Hệ mở trong dòng chảy 1 HỆ MỞ TRONG DÒNG CHẢY Biên soạn: Lê Quang Nguyên 1. HỆ MỞ Xét một dòng chất lưu bất kỳ, giả sử chúng ta quan tâm tới một phần của dòng chảy giới hạn trong mặt kín (S) như trên hình 1.1, và muốn biết nội năng của hệ đó thay đổi theo thời gian như thế nào. Hệ như vừa xác định là một hệ mở, nghĩa là nó trao đổi vật chất với môi trường chung quanh: luôn luôn có các hạt chất lưu mới đi vào hệ cũng như có các hạt rời khỏi hệ. Khảo sát các hệ mở nói chung có thể là một vấn đề phức tạp. Hơn nữa, hầu hết các định luật cơ học và nhiệt động lực đều chỉ áp dụng cho các hệ kín, không trao đổi vật chất với bên ngoài. Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp cho phép tìm hiểu một hệ mở, dựa trên các tính chất của một hệ kín được lựa chọn thích hợp. Hãy trở lại hệ (S) trên hình 1.1. Gọi (S*) là một mặt kín đi theo dòng chảy, sao cho hệ các hạt trong đó trùng với hệ (S) vào một thời điểm t nào đó. Hệ giới hạn trong (S*) có hai đặc điểm: nó là một hệ kín, và nó trùng với hệ mở (S) ở thời điểm t. Sau đây chúng ta sẽ thiết lập một hệ thức cho phép kết nối tính chất của hệ mở (S) với tính chất của hệ kín (S*). Chúng tôi lưu ý bạn đọc một lần nữa là hệ (S*) di chuyển theo dòng chảy và trùng với hệ (S) vào lúc t. Gọi u là nội năng riêng của một hạt chất lưu trong (S*) (nội năng của một đơn vị thể tích). Độ biến thiên của u theo thời gian được cho bởi đạo hàm theo hạt của nó: * * * ( . ) Du u v grad u Dt t (1.1) Suy ra độ biến thiên nội năng của hệ (S*) là: * * * . V V V DU Du u dV dV v grad udV Dt Dt t (1.2) Trong đó chúng tôi đã thay thế u * bằng u và V* bằng V trong các tích phân sau, do hệ S* trùng với hệ S vào lúc đang xét. Ta có: V V u d dU dV udV t dt dt (1.3) Suy ra: * . V DU dU v grad udV Dt dt (1.4) Đối với dòng chảy không nén được ta còn có: S* S Lúc t Hình 1.1. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hệ mở trong dòng chảy 2 . v grad u div uv udivv div uv (1.5) Vì 0 divv . Suy ra: * V DU dU div uv dV Dt dt (1.6) Hay là: * S DU dU uv ndS Dt dt (1.7) Nghĩa là, nếu dòng chảy là không nén được và nếu (S*) là hệ kín chuyển động theo dòng chảy, trùng với hệ mở (S) lúc t, thì vào lúc ấy độ biến thiên nội năng của (S*) bằng độ biến thiên nội năng của (S) cộng với lưu lượng nội năng qua (S). Dưới dạng vi phân ta có: * Du du div uv Dt dt (1.8) Không riêng gì đối với nội năng, hệ thức (1.4), (1.6) và (1.7) cũng đúng cho các đại lượng cơ học và nhiệt động lực học khác, muốn thế chúng ta có thể thay thế tương ứng như trong bảng 1.1. Trong các phần sau chúng ta sẽ xem xét một số áp dụng của hệ thức dạng (1.6) cho các đại lượng cơ học và nhiệt động lực học khác nhau. 2. BỘ TRAO ĐỔI NHIỆT Xét một bộ trao đổi nhiệt như trên hình 2.1, trong đó L 1 và L 2 là hai chất lỏng chảy ngược chiều nhau trong hai ống nằm ngang, và có thể trao đổi nhiệt với nhau. Giả sử trong một đơn vị thời gian nhiệt truyền từ chất lỏng 1 sang chất lỏng 2 trên một đoạn dài dx có dạng: 1 2 dQ G T T dx dt (2.1) Với G là một hằng số dương. Ngoài ra giả thiết các dòng chảy là dừng. Chúng ta sẽ dùng hệ thức (1.6) để tìm nhiệt độ T 1 và T 2 của các dòng chảy theo vị trí x. Chọn hệ kín là một yếu tố chuyển động theo chất lỏng L 1 , có chiều dài dx. Vào lúc t hệ trùng với một đoạn dx cố định trong chất lỏng L 1 của bộ trao đổi nhiệt Áp dụng nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học cho hệ kín nêu trên ta thu được: * 1 1 2 DU dQ dW G T T dx Dt dt dt (2.3) Đại lượng Mật độ Nội năng U u Enthalpy H h Entropy S s Động năng E k ½ v 2 Động lượng theo phương i p i v i Moment động lượng đối với trục i L i (rv) i Bảng 1.1. L 1 L 2 x Hình 2.1. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hệ mở trong dòng chảy 3 Trong đó chúng ta đã bỏ qua số hạng thứ hai, vì công của áp lực ở hai đầu đoạn dx triệt tiêu lẫn nhau (công suất của áp lực ở phía trái là Pv, còn ở phía phải là –Pv). Bây giờ, dùng hệ thức (1.5) và lưu ý rằng vận tốc v 1 = const (dòng chảy đều) và dU/dt = 0 (dòng chảy dừng), ta có: * * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m DU du v Sdx c dT v S c D dT Dt dx (2.4) Trong đó 1 , c 1 là khối lượng riêng và nhiệt dung riêng của chất lỏng 1, S là tiết diện ống dòng và D m1 = 1 v 1 S là lưu lượng khối của dòng chảy L 1 . So sánh (2.3) và (2.4) ta suy ra: 1 1 1 1 2 m dT c D G T T dx (2.5) Tương tự như vậy cho chất lỏng L 2 ta có: 2 2 2 1 2 m dT c D G T T dx (2.6) Hệ (2.5) và (2.6) cho phép xác định T 1 (x) và T 2 (x). 3. ĐỘNG CƠ PHẢN LỰC Một máy bay phản lực chuyển động thẳng đều với vận tốc v 1 đối với khí quyển. Trong hệ quy chiếu gắn liền với máy bay thì không khí đi vào động cơ với vận tốc cũng là v 1 . Hỗn hợp khí nén và nhiên liệu được đốt cháy, cung cấp một phần năng lượng cho bộ nén khí, rồi được thải ra phía sau với vận tốc v 2 (hình 3.1). Giả sử các dòng chảy là dừng và áp suất ở hai đầu của động cơ đều bằng áp suất khí quyển. Gọi D m,air là lưu lượng khối của không khí đi vào động cơ. Để đốt cháy hoàn toàn nhiên liệu, lưu lượng của nhiên liệu D m,carb phải nhỏ hơn lưu lượng không khí, nói chung giữa chúng có hệ thức: , , 1 m carb m air D D (3.1) Vì khối lượng các chất lưu được bảo toàn nên lưu lượng của khí thoát là: , 1 m m air D D (3.2) Xét (S) là hệ mở bao gồm động cơ, nhiên liệu và các khí giới hạn giữa hai hai đầu động cơ và (S*) là hệ kín di chuyển theo dòng chảy và trùng với (S) lúc t. Dùng hệ thức (1.7) đối với động lượng trên phương x và để ý rằng độ biến thiên động lượng của hệ mở là bằng không (các dòng chảy là dừng và máy bay có vận tốc không đổi): Không khí Hình 3.1. Buồng đốt Nhiên liệu Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hệ mở trong dòng chảy 4 * x x S Dp v v ndS Dt (3.3) Số hạng ở vế phải là lưu lượng động lượng trên phương x của các dòng chảy qua (S). Trong trường hợp này ta có thể biểu diễn nó một cách đơn giản qua các lưu lượng khối của không khí và của khí thoát: * 2 , 1 , 2 1 1 x m m air m air Dp D v D v D v v Dt (3.4) Mặt khác, dùng định luật Newton 2 cho hệ kín (S*) ta có: * x x Dp F Dt (3.5) Với F x là lực toàn phần trên phương x do máy bay và không khí tác động lên lên động cơ (vì hệ (S*) trùng với động cơ lúc t). Ngược lại, động cơ tác động lên máy bay và không khí một lực bằng –F x . Từ (3.4) và (3.5) ta có biểu thức của lực đẩy phản lực: , 2 1 1 x m air F D v v (3.6) Thường thì << 1, do đó ta có gần đúng: , 2 1 x m air F D v v (3.7) 4. TURBINE Xét một turbine quay quanh trục của nó do tác động của một dòng chảy (hình 4.1). Để đơn giản, giả sử dòng chảy là một chiều và có bề dày không đáng kể. Lưu lượng khối của dòng chảy là D m , vận tốc của dòng chảy tới là v 1 . Chọn hệ mở (S) là hệ gồm turbine và dòng chảy giới hạn giữa hai tiết diện S 1 và S 2 . Gọi (S*) là hệ kín di chuyển theo dòng chảy và trùng với (S) vào lúc t. MOMENT ĐỘNG LƯỢNG Dùng hệ thức (1.7) cho moment động lượng của (S*) ta được: * . z z z S DL dL r v v ndS Dt dt (4.1) Gọi I và là moment quán tính và vận tốc góc của turbine và dòng chảy đối với trục quay ta có: z dL d I dt dt (4.2) Số hạng còn lại ở vế phải của (4.1) chính là lưu lượng của moment động lượng theo trục z. Ta có thể biểu diễn nó qua lưu lượng khối của dòng chảy như sau: v 2 v 1 S 1 S 2 Hình 4.1. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Hệ mở trong dòng chảy 5 1 2 1 2 . m m m z S r v v ndS D av D av D a v v (4.3) Trong đó a là khoảng cách từ dòng vào và dòng ra tới trục quay. Hệ thức (4.1) bây giờ có thể viết lại như sau: * 1 2 z m DL d I D a v v Dt dt (4.4) Mặt khác nếu dùng định lý moment động cho hệ kín (S*) ta có: * z DL Dt (4.5) Với là moment ngoại lực toàn phần đối với trục quay do tải và ma sát tác động lên turbine. So sánh (4.4) và (4.5) ta được: 1 2m d D a v v I dt (4.6) ĐỘNG NĂNG Phương trình trên có hai ẩn số là v 2 và , để tìm thêm một phương trình nữa ta dùng hệ thức (1.7) một lần nữa cho động năng của hệ (S*): * 2 2 2 2 2 1 . 1 1 2 2 k k S m DE dE v v ndS Dt dt d I D v v dt (4.7) Mặt khác, áp dụng định lý động năng cho hệ kín (S*) ta có: * k DE Dt (4.8) Trong đó chúng ta giả sử là có thể bỏ qua công suất của lực ma sát nội. Từ (4.7) và (4.8) ta suy ra: 2 2 2 1m d I D v v dt (4.9) Hệ (4.6) và (4.9) cho phép xác định đồng thời vận tốc góc của turbine và vận tốc thoát của dòng chảy. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mécanique des fluides, 2 de année PC-PC * PSI-PSI * , J. M. Brébec et al, Hachette Supérieur (1998). [2] Mécanique des fluides-Précis de physique, J L. Queyrel, J. Mesplède, Bréal (1997). Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. . Hệ mở trong dòng chảy 1 HỆ MỞ TRONG DÒNG CHẢY Biên soạn: Lê Quang Nguyên 1. HỆ MỞ Xét một dòng chất lưu bất kỳ, giả sử chúng ta quan tâm tới một phần của dòng chảy giới hạn trong. dòng chảy (hình 4.1). Để đơn giản, giả sử dòng chảy là một chiều và có bề dày không đáng kể. Lưu lượng khối của dòng chảy là D m , vận tốc của dòng chảy tới là v 1 . Chọn hệ mở (S) là hệ. mặt kín đi theo dòng chảy, sao cho hệ các hạt trong đó trùng với hệ (S) vào một thời điểm t nào đó. Hệ giới hạn trong (S*) có hai đặc điểm: nó là một hệ kín, và nó trùng với hệ mở (S) ở thời