Một số nhóm con của nhóm s7

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Tốn — Tin Học CC) Bộ mơn : Đại Số Đề tài Mộtsố nhóm c0n nhóm$7 Giáo viên hướng dẫn : TS Trần Huyên Sinh viên thực : Lâm Hữu Phước THƯ VIÊN Trưởng Đại-Học Su-Phạm — TP H()- Hi MIN Lời nói đầu Trong lý thuyết nhóm đại số nhóm phép đóng vai trò quan trọng đặc biệt lý thuyết nhóm hữu hạn Việc phãn tích nhóm nhóm phép giúp hiểu rõ lý thuyết nhóm hữu hạn, đồng thời giúp ích phần cho việc tìm hiểu sâu phần lý thuyết đại số Trong luận văn này, em dùng định lý Sylow, định lý Lagrange, số mệnh đề tác động nhóm lên tập, đặc biệt mệnh đề tác động liên hợp nhóm lên lên tập nhóm để tìm hiểu vài điều nhóm Š; Trong đó, chứng minh số nhóm khơng tổn S;, xác định tồn phân tích số nhóm khác Nhân dịp này, em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyện tận tình giúp da, động viên em hoàn thành luận văn TPHCM ngày 28 tháng năm2004 Lâm Hữu Phước Mục lục Lời nói đầu KIEN THUC CHUAN BI 121 CC ANH sẽvýv ve cv c S$ zAz”! = {rar"Ì!:a€ 4} Rõ ràng tương ứng ánh xạ tác động G lên S, tác động gọi tác động liên hợp Œ lên tập nhóm Khi đó, nhóm A4 ảnh nhóm Ư qua tác động liên hợp ta gọi nhóm A liên hợp với nhóm Ư, hay A Ư nhóm liên hợp với Nhận xét Trong ví dụ trên, ta thay tập tất nhóm G tập tất nhóm có cấp G 1.1.7 Nhóm đẳng hướng quỹ đạo phần tử Giả sử nhóm Œ tác động lên tập S va s € S Khi dé, tap hop G, = {r € G: zs = s} nhóm GŒ, gọi nhóm đẳng hướng phần tử s G Giả sử GŒ tác động lên tập Š, s phần tử cố định thuộc S Khi đó, tập Gs = {rs: xz € G} C gọi quỹ đạo phần tử s nhóm G 1.1.8 Phép nhóm 6; Một phép tập hợp X song ánh từ X lên Khi X tập có n phần tử phép X gọi phép bậc n Để tiện lợi mà khơng mắt tính tổng qt, ta thường lấy tập n phần tử X = {1,2,3, ,n} Khi đó, phép bậc n thường viết đưới dạng: /={ — \/() /2) - n f(n) ) Vì ƒ song ánh nên phần tử ƒ(1), ƒ(2), /(3), ƒ(n) dòng khác nhau, đó, chúng hốn vị n phần tử 1,2,3, ,n Như vậy, hoán vị Luận uăn tốt nghiệp CHƯƠNG KIẾN THÚC CHUẨN BỊ xác định phép bậc n nên số phép bac r‹ số hốn vị tập có phần tử n! Tập hợp tất phép bậc m ta ký hiệu S„ Phép thé f bac n cịn viết đưới nhiều dạng khác cách thay đổi thứ tự phần tử đồng đồng thời thay đổi phẫn tử tương ứng dịng Tổng qt, ta viết ƒ dạng = ( ay - Qn ƒ(m) ƒ(œ) - f(aa) ) đó, a¡,đạ, ,a„ hoán vị n phần tit 1,2,3, ,n Nếu ƒ,ø phép bậc n tích ƒ;ø, g„ƒ, ƒ~' ánh xạ đồng ìx phép bậc ø Từ ta suy Š„ với phép nhãn ánh xạ lập thành nhóm mà ta gọi nhóm phép bậc mở (cịn gọi nhóm đối xứng bậc n) Hàm siợn : S„ —— R xác định sau sign(f) = ssl: T7 f(t) £0) Ta c6, sign(f) € {1,—1} với moi f € S,, sign(f) goi la déu cha phép thé f Mot phép thé goi la phép thé chfn dấu gọi phép lẻ dấu -1 Tập tất phép chãn Š„ lập thành nhóm gọi nhóm phép chẫn bậc m hay cịn gọi nhóm thay phiên bậc n Ký hiệu A„ Với n = 7, ta có nhóm phép bậc 7, ký hiệu Š; Như vậy, số phẳn tử S; 7! = 5040 (phần tử) Sau đây, ta có số mệnh đề trước tìm hiểu vài điều S; 1.2 1.2.1 Các định lý, mệnh đề Các mệnh đề cấp số phần tử Quan hệ tương đương xác định nhóm Giả sử G nhóm A4 nhóm Œ Ta định nghĩa quan hệ hai ~ tập hợp Œ sau: với z, € G, z~Us“=rl/€A Khi đó, quan hệ ~ quan hệ tương đương G Thật vây, z*Ìz = e € A nên ~ Ja phan xa Luận uấn tốt nghiệp CHUONG KIEN THUC CHUAN B] 1111 Ta lại có Do vậy, ~ đối xứng Cuối cùng, z ~ rlụcA (a~'y)~' € A (Vi A lA nhém con) y'reA Ụụ~# ~ z z~!z = (z~!w)(y~!z) € A nên ~ bắc cầu Lớp ghép Với z € G, ta ký hiệu lớp tương đương chứa z # ký hiệu z#A = {ra:a€ A4} C G Khi đó, ta có = zA,Y+z € G Thật vậy, giả sử A, = € 7, ~ z tức z~'y = a phần tử thuộc € rA Ngược lại, giả sử y € 2A +“ =a€A Vậy, z ~ ụ € F = 1a với a € Á, nên Vì rA lớp tương đương nên ta có tA=yA ry¢A = «=> rìụ@A rAnyA=ø Các tập zA gọi lớp ghép trái nhóm Á G Tập hợp thương Œ theo quan hệ ~ gọi tập hợp thương nhóm Œ nhóm Á ký hiệu G/A Vậy G/A={rA:2re€G} Ta làm tương tự cho lớp ghép phải Định lý Lagrange hệ Dinh ly 1.1 (Dinh ly Lagrange) G Khi dé ta có Gid siG la nhém hitu han, A la nhém |G| = |A|.|G/4| Số |G/A| số phần tử tập G/A haw gọi số nhớm A Œ ký hiệu (Œ : A) Đôi lúc ta viết |G| (G : 1) |A| (A : 1), cơng thức tiết lại (G:1)=(G: A).(A: 1) Luận văn tốt nghiệp CHUONG KIEN THUC CHUAN BI Chứng tinh Trước hết, zA lớp ghép trái, ánh xa Á — aw za za song ánh Thật vậy, tồn ánh định nghĩa tập zA, đơn ánh ra, = raz thi a, = a¿ luật giản ước nhóm Như vậy, số phần tử lớp ghép [A], ma có tắt |Œ/A| lớp ghép, nên ta có |G| = |G/AI.|A| Từ định lý này, ta có mệnh đề tổng quát Mệnh đề 1.1 Giả sử Œ nhóm hữu hạn; H,K nhóm Œ, K C HH Khi ta có (G: K)=(G: H).(H: K) Hệ 1.1 (¡) Cấp phần tit tùu ý nhóm hữu hạn Œ ước cắpG () Mọi nhóm hữu hạn cắp nguyên tố déu la cyclic va stmh phần tử bắt kù khác đơn tị Chứng trinh (i) Néu x € G theo định nghĩa, cấp z cấp nhóm (z), nên ước cắp G (i) Nếu Œ có cấp nguyên tố Khi đó, với z € Œ,z # e, cấp z số lớn ước cấp G O Từ (ii) ta rút nhận xét sau Nhận xét: nhóm có cấp số ngun tố trùng giao đơn vị 1.2.2 Định lý Sylow, hệ mệnh đề liên quan Định lý 1.2 (Định lý Sylow) Giả sửŒ nhóm hữu hạn, |G| = p".r, vớip số ngun tơ khơng ước r Khi (¡) Œ có nhóm cấp ph Một nhơm nhu vay goi la p—nhém Sylow G 10