Trong những hiện tượng nêu ra đĩ tác giả muốn nhắn mạnh đến hiện tượng siêu dẫn[đoạt giải thưởng Nobel năm 1972 cho cơng trỉnh lý thuyết BSC vẻ hiện tượng siêu dẫn của 3 nhà khoa học J.B
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRUONG DAI HQC SU PHAM THANH PHO HO CHI MINH KHOA VAT LY
*xwxx*x*
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
DE TAI:
Trang 2
LOFT CAM ON
Trong théi gian lit khi bdt dau chou dé tai va hoan thank ludu
edn nay, loi da uhan ditge ral nhiéu sg gitip dé, dong niên từ thấu
«6, gia dink oa ban bé Dde bi¢t cho phép tai bay té ling biét on chan thanh dén:
© Dhé Gido Sa_ Tién si Aguygén Khde Hhap, agidi dé giip thé dish buting bhi liga chen dé tai
© “7/ếm si khoa hge Lé Odnu Hoang da tin tink hutdéngddan téi
trong tuổi thời gian (em luận van
SHhan day tdi eting xin giti lei eam ơn đến Ban (2luí fÀ[liiệem
khoa OG Ly trường Pai he Sa Dham FP.HOM, ccc Thay (2â trong khĩa, các ban sink oién khéda 26 2000 - 2004 đã tạo tuọi điều kiện cũng nữut giúp để tải trong thời giaứt [dứt (tậứt oan
Khi thite tiện luận cân tàu, bản thản đa cố gang lam thal tat trong gidi han kiéu tute etia minh va trong trink bay oi tink nhuing chide chdn oan khéung trank khdi mel oi thiéu sdt Kink
mong nhan diuge uluing j kiến đồng gấp từ phía quả thấu cả
giáo, giáo oiên phía biện, các bạm tiHÍt ciên để luận van
thược hoan thigu hou
Think Phd Hd Chi Minh thing 5 nam 2004 Sinh oién gd Thi Dlatona
Trang 3GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhap- TSKH Lé Van Hoan LUAN VAN TOT NGHIEP
Chuong 0:
MO BAU
1 Như đã biết trong mạng tỉnh thê chất rắn, các ion tại các nút mạng tỉnh thẻ
khong nam yên tại vị trí cân bằng mà chủng luơn dao động quanh vị trí cân bằng
Lý thuyết vẻ đao động mạng cơ điển cĩ thể giải thích được rất nhiều hiện tượng vật lý trong chất răn, ví dụ như: sự đãn nở vì nhiệt sự xuất hiện điện trở trong kim
loại định luật Joule-l.entz, định luật Ohm, hiệu ứng Hall,
Tuy nhiên cĩ một loạt các hiệu ứng rất quan trọng, cĩ ý nghĩa lớn vẻ ứng dụng
thực tiễn sẽ khơng thẻ giải thích được nếu khơng sử dụng lý thuyết lượng tử
2 Trong những hiện tượng nêu ra đĩ tác giả muốn nhắn mạnh đến hiện tượng siêu dẫn[đoạt giải thưởng Nobel năm 1972 cho cơng trỉnh lý thuyết BSC vẻ hiện tượng siêu dẫn của 3 nhà khoa học J.Bardeen, L.N.Cooper và J.R.Sehrieffer], hiện tượng siêu lỏng{đã đem lại nhiều giải Nobel cho nhiều nhà vật lý: H.Koermerligh-
Onnes(nim 1913), P.Kapotza(nim 1930), F.Landaw(năm 1962), D.M.Lee và
R.C.Richardson(năm 1996)], hiệu ứng Hall lượng tử [cơng trình của nhà khoa học Klaus von Klitzing doat giai Nobel nam 1985]
Bản chất sâu xa của các hiện tượng đĩ nằm trong việc hình thành các chuẩn hat trong mạng tỉnh thể và sự tương tác giữa điện tử với chuẩn hạt này cũng như tương tác giữa các chuẩn hạt với nhau Trong giới hạn của luận văn nảy, tác giả chủ ý đến tương tác điện tử với chuẩn hạt phonon - lượng tử của đao động mạng,
cĩ năng lượng e=#œ và xung lượng p=AK xác định, ở đây & là vectơ sĩng
đao động lan truyền trong mạng tỉnh thẻ
3 Việc nghiên cửu tương tác điện tử - phonon phát triển theo nhiều hướng
khác nhau, đến năm 1933, Landaw đã đưa ra một cách nhìn khác đĩ là sự xuất
hiện ý tưởng “tự làm bẫy của electron”
Trong mạng tinh thẻ ion, khi electron tương tác Coulomb với ion mạng tỉnh thê đang đao động chủng sinh ra sự phân cực trong tinh thé Sy phan cực này tạo
ra một "hồ thế” bao quanh electron
Năng lượng của electron giảm và nĩ bị mắc vào hồ thể mà nĩ tự “dao” Vi
thẻ năng lượng tồn phân tức là năng lượng tổng cộng của electron và năng lượng dao dong mang giảm do cĩ sự xuất hiện của hồ thế, thực thẻ phức tạp nảy cĩ
"quyền tơn tại”, gọi là polaron
Trang 4GVHD: PGS.TS Nguyén Khac Nhap- TSKH Lê Lăn Hồ LUAN VAN TOT NGHIEP
Cho đến nay mơ hình nảy được nghiên cứu rộng rãi, được viết trong nhiều sách chuyên ngành, được đẻ cập đến trong rất nhiều sách giáo khoa[Introduction
to solide states physics của Charles Kitel, Lý thuyết chất răn của Davudov, | và cho đến thời điểm hiện nay đây vẫn là một trong những hướng được nghiên cửu mạnh mẽ[tác phẩm “Some Aspects of Polaron theory" của NN Bogolubov; “Phương pháp tính tốn mới cho polaron N chiêu trong giới hạn liên kết mạnh”
của nhĩm nhà Vật lý Trung Quốc(đăng trên J.Phys.Condens.Matter 8
_16.09.1996)]
Mơ hình Polaron là một mơ hình rất thuận tiện để thử nghiệm nhiều phương
pháp giải gần đúng trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử; đặc
biệt nĩ được dùng để nghiên cửu các vấn để về tương tác giữa hạt và trường
lượng từ Vì vậy việc giải phương trình Schrodinger cho bài tốn polaron đã được
thực hiện vả phát triển bởi hầu như tất cả các phương pháp của cơ học lượng
tử(nhương pháp nhiễu loạn, phương pháp biến điệu, )
4_ Mục tiêu của Luận văn là:
e Tim hiéu sdu vé mé hinh tương tác điện tử - phonon : nâng cao hơn những
kiến thức đã học trong học phần Vật lý chất rắn
e Tiếp cận với một trong những phương pháp hiện đại để giải phương trình Schrodinger cho mẫu polaron: điều này giúp củng cố và phát triển thêm
kiến thức của học phần Cơ học lượng tử
e« Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học thơng qua một bài tốn
polaron cụ thể, Hồn thiện những kĩ năng cơ bản pc vụ cho việc nghiền
cứu khoa học sau này như: cách tìm tài liệu, cách tiếp cận kiến thức bằng nhiều phương tiện khác nhau, cách trình bày một vấn đề khoa học cùng với việc sử dụng các kiến thức tốn học cao cấp cũng như các chương trình hỗ trợ tính tốn dựa trên các ngơn ngữ lập trình dành riêng cho sinh viên
ngành Vật lý như Mathematica
Trang 5GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhap- TSKH Lé Van Hodng —LUAN VAN TOT NGHIEP
NOI DUNG VA CACH THUC TIEN HANH LUAN VAN
Ludn van nay gom cĩ 3 chương chỉnh:
_Chương I: khái quát hĩa lại kiến thức về chuẩn hạt phonon đề cho thấy rằng cĩ thẻ hiểu nĩ như là một lượng tử của dao động mạng Nĩ cĩ những tỉnh chất của
một hạt lượng tử và quan trọng nhật là nĩ cĩ sự tương tác
_Chuong II: trình bảy về tương tác electron - phonon trong mạng tỉnh thẻ ion với cách biểu diễn tốn tử Hamilton khac
Thơng thường thì trong các sách khi viết vẻ tương tác electron - phonon , các tác giá thường viết biểu thức của tốn tử Hamilton trong biểu điển các số lắp day cho ca thanh phan electron va phonon, thực tế trong những cơng trình nghiên cứu gắn đây, người ta vẫn giữ nguyên, dang ban dau thành phần Hamilton của electron mà khơng viết trong biểu diễn số lắp day
Theo hướng đĩ, trong chương này sẽ trình bay | cách viết tốn tử Hamilton cho tương tắc electron - phonon trong mạng tỉnh thẻ ion Van dé nay cĩ, thé tim
thấy trong tác phẩm Lý thuyết chất rắn của Davudov, sách tuyên tập các vẫn đẻ vẻ
polaron
_Chuong III; để tiếp cận với một trong những phương pháp nghiên cứu hiện đại, tác giả làm quen với mơ hình tuyến tính của giáo sư Komarov(sĩ
539.I2_ 03.07.1995) dựa trên những cơ sở lý thuyết của mẫu Bogolubov
Thường thì đối với các mơ hình tưng phần tương tác giữa electron và trường lượng tử luơn cĩ thừa số cĩ dạng ef và trong các tính tốn cụ thẻ, người ta oon cho gan đúng bằng I hoặc bằng Ì + Ù?' Điểm khác biệt hẳn trong mơ
hình tuyến tính là phép gắn đúng được sử dụng một cách hồn hảo hơn và giữ lại được thành phản phụ thuộc vào năng lượng phonon theo dạng € he Ngồi ra, mơ hình gần đúng nảy cho lời giải chính xác và cho phép điễn giải các thành phần của Hamilton một cách rõ rảng
Trong chương này, tác giả làm quen, tìm hiểu kĩ hơn một số tính toản cụ thẻ tuân
thu theo trình tự xây dựng mơ hình của giáo sư Komarov; phát triển kết quá với việc sử dụng ngơn ngữ lập trinh Mathematica, phan tich va vé dé thi
Trang 6GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSĐH Lê Văn Hồng — LUAN VAN TOT NGHIEP
Với những kiến thức tìm hiểu được từ mơ hình nảy, chúng ta cĩ thê phát triển tiếp lên cho bài toản polaron trong điện từ trường, tỉnh các mức năng lượng của polaronở trạng thái kích thích
————m r-xsrzỶ]F-Ỷ-—=TT————— ———— _
Trang 7GVHD: PGS.TS Nguyén Khac Nhap- TSKH Lé Van Hoang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Chuong I:
PHONON - LUONG TU CUA DAO DONG MANG Chương nảy mục đích để chỉ rõ chuẩn hại phonon là lượng tử của dao động
mạng đây là sản phẩm thuần tủy của lý thuyết lượng tứ Vì vậy phân nảy sẽ trình
bảy lại đao động mạng tỉnh thể một chiêu đơn nguyên tử đẻ thấy rõ quy luật tán sắc
trong dao động mạng Thêm nữa là phan trình bảy dao động mạng một chiều hai
nguyên tử để thấy rõ sự khác biệt giữa nhánh quang học và nhánh âm học
Và bảng việc đưa vào khái niệm phương thức chuẩn để dễ dàng hơn trong việc thực hiện quá trình lượng tử hĩa dao động mạng Tiện ích khi đưa vào khái niệm nảy lả ta đã xét dao động mạng như một tập thể đao động mả khơng xét đến đao động của từng nút mạng Nĩi khác đi đao động mạng được xét như một tập hợp của các mode dao động khác nhau Khi lượng tử hĩa lên, cứ một mode dao động
tương ứng với một dao động tử điêu hịa và mỗi kích thích của nĩ xem như một
chuân hạt, gọi là phonon
Tat cả các kiến thức trên được trình bày khá đầy đủ trong các giáo trình vật
lý chất rắn dùng để giảng day cho sinh vién khoa Vật lý của nhiều trường Dại học như: sách "Vật lý chất rắn” Nguyễn Thế Khơi, Nguyễn Hữu Mình_NXB Giáo Dục
1992, sách "Vật lý chất rắn” _Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh NXB Đại học
quốc gia TP Hồ Chí Minh 2002; “Giáo trình vật lý chất rắn" Nguyễn Văn Hùng Đại học quốc gia Hà Nội
Do vậy, trong chương này, tác giả chỉ khái quát lại kiến thức và chỉ dừng lại ở dao động một chiêu, riêng phần phương thức chuẩn đưa ra dưới dạng tơng quát
nên khảo sát ở dạng ba chiều
§1 DAO DONG CUA MANG TINH THE MOT CHIEU
1) Thé nao la mang tinh thé một chiêu ?
Đỏ là một dãy hay chuỗi các nguyên tử giống nhau, đặt cách déu nhau trén
một đường thăng
Các nguyên tử hay phân tử chuy ên động dao động quanh vị trí cân bằng Do
sự tương tác giữa các hạt, các nguyên tử chuyên động « bám chặt » lấy các nguyên tử lân cận, chúng tạo ra chuyển động tập thẻ giống như sự lan truyền của sĩng đản hỏi trong mạng tỉnh thẻ
—==================== GOGOOỄŸEEEŸ``šŸšÝẼšKKĂaaaaaaa{a =-ầ ._._——
Trang 8GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP —naaaannmammammmaaađacđẳaaaaoooocoac,mỐ Tùy vào phương dao động cuả các nguyên tử mà người ta phân ra làm hai loại sĩng : - lIPP Sĩng dọc : phương dao động của các nguyên tử trùng với phương truyền sĩng > Sĩng ngang : phương dao động của các nguyên tử vuơng gĩc với phương truyền sĩng
3) _ Trường hợp mạng tỉnh thể một chiêu đơn nguyên tử :
Xét dao động vuơng gĩc với dãy nguyên tử gồm các nguyên tử giống nhau,
khỏi lượng M, cách nhau khoảng a
Vị trí của các nguyên tử cĩ thể được xác định bằng vectơ tịnh tiền : #8 =na,
n lả sở nguyên chỉ vị trí cân bằng của các nguyên tử trong chuỗi
Giả sử lúc t = 0, nguyên tử thứ n = 0 dịch chuyển đoạn „„ ra khỏi vị trí
cânbăng ; : #af /) là độ dịch chuyển ở thời điểm t của nguyên tử thứ n ra khỏi vị trí
cần bằng của nĩ tại điểm cĩ toạ độ x„= na
Nếu độ địch chuyển của các nguyên tử ra khỏi vị trí cân bằng là rất nhỏ so
với khoảng cách a giữa hai nguyên tử kể nhau thì lực tương tác giữa các nguyên tử
cĩ thể xem gần như là đàn hồi Theo định luật Hooke, các lực đàn hồi này cĩ độ lớn tỉ lệ với độ dịch chuyền
Các nguyên tử của chuỗi xem như liên kết với nhau bằng các lị xo nhỏ cĩ hằng số đàn hỏi là e Lúc này độ dịch chuyển u, mơ tả dao động của nguyên tử thứ
n trong vùng lân cận quanh vị trí cân bằng
Trang 9GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nh TSKH Lê Lăn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Suy ra đều, „ M ae = (U„ , a ~2u,) (1.1.1)
Xét sĩng truyền đọc theo chuỗi nguyên tir , tỉm nghiệm cúa phương trình duoi dang mot Song lan truyền tuần tự theo thời gian theo quy luật hàm số mũ expí(-
Iœt).với cùng tân số gĩc 00
Nghiệm của (I.H.1) cĩ dạng:
t„ = lạ eXpÍ( Kna = @fÌ; (I.1.2)
Với „xác định độ lệch của nguyên tử thứ n = 0 ra khỏi vị trỉ cân bằng ở thời
điểm t=0
K= = la so song , K 1a vecto song, c6 cing phuong chiều với hướng lan
truyén cua song
Bằng cách thay nghiệm trên vào phương trình (1.2.1), ta cĩ
Ma’ = ~C|[ exp(iKa)+ exp(~iKa)~ 2] (1.1.3)
Sir dung céng thire Euler : e“” =cos Ka +isin Ka, do đĩ ø`° = © (1-cos Ka) =< sin? (1.1.4) nghĩa là I H Ka @ =| —| jsin— M 2 (1.1.5)
Đây là hệ thức tán sắc của dao động trên chuỗi tuyến tỉnh một chiều Sự tán
sắc là tính chat thé hiện sự lệch khỏi quy luật tuyến tính, ở đây hệ thức tán sắc diễn tả mới liên hệ giữa tần số gĩc œ với độ lớn của vectơ sĩng K
_- ——ừDEaaaaaRaR-==
Trang 10GLHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Nhdn xét (L115): > (œ tuân hồn với chủ kì 2 T ? Dat K+—2=Kk° thi nghiệm của phương trình đao động lúc nay a "ae | se-s) (3xa _ l Kau~se] LH ¬ uae _—= Une e } e””" =l,Vn =0,1,2 =u, — —— `
Như vậy vectơ sĩng K,K' đều mơ tả cùng một trạng thái dao động nghĩa là
Trang 11GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP > Van toc nhém : là vận tốc lan truyền năng lượng dao động mạng wy oy Ge - = la cĩ : Vụ = 1K ' hay Vy = grad, | K ) O Với những giá trị K nhỏ, nghĩa là Ka<<l,K cĩ giá trị gần tâm vùng Bnllouin : _Ka_ Ka Cc \ ca its
SH 2 MT lic d6 @= _ X :œ phụ thuộc tuyên tính vào K
Trường hợp này giỏng như trường hợp của sợi dây đản hỏi liên tục cĩ mật
độ khơilượng là ø
: dw c\ _M
Vain toc nhom la: ¥, => = 2 pre
Trong trường hợp nảy ta thấy các dao động cĩ tản số nhỏ ửng với bước sĩng lớn Những kích thích dao động tương ứng với sự lan truyền sĩng âm trong tinh thể, nên ta gọi nhánh đao động này là nhánh âm học
© Với những giá trị của K lớn, K thuộc vùng biên của vùng Brillouin
T ỏ:W _Ư da _ ae og Ke
sare ee ON ape eS
o Với K=+Z (K cĩ giả trị tại biên của vùng Brillouin) thì v„=0
a
© Diéu kién giới han :
Đẻ thuận lợi cho việc giải bài tốn đao đơng mang, Born var Karman dua ra I điều kiện vẻ tính tuần hồn của chuỗi tuyến tính : trạng thái đao động tại nút mạng
Trang 12GVHD: PGS.TS Nguyén Khdc Nhap- TSKH Lé Van Hoang LUẬN VĂN TƠT NGHIỆP Néu e* =1 thi u,= Upen , Suy ra KNa = 2nz hay K ` va -=<¢K<= a a Dodo N N (1.1.6) -—sns— 2 2
P Rõ thay ring vung (111.6) trang voi ving Brillouin cua vectơ sĩng của dao déng Su dung điều kiện tuân hồn như trên ta thấy giả trị chấp nhận được và
phù hợp của K là N, băng với số nguyên tử trong mạng đang xét Mỗi giá trị riêng
của K ứng với hàm riêng của nỏ dưới dạng nghiệm u„ Chính vi thẻ số hàm riêng này hay số nghiệm tuyên tính của phương trình khơng vượt quá N Trong phơ
⁄2[ K}, một giá trị ‹ ứng với N giá trị của vectơ sĩng K
—— Ta cĩ giả trị của K giới hạn trong v ùng Brillouin thứ nhất và œ cĩ giá trị
nhật định :
K = oat = 0.41.42
Na 2
nên nghiệm u„ mơ tả dao động của nguyên tử tại nút mạng tỉnh thế thứ n thay
đơi theo giá trị vectơ sĩng K là: H,„ = 1y >4(R)se|i(KR -ø(R)t)Ì (1.1.7) A(K} là biểu thức đặc trưng cho biên độ dao động của nguyên tử, nĩ là một hảm phụ thuộc vào K 3) Trường hợp mạng tỉnh thể một chiêu hai nguyên tử : ` ` * ˆ
a Đao động của mạng một chiêu gơm 2 nguyÊn tử :
Đề giải bải tốn dao động mạng của 2 nguyên tử người ta cĩ thể xây dựng
hai mỏ hình như sau :
Trang 13GVHD: PGS.TS Nguyén Khde Nhap- TSKH Lé Van Hodng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Fn _)
ait Mau thứ nhất : là một chuỗi tuyển tính gơm 2 nguyên tử dịng nhất găn két nhau băng những lị xo nho cĩ độ cứng lân lượi là G vả K
v Mẫu thứ hai : là một chuỗi tuyến tính gồm 2 nguyên tử cĩ khơi lượng
lân lượt là M;, M; cách nhau khoảng a được sắp xếp luân phiên nhau trên chuỗi
này Lúc này lực tương tác giữa các cặp nguyên tử gần nhau là đồng nhất(xem như
các nguyên tử được liên kết với nhau bởi các lị xo nhỏ cĩ cùng độ cứng)
Trong phần này sử dụng mau thir hai
Phương trinh đao động của ơ mạng thử n gồm 2 nguyên tử M;,M; cĩ đạng : + đ°u., * M, 5 s C(u,,., —M;„ , 2u,, ) (1.1.8) đìu M;———~=C(u;,.; +w;„ —2;„ mas dự ( 3a+3 2 ?a i)
Gọi M29, Mans) Han Iugt 1a d dich chuyến của nguyên tử khối lượng M¡, M; ra
khỏi vị trí cân băng của nĩ
Nghiệm của các phương trình trên là:
u,, =U, exp| í(2nKa ~ ør) Ì
Moo.) Ely exp| i((2n +1) Ka-at) |
Thay céc nghiém vao phuong trinh (1.11.7) ta thu được nghỉ ệm sau: 2 ot xe| St ý ft Me) MM, MM, i (1.1.9) MM, 2 Những nghiệm âm khơng cĩ ý nghĩa vật lý, do đĩ ta chí quan tâm đến nghiệm dương
Đơn giản ta xét trong giới hạn Ka<<! và Ka = #7,
+ Khi Ka nho Ka<</ taco
Trang 14GVHD: PGS.TS Nguyén Khac Nhap- TSKH Lé Van Hoang LUẬN VAN TOT NGHIEP
2sin? = = 1-cos Ka = NHÀ tod
Nghiém cua phuong trinh (1.1.9) la:
; ;C £4? bay 6 Ka | 2C
yD = MM, OY — 2M eM,
Ham @¡(K) trùng với các hàm mơ tả tan số sĩng âm của tỉnh thế một chiều
đơn nguyên tử cĩ khơi lượng là (M;,+£M;) Do đĩ nhánh dao động ứng với tân số gĩc
t(K) được gọi là nhánh âm h ọc
: | 1 | | l
œ; =2C| —+—— va J2CÍÏÍ —+——Ì
_ F uz) %“ |." ,)
Hàm ø;{K) tương ứng với đao động mà tân số khơng tiến vẻ 0 khí K tiến lại gân tâm vùng Brillouin(ứng với đao động cĩ bước sĩng lớn) Hơn nữa trong tỉnh thẻ
ion khi cĩ dao động ứng với nhánh này, nĩ dễ dàng bị kích thích bởi ánh sáng Do vậy nhánh dao động này gọi là nhánh quang học
Trang 15ŒLHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUAN VAN TOT NGHIEP
b Nhanh am hoc va nhanh quang học trong phố dao động của mạng tinh thẻ mà trong ơ mạng sơ cập chứa trên hai loại nguyên tử :
Trong mạng tỉnh thể chứa N ơ mạng sơ cấp, mỗi ơ cĩ Ì nguy én tử ứng với N giả trị của vectơ sĩng K trong vùng Brillouin thứ nhất Mỗi giả trị của vectơ
song K lương img với 3 thức dao động(3 modes đao động) : I thức dọc và 2 thức
ngang Mỗi nguyên tử cĩ 3 bậc tự do, sơ thức đao động cĩ thể sie với số bậc tự do của các nguyên tử trong mạng tình thẻ
Đối với tỉnh thể gồm N ơ mạng sơ cấp, mỗi 6 chứa p nguyên tử Số
nguyên tử lập nén tỉnh thẻ là pN, do đĩ tỉnh thể cĩ 3pN bậc tự do ứng với 3pN
modes dao động, trong đĩ :
3N nhánh âm học : l nhánh dọc âm học(LA) và 2 nhánh ngang am hoc(TA)
` 3(p-L)N cịn lại gơm :
* (p-1)N mođes đọc quang học(LO), gơm (p-l) nhánh dọc quang học
⁄ 2(p-l)N modes ngang quang học trong đĩ cĩ 2(p-l) nhánh ngang quang học(TO)
———— -r-crFrr-rccccrycTT TT eeầcce=———
Trang 16GVHD: PGS.TS Nguyén Khac Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
§2 PHƯƠNG THỨC CHUẢN
Từ cách biểu điển nghiệm cúa phương trình đao động của mạng tình
the nhu (1.1.7), ta đưa ra một hệ tọa độ mới đặc trưng cho tính chuyên động tập thẻ
Trang 17GEHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
B(K) = Tư, exp(¡Kna]
n=l
B(K gọi là tọa độ chuẩn, nĩ mơ tả dao động của một mode dao động, đặc
trưng cho tính đao động tập thể của các nguyên tử trong mạng tính thẻ
Bây giờ xác định năng lượng dao động mạng tỉnh thê biêu diễn trong phương thức chuân : ` Động năng : Taco: v.52 | _ l nig) jks 5° (wi) ima E, =2M2 =5 5K)“ 2,7 (K \e?
Trong khơng gian vectơ X, ứng với một giá trịK luơn cĩ một giá trị -Ấ tương ứng nên ta cĩ thé thay giá trị K' bang -£, rồi lấy tổng theo K : E, =5My n(K)B(-K) ° Thế năng : chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử gần nhau nhất > E, = sCŠ 0, _ ) l rk ae ov =;Me'(K)3.8(K)5(_K)
& day ta cd; Ma*(K)= Ma" (-K )=4Csin’ “ Năng lượng dao động mạng của mạng tình thẻ:
E= 3 +E,
£= 1w [ã(š)ã-#)-e'(#)5(E)z(-)|
—————>_————>—==Z->mm
Trang 18GLHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
TT
¬ My a(R) + 0° (a(R |
Từ biểu thức 8()= 4(K}e “““Ÿ ta téy đạo hàm hai về theo thời gian
B(K)=-ø(K)a(K)
đây là phương trình dao động của I mode dao động trong tọa độ chuẩn nĩ cĩ dạng phương trinh dao dong cia | dao động tử điều hịa dao động với tần số ø( K] và nãng lượng của mỗi dao động tử là :
a(R) +o (Ra(RY |
Bảng cách chuyển sang hệ tọa độ chuẩn ta cũng cĩ được rằng bài tốn dao
động mạng được xem nh ư là bài tốn tơng hợp các dao động tử điệu hịa
E(K)=3M
Cần phải lưu ý răng việc đưa ra tọa độ chuẩn chỉ là cách biểu diễn khác vẻ dao động mạng chứ khơng hề làm thay đổi bản chat vat lý của vấn đề Trong hệ tọa độ biểu diễn theo u„ hoặc biểu diễn trong tọa độ chuẩn, đao động mạng đều được xét như tổng hợp các dao động điều hịa, do đĩ khi lượng tử hĩa đao động mạng ta
thực hiện một cách bình thường xem như lương tử hĩa nhiều đao động tử điều hịa Câu hỏi đặt ra là vậy thì tại sao người ta lại đưa ra một khái niệm mới lả tọa độ chuẩn mả khơng sử dụng tọa độ cũ trong khi tọa độ cũ vẫn bào đảm giải quyết
được vấn đè ?
Việc đưa ra tọa độ chuẩn chỉ làm đơn giản hơn quả trình lượng tử hĩa dao
động mạng Khi thực hiện quá trình lượng tử hĩa thi tinh chất dao động tập thể của mạng thể hiện ngày cảng rõ nét vả tính độc lập, tính phân biệt được của các dao
động tập thể này theo các giả trị vectơ sĩng khác nhau cảng cao Do do dung toa độ chuẩn mơ tả một mode đao động(dao động tập thẻ của tắt cả các nguyên tử trong mạng) cĩ lợi thể hơn so với việc dùng tọa độ u„ để mơ tả dao động của từng nguyên
tử sau đĩ tơng hợp tất cả các dao động thành phẳẩn thành dao động tơng hợp của mạng Tiếp đĩ phải khảo sát xem dao động tổng hợp nảy thay đổi như the nao theo từng giá trị của vectơ sĩng Rõ thấy rằng sử dụng phương thức chuân sẽ lam cho bai tốn đao động mạng đơn giản và dễ tiếp cận hơn
Trang 19GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUAN VAN TOT NGHIEP
EEE
Úc aỉ
§3 LƯỢNG TỪ HỐ DAO ĐỘNG MẠNG - PHONON
I Tốn tử Hamilton cho dao động tử điều hịa
Ai(s)=Me| my ge 2 |= 8b +3,
trong đĩ š là biến số khơng cĩ thứ nguyên
m khỏi lượng của đao động tử, œ là tần số dao động của đao động tử
Trị riêng và hàm riêng của tốn tử Hamilton
E, = hal n+}, (£)= (= | eH, (é)
h J n!2"xJx
n= 0,1,2 H;(š) là đa thức Hermite
Biéu diễn các tốn tử theo các tốn tử mới
; 2E) trong đĩ da ~a a=]
=-lÊ-i iP.)
Khi đĩ
ay, = vnự, 1đ =vn-+ly,,,
Goi | kich thich lugng ti tmg voi n=1 [a sy kich thich 1 phonon
Hay mỗi một lượng tử kích thích dao đồng của dao động tử gọi là phonon, n xác định số phonon trong trạng thái tương ứng Mỗi phonon cĩ nãng lượng lả ho
Trang 20GVHD: PGS.TS Nguyễn Khac Nhap- TSKH Lé Van Hodng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
2 Lượng tử hĩa dao động mạng:
Sau khi viết phương trình đao động của mạng tính thể ta thấy rằng nĩ cĩ dạng giống như phương trình của các dao động tử điều hịa
Do đĩ bài tốn về dao động mạng tỉnh thê cĩ thể giải như bải tốn của các dao động tử điêu hịa
Năng lượng tồn phần của dao động mạng bằng tổng các năng lượng của
các đao động tử điều hỏa: wm Pp mo; la z x 2 a, tốn tử này cĩ các trị riêng là E = > ho, l, + +) * và hàm riêng là “k mo, ¥ 1 1 me, [moo ự = rn :) (n, 12 vr) | a “a, ca,
Tương tự với cách biến đổi trên nhưng đổi các tốn tử , thành đ; và
a, lan lượt là các tốn tử sinh, hủy các kích thích nguyên tố mơ tá các đao động mạng các PHONON Tốn tử Hamilton của hệ biểu diễn theo tốn tử sinh hủy: HN aia ~+.— 2 Năng lượng tồn phân của dao động mang E= dhe [n +5), : a # 2
như vậy năng lượng của dao động mạng tỉnh thế bị lượng tử hĩa Mỗi kích
thích lượng tử đao động mạng cĩ năng lượng ho gọi là phonon Nghĩa là cĩ thê hiểu
phonon chính là lượng tửa dao động mạng
Trang 21
GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Vhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Kích thích phonon trong tỉnh thé là biểu hiện tính chất tập thê của các
nguyên tử tương tác với nhau trong vật rắn 3 Một vài tính chất của Phonon : a) Ham song Phonon :
Khi phonon 6 trang thai co bản năng lượng của nĩ cĩ giá trị:
E,= : 2 ho,
Ta gọi trạng thái đĩ là trạng thái chân khơng, kí hiệu là : |0)
Trạng thái ứng với n phonon cùng loại được xác định bởi hàm :
In,)=(;! “(2z] |0
ứng với năng lượng các phonon la n,ha,
Giả sử trong mạng cĩ n phonon, năng lượng của đao động mạng được xem
như tổng năng lượng của các phonon, nĩ được tính bởi :
E= nho(K)
b) Phân bố cua Phonon :
Trong mang tinh thé, ứng với một giá trị vectơ sĩng, các phonon cĩ trạng
thải lượng tử là như nhau Nếu ta xem tập hợp tất cả các phonon trong mạng giơng
như một chất khí phonon lí tưởng thì chất khí phonon này tuân theo thống kê Bose
— Einstein
(n) = re (xem phụ lục A0.2) c) Chuẩn xung lượng của phonon :
Phonon được xem là chuẩn hạt nên xung lượng của phonon gọi là chuẩn
xưng lượng
p=h
Vẻ mặt nào đĩ chuẩn xung lượng gần giống như xung lượng bình thường
nhưng chúng cũng cĩ sự khác nhau Khi hai hay nhiêu phonon va chạm nhau, năng
———————————————————————
Trang 22GVHD: PGS.TS Nguyén Khdc Nhap- TSKH Lé Van Hodng LUAN VĂN TỐT NGHIỆP
ee renee rere reer eS
lượng to ản phản của nĩ được bảo tồn cịn chuẩn xung lượng bảo toản sai khác
nhau một vectơ tịnh tiên mạng đảo:
Ki+K:=Ki+K:+hG
mw tr
Trang 23GLHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSẤH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Chương lÏ:
TƯƠNG TÁC ELECTRON - PHONON
§1 GI O1 THI EU CHUNG
Trong mạng tỉnh thé chat ran electron chju tác dụng của lực bền trong sinh ra
từ trường tuần hoản của mang tinh thé Do vay chuyên động của electron trong mạng
tinh thé phite tạp hơn số với chuyển động của electron tự do
Vận tốc chuyên động của electron liên hệ với tần số gĩc của sĩng electron là: da S ao _
v= a va w= ; với là năng lượng của electron
Phương trinh chuyên động cua electron:
_ dụ -14 (de) 1 #*£ 4k dt hdt\ dk) \hd? jdt
2
° dk
Dinh nghia ?m = ae vả cĩ Ps =F là ngoại lực tác dụng lên electron, thì
phương trình chuyển động của electron với khối lượng hiệu dụng m` cĩ dạng đúng với
dang cua phương trình định luật H Newton:
Kh ad
Pee
d*e/dt" dt
mì gọi là khối lượng hiệu đụng của electron
Việc đưa ra khái niệm này giúp chúng ta giải bài tốn chuyên động của electron trong trường tuần hoan của mạng giống như trường hợp giải cho bài tốn
chuyên động của electron tự do cĩ khối lượng là
Trang 24
GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng — LUAN VAN TOT NGHIEP
Electron chuyên động trong tinh thé, nĩ cĩ sự tác động qua lại với dao động của
từng nút mạng Tuy nhiên ta khơng thể xét tương tác này một cách đơn lẻ, vi cứ cĩ một dao động xuất hiện trong tỉnh thẻ ứng với tân số gĩc phù hợp và giá trị vectơ sĩng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất thì lập tức dao động được lan truyền đi dưới dạng sĩng trong tỉnh thê
Như vậy dao động trong mạng tỉnh thể là cỏ tỉnh tập thể nên ta chỉ cĩ thê khảo
sắt tương tác giữa electron với dao động tập thẻ của các nút mạng trong tỉnh thê Nhìn nhận ở khía cạnh lương tử, đĩ chỉnh lả tương tác của electron với phonon - lượng tử của dao động mạng
Các nguyên tử tại Vi tri các núi mạng dịch chuyền khỏi vị trí định sẵn của nĩ đã
được xác định trong cầu trúc mạng tỉnh thé Sự thay đổi vị trí này tác động đến electron
và vì thể các electron bị ảnh hướng dẫn đến sự lệch hướng và chạy tán loạn khỏi « lộ
trinh » thường lệ của chúng, điều này làm phá vỡ cầu sự tuần hồn của trường tỉnh thẻ
Ngược lại, chính sự thay đổi trạng thái của electron gây ra một sự biển đổi nhất định của các lực tác dụng lên nguyên tử Sự xuất hiện các hiện tượng này cho phép ta kết
luận rằng tổn tại sự tương tác qua lại giữa electron và phonon, gọi tắt là tương tác
clectron - phonon Tương tác này xuất hiện ở nhiệt độ khơng tuyệt đối và giữ vai trị
ngày cảng quan trọng khi nhiệt độ tăng lên Cĩ thé ndi tuong tac electron — phonon [a một bài tốn cơ bản trong vật lý chất rắn Bắt đầu từ những năm 1930 đến nay, người ta vẫn tiếp tục tìm kiếm những phương pháp tối ưu nhất để giải bài tốn này và theo thời gian thì con người đã nhìn nhận bài tốn này trong những điều kiện rất khác nhau
như:
> Xét tương tác electron-phonon trong giếng đơn dạng ống carbon( Tobias Hertel
và Gunnar Moos Viện Max-Planck-Gesellshaft, Faraday 4-6, 14195 Berlin,
Đức),
> Tương tác electron - phonon với phonon mềm trong siêu din RNi,B,C của
nhĩm nhà nghiên cứu I.K Yanson, V.V.Fison thuộc khoa Vật lý trường đại học Warwick nước Anh
z Tương tác electron - phonon trong BI(111) cua Christan R.Ast va Hartmut
Hochst (trường Đại học Wisconsin-Madison)
~ Hiệu ứng tương tác electron - phonon trên phỏ electron cua chat ban dan hap
thụ yếu của A.N Kocharyan_ Viện Vật lý Yerevan - Liên Xơ và rất nhiều cơng trình khác
Trang 25GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng — LUẬN VĂN TƠT NGHIỆP Đẻ đặc trưng cho độ mạnh yếu của tương tác electron với trường phonon tan sé œ người ta định nghĩa: efi 1 m— œ =—| —~- |lÌ——— (4 | 2h@
gọi là hãng số tương tác electron - phonon;
trong đĩ e„, e lần lượt là giá trị của hằng số điện mơi ứng với tần số cao hơn tan sé
đạo động của các ion vả ở điều kiện thường,
Tương tac electron = phonon ứng với một chuỗi các hiện tượng vật lý riêng biệt
trong tình thẻ như :
I) Chuyên động của các electron đi kèm với chuyển động của một trường
biến dạng trong tỉnh thê ( hiệu ứng polaron)
2) Cac electron hap thy va phat ra cac phonon va chang chuyén từ trạng thái
nay sang trang thai khac
3) Trong một số trường hợp đặc biệt của tương tác giữa các electron với
phonon lam xuất hiện hiện tượng siêu dẫn và những hiện tượng khác
trong chất rắn
Trang 26GVHD: PGS.TS Nguyén Khac Nhgp- TSKH Lé Van Hoang _LUAN VAN TOT NGHIEP
§2 TUONG TAC ELECTRON- PHONON TRONG TINH THE ION Trong phản này ta xét tương tác của electron với đao động mạng tỉnh thẻ nhánh
quang học hay tương tắc của electron với phonon quang trong tinh thé ion
Xét electron chuyên động và tương tác với các ion dao động lệch khỏi vị tri can bảng của nĩ, Gia sử chuyên động của electron được giới hạn trong một vùng rất nhỏ cĩ thé tích nguyên tổ V
Khi electron chuyên động tương tác Coulomb với ion mạng tỉnh thẻ chính trường
Coulomb nay sinh ra sự phân cực, đặc trưng bang vecto momen phan cye P(r}, Néu
Xét trong một đơn vị thẻ tích thi vectơ momen phan cực này gọi là vectơ momen phân cực riêng, nĩ tay đổi theo thời gian với tần số gĩc œ và được định nghĩa bằng hiệu số:
P(r) =Po(7)-Po(7)
Néu khong tinh đến phân cực tĩnh của mạng nghĩa lả phản cực giữa các ion trái dau trong tinh thé ion ma khong tinh đến dao động mạng, thì phân cực nĩi trên gọi là phân cực dọc.Bảng phép biểu diễn gần đúng ta cĩ thê xem phân cực đọc được tính như là một nghiệm của phương trinh:
P(r)+w*P(7)=0, (II.1.1)
với điều kiện curl P(r) =0,
Vectơ nhân cực này liên hệ với vectơ cảm ứng điện của mội trường đang xét bằng hệ
thức:
= e - sẽ > + *
DỈr,ra | =V ——— ở đây ret 1a vecto vj tri cua electron r~ra|
Sự phân cực này tạo ra một trường điện tích vơ hướng cĩ mật độ điện tích được tỉnh
bởi
Trang 28
GVHD: PGS.TS Neuyén Khac Nhap- TSKH Lé Van Hoan LUAN VAN TOT NGHIEP
Hs = eg(r): thé nang tuong tac electron-phonon
Nghiệm của phương trình (1.1.1) P(r) được viết lại sau khi sử dụng các điều kiện
biến tuần hoản K = = V = L (la thé tich nguyên tổ của vùng khơng gian mạng tình thể ion đang khảo sát) là :
Trang 29GVHD: PGS.TS Nguyén Khac Nhap- TSKH Lé Van Hodng — LUAN VAN TOT NGHIEP
H = Sho akan +5 A oe
Vecto momen phân cực riêng P(r | và thế vơ hướng g(r) được viết lại theo các tốn
tử Bose như sau:
Pr ‘ar ie axe’ —axe™ rel
g(r r)= or Sel are ` M+ axe'™ |
Cudi cing ta chuyén ham Hamilton ciia hé electron phonon sang dạng của phương trình khơng cĩ thư nguyên 2 + Đặt hà, =hw hay u (75 2m` h xeur, ;S=u'V ka *, Chia 2 về của hàm Hamilton cho hw va thay gid tri Hy, Hy =eo(r] vao ta thu được:
AVP sata, « [ome (aie + due)
—=—+t+ a pater oa S oi aie" + aie’ í
Trang 30GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhep- TSKH Lé Van Hoang LUAN VAN TOT NGHIEP
Suy ra toan tt’ Hamilton ctia hé electron — phonon được viết như sau :
- 1b
x2? t2 aiat +2 ‘2 5] X1 > +aie*“],
é
—
trong đĩ ta chọn hằng số ®_, khối lượng hiệu dung electron m’ va tan sO gée w cla
phonon quang học cho bằng đơn vị đo; ø là hằng số tương tác electron-phonon khơng co thir nguyen
Nhận xét rằng thành phân động năng của electron được giữ nguyên dạng mà khơng viết theo dang toan wr sinh hay electron trong biéu diễn số lắp đây
Tốn tử Hamilton nảy được sử dụng cho việc tính tốn trong chương tiếp theo,
_ —_ rEyETyTễEFE TT TƑTЗ————————————_=
Trang 31GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSẤH Lé Van Hodng VAN VAN TOT NGHIEP
eee eee eee
Chương III;
MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH CHO TƯƠNG TÁC ELECTRON — PHONON
Nhu da biết, tương tác electron — phonon đã được xét ở nhiều khía cạnh khác
nhau Xét vẻ mặt liên kết của tương tác giữa electron và phonon, người ta đã khảo
sat cho trưởng hợp liên kết yếu, liên kết trung bình và đặc biệt lả trường hợp liên kết mạnh Trong các trường hợp liên kết, khi xét tương tác này người ta đã cơng nhận sự xuất hiện cua mot chuẩn hạt mới gọi là polaron Khái niệm Polaron được dùng để mơ tả nhiều hiện tượng khác nhau trong vật lý chất ran Ngồi ra bài tốn Polaron cùng là một mơ hình rat thuận tiện đề thử nghiệm nhiều phương pháp giái
gân đúng trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử
Bài tốn về polaron thường được xét ở 2 phép gân đúng khác nhau vẻ bán
kính của polaron như sau:
° Mẫu của Frø hlịch cho polaron cĩ bán kinh lớn: khi đĩ kích thước đặc
trưng của polaron lớn hơn nhiều so với khoảng cách a giữa hai nguyên tử trong tỉnh
thê(ro>> a)
° Mẫu polaron cĩ bán kính nhỏ rạ << a và lúc này elecron định xứ bên trong ơ mạng đơn vị của tỉnh thể
Cĩ rất nhiều phương pháp khác nhau để giải bài tốn tương tác
electron — phonon và các phương pháp này được thay đổi và hoản thiện liên tục như: Phương pháp nhiễu loạn
⁄ Phương pháp biến điệu
v Phương pháp phân tích theo hệ số ngược,
song song với việc tìm ra nhiêu phương pháp mới
Một trong những phương pháp đẻ giải bài tốn tương tác trong trường hợp
liên kết mạnh là phương pháp mơ hình Năm 1995, Kamavor đã xây dựng một mơ hình đê giải bải tốn polaron với liên kết mạnh Trong cơng trình này Kamavor đã
đưa ra một phương pháp gân đúng để phân tích bài tốn liền kết mạnh điện tử -
phonon Vẻ thực chất phương pháp này cho phép đưa vẻ hính thức luận Hamilton các két quả của Feynman nhận được khi giải bài tốn polaron cho trạng thái cơ bản bảng cách sử dụng phương pháp biến điệu để đánh giá tích phân biến hàm Vị vậy cĩ thể nĩi cơng trình của Kamavor đã đưa ra những khả năng mới cho phép phân tích hải tốn chuy en động của hạt cĩ liên kết mạnh với trường lượng tử
een
Trang 32GVHD: PGS.TS Nguyén Khac Nhap- TSKH Lé Van Hodng — LUAN VAN TOT NGHIEP
Theo cách đĩ Kamavor khơng những đưa ra kết quả đúng cho bài tốn polaron ở trạng thái cơ bản mà cịn xây dựng được một mơ hình tuyến tính chuẩn xác nhăm phát triển rộng hơn bài tốn polaron Cẩn chú ý rằng khi xét bải tốn cho trường hợp liên kết mạnh và liên kết trong vùng trung bình phân lớn các phương pháp được sử dụng đều dựa trên nguyên lý biến điệu và như vậy kết quả chỉ đáng tin cậy cho trạng thái cơ bản của polaron
Trong chương này tác giả trình bày tuân thủ theo những bước đi cơ bản của
nhĩm Kamarov và thêm vảo phân các cơng thức trung gian ở Phụ lục
cTTcccTTT———F—FƑF——>>————
Trang 33GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhap- TSKH Lé Van Hoang _LUAN VAN TOT NGHIEP
§I.MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH CUA POLARON VOI LIEN KET MẠNH
Trong chương trước chúng ta đã tìm được tốn tử Hamilton cho hệ electron tương tác với phonon quang học cĩ biêu thức như sau:
~ ] ~2 ^+^ de — A+
H=—p +Daiar+2(22) (eran +e ra i); (11.1.1)
ởđây r và p là tốn tử toạ độ và xung lượng của hạt
ar và at là tốn tử hủy và sinh phonon với xung lượng k ( các tốn tử này
lả tốn tử Bose và vì vậy thoả mãn quy tac giao hoan cua hat bose),
V=@ - thể tích chuẩn hố;
A
* 27 *
electron và tân số gĩc œ của phonon quang học cho băng đơn vị đo
Hang số Piank chia cho 2Z , =h- m khỏi lượng hiệu dụng của
Trong biểu thức (IH.1.1), œ là hằng số tương tác electron phonon khơng
thứ nguyên
Tốn tử xung lượng tồn phần
—.~ ^
q=pP+ : kai ai, (II.1.2)
ứng với đại lượng bảo toản trong chuyển động cho nên giao hốn với tốn tử Hamilton (TH.1 1)
Từ quan điểm đối xứng sự bảo tồn xung lượng toản phần tương ứng với việc tốn tử Hamilton (HI.1.1) khơng đổi qua phép biến đơi:
_ “ ATF at
r—r+R,ar—>e azar ear — (iìa)
Cần chú ý rằng trong tốn tử (III.1.1) cả ba thành phần của nĩ đều bất biến
qua phép biến đổi (1H 1.3) Chính điều đặc biệt này cho phép chúng ta xây dựng
một tốn tử Hamilton gan dung so voi (III.1,1) trong truong hgp lién két manh, tire
là trường hợp œ cực lớn Tốn tử Hamilton gần đúng này cĩ thể chéo hố và cho ra
nghiệm chính xác
—————————_————————— — _
Trang 34GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhap- TSKH Lé Van Hoang — LUAN VAN TOT NGHIEP
Trong trường hợp liên kết mạnh, bức tranh vật lý của polaron được cơng nhận như sau: điện tử khi tương tác với dao động nhánh quang học của mạng tỉnh thẻ sé tao ra chung quanh no mot hơ thế rất sâu và đến lượt nĩ bị nhốt ở trong hỗ thé’ nay va cé trang thai liên kết Tính bắt biển tinh tiền biểu hiện ở chỏ điện tử liên
kết nảy cùng với trường the xung quanh cĩ thể tự do chuyển động trong khặp tinh
thẻ Hệ quả của tính bất biển tịnh tiến của thành phần tương tác trong tốn tử Hamilton (III.1.1) ( phần cuối cùng) là thành phần tương tác này chỉ phụ thuộc vảo
tọa độ “run” biểu hiện chuyển động của điện tử trong hỗ thể năng Nêu hỗ thể năng
đủ sâu thì biên độ dao động của điện tử ở mức cơ bản cũng như ở các mức kích
thích đầu tiền sẽ cĩ biển độ nhỏ và chúng ta cĩ thể phân tích tốn tử Hamilton
(IIHI.I.) dưới dạng chuỗi theo bậc đa thức của tham số nhỏ đĩ
Chúng ta làm phép biến đơi chính tắc như sau
^ at +
ax =u, +bk,ak =u, +e, (11.1.4)
ở đây ta đưa ra các tốn tử sinh hủy chuẩn hạt phonon mới bi và b¡ ;
„ là số thực và chỉ phụ thuộc vào & =|k| Biển đổi (IH.1.4) đưa ra các số hạng
chính là cách thường dùng để tách thành phần “cổ điển” trong biên độ của trường
lượng tử Thành phần nảy tạo nên chung quanh điện tử một hồ thẻ
Bây giờ ta biểu diễn tọa độ và xung lượng của điện tử qua cac tốn tử sinh và
hủy theo cơng thức
X=\|D— —(c1 +22), p, =i|3 (8i +â¡),A= 22: (HI.1.5)
ở đây œ là số thực đương và các tốn tử c¡,c¡ thỏa mãn hệ thức giao hốn:
CaCu —CuCr =0,,,A,H=1,2,3 (IHL.1.6)
(xem phụ lục A I.3.1)
Cách biểu diễn (HI.1.5) cĩ thể xem như là mơ tả lượng tử của chuyển động
điện tử trong hồ thê parabol,
oe EEE _ ee
Trang 35GVHD: PGS.TS Nguyén Khiéc Nhgp- TSKH Lé Van Hoang LUAN VĂN TƠT NGHIỆP
Gia thuyết rằng điện tử nằm sâu gần đáy hỗ thế dé cĩ thể xét gần đúng hề thé
‘ : z3 ae ‘ ` thr | ike T
đạng parabol và œ >> I, ta cĩ thể phân tích tốn tử @ và @ “”” dưới đạng chuỗi của tốn tử sinh và hủy c}, €, nghĩa là
ei -e0{ «(2 (k,c, +k ,c; )- la fi ghee Lm
=e {sch c, +k ,¢})- x | (kei } +2(k ;€; Ì(k;c;)+(kạc; +
(HI.1.7) (xem phụ lục A1.3.2)
Thế (IH.1.4), (HI.1.6) và (HI.1.7) vào (HI.1.1) và nhận xét rằng biên độ kích thích trường phonon là nhỏ so với thành phan cơ điển ta tìm được tốn tử Hamilton gần đúng Hie =2? +d (4 +u-by Mơ bi + bibs) + V2 ¿”" (=) ye “l» [1+ Joa (kr) +h +h; +{I-+ikr) bi -Bï | k (11.1.8)
Ở đây chúng ta đã bỏ qua các phần tử chứa tích của hơn hai tốn tử lượng tử và trong biểu thức của (III.1.8) ta thể tốn tử và € z và € ¿ qua tọa độ r và p
._ Như vậy chúng ta đã Xây dựng mơ hình tuyến tính để mơ tả tương tác giữa hạt và
trường lượng tử (tên gọi tuyến tính là dựa vào sự tuyến tính của phương trình
chuyên động cho các tốn tử lượng tử, và điều nay 1a dé dang suy ra từ dạng bình
phương của tốn tử Hamilton (III.1.8)) Những mơ hình như thế đã được sử dụng
khi nghiên cứu bải tốn tương tác hạt với trường lượng tử, tuy nhiên thay vì thành
-42/
phần form factor e “*“ các tác giả khác đưa ra hàm tùy của k, va điều này khơng
cho phép sử dụng trực tiếp đẻ mơ tá gân đúng tốn tử Hamilton (HI.1.1)
Chọn thành phần cơ điến ¿ sao cho trong tốn tử (HI.1.8) thành phân tuyên
tinh theo toan tử lượng tử triệt tiêu hết
eee
Trang 36GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẠN VĂN TỐT NGHIỆP Bie 2q 8 > [bi +5: u, +2] xế * [=0 A Chúng ta dẫn đến kết quả: tứ, = -2"| si yore (11.1.9) ‘ đ„ =-3|~_ là tạp +3] 4(E] +lih u, (kr) (bx br] -đy )) (III.1.10) T 4/0 2
Một điều rắt quan trong là tốn tử Hamilton gắn đúng (111.1.10) vẫn giữ được bắt biên tịnh tiến và như vậy vẫn mơ tả được bảo tồn xung lượng toản phản
Tốn tử xung lượng tồn phản bây giờ cĩ thẻ viết lại như sau:
ạ=2+3 Âu, |ơš +ợ], (111.1.11) k
nghĩa là ta đơn giản hĩa ( sau phép biến đổi (III.1.4) được thành phẫn bình
phương của tốn tử lượng tử trong biểu thức (III.1.2))
Trang 37GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng — LUAN VAN TOT NGHIEP
Tiép tuc dinh nghia
=P =be-—<u, (kB),b: bi = = bi ——u, (RB ): (I1.1.14)
ta thu được
|,” | =|5;,8 = 0, 2 Âuyỗ; — 0, 3h, = 0 (1.1.15)
(xem phu luc Al.3.4)
Với kết quả (HI.1.12), (I1.1.14) và (HI.1.5) ta cĩ ato Har Sy +N? -il rB-rB +B B+ Dh, (IIL.1.16) (xem phụ lục A1.3.5) Cuối cùng sau khi định nghĩa tọa độ và xung lượng tập thẻ ~ ifs 2'\2._ lÍa'.a O=~,(B:-Bi),P=—(Bi +B) (111.1.17) ta nhận được 3Nˆ.122,122.1/y/ /27_ƠÌ+WB đ„ =-S1‡- tee ter +5(Nv2r-) + 2 Peo, (111.1.18) (xem phu luc Al.3.6)
Nhin thấy rõ ràng từ (III.1.18), electron tương tác với trường phonon thơng
qua biến số tập thé Q trong đĩ tương tác nảy xác định chuyển động tương đối
Trang 38GVHD: PGS.TS Nguyén Khac Nhap- TSKH Lé Van Hoang LUẬN VĂN TƠT NGHIỆP
Bây giờ ta đưa vào khái niệm tọa độ ` 'tương doi” rw „ tọa độ ' "trọng tâm”
R và tương ứng các tốn tử xung lượng p,,ctia chuyền động "tương đối” cũng như tốn tử xung lượng tồn phần ¿ băng các định nghĩa
int = NAT BB = NIÊP- Ê Rn ANNO „ an q = p+N 2P p+Ný2P (III.1.19) Kết quả cuối cùng ta cĩ ; 3N° q 1+2N? ~2 _ > + + re bi br + 22 2(+2N?) 2 Prat" mt) E0 (HI.1-20) Hf appr =_- (xem phụ lục A1.3.7)
Như vậy các phép biến đổi nêu trên đã đưa tốn tử Hamilton gần đúng vẻ dạng chéo hĩa tồn bộ
Chúng ta thấy răng hệ phonon tuong tác với điện tử thơng qua 3 bậc tự do,
tạo thành _ “cái bẩy" là hồ thế parabol Khối lượng của chuyển động tương đối
lả (+2M)” và tần số gĩc tương ứng là VI+2Ỷ Tồn bộ tổ chức được thành
lập gồm electron va phonon tương tác cĩ khối lượng hiệu dụng là Ì + 2NỶ và nĩ cĩ thẻ chuyển động tự do trong tinh thé
Nhận xét rằng, từ việc đưa ra mơ hinh huên tính cho tương tác clectron- phonon trường hợp liên kết mạnh, khi xem xét biểu thức viết cho tốn tư Hamilton
(III.1.20), ta thấy nĩ đã mơ tả khá hồn chỉnh tương tác nảy Trong biểu thức nảy ta
thấy tính chất vật lý của hệ được biểu hiện thật rõ nét, bao gồm :
¬ ; 3N
° Thanh phan co dién tham gia trong tương tác => ue — Op" k
° Số hạng mơ tả sự tương tác của hai phản tử chủ yếu là electron va
phonon Nếu giả sử ta xem như đĩ là một hệ gồm hai hạt chuyên động tương đối
với nhau quanh một khỏi tâm chung thì toạ độ trọng tâm được xác định bing R
Khỏi tâm tưởng tượng này "xã như cĩ khối lượng chính là khối lượng của chuyên
động tương đổi (1 +2N- Ni vả cĩ xung lượng tương đối Pre}, CON Ty) MO ta Khoang
cach tuong doi giita electron va phonon Vay thi khối tâm đang nĩi đến ở đây cĩ
ee
Trang 39GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUẬN VĂN TĨT NGHIỆP
khỏi lượng, xung lượng xác định được, ta cĩ thẻ định nghĩa sự tơn tại của nĩ như
một chuân hạt xuất hiện trong tương tác, đĩ chính là POLARON
~~
° Thanh phan » bị trong biểu thức đại diện cho sự cĩ mat cua ik
phonon, nhưng ở đây chỉ là phân cịn lại của phonon, tạm gọi là phonon mới, sau khi một phân tham gia vào chuyên động tương đơi với clectron ^2 ° Phản cuối cùng là q là thành phần động năng của hệ 2(1+2N?) polaron Nếu ta oye hiện một phép so sánh giữa 2 biểu thức tốn tử Hamilton
cho 2 trường hợp thì thấy rằng:
Trang 40GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hồng LUAN VAN TOT NGHIEP
~+ ~
H phonon — 2 bk DE : thanh phân năng lượng của phonon mới
Hote = 2(1+2N?) : thành phan dong nang cua polaron
Phuong trinh Schro dinger cho hé tuong tac electron-phonon:
H ape = Ey (1111.21)
mà ta cĩ tốn tu Hamilton gần đúng H,„„„ được tính bằng tơng các tốn tử thành phân
Hưựy; = Hì+H›+H:+H
do đĩ phương trình Schrø dinger được viết dưới dạng hệ các phương trình