 1  x  0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x 1 Bình luận Đây tốn đơn giản nhìn nhận với góc độ tổng số khơng âm với dấu hiệu có số chẵn trước thức Tuy nhiên, q trình giảng dạy, tơi đưa toán ra, đa số bạn học sinh sử dụng liên hợp quen tay với thao tác casio tìm nghiệm x 1 Hiển nhiên gặp nhiều rắc rối cho dù liên hợp thơng thường hay truy ngược dấu ?!  (2 x  x  3)2  (1  Ví dụ 261 Giải phương trình: x  x  x   x  0 ()  Lời giải Điều kiện: x  ()  ( x  x  1)  ( x  x  1)  ( x   x   1) 0  x  0   ( x  1)2  ( x  1)2  ( x   1)2 0   x  0  x    x   0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm nhất: x  Ví dụ 262 Giải phương trình: x  2( x  1) x  2 x2  5x   x  () 204 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 3 x  0  x    Lời giải Điều kiện:  x  x    ()   ( x  1)2  2( x  1) x   3x  1   x   ( x  2)(2 x  1)  x  1 0      x  x   ( x   x  1)2  ( x   x  1) 0    x 1  x   x  Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x 1 Ví dụ 263 Giải phương trình: x  12  x  4( x x    5x ) ()  Lời giải Điều kiện: x   ()  x  12  x   x x    5x 0  (4 x2  2.2 x 5x   5x  1)    2.2  x   5x   x  0   2 x  x  0  2  (2 x  x  1)  (2   x )  x  0  2   x 0  x 1   x  0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm nhất: x 1 Ví dụ 264 Giải: 12x  16 x   24 x  12 x  x  x2  x 4 x  x2  x  Lời giải Điều kiện: 24 x  12 x2  x 0  x  x 0  x  x2  x 0 ()   x  x(4 x  x  1)  x  x  1  (1  x  x  x  x)      x  x  (4 x2  x)(1  x )   x  0    ( 6x  x2  x  1)2  (1  4x2  4x )2  ( x2  4x   x )2 0  x  x  x  0  1   1  x  x 0  x  x  0  x     x  x   x 0 Kết luận: Thế vào điều kiện, phương trình có nghiệm x  Ví dụ 265 Giải phương trình: 3x  2x   x 1  2( x   x   5) 2 x    x   Phương trình  Lời giải Điều kiện:   x  0 205