Trang 1 Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Toán — Tin Học CC Bộ môn : Đại Số Đề tài Một số nhóm c0n của nhóm $7 Giáo viên hướng dẫn : TS.. Trần Huyên Trang 2 Lời nói đầu
Trang 1Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Khoa Toán — Tin Học CC) Bộ môn : Đại Số Đề tài Một số nhóm c0n của nhóm $7
Giáo viên hướng dẫn : TS Trần Huyên
Trang 2Lời nói đầu
Trong lý thuyết nhóm đại số thì nhóm các phép thế đóng một vai trò quan trọng đặc biệt là trong lý thuyết các nhóm hữu hạn Việc phãn tích các nhóm con của nhóm các phép thế giúp hiểu rõ hơn lý thuyết nhóm hữu hạn, đồng thời cũng giúp ích phần
nào cho việc tìm hiểu sâu hơn phần lý thuyết đại số này
Trong luận văn này, em dùng định lý Sylow, định lý Lagrange, và một số mệnh đề
về tác động của một nhóm lên một tập, đặc biệt là các mệnh đề về tác động liên hợp
của một nhóm lên chính nó và lên tập các nhóm con của nó để tìm hiểu một vài điều
về nhóm Š; Trong đó, đã chứng minh được một số nhóm con không tổn tại trong S;,
xác định sự tồn tại và phân tích một số nhóm con khác
Nhân dịp này, em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyện đã tận tình giúp da, động viên em hoàn thành luận văn này
TPHCM ngày 28 tháng 4 năm2004
Trang 3Mục lục
Lời nói đầu 2
1 KIEN THUC CHUAN BI 5
121 CC ANH vay sẽvýv ve cv c<‹ S634 {SA SẼ k6 2 SŸ 5 111 Nhóm, nhóm abel cấp củanhóm - 5 112 Nhóm con, nhóm con sinh bởi một tập - 5 1.13 Nhóm con cyclic, cắp của phần tử, nhóm cyclc 5 LER SENS CR TWIN ee ý.) 2 (0/2/20) 2222.2041122 6
1.1.5 Nhóm con chuẩn tắc (ước chuẩn), cái chuẩn tắc hóa, cái tâm hóa 6 1.1.6 Tác động của nhóm lên một tập 6 1.17 Nhóm con đẳng hướng và quỹ đạo phần tử 7 1.1.8 Phép thế và nhóm Sy 2 RAL GOT Se el BE Oe RLS Te %0 624 t$ 7 Oe SS SE, a rE eee 8 1.2.1 Các mệnh để cơ bản về cắp và số phẳửntửỬ 8 1.2.2 Dinh ly Sylow, các hệ quả và mệnh đề liên quan 10
1.2.3 Các mệnh đề liên quan đến tác động của một nhóm lên một tập 12
12.4 Các mệnh đề liên quan đến ước chuẩn và cái chuẩn tắc hóa 15
1.2.5 Dinh lý phân tích phép thế thành tích các vòng xích độc lập 17
2 MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM 5S; 20
BS) Ce NN Oe SEI fo acaece-co; Wongengre: qureR eS EMGAGE SKN 20
211 Các phằntửcấp2 20
S15 CC HÀ Gv ccaac2ia2c6 (ốc coi a(c C22 21
Z13 ‘Cho plinth chs) 56 eee CEL OO 21
214 Che pin tR ele 8.5 eck SSE AGES REE 21 215 ‘Cin win che Bic (222232) /62/221/ GÌ cucc goyoa 21 13169 :Cbs phn tk la 7 (cố c2 6L c7 SES 22
21% nee [sa cceadrrevaeseneg cong: gượn 22
S18 ‘Che ONC Ob 1S s cac eee aia eee EK 22
Trang 4Luan van tốt nghiệp MỤC LỤC
201) NhệmconcÂDŸ.::: cv c2 (c2 62 C222 gà 22 2239 NHG GD (DO ¿(cai ca va cv š c2 Lá28476 tác 23
223 NG OOOO Gece {ca c{ cac eevee teersseiw aise 24
BIE (COP MIC RET + vi xc ca wearers teeecece Kreizuere erate 24 2.2.5 Nhóm con cycliccấp4 - - 24
2.2.6 Nhóm con cycliccắp6 th 25
Rat DOOD CROMER CEO IO: 656% Betis FRG aetna 26 226 Nhé con cyclie tip 12) ei a BS 27
2.3 Các nhóm con SylowtrongŠ%; -: : 27
931 Nmecn£fpỦ+x::: cccýa‹ cv vi c 22% v2 10c4 to 28 232 NhềnG0 6€ÊD1Ồ;:: crẽc(: cốc c ro c G2264) 28
2.4 Một số nhóm con không tổn tại trong Š; 29
2.4.1 Trong %; không có nhóm con cấp 15, 35, 45, 70,90, 315 29
2.4.2 Trong Š; không có nhóm con cấp 63, 84, 126, 140, 28, 280, 420
560, 1008, 1260 © 2 ee ee ee es 32
Trang 5Chương 1
KIÊN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Các định nghĩa
1.1.1 Nhóm, nhóm abel, cấp của nhóm
Một nhóm Œ là tập hợp G cùng với phép toán 2 ngôi có tính chất kết hợp, có đơn vị e và mọi phần tử z € Œ đều có phần tử nghịch đảo z~! € G
Nếu phép toán của nhóm là giao hoán thì nhóm này gọi là nhóm giao hoán hoặc
nhóm aben
Nếu tập G là hữu hạn thì ta nói nhóm Œ là hữu hạn và số phần tử của Œ gọi là
cấp của nhóm Œ, ký hiệu là |G| Còn nếu GŒ là tập vô hạn thì ta nói nhóm Œ có cấp vo han
1.1.2 Nhóm con, nhóm con sinh bởi một tập
Giả sử Œ là một nhóm Tập con khác rỗng A của Œ gọi là nhóm con của nhóm G
nếu A4 én định đối với phép toán trong Œ và Á cùng với phép toán cảm sinh là một
nhóm Nếu A là nhóm con của Œ thì ta viết A < G
Giả sử Aí là tập con khác rỗng của G Nhóm con nhỏ nhất của Œ chứa Äf gọi là nhóm con sinh bởi M trong Œ (là giao của tất cả các nhóm con chứa M) Ký hiệu:
(M)
1.1.3 Nhóm con cyclic, cấp của phần tử, nhóm cyclic
Nhóm con của nhóm Œ sinh ra bởi tập gồm 1 phần tử {a} gọi là nhóm con cyclic sinh bởi phần tử a và ký hiệu đơn giản là (a) Khi đó, cắp của nhóm con (a) cũng được gọi là cấp cia phan tit a
Trang 6Luan van tốt nghiệp CHƯƠNG | KIEN THUC CHUAN BI
Mot nhém G goi lA cyclic néu G dude sinh ra bởi phan tit @ nào đó của Œ Khi đó, a goi la phan ti sinh cia nhém G, và ta có G = (a)
1.1.4 Đồng cấu (nhóm)
Một ánh xạ ƒ từ nhóm Œ¡ đến nhóm G¿ gọi là đồng cấu (nhóm) nếu ƒ bảo tồn
phép tốn, tức là
ƒ(z.w) = ƒ(z).ƒ(u),Yz, ụ € Gì
Một đồng cấu (nhóm) từ Œ đến Œ gọi là 1 tự đồng cấu của G
Một đông cấu đơn ánh gọi là đơn cắu, đồng cẫu toàn ánh gọi là toàn cấu, đồng cấu song ánh gọi là đẳng cấu, một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu
Nếu tổn tại một đẳng cấu ƒ từ nhóm Œ¡ đến nhóm G¿ thì ta viết Œ % Œ¿ và nói
G, và G¿ là đẳng cấu nhau
1.1.5 Nhóm con chuẩn tắc (ước chuẩn), cái chuẩn tắc hóa, cái
tâm hóa
Một nhóm con A của một nhóm Œ được gọi là chuẩn tắc trong Œ nếu và chỉ nếu #Az~! = A với mọi z € Œ Khi đó, ta cũng nói A là ước chuẩn của Œ Ký hiệu A «1 G
Cho Š là tập con của Œ, tập tất cả các phần tử z € Œ sao cho zSz~Ì = Š là một
nhóm con của Œ và được gọi là cái chuẩn tắc hóa của tập con S trong Œ, ký hiệu là Ns Néu $ gồm một phan tit a thi Ns được gọi là cái chuẩn tắc hóa của phần tit a
trong Œ, ký hiệu là C,
Giả sử Zs là tập tất cả các phần tử z € G sao cho zyx = y đối với mọi € 8
Khi đó, Zs gọi là cái tâm hóa của tập con S trong G
Cái tâm hóa của chính nhóm Œ gọi là cái tâm của nó Đó là một tập con gồm tắt cả những phần tử giao hoán được với những phần tử khác trong GŒ va đó 1A một ước
chuẩn của G
1.1.6 "Tác động của nhóm lên một tập
Giả sử G là một nhóm và $ là một tập Tác động của G lên Š là ánh xạ G x 9$ —- S,
sao cho nếu ký hiệu zs(z € Œ,s € S) là ảnh của cặp (z, s) đối với ánh xạ đó, thì đối với mọi z,/ € G vas € S déu có
(ry)s = r(ys) vaes = 8
Trang 7Luận văn tốt nghiệp CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI Nhận xét Tác động trên là một song ánh Ví dụ 1 Cho Ở là một nhóm, xét ánh xạ @:GxG-—-G (,g) —+ rạz"! Với mọi z, , g € G, ta có { (zu)g(zy)~! = zuqw~'!z~! = z(ugu"')z"' cạ= 9 Do đó, ó là một tác động của G lén G va ta goi tác động này là tác động liên hợp của nhóm G lên chính nó Ví dụ 2 Cho Œ là một nhóm, S là tập tất cả các nhóm con của Œ, xét tương ứng © : GxS$ — S$
(z,A) —> zAz”! = {rar"Ì!:a€ 4}
Rõ ràng tương ứng trên là một ánh xạ và là tác động của G lên S, tác động này gọi
là tác động liên hợp của Œ lên tập các nhóm con của nó Khi đó, nếu nhóm con A4 là
ảnh của nhóm con Ö qua tác động liên hợp thì ta gọi nhóm con A liên hợp với nhóm con Ö, hay A và Ö là 2 nhóm con liên hợp với nhau
Nhận xét Trong ví dụ trên, ta có thể thay tập tất cả các nhóm con của G bởi tập tất cả các nhóm con có cùng cấp trong G
1.1.7 Nhóm con đẳng hướng và quỹ đạo phần tử
Giả sử nhóm Œ tác động lên tập S va s € S Khi dé, tap hop G, = {r € G: zs = s}
là một nhóm con của GŒ, gọi là nhóm con đẳng hướng của phần tử s trong G
Giả sử GŒ tác động lên tập Š, s là một phần tử cố định thuộc S Khi đó, tập Gs = {rs: xz € G} C 8 gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G
1.1.8 Phép thế và nhóm 6;
Một phép thế trên một tập hợp X là một song ánh từ X lên chính nó Khi X là
tập có n phần tử thì một phép thế trên X gọi là một phép thế bậc n Để tiện lợi mà vẫn không mắt tính tổng quát, ta thường lấy tập n phần tử là X = {1,2,3, ,n}
Khi đó, mỗi phép thế bậc n thường được viết đưới dạng:
/={ 1 2 n )
— \/() /2) - f(n)
Trang 8Luận uăn tốt nghiệp CHƯƠNG 1 KIẾN THÚC CHUẨN BỊ
xác định một phép thế bậc n nên số các phép thế bac r‹ bằng số các hoán vị của tập có phần tử và bằng n! Tập hợp tất cả các phép thế bậc m ta sẽ ký hiệu là S„
Phép thé f bac n còn có thể được viết đưới nhiều dạng khác bằng cách thay đổi
thứ tự các phần tử ở đồng trên và đồng thời thay đổi các phẫn tử tương ứng ở dòng dưới Tổng quát, ta có thể viết ƒ dưới dạng = ( ay dạ - Qn ) ƒ(m) ƒ(œ) - f(aa) trong đó, a¡,đạ, ,a„ là hoán vị của n phần tit 1,2,3, ,n Nếu ƒ, ø là các phép thế bậc n thì tích ƒ;ø, g„ƒ, ƒ~' và ánh xạ đồng nhất ìx cũng là các phép thế bậc ø Từ đó ta suy ra Š„ cùng với phép nhãn ánh xạ lập thành một nhóm mà ta gọi là nhóm các phép thế bậc mở (còn gọi là nhóm đối xứng bậc n)
Hàm siợn : S„ —— R xác định như sau
sign(f) = ssl: f(t) £0) T7
Ta c6, sign(f) € {1,—1} với moi f € S,, sign(f) goi la déu cha phép thé f
Mot phép thé goi la phép thé chfn nếu dấu của nó bằng 1 và gọi là phép thế lẻ nếu
dấu của nó bằng -1
Tập tất cả các phép thế chãn của Š„ cũng lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép thế chẫn bậc m hay còn gọi là nhóm thay phiên bậc n Ký hiệu là A„
Với n = 7, ta có nhóm các phép thế bậc 7, ký hiệu là Š; Như vậy, số phẳn tử trong
S; là 7! = 5040 (phần tử)
Sau đây, ta có một số mệnh đề trước khi tìm hiểu vài điều về S;
1.2 Các định lý, mệnh đề
1.2.1 Các mệnh đề cơ bản về cấp và số phần tử
Quan hệ tương đương xác định bởi một nhóm con
Giả sử G là một nhóm và A4 là nhóm con của Œ Ta định nghĩa quan hệ hai ngôi ~ trong tập hợp Œ như sau: với mọi z, € G,
z~Us“=rl/€ A
Trang 9Luận uấn tốt nghiệp CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN B] Ta lại có rlụcA (a~'y)~' € A (Vi A lA nhém con) y'reA Ụụ~# 1111 Do vậy, ~ là đối xứng Cuối cùng, nếu z ~ và ~ z thì z~!z = (z~!w)(y~!z) € A nên ~ là bắc cầu Lớp ghép
Với mỗi z € G, ta ký hiệu lớp tương đương chứa z là # và ký hiệu
z#A = {ra:a€ A4} C G Khi đó, ta có 7 = zA,Y+z € G
Thật vậy, giả sử € 7, khi đó ~ z tức là z~'y = a là một phần tử nào đó thuộc A, cho nên = ra € rA Ngược lại, giả sử y € 2A khi đó = 1a với a € Á, nên +“ =a€ A Vậy, z ~ và ụ € F
Vì rA là các lớp tương đương nên ta có
tA=yA = rìụ@A ry¢A «=> rAnyA=ø
Các tập con zA gọi là các lớp ghép trái của nhóm con Á trong G Tập hợp thương
của Œ theo quan hệ ~ gọi là tập hợp thương của nhóm Œ trên nhóm con Á và ký hiệu G/A Vậy G/A={rA:2re€G} Ta cũng có thể làm tương tự cho các lớp ghép phải Định lý Lagrange và hệ quả Dinh ly 1.1 (Dinh ly Lagrange) Gid si G la nhém hitu han, A la nhém con của G Khi dé ta có |G| = |A|.|G/4|
Số |G/A| là số phần tử của tập G/A haw gọi là chỉ số của nhớm cơn A trong Œ còn
được ký hiệu là (Œ : A) Đôi lúc ta cũng viết |G| là (G : 1) và |A| là (A : 1), à do đó
công thức trên có thể tiết lại là
Trang 10Luận văn tốt nghiệp CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI
Chứng tinh Trước hết, nếu zA là một lớp ghép trái, thì ánh xa Á — za
aw za
là một song ánh Thật vậy, nó toàn ánh do định nghĩa của tập zA, nó đơn ánh vì nếu
ra, = raz thi a, = a¿ do luật giản ước trong nhóm Như vậy, số phần tử của mỗi lớp
ghép đều bằng nhau và bằng [A], ma có tắt cả |Œ/A| lớp ghép, nên ta có
|G| = |G/AI.|A|
Từ định lý này, ta có một mệnh đề tổng quát hơn là
Mệnh đề 1.1 Giả sử Œ là nhóm hữu hạn; H, K là nhóm con của Œ, K C HH Khi đó
ta có
(G: K)=(G: H).(H: K)
Hệ quả 1.1
(¡) Cấp của một phần tit tùu ý của nhóm hữu hạn Œ là ước của cắp G
() Mọi nhóm hữu hạn cắp nguyên tố déu la cyclic va được stmh bởi một phần tử bắt
kù khác đơn tị Chứng trinh
(i) Néu x € G thì theo định nghĩa, cấp của z bằng cấp của nhóm con (z), nên là ước của cắp G
(i) Nếu Œ có cấp nguyên tố Khi đó, với mọi z € Œ,z # e, cấp của z là một số lớn hơn 1 và là ước của cấp G
O
Từ (ii) ta rút ra nhận xét sau
Nhận xét: 2 nhóm con có cùng cấp là một số nguyên tố thì hoặc trùng nhau hoặc giao nhau bằng đơn vị
1.2.2 Định lý Sylow, các hệ quả và mệnh đề liên quan
Định lý 1.2 (Định lý Sylow) Giả sử Œ là một nhóm hữu hạn, |G| = p".r, với p là
số nguyên tô uà không là ước của r Khi đó
(¡) Œ có nhóm con cấp ph Một nhôm con nhu vay goi la p—nhém con Sylow của G
Trang 11Luận ăn tốt nghiệp CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BỊ
(it) Méi p—nhém con cia G (nhém con cia G ma cap la lity thita nao dé ctia p) déu
ndm trong mét p—nhém con Sylow nao dé cia G
(iii) Tat ca cdc p—nhớm con Sulou của G đều liên hợp wh nhau trong G (iv) Goin la sd p—nhém con Sylow ctia G thi
nir
{ n = 1(modp)
Hệ quả 1.2 Giả sử Œ là một nhóm hữu han, mét p—nhém con Sylow trong G là ước chuẩn của Œ khi uà chỉ khi trong Œ chỉ có duy nhất một p—nhém con Sylow
Chitng minh Goi H là p—nhém con Sylow trong G
Nếu H 4 GŒ Cho Œ tác động bằng liên hợp lên tập các nhóm con của nó, theo
định lý Sylow thì các p—nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau, mà do /#ƒ là ước chuẩn
của ŒG nên quỹ đạo GH chỉ gồm một phần tử #f Do dé, trong G chi có duy nhất một
p—nhém con Sylow
Ngược lại, do tác động của một nhóm lên một tập là song ánh nên khi Œ tác động lên H thì cho ra p—nhóm con SyÌow trong Œ, nhưng trong G chỉ có một p—nhóm con Sylow Do vậy, ta được xzHz"`' = H,YreŒ hay HAG Ménh dé 1.2 Cho G la mét nhém, A, B là các nhớm con của G, va AN B= {e}
A.B ={ab:ae Abe B}=G
Néu mét trong 8 trường hợp sau rảy ru
(i) ab = ba,Va € A,Vb € B
() A4G,B4G thì
Trang 12Luận van tét nghiệp CHUONG | KIEN THUC CHUAN BỊ
Chitng minh Néu A 2G, BAG, thi véi moi a € A, bE B, ta cé
aba“"b-! = (aba')b'€ B aba“'b-' = alba 'b')EA
Do AN B = {e} nén aba~*b-' = e Vi thé ab = ba, Va € A, Whe B Do vay, chi cin chimg minh ménh dé vdi diéu kién (7) Xót ƒ: AxB — G6 (Z, 1) —+ zy F((zi, i )(2,y2)) = ƒ(Tt-Zz Vi.) ~= TỊ.12.U/i-12 = TỊ.UI.T2.1⁄2 ƒ( vì )-ƒ(a ta) Do đó, f là đồng cấu nhóm Do A.B = G nên ƒ là toàn cấu Mặt khác, A f1 = {e} nên ta có r=e y=e <> (z,y) = (e,e) r=e = tức là ker f = {e} Vậy, f la đẳng cấu D 1.2.3 Các mệnh đề liên quan đến tác động của một nhóm lên một tập
Mệnh đề 1.3 Giả sử nhóm Œ tác động lên tập S, s tà s” là các phần tử thuộc S và
ụ là phần tử thuộc G sao cho ys = s’ Khi đó, các nhóm đẳng hướng của các phần tử
ats dita how when
Chitng minh Xét tap yG,y™, ta cd: Wr € yG,y7' thi z = y#tW Ì,z¡ € G, Do đó
rs’ = (yxyy™')s’ = yx,(y"'s’) = yris = y(z1s) = ys = 8
tức là „Œ„~! giữ s“ không đổi
Tương tự, ”!Œ„ giữ s cô định Vì thế, ta có G„~' cGy
y'Gyy C G, hay G„ C ụG,"`
Tir dé suy ra Gy = yG,y' 0
Trang 13Luận văn tốt nghiệp CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI Hé qua 1.3 Cho G la nhém, H là nhớm con của Œ, r, a là các phần tử của Œ Khi đó ta có (i) 20.27" = Crse-' (22) rNyz™' = í(YrHz-!
Chitng minh Ap dụng trực tiếp mệnh đề trên cho trường hợp Œ tác động liên hợp lên
chính nó và các nhóm con của nó, ta có điều phải chứng minh h
Hệ quả trên có thể phát biểu lại như sau: Cho Œ là một nhóm thế thì
( Nếu hai phần tử liên hợp nhau trong G thì cái chuẩn tắc hóa của chúng cũng liên
hợp nhau trong G
() Nếu hai nhóm con liên hợp nhau trong G thì cái chuẩn tắc hóa của chúng cũng
liên hợp nhau trong G
Mệnh đề 1.4 Nếu Œ là một nhóm tác động lên tập S tà s € S, thì số phân tử của
quỹ đạo Œs trùng vớt chỉ số (G : G,)
Chitng minh Xét tap thuong G/G,, ta 06
Nếu z và cùng nằm trong một lớp ghép theo Œ, thì zs = ys và ngược lại, z và
không cùng nằm trong một lớp ghép thì zs z s Thật vậy, ta có +zŒ, =UG, => ụ”'z EG, => (y'r)s=s => y'(rs)=s = m=ys (1.1) Vi thé ta được ánh xạ ƒ:G/G, —¬ Gs cho bởi cơng thức ƒ(zŒ,) = zs
Từ (1.1) ta được ƒ là đơn ánh, và rõ ràng ƒ là toàn ánh Do đó, ƒ là song ánh, vì thế,
số phần tử của Gs bằng số lớp ghép theo G, Ta có điều phải chứng minh ñ Hệ quả 1.4 Giả sử nhóm hữu hạn Œ tác động bằng hiên hợp lên tập các nhóm con của nó, l{ là nhóm cơn của Œ, thì số các phần tử liên hợp với H là
JG|
|Nn|
Trang 14Luận uăn tốt nghiệp CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI
Mệnh dé 1.5 Gid sv nhém Œ tác động lên tập S hữu hạn Kht đó, ta có công thức phân tích thành các quủ đạo sau
card(S) = 3 `(GΠ:G,)
ie!
uới card(S) là số phần tử của tap S va I là tập chỉ số nao dé
Chứng tình, Giả sử Œ tác động lên tập S Khi đó, hai quỹ đạo đối với nhóm G hoặc không giao nhau hoặc trùng nhau Thật vậy, nếu Œs; và Gs¿ là hai quỹ dao
với phần tử chung s, thì s = zs¡ đối với một phần tử z nào đó thuộc G, và do đó
Gs = Grs, = Gs, Tutong tu, ŒGs = Gs¿ Vì vậy, Š là hợp của các quỹ đạo đôi một
không giao nhau, và ta có thể viết
S= Gs, (Gs, đôi một không giao nhau)
ie!
trong dé, J 1A tap chỉ số nào đó và s; là các phần tử của các quỹ đạo khác nhau Do
Š hữu hạn, ta được sự phân tích cấp của tập Š thành tổng các cấp của các quỹ đạo,
tức là
card(S) = ˆ(G : G„)
ie!
0 Hệ quả 1.5 Giả sử nhóm hữu hạn Œ tác động bằng liên hợp lên tập các nhóm con
cắp rn của nó, H, là các đạt diện của các lớp liên hợp các nhóm con của Œ có cắp mm
Got n là số nhóm cơn của Œ có cắp rm Thế thì ta có
Hé qua 1.6 G la nhớm hữu hạn, G tác động lên chính nó bằng các liên hợp Khi đó
(Œ:1)= 3 (G: G,)
reC
trong đó, C là tập các đạt diện của các lớp khác nhau của các phần tử liên hợp
Công thức trên gọi là công thức các lớp
Mệnh đề 1.6 Cho nhóm G tác động lên tập S, z, ự, z là các phần tử thuộc S Nếu
Trang 15Luận ăn tốt nghiệp CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI
Chitng minh, Ta cé x € Gz thi ể = az với a € Œ nào đó, và tương tự, € Gz thì
ụ = bz với b€ Œ nào đó Do đó, a~'z = z = by Ti đó suy ra
zr = ab'ye Gy
y = ba 'xtE€ Gz
n
Hệ quả 1.7 Giả sử một nhớn G tác động lên chính nó bằng các liên hop Khi dé, nếu hai phân từ cùng liên hợp uới rnột phần tử thứ ba thì chúng liên hợp uới nhau
1.2.4 Các mệnh đề liên quan đến ước chuẩn và cái chuẩn tắc
hóa
Mệnh dé 1.7 Cho G là một nhóm, H là nhóm con của Œ, K là ước chuẩn của H
Khai đó, H là nhóm con ctia Nx Chitng minh Ta cé Nx ={r€G:z2Kr' = K} Lấy z € H thì zXz”! = K, do đó, z € Nx va vi vay, HC Nx Mặt khác, do /ƒ có cấu trúc nhóm nên ta được H<Nx n Mệnh để 1.8 Cho Œ là một nhóm hữu hạn H, K là các nhóm con của Œ, H là nhớm con của K, |H| = n, uà trong K chỉ có duy nhất một nhóm cơn cắp n là H Khi
Trang 16Luan van tét nghiệp CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN B]
Ménh dé 1.9 Cho p la số nguyên tố bé nhất chia hết cấp của nhóm hữu hạn G, va
H là nhóm cơn chỉ số p Khi đó, H là nhóm cơn chuẩn tắc của GC
Chiing minh, Ta cé H C Ny, vì vậy (G : Vụ) là ước của (GŒ : H) suy ra (G: Nụ) = ] hoặc (G : Ny) = p Néu (G: Ny) = 1 thì G = Ñ„ và H là nhóm con chuẩn tắc của
G
Giả sit (G : Ny) = p Suy ra W„ = H Cho G tác động bằng các liên hợp lên tập
các nhóm con của nó Khi đó, theo hệ quả 1.4 thì GH có (G : Nụ} = p phan tit Goi
S, la nhóm các phép thế của GH Với mỗi z € GŒ, tương ứng ƒ, : GH — GH a!\Ha ——+ r~'lq~ÌHar là song ánh Thật vậy, ta có a['Hay =as`Hay => aa;'Haay' =H = > aa;'e€ Ny = > array! € Ny => (a;r)(az)”' € Nụ <=> (a;¿z)”`H(a;z) = (ayz)~'!H(az) z~!ax! Haạz = +*Ìar! Hayz |
Suy ra tương ứng trên là ánh xạ và là đơn ánh, do đó nó là song ánh (do GH là tập hữu hạn), hay nói khác di, f, € S,, Vz € G
Xét ánh xạ
f:G— 5&, ar fa
Vi fas = fa-f, nén ta 06 ngay f la đồng cấu nhóm Nếu a € ker ƒ thi f,(H) = H, suy
ra a~'Ha = H, cho nén a € Ny = H Béi vay, ta c6 ker f C H Bay gid ta chứng
mình (H : ker ƒ) = 1 (tức là H = ker f)
That vậy, giả sử (H : ker ƒ) > 1, khi đó gọi g là ước nguyên tố của (H : ker ƒ), theo
mệnh đề 1.1, ta có (Œ : ker ƒ) = (GŒ : H)(H : kerƒ) = p{(H : kerƒ) Do đó, p.q là ước
ctia (G : kerf)
Mat khac, G/ ker f = Imf C S, nén (G: ker f) lA uéc cia pl
Bởi vậy, ta có pạ|p! Suy ra g|Íp — 1)!, do đó, q < p, trái với giả thiết bé nhất của p Vậy, phải có Ö# = ker ƒ, tức là nhóm con chuẩn tắc của Œ, cho nên ẤW„ = GŒ Thế nhưng điều này trái với giả sử ban đầu của ta la (G : Ny) = p
Tóm lại, ta luôn có (G : N„) = 1 tức là H là nhóm con chuẩn tắc của G 0
Trang 17Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ 1.2.5 Dinh ly phan tích phép thế thành tích các vòng xích độc lập Vòng xích và chuyển trí Cho ƒ là một phép thế bặc n Nếu ƒ viết dưới dang f= @ @2 *** Qm-1 Gm Om+r “** On 42 Q@3 *** đm CO Omer *** Oy
thì ƒ được gọi là vòng xích độ dài m và ta viết đơn giản
ƒ = (aid¿ dạ} = (aga3.- Ama) =
Vòng xích độ dài 1 là phép thế đồng nhat ls, = (1) = (2) = = (n)
Vòng xích độ đài 2 gọi là phép chuyển trí
Hai vòng xích ƒ = (dd am) và g = (bb) by) goi la déc lap nếu
{an, đa, - ., đm } f1 {by, bạ, 0y} =Ø
Dễ thấy rằng phép nhãn các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán
Định lý 1.3 Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được duy nhất (không kể thứ tự) thành tích các uờng zích độc lập độ dài lên hơn hoặc bằng 2
Từ định lý này ta có nhận xét sau
Nhận xét: Nếu ta có các phần tử a¡, đạ, , am(tn < n) thì chúng sẽ tạo ra (rn — L)I
phép thế khác nhau có dạng vòng xích độ dài rn Thật vậy, rn phần tử ay, đạ đự,
tạo ra rn! vòng xích Tuy nhiên, ta có
(1903 - + : đ„ ) = (đạ0g - - : đại) = - + + = (đmđi + - © đự—2đ—1)
tức là ta sẽ có các bộ rn vòng xích bằng nhau, hay một phép thế được thể hiện bởi rn vòng xích Từ đó, suy ra số phép thế khác nhau có dạng vòng xích là (m — 1)!
Nêu một phép thế được biểu diễn bởi tích & vòng xích độc lập, thì do tính giao
hoán trong phép tích các vòng xích độc lập nên một phép thế như thế sẽ có k! cách
biểu diễn
Hệ quả 1.8 Mọi phép thá đều phân tích được thành tích các chuyển trí
Định lý 1.4
Trang 18Luận uăn tốt nghiệp CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI
Hé qua 1.9
e ƒ là uòng rich dé dai m thi sign(f) = (-1)""'
Nêu f cé svt phan tich thanh tich cc vong rich f = fy f, thi sign( f) = sign(f;) sign(f,)
Tích của 9 phép thế cùng tính chẵn lẻ là phép thế chan, khác tính chẵn lẻ là phép thế lẻ
Khi phân tích một phép thế thành tích các chuyển trí thì số các chuyển trí là chẵn hay lẻ tùu theo phép thé đó là chan hay lẻ
sign(ly) = 1, sign(f-') = sign(f) vdi moi f € Sa, nói cách khác, phép thê đồng nhất là phép thê chẵn, phép thế ƒ uà phép thế ngược ƒ~Ì có cùng tính chẵn lẻ e Số các phép thê chân bậc ‹ bằng số các phép thế lẻ bậc n uà bằng >
Mệnh đề 1.10 Tit cd cic phép thé chdn déu phan tích được thành tích các uòng rich
dé dai 3
Chứng tình Ta áp dụng hệ quả 1.8, tất cả các phép thế chin déu phan tich duge
thành tích các chuyển trí, và số các chuyển trí là số chẵn Ta xét 2 trường hợp sau (a@3)(a@;a2) = (aia¿aa)
(@,42)(@3a4) = (asazai)(aiasa4)
Từ đây ta suy ra các phép thế chẵn đều có thể phân tích thành tích các vòng xích độc
lập độ dài 3 n
Từ mệnh để 1.10 và các hệ quả trên, ta suy ra mệnh để sau
Trang 19Luận văn tốt nghiệp CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN B]
Trang 20Chương 2 MOT SO NHOM CON CUA NHOM S7 2.1 Các phần tử trong S; %; có 7! = 5040 phần tử, tập tất cả các ước nguyên dương của 5040 là A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040 } A có 60 phần tử Theo định ly Lagrange, néu H 1A nhém con cia S; thi |H|eA
Từ nhận xét của định lý 1.3, ta xác định được các dạng của các phần tử và số lượng
của chúng như sau 2.1.1 Các phần tử cấp 2 Các phần tử cắp 2 có 3 dạng: (44a), (aas)(4sa4), (a,a2)(a3a4)(agag) Số phần tử có dạng (aa;) là mị = 1I.CŸ = aa = 21 (phan ti) Số phần tử có dạng (ayaa)(asa¿) là 1 iT 8 s
ng = sị:1!⁄C?.H.C§ = Di Dist 214i = 105 (phan tir)
Số phần tit cé dang (a)a2)(a3a4)(asag) 1a
Ls 17! 51 3!
n3y = aị:1!C?-11.0ý.11:03 tr 31 215! 213! 211 = 105 (phần tử)
Trang 22Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG 2 MOT SO NHOM CON CUA NHÓM $; 2.1.6 Các phần tử cấp 7 Các phần tử cấp 7 có 1 dạng (ayaaaaa¿asasa;} và số phần tử là n = 6!.Cƒ = 6L = T20 (phần tử) 2.1.7 Các phần tử cấp 10 Các phần tử cắp 10 có 1 dạng (aaz)(aaa¿asasay) và số phần tử là n = 11.C?.4!.C; ~ 23151 Bio! a 4! ee 504 (phan tit) 2.1.8 Các phần tử cấp 12 Các phần tử cấp 12 có 1 dạng (aiaaas)(a¿asasa;) và số phần tử là 7! 4! Ta dé dang thấy rằng tổng số phần tử các cấp cùng với phần tử đơn vị là 5040 phần tử, chính là tất cả phần tit trong Sp n = 2!.C3.3!.C} = 2!
2.2 Các nhóm con cyclic trong S;
Trong ŠS; các nhóm con cấp 2, 3, 5, 7 đều là các nhóm con cyclic, các nhóm con cấp
4, 6, 10, 12 là những nhóm gồm nhiều dạng, cyclic và các đạng tổng trực tiếp Trong
mục này ta chỉ xét dang cyclic
2.2.1 Nhóm con cấp 2
Trong Š;, các nhóm con cắp 2 là các nhóm con cyclic sinh bởi các phần tử cấp 2 Tất cả chúng đều đẳng cấu với nhau và đẳng cắu với Z
Trang 23Luận uăn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHOM CON CUA NHOM S;
Từ dây, kết hợp với hệ quả 1.7 ta được: các phần tử cắp 2 cùng dạng thì liên hợp nhau
Suy ra các nhóm con cắp 2 liên hợp với nhau theo từng dạng của phần tử sinh Trong Š; có 21 phần tử cấp 2 dạng (aœ¡a¿) nên có 21 nhóm con cấp 2 sinh bởi dạng nay Néu G, là nhóm con cấp 2 của Š; có dạng này, thì theo hệ quả 1.4 ta có:
5040
INe,|= =T = 340
Tương tự như thế, trong Š; có 105 phần tử cấp 2 dạng (aiaa)(asa¿) nên có 105
nhóm con sinh bởi dạng này Nếu G¿ là nhóm con cấp 2 của Š; có dạng này, thì theo
hệ quả 1.4 ta có:
5040
\Ne,| = 105“ 48
Và cuối cùng, trong 9; có 105 phần tử cấp 2 dạng (aia;)(asa¿)(asas) nên có 105
nhóm con cấp 2 sinh bởi dạng này Nếu Gạ là nhóm con cấp 2 của Š; trong trường
hợp này, thì theo hệ quả 1.4 ta có
5040
INe,|= Tọc = 48
Vậy, trong %; có 21+105+105=231 nhóm con cấp 2
2.2.2 Nhóm con cấp 3
Trong Š;, các nhóm con cắp 3 là các nhóm cyclic sinh bởi các phần tử cắp 3 Tắt
Trang 24Ludn van tốt nghiệp CHƯƠNG 2 MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM S;
Đối với loại sinh bởi các phần tử dạng (ayazas), số các nhóm con trong lớp liên hợp
của chúng là 5 35 nhóm con Từ đó, theo hệ quả 1.4, nếu G¡ là nhóm con cấp 3 loại này thì
5040
Ne, | = 35 = 144
Đấi với loại sinh bởi các phan tit dang (a;a2a3)(aya3ag), 86 các nhóm con trong lớp
liên hợp của chúng là = = 140 nhóm con Từ đó, theo hệ quả 1.4, néu G2 là nhóm
cắp 3 loại này thì
5040
|Wo;| = 140 = 36
2.2.3 Nhóm con cấp 5
Trong S; các nhóm con cắp 5 là các nhóm cyclic sinh bởi các phần tử cắp 5, chúng
cũng là các 5—nhóm con Sylow trong Š; Tắt cả chúng đều đẳng cắu với nhau và đẳng
cấu với Zs Do 5 là số nguyên tố, nên các nhóm con cấp 5 khác nhau không có phan tử cấp 5 nào chung Vì thế, trong S;, s6 nhóm con cắp 5 là “ = 126 nhóm con
Theo định lý Sylow, các nhóm con cấp 5 nay liên hợp với nhau trong S; Theo hệ
quả 1.4, nếu Œ là nhóm con cấp ð trong ®; thì 5040
INol = Tsz = 40
2.2.4 Các nhóm con cấp 7
Trong Š; các nhóm con cấp 7 là các nhóm cyclic sinh bởi các phần tử cấp 7, chúng
cũng là các 7—nhóm con Sylow trong Š; Tắt cả chúng đều đẳng cấu với nhau và đẳng
Cit VE Zz Đo 7 105 ngư) tổ, sản các nhóm con dp 7 khá: nha: không óó phần
tử cắp 7 nào chung Vì thế, trong S;, số nhóm con cấp 7 là ~— = 120 nhóm con
Theo định lý Sylow, các nhóm con cấp 7 này liên hợp với nhau trong S; Theo hệ quả 1.4, nếu G là nhóm con cấp 7 trong S; thi
5040 |Mel = T20 = 42
2.2.5 Nhóm con cyclic cấp 4
Xét các nhóm con cyclic cấp 4 trong Š;, ta có các nhóm con này đều đẳng cấu nhau và đẳng cấu với Z¿ Trong một nhóm cyclic cấp 4 thì số phần tử cắp 4 là 2, số
phan tử cấp 2 là 1 và 1 phần tử đơn vị; 2 phần tử cấp 4 là những phần tử sinh, tương
Trang 25Luận ăn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHOM CON CUA NHÓM S; ứng với cac phan ti 1 va 3 trong Z, Do các nhóm con cyclic khác nhan tng thể + cé chung phan tử sinh nẽn số các nhóm con cấp 4 cyclic trong Š; là — 420 nhóm con
Cũng như các phần tử cấp 2 và cấp 3, các phần tử cấp 4 cũng liên hợp với nhau theo từng dang Thật vậy, xét phần tử ĐA mg Ha sa) dc d¿y Gy GQ, GQ, a a; Ta cé 8(1234)8 ' = (aiasasœ) (12)(3456)”' = (ayaa)(asaaasaa)
Kết hợp với hệ quả 1.7 ta có điều trên, và từ đó suy ra các nhóm con cyclic cắp 4 cũng liên hợp với nhau trong Š; theo từng dạng của phẩn tử sinh
Đối với loại nhóm con sinh bởi các phần tử dạng (a¡azasa¿) thì số nhóm con là
= = 105 nhóm con Theo hệ quả 1.4, nếu Œ¡ là nhóm con cyclic loai nay thi
5040
|We,| = tor 7 tố
Đối với loại nhóm con sinh bởi các phần tử dạng (aaz)(asa¿asas) thì số nhóm con
là = 315 nhóm con Theo hệ quả 1.4, nếu Ơạ là nhóm con cyclie loại này thì
5040
|Ne,| = 315 = 16
2.2.6 Nhóm con cyclic cấp 6
Xét các nhóm con cyclic cắp 6 trong Š;, ta có các nhóm con này đều đẳng cấu với nhau và đẳng cấu với Z„¿ Trong một nhóm con cyclic cắp 6 thì có phần tử đơn vị,
1 phan tử cấp 2, 2 phần tử cấp 3, và 2 phần tử cấp 6; 2 phần tử cấp 6 là các phần tử sinh, tương ứng với các phần tử l1 và 5 trong Z¿ Do các nhóm con cyclic khác
nhau không thể có chung phần tử sinh nên số các nhóm con cấp 6 cyclic trong S7 la
“— = 735 nhóm con
Tương tự như trẽn, các phần tử cấp 6 cũng liên hợp với nhau theo từng dạng Thật vậy, ta xét
Trang 26Luận ăn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHOM CON CỦA NHÓM S; Ta có 0(12)(345)đ `" = (ayas)(asaaas) 3(123456)3"" = (ayaza3a4a5a¢) 3(12)(34)(567)3-' = (a,a2)(a3a4)(asagaz)
Kết hợp với hệ quả 1.7 ta được điều trên, và do đó, các nhóm con cắp 6 trong Š; cũng
liên hợp với nhau theo từng dạng của phần tử sinh
Đối với loại nhóm con sinh bởi các phan tử dạng (aaz)(asa¿as), thì số nhóm con là > = 210 nhém con Theo hé qua 1.4, néu G; 14 nhém con cyclic loai nay thi
5040
\Ne,| = 0=“
Đối với nhóm con sinh bởi các phan tit dạng (aidaasaaasa¿), thì số nhóm con là = = 420 nhóm con Theo hệ quả 1.4, néu G2 lA nhém con cyclic loai nay thi
5040
ye = — =
INo;| 420 12
Đối với nhóm con sinh bởi các phần tử dạng (aa2)(asa4)(asasay) thì số nhóm con
là — = 105 nhóm con Theo hệ quả 1.4, nếu G3 là nhóm con cyclic loại này thì
5040
|Ne;| = T0 = 48
2.2.7 Nhóm con cyclic cấp 10
Xét nhóm con eyclic cấp 10 trong ®Š%;, ta có các nhóm con này dễu đẳng cấu nhau và đẳng cấu với Zqo Trong một nhóm cyclic cấp 10 thì có phần tử đơn vị, 1 phần tử
cấp 2, 4 phần tử cấp 5, và 4 phần tử cấp 10, những phần tử cắp 10 là những phần tử
sinh ứng với các phần tử T, 3, 7, ð trong Z+s Do các nhóm con khác nhau không thể có
Trang 27Luận uăn tốt nghiệp CHƯƠNG 2_ MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM S;
Ta có
3(12)(34567)3-' = (ayaz)(asaaasaaar)
Kết hợp với hệ quả 1.7 ta được điều trên Từ đó suy ra các nhóm con eyclic cấp 10 đều liên hợp với nhau trong Š; Do đó, nếu Œ là nhóm con cấp 10 trong Š; thì theo
hệ quả 1.4, ta được
5040 |Ng| = 26 = 40
2.2.8 Nhóm con cyclic cấp 12
Xét nhóm con cyclic cấp 12 trong Š;, ta có các nhóm con này đều đẳng cấu nhau
và đẳng cấu với Z„; Trong một nhóm cyclie cắp 12 thì có phần tử đơn vị, 1 phần tử
cắp 2, 2 phần tử cắp 3, 2 phần tử cấp 4, 2 phần tử cấp 6 và 4 phần tử cấp 12 Trong đó, 4 phần tử cấp 12 là các phần tử sinh, tương ứng với các phần tử 1,5, 7, IÏ trong Zx¿ Do cdc nhém con cyclic khác nhau không thể có chung phần tử sinh, nên số các nhóm con cyclic cAp 12 trong Š; là = = 105 nhóm con
Tất cả các phần tử cấp 12 đều liên hợp với nhau trong Š; Thật vậy, ta cũng xét phần tử 2= (2 2 3 4 5 6 8 ~ \ ay @2 G3 Gy Gy a a7 Ta có 3(123)(4567)8~" = (ayasas)(aaasaaar)
Kết hợp với hệ quả 1.7 ta được điều trên Từ đó suy ra, các nhóm con cyclic cấp 12 đều liên hợp với nhau trong Š; Do đó, nếu G là nhóm con cyclie cấp 12 trong S; thi
theo hệ quả 1.4 ta được
5040
INcl = soe = 48
2.3 Các nhóm con Sylow trong Š;
Ta có 7! = 5040 = 21.32,5.7 Do đó, trong Š; có các loại nhóm con Sylow sau 2—nhóm con Sylow là nhóm con cấp 16
3—nhóm con Sylow là nhóm con cấp 9 5—nhóm con SyÌlow là nhóm con cắp 5 7—nhém con Sylow là nhóm con cấp 7
Trang 28Luận ăn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHOM CON CUA NHÓM S; 2.3.1 Nhóm con cấp 9
Theo định lý Sylow thì trong ®$; lũn tổn tại nhóm con cấp 9 và tất cả các nhóm con cấp 9 trong Š; đều liên hợp nhau, do đó, tất cả chúng đều đẳng cấu nhau Thật
vậy, ta đã biết tác động của một nhóm lên một tập là song ánh, trong trường hợp này ta chỉ cần chứng minh tác động đó là đồng cấu Giả sử Œ¡ và Œ¿ là các nhóm con cấp 9 sao cho G2 = aG,a™', a € Sz Xét
ƒ : Gị —+ G, ce ara!
Ta c6 71,72 € G thi
f(xy.22) = a(z,22)a~' = az,(a~‘a)z2a~' = (ar,a~')(ar,a~') = f(x) f(x2)
Vì thế f là đồng cấu và do dé, f la ding cfu
Theo định lý Sylow, mỗi p~nhóm con đều nằm trong một p—nhóm con SyÌlow nào đó, từ đó suy ra tất cả các phần tử cắp 3 đều nằm trong các nhóm con cắp 9 Do tính liên hợp theo từng dạng của các phần tử cấp 3 và do các nhóm con cấp 9 đều liên hợp với nhau nên trong một nhóm con cắp 9 bất kỳ có đủ các dạng phần tử cấp 3
Gọi n là số nhóm con cắp 9 Khi đó, theo hệ quả 1.4, ta suy ra ø‹ là lớn nhất khi cái
chuẩn tắc hóa của nhóm con cấp 9 là nhỏ nhất, tức là bằng 9; và ø nhỏ nhất khi các
nhóm con cấp 9 khác nhau có nhiều phần tử khác nhau nhất Ta có số phần tử cấp 3
trong Š; là 280 + 70 = 350 phần tử Để có ít nhóm con cắp 9 nhất, ta chia 350 cho 8,
kết hợp với hệ quả 1.4, ta tìm được số hợp lý, đó là 70 nhóm con và khi này, cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cấp 9 là nhóm con cấp 72 Như vậy, cắp của cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cấp 9 thuộc tập {9, 18, 36, 72} Kết hợp định lý Sylow: n = 1(mod3) Ta được, một nhóm con cắp 9 Œ bắt kỳ có cái chuẩn tắc hóa cấp 18 hoặc cấp 72
Néu |G| = 18, tife JA trong Ng chỉ có phần tử cấp 3 và cấp 2 thì khi S; tác động bằng các liên hợp lên các nhóm con cấp 9 thì chỉ có những phần tử cấp 3 và cấp 2 là
có thể giữ nguyên nhóm con cắp 9 qua tác động liên hợp Tuy nhiên, đối với nhóm con
cắp 9 ((123),(456)), thì có phần tử cắp 4 (14)(2536) giữ bắt động qua tác động liên
hợp, mâu thuẫn Do vậy, |Nẹạ| = 72 và vì thế, theo hệ quả 1.4 thì số nhóm con cấp 9
là aoe = 70 nhém con
Ta có một nhóm con cấp 9 là ((123), (456))
2.3.2 Nhóm con cấp 16
Sự tồn tại của nhóm con cấp 16 được bảo đảm bởi dịnh lý Sylow, hơn nữa, theo
định lý Sylow thì tất cả các nhóm con cắp 16 đều liên hợp nhau trong Š;, tương tự như nhóm con cấp 9, từ đây, ta cũng suy ra được các nhóm con cắp 16 đẳng cấu với nhau
Trang 29Luận uăn tốt nghiệp CHƯƠNG 2_ MỘT SỐ NHÓM CON CUA NHOM S;
Theo định lý Sylow, mỗi p—nhóm con đểu nằm trong một p—nhóm con SyÌow nào
đó, từ đó suy ra tắt cả các phần tử cấp 2 và cấp 4 đều nằm trong các nhóm con cấp 16 Do tính chất liên hợp theo từng dạng của các phần tử cắp 2 và cấp 4 và do các nhóm con cấp 16 đêu liên hợp nhau, nên trong một nhóm con cấp 16 bat kỳ, chứa đủ các dạng phần tử cấp 2 và cấp 4
Ta gọi số nhóm con cấp 16 là n Khi đó, theo hệ quả 1.4, ta suy ra m lớn nhất khi
cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cấp 16 là bé nhất, tức là bằng 16; và n nhỏ nhất khi
các nhóm con cấp 16 khác nhau có nhiều phần tử khác nhau nhất Ta có, số phần tử
cắp 2 và cấp 4 trong S; là 21 + 105 + 105 + 210 + 630 = 1071 phần tử Để có ít nhóm
con cấp 16 nhất thì ta chia 1071 cho 15, kết hợp với hệ quả 1.4, ta tìm được số hợp lý
là 105 nhóm con và khi này, cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cắp 16 là nhóm con cấp
48 Do đó, một nhóm con G bắt kỳ cắp 16 sẽ có cái chuẩn tắc hóa cấp 16 hoặc cấp 48 Nếu |We¿| = 48, xét H là nhóm con cyclic cấp 4 sinh bởi phần tử dạng (aa;)(asa4asaạ)},
khi đó || = 16 Nếu trong Œ có một nhóm con cấp 4 dang này thì theo mệnh đề 1.2,
Ne < Nw (!) Vì vậy, trong G it nhất phải có 2 nhóm con dạng này, tức là số phần tử cap 4 dạng (aa;)(aaa¿asas) phải lớn hơn 2 Tuy nhiên, trong thực tế, có nhóm con cấp
16 ((12), (46), (3456)) chỉ có 2 phần tử cắp 4 dạng trên đó là (12)(3456) và (12)(3654),
mâu thuẫn Do vậy, |Me| = 16, tức là Mẹ = Œ Từ đó theo hệ quả 1.4 suy ra, trong
Sr có ae 135 nhóm con cấp 16,
Ta có một nhóm con cấp 16 là ((12), (46), (3456))
2.4 Một số nhóm con không tồn tại trong Š;
2.41 Trong S; không có nhóm con cấp 15, 35, 45, 70, 90, 315
Trong Š; không có nhóm con cấp l5
Giả sử trong S; có nhóm con Œ¡ cấp 15, thì trong Œ¡ tổn tại 5—nhóm con SyÌow là nhóm con cắp 5 Ta cé: 15 = 3.5 Theo dinh ly Sylow, néu n la sé 5—nhém con Sylow trong G, thi nj3 n = 1(mod5)
Từ đó suy ra m4 = Ì, tức là ta có: trong Ga có 1 5—nhóm con Sylow Theo hệ quả 1.2
thi G, nhận 5—nhóm con Sylow này làm ước chuẩn Tuy nhiên, theo mệnh đề 1.7, thi
Trang 30Luận văn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHOM CON CUA NHOM S;
Trong Š; không có nhóm con cắp 35
Giả sử trong Š; có nhóm con G¿ cấp 35, thì trong G¿ có 5—nhóm con Sylow là nhóm con cấp 5 Ta có: 35 = 5.7 Theo định lý Sylow, nếu n là số 5—nhóm con Sylow trong G2 thi n|7 { n = 1(mod5)
Tir dé suy ra n = 1, tức là ta có: trong Gz cé 1 5—nhém con Sylow Theo hé qua 1.2
thi G2 nhận 5—nhóm con Sylow này làm ước chuẩn Tuy nhiên, theo mệnh dé 1.7, thì
Gy < Ny (với H là một nhóm con cấp 5 trong S;), vA do dé theo djnh ly Lagrange thi
|Œ;| là ước của [| mà 35 không chia hết 40, mãu thuẫn
Vậy, trong Š; không tồn tại nhóm con cấp 35
Trong Š; không có nhóm con cấp 45
Giả sử trong S; có nhóm con Gx cấp 45, thi trong G; tén tai 5—nhém con Sylow là nhém con cap 5 Ta cé: 45 = 37.5 Theo dinh ly Sylow, néu n lA 86 5—nhém con Sylow trong G; thi { n|3? n = 1(mod5)
Từ đó suy ra n = 1, tức là ta có: trong Ởạ có 1 5—nhóm con Sylow.Theo hệ quả 1.2
thì Gy nhận 5—nhóm con Sylow nay lam ước chuẩn Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn
tắc hóa của nhóm con cấp 5 là tập tất cả các phần tử z € Š; sao cho zŒyz~! = Gy JA nhóm con cắp 40, mâu thuẫn Do đó, trong $; không có nhóm con cắp 45
Trong Š; không có nhóm con cấp 70
Trang 31Luận ăn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHÓM CON CUA NHÓM S;
Tir dé suy ra n = 1, tife lA trong G, c6 1 5—nhém con Sylow Theo hệ quả 1.2 thi
G, nhan 5—nh6m con Sylow nay làm ước chuẩn Tuy nhiên, trong 8; cái chuẩn tắc
hóa của 1 nhóm con cấp 5 là nhóm con cắp 40, mâu thuẫn Do đó, trong S; khéng có
nhóm con cấp 70
Trong Š; không có nhóm con cấp 90
Giả sử trong Š; có nhóm con G; cấp 90, thi trong G; tén tai 5—nhém con Sylow Ta có: 90 = 2.37.5 Theo dinh ly Sylow, néu n 1a số 5—nhóm con Sylow của Gs thì : n|18 n = 1(mod5) Từ đó suy ra 1 n n 6
Nếu n = 1, theo hệ quả 1.2 thi G; nhan 5—nhém con Sylow này làm ước chuẩn
Tuy nhiên, trong Š; cái chuẩn tắc hóa của một nhóm eon cắp 5 là nhóm con cấp 40,
mâu thuẫn
Nếu m = 6, theo hệ quả 1.4, do các 5—=nhóm con SyÌlow đều liên hợp nhau trong
Gs (dinh ly Sylow) nén c4p của cái chuẩn tấc hóa của nhóm con cấp 5 trong trường
hợp này là nhóm con cấp — = 15 Tuy nhiên trong S; khong tn tai nhóm con cấp 15, mâu thuẫn
Vậy: trong S; không có nhóm con cắp 90 Trong ŠS; không có nhóm con cấp 315
Trang 32Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG 2_ MỘT SỐ NHÓM CON CUA NHOM S;
Nếu n = 1, theo hé quả 1.2, thì ŒGs nhận 5—=nhóm con Sylow này làm ude chuẩn Tuy nhiên trong Š; cái chuẩn tấc hóa của một nhóm con cắp 5 là nhóm con cấp 40, mau
thuẫn
Nếu n = 21, theo dịnh lý Sylow, trong Gs moi 5—nhém con Sylow déu liên hợp
với nhau Đo đó, nếu #f là 5—nhóm con Sylow trong Gạ thì theo hệ quả 1.4, |Ny| = 5
= = 15.Tuy nhién, trong S; khong có nhóm con cấp 15, mãu thuẫn Vay, trong S; không có nhóm con cắp 311
2.4.2 Trong Š; không có nhóm con cấp 63, 84, 126, 140, 28, 280,
420, 560, 1008, 1260
Trong Š; không có nhóm con cấp 63
Giá sử trong Š; có nhóm con G¡ cấp 63, thi trong G, tén tai 7—nhém con Sylow Ta CÓ 63 = 3?.7 Theo định lý SyÌow, néu n 1a s6 7—nhém con Sylow cia G, thi nị9 n = 1(mod7)
Từ đó suy ra n = 1, theo hệ quả 1.2, G, nhan 7—nhém con Sylow nay làm ước chuẩn Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của một nhóm cắp 7 là nhóm con cắp 42, mâu
thuẫn
Do đó, trong S; không có nhóm con cấp 63
Trong Š; không có nhóm con cấp 84
Giả sử trong S; có nhóm con cắp 84 G¿, thì trong G¿ tổn tại 7-nhóm con SyÌow Ta có 84 = 2?,3.7 Theo định lý Sylow, trong Œ¿, nếu n là số 7—nhóm con Sylow thi nj12 { n = 1(mod7)
Từ đó suy ra n0 = 1, theo hé qué 1.2, thi G, nhan 7—nhém con Sylow nay lam uc
chuẩn Tuy nhién, trong S;, cdi chudn t&c héa của một nhóm con cấp 7 là nhóm con
cấp 42, mâu thuẫn
Do đó, trong Š; không có nhóm con cắp 84
Trang 33Luận uãn tốt nghiệp CHƯƠNG 2_ MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM S;
Trong Š; không có nhóm con cấp 126
Giả sử trong Š; có nhóm con G3 cAp 126, thì trong Œạ tổn tại 7=nhóm con SyÌow Ta có 126 = 2.37.7 Theo định ly Sylow, trong Gy, néu n la 85 7—nhém con Sylow thì n{18 { n = 1(mod7)
Tit dé suy ra n = 1, theo hệ quả 1.2, thì Gy nhận 7—nhóm con SyÌow này làm ước
chuẩn Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của một nhóm con cắp 7 là nhóm con
cấp 42, mâu thuẫn Do đó, trong Š; không có nhóm con cắp 126
Trong Š; không tổn tại nhóm con cấp 140
Giá sử trong trong Š; có nhóm con G, cAp 140, thi trong G, tén tai 7—nhém con Sylow Ta cé 140 = 27.5.7 Theo định ly Sylow thi trong G,, néu n lA s6 7—nhém con Sylow thi n|20 { n = 1(mod7)
Từ đó suy ra n = 1, theo hệ quả 1.2, thì trong G¿ nhận 7—nhém con Sylow nay lAm
ước chuẩn Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của một nhóm con cấp 7 là nhóm
con cắp 42, điều này dẫn đến mâu thuẫn
Do đó, trong SŠ; không có nhóm con cắp 140
Trong $; không tổn tại nhóm con cấp 28
Giả sử trong trong S; c6é nhém con G; cp 28, thi trong Gs tén tai 7—nhém con Sylow
'Ta có
28 = 27.7
Theo định lý Sylow, néu n 1A s6 7—nhém con Sylow cia G; thi
{ th 1(mođï)
Từ đó suy ra n = 1 Theo hệ quả 1.2, thì G; nhận ?7-nhóm con SyÌow này làm ước chuẩn Tuy nhiên, theo mệnh đề 1.7, thi Gs; < Ny trong S; va do đó theo định lý
Trang 34Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG 2_ MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM $;
Trong 5S; không tổn tại nhóm con cấp 280
Giả sử trong trong Š; có nhóm con Gs cAp 280, thi trong Gs tén tai 7—nhém con Sylow Ta cé 280 = 2°.5.7 Theo dinh ly Sylow, néu n 1a s6 7—nhém con Sylow cia Gs thi n140 n = 1(mod7) Từ đó suy ra n= | n= 8
Nếu n = 1, theo hé qua 1.2, thi Gs nhan 7—nhém con Sylow nay làm ước chuẩn
Tuy nhiên, trong Š; cái chuẩn tắc hóa của một nhóm con cấp 7 là nhóm con cắp 42,
mâu thuẫn
Nếu n = 8, theo dinh ly Sylow, trong Gs, moi 7—nhém con Sylow nay đều liên hợp nhau trong Gs Do dé, nếu H lA 7—nhém con Sylow trong Ga thì theo hệ quả 1.4, \Nu| = = 35 Tuy nhiên, trong Š; không có nhóm con cấp 35, mâu thuẫn
Vậy, trong Š; không có nhóm con cắp 280
Trong $; không tổn tại nhóm con cắp 420
Giả sử trong trong Š; có nhóm con Ở; cấp 420, thì trong Œ; tồn tại 7=nhóm con Sylow “Ta có 420 = 2?.3.5.7 Theo dinh ly Sylow, néu n la sé 7—nhém con Sylow cia G; thi n|60 n = 1(mod7) Từ đó suy ra 1 n n 15
Nếu n = 1, theo hệ quả 1.2, thì G; nhin 7—nhém con Sylow này làm ước chuẩn Tuy nhiên, trong Š; cái chuẩn tắc hóa của một nhóm con cấp 7 là nhóm con cấp 42,
mâu thuẫn
Néu n = 15, theo dinh ly Sylow, trong G;, moi 7—nhém con Sylow trong Œ; đều lién hgp nhau trong G; Do dé, néu H la 7—nhém con Sylow trong G; thi theo hệ quả 1.4, |Ny| = 77 28 Tuy nhiên, trong Š; không có nhóm con cắp 28, mâu thuẫn
Trang 35Luan van tắt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHÓM CON CỦA NHÓM $;
Trong Š; không tổn tại nhóm con cấp 560
Giả sử trong trong Š; có nhóm con Œạ cấp 560, thì trong Œạ tồn tại 7=nhóm con Sylow Ta có 560 = 2°.5.7 Theo dinh ly Sylow, néu n là số 7—nhém con Sylow ciia Gg thi n|80 n = l(modT) Từ đó suy ra 1 n n 8
Nếu n = 1, theo hé qua 1.2, thì Œạ nhận 7—=nhóm con Sylow nay làm ước chuẩn Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của một nhóm con cấp 7 là nhóm con cắp 42,
mãu thuẫn
Néu n = 8, theo định lý Sylow, trong Gs, moi 7—nhém con Sylow déu liên hop nhau
Do dé, néu H là 7—nhóm con Sylow trong Gg thi theo hé qua 1.4, |Ny| = “ae 70
Tuy nhiên, trong SŠ; không có nhóm con cấp 70, mâu thuẫn Vậy, trong SŠ; không có nhóm con cắp 560
Trong Š; khương tổn tại nhóm con cấp 1008
Giả sử trong trong 9; có nhóm con Œạ cấp 1008, thì trong Œạ tồn tại ?7=nhóm con Sylow Ta cé 1008 = 2*.37.7 Theo định lý Sylow, néu n là số 7-nhóm con SyÌow của Gạ thì { nj144 n = 1(mod7) Từ đó suy ra n= 1 n= 8 n= 36
Néu n = 1, theo hệ quả 1.2, thi Gy nhan 7—nhém con Sylow nay làm ước chuẩn
Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của một nhóm con cấp 7 là nhóm con cắp 42,
Trang 36Luận uăn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHOM CON CUA NHÓM $;
Nếu n = 8, theo dinh ly Sylow, trong Gg moi 7—nhém con Sylow nay déu lién hop với nhau trong Gạ Do đó, néu H là 7—nhém con Sylow trong Gy thi theo hệ quả 1.4,
|| = = = 126 Tuy nhiên, trong Š; không có nhóm con cấp 126, mâu thuẫn
Néu n = 36, theo định lý Sylow, trong Gg moi 7—nhém con Sylow này đều liên hợp
với nhau trong Œạ Do đó, nếu #ƒ là 7=nhóm con Sylow trong Œạ thì theo hệ quả 1.4,
|W| = _Ầ 28 Tuy nhiên, trong ŠS; không có nhóm con cấp 28, mãu thuẫn
Vậy, trong Š; không tồn tại nhóm con cắp 1008
Trong Š; không tổn tại nhóm con cắp 1260
Giả sử trong trong Š; có nhóm con Gyo cAp 1260, thi trong Gyo tén tai 7—nhém con Sylow Ta cé 1260 = 2?.37.5.7 Theo định lý Sylow nếu m là số ?—nhóm con Sylow của Gia thì n{180 n = 1(mod7) Tit d6 suy ra n= | n= 15 n = 36
Néu n = 1, theo hệ quả 1.2, thi Gy nhén 7—nhém con Sylow này làm tước chuẩn
tac Tuy nhién, trong S;, cái chuẩn tắc hóa của một nhóm con cắp 7 là nhóm con cấp
42, mâu thuẫn
Nếu n = 15, theo dinh ly Sylow, trong Gyo, moi 7—nhém con Sylow déu lién hgp
nhau Do đó, nếu H là 7=nhóm con Sylow trong Gyo, thi theo hé qua 1.4, |Ny| =
= = 84 Tuy nhiên, trong Š; không có nhóm con cắp 84, mâu thuẫn
Nếu n = 36, theo định lý Sylow, trong Go, mọi 7—=nhóm con Sylow đều liên hợp nhau Do đó, nếu /ƒ lA 7—nhém con Sylow trong Gio thi theo hé qué 1.4, |Ny| =
= = 35 Tuy nhiên, trong Š%; không có nhóm con cắp 35, mâu thuẫn Vậy, trong $; không có nhóm con cắp 1260
2.4.3 Trong Š®; khơng tổn tại nhóm con cấp 80
Giả sử trong Š; tồn tại nhóm con Œ cấp 80 Khi đó, trong Œ có 5—nhóm con Sylow là nhóm con cấp 5 Ta có
80 = 24.5
Trang 37Luận uăn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHÓM CON CỦA NHOM S;
Theo dinh l¥ Sylow, néu n là s6 5—nhém con Sylow trong G thi n{16 n = 1(mod5) Tit dé suy ra l n n 16
Nếu m = 1, theo hệ quả 1.2, thì Œ nhận 5—nhóm con Sylow này làm ước chuẩn Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cắp 5 là nhóm con cấp 40, mau
thuẫn
Nếu m = 16, do 5 là số nguyên tố nên các nhóm con cấp 5 khác nhau không có phan tử cấp 5 nào chung Do đó, số phần tử cấp 5 trong G là 16.4 = 64 (phần tử) Số phân tử không phải cắp 5 trong Œ là 80 — 64 = 16 (phần tử), trong ŒG có 2—nhóm con Sylow là nhóm con cấp 16 Do đó, trong G có 1 nhóm con cấp 16, theo hệ quả 1.2 thi
Œ nhận nhóm con cắp 16 này làm ước chuẩn, nhưng trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của
nhóm con cấp 16 là nhóm con cấp 16, mâu thuẫn
Vậy, trong 9; không tồn tại nhóm con cắp 80
2.4.4 Trong Š$; không có các nhóm con cấp 30, 105, 210, 840,
1680
Trong Š; không tồn tại nhóm con cấp 30
Giả sử trong ŠS; có nhóm con Œ¡ cấp 30, thì trong G¡ có 5—nhóm con Sylow là nhóm
Trang 38Luận tăn tốt nghiệp CHUONG 2 MOT SO NHÓM CON CUA NHOM $;
Néu n = 1, theo hé quả 1.2, thì G; nhận 5—nhóm con SyÌow này làm ước chuẩn Theo mệnh để 1.7, nếu ta gọi 5—nhóm con SyÌlow nay lA H thi G; < Ny, suy ra |G,}
là ước của 40, mà |G;| = 30, mâu thuẫn
Nếu m = 6, Do 5 là số nguyên tố, nên các nhóm con cấp 5 khác nhau thì không có phần tử cấp 5 nào chung Do vậy, số phần tử cấp 5 trong G¡ là
6.4 = 24(phan tit) (1)
Néu m = 1, theo hé qua 1.2, thi G; nhan 3—nhém con Sylow này làm ước chuẩn
Theo ménh dé 1.7, néu ta goi 3—nhém con Sylow nay lA K thi G; < Nx, suy ra |G,|
là ước của 36 ho&c |G,| la ước của 144, mà |G;| = 30, mãu thuẫn
Nếu m = 10, do 3 là số nguyên tố nên các nhóm con cấp 3 khác nhau thì không có phần tử cấp 3 nào chung Do vậy, số phần tử cấp 3 trong G¡ là
10.2 = 20(phan tử) (2)
Từ (1) và (2) suy ra số phần tử cắp 2 và cấp 5 trong Œ¡ là 24 + 20 = 44 (phần tử)
mà |G;| = 30, mãu thuẫn
Vay, trong S; khong có nhóm con cấp 30
Trong Š; không tổn tại nhóm con cấp 105
Giả sử trong S; có nhóm con Ở¿ cắp 105, thi trong G2 cé 3—nhém con Sylow là nhóm con cấp 3.Ta có 105 = 3.5.7 Theo định lý Sylow, néu n là số 3—nhém con Sylow cha G, thi n|35 n = 1(mod3) Từ đó suy ra n= 1 n= 7
Nếu n = 1, theo hệ quả 1.2, thì G¿ nhận 3—-nhóm con Sylow nay lam ước chuẩn
Theo ménh dé 1.7, néu ta goi 3—nhém con Sylow nay là H thi G2 < ẤW„, suy ra |G:| là ước của 36 hoặc |G;| là ước của 144, mà |G¿| = 105, mâu thuẫn
Néu n = 7, theo dinh ly Sylow thì các 3—nhóm con Sylow nay đều liên hợp với nhau trọng G¿ Do đó, nếu H la 3—nhém con Sylow trong G2 thi theo hệ qua 1.4, \Ny| = > = 15 Tuy nhiên, trong Š; không có nhóm con cấp l5, mâu thuẫn
Trang 39Luận uăn tốt nahiệp CHƯƠNG 2._ MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM S;
Trong Š; không tồn tại nhóm con cắp 210
Giả sử trong Š; có nhém con Gy cắp 210, thì trong Gạ có 7—nhém con Sylow là nhóm con cAp 7, 5—nhém con Sylow là nhóm con cấp 5 vA 3—nhém con Sylow là nhóm con cắp 3.Ta có
210 = 2.3.5.7
Theo dinh ly Sylow, néu n 1a s6 7—nhém con Sylow, m 1a s6 5—nhém con Sylow, & la số 3—=nhóm con Sylow cia G, thi ‘a m|42 { m = 1(mod5) k|70 k = 1(mod3) Từ đó suy ra 1 15 1 6 21 1 7 10 = 70
Néu n = 1, theo hé qua 1.2, thi G; nhan 7—nhém con Sylow nay lam ước chuẩn Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cấp 7 là nhóm con cắp 42, mâu
thuẫn
Nếu n = 15, Do 7 là số nguyên tố, nên các nhóm con cấp 7 khác nhau thì không có phần tử cấp 7 nào chung Do vậy, số phần tử cắp 7 trong G là
6.15 = 90 (phần tử) (1)
Nếu rm = 1, theo hé qua 1.2, thi G; nhin 5—nhém con Sylow nay làm ước chuẩn
Tuy nhiên, trong S;, cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cấp 5 là nhóm con cắp 40, mau
thuẫn
Trang 40Luận ăn tốt nghiệp CHƯƠNG 2 MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM S;
Nếu n = 21, Do 5 la số nguyên tố, nên các nhóm con cấp 5 khác nhau thì không có phần tử cắp 5 nào chung Do vậy, số phần tử cấp 5 trong Gy lA
4.21 = 84 (phần tử) (2)
Nếu k = I1, theo hệ quả 1.2, thi G3 nhan 3—nhém con Sylow này làm ước chuẩn
Tuy nhiên, trong Š;, cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cấp 3 là nhóm con cắp 36 hoặc 144, mãu thuẫn
Nếu k = 7, theo dịnh ly Sylow thi céc 3—nhém con Sylow nay liên hợp với nhau
bung Gy Do d6, néu H la 3—nhém con Sylow trong Œx thì theo hệ quả 1.4, |N„| = "mm 30 Tuy nhiên, trong Š; không có nhóm con cấp 30, mâu thuẫn
Nếu k = 10 thì theo định lý Sylow thi các 3—nhóm con Sylow này đều liên hợp với nhau trong Œx Do dé, néu H la 3—nhóm con Sylow trong G thì theo hệ quả 1.4, || = ` = 21 Tuy nhiên, trong 8;, cái chuẩn tắc hóa của nhóm con cấp 3 là nhóm
con cắp 36 hoặc 144, không chia hết cho 21, mâu thuẫn
Nếu & = 70, do 3 là số nguyên tố nên, các nhóm con cắp 3 khác nhau thì không có phan tử cấp 3 nào chung Do vậy, số phần tử cấp 3 trong Gy la
2.70 = 140 (phan tit) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra số phần tử cap 7, 5, 3 trong G; lA 90 + 84 + 140 = 314 (phần tử) ma |Gy| = 210, mâu thuẫn
Vậy, trong S9; không tồn tại nhóm con cấp 210
Trong Š; không có nhóm con cấp 840
Giả sử trong Š; tồn tại nhóm con G¿ cấp 840 Khi đó, trong Œ¿ có 7—nhém con Sylow là nhóm con cấp 7, 5—nhóm con Sylow là nhóm con cấp 5, 3—nhóm con SyÌow là nhóm con cấp 3 Ta có
840 = 2°.3.5.7