CHUYÊN ĐỀ:THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 10 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : b) c) AB. AC = BC. AH d) e) BC = 2AM f) g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = , b = c. tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 2bc.cosA Định lý hàm số Sin: 3. Các công thức tính diện tích. a Công thức tính diện tích tam giác: a.ha = với Đặc biệt : vuông ở A : , đều cạnh a: b Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) d Diện tích hình thang : (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f Diện tích hình tròn : ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a. ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa:Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. II. Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P). ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. II. Các định lý: ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. §3.KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB §4.GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900. 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
Chun đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian CHUN ĐỀ:THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho ABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC AB AC A b) BA2 BH BC ; CA2 CH CB c) AB AC = BC AH c 1 d) AH AB AC H e) BC = 2AM f) b c b c sin B , cosB , tan B , cot B a a c b g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = B b M C a b b , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c 2 R sin A sin B sin C * Định lý hàm số Sin: Các công thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: a.b.c a b c S a.ha = a.b sin C p.r p.( p a )( p b)( p c) với p 2 4R Đặc biệt :* ABC vuông A : S AB AC ,* ABC cạnh a: a2 S b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao d/ Diên tích hình thoi : S = e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình trịn : S R ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng a / /(P) a (P) khơng có điểm chung a (P) II.Các định lý: Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian ĐL1:Nếu đường thẳng d khơng nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng d (P) d / /a d / /(P) a (P) a / /(P) d / /a a (Q) (P) (Q) d (P) (Q) d d / /a (P) / /a (Q) / /a d a (P) (Q) a d (P) d a Q P §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung (P) / /(Q) (P) (Q) P Q II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song a,b (P) (P) / /(Q) a b I a / /(Q),b / /(Q) P a b I Q a (P) / /(Q) a / /(Q) a (P) P Q R (P) / /(Q) (R) (P) a a / / b (R) (Q) b a P b Q B.QUAN HỆ VNG GĨC §1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa:Một đường thẳng gọi vng góc với a mp(P) a c, c (P) mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng P a c Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) d a ,d b a ,b mp(P) d mp(P) a,b caét d b a P a a mp(P),b mp(P) b a b a' §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt a mp(P) phẳng vng góc với mp(Q) mp(P) b a' P Q a a mp(Q) ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) (P) (Q) (P) (Q) d a (Q) a (P),a d P P a Q d ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba (P) (Q) A (P) a (P) A a a (Q) (P) (Q) a a (R) (P) (R) (Q) (R) P a A Q P Q a R §3.KHOẢNG CÁCH Chun đề: Luyện tập Hình Học Không Gian Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O H a H P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH O a H P O P H Q 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB a A b B §4.GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b a a' b' b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 a a' P Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm a P b a b Q P Q Chun đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S S' Scos góc hai mặt phẳng (P),(P’) A C B ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : diện tích đáy h : chiều cao h với B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= với a c b a a a Bh h B : diện tích đáy h : chieàu cao B TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B ' C ' S C' A' SA SB SC SA ' SB' SC ' A B' C B THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: h B B' BB' B, B' : diện tích hai đáy với h : chieàu cao V A' B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a2 b2 c2 , Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác II/ Bài tập: LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có C' A' ABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng AA' AB B' a AA'B AA '2 A'B2 AB2 8a2 AA' 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 3a C A Ví dụ 2: Choa lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích B khối lăng trụ Lời giải: C' D' ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3a A' ABCD hình vng AB B' 4a 5a C D Suy B = SABCD = 9a2 3a Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: C' A' Gọi I trung điểm BC Ta có ABC nên AB AI 2 & AI BC B' A C I B A 'I BC(dl3 ) 2S SA'BC BC.A 'I A 'I A'BC 4 BC AA ' (ABC) AA ' AI A 'AI AA ' A 'I2 AI 2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian C' D' A' D' C' D' D C C' A B B' A' B' B' D C A' A B Giải Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a C' D' a2 SABCD = 2SABD = B' A' C D A 60 B a a DD'B DD' BD'2 BD2 a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề BD' = AC = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ a 3 ; S = 3a2 ĐS: V Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD' a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = 240cm3 S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3 Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Đs: V = 0,4 m3 Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt tích khối hộp Đs: V = 5; 10; 13 Tính thể 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' Lời giải: Ta có A 'A (ABC) A 'A AB& AB hình chiếu A'B đáy ABC Vậy góc[A 'B,(ABC)] ABA ' 60o B' C A 60o ABA ' AA ' AB.tan 600 a a2 SABC = BA.BC 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = B Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ A' Lời giải: C' ABC AB AC.tan60o a Ta có: AB AC;AB AA' AB (AA'C'C) B' nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o 30o AC'B AC' AB 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' A a o 60 C B AA'C' AA' AC'2 A'C'2 2a 2 ABC nửa tam giác nên SABC a 3 Vậy V = a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Giải: B' C' Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: A' D' DD' (ABCD) DD' BD BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 300 C D o 30 A a B BDD' DD' BD.tan 300 Vậy V = SABCD.DD' = a a S = 4S 4a ADD'A' = 3 Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp A' a2 ABD cạnh a SABD a SABCD 2SABD ABB' vuông tạiB BB' ABt an30o a 3a3 Vậy V B.h SABCD BB' D' o 30 A Giải C' B' C B 60 o a D Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ a3 16 ĐS: V Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ a3 ĐS: V Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a (BCC'B') góc 30o ĐS: AB' a ; V Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ biết AB' hợp với mặt bên a3 Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng A biết AC = a ACB 60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' ĐS: V a 3a ,S= Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 32a ĐS: V Tính thể tích lăng trụ Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o Tính thể tích khối hộp chữ nhật a3 Đs: V Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o Đs:1) V 2a ;2) a 3 ;3) 4a 3 V V 9 Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o Đs: 1)V = a 3 2)V = a 16 Bài 9: Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề 60o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = a3 S = 6a2 Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c BD' = AC' = CA' = a b c2 1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' hộp chữ nhật 2) Gọi x,y,z góc hợp đường chéo mặt qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh sin x sin y sin z 1 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ Lời giải: A' C' Ta có A 'A (ABC)& BC AB BC A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60o B' A C 60o B ABA ' AA ' AB.tan 600 a a2 SABC = BA.BC 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Giải: ABC AI BC mà AA' (ABC) nên A'I BC (đl C' A' ) 'IA = 30o Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A 2x x Ta có 2 AI x A' AI : A' I AI : cos 30 2 x 3 Giả sử BI = x AI B' A A’A = AI.tan 300 = 30o C x 3 x 3 x 2 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 B x I Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = Do VABC.A’B’C’ = Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật 10 Chun đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ Đs: a3 V Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bêb BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 3a 3 Đs: V 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O 1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' a 2) 3a 3 V Đs: 1) S Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ a3 2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1) 30o 2) V Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o Đs: V 27a Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 60o 1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' a 2 S a 2;S a Đs: 2) ACC'A' 3) V BDD'B' 3) Tính thể tích hộp Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60o chân đường vng góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a 1)Tìm góc hợp cạnh bên đáy 2)Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp 3a &S a 15 Đs: 1) 60o 2) V LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vng góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp A a_ C B / / \ S Lời giải: Ta có (ABC) (SBC) AC (SBC) (ASC) (SBC) a2 a3 a 12 Do V SSBC AC 14 Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh mặt bên tam giác vng 2)Tính thể tích hình chóp Lời giải: S 1) SA (ABC) SA AB &SA AC mà BC AB BC SB ( đl ) Vậy mặt bên chóp tam giác vng 2) Ta có SA (ABC) AB hình chiếu SB (ABC) Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB 60o C a A ABC vuông cân nên BA = BC = 60o a2 SABC = BA.BC a a 2 1 a a a3 Vậy V SABC SA 34 24 B SAB SA AB.t an60o Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC S nên AM BC SA BC (đl3 ) Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60o Ta có V = C A 60 o a M B 1 B.h SABC SA 3 3a SAM SA AM tan 60o 1 a Vậy V = B.h SABC SA 3 Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) 15 Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Lời giải: 1)Ta có SA (ABC) CD AD CD SD ( đl ).(1) Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o S H 60 o A a B D C SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vậy V SABCD SA a2 a 3 2) Ta dựng AH SD ,vì CD (SAD) (do (1) ) nên CD AH AH (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) 1 1 2 2 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vậy AH = SAD Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V = a3 Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30 o Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V h3 3 Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng A SB vng góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC) góc 60 o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp a3 27 Đs: V Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD (ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm 1) Tính thể tích ABCD Đs: V = cm3 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) 12 34 Đs: d = Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a , góc BAC 120o , biết SA (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp SABC a3 Đs: V Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vng biết SA (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp a3 48 Đs: V Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết SA (ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3 Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60 o SA (ABCD) ,biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a Tính thể tích khối chóp SABCD a3 Đs: V 16 Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o a3 Đs: V Tính thể thích khối chóp SABCD Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCDmột góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD 3R3 Đs: V 2) Dạng : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: 1) Gọi H trung điểm AB S SAB SH AB mà (SAB) (ABCD) SH (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp D A 2) Ta có tam giác SAB nên SA = suy V SABCD SH H B a a3 a C Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC) (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải: A Gọi H trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH (BCD) , mà (ABC) (BCD) AH (BCD) Ta có AH HD AH = AD.tan60o = a a B H C a 3 BCD BC = 2HD = 2a suy 1 a3 V = SBCD AH BC.HD.AH 3 & HD = AD.cot60o = 60 o D Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC 17 Chun đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Lời giải: a) Kẽ SH BC mp(SAC) mp(ABC) nên SH mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC SI AB, SJ BC, theo giả thiết SIH SJH 45o S Ta có: SHI SHJ HI HJ nên BH đường phân giác ABC suy H trung điểm AC H A 45 C I b) HI = HJ = SH = a VSABC= a3 S ABC SH 12 J B Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) 1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC a3 24 Đs: V 2) Tính thể tích khối chóp SABC Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 45o Tính thể tích a3 Đs: V 12 SABC Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90o ;ABC 30o ; SBC tam giác cạnh a (SAB) (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC a2 24 Đs: V Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC) (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V 4h3 Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với biết AD = a.Tính thể tích tứ diện a3 36 Đs: V Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V 4h3 Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD a3 Đs: V Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD 8a3 Đs: V 18 Chuyên đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a tam giác SAD vuông cân S , nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD a3 12 Đs: V Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD a3 Đs: V 3) Dạng : Khối chóp Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC Lời giải: Dựng SO (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB S = OC Vậy O tâm tam giác ABC 2a Ta có tam giác ABC nên AO = C A a O 2a a AH 3 11a2 SAO SO2 SA OA a 11 a3 11 SO Vậy V SABC SO 12 H B Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: Dựng SO (ABCD) S Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD ABCD hình thoi có đường trịn gnoại tiếp nên ABCD hình vng Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên C D O A a B a 2 V 1 S ABCD SO 1 a a a 3 ASC vuông S OS a3 Vậy V Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC 19 Chun đề: Luyện tập Hình Học Khơng Gian Lời giải: a) Gọi O tâm ABC DO ( ABC ) D V S ABC DO a2 a , OC CI S ABC 3 M A C O I DOC vng có : DO DC OC H a a a a3 V 12 a b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH B a MH DO 1 a a a3 VMABC S ABC MH 3 24 a3 24 Vậy V Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình 3a3 16 Đs: V chóp Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o 1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC 2) Tính thể tích hình chóp SABC a a3 Đs: V Đs: SH = Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC a3 24 Đs: V Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V h3 3 Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V h3 Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ASB 60o 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp 2) Tính thể tích hình chóp a2 3 a Đs: V Đs: S 20