ToĂn tò Picard y‚u trong khổng gian metric ƒy ı
ToĂn tò Picard y‚u ỡn trà 16 1.2 ToĂn tò Picard y‚u a trà 23 1.3 K‚t lu“n ch÷ìng 1
Trong mửc n y, chúng tổi thi‚t l“p mºt sŁ i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard y‚u ỡn trà trong khổng gian metric ƒy ı Ngo i ra, mºt sŁ v‰ dử sŁ ” minh hồa cho k‚t quÊ lỵ thuy‚t cụng ữổc thi‚t l“p. ành lþ 1.1.1 Cho (X; ) l mºt Ănh x⁄ GiÊ sò tỗn t⁄i sŁ khổng gian metric ƒy ı v T : X ! X l > 0 sao cho
2 X l hai i”m b§t ºng kh¡c nhau cıa T th…
(a; b) >3 : Chứng minh (1) LĐy a 0 2 X tũy ỵ, ta xƠy dỹng dÂy fa n g bði cổng thức a n+1 = T a n vợi mồi n > 0: °t n = (a n ; a n+1 ) vợi mồi n > 0 Tł
1(an; T an) = 1(an; an+1) 6 (an; an+1); n = 0; 1; ::::
2 2 nản theo giÊ thi‚t, ta cõ n+1
Khi õ 0 6 c n < 1 v n+1 6 c n n vợi mồi n > 0 i•u õ chứng tọ n6 c n 1 :::c 1 c 0 0 ; n = 1; 2; ::::
Do h m sŁ f(t) = t l tông trản [0; +1) nản c n 6 c n 1 vợi mồi n > 1. t+
M°t khĂc, vợi mồi m > n, ta cõ
(an; am) 6 (an; an+1) + (an+1; an+2) + ::: + (am 1; am)
V… lim 1 1 c 0c 0 n 0 = 0 nản n!1 lim (a n ; a m ) = 0: n;m!1 i•u õ chứng tọ fa n g l mºt dÂy Cauchy trong X Do t‰nh ƒy ı cıa
X nản fa n g hºi tử v• mºt i”m a 2 X: Ti‚p theo, ta ch¿ ra r‹ng vợi mỉi n > 0, ho°c l
B‹ng phÊn chứng, ta giÊ sò r‹ng tỗn t⁄i n > 0 sao cho
Theo bĐt flng thức tam giĂc, ta cõ n= (a n ; T a n ) 6 (a n ; a) + (T a n ; a)
2 2 i•u n y khổng xÊy ra Do õ, tł (1.1.1) suy ra vợi mỉi n > 0; ho°c l
Khi õ, ho°c l (1.1.2) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n ho°c (1.1.3) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n: GiÊ sò (1.1.2) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n; ta cõ th” chồn trong t“p vổ h⁄n õ dÂy fn k g ỡn iằu tông ng°t Tł õ suy ra dÂy fa n k g l d¢y con cıa d¢y fa n g v
Cho k ! 1 ta thu ữổc lim a n k +1 = T a M°t khĂc, do fa n k +1g hºi tử k!1
‚n a nản T a = a V“y a l i”m bĐt ºng cıa Ănh x⁄ T: N‚u (1.1.3) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n; chứng minh mºt cĂch ho n to n tữỡng tỹ nhữ trản ta suy ra a l i”m bĐt ºng cıa Ănh x⁄ T V“y T l toĂn tò Picard y‚u.
(2) GiÊ sò a; b l hai i”m bĐt ºng cıa T v a 6= b V…
0 = 2 (a; T a) < (a; b) nản theo giÊ thi‚t, ta cõ
(a; b) > 3 :ành lỵ ữổc chứng minh.
V‰ dử 1.1.2 Cho X l t“p hổp cõ ‰t nhĐt 2 phƒn tò H m (a; b) ữổc ành nghắa bði
3 6 Khi õ (X; ) l khổng gian metric ƒy ı.
X†t Ănh x⁄ T : X ! X ữổc xĂc ành bði T a = a vợi mồi a 2 X Vợi a; b 2 X; a 6= b, ta câ
Do õ ành lỵ 6 khổng Ăp dửng ữổc.
M°t khĂc, vợi mồi a; b 2 X; a 6= b; ta cõ
3 : i•u õ chứng tọ Ănh x⁄ T thọa mÂn cĂc i•u kiằn cıa ành lỵ 1.1.1 vợi
= 1 Hỡn nœa, T l toĂn tò Picard y‚u v n‚u a; b l hai i”m bĐt ºng khĂc nhau cıa T th…
V‰ dử 1.1.3 GiÊ sò X = f0; 1; 2g: X†t metric d : XX ! [0; +1) xĂc ành bði
Khi õ (X; ) l khổng gian metric ƒy ı.
X†t Ănh x⁄ T : X ! X bði T 0 = 0; T 1 = 1 v T 2 = 1 Vợi = 1, ta câ
2 (2;T2) + (0;T0) + 1 10 B‹ng ki”m tra trỹc ti‚p, ta thĐy T thọa mÂn cĂc i•u kiằn cıa ành lỵ 1.1.1.
D„ thĐy T l toĂn tò Picard y‚u vợi t“p i”m bĐt ºng l f0; 1g v
Hằ quÊ 1.1.4 Cho (X; ) l khổng gian metric ƒy ı v T l Ănh x⁄ tł
X v o ch‰nh nõ GiÊ sò tỗn t⁄i sŁ > 0 sao cho T thọa mÂn giÊ thi‚t cıa ành lỵ 1.1.1 Khi õ T cõ i”m bĐt ºng duy nhĐt n‚u M(a; b; ) < 1 vợi mồi a; b 2 X.
Chứng minh Theo ành lỵ 1.1.1, T câ i”m b§t ºng N‚u a v b l hai i”m b§t ºng cıa T th…
Theo gi£ thi‚t, ta câ
Do 0 6 M(a; b; ) < 1 nản (a; b) = 0: i•u õ chứng tọ a = b Hằ quÊ ữổc chứng minh.
V‰ dử 1.1.5 GiÊ sò X = f0; 1; 2g v : X X ! R xĂc ành bði
(1; 2) = (2; 1) = 2: Khi õ (X; ) l khổng gian metric ƒy ı.
‰nh toĂn trỹc ti‚p ta cõ M(a; b; ) < 1 vợi mồi a; b 2 X Hỡn nœa, v… (T a; T b) = 0 vợi mồi a; b 2 X nản
V… v“y T thọa mÂn cĂc i•u kiằn cıa Hằ quÊ 1.1.4 vợi = 2 D„ thĐy, T cõ i”m b§t ºng duy nh§t a = 0: ành lỵ 1.1.6 Cho (X; ) l khổng gian metric ƒy ı v T : X ! X l mºt Ănh x⁄ GiÊ sò tỗn t⁄i > 0 thọa mÂn
2 X l hai i”m b§t ºng kh¡c nhau cıa T th…
Chứng minh LĐy a 0 2 X tũy ỵ, ta xƠy dỹng dÂy fa n g bði cổng thức a n+1 = T a n vợi mồi n > 0: °t n = (a n ; a n+1 ) vợi mồi n > 0 Do
2 2 nản theo giÊ thi‚t, ta cõ n +1 = (T an; T an+1) 6 N(an; an+1; ) (an; an+1)
3 n + 2 n+1 + Khi õ 0 6 c n < 1 v n+1 6 c n n vợi mồi n > 0 i•u n y chứng tọ n 6 c n 0
Chứng minh ho n to n tữỡng tỹ nhữ chứng minh ành lỵ 1.1.1, ta cõ k‚t lu“n cıa ành lþ.
1.2 ToĂn tò Picard y‚u a trà ành nghắa 1.2.1 Cho hai t“p hổp bĐt ký A; B v 2 B l hồ tĐt cÊ cĂc t“p con cıa B Mºt Ănh x⁄ T i tł t“p hổp A v o t“p hổp 2 B ữổc gồi l Ănh x⁄ a trà tł A v o B; k‰ hiằu l T : A ! 2 B : ành nghắa 1.2.2 Cho Ănh x⁄ a trà T : X ! 2 X i”m a 0 2 X ữổc gồi l i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ T n‚u a 0 2 T a 0 :Ti‚p theo, chúng tổi chứng minh mºt bŒ • cƒn thi‚t ” chứng minh cho k‚t qu£ ch‰nh.
BŒ • 1.2.3 Cho (X; ) l khổng gian metric v A; B 2 CB(X) Khi õ n‚u H(A; B) > 0 th… vợi mỉi q > 1 v a 2 A, tỗn t⁄i b 2 B sao cho
Chứng minh Sò dửng °c trững cıa infimum, vợi " = (q 1)H(A; B), tỗn t⁄i b 2 B sao cho
Do ành nghắa cıa H(A; B) nản d(a; B) 6 H(A; B):
Tł õ suy ra (a; b) < q H(A; B): BŒ • ữổc chứng minh. ành lỵ 1.2.4 Cho (X; ) l khổng gian metric ƒy ı v Ănh x⁄ a trà
T : X ! CB(X): GiÊ sò tỗn t⁄i > 0 thọa mÂn
Chứng minh (1) LĐy a 0 2 X tũy ỵ v chồn a 1 2 T a 0
Bữợc 1 N‚u H(T a 0 ; T a 1 ) = 0 th… T a 0 = T a 1 i•u õ chứng tọ a 1 l i”m bĐt ºng cıa T: N‚u H(T a 0 ; T a 1 ) > 0 th… theo BŒ • 1.2.3, vợi mỉi h 1 >
Bữợc 2 N‚u H(T a 1 ; T a 2 ) = 0 th… T a 1 = T a 2 i•u õ chứng tọ a 2 l i”m bĐt ºng cıa T: N‚u H(T a 1 ; T a 2 ) > 0, sò dửng mºt lƒn nœa BŒ • 1.2.3, vợi mỉi h 2 > 1, tỗn t⁄i a 3 2 T a 2 thọa mÂn
Bữợc n Ti‚p tửc quĂ tr…nh trản, n‚u H(T a n 1 ; T a n ) = 0 th… T a n 1 = T a n
Tł â suy ra, a n l i”m b§t ºng cıa T: N‚u H(T a n 1; T a n ) > 0, bði
BŒ • 1.2.3 vợi mỉi h n > 1, tỗn t⁄i a n+1 2 T a n thọa mÂn
QuĂ tr…nh trản cứ th‚ ti‚p di„n, n‚u t⁄i bữợc thứ k m H(T a k 1 ; T a k ) = 0 th… a k l i”m bĐt ºng cıa T v dÂy l°p fT n ag hºi tử v• a k N‚u khổng, ta s‡ thu ữổc dÂy fa n g v dÂy fh n g thọa mÂn a n 2 T a n 1 ; h n > 1 v
Do 1 2 d(a n 1 ; T a n 1 ) 6 (a n 1 ; a n ); n = 1; 2; ::: nản theo giÊ thi‚t, ta cõ H(T a n 1 ; T a n ) 6 P (a n 1 ; a n ; ) (a n 1 ; a n )
M°t khĂc, vợi mỉi phƒn tò b n 2 T (a n ), ta cõ d(a n 1 ; T a n ) + (a n 1 ; a n ) (a n 1 ; b n ) + (a n 1 ; a n )
Chứng minh tữỡng tỹ ành lỵ 1.1.1, tỗn t⁄i a 2 X sao cho lim an = a: n!1
Ti‚p theo ta chứng tọ r‹ng, vợi mỉi n > 0, ho°c l
B‹ng phÊn chứng, ta giÊ sò r‹ng tỗn t⁄i n > 0 sao cho
Khi õ, theo bĐt flng thức tam giĂc, ta cõ n= (a n ; a n+1 ) 6 (a n ; a) + (a n+1 ; a)
2 2 i•u n y khổng xÊy ra Nhữ v“y (1.2.3) úng vợi mồi n > 0: Tł (1.2.3) v giÊ thi‚t suy ra vợi mỉi n > 0; ho°c l
Khi õ, ho°c l (1.2.4) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n ho°c (1.2.5) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n: GiÊ sò (1.2.4) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n: Ta cõ th” chồn trong t“p vổ h⁄n õ dÂy fnkg ỡn iằu tông ng°t Tł õ suy ra dÂy fank g l d¢y con cıa d¢y fang v d(a; T a) = inf (a; b) 6 (a n k +1; a) + inf (a n k +1; b) b2T a b2T a
: (a n k ; a); 2 (a n k ; a n k +1 ) + (a; T a) + vợi mồi k 1 Cho k ! 1 ta thu ữổc d(a; T a) = 0 i•u n y k†o theo a 2 T a V“y a l i”m bĐt ºng cıa Ănh x⁄ T: N‚u (1.2.5) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n; chứng minh mºt cĂch ho n to n tữỡng tỹ nhữ trản ta suy ra a l i”m bĐt ºng cıa Ănh x⁄ T: V“y T l toĂn tò Picard y‚u a trà. hai i”m b§t ºng kh¡c nhau cıa T V…
0 = 2 d(a; T a) < (a; b) nản theo giÊ thi‚t, ta cõ
Tł õ suy ra (a; b) >3H(T a; T b): ành lỵ ữổc chứng minh.
V‰ dử 1.2.5 GiÊ sò X = f0; 1; 2g v : X X ! [0; +1) ữổc ành nghắa bði
Khi õ (X; ) l khổng gian metric ƒy ı.
X†t Ănh x⁄ T : X ! CB(X) ữổc xĂc ành bði T 0 = f0g; T 1 = f1g v T 2
B‹ng ki”m tra trỹc ti‚p, ta cõ 1 2 d(a; T a) (a; b) vợi mồi a; b 2 X: M°t khĂc,
Do õ H(T a; T b) 6 P (a; b; ) (a; b); vợi mồi a; b 2 X: V… th‚ T thọa mÂn tĐt cÊ cĂc i•u kiằn cıa ành lỵ 1.2.4 vợi = 2 Hi”n nhiản T l toĂn tò Picard y‚u a trà vợi t“p i”m bĐt ºng l f0; 1; 2g v hai n‚u a; b l i”m b§t ºng kh¡c nhau cıa T th…
Hằ quÊ 1.2.6 Cho (X; ) l khổng gian metric ƒy ı v Ănh x⁄ a trà
T : X ! CB(X) GiÊ sò tỗn t⁄i sŁ > 0 sao cho T thọa mÂn giÊ thi‚t
28(a; b) = cıa ành lỵ 1.2.4 Khi õ T cõ i”m bĐt ºng duy nhĐt n‚u P (a; b; ) < 1 vợi mồi a; b 2 X.
Chứng minh Theoành lỵ 1.2.4, T cõ i”m bĐt ºng a N‚u b cụng l i”m b§t ºng cıa T , th…
Theo gi£ thi‚t, ta câ
1 P (a; b; ) (a; b) 6 0: i•u õ chứng tọ (a; b) = 0: Do õ a = b V… v“y T cõ i”m bĐt ºng duy nh§t. ành lỵ 1.2.7 Cho (X; ) l khổng gian metric ƒy ı v Ănh x⁄ a trà
T : X ! CB(X) GiÊ sò tỗn t⁄i > 0 thọa mÂn
Chứng minh Chứng minh tữỡng tỹ nhữ chứng minh ành lỵ 1.2.4.
Chữỡng 1 cıa lu“n Ăn ⁄t ữổc cĂc k‚t quÊ sau:
Thi‚t l“p ành lỵ 1.1.1 v ành lỵ 1.1.6 l cĂc i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard y‚u ỡn trà trong khổng gian metric ƒy ı.
Thi‚t l“p ành lỵ 1.2.4 v ành lỵ 1.2.7 l cĂc i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard y‚u a trà trong khổng gian metric ƒy ı. ữa ra cĂc V‰ dử 1.1.2, V‰ dử 1.1.5 v V‰ dử 1.2.5 ” minh hồa cho cĂc k‚t quÊ tữỡng ứng.
ToĂn tò Picard v Picard y‚u trong khổng gian b metric m⁄nh
Trong chữỡng n y, chúng tổi thi‚t l“p mºt sŁ i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard ỡn trà v toĂn tò Picard y‚u a trà trong lợp khổng gian b metric m⁄nh K‚t quÊ ch‰nh cıa chữỡng ữổc vi‚t dỹa trản b i bĂo [A1] v b i bĂo [A4] trong danh mửc cĂc cổng tr…nh liản quan ‚n lu“n Ăn.
2.1 ToĂn tò Picard ỡn trà
Trong mửc n y, chúng tổi mð rºng cĂc k‚t quÊ cıa J Gõcrnicki [16, 17] v cıa R Kannan [22] cho khổng gian b metric m⁄nh Trữợc tiản, chúng tổi nh›c l⁄i mºt sŁ khĂi niằm trong khổng gian b metric m⁄nh. ành nghắa 2.1.1 [24] Cho X l mºt t“p khĂc rỉng v sŁ thỹc K > 1.
H m D : X X ! [0; +1) ữổc gồi l b metric m⁄nh trản X n‚u:
Khi õ, bº ba (X; D; K) ữổc gồi l khổng gian b metric m⁄nh. ành nghắa 2.1.2 [24] Cho (X; D; K) l khổng gian b metric m⁄nh,
31 fa n g l mºt dÂy cĂc phƒn tò trong X v a 2 X Khi õ:
(i) DÂy fa n g ữổc gồi l hºi tử ‚n a n‚u n lim D(a n ; a) = 0: Ta k‰ hiằu !1 n lim
(ii) f a n g ữổc gồi l dÂy Cauchy trong X n‚u lim D(a ; a ) = 0: n;m!1 n m
(iii) Khổng gian b metric m⁄nh (X; D; K) ữổc gồi l khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı n‚u mồi dÂy Cauchy trong X l hºi tử.
(iv) Khổng gian b metric m⁄nh (X; D; K) ữổc gồi l khổng gian b metric m⁄nh compact n‚u mồi dÂy trong X •u chứa mºt dÂy con hºi tử.
Mằnh • 2.1.3 [24] Cho b metric m⁄nh (X; D; K) fa n g l mºt dÂy cĂc phƒn tò trong khổng gian v giÊ sò
2.1.1 ToĂn tò Picard cho mºt sŁ lợp Ănh x⁄ ki”u KannanŁi vợi h m i•u khi”n
Ta k‰ hiằu cĂc lợp h m i•u khi”n sau Ơy:
Sò dửng lợp cĂc h m i•u khi”n trản chúng tổi thi‚t l“p i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard. ành lỵ 2.1.4 Cho (X; D; K) l khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı v Ănh x⁄ T tł X v o ch‰nh nõ GiÊ sò r‹ng tỗn t⁄i h m f 2 S sao cho vợi mỉi a; b 2 X v a 6= b; ta luổn cõ
Chứng minh Chồn a 0 2 X v ta ành nghắa dÂy fa n g trong X bði cổng thức a n+1 = T a n vợi mồi n > 0: N‚u cõ mºt sŁ tỹ nhiản n n o õ thọa mÂn a n+1 = a n th… a n l i”m bĐt ºng cıa T: Do õ, giÊ sò r‹ng a n+1 6= a n vợi mồi n > 0: Ta °t D n = D(a n ; a n+1 ) vợi mồi n > 0: Theo giÊ thi‚t, ta cõ
Tł õ suy ra D n+1 < D n vợi mồi n > 0: i•u õ chứng tọ fD n g l mºt dÂy giÊm cĂc sŁ thỹc khổng Ơm v bà ch°n dữợi Do õ, tỗn t⁄i sŁ thỹc
> 0 sao cho lim D n = : GiÊ sò > 0: Theo giÊ thi‚t, ta cõ n!1
D(a n+1 ; a n+2 ) 6 f(D(a n ; a n+1 )) D(a n ; a n+1 ) + D(a n+1 ; a n+2 ) ; vợi mồi n > 0: Tł õ suy ra
Cho n ! 1; ta thu ữổc n lim f(D n ) > 1 2: Bði f 2 S nản n lim D n = = 0:
Cho n; m ! 1 ta ữổc lim D(a ; a ) = 0: V“y a n g l mºt d¢y n;m!1 n+1 m+1 f
Cauchy trong X: Do t‰nh ƒy ı cıa X nản tỗn t⁄i a 2 X sao cho lim a n = a: Khi õ vợi n > 1, ta cõ n!1
1 vợi mồi n > 1 Cho n ! 1 ta ữổc T a = a:
GiÊ sò b cụng l i”m bĐt ºng cıa T Theo giÊ thi‚t, ta cõ
V… v“y D(a; b) = 0 hay a = b V“y T câ i”m b§t ºng duy nh§t a
Do õ, T l toĂn tò Picard ành lỵ ữổc chứng minh.
V‰ dử 2.1.5 LĐy X = f0; 1; 2g v D : X X ! [0; +1) xĂc ành bði
X†t Ănh x⁄ T : X ! X ữổc ành nghắa bði T 0 = 0; T 1 = 0; T 2 = 1, h m f 2 S ữổc cho bði f(t) = 1 2e 6 t ; t > 0 v f(0) 2 [0; 1 2) Khi õ
(X; D; K = 2) l khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı những khổng l khổng gian metric v…
Do õ, ành lỵ 4 khổng Ăp dửng ữổc M°t khĂc, ta cõ
Do õ, Ănh x⁄ T thọa mÂn tĐt cÊ cĂc i•u kiằn cıa ành lỵ 2.1.4 D„ thĐy T l toĂn tò Picard. ành lỵ 2.1.6 Cho (X; D; K) l khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı v Ănh x⁄ T tł X v o ch‰nh nõ GiÊ sò r‹ng tỗn t⁄i h m ’ 2 H sao cho vợi mỉi a; b 2 X v a 6= b; ta luổn cõ
Chứng minh LĐy a 0 2 X v ta ành nghắa dÂy fa n g trong X bði cổng thức a n+1 = T a n vợi mồi n > 0: N‚u tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n sao cho a n+1 = a n th… a n l i”m bĐt ºng cıa T: Do õ, ta giÊ sò r‹ng a n+1 6= a n vợi mồi n > 0: °t
D n = D(a n ; a n+1 ) vợi mồi n > 0: Theo giÊ thi‚t, ta cõ
6 ’(D(an; an+1)) D(an; T an) + D(an+1; T an+1) + D(an; an+1)
Tł õ suy ra D n+1 < D n vợi mồi n > 0: V… v“y fD n g l mºt dÂy giÊm cĂc sŁ thỹc khổng Ơm v bà ch°n dữợi Do õ tỗn t⁄i sŁ thỹc > 0 sao cho lim D n = : n!1
GiÊ sò r‹ng > 0: Bði giÊ thi‚t, ta cõ
Cho n ! 1 ta thu ữổc lim ’(D n ) > 1 : Bði ’ 2 H nản = 0: V… v“y n!1 3 lim D n = 0: M°t khĂc, vợi m 6= n, ta cõ n!1
< 3 D(a n ; a n+1 ) + D(a m ; a m+1 ) + KD(a n ; a n+1 ) +D(an+1; am+1) + KD(am; am+1) :
Cauchy trong X: Do t‰nhƒy ı cıa X nản ta cõ õ,
GiÊ sò b cụng l i”m bĐt ºng cıa T Theo giÊ thi‚t, ta cõ
Tł â suy ra D(a; b) = 0 hay a = b V“y T câ i”m b§t ºng duy nh§t. V“y, T l toĂn tò Picard ành lỵ ữổc chứng minh.
V‰ dử 2.1.7 X†t khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı (X; D; K) v Ănh x⁄ T trong V‰ dử 2.1.5 Hi”n nhiản, ành lỵ 5 khổng Ăp dửng ữổc. t
Nhữ v“y, Ănh x⁄ T thọa mÂn tĐt cÊ cĂc i•u kiằn cıa ành lỵ 2.1.6 Hi”n nhiản, T l toĂn tò Picard.
2.1.2 ToĂn tò Picard cho Ănh x⁄ Kannan-Suzuki ành lỵ 2.1.8 Cho (X; D; K) l khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı v T l Ănh x⁄ Kannan-Suzuki Khi õ, T l toĂn tò Picard.
Chứng minh LĐy a 0 2 X; ta xƠy dỹng dÂy l°p fa n g trong X bði cổng thức a n+1 = T a n vợi mồi n > 0: °t D n = D(a n ; a n+1 ) vợi mồi n > 0: Tł
K + 1 K + 1 vợi mồi n > 0; nản theo giÊ thi‚t ta cõ
Dn+1 = D(an+1; an+2) = D(T an; T an+1)
Tł â suy ra = s Dn + Dn+1 ; n = 0; 1; ::::
Theo Mằnh • 2.1.3, fa n g l mºt dÂy Cauchy trong X: V… X l khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı nản tỗn t⁄i a 2 X sao cho lim an = a: n!1
Ti‚p theo, ta s‡ ch¿ ra r‹ng vợi mồi n > 0, ho°c l
K + 1 Th“t v“y, b‹ng phÊn chứng, ta giÊ sò r‹ng tỗn t⁄i n > 0 sao cho
D(a n ; a) < K + 1 D(a n ; T a n ) v D(T a n ; a) < K + 1 D(T a n ; T a n+1 ): Khi õ, theo bĐt flng thức tam giĂc, ta cõ
K + 1 K + 1 i•u n y khổng xÊy ra Tł õ v tł giÊ thi‚t ta cõ, ho°c l
D(a n+2 ; T a) 6 s D(a n+1 ; T a n+1 ) + D(a; T a) ; (2.1.4) vợi mồi n > 0 Khi õ, ho°c l (2.1.3) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n ho°c (2.1.4) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n GiÊ sò (2.1.3) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n, ta cõ th” chồn trong t“p vổ h⁄n õ dÂy sŁ tỹ nhiản fn k g ỡn iằu tông ng°t Suy ra, dÂy fa n k g l mºt dÂy con cıa dÂy fa n g v vợi mỉi k > 1 ta câ
BĐt flng thức n y tữỡng ữỡng vợi s D(a n k +1; T a) 6 1 s D (a n k ; a) + 2KD(an k +1; a) vợi k > 1: (2.1.5) Cho k ! 1 trong bĐt flng thức (2.1.5) ta thu ữổc D(a; T a) = 0: i•u õ k†o theo T a = a: V“y a l mºt i”m bĐt ºng cıa T: N‚u (2.1.4) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n th… chứng minh mºt cĂch ho n to n tữỡng tỹ nhữ trản ta suy ra a l mºt i”m bĐt ºng cıa Ănh x⁄ T: mºt i”m b§t ºng cıa T
0 = K + 1 D(a; T a) < D(a; b) nản theo giÊ thi‚t, ta cõ
Tł õ suy ra D(a; b) = 0 hay a = b i•u n y mƠu thuÔn vợi a 6= b Do õ, T cõ i”m bĐt ºng duy nhĐt a 2 X V“y T l toĂn tò Picard ành lỵ ữổc chứng minh.
Hằ quÊ 2.1.9 Cho (X; ) l khổng gian metric ƒy ı v T : X ! X l mºt Ănh x⁄ GiÊ sò tỗn t⁄i s 2 [0; 1 2 ) thọa mÂn
(T a; T b) 6 s (a; T a) + (b; T b) ; vợi mồi a; b 2 X sao cho 1 2 (a; T a) 6 (a; b) Khi õ, T l toĂn tò Picard.
Trản C [0;1] khổng gian cĂc h m liản tửc thuºc [0; 1]; ta trang bà metric : C [0;1] C [0;1] ! [0; +1) ữổc ành nghắa bði
Khi õ C [0;1] l khổng gian metric ƒy ı Ta °t
X := fa 2 C [0;1] : ja(t) a 0 j 6 k vợi mồi t 2 [0; 1]g; ð Ơy k 2 (0; 1 3 ) v a 0 l sŁ thỹc cho trữợc Tł X l khổng gian con õng cıa
ToĂn tò Picard y‚u cho Ănh x⁄ Kannan-Suzuki a trà
Cho (X; D; K) l khổng gian b metric m⁄nh K‰ hiằu CB(X) l t“p hổp tĐt cÊ cĂc t“p con khĂc rỉng, õng v bà ch°n cıa X H m H xĂc ành bði
H(A; B) := maxfsup d(a; A); sup d(a; B)g; a2B a2A trong õ A; B 2 CB(X) v d(a; A) := inf b2A D(a; b) ữổc gồi l metric Hausdorff trản CB(X) cÊm sinh bði D:
Chứng minh tữỡng tỹ nhữ chứng minh BŒ • 1.2.3, ta thu ữổc.
BŒ • 2.2.1 GiÊ sò r‹ng (X; D; K) l khổng gian b metric m⁄nh v A; B 2 CB(X): N‚u H(A; B) > 0 th… vợi mỉi h > 1 v a 2 A tỗn t⁄i b 2 B sao cho
D(a; b) < h H(A; B): ành lỵ 2.2.2 Cho (X; D; K) l khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı v
T : X ! CB(X) l Ănh x⁄ Kannan-Suzuki a trà Khi õ T l toĂn tò Picard y‚u a trà.
Chứng minh LĐy a 0 2 X v ta chồn a 1 2 T a 0
Bữợc 1 N‚u H(T a 0 ; T a 1 ) = 0 th… T a 0 = T a 1 i•u õ chứng tọ a 1 l i”m bĐt ºng T N‚u H(T a 0 ; T a 1 ) > 0 th… theo BŒ • 2.2.1, vợi mỉi h 1 > 1, tỗn t⁄i a 2 2 T a 1 thọa mÂn
Bữợc 2 N‚u H(T a 1 ; T a 2 ) = 0 th… T a 1 = T a 2 Chứng tọ a 2 l i”m bĐt ºng cıa T N‚u H(T a 1 ; T a 2 ) > 0; sò dửng mºt lƒn nœa BŒ • 2.2.1, vợi mỉi h 2 > 1, tỗn t⁄i a 3 2 T a 2 thọa mÂn
Bữợc n Cứ ti‚p tửc quĂ tr…nh trản, n‚u H(T a n 1 ; T a n ) = 0 th… ta cõ T a n 1 = T a n ; suy ra a n l i”m b§t ºng cıa T N‚u H(T a n 1 ; T a n ) > 0; theo
BŒ • 2.2.1 vợi mỉi h n > 1, tỗn t⁄i a n+1 2 T a n thọa mÂn
D(an; an+1) < hnH(T an 1; T an):
QuĂ tr…nh trản cứ th‚ ti‚p di„n, n‚u t⁄i bữợc thứ k m H(T a k 1 ; T a k ) = 0 th… a k l mºt i”m bĐt ºng v dÂy l°p fT n ag hºi tử v• a k : N‚u khổng, ta thu ữổc hai dÂy fa n g v fh n g n>1 thọa mÂn a n 2 T a n 1 ; h n > 1 v
K + 1 K + 1 vợi mồi n > 1; nản theo giÊ thi‚t ta cõ
Ta cõ th” chồn h n = k s ữổc > 1 vợi s 2 (0; k) v 0 < k < 2 1 Khi õ, ta thu
Theo Mằnh • 2.1.3, fa n g l mºt dÂy Cauchy trong X Bði X ƒy ı nản tỗn t⁄i a 2 X thọa mÂn lim an = a: Ti‚p theo, ta ch¿ ra r‹ng vợi mồi n!1 n > 0, ho°c l
(2.2.3) B‹ng phÊn chứng, giÊ sò r‹ng tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n > 0; sao cho
Khi õ, theo bĐt flng thức tam giĂc, ta cõ
6 D n : i•u n y khổng xÊy ra Do õ, tł (2.2.3) v giÊ thi‚t, vợi mỉi n > 0; ho°c l
Khi õ, ho°c l (2.2.4) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n; ho°c (2.2.5) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n: GiÊ sò (2.2.4) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n; ta cõ th” chồn trong t“p vổ h⁄n õ dÂy fn k g ỡn iằu tông ng°t Tł õ suy ra dÂy fa n k g l dÂy con cıa dÂy fa n g v vợi mỉi k > 1; ta cõ d(a; T a) = inf D(a; b) 6 KD(a n k +1 ; a) + inf (a n k +1 ; b)
6 KD(a n k +1; a) + s d(a n k ; T a n k ) + d(a; T a) : i•u n y tữỡng ữỡng vợi d(a; T a) 6 1 K sD(a n k ; a) + 1 s sd(a n k ; T a n k ) vợi mồi k 1:
LĐy giợi h⁄n hai v‚ cıa bĐt flng thức trản khi k ! 1, ta thu ữổc d(a; T a) 0 i•u n y k†o theo a 2 T a N‚u (2.2.5) úng vợi vổ h⁄n sŁ tỹ nhiản n; chứng minh mºt cĂch ho n to n tữỡng tỹ nhữ trản ta suy ra a l i”m bĐt ºng cıa Ănh x⁄ T: V“y T l toĂn tò Picard y‚u a trà.
V‰ dử 2.2.3 GiÊ sò X = f1; 2; 3g; K = 3 v D : X X ! [0; 1) ữổc ành nghắa bði
D(1; 2) = 1; D(1; 3) = 4; D(2; 3) = 2 v D(1; 1) = D(2; 2) = D(3; 3) = 0: X†t Ănh x⁄ T : X ! CB(X) ữổc xĂc ành bði
Khi õ (X; D; K) l khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı những khổng l khổng gian metric bði v… D(1; 3) > D(1; 2) + D(2; 3): Do õ, ành lỵ 7 khổng Ăp dửng ữổc M°t khĂc, ta cõ
D„ d ng ki”m tra ữổc T thọa mÂn tĐt cÊ cĂc i•u kiằn cıa ành lỵ 2.2.2 v
Chữỡng 2 cıa lu“n Ăn ⁄t ữổc cĂc k‚t quÊ sau:
Thi‚t l“p ành lþ 2.1.4, ành lþ 2.1.6 l c¡c mð rºng thüc sü cıa ành lþ 4 v ành lþ 5.
Thi‚t l“p ành lỵ 2.1.8, Hằ quÊ 2.1.9, ành lỵ 2.1.11 l cĂc i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard trong khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı.
Thi‚t l“p ành lỵ 2.1.13 l cĂc i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò
Picard trong khổng gian b metric m⁄nh compact K‚t quÊ n y l mð rºng k‚t qu£ cıa J Gârnicki [16].
Thi‚t l“p ành lỵ 2.2.2 l i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard y‚u a trà trong khổng gian b metric m⁄nh ƒy ı K‚t quÊ cıa chúng tổi l mð rºng k‚t qu£ cıa L S Dube v S P Singh [10].
ToĂn tò Picard v bŒ sung ı Łi vợi khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh
Trong chữỡng n y, chúng tổi giợi thiằu khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh Sau õ, chúng tổi mð rºng k‚t quÊ cıa Sh Rezapour v R. Haml-barani [41] trong khổng gian n y Phƒn cuŁi chữỡng, d nh ” thi‚t l“p Nguyản lỵ bŒ sung ı cıa khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh Nºi dung ch‰nh cıa chữỡng ữổc vi‚t dỹa trản cĂc b i bĂo [A3] v [A5] trong danh mửc cĂc cổng tr…nh liản quan ‚n lu“n Ăn.
3.1 T‰nh ch§t l¥n c“n cıa nân ành nghắa 3.1.1 [21] Cho E l khổng gian vectỡ tổpổ lỗi àa phữỡng Hausdorff thüc, l vectì gŁc cıa E v C E: Ta nâi, t“p C l nân cıa
(ii) ax + by 2 C vợi mồi x; y 2 C; a; b l cĂc sŁ thỹc khổng Ơm;
(iii) C \ ( C) = f g: ành nghắa 3.1.2 [21] Cho E l khổng gian vectỡ tổpổ lỗi àa phữỡng Hausdorff thỹc v nõn C E vợi phƒn trong khĂc rỉng Ta ành nghắa quan hằ thứ tỹ bº ph“n trản E sinh bði nõn C nhữ sau x; y 2 E : x y n‚u y x 2 C:
N‚u x y v x 6= y th… ta vi‚t x y N‚u y x 2 int C th… ta vi‚t x y:
Trong cĂc phƒn ti‚p theo, ta luổn giÊ sò E l khổng gian vectỡ tổpổ lỗi àa phữỡng Hausdorff thỹc v l quan hằ thứ tỹ bº ph“n trản E sinh bði nõn
C cõ phƒn trong khĂc rỉng Tł ành nghắa cıa nõn C v quan hằ thứ tỹ bº ph“n trản E, ta d„ d ng chứng minh ữổc mºt sŁ t‰nh chĐt sau.
Mằnh • 3.1.3 Cho C l mºt nõn trong E: Khi õ
(iv) Vợi mồi a 2 int C v > 0 th… a 2 int C:
Mằnh • 3.1.4 Cho C l mºt nõn trong E: Khi õ
Mằnh • 3.1.5 Cho C l mºt nõn trong E: Khi õ
Mằnh • 3.1.6 [1] GiÊ sò e 2 int C; an v lim an = : Khi õ, tỗn n!1 t⁄i N 2 N sao cho a n e vợi mồi n > N:
59 ành nghắa 3.1.7 [25] Cho C l mºt nõn trong thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n n‚u vợi mỉi lƠn c“n U l¥n c“n V cıa trong E sao cho
E Ta nâi r‹ng nân C cıa trong E câ mºt
(V +C)\(V C) U: ành nghắa 3.1.8 [25] Cho C l mºt nõn trong E Ta nõi r‹ng B E l t“p sinh cıa nân C v vi‚t C = cone(B) n‚u
C = tb : b 2 B; t > 0 : N‚u B khổng chứa i”m gŁc v mỉi c 2 Cnf g •u tỗn t⁄i duy nhĐt b 2 B; t >
0 sao cho c = tb th… B ữổc gồi l cỡ sð cıa nõn C.
Nh“n x†t 3.1.9 N‚u nõn C cõ mºt cỡ sð lỗi, õng v bà ch°n th… nõn C thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n (xem Mằnh • 1.8 trong [25]).
V‰ dử 3.1.10 Cho E = R; C = R + Khi õ C thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n.
Mằnh • 3.1.11 GiÊ sò r‹ng nõn C thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n Khi õ vợi mỉi lƠn c“n U cıa trong E; tỗn t⁄i phƒn tò e 2 E; e sao cho C \ (e
Chứng minh Do C thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n nản theo ành nghắa 3.1.7 tỗn t⁄i mºt lƠn c“n V cıa trong E sao cho
V… int C 6= ; nản ta cõ th” chồn a 2 E; a Tł lim 1 a = suy ra tỗn n!1 n t⁄i sŁ n 0 sao cho
BŒ • 3.1.12 GiÊ sò nõn C thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n trong khổng gian vectỡ tổpổ lỗi àa phữỡng Hausdorff thỹc E Cho fu n g, fv n g; fa n g l cĂc dÂy trong E sao cho a n u n v n vợi mồi n > 1 v lim v n = lim a n = : n!1 n!1
Chứng minh GiÊ sò U l mºt lƠn c“n bĐt ký cıa thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n nản tỗn t⁄i mºt lƠn c“n cho trong E: V… nân
Do lim v n = lim a n = nản tỗn t⁄i n0 sao cho vn; an 2 V vợi mồi n > n0: n!1 n!1
M°t khĂc, v… a n u n v n vợi mồi n > 1 nản ta cõ un 2 (an + C) \ (vn C) vợi mồi n > 1 i•u õ chứng tọ u n 2 (V + C) \ (V C) vợi mồi n > n 0
V‰ dử 3.1.13 GiÊ sò E = C [0 1 ;1] vợi chu'n kfk = kfk 1 + kf 0 k 1 ; v nõn C = ff 2 E : f(t) > 0; 8t 2 [0; 1]g Khi õ nõn C khổng thọa mÂn t
‰nh chĐt lƠn c“n Th“t v“y, x†t f n (t) = t n n v g n (t) = n 1 vợi mồi t 2 [0; 1].
Khi õfn gn vợi mồi n v n lim
!1 g n = M°t kh¡c, ta câ f max t n + max t n 1 =1+1 > 1 vợi mồi n >1: k n k 2 [0;1] n 2 [0;1] n t t
Do õ f n khổng hºi tử ‚n Theo BŒ • 3.1.12, suy ra nõn C khổng cõ t
Khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh
ành nghắa 3.2.1 Cho X l mºt t“p khĂc rỉng v K > 1 nh x⁄
: X X ! E ữổc gồi l mºt b-TVS metric nõn m⁄nh trản X n‚u
Khi õ (X; E; C; K; ) ữổc gồi l mºt khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh. ành nghắa 3.2.2 Cho (X; E; C; K; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh v fa n g l mºt dÂy cĂc phƒn tò cıa X Ta nõi r‹ng
(i) a l giợi h⁄n cıa dÂy fa n g n‚u vợi mồi e 2 E, e; tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho (a n ; a) e vợi mồi n > n 0 K‰ hiằu l a n ! a ho°c lim a n = a n!1
(ii) fa n g l dÂy Cauchy n‚u vợi mồi e 2 E, e; tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho (a n ; a m ) e vợi mồi n; m > n 0
(iii) N‚u mồi dÂy Cauchy l hºi tử trong X th… (X; E; C; K; ) ữổc gồi l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh ƒy ı.
Ti‚p theo, chúng tổi chứng minh mºt sŁ t‰nh chĐt trong khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh vợi thứ tỹ sinh bði nõn C trong khổng gian vectỡtổpổ lỗi àa phữỡng Hausdorff thỹc E.
BŒ • 3.2.3 Cho (X; E; C; K; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh v fa n g l mºt dÂy cĂc phƒn tò cıa X Khi õ, ta cõ:
(i) N‚u fa n g hºi tử ‚n a 2 X th… fa n g l dÂy Cauchy.
(ii) N‚u fa n g hºi tử ‚n a 2 X v fa n g hºi tử ‚n b 2 X th… a = b.
Chứng minh (i) GiÊ sò lim an = a 2 X Khi õ, vợi mỉi e 2 E; e n!1 tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho e e
(an; am) (an; a) + K (am; a) e vợi mồi n; m > n0:
(ii) GiÊ sò e 2 E; e V… lim an = a; lim an = b nản vợi mỉi n!1 n!1 k > 1, tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho e e
Khi â, e (a; b) (a n ; a) + K (a n ; b) k vợi mồi n > n 0 : i•u õ chứng tọ e (a; b) 2 C vợi mồi k > 1: k
Cho k ! 1 v do C õng nản ta cõ (a; b) 2 C V“y (a; b) = hay a = b: BŒ • ữổc chứng minh.
BŒ • 3.2.4 Cho (X; E; C; K; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh, nõn C thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n v fa n g, fb n g l hai dÂy trong X Khi â
(ii) f a n g l mºt d¢y Cauchy n‚u v ch¿ n‚u lim a ; a m) = : n;m!1 ( n
Chứng minh (i) GiÊ sò lim an = a 2 X Vợi U l mºt lƠn c“n tũy ỵ cıa trong E Do C cõ t‰nh chĐt lƠn c“n nản theo Mằnh • 3.1.11, tỗn t⁄in!1 e 2 E; e sao cho
V… lim an = a 2 X nản tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n0 sao cho n!1
V“y (a n ; a) 2 U vợi mồi n > n 0 : Tł õ suy ra lim (a n ; a) = :
Ngữổc l⁄i, giÊ sò lim (an; a) = : Vợi mồi e 2 E;n!1 e, khi õ tỗn t⁄i mºt l¥n c“n U cıa n!1trong E sao cho e U int C:
V… lim (an; a) = nản tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n0 sao cho n!1
(an; a) 2 U vợi mồi n > n0: i•u n y chứng tọ e (a n ; a) 2 int C vợi mồi n > n 0 :
Tł õ suy ra (a n ; a) e vợi mồi n > n 0 : Do õ lim a n = a. n!1
(ii) GiÊ sò fa n g l mºt dÂy Cauchy Cho U l mºt lƠn c“n cıa trong E
Tł Mằnh • 3.1.11, tỗn t⁄i e 2 E; e sao cho
V… fa n g l dÂy Cauchy nản tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho
(an; am) e vợi mồi n; m > n0: K†o theo
Ngữổc l⁄i, giÊ sò lim (a ; a ) = : Vợi e 2 E; e Khi õ, tỗn n;m!1 n m t⁄i mºt l¥n c“n U cıa trong E sao cho e U int C:
Tł lim (an; am) = nản tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n0 sao cho n;m!1
(a n ; a m ) 2 U vợi mồi n; m > n 0 : K†o theo e (a n ; a m ) 2 int C vợi mồi n; m > n 0 : i•u õ chứng tọ (a n ; a m ) e vợi mồi n; m > n 0 : Do õ fa n g l mºt dÂy
(a; b) K (an; a) + (an; bn) + K (bn; b) vợi mồi n > 1: K†o theo
: Tł lim (a ; a) + (b = v bði BŒ • 3.1.12, ta câ n!1 (a; b) n n ) lim (a ; b = :
Nh“n x†t 3.2.5 Chú ỵ r‹ng trong [21], BŒ • 3.2.4 ữổc chứng minh dữợi i•u kiằn C l nõn chu'n t›c trong khổng gian Banach, ð Ơy chúng tổi giÊ thi‚t C l nõn thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n trong khổng gian lỗi àa phữỡng Hausdorff thỹc V‰ dử sau cho thĐy BŒ • 3.2.4 khổng cặn úng n‚u nõn C khổng cõ t‰nh chĐt lƠn c“n trong E.
V‰ dử 3.2.6 GiÊ sò E = C [0 1 ;1] vợi chu'n kfk = kfk 1 + kf 0 k 1 :
X†t nõn C = ff 2 E : f(t) > 0 vợi mồi t 2 [0; 1]g Khi õ nõn C khổng cõ t
‰nh chĐt lƠn c“n (xem V‰ dử 3.1.13).
GiÊ sò X = f0; n 1 : n > 1g v : X X ! E ữổc xĂc ành bði
D„ d ng ki”m tra ữổc d l b-TVS metric nõn m⁄nh trản X vợi K = 1 v (X; E; C; K = 1; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh Hỡn nœa, ta cõ
1 ; 0 = f n I E vợi mồi n > 1; n n ð Ơy I E 2 E bði I E (t) = t vợi t 2 [0; 1] Tł lim I E = , theo Mằnh • 3.1.6, n!1 n vợi mồi e 2 E; e, tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho
I E e vợi mồi n > n 0 : n V… v“y, (n 1 ; 0) e vợi mồi n > n 0 Do õ n lim 1 n = 0 M°t khĂc, ta cõ t n !1 k (1 ; 0) k = f k = max + max t n 1 = 1+ 1 > 1 vợi mồi n >1: n k n t [0;1] n t [0;1] n
Do õ ( n 1 ; 0) khổng hºi tử ‚n trong E V“y BŒ • 3.2.4(i) khổng cặn óng.
ToĂn tò Picard trong khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh
nân m⁄nh ành lỵ 3.3.1 Cho (X; E; C; K; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh ƒy ı v Ănh x⁄ T : X ! X: GiÊ sò tỗn t⁄i s 2 [0; 1) thọa mÂn
Chứng minh Chồn a 0 2 X; ta ành nghắa dÂy fa n g trong X bði cổng thức a n+1 = T a n vợi mồi n > 0: °t n = (a n ; a n+1 ) vợi mồi n > 0: Theo giÊ thi‚t, ta câ n +1 = (an+1; an+2) = (T an; T an+1) s (a n ; a n+1 ) = s n ; vợi mồi n > 0: Suy ra n +1 s n ; n = 0; 1; :::: i•u â k†o theo n s n 0; n = 1; 2; ::::
(a n ; a m ) K (an; an+1) + ::: + K (am 2; am 1) + (am 1; am)
Vợi e 2 E; e tũy ỵ, khi õ tỗn t⁄i lƠn c“n U cıa trong E sao cho e U int C V… lim A(n;m) = nản tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n0 sao cho
A (n;m) 2 U vợi mồi m; n > n 0 : i•u n y k†o theo e A (n;m) 2 e U int C vợi mồi m; n > n 0 :
Tł â suy ra e (an; am) = (e A(n;m)) + (A(n;m) (an; am))
2 int C + C = int C vợi mồi m; n > n 0 : i•u õ chứng tọ
Suy ra fa n g l mºt dÂy Cauchy trong X: V… X ƒy ı nản tỗn t⁄i a 2 X sao cho lim an = a: Ti‚p theo ta ch¿ ra r‹ng a l i”m b§t ºng cıa T: Th“t v“y, v… lim an!1 n = a nản vợi mỉi k > 1; tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản nk n!1 sao cho
2ks 2kK vợi mồi n n k : Khi õ, ta cõ
(T a; a)(T a; T a n ) + K (T a n ; a) e s (a; a n ) + K (a n+1 ; a) ;k vợi mồi n > n k Doõ k e (T a; a) 2 k e ! 0 khi k ! 1 v C õng nản ta cõ tọ (T a; a) = hay T a = a V… v“y, a l
GiÊ sò b cụng l i”m bĐt ºng cıa
C vợi mồi k > 1: M°t khĂc, do (T a; a) 2 C: i•u n y chứng i”m b§t ºng cıa T:
Tł â suy ra a = b: V“y T câ i”m b§t ºng duy nh§t Do â, T l to¡n tò Picard.
X†t Ănh x⁄ T : X ! X xĂc ành bði T 1 = T 2 = T 0 = 0: Rê r ng (X; E; C; K 3; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh ƒy ı những khổng l khổng gian metric nân v…
Do õ, ành lỵ 2.3 trong [41] khổng Ăp dửng ữổc Tuy nhiản, d„ d ng ki”m tra ữổc tĐt cÊ cĂc giÊ thi‚t cıa ành lỵ 3.3.1 thọa mÂn v T l toĂn tò Picard. ành lỵ 3.3.3 Cho (X; E; C; K; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh ƒy ı v Ănh x⁄ T : X ! X: GiÊ sò tỗn t⁄i s 2 [0; 1 2 ) thọa mÂn
Chứng minh LĐy a 0 2 X; ta xƠy dỹng dÂy l°p fa n g trong X bði cổng thức a n+1 = T a n vợi mồi n > 0: °t n = (a n ; a n+1 ) vợi mồi n > 0: Theo giÊ thi‚t, vợi mồi n > 0 ta cõ n +1 = (an+1; an+2) = (T an; T an+1)
Suy ra s s n+1 1 s n = h n vợi n > 0; ð Ơy h = 1 s 2 [0; 1): i•u õ chứng tọ r‹ng n h n 0 vợi mồi n > 1:
Vợi e 2 E; e tũy ỵ, khi õ tỗn t⁄i lƠn c“n U cıa trong E sao cho e U int C V… lim B(n;m) = nản tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n0 sao cho
B (n;m) 2 U vợi mồi m; n > n 0 : i•u n y k†o theo e B (n;m) 2 e U int C vợi mồi m; n > n 0 :
2 int C + C = int C vợi mồi m; n > n 0 : m;n!1 i•u õ chứng tọ
Suy ra fa n g l mºt dÂy Cauchy trong X: V… X ƒy ı nản tỗn t⁄i a 2 X sao cho lim an = a: n!1
Ti‚p theo ta ch¿ ra r‹ng a l i”m b§t ºng cıa T: Th“t v“y, v… lim an a nản vợi mỉi k > 1; tỗn t⁄i sŁ dữỡng nk sao cho n!1
2ks 2kK vợi mồi n > n k : Khi õ, ta cõ
(T a; a) (T a; T an) + K (T an; a) s (a; T a) + (a n ; T a n ) + K (T a n ; a); vợi mồi n > 0: Tł õ suy ra
; vợi mồi n > n k : Do õ, k e (T a; a) 2 C vợi mồi k > 1: M°t khĂc, do e ! 0 khi k ! 1 v C õng nản ta cõ (T a; a) 2 C: i•u n y chứng k tọ (T a; a) = hay T a = a V… v“y, a l i”m bĐt ºng cıa T:
T: Khi â, ta câ GiÊ sò b cụng l i”m bĐt ºng cıa
(3; 0) = (0; 3) = (3; 3); (2; 0) = (0; 2) = (2; 3) = (3; 2) = (1; 1): X†t Ănh x⁄ T : X ! X xĂc ành bði T 0 = T 2 = T 3 = 0: Rê r ng (X; E; C; K = 2; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh ƒy ı những khổng l khổng gian metric nân v…
Do õ, ành lỵ 2.6 trong [41] khổng Ăp dửng ữổc Tuy nhiản, d„ d ng ki”m tra ữổc tĐt cÊ cĂc giÊ thi‚t cıa ành lỵ 3.3.3 thọa mÂn v T l toĂn tòPicard.
BŒ sungı cıa khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh
m⁄nh ành nghắa 3.4.1 Cho (X; E; C; K; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh Vợi a 0 2 X v e 2 E; e, t“p con
B(a 0 ; e) := fa 2 X : (a 0 ; a) eg cıa X ữổc gồi l h…nh cƒu mð tƠm a 0 bĂn k‰nh e Ta nõi r‹ng:
(i) Mºt t“p A X l mð n‚u vợi mỉi a 2 A, tỗn t⁄i e a 2 E; e a sao cho B(a; e a ) A Mºt t“p B X l âng n‚u phƒn bò cıa nâ l t“p mð.
(ii) Giao cıa tĐt cÊ cĂc t“p õng chứa A l bao õng cıa A; k‰ hiằu l A T“p A ữổc gồi l trũ m“t trong X n‚u A = X.
Nh“n x†t 3.4.2 N‚u (X; E; C; K; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh Khi â c¡c khflng ành sau ¥y l óng:
(i) T“p ; v cÊ khổng gian X l cĂc t“p mð v cụng l cĂc t“p õng.
(ii) H…nh cƒu mð B(a 0 ; e) l t“p mð, h…nh cƒu âng B(a 0 ; e) l t“p
(iii) Hổp cıa cĂc t“p mð l mð, giao cıa cĂc t“p õng l õng.
(iv) Giao cıa mºt sŁ hœu h⁄n cĂc t“p mð l mð, hổp cıa mºt sŁ hœu h⁄n c¡c t“p âng l âng.
Mằnh • 3.4.3 DÂy cĂc phƒn tò fa n g cıa X l hºi tử ‚n a trong (X; E; C; K; ) n‚u v ch¿ n‚u mồi t“p mð W chứa a; tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho a n 2 W vợi mồi n > n 0 :
Chứng minh GiÊ sò lim an = a v W l mºt t“p mð chứa a Khi õ, tỗn t⁄i e 2 E; e sao chon!1 B(a; e) W Do lim a n = a nản tỗn t⁄i sŁ n!1 tỹ nhiản n 0 sao cho (a; a n ) e vợi mồi n > n 0 Do õ a n 2 W vợi mồi n > n 0
Ngữổc l⁄i, vợi mồi e 2 E; e, h…nh cƒu B(a; e) l t“p mð chứa a.
Theo giÊ thi‚t, tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho a n 2 B(a; e) vợi mồi n > n 0
Mằnh • 3.4.4 Cho A l mºt t“p con cıa khổng gian b-TVS metric
2 nõn m⁄nh (X; E; C; K; ) Khi õ, a A n‚u v ch¿ n‚u tỗn t⁄i mºt dÂy fa n g A sao cho lim a n = a: n!1 eE;e1>nAa
Chứng minh GiÊ sò 2 Khi õ vợi mỉi , 2 , ta cõ
Vợi mỉi n > 1; ta chồn an 2 B(a; n e ) \ A i•u n y chứng tọ fang A v nlim a n = a: Ngữổc l⁄i, giÊ sò tỗn t⁄i dÂy fa n g A sao cho n lim a n = a:
Ta ch¿ ra a 2 A Th“t v“y, b‹ng phı ành, giÊ sò a 2 XnA V… XnA l t“p mð, khi õ tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho a n 2 XnA vợi mồi n > n 0 i•u n y mƠu thuÔn vợi fa n g A.
Mằnh • 3.4.5 Cho A l t“p con cıa khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh (X; E; C; K; ) Khi õ A l t“p trũ m“t trong X n‚u v ch¿ n‚u vợi mỉi a 2
Chứng minh GiÊ sò A l trũ m“t trong X Cho a 2 X v e 2 E; e; tł BŒ • 3.4.4, tỗn t⁄i dÂy fang A sao cho lim a n = a: i•u n y chứng n!1 tọ, tỗn t⁄i sŁ tỹ nhiản n 0 sao cho (a; a n ) e vợi mồi n > n 0 °t b = an 0 Khi â, ta câ (a; b) e
Ngữổc l⁄i, giÊ sò a 2 X v e Vợi mỉi n > 1, tỗn t⁄i bn 2 A sao cho (b n ; a) e Chứng tọ fb n g A sao cho n lim
!1 b n = a: Do â a 2 n A v A l trò m“t trong X. ành nghắa 3.4.6 (i) nh x⁄ f : X ! Y tł mºt khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh (X; E; C; K; ) ‚n mºt khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh (Y; E; C; K 0 ; 0 ) ữổc gồi l ph†p flng cỹ n‚u
(ii) Mºt khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh ƒy ı (X ; E; C; K ; ) ữổc gồi l bŒ sung ı cıa khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh (X; E; C; K; ) n‚u tỗn t⁄i mºt ph†p flng cỹ f : X ! X sao cho f(X) = X : ành lỵ 3.4.7 Cho (X; E; C; K; ) l mºt khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh v nõn C thọa t‰nh chĐt lƠn c“n trong khổng gian vectỡ tổpổ lỗi àa ph÷ìng Hausdorff thüc E ƒy ı Khi â
(ii) BŒ sung ı cıa (X; E; C; K; ) l duy nhĐt theo nghắa l n‚u (X 1 ; E; C; K 1 ; 1 ) v (X 2 ; E; C; K 2 ; 2 ) l hai bŒ sung ı cıa (X; E; C; K; ) th… tỗn t⁄i mºt song Ănh flng cỹ : X 1 ! X 2 ỗng nhĐt trản X.
Chứng minh (i) Kỵ hiằu S l t“p tĐt cÊ cĂc dÂy Cauchy trong khổng gian (X; E; C; K; ) Ta ành nghắa mºt quan hằ trản S nhữ sau:
Vợi fa n g; fb n g 2 S; ta nõi fa n g fb n g n‚u lim (a n ; b n ) = : D„ d ng ki”m tra ữổc quan hằ l quan hằ tữỡng ữỡng trản S Gồin!1
X = fa = [fa n g] : fa n g 2 Sg; ð Ơy a = [fa n g] l lợp tữỡng ữỡng cıa fa n g dữợi quan hằ tữỡng ữỡng v ành nghắa h m : X X ! E bði
Trữợc tiản, ta ch¿ ra r‹ng lim (a n ; b n ) tỗn t⁄i Th“t v“y, vợi mỉi n; m ta câ n!1
K (a n ; a m )+ (b m ; b n ) (a n ; b n ) (a m ; b m ) K (a n ; a m )+ (b m ; b n ) ; vợi mồi n; m Hỡn nœa, do n;m!1 ( n ; a m ) + ( m ; b n ) = n;m!1 K ( n ; a m ) + ( m ; b n ) = ; lim K a b lim a b nản tł BŒ • 3.1.12, ta cõ n;m!1 n n ) (a m ; b m = : lim (a ; b )
Doõ, f (a n ; b n )g l mºt dÂy Cauchy trong E V… E l ƒy ı nản lim (an; bn) tỗn t⁄i Ti‚p theo, ta ch¿ ra r‹ng l xĂc ành Th“t v“y, n!1 n‚u fa n g fc n g v fb n g fv n g th… lim (a n ; c n ) = lim (b n ; v n ) = : n!1 n!1
(an; bn) K (an; cn) + (cn; vn) + K (vn; bn) v quan hằ
(c n ; v n ) K (c n ; a n ) + (a n ; b n ) + K (b n ; v n ); xÊy ra vợi mồi n > 1; nản ta cõ
K (a n ; c n )+ (v n ; b n ) (a n ; b n ) (c n ; v n ) K (a n ; c n )+ (v n ; b n ) ; vợi mồi n > 1 Tł BŒ • 3.1.12, ta cõ lim (a n ; b n ) = lim (c n ; v n ): n!1 n!1
V“y h m l xĂc ành Ta chứng minh l b-TVS metric nõn m⁄nh trản X Tł t
‰nh õng cıa C v (a n ; b n ) vợi mồi n, suy ra lim (a n ; b n ) = (a ; b ): n!1
N‚u (a ; b ) = th… lim (an; bn) = i•u n y tữỡng ữỡng vợi n!1 fa n g fb n g v do õ a = b V… (a n ; b n ) = (b n ; a n ) vợi mồi n nản ta cõ (a ; b )
(a ; b ) = lim (a n ; b n ) n!1 lim (an; cn) + K lim (c n ; b n ) n!1 n!1
= (a ; c ) + K (c ; b ); ð ¥y fa n g 2 a ; fb n g 2 b v fc n g 2 c V… v“y, l b-TVS metric nân m⁄nh trản X
Vợi mỉi a 2 X; ta °t f(a) = [fa; a; :::g] 2 X Tł
(f(a); f(b)) = lim (a; b) = (a; b) vợi mồi a; b 2 X; n!1 nản ta cõ f l ph†pflng cỹ tł (X; E; C; K; ) v o (X ; E; C; K; ) Ti‚p theo, ta chứng minh f(X) trũ m“t trong X Th“t v“y, vợi e 2 int C v a = [fa n g] 2 X ta câ lim (a n ; a m ) = : n;m!1
Theo Mằnh • 3.2.4, vợi mỉi i > 1, tỗn t⁄i n i 0 sao cho (an; am) e i vợi mồi n; m > n i 0 Tł â suy ra e
Do õ lim (f(a n i ); a ) = suy ra lim f(a n i ) = a i•u n y chứng tọ i!1 0 i!1 0 f(X) l trò m“t trong X :
BƠy giớ, ta chứng minh khổng gian (X ; E; C; K; ) l ƒy ı GiÊ sò f a n g l mºt dÂy Cauchy trong X , ð Ơy a n = [f a n ] vợi f a n 2 S. i g i i g
V… f(X) l trũ m“t trong X nản vợi mỉi n, tỗn t⁄i b n 2 X sao cho
Do lim e + e + (a ; a ) = nản ta cõ lim (b ; b ) = : n;m!1 n m n m n;m!1 n m f g d¢y Cauchy trong X; E; C; K; °t b n li•u n y chứng tọ mºt ( ) b = [fb n g] 2 X Khi â ta câ
Cho n ! 1, ta thu ữổc lim (a n ; b ) = ; n!1 i•u n y chứng tọ lim a = b :
(ii) Ta chứng minh t‰nh duy nhĐt cıa bŒ sung ı.
GiÊ sò (X 1 ; E; C; K 1 ; 1 ) v (X2 ; E; C; K2; 2) l hai bŒ sung ı cıa (X; E; C; K; ), f 1 : X ! X 1 v f
2 :X!X 2 l cĂc flng cỹ Vợi mỉi a 2 X , tỗn t⁄if a n g X sao cho lim f (a ) = a i•u õ chứng
1 1 g n!1 1 n 1 f n g tọ f (a f 1 n ) l mºt dÂy Cauchy trong X.V… 1 f 1 l flng cỹ nản a l mºt d¢y Cauchy trong X Bði f 2 l flng cü, khi â ff 2 (a n )g l mºt d¢y Cauchy trong X Do v“y, tỗn t⁄i a 2 X sao cho lim f (a ) = a
BƠy giớ, ta ành nghắa : X 1 ! X 2 bði (a 1 ) = a 2 Ta chứng minh l song Ănh Th“t v“y, lĐy mºt phƒn tò bĐt ký b2 2 X2 Khi õ tỗn t⁄i b ng X sao cho lim f(b ) = b V… f l flng cü, b n g l mºt d¢y f n!1 2 n f 2 n g 2 f 1
Cauchy trong X V… f 1 l flng cü, f (b ) 1 l mºt d¢y Cauchy trong X i•u õ chứng tọ tỗn t⁄i b X sao cho lim f (b ) = b V“y (b ) = b.
Suy ra l song Ănh M°t khĂc, vợi mồi a ; b 2 X vợi lim f (a ) = a v lim f1(bn) = b , bði Mằnh • 3.2.4, ta cõ 1 n!1 1 n n!1 (a ; b ) lim (f 1 (a n ); f 1 (b n ))
= 2( (a ); (b )): i•u õ chứng tọ r‹ng l mºt song Ănh flng cỹ ỗng nhĐt trản X:
V… (X; E; C; K; ) khổng l khổng gian b-metric m⁄nh Do õ ành lỵ 8 khổng Ăp dửng ữổc D„ d ng ki”m tra ữổc (X; E; C; K; ) l khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh V… C cõ mºt cỡ sð lỗi õng l B = f(1; 0)g nản C thọa mÂn t‰nh chĐt lƠn c“n Do õ, tĐt cÊ cĂc giÊ thi‚t trong ành lỵ 3.4.7 ữổc thọa mÂn Hỡn nœa, ta cõ (X = R; E = R 2 ; C; K; ) l bŒ sung ı cıa (X;E; C; K; ), ð Ơy (a ; b ) = (ja b j; 0) vợi mồi a ; b 2 X
K‚t lu“n ch÷ìng 3
Trong chữỡng n y, chúng tổi thu ữổc cĂc k‚t quÊ sau:
Giợi thiằu khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh Chứng minh mºt sŁ t‰nh chĐt trản khổng gian n y.
Thi‚t l“p ành lỵ 3.3.1 v ành lỵ 3.3.3 l cĂc i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard trong khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh ƒy ı.
Thi‚t l“p Nguyản lỵ bŒ sung ı cıa khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh.
Lu“n Ăn nghiản cứu v• sỹ tỗn t⁄i mºt sŁ lợp toĂn Picard y‚u v toĂn tò Picard trản khổng gian metric v metric suy rºng.
CĂc k‚t quÊ ch‰nh cıa lu“n Ăn bao gỗm:
1 Thi‚t l“p mºt sŁ i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard y‚u ỡn trà v toĂn tò Picard y‚u a trà trong khổng gian metric ƒy ı.
2 Thi‚t l“p mºt sŁ i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard v toĂn tò Picard y‚u a trà trong khổng gian b metric m⁄nh.
3 Giợi thiằu khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh v thi‚t l“p mºt sŁ i•u kiằn ı ” Ănh x⁄ l toĂn tò Picard trong khổng gian n y.
4 Thi‚t l“p Nguyản lỵ bŒ sung ı cıa khổng gian b-TVS metric nõn m⁄nh.
Chúng tổi • xuĐt mºt sŁ hữợng nghiản cứu ti‚p theo cho k‚t quÊ cıa lu“n ¡n nh÷ sau:
1 Nghiản cứu toĂn tò Picard v toĂn tò Picard y‚u cho cĂc khổng gian metric suy rºng khổng ƒy ı.
2 Nghiản cứu mºt sŁ ứng dửng cıa toĂn tò Picard v Picard y‚u v o cĂc b i toĂn v• sỹ tỗn t⁄i nghiằm cıa phữỡng tr…nh vi phƠn, hằ phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh, ph÷ìng tr…nh t‰ch ph¥n.
3 Nghiản cứu b i toĂn cƠn b‹ng khổng cºng tĂc trong trặ chỡi trản khổng gian metric suy rºng.
DANH MệC C C C˘NG TR NH CếA NGHI N CÙU SINH
[A1] Hieu Doan (2021),A new type of Kannan’s fixed point theorem in strong b-metric spaces , AIMS Mathematics , 6(7), 7895 7908. (SCIE)
[A2] Doan Trong Hieu and Bui The Hung (2022), Some fixed point theorems for weakly Picard operators in complete metric spaces and applications , Commun Korean Math Soc Vol 37, No 1,
[A3] Doan Trong Hieu, Bui The Hung, Muhammad Sirajo Abdullahi, Poom Kumam (2022), On Answer to Kirk-Shahzad’s Question for Strong b-TVS cone metric spaces , Science and Technology Asia, Vol 27, No 1, 20 30 (Scopus)
[A4] Ha Tran Phuong, Bui The Hung and Doan Trong Hieu (2023), Fixed point theorems of Kannan type contractive mappings in strong b-metric spaces , submitted to Miskolc Mathematical Notes (SCIE)
[A5] Bui The Hung and Doan Trong Hieu (2023), Picard operators in strong b-TVS cone metric spaces , submitted to East-WestJournal of Mathematics.
[1] Alimohammady M., Balooee J., Radojev‰c S., Rakocev‰c V., Roohi M (2011), Conditions of regularity in cone metric space , Appl Math comput., 217, 6359 6363.
[2] An T V., Dung N V (2016), Answers to Kirk-Shahzad’s questions on strong b-metric spaces , Taiwanese J Math., 20(5), 1175 1184.
[3] Banach S (1922), Sur les op†rations dans les ensembles abstraits et leur application aux †quations int†grales , Fund Math., 3, 133 181.
[4] Berstovansk¡ E (2003), Qualitative behavior of an integral equation related to some epidemic model , Demonstratio Math. XXXVI (3), 603 609.
[5] Berinde M., Berinde V (2007), On a general class of multi-valued weakly Picard mappings , J Math Anal Appl., 326, 772 782.
[6] Ciric Lj B (1974), A generalization of Banach’s contraction princi- ple , Proc Amer Math Soc., 45, 267 273.
[7] Connell E H (1959), Properties of fixed point spaces , Proc Amer. Math Soc., 10, 974 979.
[8] Czerwik S (1993), Contraction mappings in b-metric spaces , ActaMath Inform Univ Ostraviensis., 1, 5 11.
[9] Du W S (2010), A note on cone metric fixed point theory and its equivalence , Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 72, 2259 2261.
[10] Dube L S., Singh S P (1970), On multivalued contractions map- pings , Bull Math de la Soc Sci Math de la R S Roumanie, 14,
[11] Edelstein M (1962), On fixed and periodic points under contractive mappings , J London Math Soc., 37, 74 79.
[12] Farshid K., Mujahid A., Simona C (2014), Two new types of fixed point theorems in complete metric spaces , Abs Appl Anal., Vol.
[13] Felhi A (2016), On multi-valued weakly picard operators in Haus- dorff metric-like spaces , International Journal of Analysis and Appli-cations, 11(2), 168 182.
[14] Gaba Y U (2017), Fixed point theorems in G- metric spaces , J Math Anal Appl., 455, 528 537.
[15] Gahler S (1963), 2-Metrische Raume und ihre topologische struktur , Math Nachr., 26, 115 148.
[16] Gârnicki J (2017), Fixed point theorems for Kannan type mappings , J Fixed Point Theory Appl., 19, 2145 2152.
[17] Gârnicki J (2018), Various extensions of Kannan’s fixed point theo-rem , Fixed Point Theory, 18, 569 578.
[18] Gordij M E., De La Sen M., Cho Y J (2017), On orthogonal sets and Banach fiexd point theorem , J Fixed Point Theory Appl., 21,
[19] Hardy G E., Rogers T D (1973), A generalization of a fixed point theorem of Reich , Canad Math Bull., 16, 201 206.
[20] Hiranmoy G., Lakshmi K D., Tanusri S (2018), On Kannan-type contractive mappings , Num Func Anal Optimization., DOI 10.1080/01630563.2018.1485157.
[21] Huang L G., Zhang X (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings , J Math Anal Appl., 332,
[22] Kannan R (1968), Some results on fixed points , Bull Calcutta Math Soc., 60, 71 76.
[23] Kannan R (1969), Some results on fixed points II , Amer Math Monthly, 76(4), 405 408.
[24] Kirk A., Shahzad N (2014), Fixed Point Theory in Distance
[25] Luc D T (1989), Theory of Vector Optimization , Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer Verlag, Berlin, Ger-many, Vol 319.
[26] Matthews G S (1992), Partial metric topology , Reseach Report
212, Department of Computer Science University of Warwick.
[27] Mathews G S (1994), Partial metric topology , Ann New York Acad Sci., 728, 183 197.
[28] Meir A., Keeler E (1969), A theorem on contraction mappings , J Math Anal Appl., 28, 326 329.
[29] Muresan V (2003), Volterra integral equations with interations of linear modification of the argument , Novi Sad J Math., 33, 1 10.
[30] Muresan V (2004), Existence, uniqueness and data dependence for the solutions of some integro-differential equations of mixed type in Banach space , J Anal Appl., 23, 205 216.
[31] Olaru I M (2010), An integral equation via weakly Picard opera- tors , Fixed Point Theory, 11(1), 97 106.
[32] Olaru I M (2010), Generalizations of an integral equation related to some epidemic models , Carpathian J Math., 26, 92 96.
[33] Pant R (2016), Fixed point theorems for generalized semi-quasi con-tractions , J Fixed Point Theory Appl., 19, 1581 1590.
[34] Ran A C M., Reuring M C B (2004), A fixed point theorem in partially ordered sets and some applicationts to matrix equations , Proc Amer Math Soc., 132, 1435 1443.
[35] Rakotch E (1962), A note on contractive mappings , Proc Amer Math Soc., 13, 459 465.
[36] Rakotch E (1962), A note on locally contractive mappings , Bull Res Council Israel Sect, 10, 188 191.
[37] Reich S (1971), Kannan’s fixed point theorem , Boll Un Mat Ital., 4(4), 1 11.
[38] Reich S (1971), Some remarks concerning contraction mappings , Can Math Bull., 14, 121 124.
[39] Reich S (1972), Fixed points of contractive functions , Boll Un Mat Ital., 5(4), 26 42.
[40] Ri S-i (2016), A new fixed point theorem in the fractal space , Inda-gationes Mathematicae, 27, 85 93.
[41] Rezapour Sh., Hamlbarani R (2008), Some notes on the paper Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings , J Math Anal., 345, 719 724.
[42] Rus I A (1983), Generalized contractions , Univ Cluj-Napoca, Preprint (3), 1 30.
[43] Rus I A (1984), Bessaga mappings , Proc Colloq Approx Opti- mization, Cluj-Napoca, 165 175.
[44] Rus I A (1987), Picard mappings: results and problems , Univ Cluj-Napoca, Preprint 6, 55 64.
[45] Rus I A (1988), Picard mappings I , Studia Univ Babes-Bolyai
[46] Rus I A (1989), Basic problems of the metric fixed point theory revisited , Studia Univ Babes-Bolyai, 34, 61 69.
[47] Rus I A (1991), Basic problems of the metric fixed point theory revisited (II) , Stud Univ Babes-Bolyai, 36, 81 91.
[48] Rus I A (1993), Weakly Picard mappings , Comment Math Univ. Carolin, 34(4), 769 733.
[49] Rus I A., Petrusel A., Sintamarian A (2001) Data dependence of the fixed points set of multi-valued weakly Picard operators , Stud. Univ Babes-Bolyai, Math., 46, 111 121.
[50] Rus I A., Petrusel A., Sintamarian A (2003) Data dependence of the fixed points set of multi-valued weakly Picard operators , Nonlinear Anal., 52, 1947 1959.
[51] Rus I A (2003), Picard operators and applications , Sci Math Japan, 58(1), 191 219.
[52] Rus I A., Muresan A S., and Muresan V (2005), Weakly Picard operators on a set with two metrics , Fixed Point Theory, 6(2), 323 331.
[53] Rus I A., Petrusel A., Serban M A (2006), Weakly Picard operators: Equivalent definitions applications and open problems , Fixed Point Theory, 7, 3 22.
[54]Sawangsup K., Sintunavarat W., Cho Y J (2020), Fixed point theo- rems for orthogonal F contraction mappings on O complete metric spaces , J Fixed Point Theory Appl., https://doi.org/10.1007/s11784-019-0737-4
[55] Subrahmanyam P V (1975), Completeness and fixed points , Monatsh Math., 80, 325 330.
[56] Suzuki T (2007), A generalized Banach contraction principle that characterizes metric completeness , Proc Amer Math Soc.,
[57] Suzuki T (2009), A new type of fixed point theorem in metric spaces , Nonlinear Anal., 71 , 5313 5317.
[58] Wang J., Xiang X., Wei W (2010), A class of nonlocal impulsive problems for integrodifferential equation in Banach spaces , Results Math., 58, 379 397.
[59] Wang J., Zhou Y., Medved M (2012), Picard and weakly Picard oper-ators technique for nonlinear differential equations in Banach spaces , J Math Anal Appl., 389, 261 274.