ISSN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY ( 29 ) 1859 3100[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ ISSN: NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY 1859-3100 Tập 16, Số (2019): 29-37 Vol 16, No (2019): 29-37 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn VỀ ĐỒNG NHẤT THỨC NHÓM SUY RỘNG CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRÊN VÀNH CHIA CĨ TÂM HỮU HẠN Cao Minh Nam Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tác giả liên hệ: Cao Minh Nam – Email: caominhnam.dhsp@gmail.com Ngày nhận bài: 04-3-2019; ngày nhận sửa: 21-4-2019; ngày duyệt đăng: 05-6-2019 TÓM TẮT Trong báo này, mở rộng kết tiếng I Z Golubchik A.V Mikhalev cho đồng thức nhóm suy rộng nhóm tuyến tính tổng quát vành chia trường hợp tâm không thiết vơ hạn Từ khóa: vành chia, nhóm tuyến tính tổng qt, đồng thức nhóm suy rộng Giới thiệu Cho T nhóm tự sinh k phần tử {xi ≤ i ≤ k} G nhóm với tâm Z (G) = {x ∈ G xy = yx y ∈G} Kí hiệu G ∗ T với tích tự G T Một phần tử w ≡ / G ∗ T có dạng w(x , x , , x ) = a x ε1 a x ε a x với k i1 i2 εm m im a j ∈ G , ε j ∈□ ij ∈{1, 2, , k} a m+1 gọi đơn thức nhóm suy rộng G Số nguyên dương l(w) = ε1 + ε2 + + ε m gọi độ dài đơn thức nhóm suy rộng w Khơng tính tổng quát, ta biểu diễn cho số mũ ε j ∈{ −1,1} Trong trường hợp độ dài l(w) = m Cho H nhóm G Ta nói w(x1 , x2 , , xk ) = đồng thức nhóm suy rộng H (hay H thỏa đồng thức nhóm suy rộng w(h1 , h2 , , hk ) = với w(x1 , x2 , , xk ) = ) h1 , h2 , , hk ∈ H Thêm vào đó, tất hệ số w(x1 , x2 , , xk ) a1 , a2 , , am+1 gọi đồng thức nhóm H Đồng thức nhóm suy rộng nhóm tuyến tính có lẽ nghiên cứu (Amitsur, 1966) Cụ thể sau Cho D vành chia có tâm F Năm 1966, Amitsur chứng minh F vơ hạn nhóm nhân D∗ = D \{0} thỏa đồng thức nhóm D giao hoán, tức D = F Golubchik Mikhalev (1982) mở rộng kết Amitsur lên nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D) thỏa đồng thức nhóm suy rộng cách chứng minh kết sau Nếu F vô hạn GLn (D) thỏa đồng thức nhóm suy rộng n=1 Tập 16, Số (2019): 2937 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM D giao hoán Chebotar Lee (2004) xét toán trường hợp tâm F hữu hạn: Giả sử D∗ thỏa đồng thức nhóm w(x , x , , x ) = với 1 w(x , x , x ) = x x 3l(w) ε1 k i1 i2 ε2 εm .x Nếu F chứa k phần tử D giao hốn Gần im nhất, Biên (2015), mở rộng kết xét trường hợp D∗ thỏa đồng thức nhóm suy rộng với tâm khơng thiết vơ hạn Cụ thể hơn, D∗ thỏa đồng thức nhóm suy rộng w(x , x , , x ) = F có nhiều l(w) + phần tử k k D giao hốn Trong báo này, chứng minh rẳng nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D) thỏa đồng thức nhóm suy rộng w(x1 , x2 , , xk ) = với D vành chia có tâm F chứa 2l(w) +1 phần tử D giao hốn n = (Định lí 2.7 báo này) Đây xem kết mở rộng Định lí 2.6 báo (Biên, 2015) mở rộng phần Định lí 1.2 bào báo (Kiani, Ramezan-Nassab, & Bien, 2016) Kĩ thuật mà sử dụng báo dựa chứng minh gốc (Golubchik & Mikhalev, 1982) Các kí hiệu chúng tơi dùng thơng thường Nói riêng, số kí hiệu dùng chẳng hạn số phần tử F kí hiệu F , đó,với khơng gian vectơ V D , vành End D (V ) vành tự đồng cấu V v1, v2 , , vm không gian vectơ V sinh phần tử v1 , v2 , , vm ∈V Với ma trận T A ∈ Mn (D), kí hiệu A ma trận chuyển vị ma trận A Đồng thức nhóm suy rộng nhóm tuyến tính tổng qt Trong trường hợp D = K trường V không gian vectơ n chiều D , ta có M n (K ) ≅ End D (V ) Một cách tổng quát, ta có kết tương tự cho vành chia Để tiện theo dõi, chúng tơi trình bày chứng minh Mệnh đề 2.1 Cho D vành chia Mn (D) vành ma trận vuông cấp n D Khi đó, với khơng gian vectơ phải n chiều V D , ta có Mn (D) ≅ EndD (V ) Chứng minh Gọi {ei }i∈1,n sở không gian vectơ V Xét ánh xạ ϕ : End D (V ) →M n (D) với ϕ ( f ) = M f , M f ma trận xác định ánh xạ tuyến tính f qua sở {ei } TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Tập 16, Số (2019): 29TPHCM Dễ thấy, ánh xạ xác định đẳng cấu vành 37 Thật vậy, hiển nhiên ϕ bảo toàn phép cộng bảo tồn đơn vị Do đó, ta cần ϕ bảo toàn phép nhân Giả sử ϕ( f ) = (xij )T , ϕ(g) = ( y )T (dij ϕ (gf ) = ) Đặt ϕ ( f )ϕ(g) = (cij ) Khi đó, Cao Minh Nam TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM cij = ∑y 1≤k ≤n nên d = ij ki xjk với i, j ∈{1, 2, , n} Mặt khác, ∑y 1≤k ≤n ki gf (ej ) = g(e1 xj1 + e2 x j + + en x jn ) xjk Do dij = cij Từ đây, ϕ(gf ) = ϕ(g)ϕ( f ) Hiển nhiên ϕ song ánh Từ điều kiện ta kết luận End D (D) ≅ Mn (D) Từ Mệnh đề 2.1, ta thu kết sau GLn (D) ≅ Aut D (V ) Tiếp theo, ta có kết mở rộng không gian vectơ chiều thỏa điều kiện không chứa số lượng vectơ định Mệnh đề 2.2 Cho D vành chia tâm F V không gian vectơ phải D có số chiều n Giả sử v1, v2 , vm m phần tử nằm V Nếu F ≥ m +1 V chứa không gian vectơ chiều L thỏa v j ∉ L j ∈{1, 2, , m} tồn khơng gian với n − chiều Ln−1 V Ln−1 chứa L cho v j ∉ Ln−1 với j ∈{1, 2, , m} Chứng minh Vì F ≥ m +1 , nên ta cố định tập hợp I gồm m + phần tử đôi khác F Trong trường hợp n = , mệnh đề cần chứng minh hiển nhiên Do đó, ta xét trường hợp n ≥ Với k ∈ □ thỏa ≤ k ≤ n − , giả sử không Lk gian k chiều thỏa k+ chiều Lk +1 vj∉ Lk với j = 1, m Ta chứng minh tồn không gian j = 1, m Thật vậy, chứa Lk v j ∉ Lk +1 với chiều, khơng tính tổng quát, nên ta xem {u1 , u2 , , uk } hệ độc lập tuyến tính V Vì Lk khơng gian k Lk = u1, u2 , , uk , k ≤ n − nên bổ sung uk +1 , uk +2 để hệ {u1 , u2 , , uk +1 , uk + } độc lập tuyến tính Ta khẳng định tồn khơng gian chiều K thỏa K1 ⊆/ v j , u1 , u2 , , uk , với j = 1, m Cao Minh Nam Thật vậy, giả sử ngược lại, tức là, với không gian chiều K1 tồn TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM j ∈{1, 2, , m} cho K1 ⊆ v j , u1 , u2 , , uk Khi đó, với m+ phần tử {uk +1 + uk +2λ λ ∈ I}, tồn j ∈{1, 2, , m} phần tử λ , λ ′ khác I cho uk +1 + uk +2λ, uk +1 + uk λ′ ∈ +2 v j , u1 , u2 , , uk Điều vơ lí hệ {u1 , , uk , uk +1 + uk +2λ, uk +1 + uk +2 λ′ } độc lập tuyến tính Từ suy tồn không gian chiều Bằng cách đặt lại tên, ta xem K1 = K1 thỏa K1 ⊆/ uk +1 v j , u1 , u2 , , uk , với j = 1, m Cuối ta có v j ∉ u1, u2 , , uk , uk +1 , Tập 16, Số (2019): 2937 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM với j ∈{1, 2, , m} Đặt Lk +1 ⊇ Lk Lk +1 = u1 , u2 , , uk Khi đó, Lk không gian thỏa +1 +1 j ∈{1, 2, , m} v j ∉ Lk +1 , với Hơn nữa, L không gian chiều V j ∈{1, 2, , m}, nên tồn không gian thỏa v ∉ L , với j L1 , L2 , , Ln−1 thỏa L = L1 ⊂ L2 ⊂ ⊂ Ln−1 , v j ∉ Lk , với j ∈{1, 2, , m} k ∈{1, 2, , n −1} Tiếp theo kết tính hữu hạn nghiệm đa thức vành R (Bien, 2015, Bổ đề 2.2) Mệnh đề 2.3 Cho R vành, F trường nằm tâm Z R Nếu (R) p(x) = a + a x + a x2 + + a xm ∈ R[x] đa thức không tầm thường R p(x) m có tối đa m nghiệm F Chứng minh Xem báo (Bien, 2015) Do Mệnh đề 2.1 với không gian vectơ phải V nên kể từ ta xem V = Mn×1 với phép cộng phép nhân ngồi định nghĩa cách thông thường, (D) nghĩa là: x1 y1 x1 + y1 +y x y 2x 2 + = , +y x x y n x1 x n n n x1d xd Tập 16, Số (2019): 2937 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM 2 d xn , = xn d x1 y1 y , V Kí hiệu v nx yn với d ∈ D x [v ] v ma trận vng cấp n n có cách ghép vectơ v1 , v2 , , theo cột Như vậy, theo Mệnh đề 2.1., tích ma trận m M n (D) phần tử v ∈V ảnh ánh xạ tuyến tính m xác định tích hai ma trận m v Các bổ đề mở rộng kết theo (Mikhalev & Golubchik, 1982) cho vành chia có tâm khơng thiết vơ hạn Cao Minh Nam TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Bổ đề 2.4 Cho D vành chia tâm F thuộc M n (D) \ P Nếu P = Z (Mn (D)) Giả sử c1 , c2 , , cm phần tử F ≥ 2m + 1, tồn phần tử v V cho c jv ∉ v với mọ j ∈ 1, 2, , m { } i Chứng minh Ta chứng minh bổ đề phép quy nạp theo m Trong trường hợp m = 1, ta giả sử với v ∈V c1v = vd , với d phần tử D Từ x1 x1 x1 x x x suy 2 c 2 , d v = Đặt = e x xn n n 0 0 = với i = 1, 2, , n vectơ i 0 0 đơn vị V Vì c1ei = eidi , di ∈ D với i =1, 2, , m hay 0 0 c1 = di 0 0 d1 Hơn nữa, e d + e d = c e + c e = c (e + e ) = (e + e )d 1 2 1 1 2 d3 d2 d nên = Điều x1 2 cho ta d = d = d Tiếp theo, với v = x ∈V \{0}, ta xét trường hợp sau: TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nếu x1 = Cao Minh Nam xn c1 (v + e1 ) = c1v + c1e1 Điều 10 tương đương với Tập 16, Số (2019): 2937 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM (x1 +1)d x1d ′ + d x d′ x d′ Mặt khác, = (v + e1 )d ′ = vd ′ + e1d hay xn xn d ′ x1 = nên tồn tương đương i ∈{ 2, 3, , n} cho xi ≠ Do d ′ = d ′ c1v = vd =d Nếu x1 ≠ c1 (v + e2 ) = c1v + c1e2 Điều x1d ′ ( x + 1)d ′ (v + e2 )d ′ = vd ′ + hay e2 d x d′ n x1d ′ x d′ +d Mặt khác, = x d ′ n x1 ≠ nên d ′ = d ′ = d Do c1v = vd Kết hợp hai trường hợp ta suy tồn d ∈ D v ∈V c1v = vd Khi đó, với c ∈M n (D) bất với cho với kì v ∈V , c(c1v) = c(vd ) = (cv)d = c1 (cv) Điều có nghĩa (cc1 )v = (c1c)v Từ suy cc1 = c c(c1e2 ) c(c1en )] Hơn nữa, c1e c1en ] = c1e1 [ [ c(c1e1) [ c1(ce 1) c1(ce2 ) c1(cen )] = c1 [ ce1 ce2 cen ] Nên cc1 = c1c với c ∈ Mn (D) Vì c1 ∈ P Mâu thuẫn Theo giả thiết quy nạp, tồn v , v ∈V \ {0} cho c1v1 ∈ v1 c jv2 ∉ v2 i ∈{2,3, , m} Bổ đề cần chứng minh hiển nhiên trường hợp Ngược lại, ta giả sử với λ ∈ F , tồn j ∈{1, 2, , m} thỏa c j (v1 + v2λ) ∈ với v1 = v2 v1 + v2 λ Xét tập hợp I = {λt t = 1, 2m +1} phần tử đôi khác F Theo tồn j ∈{1, 2, , m} ( thỏa c j (v1 + v2λt ) = v1 + v2λt với 11 )d α , α ∈{1, 2,3} Khi đó, với TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP α TPHCM x1 + y1λt x1 + y1λt x2 + yα2 λt α α 2, 3}, ta có c λtα∈{1, d i α Suy = x2 + y2 Tập 16, Số (2019): 2937 α λ Đặt w = v + v 1 w = v + v λ t1 2 t2 xn + ynλt xn + ynλt α α v = wλ (λ − λ )−1 +w (− λ (λ − λ )−1) = w (λ − λ )−1 + w (−(λ − λ )−1) Hiển v 1 2 nhiên, v1 , v2 độc lập tuyến tính nên w1 , w2 1 2 độc lập tuyến tính Đặt w3 = w1α1 + w2α2 Do w1 , độc lập tuyến tính nên α1 + α2 = α1λ1 + α2λ2 = λ3 Vì w2 α = (λ − λ )(λ − λ )−1 ∈ F \{0} α = (λ − λ )(λ − λ )−1 ∈ F \{0} Dễ thấy w3 = w1α1 + w2α2 v = w α + 1 , w α4 2 v2 = w1α5 + w2α6 , 12 αi ∈ F αi ≠ Ta Cao Minh Nam TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM thấy, c j w3 = w3d3 = w1α1d3 + w2α2d3 Hơn nữa, c j w3 = cj (w1α1 + w2α2 ) = c j w1α1 + cj w 2α Do w1 , w2 độc lập tuyến tính αi ≠ với i ∈1, , nên d1 = d2 = d3 = d Từ suy c jv1 = c j (w1α3 + w2α4 ) = (w1α3 + w2α4 )d = v1d tương tự c v = v d Trong trường j 2 hợp c1v1 ∈ v1 j = 1, c1v1 = v1d nên mâu thuẫn với Ngược lại, trường hợp j ≠ 1, c jv2 = v2 nên mâu thuẫn với cjv2 ∉ v2 d Từ đây, ta kết luận tồn λ ∈ F thỏa c j (v1 + v2λ) ∉ bổ đề chứng minh Bổ đề 2.5 Cho D vành chia tâm F c , c , , cm F ≥ 2m +1 tồn v1 + v2 λ phần tử M n (D) \ P Nếu y ∈M n (D) cho yc1 yc2 y ycm y ≠ Chứng minh Theo Bổ đề 2.4, tồn y2 = v1 ∈V \{0} thỏa c jv1 ∉ v1 j ∈{1, 2, , m} Theo Mệnh đề 2.2, tồn phần tử {vi ≤ i ≤ n −1} độc lập tuyến tính thỏa với j v1, v2 , , vn−1 vi ∈V , i ∈ 2, n −1 với cho hệ không chứa phần tử c jv1 với j ∈1, m Do V không gian vectơ phải n chiều D , nên tồn để hệ {vi ≤ i ≤ n} xi1 x sở V Đặt v = i m = [ v1 ] ∈Mn (D), nghĩa là, m lập i v2 xin cách ghép vectơ y = m vi theo cột Ta kí hiệu m 1 m−1 −1 13 ma trận khả nghịch ma trận m Đặt Cao Minh Nam TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM 0 Dễ thấy, yv = với i ∈1, n −1 yv = v1 n i , 0 ( yc1 yc2 y ycm y)vn = v1d1d2 dn ≠ yc1 yc2 y ycm y ≠ Vậy y = Do đó, ta suy Bổ đề 2.6 Cho D vành chia tâm F GLn (D) nhóm tuyến tính tổng qt D , với n ≥ Giả sử w(x , x , , x ) = a x ε1 a x ε a εm x a k i1 i2 m im m+1 14 Tập 16, Số (2019): 2937 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM đơn thức nhóm suy rộng GL (D) Nếu GL (D) thỏa đồng thức n n w(x1, x2 , , xk ) = F ≥ l(w) +1 GLn (D) c x ε1 c xε c x ε m c = , m thỏa đồng thức m+1 c j ∈GL n (D) \ P với j ∈{1, 2, , m} Chứng minh Do l(w) = m F ≥ 2l (w) +1 phần tử đôi khác F J= { nên ta gọi Λ = { λt −k ≤ t ≤ k} } j a j ∉P Theo Bổ đề 2.5, tồn y ∈ Mn (D) cho y = ya y ≠ 0, ycy ≠ với j ∈ phần tử c M n (D) \ P j J Đặt xi = (1 − λi y)x(1 + λ−i y) sj =ε jij với j ∈1, m −k ≤ i j ≤ , k x ∈GL n (D) j Dễ thấy, x ∈GL (D) Vì GL (D) thỏa đồng thức c xε1 c x ε c xε m c j ij j n n c1 = a1 (1 − λs y), cm+1 = (1+ λ−s m+ y)am+1 c j = (1+ λ−s j− 1 j ∉{ 1, m +1} Nếu ε j −1 = − ε i j −1 = i j Hơn j đồng thức nhóm suy rộng GLn (D) y)aj (1− λs y) m+1 =1, với w(x1 , x2 , , xk ) = nên a j ∉ P Tiếp theo ta chứng minh aj ∉ P ycj y = y(1+ λ−s y)aj (1− sj y) y = yaj y ≠ Suy c j ∉ P Ngược lại a ∈ P λ j m j s j −1 = −sj c j ∉ P Thật vậy, j− −s s j−1 ≠ λ Điều dẫn đến j c j = a j (1 + λ−j−1s y)(1 − jλs y) = a j (λj−1 − s − λs ) y Dễ thấy y ∈ P j a j ∈ P Từ suy ycy = Điều mâu thuẫn với điều kiện ycy ≠ Do c ∉ P j Từ bổ đề ta có kết báo Định lí 2.7 15 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Tập 16, Số (2019): 29TPHCM 37 tổng quát D Giả Cho D vành chia tâm F GLn (D) nhóm tuyến tính 16 Tập 16, Số (2019): 2937 rộng GL (D) Nếu đơn thức nhóm suy TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP sử w(x , x , , x ) = a x ε1 a x TPHCM x k i1 ε2 i2 .a m im εm a m+1 n GLn (D) thỏa đồng thức w(x , x , , x ) = 1 k F ≥ 2l(w) +1 n = D = F Chứng minh Theo Bổ đề 2.6, nhóm GLn (D) thỏa đồng thức = , c ∉ P với j ∈1, m Theo Bổ đề 2.5, tồn c xε1 c x ε c xε m c m m+1 j y ∈ M (D) cho y = yc yc y yc y ≠ Đặt n thấy, x ∈GL n (D) Từ c (1 + λ y)ε1 c (1+ λ y)ε c 2 m −1 = , (1 + λ y)ε m c m m+1 17 x = (1+ λ y) , λ ∈ F Dễ Cao Minh Nam TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Suy bm + λb + λ2b + + λ b =1, với λ ∈F Hơn nữa, m ybm y = (ε1ε εm ) yc1 y ycm+1 y ≠ Mặt khác, 18 F ≥ 2m +1 theo Bổ đề 2.3, nên b0 = b1 = = bm = Mâu thuẫn với bm ≠ Từ Định lí 2.7 chứng minh Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Amitsur, S A (1966) Rational identities and applications to algebra and geometry J Algebra, 3, 304-359 Bien, M H (2015) On some subgroups of D∗ which satisfy a generalized group identity Bull Korean Math Soc., 52, 1353-1363 Chebotar, M A., & Lee, P H (2004) A note on group identities in division rings Proc Edinb Math Soc., 47, 557-560 Kiani, D., Ramezan-Nassab, M., & Bien, M H (2016) Some skew linear groups satisfying generalized group identities Comm Algebra, 2362-2367 Mikhalev, A V., & Golubchik, I Z (1982) Generalized group identities in classical groups Zap Nauchn Sem Leningrad Otdel Inst Steklov., 114, 96-119 Tomanov, G M (1982) Generalized group identities in linear groups Dokl Akad Nauk BSSR, 26, 9-12 ON GENERALIZED GROUP IDENTITIES OF GENERAL LINEAR GROUP OVER DIVISION RING WITH CENTER NOT NECESSARILY INFINITE Cao Minh Nam * Ho Chi Minh City University of Education Corresponding author: Cao Minh Nam – Email: caominhnam.dhsp@gmail.com Received: 04/3/2019; Revised: 21/4/2019; Accepted: 05/6/2019 ABSTRACT This article extends a famous result of I Z Golubchik and A.V Mikhalev for generalized group identities of general linear group over division ring with center not necessarily infinite Keywords: division ring, general linear group, generalized group identities ... A Đồng thức nhóm suy rộng nhóm tuyến tính tổng qt Trong trường hợp D = K trường V không gian vectơ n chiều D , ta có M n (K ) ≅ End D (V ) Một cách tổng quát, ta có kết tương tự cho vành chia. .. suy rộng với tâm khơng thiết vơ hạn Cụ thể hơn, D∗ thỏa đồng thức nhóm suy rộng w(x , x , , x ) = F có nhiều l(w) + phần tử k k D giao hốn Trong báo này, chứng minh rẳng nhóm tuyến tính tổng. .. thỏa đồng thức nhóm suy rộng w(x1 , x2 , , xk ) = với D vành chia có tâm F chứa 2l(w) +1 phần tử D giao hốn n = (Định lí 2.7 báo này) Đây xem kết mở rộng Định lí 2.6 báo (Biên, 2015) mở rộng