0138 tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các crtự đẳng cấu vi phân luận văn tốt nghiệp

1 LÍICAMĐOAN Tơi xin cam đoan nhǎng ket trình bày luªn án trungthực,mới,đãđượccơngbotrêncáctạpchíTốnhoctrongvàngồinước.Các ket quảnày chưa tàngđược cơngbo trongbat kỳm®ttạp chí nàokhác Các ket viet chung với GS TSKH Đo Đác Thái, GS Pascal J.Thomas,PGS.TSNguyenVănTrào,TS.NinhVănThuvàThS.ChảVănTi»pđãđ ượcsựđongýcủacácđongtácgiảkhiđưavàoluªnán Nghiênc ú u s i n h : M a i A n h Đ ú c LÍICẢMƠN Luªn án hồn thành hướng dan dạy tªn tình củaGS TSKH Đo Đác Thái Nhân dịp này, tơi xin kính gải tới Thay lờicảmơnchânthànhvàsâusacnhat Tơi xin bày tỏ lịng biet ơn tới B® mơn Hình hoc, Ban Chủ nhi»m KhoaTốn - Tin, Phịng Sau Đại hoc Ban Giám hi»u Trường Đại hoc Sư phmH Nđi ó to moi ieu kiằn thuên li e tơi sớm hồn thành luªn án củamình Tơic ũ n g x i n b y t ỏ l ò n g b i e t n đ e n B ® m n Đ i s o H ì n h h o c , B a n Chủ nhi»m Khoa Toán - Lý - Tin, Ban Giám hi»u Trường Đại hoc Tây Bacđãgiúp đơv àt ạođieu ki»n đetơin tâmho c tªpvànghiênc áu Cuoi tơi xin bày tỏ lịng biet ơn đen thay giáo, giáo trongKhoa Tốn - Tin thu®c Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i; Khoa Tốn - Lý -Tinthu®cTrườngĐạihocTâyBac;cácthànhviênseminarHìnhhocphácthu®c Khoa Tốn Tin seminar Đại so Giao hốn - Hỡnh hoc phỏc - PhngphỏpgingdythuđcKhoaToỏn-LýTin;cỏcongnghiằp,anhem,bnbốókhớchlằ,đngviờn,giỳptụitrongsuotquỏt rỡnhnghiờncỏu,hoctêpvcụngtỏc NghiờncGusinh:MaiAnhGc MCLC Líicamđoan Líic ả m n Danhmnccáckíhi»u Mðđau Tongq u a n .12 Chng 1.Tớnhhyperbolicmodulovtớnh taut modulo camienkieuHartogs 1.1 18 Khụnggianhyperbolicmodulovtautmodulomđttêpcongii tích 18 1.2 1.3 TínhhyperbolicmoduloS×Cmc ủ a mienΩ H (X) 23 Tínht a u t m o du l o S ×Cmcủam i e n Ω H (X) 28 Chương2.ĐưíngconggiỵihạnBrodytrongCnvà(C∗ )2 37 2.1 Tínhchuȁntaccủahocácánhxạchỉnhhìnhnhieubienphác 37 2.2 VanđeđườngconggiớihạnBrodytrongC n 47 2.3 VanđeđườngconggiớihạnBrodytrong(C∗ )2 50 Chương3.NhómcácCR- tfi đangcauviphân 3.1 Vídụvetrườngvectơchỉnhhìnhtiepxúcvớisiêum°tthựcnhȁn5 3.2 Khônggian vectơ thực trường vectơ tiep xúc chỉnh hình 58 64 Ketl u ª n v K i e n n g h ị 77 Danhm nccô ng t rì nh cơngb o củ a tá cg iả 79 Tàil i » u t h a m k h ả o .80 DANHMỤCCÁCKÝHI›U • N,Z,Q,R,C:tương ỏngltêpsotnhiờn,têpsonguyờn,têpsohut, tê psothc,têpsophỏc ã :MđtmientrongC n ã Aut():Nhúmtngcaucamien ã Hol(X,Y):Kh ô n gg i an c ác nh x ạc h ỉ nh h ì n h tà k hô n g gi a n p h c X vàokhơnggianphácYđ ợ c trangbịtơpơcompactmở • cX:GiảkhoảngcáchCaratheodorytrênkhơnggianphác X • dX:GiảkhoảngcáchKobayashitrênkhơnggianphácX • Dr:={z∈C:|z| 0,khụngphthuđcvocỏcthamsosaoch oaCb ã a4bcúnghaltontihangsoC> 0,khụngphthuđcvocỏcthamsosaoch oaCb ã abc ún gh a làto n tạic ách an g soC 1>0,C2>0không ph ụthu ® c v àocácthamsosaochoC 1b≤a≤C2b • ΩH(X):MienkieuHartogs • Ωϕ(X):MienHartogs • (M,p):M a m c c s i ê u m ° t t h ự c n h ȁ n l p C p ∈Cn • hol0(M,p):K h ô n g g i a n v e c t t h ự c g o m t a t c ả c c m a m t r n g v e c t chỉnhhình(H,p)tri»ttiêutạipvàtiepxúcvớiM • (X,p):Mamtrườngvectơ nhȁntrênM • (H,p):M a m t r n g v e c t c h ỉ n h h ì n h t r o n g C n MÐ ĐAU Lýdochonđetài Vàonhǎngnăm60củathekt r c , nhtoỏnhocNhêtBnShoshichiKo bayashióxõydngtrờnmoikhụnggianphỏcmđtgikhongcỏchbatbienoivicỏctn gcauchnhhỡnh.GikhongcỏchúngynaycgoilgikhongcỏchKobayashi.K higikhongcỏchKobayashitrờnmđtkhụnggianphỏctrthnhkhongcỏcht hỡkhụnggianphỏcúcgoilkhụnggianphỏchyperbolic.Tớnhhyperbo liccakhụnggianphỏcchophộpchỳngtatiepcênennhieutớnhchathỡnhhocc akhụnggianphỏc.Tat h a y , t í n h h y p e r b o l i c c ủ a k h ô n g g i a n p h c t h ự c c h a t l k i e m s o t tínhkhơngsuybiencủagiảkhoảngcáchKobaya shitihaiiembatkcakhụnggianú.Vỡthe,mđtvanetnhiờnct ral:Tacúthethucnhngtớnhchathỡnhhocnhthenotrongtrnghptak hụngthekiemsoỏtctớnhkhụngsuybiencagikhongcỏchKobay ashitimđtsocpiem? Týtngtrờn,S.Kobayashióexuatkhỏiniằmkhụnggianphỏchyperbolicmod ulomđttêpcongiitớch.ễngvmđtvitỏcgisaunyónghiờncỏuvanetrờnv thucnhieuketquep.Tuynhiờn,chỳngtabietchanhieuvớdct hevekhụnggianphỏchyperbolicmodulomđttêpcongiitớch.Ngoira,nhngk etqucaM.Zaidenberg,J.NoguchivegithuyetMordelltrongtỡnhhuongcompactvkh ụngcompactchochỳngtathayrừtamquantrongcaviằcnghiờncỏu tớnhhyperbolicmodulomđttêpcongiitớch Tlýdotrờn,luênỏntravaneautiờnlnghiờncỏutớnhhyperbolicmodulomđttêp congiitớchvnhngthuđctớnhliờnquancamienkieuHartogs.NúithờmrangmienH artogsltrnghpcbiằtcamienkieu Hartogs v l mđt oi tng bản, quen thu®c giải tích phác nhieubien Nhǎng ket luªn án ve chủ đe sě góp phan đe hieu rõ hơnnhǎngtínhchathìnhhoccủamienHartogs M®tángdụngquantrongcủatínhhyperbolicđólà,tínhhyperbolicchophép kiem sốt hình thái dãy đĩa chỉnh hình m®t đatạpp h c k h i d ã y đ ĩ a đ ó t i e n r a " v ô c ù n g " ( t c l t i e n r a " b i ê n " c ủ a đ a tạp).Đãcónhieuketquảđepcủacácnhàtốnhoctrongvàngồinướcv echủđenàynhư:L.Zalcman,ĐoĐácThái,NguyenVănTrào.H ì n h tháic ủ a d ã y đ ĩ a c h ỉ n h h ì n h t r o n g đ a t p p h c c ò n c h o p h é p c h ú n g t a t i e p cên en mđt so van e ca Hằ đng lc hoc phác nhieu bien Trong vi»cnghiênc u c h ủ đ e n y , n g h i ê n c u t í n h Z a l c m a n c ủ a k h ô n g g i a n p h c l m®tv a n đ e r a t q u a n t r o n g Đ ° c b i » t , g i ả t h u y e t v e t í n h Z a l c m a n c a C nkhin2choennayvanlmđtcõuhim Vỡthevanethỏhaicnghiờncỏutrongluênỏnlnghiờncỏung conggiihnB rodytrongC nvà(C∗ )2 Chúngtơihyvongrangcáchtiepcªn chúng tơi ve van đe sě cho phép giải quyet giảthuyetvetínhZalcmanđãnóiởtrên Nhưc h ú n g t a đ ã b i e t , h ì n h h o c t h e o q u a n đ i e m K L E I N l h ì n h h o c c ủ a nhóm bien đői Vì the m®t tốn cő đien hình hoc mơ tảcáct ự đ ȁ n g c a u c ủ a m ® t l p đ a t p n o đ ó T r o n g p h a n c u o i c a l u ê n ỏ n , digúcđcahỡnhhocphỏchyperbolic,chỳngtụigiiquyetvanethỏba củaluªnánđólàmơtảtườngminhcácCRt ự đ ȁ n g c a u v i p h â n g i ả i tíchthựccủam®tlớpcácsiêum°tthực kieuvôh ạntrongC Với tat nhǎng lý trên, chúng tơi lựa chon đe tài luªn án là: "Tínhhyperboliccia khơnggian phGc nhómcác CR-tt đangcau vi phân".C h ú n g t ô i h y v o n g r a n g n h ǎ n g k e t q u ả đ t đ ợ c c ủ a l u ª n n s ě gópphangiúpchúngtahieurõhơncácđ°ctrưnghìnhhoccủacáckhơnggianphác Mncđíchnghiêncfíu Mụcđíchcủaluªnánlà: Đưar a đ i e u k i » n c a n v đ ủ c h o t í n h h y p e r b o l i c m o d u l o v t n h t a u t modulomđttêpcongiitớchcamienkieuHartogs aracõutrlichogithuyetvetớnhZalcmancakhụnggianphỏc Cn Miêu tả nhóm CR-tự đȁng cau vi phân giải tích thực siêum°t kieu vơ hạn thơng qua khơng gian vectơ trường vectơ tiep xúcchỉnhhình Đoitưđngvàphạmvinghiêncfíu Đoi tượng nghiên cáu luªn án gom không gian phác, mien kieuHartogs,siêum°tthựcnhȁnkieuvôhạnMt r o n g C Phạm vi nghiên cáu đe tài tớnh hyperbolic modulo, tớnh tautmodulo mđttêpcon gii tớch ca mien kieu Hartogs; tính Zalcman củakhơng gian phác; trường vectơ tiep xúc chỉnh hình siêu m°t thực nhȁnkieuvơhạnMt r o n g C Phươngphápnghiêncfíu Đe giải quyet van đe đ°t luªn án, chúng tơi sả dụng cácphương pháp ky thuªt truyen thong Giải tớch phỏc, Hỡnh hocphỏc, Cỏcketqutủcvjnghacaeti Luênỏntcmđtsoketqusau: Vane1: Nghiờncỏutớnhhyperbolicmodulomđttêpcongiitớchvnhngthuđ ctớnhliờnquancamienkieuHartogs nhlj1.2.4:GisXlkhụnggianphỳcvSlmđttắpcongiitớchc a X.K h i ú H (X)l h y p e r b o l i c m o d u l o S ×Cmneuv c h í n e u X làhyperbolicmoduloSvàhàmHth ó a mãnđieuki»nsau:Neu{xk}k≥1⊂ X Svới wk= w 0/ = xk= x 0∈ X\Sv {wk}k≥1⊂ C mv i \ lim k lim k 0,thỡ l i m supH(xk,wk/)=0 k nhlj1.3.1:GisXlmđtkhụnggianphỳcvSlmđttắpcon giảitíchtrongX.Khiđó i NeuΩ H (X)l t a u t m o d u l o S ×CmthìX l t a u t m o d u l o S v l o g Hl đađ i eu h òa d i , l i ê n t ự c t r ê n ( X\S)ìCm ii ắc biằt hn, neuXl khụng gian phỳc liờn thơng bat khả quy đàaphương Sl t¾p giải tích (thực sự) t h ì logHl đ a đ i e u h ò a d i trênX×Cm iii Ngượcl i , n e u X làt a u t m o d u l o S , Hlàl i ê n t ự c t r ê n ( X\ S)×Cm l o g H làđ a đ i e u h ò a d i t r ê n X × Cm ΩH (X)l t a u t m o d u l o S×Cm v Vanđe2:NghiêncáuđườngconggiớihạnBrodytrongC n à(C∗)2 ( Địnhl j : C n n≥2)k h ô n g l k i e u E g i i h n đ o i v i b a t k ỳ h m đ®dàiEt r ê n C n Địnhlj2.3.1:(C∗)2khônglàkieuds FS -giớihạn,ớđâyds Fubini-StudytrênP 2(C) FS lm e t r i c Ngoira,luênỏncũnaramđttiờuchunchotớnhchuntaccahocỏcỏnh xchnh hỡnhnhieu bienphỏc vàom®tkhơng gianpháccompact với metricHermittùy ý Địnhlj2.1.9:Giả sủΩlà m®t mien trongCvàXlà m®t khơng gianphúc compact với metric Hermit E Giả sủ S l mđt siờu mắt phỳc trongXv M=X\S Gi sủF ⊂Hol(Ω, M) Khi hoFlà khơng chuȁntacn e u v c h í n e u t o n t i d ã y { pj}⊂Ωv i p j→ p 0∈ Ωk h i j → ∞, {fj}⊂F,{ρj}⊂Rvớiρ j>0vàρ j→0+k h i j→∞saocho gj(ξ):=f j(pj+ρjξ),ξ ∈ C thóamãnm®ttronghaikhȁngđànhsau: (i) Dãy{gj}phânkỳcompacttrênC; (ii) Dãy{ gj}h®it ự đ e u t r ê n c c t ¾ p c o n c o m p a c t c ủ a C t i m ® t đ n g congE -B rodykhônghangg :C→M Van đe 3:Miêu tả nhóm CR-tự đȁng cau vi phân giải tích thực củam®tlớpcácsiêum°tthựctrongC Địnhl j : G i ả s ủ ( M,0)l m ® t m a m s i ê u m ¾ t t h ự c n h ȁ n l p C tại0 đ ợ c x c đ n h b i p h n g t r ì n h ρ (z): = ρ (z1,z2)= R e z1+P( z2)+Imz1Q(z2,Imz1)=0,t r o n g đ ó P , Qt h o ả m ã n c c đ i e u k i » n s a u : (1) P,Qn h ȁ n l p C với P (0)=Q(0,0)=0, (2) P(z2)>0vớibatkỳz 2/=0 (3) P(z2),P′(z2)p h ȁ n g t i z 2=0 Khiđ ó d i m Rhol0(M,0)≤1 Cautrúcluªnán Luªn án bao gom ba chương, viet dựa bon công trình đượcđăngvànhªnđăngtrêncáctạpchítrongvàngồinước.Cụthe: