Việc sử dụng bản đồ tư duy như một công cụ hỗ trợ quá trình học tập giúp học sinh ghi chép nhanh chóng , dễ dàng tiếp thu, tổng hợp và nắm vững kiến thức hơn. Sử dụng bản đồ tư duy giúp các em hệ thống và nắm được bài toán một cách liền mạch, từ đó định hướng được cách hoàn thành bài toán mà không bị trùng lặp ý. Và dễ dàng tìm các cách giải khác nhau trong cùng một bài toán.
Trần Nguyễn Nhật Uyên Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài “Sử dụng đồ tư giúp học sinh nắm vững kiến thức việc giải tốn quan hệ vng góc hình học 11” , em nhận hướng dẫn tận tình, giúp đỡ, động viên thầy Khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS Ngơ Thị Bích Thủy, người giúp đỡ, tận tình hướng dẫn em suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo Khoa Tốn tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận em khơng tránh khỏi cịn nhiều hạn chế thiếu sót cần góp ý sửa chữa, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy giáo để hồn thiện đề tài Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 11 năm 2020 Sinh viên Trần Nguyễn Nhật Uyên Trần Nguyễn Nhật Uyên Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẢN ĐỒ TƯ DUY: 1.1.1 Bản đồ tư gì? 1.1.2 Lợi ích sử dụng đồ tư dạy học: 1.1.3 Quy trình tạo nên đồ tư duy: .5 1.1.4 Những lưu ý vẽ đồ tư duy: 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11: 1.2.1 Hai đường thẳng vng góc: 1.2.2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: 1.2.3 Hai mặt phẳng vng góc: CHƯƠNG II: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TỐN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 2.1 DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC NHAU: 2.2 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG: 14 2.3 DẠNG 3: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GĨC NHAU: 18 Trần Nguyễn Nhật Un Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU - Lý chọn đề tài: Hình học phần khơng thể thiếu Tốn học phần mà học sinh gặp khó khăn nhiều việc tiếp nhận kiến thức giải tập Đa phần khả tư hình học việc giải tập em gặp nhiều khó khăn, đặc biệt hình học khơng gian Các tốn chứng minh hình học khơng gian nói chung tốn chứng minh quan hệ vng góc khơng gian - Hình học lớp 11 nói riêng địi hỏi học sinh phải rèn luyện thao tác tư duy, phân tích tốn tìm lời giải Ngoài giáo viên cần hướng dẫn học sinh biết cách tự tổng hợp, khái quát lại kiến thức học cách hệ thống, giúp học sinh phát huy vào việc giải tập cách sáng tạo Việc sử dụng đồ tư cơng cụ hỗ trợ q trình học tập giúp học sinh ghi chép nhanh chóng , dễ dàng tiếp thu, tổng hợp nắm vững kiến thức Sử dụng đồ tư giúp em hệ thống nắm toán cách liền mạch, từ định hướng cách hồn thành tốn mà khơng bị trùng lặp ý Và dễ dàng tìm cách giải khác toán Với mong muốn giúp tăng hứng thú việc học tập mơn Tốn cho học sinh nói chung việc giải tốn quan hệ vng góc khơng gian - Hình học lớp 11 nói riêng Em chọn đề tài “Sử dụng đồ tư giúp học sinh nắm vững kiến thức việc giải tốn quan hệ vng góc hình học khơng gian 11” - Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu Bản đồ tư dạng toán quan hệ vng góc hình học khơng gian 11 Ứng dụng đồ tư việc giải tốn quan hệ vng góc hình học khơng gian 11, góp phần nâng cao chất lượng hiệu dạy học mơn Tốn - Nhiệm vụ nghiên cứu: -Nghiên cứu sở lý luận -Nghiên cứu cách sử dụng đồ tư giải tốn -Nghiên cứu đặc điểm, nội dung chương trình SGK kiến thức HHKG – Quan hệ vng góc lớp 11 trường THPT -Ứng dụng sử dụng đồ tư giúp học sinh nắm vững kiến thức việc giải tốn quan hệ vng góc hình học khơng gian 11 trường THPT Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên - Phương pháp nghiên cứu: -Nghiên cứu tài liệu: Sách báo, Internet,… có liên quan đến phần “Quan hệ vng góc khơng gian” lớp 11 trường THPT -Nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa mơn Tốn phần “Quan hệ vng góc không gian” lớp 11 trường THPT - Nghiên cứu cách sử dụng đồ tư giải toán - Bố cục luận văn: Luận văn gồm có hai chương sau: CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẢN ĐỒ TƯ DUY 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 2.1 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 2.2 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẢN ĐỒ TƯ DUY: 1.1.1 Bản đồ tư gì? Bản đồ tư hay gọi sơ đồ tư duy, lược đồ tư duy, hình thức ghi chép sử dụng màu sắc hình ảnh, để mở rộng đào sâu ý tưởng Ở đồ ý tưởng hay hình ảnh trung tâm Ý tưởng hay hình ảnh trung tâm phát triển nhánh tượng trưng cho ý nối với ý trung tâm.1 Bản đồ tư công cụ tổ chức tư hoạt động thông qua nguyên tắc Tưởng tượng liên kết não để tăng tối đa sức sáng tạo Cách vẽ đơn giản cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết phù hợp nhiều tiện ích khác khiến cho Bản đồ tư ngày trở nên phổ biến toàn cầu 1.1.2 Lợi ích sử dụng đồ tư dạy học: Sử dụng đồ tư việc giảng dạy giúp giáo viên: - Giúp học sinh tập trung hứng thú chủ đề - Dễ dạy, dễ ôn tập lại kiến thức cũ - Dễ dàng hệ thống kiến thức học cách ngắn gọn, dễ hiểu - Tạo điều kiện cho học sinh động não, sáng tạo Sử dụng đồ tư việc học giúp học sinh: - Kích thích hứng thú học tập - Tăng khả sáng tạo - Tiết kiệm thời gian - Phát huy tối đa khả ghi nhớ vận dụng não - Hình thành tư logic - Nắm bắt kiến thức cách dễ dàng hệ thống 1.1.3 Quy trình tạo nên đồ tư duy: Trước tạo nên đồ tư duy, ta cần chuẩn bị: giấy, bút màu,…Sau tiến hành theo bước sau:3 - Bước 1: Vẽ chủ đề trung tâm Xác định nội dung kiến thức trọng tâm Bắt đầu từ TRUNG TÂM tờ giấy trắng, vẽ hình tượng trưng cho ý - Bước 2: Vẽ nhánh cấp 1 Sách “ Bản đồ tư công việc” – Tony Buzan Sách “Lập đồ tư duy” – Tony Buzan Sách “ Lập đồ tư duy” Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên Từ chủ đề trung tâm, vẽ nhánh Các nhánh cấp nội dung chủ đề - Bước 3: Vẽ nhánh cấp 2, cấp 3,… Các nhánh cấp nội dung bổ trợ cho nhánh cấp Nhánh cấp nội dung bổ trợ cho nhánh cấp 2,… - Bước 4: Hoàn thiện đồ tư 1.1.4 Những lưu ý vẽ đồ tư duy: - Sử dụng nhiều màu sắc - Sử dụng hình ảnh minh họa có - Các nhánh có màu sắc khác nhau, nhánh màu chữ viết nhánh màu Càng gần trung tâm đường kẻ tơ đậm - Nên dùng đường cong nhiều đường thẳng - Tránh ghi nguyên đoạn văn dài dòng, ghi chép nhiều ý 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11: 1.2.1 Hai đường thẳng vng góc: a Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song với a b b Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90° c Nhận xét: u v - Nếu vectơ phương hai đường thẳng a b a b u v 0 : - Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên - Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo 1.2.2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: a Định nghĩa: Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng ( α ) d vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng ( α ) b Định lí: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng c Tính chất: - Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước - Có đưởng thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước 1.2.3 Hai mặt phẳng vng góc: a Góc hai mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên b Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng c Định lí: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng CHƯƠNG II: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 Để nâng cao lực cho học sinh q trình giải tốn quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11, việc sử dụng Bản đồ tư giúp cho người học nắm vững kiến thức lâu dài Trong đề tài này, đưa dạng tốn Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên từ hướng dẫn cách sử dụng Bản đồ tư để phân tích tìm lời giải ứng với dạng giúp học sinh nhanh tìm lời giải cho tốn 2.1 DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC NHAU: 2.1.1 Phương pháp: Cho hai đường thẳng a b Để chứng minh a b ta thực sau: Cách 1: Nếu hai đường thẳng a , b đưa mặt phẳng ( P) sử dụng cách chứng minh hai đường thẳng vng góc hình học phẳng: áp dụng định lý đảo hệ thức lượng tam giác vuông, hai đường chéo hình thoi, hai cạnh kề hình chữ nhật, góc nội tiếp,… Cách 2: Dùng định nghĩa góc hai đường thẳng khơng gian chứng minh góc 90° Cách 3: Sử dụng tích vơ hướng: Tìm hai vectơ phương u v hai AB CD =0 u đường thẳng a,b chứng minh v 0 Đặc biệt, AB CD Cách 4: Dùng nhận xét “Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại.” a b a ( P) a c a c c ( P) b c Hoặc Cách 5: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng a ( P ) a b b ( P ) Cách 6: Sử dụng định lý ba đường vng góc: “ Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng ( ) b đường thẳng khơng thuộc ( ) đồng thời khơng vng góc với ( ) Gọi b hình chiếu vng góc b ( ) Khi a vng góc với b a vng góc với b” 2.1.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng Tất cạnh bên cạnh đáy hình chóp a Chứng minh: SA SC Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên *Phương pháp giải: Sử dụng cách chứng minh hai đường thẳng vng góc hình học phẳng *Hình vẽ: *Sơ đồ tư duy: *Lời giải: Vì ABCD hình vng cạnh a nên ta có độ dài đường chéo AC : 10 Trần Nguyễn Nhật Uyên Khóa luận tốt nghiệp AC AB BC a2 a2 a AC 2a 2 SAC Xét ta có: SA SC 2a SA2 SC AC SAC vuông S Vậy: SA SC Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a Chứng minh: AB CD *Phương pháp giải: Sử dụng tích vơ hướng *Hình vẽ: *Sơ đồ tư duy: 11 Trần Nguyễn Nhật Uyên Khóa luận tốt nghiệp AB a; AC b; AD c Đặt AB a; AC b; AD c *Lời giải: Đặt Ta có: CD AD AC c b AB a AB.CD a.(c b) cos ( AB, CD) 0 AB CD a c b (Vì a b c a ) cos( AB,CD )= 90° Suy Vậy AB CD Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh SA=SC E trung điểm SB Chứng minh: AC SD *Phương pháp giải: Dùng nhận xét “Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại.” 12 Trần Nguyễn Nhật Un Khóa luận tốt nghiệp *Hình vẽ: *Sơ đồ tư duy: *Lời giải: Xét SBD có: E trung điểm SB O trung điểm BD ⇒ OE đường trung bình SBD ⇒ OE SD (1) Xét SAB SBC có: SA = SC SB chung AB = BC 13 Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên ⇒ SAB = SBC ⇒ AE = EC (Hai trung tuyến tương ứng nhau) Xét AEC có: AE = EC AO = OC ⇒ AEC cân E ⇒ OE AC (2) Từ (1) (2) suy ra: AC SD 2.1.3 Bài tập: Bài 1: (Bài SGK/98) Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P ,Q trung điểm cạnh AC, CB, BC , C A Chứng minh rằng: a) AB CC b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật ASB Bài 2: (Bài SGK/98) Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC có ^ ^ Chứng minh rằng: SA BC , SB AC , SC AB BSC = CSA =^ Bài 3:(Bài SGK/98) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD ^ BAC = ^ BAD = 60 Chứng minh rằng: a) AB CD b) Nếu M, N trung điểm AB CD MN AB MN CD 2.2 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG: 2.2.1 Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng ( P) ,ta thực sau: 14 Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên Cách 1: Dùng định lý : “ Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ấy” Chứng minh đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( P) a b a c a ( P) c b A b, c ( P ) Cách 2: Kết hợp quan hệ song song: a b a ( P) b (P) Chứng minh a (Q) a ( P) (Q) ( P) Cách 3: Chứng minh: Cách 4: Có hai mặt phẳng vng góc, đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến hai mặt phẳng, vng góc với mặt phẳng ( P ) ( P) ( P ) ( P) d a ( P) a ( P ) a d Cách 5: Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba ( ) ( ) a a ( P) ( ) ( P) ( ) ( P ) 2.2.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng SA vng góc với mặt phẳng chứa hình thoi ABCD SI SK Gọi I K hai điểm lấy hai đoạn SB SD cho SB SD Chứng minh: IK ( SAC ) 15 Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên *Phương pháp giải: + Dùng định lý : “ Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ấy” a b a ( P) b (P) + Kết hợp quan hệ song song: *Hình vẽ: *Sơ đồ tư duy: *Lời giải: Xét hình thoi ABCD có : AC BD (Hai đường chéo hình thoi) (1) Vì SA vng góc với mặt phẳng ABCD Suy SA BD (2) Từ (1) (2), suy ra: BD ( SAC ) (3) SI SK SB SD SBD Xét có: 16 Khóa luận tốt nghiệp Theo định lý Talet đảo ta được: IK BD Trần Nguyễn Nhật Uyên (4) Từ (3) (4), suy : IK ( SAC ) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi H trung điểm AB Chứng minh: SH ( ACD ) *Phương pháp giải: : Có hai mặt phẳng vng góc, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng, vng góc với mặt phẳng *Hình vẽ: *Sơ đồ tư duy: 17 Trần Nguyễn Nhật Uyên Khóa luận tốt nghiệp *Lời giải: Vì SAB tam giác cạnh a nên SH AB (1) Ta có: ( SAB) ( ABCD) (2) ( SAB) ( ABCD) AB (3) SH ( SBA) (4) Từ (1),(2),(3),(4) suy ra: SH ( ABCD) SH ( ACD) 2.2.3 Bài tập: Bài 1: (Bài SGK/105) Trên mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD, S điểm nằm mặt phẳng ( ) cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) SO ( ) b) Nếu mặt phẳng (SAB) kẻ SH vng góc với AB H AB vng góc với mặt phẳng (SOH) Bài 2:(Bài SGK/105) Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có tam giác ABC vuông B Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc SM SN với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SB SC Chứng minh rằng: 18 Trần Nguyễn Nhật Uyên Khóa luận tốt nghiệp a) BC ( SAB ) AM ( SBC ) b) SB AN 2.3 DẠNG 3: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC NHAU: 2.3.1 Phương pháp: Để chứng minh mặt phẳng ( P) vng góc với mặt phẳng (Q), ta thực sau: Cách 1: Chứng minh góc hai mặt phẳng 90 Cách 2: Vận dụng định lý : “Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia” Chứng minh mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia, tức là: ( P) ( P ) (Q ) ( Q ) Hoặc: (Q ) (P) (Q) ( P ) 2.3.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a, I trung điểm BC, D điểm đối a vng góc với (ABC) Chứng xứng của A qua I Dựng đoạn minh: mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (SAC) SD *Phương pháp giải: + Dùng định lý : “ Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ấy” 19 Khóa luận tốt nghiệp Trần Nguyễn Nhật Uyên + Vận dụng định lý : “Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia” *Hình vẽ: *Sơ đồ tư duy: Kẻ CK SA 20