Tªn ®Ò tµi Khai th¸c, ph¸t triÓn bµi to¸n tõ mét bµi to¸n H×nh Häc 7 MỤC LỤC TT NỘI DUNG TRANG I ĐẶT VẤN ĐỀ 3 I 1 Lý do chọn đề tài 3 I 2 Mục đích nghiên cứu đề tài 3 I 3 Phạm vi nghiên cứu đề tài 4 I[.]
Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Học MC LC: TT I NỘI DUNG TRANG ĐẶT VẤN ĐỀ I.1 Lý chọn đề tài I.2 Mục đích nghiên cứu đề tài I.3 Phạm vi nghiên cứu đề tài II NỘI DUNG II.1 Cơ sở lý thuyết II.2 Khai thác, phát triển toán II.3 Các biện pháp thực 34 II.4 Hiệu SKKN 34 III KẾT LUẬN 36 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Học DANH MC CHỮ CÁI VIẾT TẮT SKKN : Sáng kiến kinh nghiệm HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách tập THCS: Trung học sở HSG: Học sinh giỏi TB: Trung bỡnh GT: gi thit Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán H×nh Häc I ĐẶT VẤN ĐỀ I.1 Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học quan trọng mà thành tựu khoa học kỹ thuật gắn với trưởng thành phát triển môn Hướng đổi phương pháp dạy học Tốn tích cực hoá hoạt động học tập HS, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho HS tư duy, tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Bởi việc rèn luyện kĩ phát triển, khai thác toán nhiệm vụ cần thiết học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Nhưng năm qua từ việc thăm lớp, dự đồng nghiệp giáo viên cịn thiếu kinh nghiệm, chúng tơi nhận thấy có hạn chế sau: Đối với giáo viên: Giáo viên dừng lại việc hướng dẫn học sinh giải xong tốn hay chứng minh định lý, tính chất mà chưa trọng tìm tịi, nghiên cứu kỹ xem tốn khai thác, phát triển, khái qt hố khơng ta có tốn nào? Đối với học sinh: Với học sinh đại trà nói chung học sinh giỏi lớp nói riêng Khi em giải tốn hình học khó khăn lúng túng Các em xem việc giải xong tốn (có thể đơn giản) Bởi em bắt đầu làm quen với mơn “Hình học” phương pháp chứng minh, phương pháp suy luận có lơgíc chặt chẽ Tuy nhiên, khéo léo dẫn dắt học sinh có cách nhìn sâu sắc từ tốn SGK , SBT chắn giúp học sinh giải tốn mà cịn phát triển tư sáng tạo say mê học tập học sinh, đặc biệt mơn “Hình học” Từ thực tế nêu trên, trình giảng dạy thân chúng tơi cố gắng tìm tịi, nghiên cứu, khai thác, phát triển nhiều toán chương trình Tốn THCS Chính đề tài: “Khai thác, phát triển tốn từ tốn Hình học 7” xin mạnh dạn đưa hai tốn Hình học Bài tập trang 106 - SBT Toán tập Bài tập 50 trang 29 - SBT Toán -Tập mà xuất phát từ hai toán khai thác, phát triển thành tốn hay khó để giảng dạy HS đại trà việc bồi dưỡng HSG I Mục đích đề tài: * Đối với giáo viên: - Sử dụng làm tài liệu cho chuyên đề dạy bồi dưỡng HSG - Đúc rút kinh nghiệm đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao cht Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Học lng dy học * Đối với học sinh: - Giúp HS có nhìn tổng qt từ nhiều khía cạnh tốn, biết đặt cho câu hỏi liên quan: Nếu thay đổi cách đặt vấn đề tốn nào? Vận dụng tốn để giải toán nào? - Tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập - Bồi dưỡng phương pháp tự học I.3 Phạm vi nghiên cứu đề tài: - Đề tài áp dụng cho HS lớp 7, chủ yếu HS giỏi tiền đề cho HS khối 8; - Các toán chọn trình bày ví dụ minh hoạ, bạn đọc tìm ví dụ tốn khác để áp dụng Hiệu mời quý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp tham khảo, góp ý áp dụng Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Học II NI DUNG II.1 Cơ sở lý thuyết: 1) Định lý tổng ba góc tam giác 2) Tính chất đường phân giác, đường đường cao, đường trung tuyến tam giác 3) Các trường hợp tam giác 4) Tính chất hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc 5) Tính chất tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông 6) Định lý Pi-ta-go 7) Quan hệ yếu tố trong tam giác Các đường đồng quy tam giác II.2 Khai thác, phát triển toán: Trước hết toán sau: Bài toán 1: (Bài tập 71 - trang 106 - SBT Toán tập 1) Vẽ lại hình 59 vào đặt tốn vẽ tam giác để có hình 59 Hướng dẫn giải: E C - Vẽ tam giác ABD A - Vẽ tam giác ABC vuông cân A (C; D nằm khác phía với bờ AB) - Vẽ tam giác ADE vng cân A (E; B nằm khác phía với bờ AD) D B Hình 59 *Phân tích toán: Từ toán trên, dễ dàng nhận thấy ∆ACD = ∆ABE nên CD = BE Nếu gọi O giao điểm CD BE, K giao điểm CD AB So sánh số đo góc hai tam giác ACK KBO ta có KOB CAK 90 hay BE CD Ta có tốn sau: Bài tốn 1.1: Cho tam giác ABD, vẽ tam giác ABC tam giác ADE vuông cân A cho C D nằm khác phía với bờ AB, B E nằm khác phía với bờ AD Chứng minh rng: Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Học a) CD = BE b) CD BE Hướng dẫn giải: E C a) Xét ∆ACD ∆ABE có: A AC AB(gt) CAD BAE ACD ABE(c.g.c) AD AE(gt) CD = BE (hai cạnh tương ứng) K O B D b) Gọi O K giao điểm CD với BE AB Xét ∆ACK ∆OBK có: AKC OKB ACK KBO (v× ACD ABE) CAK KOB Mà CAK 90 nên KOB 90 CD BE * Phân tích toán: Từ BE = CD suy BE = CD Vậy gọi M ; O1; O2 trung điểm BD; BC DE MO1 // CD; MO1 = CD; MO2 // BE; MO2 = BE MO1 = MO2 MO1 MO2 hay ∆MO1O2 vng cân Ta có tốn mới: Bài tốn 1.2: Cho tam giác ABD, vẽ tam giác ABC tam giác ADE vuông cân A cho C D nằm khác phía với bờ AB, B E nằm khác phía với bờ AD Gọi M ; O1; O2 trung điểm BD; BC DE Chứng minh ∆MO1O2 vuông cân Hướng dẫn giải: Xét ∆BCD có M trung điểm BD, O1 trung điểm BC ( Lớp em chưa học đường trung bình tam giỏc nhng giỏo viờn Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Häc gợi ý dựa vào tập 64 - SBT Toán - tập trang 106 ) E C MO1 // CD; MO1 = CD Tương tự ta có MO2 // BE; MO2 = BE A Mà BE = CD MO1 = MO2 BE // CD MO1 MO2 O1 O2 Vậy tam giác MO1O2 vng cân M * Phân tích toán: Từ ACD ABE , gọi M1; B M2 trung điểm CD BE ta dễ dàng M D chứng minh ACM1 ABM 1 tam giác cân Không từ AE vng góc AD ta suy 1 tam giác vng cân Ta có tốn sau: Bài toán 1.3: Cho tam giác ABD, vẽ tam giác ABC tam giác ADE vuông cân A cho C D nằm khác phía với bờ AB, B E nằm khác phía với bờ AD Gọi M1; M2 trung điểm CD BE Chứng minh rằng: 1 tam giác vuông cân (Đây tập 169 trang 102 - Sách toán nâng cao hình học 7) Hướng dẫn giải: Từ tốn 1.1 ta có kết CD = BE E C 1 CM BM ( CD BE ) 2 A M1 ACD ABE ACM ABM M2 Xét ACM1 ABM có: AC = AB; ACM ABM ; CM BM nên: ACM1 ABM B D AM AM ; CAM BAM M AM CAB 90 hay 1 tam giác vng cân * Phân tích tốn: Từ tốn 1.1; 1.2; 1.3 tam giác ABD kết tốn có thay đổi khơng? Ta cú bi toỏn tng quỏt sau: Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Học Bi toỏn 1.4: Cho tam giỏc ABD, vẽ tam giác ABC tam giác ADE vuông cân A cho C D nằm khác phía với bờ AB, B E nằm khác phía với bờ AD a) Chứng minh CD = BE b) Chứng minh CD BE ( Đây tập 46 trang 103 – sách tập toán – tập 1) c) Gọi M ; O1; O2 trung điểm BD; BC DE Chứng minh ∆MO1O2 vuông cân d) Gọi M1; M2 trung điểm CD BE Chứng minh rằng: E 1 tam giác vuông cân C Giải: Giải tương tự lời giải toán 1.1; 1.2 A toán 1.3 O1 M2 O2 M1 B M D * Phân tích tốn: Xét AM CE có quan hệ nào? Ta có tốn sau: Bài tốn 1.5: Cho tam giác ABD, vẽ tam giác ABC tam giác ADE vuông cân A cho C D nằm khác phía với bờ AB, B E nằm khác phía với bờ AD Chứng minh rằng: AM = CE ( Đây toán 33a trang 65 sách nâng cao phát triển toán tập 1) Hướng dẫn giải : Để chứng minh AM = CE 2AM = CE Từ nghĩ cần phải tạo đoạn thẳng 2AM chứng minh đoạn thẳng CE Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Học Vi suy ngh ú kết hợp với M trung điểm BD ta nhận thấy yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm N cho M trung điểm AN Vì tia đối tia MA lấy điểm N cho : MN = MA Dễ thấy MAB MND(c g c) AB = ND ; E C BAM MND A AB song song với ND Vì ADN BAD 1800 Ta có : BAD CAE 1800 CAE ADN B D M Xét ACE DNA có : AD = AE ; CAE ADN DN = CA ( = AB ) Do ACE = DNA (c-g-c) AN CE mà AM = N 1 AN nên AM = CE 2 * Phân tích tốn : Ngồi AM CE cịn có mối quan hệ nữa? Nhận thấy từ ACE = DNA MAD Nếu gọi Q giao điểm AM CE ta CEA có QAE QEA QAE MAD 900 , từ suy AM vng góc với DE Ta có tốn sau: Bài tốn 1.6: Cho tam giác ABD, vẽ tam giác ABC tam giác ADE vuông cân A cho C D nằm khác phía với bờ AB, B E nằm khác phía với bờ AD Chứng minh rằng: AM CE ( Đây toán 33b trang 65 sách nâng cao phát triển toán tập 1) Hướng dẫn giải : E Q C Từ kết toán 1.5 : A ACE = DNA MAD CEA Gọi Q giao điểm AM CE ta có : QAE QEA QAE MAD 900 B D M AQ CE hay AM CE N Tên đề tài: Khai thác, phát triển toán từ toán Hình Học * Phân tích tốn: Từ tốn 1.6 nhận thấy ABD ACE có vai trị Đường trung tuyến AM ABD trùng với đường cao AQ ACE Vậy đường cao AH ABD liệu có phải đường trung tuyến tam giác ACE khơng? Từ ta có tốn sau: Bài toán 1.7: Cho tam giác ABD, vẽ tam giác ABC tam giác ADE vuông cân A cho C D nằm khác phía với bờ AB, B E nằm khác phía với bờ AD Kẻ AH đường cao tam giác ABD Chứng minh rằng: đường thẳng AH cắt CE trung điểm CE ( Đây toán 39 trang 67 sách nâng cao phát triển toán tập 1) Hướng dẫn giải: Gọi N giao điểm CE đường thẳng AH, cần chứng minh CN = NE Để chứng minh CN = NE ta cần tạo hai tam giác có chứa hai đoạn thẳng CN NE Nghĩ nên đường phụ cần vẽ thêm CK EL vuông góc với đường C L N K E thẳng AH (K; L AH) A Dễ dàng chứng minh ACK BAH ; AEL DAH CK = EL (=AH) KCN LEN CN = NE mà N nằm C E N trung điểm CE hay đường thẳng AH cắt CE trung điểm CE B D H * Phân tích tốn: Các tam giác ABC tam giác ADE vng cân nên tam giác ABD ta dựng hình vng ABFC ADGE ta có kết tốn Cụ thể ta có tốn tổng hợp sau: Bài tốn 1.8: Cho tam giác ABD, tam giác ABD dựng hình vng ABFC ADGE Chứng minh rằng: a) Chứng minh CD = BE b) Chứng minh CD BE c) Gọi M1; M2 trung điểm CD BE Chứng minh rằng: 1 tam giác vuông cân d) Gọi M ; O1; O2 trung điểm BD; BC DE Chứng minh 10