Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 1 - Nguyễn Trần Phi Phượng

Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Ví dụ a Đơn đồ thị vô hướng 18/02/2011 b Không phải đơn đồ thị vơ hướng có cặp cạnh nối cặp đỉnh Lý thuyết đồ thị c Không phải đơn đồ thị vơ hướng có cạnh nối đỉnh với 1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Đa đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E họ cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 e2 gọi cạnh song song chúng tương ứng cặp đỉnh Ví dụ e2 e1 Đa đồ thị vơ hướng e1 e2 cạnh song song 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Giả đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E họ cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh Cạnh e gọi khuyên có dạng e=(u,u) Ví dụ e Giả đồ thị vơ hướng e khuyên 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Đơn đồ thị có hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Ví dụ a Đơn đồ thị có hướng 18/02/2011 b Khơng phải đơn đồ thị có hướng có cặp cạnh nối cặp đỉnh Lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Đa đồ thị có hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E họ cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hai cung e1, e2 tương ứng với cặp đỉnh gọi cung song song Ví dụ e2 e1 Đa đồ thị có hướng e1 e2 cung song song 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 1.2 Các thuật ngữ Xét đồ thị vô hướng G = (V,E) – Nếu e = (u,v) cạnh G thì: • Hai đỉnh u, v gọi hai đỉnh kề • Cạnh e gọi cạnh liên thuộc với đỉnh u đỉnh v • Đỉnh u, đỉnh v gọi đỉnh đầu cạnh e u – Bậc đỉnh v (deg(v)) e số cạnh liên thuộc với v – VD: deg(0) = 3, deg(5) = 4, deg(2) = 6, deg(8) = 2,… 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 1.2 Các thuật ngữ Đỉnh có bậc gọi đỉnh lập Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Định lý Xét đồ thị vơ hướng G = (V,E) Khi đó, tổng bậc tất đỉnh đồ thị hai lần số cạnh deg(v) | E | v V Hệ Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ số chẵn 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 1.2 Các thuật ngữ  Xét đồ thị có hướng G = (V,E) – Nếu e = (u,v) cung G thì: • Đỉnh v gọi đỉnh kề đỉnh u • Cung e gọi cung khỏi đỉnh u cung vào đỉnh v • Đỉnh u gọi đỉnh đầu cung e, đỉnh v gọi đỉnh cuối cạnh e – Bán bậc đỉnh v (deg+(v)) u e số cung khỏi v – Bán bậc vào đỉnh v (deg-(v)) t số cung vào – VD: deg+(t) = 1, deg-(t) = 1, deg+(v) = 0, deg-(v) = 3,… s 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị x 1.2 Các thuật ngữ Định lý Xét đồ thị có hướng G = (V,E) Khi đó, tổng bán bậc tất đỉnh tổng bán bậc vào tất đỉnh số cung đồ thị deg (v) v V 18/02/2011 deg (v) | E | v V Lý thuyết đồ thị 10 1.2 Các thuật ngữ Định nghĩa Cho hai đồ thị G=(V,E) G’=(V’,E’) Ta nói G đẳng cấu G’, ký hiệu G G’, tồn song ánh f:V→ V’ cho: uv cạnh G 18/02/2011 f(u)f(v) cạnh G Lý thuyết đồ thị 12 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương đồ thị G=(V,E) dãy x0, x1, …, xn-1, xn u = x0, v = xn, (xi, xi+1) E, i = 0, 1, 2, …, n-1 Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường khơng có cạnh/cung xuất lần gọi đường đơn Đường khơng có đỉnh xuất q lần gọi đường sơ cấp 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 13 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng Ví dụ: Các đường từ đến 5: d1: Đường sơ cấp (hiển nhiên đơn) Độ dài d2: d3: 9 Đường đơn (không sơ cấp) Độ dài Độ dài Các chu trình đồ thị: C1: Độ dài C2: 9 C3: 9 18/02/2011 Đường không đơn (không sơ cấp) Chu trình sơ cấp (hiển nhiên đơn) Độ dài Độ dài Chu trình đơn (khơng sơ cấp) Chu trình khơng đơn (khơng sơ cấp) Lý thuyết đồ thị 14 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng Ví dụ: Các đường từ a đến e: d1: a b e Độ dài C2: a d c f e d a Độ dài Độ dài C3: a b e d c f e d a 18/02/2011 f e a Đường đơn (không sơ cấp) Các chu trình đồ thị: C1: a b e d a b Đường sơ cấp (hiển nhiên đơn) Độ dài d2: a b c f b e c d Chu trình sơ cấp (hiển nhiên đơn) Chu trình đơn (khơng sơ cấp) Độ dài Chu trình khơng đơn (khơng sơ cấp) Lý thuyết đồ thị 15 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Định nghĩa Đồ thị vô hướng G=(V,E) gọi liên thơng ln tìm đường hai đỉnh Đồ thị vơ hướng liên thông 18/02/2011 Đồ thị vô hướng không liên thông Lý thuyết đồ thị 16 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng Một đồ thị khơng liên thông hợp nhiều đồ thị liên thông rời Mỗi đồ thị gọi thành phần liên thông đồ thị ban đầu Đồ thị có thành phần liên thơng 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 17 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Định nghĩa Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh (đỉnh khớp) việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thơng đồ thị Ví dụ: Đỉnh khớp: e, x, y Cầu: (e,x), (y,w) 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 18 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng Định nghĩa Đồ thị có hướng G=(V,E) gọi liên thơng mạnh ln tìm đường hai đỉnh Đồ thị có hướng G=(V,E) gọi liên thơng yếu đồ thị vơ hướng tương ứng với đồ thị vơ hướng liên thơng Ví dụ: Đồ thị có hướng liên thơng mạnh (hiển nhiên liên thơng yếu) 18/02/2011 Đồ thị có hướng khơng liên thơng yếu (hiển nhiên không liên thông mạnh) Lý thuyết đồ thị 19 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn đơn đồ thị vô hướng mà hai đỉnh ln có cạnh nối Số đỉnh: n n(n 1) Số cạnh: Bậc đỉnh: n-1 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 20 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị vòng Đồ thị vòng Cn, n ≥ gồm n đỉnh v1, v2,…, cạnh (v1,v2), (v2,v3),…,(vn-1,vn),(vn,v1) Số đỉnh: n Số cạnh: n Số bậc đỉnh: C3 18/02/2011 C4 C5 Lý thuyết đồ thị C6 21 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị bánh xe Đồ thị Wn thu từ Cn cách bổ sung vào đỉnh nối với tất đỉnh Cn Số đỉnh: n+1 Số cạnh: 2n n đỉnh bậc 3, đỉnh bậc n 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 22 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị lập phương Đồ thị lập phương Qn đồ thị với đỉnh biểu diễn 2n chuỗi nhị phân độ dài n Hai đỉnh kề hai chuỗi nhị phân tương ứng khác bit Số đỉnh: 2n Số cạnh: n.2n-1 Bậc đỉnh: n 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 23 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị lưỡng phân (đồ thị hai phía) Đơn đồ thị G=(V,E) gọi lưỡng phân tập đỉnh V phân hoạch thành hai tập X Y cho cạnh đồ thị nối đỉnh X với đỉnh Y 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 24 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị lưỡng phân đầy đủ Đồ thị G=(V,E) gọi lưỡng phân đầy đủ G đồ thị lưỡng phân cặp đỉnh hai tập X Y nối với Y X Số đỉnh: m + n Số cạnh: m n m đỉnh bậc n, n đỉnh bậc m K3x4 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 25 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Ví dụ ? Đồ thị lưỡng phân Không đồ thị lưỡng phân Định lý: Một đồ thị vô hướng đồ thị lưỡng phân khơng chứa chu trình với độ dài lẻ 18/02/2011 Lý thuyết đồ thị 26