Hệ mở trong dòng chảy ppt

HỆ MỞ Xét một dòng chất lưu bất kỳ, giả sử chúng ta quan tâm tới một phần của dòng chảy giới hạn trong mặt kín S như trên hình 1.1, và muốn biết nội năng của hệ đó thay đổi theo thời gia

HỆ MỞ TRONG DÒNG CHẢY

Biên soạn: Lê Quang Nguyên

1 HỆ MỞ

Xét một dòng chất lưu bất kỳ, giả sử chúng ta quan tâm tới một

phần của dòng chảy giới hạn trong mặt kín (S) như trên hình

1.1, và muốn biết nội năng của hệ đó thay đổi theo thời gian

như thế nào Hệ như vừa xác định là một hệ mở, nghĩa là nó

trao đổi vật chất với môi trường chung quanh: luôn luôn có các

hạt chất lưu mới đi vào hệ cũng như có các hạt rời khỏi hệ

Khảo sát các hệ mở nói chung có thể là một vấn đề phức tạp

Hơn nữa, hầu hết các định luật cơ học và nhiệt động lực đều

chỉ áp dụng cho các hệ kín, không trao đổi vật chất với bên

ngoài

Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp cho

phép tìm hiểu một hệ mở, dựa trên các tính chất của một hệ kín

được lựa chọn thích hợp

Hãy trở lại hệ (S) trên hình 1.1 Gọi (S*) là một mặt kín đi theo

dòng chảy, sao cho hệ các hạt trong đó trùng với hệ (S) vào

một thời điểm t nào đó Hệ giới hạn trong (S*) có hai đặc

điểm: nó là một hệ kín, và nó trùng với hệ mở (S) ở thời điểm

t Sau đây chúng ta sẽ thiết lập một hệ thức cho phép kết nối

tính chất của hệ mở (S) với tính chất của hệ kín (S*) Chúng

tôi lưu ý bạn đọc một lần nữa là hệ (S*) di chuyển theo dòng

chảy và trùng với hệ (S) vào lúc t

Gọi u là nội năng riêng của một hạt chất lưu trong (S*) (nội

năng của một đơn vị thể tích) Độ biến thiên của u theo thời

gian được cho bởi đạo hàm theo hạt của nó:

*

( )

v grad u









(1.1)

Suy ra độ biến thiên nội năng của hệ (S*) là:

*





Trong đó chúng tôi đã thay thế u * bằng u và V* bằng V trong

các tích phân sau, do hệ S* trùng với hệ S vào lúc đang xét

Ta có:





Suy ra:

*

V

v grad udV

Đối với dòng chảy không nén được ta còn có:

S*

S

Lúc t

Hình 1.1

v grad u. div uv  udivvdiv uv 

(1.5)

Vì divv  0

Suy ra:

 

*

V

div uv dV

Hay là:

 

*

S

uv ndS

Nghĩa là, nếu dòng chảy là không nén được và nếu (S*) là hệ

kín chuyển động theo dòng chảy, trùng với hệ mở (S) lúc t, thì

vào lúc ấy độ biến thiên nội năng của (S*) bằng độ biến thiên

nội năng của (S) cộng với lưu lượng nội năng qua (S)

Dưới dạng vi phân ta có:

 

*

div uv

Dt  dt 



(1.8)

Không riêng gì đối với nội năng, hệ thức (1.4), (1.6) và (1.7)

cũng đúng cho các đại lượng cơ học và nhiệt động lực học

khác, muốn thế chúng ta có thể thay thế tương ứng như trong

bảng 1.1

Trong các phần sau chúng ta sẽ xem xét một số áp dụng của hệ

thức dạng (1.6) cho các đại lượng cơ học và nhiệt động lực học

khác nhau

2 BỘ TRAO ĐỔI NHIỆT

Xét một bộ trao đổi nhiệt như trên hình 2.1, trong đó L 1 và L 2

là hai chất lỏng chảy ngược chiều nhau trong hai ống nằm

ngang, và có thể trao đổi nhiệt với nhau Giả sử trong một đơn

vị thời gian nhiệt truyền từ chất lỏng 1 sang chất lỏng 2 trên

một đoạn dài dx có dạng:

 1 2

dQ

Với G là một hằng số dương Ngoài ra giả thiết các dòng chảy

là dừng Chúng ta sẽ dùng hệ thức (1.6) để tìm nhiệt độ T 1 và

T 2 của các dòng chảy theo vị trí x

Chọn hệ kín là một yếu tố chuyển động theo chất lỏng L 1, có

chiều dài dx Vào lúc t hệ trùng với một đoạn dx cố định trong

chất lỏng L 1 của bộ trao đổi nhiệt

Áp dụng nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học cho hệ kín

nêu trên ta thu được:

*

1

Đại lượng Mật độ

Động lượng

theo phương i p i v i

Moment động lượng đối với

trục i

L i (rv) i

Bảng 1.1

L 1

L 2

x

Hình 2.1.

Trong đó chúng ta đã bỏ qua số hạng thứ hai, vì công của áp

lực ở hai đầu đoạn dx triệt tiêu lẫn nhau (công suất của áp lực ở

phía trái là Pv, còn ở phía phải là –Pv)

Bây giờ, dùng hệ thức (1.5) và lưu ý rằng vận tốc v 1 = const

(dòng chảy đều) và dU/dt = 0 (dòng chảy dừng), ta có:

v Sdx c dT v S c D dT

Trong đó 1 , c 1 là khối lượng riêng và nhiệt dung riêng của

chất lỏng 1, S là tiết diện ống dòng và D m1 = 1 v 1 S là lưu lượng

khối của dòng chảy L 1

So sánh (2.3) và (2.4) ta suy ra:

1

dT

Tương tự như vậy cho chất lỏng L 2 ta có:

2

dT

Hệ (2.5) và (2.6) cho phép xác định T 1 (x) và T 2 (x)

3 ĐỘNG CƠ PHẢN LỰC

Một máy bay phản lực chuyển động thẳng đều với vận tốc v 1

đối với khí quyển Trong hệ quy chiếu gắn liền với máy bay thì

không khí đi vào động cơ với vận tốc cũng là v 1 Hỗn hợp khí

nén và nhiên liệu được đốt cháy, cung cấp một phần năng

lượng cho bộ nén khí, rồi được thải ra phía sau với vận tốc v 2

(hình 3.1) Giả sử các dòng chảy là dừng và áp suất ở hai đầu

của động cơ đều bằng áp suất khí quyển

Gọi D m,air là lưu lượng khối của không khí đi vào động cơ Để

đốt cháy hoàn toàn nhiên liệu, lưu lượng của nhiên liệu D m,carb

phải nhỏ hơn lưu lượng không khí, nói chung giữa chúng có hệ

thức:

m carb m air

Vì khối lượng các chất lưu được bảo toàn nên lưu lượng của

khí thoát là:

1  ,

Xét (S) là hệ mở bao gồm động cơ, nhiên liệu và các khí giới

hạn giữa hai hai đầu động cơ và (S*) là hệ kín di chuyển theo

dòng chảy và trùng với (S) lúc t Dùng hệ thức (1.7) đối với

động lượng trên phương x và để ý rằng độ biến thiên động

lượng của hệ mở là bằng không (các dòng chảy là dừng và máy

bay có vận tốc không đổi):

Không khí

Hình 3.1

Buồng đốt

Nhiên liệu

 

*

x

x

S

Dp

v v ndS

Số hạng ở vế phải là lưu lượng động lượng trên phương x của

các dòng chảy qua (S) Trong trường hợp này ta có thể biểu

diễn nó một cách đơn giản qua các lưu lượng khối của không

khí và của khí thoát:

*

x

m m air m air

Dp

Mặt khác, dùng định luật Newton 2 cho hệ kín (S*) ta có:

*

x

x

Dp

F

Với F x là lực toàn phần trên phương x do máy bay và không

khí tác động lên lên động cơ (vì hệ (S*) trùng với động cơ lúc

t) Ngược lại, động cơ tác động lên máy bay và không khí một

lực bằng –F x Từ (3.4) và (3.5) ta có biểu thức của lực đẩy

phản lực:

x m air

Thường thì  << 1, do đó ta có gần đúng:

x m air

4 TURBINE

Xét một turbine quay quanh trục của nó do tác động của một

dòng chảy (hình 4.1) Để đơn giản, giả sử dòng chảy là một

chiều và có bề dày không đáng kể Lưu lượng khối của dòng

chảy là D m , vận tốc của dòng chảy tới là v 1

Chọn hệ mở (S) là hệ gồm turbine và dòng chảy giới hạn giữa

hai tiết diện S1 và S2 Gọi (S*) là hệ kín di chuyển theo dòng

chảy và trùng với (S) vào lúc t

MOMENT ĐỘNG LƯỢNG

Dùng hệ thức (1.7) cho moment động lượng của (S*) ta được:

*

z S

Dt  dt      (4.1)

Gọi I và  là moment quán tính và vận tốc góc của turbine và

dòng chảy đối với trục quay ta có:

z

I



Số hạng còn lại ở vế phải của (4.1) chính là lưu lượng của

moment động lượng theo trục z Ta có thể biểu diễn nó qua lưu

lượng khối của dòng chảy như sau:

v2

v1



S1

S 2

Hình 4.1.

 z m 1 m 2 m  1 2

S



Trong đó a là khoảng cách từ dòng vào và dòng ra tới trục

quay Hệ thức (4.1) bây giờ có thể viết lại như sau:

*

z

m



Mặt khác nếu dùng định lý moment động cho hệ kín (S*) ta có:

*

z

DL

Với  là moment ngoại lực toàn phần đối với trục quay do tải

và ma sát tác động lên turbine So sánh (4.4) và (4.5) ta được:

 1 2

m

d

dt



ĐỘNG NĂNG

Phương trình trên có hai ẩn số là v 2 và , để tìm thêm một

phương trình nữa ta dùng hệ thức (1.7) một lần nữa cho động

năng của hệ (S*):

*

2

S

m

v v ndS

d

dt





(4.7)

Mặt khác, áp dụng định lý động năng cho hệ kín (S*) ta có:

*

k

DE

Trong đó chúng ta giả sử là có thể bỏ qua công suất của lực ma

sát nội Từ (4.7) và (4.8) ta suy ra:

 2 2

m

d

dt



Hệ (4.6) và (4.9) cho phép xác định đồng thời vận tốc góc của

turbine và vận tốc thoát của dòng chảy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Mécanique des fluides, 2de année PC-PC* PSI-PSI*, J

M Brébec et al, Hachette Supérieur (1998)

[2] Mécanique des fluides-Précis de physique, J.-L

Queyrel, J Mesplède, Bréal (1997)