Sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng fitzhugh nagumo với liên kết phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP KHOA SỰ ĐỒNG BỘ HÓA TRONG MẠNG LƯỚI ĐẦY ĐỦ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG FITZHUGH-NAGUMO VỚI LIÊN KẾT PHI TUYẾN Chủ nhiệm đề tài: TS Phan Văn Long Em AN GIANG, THÁNG 02 NĂM 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP KHOA SỰ ĐỒNG BỘ HÓA TRONG MẠNG LƯỚI ĐẦY ĐỦ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG FITZHUGH-NAGUMO VỚI LIÊN KẾT PHI TUYẾN Chủ nhiệm đề tài: TS Phan Văn Long Em AN GIANG, THÁNG 02 NĂM 2022 Đề tài nghiên cứu khoa học "Sự đồng hóa mạng lưới đầy đủ hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến", tác giả Phan Văn Long Em, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo kết nghiên cứu Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa Sư phạm thông qua ngày 08 tháng 02 năm 2022 Thư ký TS Nguyễn Văn Mện Phản biện Phản biện ThS Võ Thành Tài ThS Lê Kiên Thành Chủ tịch Hội đồng i LỜI CẢM TẠ Đề tài nghiên cứu thực Trường Đại học An Giang Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành đến Ban giám hiệu Trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm, Bộ mơn Tốn q Thầy, Cơ giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành cơng trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn quý Thầy, Cô phản biện, ủy viên Hội đồng Khoa học Đào tạo dành thời gian đọc góp ý cho Đề tài nghiên cứu khoa học An Giang, ngày tháng năm 2022 Tác giả TS Phan Văn Long Em ii LỜI CAM KẾT Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu cơng trình nghiên cứu có xuất xứ rõ ràng Những kết luận khoa học cơng trình nghiên cứu chưa cơng bố cơng trình khác An Giang, ngày tháng năm 2022 Tác giả TS Phan Văn Long Em iii TÓM TẮT Sự đồng hóa tính phổ biến nhiều hệ thống tự nhiên khoa học phi tuyến Đề tài nghiên cứu cộng hưởng mạng lưới đầy đủ bao gồm n nút Trong đó, nút liên kết với tất nút khác liên kết phi tuyến tính nút giới thiệu hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo, mơ hình đơn giản hóa từ mơ hình tiếng Hodgkin-Huxley Từ mạng lưới đầy đủ này, chúng tơi tìm điều kiện đủ cho độ mạnh liên kết để có cộng hưởng Kết cho thấy mạng lưới có nút mà liên kết đầu vào lớn cộng hưởng dễ Đề tài đưa kết kiểm tra phương pháp lý thuyết phương pháp số xét tương quan hai phương pháp Từ khóa: Độ mạnh liên kết, mạng lưới đầy đủ, mơ hình FitzHugh-Nagumo, đồng hóa iv ABSTRACT Synchronization is a ubiquitous feature in many natural systems and nonlinear science This theme studies the synchronization in complete network consisting of n nodes Each node is connected to all other nodes by nonlinear coupling and represented by a ordinary differential system of FitzHugh-Nagumo type which can be obtained by simplifying the famous Hodgkin-Huxley model From this complete network, the author seeks a sufficient condition on the coupling strength to achieve the synchronization The result shows that the networks with bigger in-degrees of the nodes synchronize more easily The theme also shows this theoretical result numerically and see that there is a compromise Keywords: Coupling strength, complete network, FitzHugh-Nagumo model, synchronization v MỤC LỤC Danh sách hình vẽ vii Danh sách bảng ix Danh sách kí hiệu x Chương Giới thiệu tổng quan vấn đề nghiên 1.1 Giới thiệu 1.2 Tình hình nghiên cứu nước 1.3 Tình hình nghiên cứu ngồi nước 1.4 Mục tiêu Đề tài 1.5 Câu hỏi nghiên cứu giả thuyết nghiên cứu 1.6 Đối tượng nghiên cứu 1.7 Phạm vi nghiên cứu 1.8 Phương pháp nghiên cứu 1.9 Đóng góp Đề tài cứu 1 4 4 4 Chương Sinh lý học tế bào 2.1 Cấu trúc tế bào 2.2 Xung thần kinh Chương Mô hình tốn học tế bào 13 3.1 Mơ hình Hodgkin-Huxley 13 3.2 Mơ hình FitzHugh-Nagumo 18 Chương Sự đồng hóa mạng lưới đầy đủ hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến 21 4.1 Sơ lược mạng lưới tế bào thần kinh 21 4.2 Sơ lược đồng hóa 22 4.3 Điều kiện đủ cho đồng hóa mạng lưới đầy đủ hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến tính 24 4.4 Mô kết phương pháp số 28 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Chỉ mục 34 vi DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 2.1 Biểu diễn giản đồ tế bào thần kinh, kích thước đo 4µ (a) Tế bào đa cực, (b) tế bào lưỡng cực, (c) tế bào đơn cực (a) tế bào hình tháp, (b) tế bào hình sao, (c) tế bào Purkinje Mật độ ion bên màng tế bào 130µ Hình Hình Hình Hình 7 2.2 2.3 2.4 2.5 Hình minh họa cách đo điện nghỉ, trạng thái cân điện nghỉ vào khoảng −70mV Hình 2.6 Màng tế bào trạng thái nghỉ xem pin điện, cực âm nằm bên tế bào cực dương bên ngồi, cịn kênh ion xem điện trở thay đổi tùy thuộc vào việc đóng mở chúng Hình 2.7 10 Ví dụ hình thành điện cân ion K+ Sự khuếch tán ion K+ tác động građien hóa học phía ngồi màng tế bào (a) tạo điện tích có hướng ngược chiều (b) lực khuếch tán lực điện 11 Mơ hình điện hoạt động 12 tích có giá trị tuyệt đối (c) Hình 2.8 Hình 3.1 Mơ hình thể màng tế bào xem tụ điện 14 Hình 3.2 Một ví dụ trạng thái đóng mở kênh ion 15 Hình 3.3 Một ví dụ trạng thái đóng mở khơng hoạt động kênh ion 16 Hình 3.4 Mơ nghiệm hệ phương trình (3.1) với I = Hình (a) thay đổi V theo thời gian; hình (b) thay đổi theo thời gian n màu đỏ, m màu xanh dương h màu xanh Theo hình (b), thấy dịng điện natri (màu xanh dương) nhanh so với khác chu kì điện hoạt động V hình (a) Hình 3.5 17 Mô nghiệm hệ phương trình (3.2) với I = Hình (a) thay đổi theo thời gian V ; hình (b) thay đổi theo thời gian n màu đỏ, m màu xanh dương h mà xanh lá, nhận thấy dòng điện natri (màu xanh dương) nhanh nhiều so với khác chu kì điện hoạt động V hình (a); hình (c) thể mối quan hệ n h (màu xanh dương) mặt phẳng (n, h), nhận thấy quan hệ xấp xỉ đường thẳng màu đỏ có phương trình h = 0.902 − 1.117n; hình (d) thể xấp xỉ m ≈ m∞ (V ) Hình 3.6 19 Các đường nullcline hệ phương trình (3.3) với I = 8, V -nullcline đường cong màu đỏ w-nullcline đường màu xanh dương vii 19 Hình 3.7 Hình (a) mô nghiệm (màu xanh dương) phương pháp số hệ phương trình (3.4) với α = 0.2, γ = 0.5, ϵ = 0.01 I = 1, V˙ = màu đỏ w˙ = màu xanh Điểm giao hai đường nullcline gọi điểm kì dị Hình (b) mơ chuỗi thời gian (t, V ) 20 Hình 4.1 Mơ hình khớp thần kinh 22 Hình 4.2 Các mạng lưới đầy đủ từ đến 10 nút, nút đại diện cho tế bào mơ mơ hình dạng FHN cạnh đại diện cho liên kết hóa học mơ hàm số liên kết phi tuyến tính Hình 4.3 25 Sự khác biệt u1 u2 mạng lưới đầy đủ gồm tế bào mặt phẳng (u1 , u2 ) Sự đồng hóa xảy g2 = 1, Trước có đồng hóa với g2 = 0, 0001, hình (a) mơ tả sai lệch u2 u1 ; hình (b) mô tả sai lệch u2 u1 với g2 = 0, 01; hình (c) mơ tả sai lệch u2 u1 với g2 = 0, 5; hình (d), g2 = 1, 4, ta thấy u1 ≈ u2 , nghĩa đồng hóa xảy Hình 4.4 28 Biểu đồ độ mạnh liên kết tương ứng với số lượng tế bào mạng lưới đầy đủ Độ mạnh liên kết giảm dần số lượng tế bào tăng lên tuân theo quy 2g2 luật gsyn = n−1 viii 29 mạng lưới đầy đủ Bảng 4.1 Bảng giá trị độ mạnh liên kết đủ nhỏ cần thiết để tượng đồng hóa xảy hệ thống đầy đủ tế bào, tương ứng với số lượng tế bào tăng dần từ đến 40 n gsyn n gsyn n gsyn n gsyn 1, 11 12 0, 255 0, 233 21 22 0, 133 0, 127 31 32 0, 09 0, 088 0, 933 13 0, 215 23 0, 122 33 0, 085 0, 0, 56 0, 467 0, 0, 35 14 15 16 17 18 0, 0, 187 0, 175 0, 165 0, 156 24 25 26 27 28 0, 117 0, 112 0, 108 0, 104 0, 34 35 36 37 38 0, 082 0, 08 0, 079 0, 076 0, 074 10 0, 311 0, 28 19 20 0, 147 0, 14 29 30 0, 097 0, 093 39 40 0, 072 0, 07 Dựa kết đạt được, thấy độ mạnh liên kết để đồng hóa thực mạng lưới đầy đủ phụ thuộc vào số lượng tế bào mạng lưới Thật vậy, Hình 4.4, điểm màu xanh giá trị độ mạnh liên kết tương ứng với số lượng tế bào có hệ đầy đủ từ giá trị có Bảng 4.1, ta tìm hàm số phụ thuộc số lượng tế bào đường cong màu đỏ giúp mô cho liên hệ cho công thức sau: gn = 2g2 , n−1 (4.5) n số lượng tế bào có mặt mạng lưới đầy đủ g2 độ mạnh liên kết cho phép đồng hóa xảy mạng lưới đầy đủ gồm tế bào (g2 = 1.4) Như vậy, độ mạnh liên kết cần thiết cho đồng hóa hệ thống đầy đủ giảm dần số lượng tế bào có hệ tăng lên tuân theo quy luật cho công thức (4.5) Hình 4.4 Biểu đồ độ mạnh liên kết tương ứng với số lượng tế bào mạng lưới đầy đủ Độ 2g2 mạnh liên kết giảm dần số lượng tế bào tăng lên tuân theo quy luật gsyn = n−1 29 KẾT LUẬN Đề tài đưa điều kiện đủ độ mạnh liên kết cho đồng hóa mạng lưới đầy đủ gồm n hệ phương trình vi phân Fitzhugh-Nagumo với liên M [1 + exp(−λ(N − θsyn ))] kết phi tuyến Từ Định lí 4.1, điều kiện gsyn > n−1 lớn độ mạnh liên kết nhỏ Bằng phương pháp số, thấy đồng hóa ổn định độ mạnh liên kết đạt giá trị định phụ thuộc vào số lượng tế bào có mạng lưới Cụ thể số lượng tế bào mạng lưới đầy đủ lớn đồng hóa trở nên dễ dàng Nghĩa là, có quán kết tìm phương pháp số kết lý thuyết Trong nghiên cứu tiếp theo, tác giả nghiên cứu đồng hóa mạng lưới tế bào có cấu trúc khác với liên kết phi tuyến tính 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Ambrosio, B., Aziz-Alaoui, M A (2012) Synchronization and control of coupled reaction-diffusion systems of FitzHugh-Nagumo-type Computers and Mathematics with Applications 64: 934-943 Ambrosio, B., Aziz-Alaoui, M A (2013) Synchronization and control of a network of coupled reaction-diffusion systems of generalized FitzHugh-Nagumo type ESAIM 39: 15-24 Aziz-Alaoui, M A., (2006) Synchronization of Chaos Encyclopedia of Mathematical Physics, Elsevier 5: 213- 226 Ambrosio, B., Aziz-Alaoui, M A., and P.V.L Em (2019) Large time behaviour and synchronization of complex networks of reaction-diffusion systems of FitzHughNagumo type IMA Journal of Applied Mathematics 84: 416-443 Belykh, I., De Lange, E., and Hasler, M (2005) Synchronization of bursting neurons: What matters in the network topology Phys Rev Lett 94: 188101 Braun, H.A., Wissing, H., Schafer, K., & Hirsch, M.C (1994) Oscillation and noise determine signal transduction in shark multimodel sensory cells Nature 367: 270- 273 Corson, N (2009) Dynamique d’un modèle neuronal, synchronisation et complexité PhD thesis University of Le Havre France (in French) Corson N., Aziz-Alaoui M.A (2009) Complex emergent properties in synchronized neuronal oscillations In: M.A.A and C Bertelle (eds.): From System Complexity to Emergent Properties Springer 243-259 Corson N & Aziz-Alaoui M.A (2009) Asymptotic Dynamics for Slow-Fast HindmarshRose Neuronal System, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, series B, Vol 16(4), pp : 535-549 Dtchetgnia S.R., Yamapi R., Kofane T.C & Aziz-Alaoui M.A (2013) Deterministic and stochastic bifurcations in the Hindmarsh-Rose neuronal model with and without random signal, CHAOS An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, Vol 23, pp : 033125 Ermentrout, G B., Terman, D H (2009) Mathematical Foundations of Neurosciences Springer, 419 pages FitzHugh R (1961) Impulses and physiological states in theoretical models of nerve 31 membrane, Biophysical J, Vol 1, p 445-466 Gabbiani F & Cox S (2010) Mathematics for Neuroscientists, 1st Edition, Academic Press Gerstner W & Kistler W M (2002) Spiking Neuron Models, signle neurons, populations, plasticity, Cambridge University Press Hodgkin, A L., Huxley, A F (1952) A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve J Physiol 117: 500-544 Izhikevich E.M (2004) Which model to use for cortical spiking neurons, IEEE Trans on Neuron Net 15(5), p 1063-1070 Izhikevich, E M (2007) Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting Terrence J Sejnowski and Tomaso A Poggio The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England, 435 pages Keener, J P., Sneyd, J (2009) Mathematical Physiology: Systems Physiology, Second Edition Antman S.S., Marsden J.E., and Sirovich L Springer, 608 pages Murray, J D (2002) Mathematical Biology I An Introduction, Third Edition Springer, 414 pages Morris C & Lecar H (1981) Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber, Biophys J.35, p 193-213 Nagumo, J., Arimoto, S., and Yoshizawa, S (1962) An active pulse transmission line simulating nerve axon Proc IRE 50: 2061-2070 Nguyen, L H and Hong K S (2011) Synchronization of coupled chaotic FitzHughNagumo neurons via Lyapunov functions Mathematics and Computers in Simulation 82: 590-603 Phan Van Long Em (2017) Identical synchronization in complete network of reactiondiffusion equations of Fitzhugh-Nagumo Tạp chí Khoa học Quốc tế AGU 5: 51-58 Pikovsky, A., Rosenblum, M., and Kurths, J (2001) Synchronization, A Universal Concept in Nonlinear Science Cambridge: Cambridge University Press England, 432 pages Plotnikov, S A., Lehnert, J., Fradkov, A L., and Scholl E (2016) Synchronization in heterogeneous FitzHugh- Nagumo networks with hierarchical architecture Phys Rev E 94, 012203 Rauch J & Smoller J (1978) Qualitative Theory of the FitzHugh Nagumo Equations, Advances in Mathematics, Vol 27, p 12-44 32 Rehan, M and Hong K S (2012) Robust Synchronization of Delayed Chaotic FitzHugh-Nagumo Neurons under External Electrical Stimulation Comput Math Methods Med doi: 10.1155/2012/230980 Trappenberg T.P (2010) Fundamentals of Computational Neuroscience, 2nd edition, Oxford University Press, ISBN13 : 9780199568413, ISBN10 : 0199568413 33 CHỈ MỤC Sợi trục Sự đồng hóa D Điện cân 10 Điều kiện đủ 25 Điện chia độ 11 Điện hoạt động 12 Điện nghỉ Định nghĩa đồng hóa 25 Độ mạnh liên kết 23 T Tế Tế Tế Tế Tế bào bào chất bào hướng tâm bào ly tâm bào trung gian 7 H X Hàm liên kết 23 Xung thần kinh K Khớp thần kinh Kênh ion Kết luận 30 M Màng tế bào Mô hình FitzHugh-Nagumo 2, 19 Mơ hình Hodgkin-Huxley 17 Mạng lưới tế bào 21 Mạng lưới đầy đủ 24 N Nhân tế bào S Sợi nhánh 34 Dong Thap University Journal of Science, Vol 10, No 5, 2021 CONTENT  Phan Van Long Em Synchronization in complete networks of ordinary differential equations of FitzHugh-Nagumo type with nonlinear coupling Ngo Tan Phuc Tran Ngoc Thanh Tang Vo Nhat Trung The decomposition of cyclic modules in weighted Leavitt path algebra of reducible graph 10 Le Van Ngoc Robust stability of switched positive linear systems 15 Tran Ngoc Bich Nguyen Ngoc Hieu Ta Thi Tho Le Thi Ngoc Tu Huynh Vinh Phuc Linear and nonlinear refractive index changes in monolayer MoSe2 25 Nguyen Minh Quang Tran Nguyen Minh An Pham Van Tat Bui Thi Phuong Thuy Nguyen Thanh Duoc Calculation of stability constants of new metal-thiosemicarbazone complexes based on the QSPR modeling using MLR and ANN methods 31 Huynh Tuan Anh Nguyen Huu Nghi Pham Dinh Du Preparation and characteristics of MIL-53 metal-organic framework material with Al/Fe- 46 Nguyen Thi Phuong Growth and quality characteristics of spinach (Spinacia oleraceae L.) in various substrate cultures 55 Vo Thi Phuong Nguyen Du Sanh Huynh Thi Thanh Truc Nguyen Thi Huynh Nhu Pham Thi Thanh Mai Nguyen Thi Be Nhanh Lu Ngoc Tram Anh Effects of submergence depth on the growth and tuberization of Eleocharis ochrostachys Steud 62 bimetallic component Natural Sciences issue Tran Thi Thuy Trang Dang Phuong Thuy Dang Tan Thanh Ha Danh Duc Effects of atrazine and butachlor on growth of mung bean (Vigna radiata), water spinach (Ipomoea aquatica) and soil bacteria 69 Lu Ngoc Tram Anh Nguyen Thi Hai Ly Nguyen Ho Distribution of mangrove plants in Con Ong Trang, Ca Mau Cape National Park 77 Nguyen Thi Cam Nhung Dang Minh Quan Evaluating the invasive status of Mimosa pigra L., Eupatorium odoratum L and Eichhornia crassipes (mart.) Solms in Tram Chim National Park in Dong Thap province 84 Dang Minh Quan Tran Thị Hang Tran Sy Nam Diversity of weed species composition of Cyperaceae and Poaceae in paddy rice field in An Giang province 93 Jessa B Madera Diana Shane A Balindo Zhereeleen M Adorador Jiro T Adorador Spatial distribution of threatened mother tree species in selected forests over limestone in Samar Island, Philippines 104 Nguyen Thi Hai Ly Lu Ngoc Tram Anh Nguyen Ho Application of multivariate statistical analysis in ecological environment research 115 Dong Thap University Journal of Science, Vol 10, No 5, 2021, 3-9 SYNCHRONIZATION IN COMPLETE NETWORKS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FITZHUGH-NAGUMO TYPE WITH NONLINEAR COUPLING Phan Van Long Em An Giang University, Vietnam National University, Ho Chi Minh City Corresponding author: pvlem@agu.edu.vn Article history Received: 17/09/2020; Received in revised form: 15/03/2021; Accepted: 01/10/2021 Abstract Synchronization is a ubiquitous feature in many natural systems and nonlinear science This paper studies the synchronization in a complete network consisting of n nodes Each node is connected to all other nodes by nonlinear coupling and represented by an ordinary differential system of FitzHugh-Nagumo type (FHN) which can be obtained by simplifying the famous Hodgkin-Huxley model From this complete network, a sufficient condition on the coupling strength is identified to achieve the synchronization The result shows that the networks with bigger in-degrees of the nodes synchronize more easily The paper also shows this theoretical result numerically and see that there is a compromise Keywords: Coupling strength, complete network, FitzHugh-Nagumo model, nonlinear coupling, synchronization - SỰ CỘNG HƯỞNG TRONG MẠNG LƯỚI ĐẦY ĐỦ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG FITZHUGH – NAGUMO VỚI LIÊN KẾT PHI TUYẾN Phan Văn Long Em Trường Đại học An Giang, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tác giả liên hệ: pvlem@agu.edu.vn Lịch sử báo Ngày nhận: 17/09/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 15/03/2021; Ngày duyệt đăng: 01/10/2021 Tóm tắt Sự cộng hưởng tính phổ biến nhiều hệ thống tự nhiên khoa học phi tuyến Bài báo nghiên cứu cộng hưởng mạng lưới đầy đủ bao gồm n nút Trong đó, nút liên kết với tất nút khác liên kết phi tuyến tính nút giới thiệu hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo (FHN), mơ hình đơn giản hóa từ mơ hình tiếng Hodgkin-Huxley Từ mạng lưới đầy đủ này, chúng tơi tìm điều kiện đủ cho độ mạnh liên kết để có cộng hưởng Kết cho thấy mạng lưới có nút mà liên kết đầu vào lớn cộng hưởng dễ Bài báo đưa kết kiểm tra phương pháp lý thuyết phương pháp số xét tương quan hai phương pháp Từ khóa: Độ mạnh liên kết, mạng lưới đầy đủ, mơ hình FitzHugh-Nagumo, liên kết phi tuyến, cộng hưởng DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.10.5.2021.889 Cite: Phan Van Long Em (2021) Synchronization in complete networks of ordinary differential equations of FitzHugh-Nagumo type with nonlinear coupling Dong Thap University Journal of Science, 10(5), 3-9 Natural Sciences issue Introduction Synchronization is a ubiquitous feature in many natural systems and nonlinear science The word "synchronization" is of Greek origin, with syn as “common” and chronous as “time”, which means having the same behavior at the same time Therefore, the synchronization of two dynamical systems usually means that one system copies the movement of the other When the behaviors of many systems are synchronized, these systems are called synchronous Studies by Aziz-Alaoui (2006) and Corson (2009) suggested that a phenomenon of synchronization may appear in a network of many weakly coupled oscillators A broad variety of applications have emerged to increase the power of lasers, synchronize the output of electric circuits, control oscillations in chemical reactions or encode electronic messages for secure communications (Pikovsky et al., 2001; Aziz-Alaoui, 2006) Synchronization has been extensively studied in many fields and many natural phenomena reflect the synchronization such as the movement of birds forming the cloud, the movement of fishes in the lake, the movement of the parade, the reception and transmission of a group of cells (Hodgkin and Huxley, 1952; Murray, 2002; Izhikevich, 2005; Aziz-Alaoui, 2006; Ermentrout and Terman, 2009) Therefore, the study of the synchronization in the network of cells is very necessary In order to make the study easier, a complete network of n neurons interconnected together with non-linear coupling is investigated and the sufficient condition on the coupling strength is sought to achieve the synchronization Each neuron is represented by a dynamical system named FitzHugh-Nagumo model It was introduced as a dimensional reduction of the well-known Hodgkin-Huxley model (Hodgkin, 1952; Nagumo, 1962; Murray, 2002; Izhikevich, 2007; Ermentrout, 2009; Keener, 2009) It is more analytically tractable and maintains some biophysical meaning The model is constituted a common form of two equations in the two variables u and v The first variable is the fast one called excitatory representing the transmembrane voltage The second one is the slow recovery variable describing the time dependence of several physical quantities, such as electrical conductivity of ion currents across the membrane The FitzHugh-Nagumo equations (FHN) are given by:  du  dt  f (u )  v   dv  au  bv  c  dt (1) where a, b and c are constants ( a and b are positive),    1, t  and f (u)  u  3u The system (1) is considered as a neural model and from this, a network of n coupled systems (1) based on FHN type is constructed as follows:  uit  f (ui )  vi  h(ui , u j )  vit  aui  bvi  c i, j  1, , n, i  j,  (2) where (ui , vi ), i  1, 2, , n is defined by (1) The function h is the coupling function that determines the type of connection between neurons ui and u j Connections between neurons are essentially of two types: chemical connection and electical connection, where chemical connection is more abundant than electrical one If the connections are made by chemical synapse, the coupling is non-linear and given by the function: n h(ui , vi )  (ui  Vsyn ) g syn  cij (u j ), j 1 (3) i  1, 2, , n The parameter g syn represents the coupling strength The coefficients cij are the elements of the connectivity matrix Dong Thap University Journal of Science, Vol 10, No 5, 2021, 3-9 Cn  (cij )nn , defined by: cij  if ui and u j are coupled, cij  if ui and u j are not coupled, where i, j  1, 2, , n, i  j The function  is a non-linear threshold function: (u j )  , j  1, 2, , n  exp( (u j   syn )) The parameters have physiological meanings: the following  Vsyn is the reversal potential and must be larger than ui , for all i  1,2, n, t  since synapses are supposed excitatory   syn is the threshold reached by every action potential for a neuron   is a positive number (Belykh et al., 2005; Corson, 2009) The bigger  is, the better we approach the Heaviside function In recent years, there are a lot of studies on the synchronization (Ambrosio and AzizAlaoui, 2012; Ambrosio and Aziz-Alaoui, 2013; Corson, 2009); however, they are just studied for the linear coupling, while the connections between neurons made by chemical synapse is major in neural networks It means that the coupling is nonlinear Therefore, it is really useful to conduct research on this problem In other words, we are interested in the rapid chemical excitatory synapses, so the parameters are fixed as follows throughout this paper, based on previous reports (Belykh et al., 2005; Corson, 2009)   10, Vsyn  2, syn  0, 25 Synchronization of a complete network In this paper, the synchronization is investigated in a complete network, i.e each node connects to all other nodes of the network (Ambrosio and Aziz-Alaoui, 2012; Ambrosio and Aziz-Alaoui, 2013) For example, Figure shows the complete graphs from to 10 nodes Each node represents a neuron modeled by a dynamical system of FHN type and each edge represents a synaptic connection modeled by a nonlinear coupling function A network of n "neurons" (1) bi-directionally coupled by the chemical synapses, based on FHN, is given as follows: n g n (ui  Vsyn )   u  f ( u )  v   it i i  k 1,k i  exp(  ( uk   syn ))   (4) vit  aui  bvi  c i  1,2, , n,   where a, b and c are constants ( a and b are positive),    1, t  and f (u)  u3 , 3u, g n is the coupling strength between ui and u j Definition (Aziz-Alaoui, 2006) Let Si  (ui , vi ), i  1, 2, , n and S  (S1 , S2 , , Sn ) be a network We say that S is synchronous if lim u j  ui  and lim v j  vi  0, t  t  i, j  1,2, , n Figure Complete graphs from to 10 nodes In this study, each node represents a neuron modeled by a dynamical system of FHN type and each edge represents a synaptic connection modeled by a nonlinear coupling function Theorem Let N  inf ui (t ), i  1, 2, , n, t  0 and suppose that Natural Sciences issue gn  M 1  exp( ( N   syn ))  n 1 , (5) f ( k ) (u ) k 1  k ! x , B is a uB , x k 1 compact interval including u and f ( k ) (u ) is the kth derivative of f with respect to u Then the network (4) synchronizes in the sense of Definition Remark The existence of B was proved in Ambrosio et al (2018) Since the variables u(t), v(t) of FHN are bounded (Ambrosio, 2009), N  inf ui (t ), i  1, 2, , n, t  0 exists Proof Let 1 n  (t )    a (ui  u1 )  (vi  v1 )   i 2  By deriving the function (t ) with respect to t , we have: d  (t ) n    a (ui  u1 )(uit  u1t )  dt i 2 where M  sup (vi  v1 )(vit  v1t ) n    a (ui  u1 )  f (ui )  vi  i2 n g n (ui  Vsyn ) k 1, k  i  exp(  (uk   syn ))   f (u1 )  v1       )) l 2 l syn  (vi  v1 )  a (ui  u1 )  b(vi  v1 )   g n (u1  Vsyn ) n   exp( (u n    a (ui  u1 )  f (ui )  f (u1 )   n g n (u1  Vsyn )     l   exp(  (u   )) l syn      b(vi  v1 )  k 1, k  i  exp(  (uk   syn ))   n  n    a (ui  u1 )  f (ui )  f (u1 )  i 2 g n (ui  u1 ) k 1, k  i  exp(  (uk   syn )) n    g n (u1  Vsyn )     exp(  (u   )) i syn      b(vi  v1 )   exp(  (u1   syn ))   Since we are interested in the rapid chemical excitatory synapses, u1  Vsyn , t   u1  Vsyn  0, t  Note that : - If ui  u1 , then ui  u1   gn (ui  u1 )(u1  Vsyn )  0, and 1   exp( (ui   syn ))  exp( (u1   syn )) Thus  g n (ui  u1 )(u1  Vsyn )     exp(  (u   )) i syn      exp(  (u1   syn ))  i2 n g n (ui  Vsyn ) k 1, k  i  exp(  (uk   syn ))    b(vi  v1 )   exp(   ( u   )) l 2 l syn  g n (u1  Vsyn ) n  n    a (ui  u1 )  f (ui )  f (u1 )  i 2 g n (ui  u1 )  k 1, k  i  exp(  (uk   syn )) n  - If ui  u1 , then ui  u1   gn (ui  u1 )(u1  Vsyn )  0, and 1   exp( (ui   syn ))  exp( (u1   syn )) Dong Thap University Journal of Science, Vol 10, No 5, 2021, 3-9 Thus  g n (ui  u1 )(u1  Vsyn )     exp(  (u   )) i syn      exp(  (u1   syn ))  It means that in any cases, there is always the inequality:  g n (ui  u1 )(u1  Vsyn )     exp(  (u   )) i syn      exp(  (u1   syn ))  Therefore,  d  (t ) n  f ( k ) (u1 )    a (ui  u1 )2  f '(u1 )   (ui  u1 ) k 1  dt k! i 2  k 2    gn   b(vi  v1 )  k 1,k i  exp(  ( uk   syn ))   n  n  n   gn    a (ui  u1 )2  M      i 2  k 1,k i  exp(  ( uk   syn ))    Numerical simulations This research focuses on the minimal values of coupling strength g n to observe a phenomenon of synchronization between n subsystems modeling the function of neuron network In the following, the paper shows the numerical results obtained by integrating the system (4) where n  2, f (u)  u3  3u , with the following parameter values: a  1; b  0.001; c  0;   0.1;   10; Vsyn  2;  syn  0.25 The integration of system is realized by using C++ and the results are represented by Gnuplot Figure illustrates the synchronization of the complete network of neurons The simulations show that the system synchronizes from the value g2  1.4 In the figures (a), (b), (c), (d), we represent the phase portrait  u1, u2  It is observed (figure (d)) that for means that the g2  1.4, u1  u2 , it synchronization occurs b(vi  v1 )2  Since gn  M M 1  exp(  ( N   syn ))  n 1 , then n gn M  exp(   ( u   )) k 1,k i k syn   (n  1) g n   exp(  ( N   syn )) Finally, there is always another constant   0, such that d (t )   (t )  (t )  (0)e  t , dt where 2   (n  1) g n      M  , 2b    1  exp( ( N   syn ))      Thus, there is the synchronization if the coupling strength is verified (5) Figure Synchronization of a complete network of two nonlinearly coupled neurons in the phase portrait  u1, u2  The synchronization occurs for g2  1.4 Before synchronization, for g2  0.0001 , the figure (a) represents the temporal dynamic of u2 with respect to u1 ; the figure (b) represents the temporal dynamic of u2 with respect to u1 for g2  0.01 ; the figure (c) represents the temporal dynamic of u2 with respect to u1 for g2  0.5 Figure (d), for g2  1.4 , the synchronization occurs since u1  u2 Natural Sciences issue From the above result, in the case of two nonlinearly coupled neurons, for the coupling strength over or equal to g2  1.4 these neurons have a synchronous behavior (Figure 2d) By doing similarly for the complete networks of nonlinearly identical coupled neurons, the values of coupling strength according to the number of neurons n are reported in Table necessary to get the synchronization of coupled complete network Therefore, the coupling strength necessary to obtain the synchronization in the complete network decreases while the number of neurons increases following the law (6) Table The minimal coupling strength necessary to observe the synchronization of n nonlinearly coupled neurons n gn 1.4 0.933 0.7 0.56 10 n gn 0.467 0.4 0.35 0.311 0.28 n 11 12 13 14 15 gn 0.255 0.215 0.2 0.187 n 16 18 19 20 gn 0.175 0.156 0.147 0.14 n 21 23 24 25 gn 0.133 0.122 0.117 0.112 n 26 27 28 29 30 gn 0.108 0.104 0.1 0.097 0.093 n 31 32 33 34 35 gn 0.09 0.085 0.082 0.08 n 36 gn 0.079 0.233 17 0.165 22 0.127 0.088 37 0.076 38 39 40 0.074 0.072 0.07 Following these numerical experiments, it is easy to see that the coupling strength required for observing the synchronization of n neurons depends on the number of neurons Indeed, the blue points in Figure represent the coupling strength of synchronization according to the number of neurons in complete network from Table 1, and we can find a function depending on the number of neurons represented by the red curve given by the following equation: g2 , (6) n 1 where n is the number of neurons in the network and g is the coupling strength gn  Figure The evolution of the coupling strength for which the synchronization of neurons takes place according to the number nonlinearly coupled neurons in complete network and it follows the law g n  g2 n 1 Conclusion This study gave the sufficient condition on the coupling strength to achieve the synchronization in a complete network of n coupled dynamical systems of Fitzhugh-Nagumo type Theorem shows that the bigger the value of n is, the smaller the g n is Numerically, it displays that the synchronization is stable when the coupling strength exceeded to certain threshold and depends on the number of "neurons" in graphs The bigger the number of "neurons" is, the easier the phenomenon of synchronization will be obtained Then, a compromise between the theoretical and numerical results can be reached In addition, it is necessary to conduct further studies on the different synchronization regimes in free networks coupled by chemical synapse Dong Thap University Journal of Science, Vol 10, No 5, 2021, 3-9 Acknowledgements: This research is funded by An Giang University Vietnam National University, Ho Chi Minh City under grant number “21.02.KSP’’ References Ambrosio, B (2009) Propagation d'ondes dans un milieu excitable: simulations numériques et approche analytique Thesis, University Pierre and Marie CurieParis 6, France Ambrosio, B., and Aziz-Alaoui, M A (2012) Synchronization and control of coupled reaction-diffusion systems of the FitzHugh-Nagumo-type Computers and Mathematics with Application, (64), 934-943 Ambrosio, B., and Aziz-Alaoui, M A (2013) Synchronization and control of a network of coupled reaction-diffusion systems of generalized FitzHugh-Nagumo type ESAIM: Proceedings, (39), 15-24 Aziz-Alaoui, M A (2006) Synchronization of Chaos Encyclopedia of Mathematical Physics, Elsevier, (5), 213-226 Ambrosio, B., Aziz-Alaoui, M A., and Phan Van Long Em (2018) Global attractor of complex networks of reaction-diffusion systems of Fitzhugh-Nagumo type Discrete and continuous dynamical systems series B, (23), 3787-3797 Belykh, I., De Lange, E., and Hasler, M (2005) Synchronization of bursting neurons: What matters in the network topology Phys Rev Lett., (94), 188101 Corson, N (2009) Dynamique d'un modèle neuronal, synchronisation et complexité Thesis, University of Le Havre, France Ermentrout, G B., and Terman, D H (2009) Mathematical foundations of neurosciences, Interdisciplinary Applied Mathematics, Springer Fitzhugh, R (1960) Thresholds and plateaus in the Hodgkin–Huxley nerve equations J Gen Physiol., (43), 867-896 Hodgkin, A L., and Huxley, A F (1952) A quantitative description of membrane current and ts application to conduction and excitation in nerve J Physiol., (117), 500-544 Izhikevich, E M (2007) Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting Computational Neuroscience Series, Poggio The MIT Press, Cambridge Keener, J P., and Sneyd, J (2009) Mathematical Physiology: Systems Physiology, Second Edition Antman S.S., Marsden J.E., and Sirovich L Springer Murray, J D (2002) Mathematical Biology I An Introduction, Third Edition Springer Nagumo, J., Arimoto, S., and Yoshizawa, S (1962) An active pulse transmission line simulating nerve axon Proc IRE., (50), 2061-2070 Pikovsky, A., Rosenblum, M., and Kurths, J (2001) Synchronization, A Universal Concept in Nonlinear Science Cambridge: Cambridge University Press