Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 1 tôn quang toại

CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ Tôn Quang Toại Khoa CNTT, Đại học Ngoại ngữ - Tin học TP.HCM Nội dung Một số toán dẫn đến khái niệm đồ thị Định nghĩa đồ thị Phân loại đồ thị Các thuật ngữ Một số dạng đồ thị MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ Một số toán dẫn đến khái niệm đồ thị Bài tốn Có cách xuất phát từ vị trí, sau qua cầu (mỗi cầu qua lần) trở vị trí xuất phát? Một số toán dẫn đến khái niệm đồ thị Bài tốn Có thể vẽ hình phong bì thư sau nét bút hay không? Một số toán dẫn đến khái niệm đồ thị Bài toán Một Sinh viên muốn từ nhà đến trường phải nào? Cách nhanh nhất? ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ VÀ PHÂN LOẠI ĐỒ THỊ Định nghĩa phân loại đồ thị Định nghĩa Đồ thị Đồ thị mô hình tốn học để biểu diễn tập đối tượng (V) mối quan hệ đối tượng (E) Đồ thị định nghĩa (V, E) với: • V tập đỉnh (Vertices): V = {v1, v2, v3, …, vn} n = |V| gọi bậc/cấp đồ thị • E tập cạnh (Edges): E = {e1, e2, e3,… em} gồm số cặp phần tử khơng có thứ tự (hay có thứ tự) tập V m = |E| gọi kích thước đồ thị Định nghĩa phân loại đồ thị Ký hiệu đồ thị: G = (V, E) Ký hiệu cạnh: Cạnh ek nối đỉnh vi vj ký hiệu là: ek = (vi, vj) Định nghĩa phân loại đồ thị Phân loại đồ thị: dựa vào tiêu chuẩn Hướng cạnh: • Đồ thị vơ hướng • Đồ thị có hướng Số cạnh nối đỉnh: • Đơn đồ thị • Đa đồ thị Bậc đỉnh Hệ quả: Mọi đồ thị vơ hướng có số lượng đỉnh bậc lẻ số chẵn Chứng minh: Bậc đỉnh Định nghĩa Bậc đỉnh Cho đồ thị có hướng G=(V, E) đỉnh v ∈ V Ta gọi bậc vào v số cung vào v Ta gọi bậc v số cung khỏi v Ta gọi bậc v số cung vào khỏi v Ký hiệu: Bậc vào v: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑− (𝑣𝑣) Bậc v: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑+ (𝑣𝑣) Bậc v: deg 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑− 𝑣𝑣 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑+ (𝑣𝑣) Bậc đỉnh Chú ý: khuyên tính lần bậc vào lần bậc Ví dụ: v b d f a c e a b c d e f deg−(v) deg+(v) deg(v) Bậc đỉnh Định lý bắt tay – Handshaking Theorem: Cho đồ thị có hướng G=(V, E), tổng bậc vào tổng bậc số cạnh � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣 = 𝑚𝑚 𝑣𝑣∈𝑉𝑉 − 𝑣𝑣∈𝑉𝑉 + 𝑣𝑣∈𝑉𝑉 Bài tập Trong bữa tiệc, người bắt tay Chứng minh số người bắt tay với số lẻ người khác số chẵn Cho đồ thị n đỉnh (n≥2), có hai đỉnh bậc Cho đồ thị n đỉnh (n>2) có đỉnh bậc, đồ thị có đỉnh bậc hay đỉnh bậc n-1 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ Một số dạng đồ thị Đồ thị đầy đủ (complete graph) Đồ thị vô hướng n đỉnh gọi đồ thị đầy đủ đỉnh nối với cạnh K1 K2 K3 K4 K5 K6 Một số dạng đồ thị Đồ thị bù (Complement graph) Đồ thị bù đồ thị G=(V, E) đồ thị 𝐺𝐺̅ = (𝑉𝑉, 𝐸𝐸 ′ ): • Có đỉnh với G • Có cạnh cạnh mà ta phải bổ sung vào G để G trở thành đồ thị đầy đủ G 𝐺𝐺̅ Một số dạng đồ thị Đồ thị vòng (cycle graph) Đồ thị vô hướng n đỉnh gọi đồ thị vịng có chu trình đơn qua tất đỉnh C1 C2 C3 C4 C5 C6 Một số dạng đồ thị Đồ thị bánh xe (cycle graph) Đồ thị bánh xe n đỉnh (𝑛𝑛 ≥ 3) đồ thị thu từ đồ thị 𝐶𝐶𝑛𝑛 cách bổ sung thêm đỉnh nối đỉnh với đỉnh 𝐶𝐶𝑛𝑛 W3 W4 W5 W6 Một số dạng đồ thị Đồ thị hai phía (bipartite graph) Đồ thị vô hướng G=(V, E) gọi đồ thị hai phía tập đỉnh V phần thành tập X Y cho: • 𝑉𝑉 = 𝑋𝑋 ∪ 𝑌𝑌 (𝑋𝑋 ≠ ∅ 𝑣𝑣𝑣 𝑌𝑌 ≠ ∅) • 𝑋𝑋 ∩ 𝑌𝑌 = ∅ • Mỗi cạnh G có đỉnh thuộc X đỉnh Y Một số dạng đồ thị Đồ thị hai phía đầy đủ (bipartite graph) Đồ thị vơ hướng G=(V, E) gọi đồ thị hai phía đầy đủ đỉnh thuộc tập X nối đỉnh thuộc tập Y ngược lại 𝐾𝐾2,3 Một số dạng đồ thị Đồ thị phẳng (planar graph) Đồ thị gọi đồ thị phẳng vẽ đồ thị mặt phẳng mà cạnh không cắt Một số dạng đồ thị Đồ thị con: Cho đồ thị G=(V, E) Đồ thị G’=(V’, E’) đồ thị G nếu: V’ ⊆ V E’ ⊆ E (u, v) ∈ E’ ⇒ u, v ∈ V’ Đặc biệt: Nếu V’=V G’ gọi đồ thị phận hay đồ thị khung (spanning subgraph) G Tóm tắt chương Một số khái niệm đồ thị Bậc đỉnh Một số dạng đồ thị