Chuyen deLuyen tap Hinh Hoc Khong Gian

+ Học sinh không nhớ tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến? + Học sinh không xác định được góc hợp bởi mặt bên chóp với đáy chóp. 2) Tính thể tích khối chóp SABC. Tính thể [r]

(1)

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HỘI ĐỒNG BỘ MƠN TỐN TỈNH ĐỒNG THÁP GV: VÕ THÀNH NHUNG A Đặt vấn đề :

Mỗi mơn học chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh

Trong q trình giảng dạy, giáo viên ln phải yêu cầu học sinh nắm chuẩn kiến thức bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn

Thực tế dạy học cho thấy có nhiều vấn đề cần giải cho phân mơn tốn học phổ thơng,trong vấn đề giảng dạy kỹ giải tốn hình học khơng gian cổ điển thầy trị cịn nhiều điều cần nghiên cứu Chương Khối đa diện chương trình hình học khối 12 nội dung nói trừu tượng, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn việc vẽ nhìn hình khơng gian, khả vận dụng kiến thức có để giải tập tốn nhiều hạn chế …

Xuất phát từ thực tế qua nhiều năm giảng dạy mơn hình học khơng gian cổ điển tương đối có kết , xin đề nghị phương pháp để dạy luyện tập tập chương khối đa diện tiết tập tự chọn lớp hay tăng tiết lớp (trên sở chuẩn kiến thức tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỹ giải toán khối đa diện giúp đối tượng học sinh ,nhất học sinh trung bình - yếu lĩnh hội kiến thức

I.Cơ sở lí luận :

Đề tài nghiên cứu thực thực tế kinh nghiệm giảng dạy tiết dạy luyện tập khối đa diện mà trọng tâm thể tích khối đa diện

Khi giải tập tốn, học sinh phải trang bị kiến thức hình học lớp ,các kỹ phân tích đề hình vẽ khơng gian để từ suy luận quan hệ kiến thức củ kiến thức mới, toán làm tốn sẻ làm , hình thành phương pháp giải toán bền vững sáng tạo

Các tiết dạy tập chương phải thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó nhằm gây hứng thú cho học sinh , kích thích óc tìm tịi , sáng tạo học sinh

Hệ thống tập phải giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất , phát triển khả suy luận, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt sáng tạo vào giải thuật tốn Từ học sinh có hứng thú tạo động học tập tốt mơn hình học không gian

II. Cơ sở thực tiển :

Trong q trình giảng dạy hình học khơng gian, thấy đa số học sinh lúng túng, kỹ giải tốn hình khơng gian cịn yếu ,thậm chí khơng vẽ hình đơn giản Bên cạnh tập sách giáo khoa chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12

đưa chưa cân đối, tập bản, đa phần tập khó, đặc biệt phức tạp học sinh trung bình ,yếu dẫn đến học sinh có tư tưởng chán nản , e sợ khơng học mơn hình học khơng gian

(2)

phương pháp, kĩ năng, kỹ xảo giải tốn hình khơng gian lĩnh hội kiến thức bền vững , từ đạt kết cao kỳ thi

 Mục tiêu :

Giúp học sinh nắm kiến thức chương, phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, đa diện Tất học sinh rèn kỹ tính tốn đại lượng hình học, tính thể tích khối đa diện tương đối đơn giản Trên sở học sinh nắm kiến thức rèn kỷ giải tập khó khối đa diện

 Thời gian thực hiện:

Các tiết tập theo phân phối chương trình tự chọn ( hay tiết bồi dưỡng, phụ đạo , )

Đối tượng: học sinh khối 12 trường có đầu vào chất lượng trung bình - yếu, học theo chương trình chuẩn hay nâng cao

 Các chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh:

+ Phần lớn học sinh không nhớ hệ thức tam giác tứ giác, + Các kiến thức hình học khơng gian lớp 11 cịn hạn chế

+ Kỹ tư phân tích giã thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian hình học phẳng cịn q yếu

+ Kỹ vẽ hình khơng gian

III Phương pháp luyện tập tổng quát mơn hình học khơng gian cổ điển : 1 Mục đích u cầu:

+ Ơn tập cho học sinh số kiến thức cần thiết: hệ thức tam giác thường, tam giác vuông, kiến thức tam giác đều, cân, hình vng, chữ nhật … + Ôn tập cho học sinh số kiến thức trọng tâm quan hệ song song, vng góc đường thẳng mặt phẳng, góc đường thẳng, mặt phẳng học lớp 11

+ Hệ thống tập phân loại theo khối đa diên dạng thông dụng kỳ thi : tập soạn từ dễ đến khó, khai thác triệt để tinh giản tập sách giáo khoa kết hợp soạn thêm tập cách xếp lại theo dạng từ đơn giản đến phức tạp sở yêu cầu chuẩn kiến thức

+ Bài tập chương sách giáo khoa khó, chọn tập sách giáo khoa có ta cần thay đổi số giả thiết :về độ dài cạnh,về góc đường thẳng với đường thẳng ,với mặt phẳng góc mặt phẳng với mặt phẳng để học sinh dễ tính tốn, dễ tiếp thu; tập khó phải bổ sung thêm câu hỏi hướng dẩn để giảm bớt độ tư phức tạp toán soạn lại đơn giản theo yêu cầu tập

+ Trước dạy dạng tập, giao tập nhà cho học sinh chuẩn bị trước từ đơn giản đến phức tạp có mục đích cố trọng tâm học

+ Dạy xong dạng tập ,giáo viên giao tập vừa sức, tương tự nhà cho học sinh tự rèn luyện kỹ xây dựng hình khơng gian giải thuật toán học

Bằng cách học sinh yếu, trung bình tiếp thu yêu cầu chương, học sinh nâng cao kỷ giải tốn, có hứng thú mơn học hình khơng gian cổ điển đạt kết tốt kỳ thi cuối năm

2 Phương pháp luyện tập tập hình học khơng gian :

 Giáo viên dự đốn chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh

tập, để từ có bước ơn tập kiến thức cần thiết cho học sinh trước giáo viên hướng dẩn học sinh thực giải luyện tập

(3)

c b

a M

H C

B

A

 Trên sở hình vẽ,giáo viên hướng dẩn ,luyện tập học sinh phân tích yêu cầu

của đề yêu cầu nhỏ hơn,đơn giản phải thực giải thuật theo thứ tự hợp suy luận logic hình vẽ

 Sau thực xong tập, giáo viên phải củng cố kiến thức toán học

quan trọng tập yêu cầu học sinh khắc sâu để vận dụng cho tập khác

B Nội dung thực hiện:

I.Ôn tập kiến thức :

ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 1 Hệ thức lượng tam giác vng : cho ABCvng A ta có :

a) Định lý Pitago : BC2 AB2 AC2 b) BA2=BH BC;CA2=CH CB

c) AB AC = BC AH

d)

AH2= AB2+

1 AC2 e) BC = 2AM

f) sin , os , tan ,cot

b c b c

B c B B B

a a c b

   

g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = sin cos

b b

B  C, b = c tanB = c.cot C

2.Hệ thức lượng tam giác thường:

* Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

* Định lý hàm số Sin: sin sin sin

a b c

R A  B  C  3 Các cơng thức tính diện tích.

a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:

1 S 

a.ha =

1

sin ( )( )( )

2

a b c

a b C p r p p a p b p c R

     

với a b c p  

Đặc biệt :*ABC vuông A :

1 .

2

S  AB AC

,* ABC cạnh a:

2 3

a

S 

b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S =

1

2(chéo dài x chéo ngắn)

d/ Diện tích hình thang : S 

(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

(4)

ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG

§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa:

Đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung

a/ /(P) a (P)  

a

(P)

II.Các định lý:

ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P)

d (P)

d / /a d / /(P) a (P)

  

 

  

d a (P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a

a / /(P)

a (Q) d / /a

(P) (Q) d

 

 



  



d a (Q)

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng

(P) (Q) d

(P) / /a d / /a

(Q) / /a

  



 

 

a d

Q P

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa:

Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung

(P)/ /(Q) (P) (Q)  

Q P

II.Các định lý:

ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với

a,b (P)

a b I (P) / /(Q)

a / /(Q),b / /(Q)

  

  

  

I b

a

(5)

ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng

(P) / /(Q) a / /(Q) a (P)



 

 

a

Q P

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song

(P) / /(Q)

(R) (P) a a / /b

(R) (Q) b

 

  



  



b a R

Q P

B.QUAN HỆ VNG GĨC

§1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa:

Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng

a mp(P) a c, c (P)    

P c a

II Các định lý:

ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P)

d a ,d b

a ,b mp(P) d mp(P) a,b caét

  



  

  

d

a b P

ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P)

a mp(P),b mp(P) b a b a'

 

  

a' a

b P

§2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa :

Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900.

(6)

ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với a mp(P) mp(Q) mp(P) a mp(Q)        Q P a

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q)

(P) (Q)

(P) (Q) d a (Q) a (P),a d

            d Q P a

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P)

(P) (Q) A (P) a (P) A a a (Q)              A Q P a

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba

(P) (Q) a

(P) (R) a (R) (Q) (R)            a R Q P §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường

thẳng , đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

a H

O

H O

P

2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song:

Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

a

H O

(7)

3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song:

là khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

d((P);(Q)) = OH

H O

Q P

4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:

là độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

d(a;b) = AB B

A

b a

§4.GĨC

1 Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b

b' b

a' a

2 Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P)

là góc a hình chiếu a’ mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900.

P a'

a

3 Góc hai mặt phẳng

là góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng

Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm

b a

Q P

P Q

a b

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’)

S' Scos 

trong là góc hai mặt phẳng

(P),(P’)

 C

B A

S

ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N

(8)

B

h

a b c

a a a

B h

1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h

với

B : diện tích đáy h : chiều cao

  

a)Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c

với a,b,c ba kích thước b)Thể tích khối lập phương:

V = a3

với a độ dài cạnh

2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V=

1 3Bh

với

B : diện tích đáy h : chiều cao

  

3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:

SABC SA ' B' C'

V SA SB SC

V SA ' SB' SC'

C'

B' A'

C B

A

S

4 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:  

h

V B B' BB'

3

  

với

B, B' : diện tích hai đáy h : chiều cao

 



B A

C

A' B'

C'

Chú ý:

1/ Đường chéo hình vuông cạnh a d = a 2,

Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a 3,

Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a2 b2c2 ,

2/ Đường cao tam giác cạnh a h =

3

a

(9)

a 3a

C' B'

A'

C B

A

II/ Bài tập:

Nội dung

Bài tập soạn tiết dạy phân loại theo dạng thông dụng kỳ thi tốt nghiệp THPT sở chuẩn kiến thức học sinh trung bình yếu, từ dễ đến khó để đạt yêu cầu thi tốt nghiệp THPT

LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

1) Dạng : Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ

Hoạt động giáo viên:

 Gv: Dự đốn chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh để ôn tập:

+ Học sinh không vẽ lăng trụ đứng tam giác

+ Học sinh không xác định cạnh tam giác vuông cân

+ Học sinh dùng định lí Pythagor để tính chiềo cao lăng trụ

 Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề để dựng hình

+ Dựng tam giác vng đáy ABC hay A'B'C' + Dựng cạnh bên lăng trụ đứng

 Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ.

+ Phân tích từ V = B.h để tìm B h hình đối tượng ?

+Tìm diện tích đáy ABC phải dùng cơng thức ? tìm cạnh ? ? +Tìm chiều cao AA' lăng trụ phải dùng tam giác định lí ?

a

Lời giải: Ta có

ABC vuông cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng  AA' AB

2 2

AA'B AA' A'B AB 8a  

AA' 2a

 

Vậy V = B.h = SABC AA' =

3

a

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ

 Gv: Dự đốn chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh để ôn tập:

+ Học sinh không vẽ lăng trụ tứ giác

+ Học sinh không xác định tam giác BDD' vuông D

(10)

+ Dựng tứ giác ABCD hay A'B'C'D' + Dựng cạnh bên lăng trụ đứng

+ Học sinh dựng đường chéo BD' lăng trụ

+ Phân tích V= B.h để có h =4a tìm B hình diên tích đối tượng ? +Tìm diện tích đáy ABCD phải tìm cạnh ? ?

+Tìm BD dùng tam giác nào? ? Suy cạnh hình vng ABCD ?

5a 4a

D' C'

B' A'

D C

B A

Lời giải:

ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD 3a

ABCD hình vuông

3a AB

2

 

Suy B = SABCD =

2

9a

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Hoạt động giáo viên:

 Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa nhận thứccủa học sinh:

+ Học sinh không vẽ lăng trụ tam giác đều.

+ Học sinh không xác định đường cao diện tích tam giác + Học sinh xác định I chân đường cao để vận dụng định lý đường vng góc

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' cạnh bên lăng trụ đứng + Dựng tam giác A'BC đường cao A'I , AI Tại ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diên tích B = SABC cơng thức ?

(11)

A' D

B' C'

A'

C D'

C'

B' B D'

A

A' C'

B'

A

B

C I

Lời giải:

Gọi I trung điểm BC Ta có ABC nên

AB

3 &

AI AI BC

A 'I BC(dl3 )



 

  

A'BC A'BC

2S

S BC.A 'I A 'I

2 BC

   

AA ' (ABC)  AA ' AI . 2 A 'AI AA ' A 'I  AI 2



Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'=

Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp

 Gv: Dự đốn chướng ngại văn hóa nhận thứccủa học sinh:

+ Học sinh khơng vẽ bìa cịn lại sau cắt góc bìa + Học sinh khơng dựng hình hộp theo đề u cầu

+ Học sinh không xác định đường cao diện tích đáy hộp

 Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề để dựng hình:

+ Dựng bìa đường cắt song song cạnh hình vng + Dựng hộp cách gấp bìa theo đường cắt Tại ?

 Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ:

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm h = AA' ? Tại ?

+ Tìm AB ? Suy B = SABCD = AB2 ?

D'

A'

C'

B' D

A

C

B

Giải

Theo đề bài, ta có

AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp

V = SABCD.h = 4800cm3

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ.

Tính thể tích hình hộp Hoạt động giáo viên:

(12)

60

D' C'

B' A'

D C

B A

+ Học sinh khơng vẽ hình hộp đứng có đáy hình thoi. + Học sinh khơng xác định tam giác ABD

+ Học sinh khơng tính diện tích hình thoi + Học sinh khơng tính AC để suy BD'

+ Học sinh dùng định lý Pythagor vào tam giác BDD' để tính DD'

 Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề để dựng hình :

+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' dựng cạnh bên hình hộp + Dựng chéo lớn AC ABCD ? chéo nhỏ hình hộp?

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B hình thoi ABCD cách ?

+ Tìm h = DD' tam giác vng ? định lí ? Lời giải:

Ta có tam giác ABD nên : BD = a SABCD = 2SABD =

2 a

2

Theo đề BD' = AC = a

2 a

2 

2

DD'B DD' BD' BD a 

Vậy V = SABCD.DD' =

3

a Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ bằng a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ

ĐS:

3

a V

4 

; S = 3a2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết rằng BD' a 6 Tính thể tích lăng trụ.

Đs: V = 2a3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ

Đs: V = 240cm3 S = 248cm2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ

Đs: V = 1080 cm3

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ

Đs: V = 24a3

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ.

(13)

o 60

C'

B' A'

C

B A

Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ

Đs: V = 2888

Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m2 Tính thể tích khối lập

phương Đs: V = m3

Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài một đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Đs: V = 0,4 m3

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt là

5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp Đs: V = 6

2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600

Tính thể tích lăng trụ Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh không dựng khối lăng trụ theo đề cho

+ Học sinh cạnh bên lăng trụ đứng vng góc đáy để suy tam giác vuông

+ Học sinh không xác định góc đường thẳng mặt phẳng

+ Học sinh hệ thức lượng giác tam giác vng để tìm độ dài cạnh tam giác

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' dựng cạnh bên hình lăng trụ + Dựng A'B ?

+ Tìm hình chiếu A'B đáy ABC Suy góc [A'B,(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ?

+ Tìm h = AA' tam giác vng ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải:

Ta có A'A (ABC)  A'A AB& AB hình chiếu A'B đáy ABC

Vậy góc[A'B,(ABC)] ABA' 60  o

0

ABA' AA' AB.tan 60 a 

SABC =

2

1BA.BC a

2 2

Vậy V = SABC.AA' =

3

(14)

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300

Tính AC' thể tích lăng trụ Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng + Học sinh khơng xác định góc đường thẳng mặt phẳng

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' dựng cạnh bên hình lăng trụ đứng + Dựng BC' ?

+ Tìm hình chiếu BC' (AA'C'C) Suy góc [BC',(AA'C'C)] = ? + Tìm AC' tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B tam giác ABC cơng thức ?

+ Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ?

a o 60

o 30

C'

B' A'

C B

A

Lời giải: ABC AB AC.tan60 o a 3.

Ta có:

AB AC;AB AA'   AB (AA'C'C) nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o

o

AB

AC'B AC' 3a

tan30

  



V =B.h = SABC.AA'

2

AA'C' AA' AC' A'C' 2a



ABC

 nửa tam giác nên

2 ABC a

S  2

Vậy V = a 63

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300

Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Hoạt động giáo viên:

(15)

+ Dựng hình vng ABCD hay A'B'C'D' cạnh bên hình lăng trụ + Dựng BD' BD ?

+ Tìm hình chiếu BD' đáy ABCD Suy góc [BD',(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B hình vng ABCD cơng thức ?

+ Tìm h = DD' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ?

o 30

a D'

C' A'

B'

D

C B

A

Giải:

Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: DD' (ABCD)  DD' BD BD hình chiếu BD' ABCD

Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 30 0 a

BDD' DD' BD.tan 30

3

  



Vậy V = SABCD.DD' =

3

a

3 S = 4SADD'A' =

2

4a Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o

Tính thể tích hình hộp Hoạt động giáo viên:

Gv: Dự đốn chướng ngại văn hóa nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không dựng khối lăng trụ theo đề cho

+ Học sinh khơng biết cạnh bên vng góc đáy để suy tam giác vuông + Học sinh không xác định góc đường thẳng mặt phẳng

+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' cạnh bên hình lăng trụ đứng + Dựng AB' ?

+ Tìm hình chiếu AB' (ABCD) Suy góc [AB',(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Dựng BD Suy tam giác ABD có hình tính ? Suy diện tích B ABCD cách nào?

(16)

a o 30

o 60

D' C' B'

A'

D

C B

A

Giải

ABD

 đều cạnh a

2 ABD a

S 4

 

2 ABCD ABD a

S 2S 2

  

ABB'

 vuông tạiB BB' ABtan30 o a Vậy

3

ABCD 3a

V B.h S  BB' 2

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ

ĐS:

3

a V

16  Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng B biết

BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ.

ĐS:

3

a V

2 

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o

Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ ĐS: AB' a 3 ;

3 a V

2  Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông A biết AC = a ACB 60 obiết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o

Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' ĐS: V a , S =

2

3a

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300

Tính thể tích lăng trụ ĐS:

3

32a V

9 

Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o

Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs:

3

a V

8 

Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi:

1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o

3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o.

Đs:1)

3

2a V

9 

;2)

3

a V

4 

;3)

3

4a V

(17)

BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o

2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o Đs: 1)V =

3

a

16 2)V =

3

a

Bài 9: Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ một đỉnh mặt bên kề 60o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng

trụ Đs: V = a3 S = 6a2

Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c BD' = AC' = CA' = a2b2c2

1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' hộp chữ nhật

2) Gọi x,y,z góc hợp đường chéo mặt qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh sin x sin y sin z 12   

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ.

+ Học sinh cạnh bên lăng trụ đứng vng góc đáy để suy tam giác vuông

+ Học sinh không xác định góc mặt phẳng

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' cạnh bên hình lăng trụ + Dựng mặt (A'BC) ?

+ Nhận xét AB A'B có vng góc với BC khơng ? sao? + Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B tam giác ABC cơng thức ?

(18)

C'

B' A'

C

B A

o 60

Lời giải:

Ta có A'A (ABC)& BC AB   BC A'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA' 60  o

0

ABA' AA' AB.tan 60 a 

SABC =

2

1BA.BC a

2 2

Vậy V = SABC.AA' =

3

a

Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC

Tính thể tích khối lăng trụ Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh hệ thức lượng giác tam giác vuông

+ Học sinh cách tạo phương trình đại số để tìm độ dài cạnh

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' cạnh bên hình lăng trụ + Dựng mặt (A'BC) ?

+ Nhận xét A'BC có hình tính ? Suy I trung điểm BC cho ta vị trí AI A'I với BC? Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Đặt BC = 2x Suy A'I tam giác ?

+ Từ diện tích tam giá A"BC suy x cơng thức nào?

+ Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ?

x o 30

I C'

B' A'

C

B A

Giải:ABC  AI BC mà AA'(ABC) nên A'IBC(đl 3)

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =A'IA = 30o

Giả sử BI = x 3

2

x x

AI   

.Ta có x x

AI AI

I A AI

A

3 3 30 cos : '

:

'

 



A’A = AI.tan 300 = x x

3

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x =  x 2

(19)

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật

+ Học sinh không áp dụng hệ thức lượng giác tam giác vuông

+ Dựng hình vng ABCD hay A'B'C'D' cạnh bên lăng trụ đứng + Dựng mặt (BDC') ?

+ Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B ABCD cơng thức ?

+ Tìm h = CC' tam giác vng ? dùng hệ thức lượng giác ?

a

0

60

O

A' D'

B' C'

C

A D

B

Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vng nênOC BD

CC'(ABCD) nên OC'BD (đl 3) Vậy

góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o

Ta có V = B.h = SABCD.CC'

ABCD hình vng nên SABCD = a2

OCC'

 vuông nên CC' = OC.tan60o =

a

Vậy V =

3

a

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD)

góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật

+ Học sinh khơng xác định góc mặt phẳng góc đường thẳng mặt phẳng

+ Học sinh không áp dụng hệ thức lượng giác tam giác vuông

+ Dựng hình chữ nhật ABCD hay A'B'C'D' cạnh bên hình hộp + Dựng mặt (A'BC) đường chéo A'C ?

+ Nhận xét AB A'B có vng góc với BC khơng ? sao? + Suy góc[(A'BC);(ABCD)] = ?

(20)

+ Tìm AB AC tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác ? + Tìm h = AA' tam giác vng ? dùng hệ thức lượng giác ?

2a

o 30 o

60

D' C'

B'

A'

D C

B

A

Ta có AA' (ABCD) AC hình chiếu A'C (ABCD)

Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A'CA 30 o BC AB  BC A'B (đl 3)

Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = A'BA 60 o A 'AC

 AC = AA'.cot30o = 2a

A 'AB

 AB = AA'.cot60o =

2a 3

2 4a

ABC BC AC AB

3

   



Vậy V = AB.BC.AA' =

3

16a Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ

nhật Đs:

3

2a V

3 

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh bên bằng a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ.

Đs: V = 3a3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ.

Đs: V a 2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a BAC 120 o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ.

Đs:

3

a V

8 

Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ.

Đs:

3

h V

4 

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o

2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o.

3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ Đs: 1) V a 3 ; 2) V =

3

a

(21)

1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o

2) BD' hợp với đáy ABCD góc 600

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a

Đs: 1) V = 16a3 2) V = 12a3 3) V =

3

16a Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o

2)Tam giác BDC' tam giác 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450

Đs: 1)

3

a

V

; 2) V = a3 ; V = a 23

Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o

2)Khoảng cách từ C đến (BDC') a 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450

Đs: 1)

3

3a V

4



; 2) V =

3

3a

8 ; V =

3

3a Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây:

1) AB = a

2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o

3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300

Đs: 1) V 8a 2 ; 2) V = 5a3 11 ; V = 16a3

4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o

Tính thể tích lăng trụ Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh khơng xác định góc cạnh bên mặt phẳng đáy + Học sinh hệ thức lượng giác tam giác vng để tìm

chiều cao lăng trụ

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' cạnh bên hình lăng trụ xiên + Dựng đường cao CC'

(22)

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ?

+ Tìm h = CC' tam giác vng ? dùng hệ thức lượng giác ?

H o 60 a

B'

A' C'

C B

A

Lời giải:

Ta có C'H (ABC)  CH hình chiếu CC' (ABC)

Vậy góc[CC',(ABC)] C'CH 60  o

0 3a

CHC' C'H CC'.sin 60

  



SABC =

2 3

a 

.Vậy V = SABC.C'H =

3

3a Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60

1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ

+ Học sinh không xác định góc cạnh bên mặt phẳng đáy

+ Học sinh hệ thức lượng giác tam giác vng để tìm độ dài chiều cao lăng trụ

+ Dựng tam giác ABC tâm O

+ Dựng đường cao OA' Từ dựng cạnh bên lăng trụ

+ Xác định góc cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu AA' (ABC) gì? Suy góc[AA'';(ABC)] = ?

+Chứng minh BC AA' cách Chứng minh BC  mặt phẳng ? Tứ BC

CC' khơng ? sao? Vậy BB'C'C hình gì?

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ?

(23)

H O

o 60

C'

A

a

B' A'

C

B

Lời giải:

1) Ta có A'O (ABC)  OA hình chiếu AA' (ABC)

Vậy góc[AA',(ABC)] OAA' 60  o Ta có BB'CC' hình bình hành ( mặt bên lăng trụ)

AO BC trung điểm H BC nên BC A'H (đl )

BC (AA 'H) BC AA'

    mà AA'//BB' nên BC BB' Vậy BB'CC' hình chữ nhật.

2) ABC nên

2 a a

AO AH

3 3

  

o AOA' A'O AO t an60 a 

Vậy V = SABC.A'O =

3

a

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = 3AD = 7.Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 .Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên 1.

+ Học sinh khơng vẽ hộp có đáy hình chữ nhật

+ Học sinh không xác định góc mặt bên với đáy hộp

+ Học sinh khơng tạo phương trình đại số có ẩn số chiều cao hộp

+ Dựng hình chữ nhật ABCD cạnh bên hình hộp

+ Xác định góc mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H HNAD

HMAB Suy góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B ABCD công thức ?

(24)

H N

M

D'

C'

B' A'

D

C

B A

Lời giải:

Kẻ A’H (ABCD),HM AB, HN  AD AD

N A AB M

A  

 ' , ' (đl 3)

 o  o

A'MH 45 ,A'NH 60

  

Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 =

2x

AN = HM

x N

A

AA    

3 '

'

2

Mà HM = x.cot 450 = x

Nghĩa x =

3

4

3

  

x x

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x

=

3

7  Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a 23

Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vng cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336

Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c vàBAD 30 o biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.

Đs: V =

abc

Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' =

2a

3 .Tính thể tích lăng trụ Đs:

3

a V

4 

Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có

hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bêb BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o

1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs:

3

3a V

8 

Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O

1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' Đs: 1)

2

a S

2 

2)

3

3a V

8 

Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a

(25)

2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1) 30o 2)

3 3

a V

8 

Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o

Đs:

3

27a V

4 

Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đơi tạo với góc 60o

1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B'

3) Tính thể tích hộp Đs: 2) SACC'A' a 2;S2 BDD'B'a2 3)

3

a V

2  Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc

A = 60o chân đường vng góc hạ từ B' xng ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy

biết BB' = a

1)Tìm góc hợp cạnh bên đáy

2)Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp Đs: 1) 60o 2)

3

2

3a

V &S a 15

 

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

1)Dạng : Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vng góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp

 Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh:

+ Học sinh mặt phẳng cắt vng góc mặt phẳng thứ ba giao tuyến vng góc mặt phẳng thứ ba

+ Học sinh khơng xác định AC vng góc với (SBC) + Học sinh khơng vẽ chóp có đáy SBC đỉnh A

+ Dựng tam giác ABC cạnh bên AC(ABC) ?

+ Phân tích V=

1

3B.h để tìm B h hình đối tượng ?

(26)

_

\ / / a

B

S C

A Lời giải:

Ta có

(ABC) (SBC) (ASC) (SBC)

    



  AC (SBC)

Do

2

SBC

1 a a

V S AC a

3 12

  

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o.

1) Chứng minh mặt bên tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp

+ Học sinh áp dụng định nghĩa đường thẳng vng góc mặt phẳng áp dụng định lý đường vng góc

+ Học sinh khơng biết tính cạnh góc vng tam giác vuông cân + Học sinh không xác định góc SB với đáy ABC

+ Học sinh khơng tính SA qua hệ thức lượng giác tam giác vuông

+ Dựng tam giác ABC cạnh bên SA(ABC) ?

+ Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao? + Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B ABC cơng thức ? Tính BA ? + Tìm h = SA qua tam giác cơng thức ?

a o 60 S

C

B A

Lời giải:

1) SA (ABC)  SA AB &SA AC  mà BC AB  BC SB ( đl )

Vậy mặt bên chóp tam giác vng 2) Ta cóSA (ABC)  AB hình chiếu SB (ABC)

Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB 60 o.

ABC

 vuông cân nên BA = BC =

a

SABC =

2

1BA.BC a

2 4

o a

SAB SA AB.t an60   2



Vậy

2

ABC

1 a a a

V3S SA3 2  24

(27)

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o.

Tính thể tích hình chóp Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh áp dụng định nghĩa đường thẳng vng góc mặt phẳng áp dụng định lý đường vng góc

+ Học sinh khơng xác định góc (SBC) với đáy (ABC) + Học sinh khơng biết tính đường cao tam giác

+ Học sinh khơng tính SA qua hệ thức lượng giác tam giác vuông

+ Dựng tam giác ABC cạnh bên SA(ABC) ?

+ Xác định góc[(SBC),(ABC)] = ? Tại sao? + Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B ABC cơng thức ? + Tìm h = SA qua tam giác cơng thức ?

a

o 60

M C

B A

S Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác

ABC nên AM BC SABC (đl3)

Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60 o. Ta có V = ABC

1B.h 1S .SA

3 3

o 3a

SAM SA AMtan60 2



Vậy V =

3 ABC

1B.h 1S .SA a

3 3 

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o.

1) Tính thể tích hình chóp SABCD

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Hoạt động giáo viên:

 Gv: Dự đốn chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh:

+ Học sinh áp dụng định lý đường vng góc

+ Học sinh khơng biết tính cạnh góc vng tam giác vng cân + Học sinh khơng xác định góc (SCD) với đáy ABCD

+ Học sinh khơng tính SA qua hệ thức lượng giác tam giác vuông +Học sinh không xác định khoảng cách từ A đến (SCD)

+ Dựng tứ giác ABCD cạnh bên SA(ABCD) ?

(28)

+ Xác định góc[(SCD),(ABCD)] = ? Tại sao? + Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? + Tìm h = SA qua tam giác công thức ?

H

a

D

C B

A S

o 60

Lời giải: 1)Ta có SA (ABC)

CD AD  CD SD ( đl ).(1)

Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o

SAD

 vuông nên SA = AD.tan60o = a

Vậy

2

ABCD a

1 a

V S SA a

3 3

  

2) Ta dựng AH SD,vì CD(SAD) (do (1) )

nên CD AH AH (SCD)

Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD)

2 2 2

1 1 1

SAD

AH SA AD 3a a 3a

     



Vậy AH =

a

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o

Tính thể tích hình chóp Đs: V =

3

a

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC

Đs:

3

h

V 3

Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng A SB vng góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC) góc 60o Chứng minh

rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp

Đs:

3

a

V 27

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD(ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm,

BC = cm

1) Tính thể tích ABCD Đs: V = cm3

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs: d =

12 34

Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a , góc

 o

BAC 120 , biết SA (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối

chóp SABC Đs:

3

(29)

Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vng biết

SA (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp

Đs:

3

a

V 48

Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết SA (ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a

Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3

Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60o SA (ABCD) ,biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.

Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:

3

a

V 4

Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o

Tính thể thích khối chóp SABCD Đs:

3

a

V 2

Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:

3

3R

V 4

2) Dạng : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a

Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB

2) Tính thể tích khối chóp SABCD Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh khơng nhớ tính chất mặt phẳng vng góc theo giao tuyến + Học sinh khơng xác định đường cao chóp

+ Dựng tứ giác ABCD mặtbên (SAB)(ABCD) ?

+ H trung điểm AB Chứng minh SH (ABCD) ?

+ Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? + Tìm h = SH qua tam giác cơng thức ?

Lời giải:

1) Gọi H trung điểm AB

SAB

  SH AB

(30)

a H

D

C B

A S

2) Ta có tam giác SAB nên SA =

a

suy

3 ABCD

1 a

V3S SH 6

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC)(BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o

Tính thể tích tứ diện ABCD Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh khơng nhớ tính chất mặt phẳng vng góc theo giao tuyến + Học sinh không xác định góc hợp đường thẳng với mặt phẳng + Học sinh quên tính chất đường cao tam giác tam giác cân

+ Dựng tam giác ABC BDC dựa vào (ABC)(BCD) ?

+ Xác định góc[AD,(BCD)] = ? Tìm hình chiếucủa AD (BCD) ? + Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B BCD cơng thức ? + Tìm h = AH qua tam giác cơng thức ?

o 60 a

H D

C

B

A Lời giải:

Gọi H trung điểm BC

Ta có tam giác ABC nên AH(BCD) , mà

(ABC)  (BCD)  AH (BCD).

Ta có AHHD AH = AD.tan60o =a

& HD = AD.cot60o =

a 3

BCD

 BC = 2HD =

2a

3 suy ra

V =

3 BCD

1S .AH 1 BC.HD.AH a

3 3 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có

BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450.

(31)

+ Học sinh khơng nhớ tính chất mặt phẳng vng góc theo giao tuyến? + Học sinh khơng xác định góc hợp mặt bên chóp với đáy chóp + Học sinh quên điều kiện tam giác tính chất chân đường phân giác tam giác ?

+ Dựng tam giác ABC SAC dựa vào (SAC)(ABC) ?

+ Xác định góc[(SAB),(ABC)] = ? góc[(SBC),(ABC)] = ?

+ So sánh tam giác SHI SHJ cho ? Suy AH tam giác ABC ? + Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B ABC cơng thức ? + Tìm h = SH qua tam giác tích chất ?

45

I

J H A

C

B

S Lời giải:

a) Kẽ SH BC mp(SAC)mp(ABC) nên SH

mp(ABC)

Gọi I, J hình chiếu H AB BC 

SIAB, SJBC, theo giả thiết SIH SJH 45  o

Ta có: SHI SHJ  HI HJ nên BH đường phân giác ABCừ suy H trung điểm AC

b) HI = HJ = SH =2

a

 VSABC=3 12

1 a3

SH SABC  Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC)

1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC 2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs:

3

a

V 24

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 45o Tính thể tích SABC Đs:

3

a V12

Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90 ;ABC 30 o   o; SBC tam giác cạnh a (SAB) (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs:

2

a

V 24

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC) (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính thể tích hình chóp

SABC Đs:

3

4h V

9

(32)

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với biết AD = a.Tính thể tích tứ diện Đs:

3

a

V 36

Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD,

1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:

3

4h

V 9

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể

tích hình chóp SABCD Đs:

3

a

V 4

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB 

(ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính thể tích

hình chóp SABCD Đs:

3

8a

V 9

Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a tam giác SAD vuông cân S , nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD Đs:

3

a

V 12

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:

3

a

V 2

3) Dạng : Khối chóp đều

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC

+ Học sinh quên điều kiện hai tam giác

+ Học sinh quên tính chất đoạn xiên hình chiếu đoạn xiên

+ Học sinh đa số qn tính chất chóp nên khơng dựng đường cao chóp

+ Dựng tam giác ABC , từ tâm O dựng SO  (ABC) Tại ?

+ So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC tích chất ? + Phân tích V=

1

(33)

a 2a

H O

C

B A

S

Lời giải:

Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC

suy OA = OB = OC

Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên

AO =

2AH a a

3 3 

2

2 2 11a

SAO SO SA OA

3

   



a 11 SO

3

 

.Vậy

3 ABC

1 a 11

V3S SO 12

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác

2) Tính thể tích khối chóp SABCD Hoạt động giáo viên

 Gv: Dự đốn chướng ngại văn hóa nhận thứccủa học sinh

+ Học sinh không chứng minh ABCD hình vng + Học sinh khơng tính đường cao SO

+ Dựng hình thoi ABCD từ câu hỏi 1, dựng SO (ABCD) Tại ?

+ Hình thoi ABCD có nội tiếp đường trịn khơng? Suy từ giả thiết? + Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? + Tìm h = SO qua tam giác định lí ?

a O

D C

B A

S

Lời giải:

Dựng SO (ABCD)

Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD ABCD là

hình thoi có đường trịn gnoại tiếp nên ABCD hình vng

Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2

nên ASCvuông S

2 a OS

 



3

1 2

3 ABCD a a V  S SO a 

Vậy

3

a

V 6

(34)

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh đa số quên tứ diện tính chất mặt, cạnh + Học sinh khơng xây dựng đường cao chóp

+ Học sinh không xây dựng đường cao MABC kẻ từ M ( khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ) ?

+ Học sinh không nghỉ phương pháp tỉ số thể tích hai chóp có đáy

+ Dựng tam giác ABC ,từ tâm O dựng DO  (ABC) Tại ?

+ Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B ABC cơng thức ? + Tìm h = DO qua tam giác định lí ?

+ Mặt phẳng (DCO)(ABC) ? Dựng MHOC suy điều ?Tính MH ?

a I

H O

M

C

B A

D

Lời giải:

a) Gọi O tâm ABC  DO(ABC)

1 ABC V  S DO

2 3

4

ABC

a

S 

,

2

3

a OC  CI 

2

ơ ó :

DOC vu ng c DO DC OC

  

6

a



2

1

3 12

a a a

V

  

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH

1

2

a MH  DO

2

1

3 24

MABC ABC

a a a

V S MH

   

Vậy

3

a

V 24

Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o

Tính thể tích hình chóp Đs:

3

3a V16

(35)

45o.

1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH =

a

2) Tính thể tích hình chóp SABC Đs:

3

a V6 Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs:

3

a

V 24

Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o

3

h

V 3

Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh 60o Tính thể tích hình chóp Đs:

3

h

V 8

Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ASB 60 o 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp Đs:

2

a

S 3

2) Tính thể tích hình chóp Đs:

3

a

V 6

Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp Đs:

3

2h

V 3

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o khoảng

cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a

3

8a

V 3

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o.

Tính thề tích hình chóp Đs:

3

a V

12



Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích

3

9a

V 2

Đs: AB = 3a 4) Dạng : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC a , SA vng góc với đáy ABC , SA a

1) Tính thể tích khối chóp S.ABC

2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG song song

(36)

 Gv : Dự đoán chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh:

+ Một số học sinh khơng nhớ tính chất trọng tâm tam giác, định lý Talet

+ Học sinh không nhớ vận dụng công thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác

+Qua toán đơn giản học sinh chưa nhận thức cách tính thể tích khối thơng qua khối khác để chuyển qua tốn khó sách giáo khoa

+ Dựng tam giác ABC vuông cân B SA (ABC)

+ Dựng mặt phẳng qua G // BC , cho MN //BC Tại ?

+ Phân tích V=

1

+ Tìm diện tích B ABC cơng thức ? + Tìm h = SA qua tam giác định lí ?

+ Tính trực tiếp thể tích SAMN phức tạp ta phải ? Lập tỉ số thể tích SAMN SABC ? Suy điều ?

G M

N

I C

B A

S

Lời giải: a)Ta có:

1

S ABC ABC

V  S SA

SA a + ABC c n câ ó :AC a  AB a

2

1

ABC

S a

 

Vậy:

3

1

3

SABC

a V  a a b) Gọi I trung điểm BC

G trọng tâm,ta có :

2 SG

SI   // BC  MN// BC

2

SM SN SG SB SC SI

   

4

9

SAMN SABC

V SM SN V SB SC

  

Vậy:

3

4

9 27

SAMN SABC

a

V  V 

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông cân A AB a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E

a)Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Chứng minh CE (ABD)

c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Hoạt động giáo viên:

 Gv : Dự đốn chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh:

(37)

+ Học sinh chưa áp dụng cơng thức tỉ số thể tích thành thạo từ hình vẽ + Học sinh khơng nhận ra tỉ số

2 DE DC

DA DA từ hệ thức DE DA DC  2 tam giác vuông khắc sâu để sử dụng

+ Dựng tam giác ABC vuông cân A SC (ABC)

+ Dựng mặt phẳng qua C BD cho thiết diện CEF

+ Phân tích V=

1

3B.h để tìm B h ABCD đối tượng ?

+ Tìm diện tích B ABC cơng thức ?

+Chứng minh CE vng góc với đường thẳng mặt phẳng (ABD)?

+ Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải ? Lập tỉ số thể tích DCEF DABC tỉ số đại lượng hình học tam giác vuông ?

a

a F

E

B

A C

D

Lời giải:

a)Tính VABCD :

3 ABCD ABC a

V S CD

3

 

b)Tacó: ABAC AB, CD  AB (ACD)

AB EC

 

Ta có: DBEC  EC (ABD) c) Tính VDCEF :Ta có:

(*)

DCEF DABC

V DE DF V DA DB Mà DE DA DC  2, chia cho DA2

2

1

2

DE DC a DA DA a

   

Tương tự:

2

2 2

1

DF DC a

DB DB DC CB  Từ(*)

1

DCEF DABC

V V

 

.Vậy

3

1

6 36

DCEF ABCD

a

V  V 

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ()qua A, B trung điểm M

của SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh thường sai lầm áp dụng công thức tỉ số thể tích hai tứ diên cho tỉ số thể tích chóp tứ giác ?

+ Học sinh khơng biết cắt chóp tứ giác thành tứ diện để áp dụng cơng thức tỉ số thể tích tứ diện ?

+ Dựng tứ giác ABCD SO (ABCD)

(38)

+ Dựng BD BN Tại ?

+ Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? + Hãy so sánh thể tích SABD SBCD với SABCD ?

+ Lập tỉ số thể tích SABN với SABD ; SAMN với SABC ?

N S

O M

B D

C

A

Lời giải:

Kẻ MN // CD (N SD)thì hình thang ABMN

thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM)

+ SADB SANB SADB SABCD

SAND V V V

SD SN V

V

4

1

 

  

SABCD SBCD

SBMN SBCD

SBMN V V V

SD SN SC SM V

V

8

1

     

Mà VSABMN = VSANB + VSBMN =

SABCD

V

Suy VABMN.ABCD =

SABCD

V

Do :

 ABCD ABMN

SABMN

V V

Ví dụ 4 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F

a) Hảy xác định mp(AEMF)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Hoạt động giáo viên:

 Gv : Dự đoán chướng ngại văn húa nhận thức học sinh:

+ Học sinh trung bình ,yếu khơng xác định góc hợp cạnh bên đáy chóp

+Học sinh gặp khó khăn quan hệ song song để xác định E,F.

+Học sinh không nhận biết cách phân chia chóp tứ giác thành chóp tam giác +Học sinh khơng biết tính chất trọng tâm để dùng định lý Talet vào lập tỉ số

+ Dựng tứ giác ABCD SO (ABCD)

+ Dựng mặt phẳng qua AM song song BD cho EF//BD Tại ? + Dựng I giao điểm SO EF tì I tam giác SAC Tại ?

+ Xác định góc SA ABCD góc ? + Phân tích V=

1

3B.h để tìm B h SABCD đối tượng ?

+ Tìm h = SO qua tam giác hệ thức lượng giác nào?

(39)

+ Tính thể tích SAEMF phức tạp ? Lập tỉ số thể tích SAEMF SABCD cách ?

+ Hãy so sánh thể tích SABD SBCD với SABCD ? + Lập tỉ số thể tích SAMF với SACD ?

Lời giải:

a) Gọi I SOAM Ta có (AEMF) //BD 

EF // BD

b) D D

1

S ABC ABC

V  S SO

với SABCD a2

+ SOA có :

6 tan 60

2

a SO AO 

 

Vậy :

3 D

6 S ABC

a

V 

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

EMF S A

V = V

SAMF + VSAME =2VSAMF

S ABCD

V = 2V

SACD = VSABC

Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có :

1 SM

SC

 

SACcó trọng tâm I, EF // BD nên:

2 SI SF SO SD

  

D

1

3

SAMF SAC

V SM SF V SC SD

  

3

D D

1

3 36

SAMF SAC SAC

a

V V V

   

3

EMF

6

2

36 18

S A

a a

V

  

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,

SA a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’

a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC (AB D' ')

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Hoạt động giáo viên:

+ Kỹ dựng điểm C' học sinh yếu

+ Kỷ chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng chưa tốt

+ Khơng nhận biết cách phân chia chóp tứ giác chóp tam giác + Chưa áp dụng cơng thức tỉ số thể tích thành thạo từ hình vẽ

I

O A

B C

D S

E

(40)

+ Dựng tứ giác ABCD SA(ABCD)

+ Dựng thiết diện AB'C'D' theo giả thiết

+ Phân tích V=

1

+ Chứng minh SC vuông góc đường thẳng (AB'D') ?

+ Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? + Hãy so sánh thể tích SABC SACD với SABCD ?

+ Hãy so sánh thể tích SAB'C' SAC'D' với SAB'C'D' ? + Lập tỉ số thể tích SAB'C' với SABC Suy điều ?

Lời giải:

a) Ta có:

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SA

b) Ta có BC (SAB) BC AB' & SB AB'Suy ra:AB' ( SBC) nên AB'SC Tương tự AD'SC

Vậy SC (AB'D')

c) Tính VS A B C D ' ' '

+Tính VS AB C ' ': Ta có:

' ' '. '(*)

SAB C SABC

V SB SC

V SB SC

SACvuông cân nên

'

2 SC

SC  Ta có:

2 2

' 2

3

SB SA a a

SB SB SA AB  a  Từ

' '

(*)

3

SAB C SABC V

V

 

3

' '

1 2

3

SAB C

a a

V

  

+

3 ' ' ' ' '

2

9 S AB C D S AB C

a

V  V 

Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Đs:

1 k4

Bài 2: Cho tứ diên ABCD tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' sao

cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = m3

A S

I

O

D

B

C C'

D'

(41)

Bài 3: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho

a 2a

AB2;AC'3

Tính thể tích tứ diên AB'C'D Đs:

3

a

V 36

Bài 4: Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N

trên AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = m3

Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a 3,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp SAHK Đs:

3 a V 40

Bài 6: Cho hình chóp SABCD tích 27m3 Lấy A'trên SA cho

SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = m3

Bài 7: Cho hình chóp SABCD tích 9m3, ABCD hình bình hành , lấy M

SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m3

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt SB,SDF M P Tính thể tích khối chóp SAMNP Đs:

2

a h

V 9

Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần Đs:

1 k2

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA cho

SM x

SA  Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích

Đs:

5 x 2

5) Dạng : Ơn tập khối chóp lăng trụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB

1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh gặp khó khăn xác định góc đường thẳng mặt phẳng

+ Học sinh gặp khó khăn tính SA sử dụng hệ thức tam giác vuông + Học sinh không xây dựng đường cao chóp kẻ từ M chóp MBCD

( khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ) ?

(42)

+ Dựng H trung điểm AB Nhận xét MH với AB ? Tại ?

+ Xác định góc[SC,(ABCD)] = ? Tại ? + Phân tích V=

1

+ Tính h = SA tam giác hệ thức lương giác ? + Phân tích V=

1

+ MABCD có đường cao ? ? Tính MH tính chất ?

2a

o 60

H

D

C

B A

S

Lời giải: a)Ta có

1

ABCD

V  S SA

+ SABCD (2 )a 4a2

+ SAC c SA ACó :  tanC 2a

3

1

4

3

a

V a a

  

b) Kẻ MH / /SA MH (DBC) Ta có:

1 MH  SA

,

1

BCD ABCD

S  S

3 D

1

4

MBC

a

V V

  

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp.

+ Học sinh khơng biết cách xác định góc mặt bên hợp với đáy từ khơng tính chiều cao chóp

+ Học sinh khơng nhận chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy chóp + Học sinh khơng thuộc cơng thức Hêron công thức S = pr

+ Dựng tam giác ABC SH(ABC) với H (ABC) H cách cạnh tam giác ABC

+ Xác định góc hợp mặt bên với đáy chóp ? + Phân tích V=

1

3B.h để tìm B h SABC đối tượng ?

+ Tính B = SABC cơng thức ?

(43)

60

A C

B H S

F E

J

Lời giải:

Hạ SH(ABC), kẽ HEAB, HFBC, HJAC

suy SEAB, SFBC, SJAC Ta có

   O

SEH SFH SJH 60   

SJH SFH

SAH  

 nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường trịn ngọai tiếp ABC)

Ta có SABC = p(p a)(p b)(p c)

với p = a c b a

9

2 

 

Nên SABC =

2

9 a

Mặt khác SABC = p.r

6

2 a

p S r   

Tam giác vuông SHE:

SH = r.tan 600 = a

a

2

6



Vậy VSABC =

3 2.2 2 8 3

6

a a

a 

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’

c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Hoạt động giáo viên:

 Gv : Dự đốn chướng ngại vón hóa nhận thức học sinh:

+ Học sinh khơng nhớ định nghĩa tính chất hộp chữ nhật

+ Học sinh không xác định chiều cao chóp OA'B'C'D' ( khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ) ?

+ Học sinh khơng xác định đáy chiều cao chóp OBB'C' ( khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ) ?

+ Dựng hộp chữ nhật , hình chóp OA'B'C'D' OBB'C'

+ Phân tích V= B.h để tìm B h OA'B'C'D' đối tượng ? + Phân tích V=

1

3B.h để tìm B h OBB'C' đối tượng ?

+ Tính B = SBB'C' cơng thức ?

+ Tính h = OM ? Dùng tam giác tính chất ?

+ Đối với chóp OBB'C' chọn đỉnh C' đáy OBB' ta có chiều cao yêu cầu dùng cơng thức để tìm ?

(44)

M O

D'

C'

B' A'

D C

B

A a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V

Ta có :V AB A D.AA ' a 3.a2 a3

ABD c DBó :  AB2 AD2 2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên:

3 ' ' ' '

1

3

OA B C D

a

V V

  

b) M trung điểm BC  OM ( ' ')BB C

2

' ' ' '

1 3

3 2 12

O BB C BB C

a a a

V S OM

   

c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có :

' ' '

3 ' OBB C

OBB

V C H

S



ABD c DBó :  AB2 AD2 2a

2 '

1

OBB

S a

 

' 2a

C H

 

Ví dụ 4 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’

+ Học sinh không nắm vững định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ khơng xác định đáy chiều cao khối tứ diện tương ứng

+ Học sinh không xác định yếu tố để tứ diện tích + Học sinh gặp nhiều khó khăn phản chia khối lập phương thành nhiều khối tứ diện tích

+ Dựng khối lập phương chóp ACB'D'

+ Phân tích V=

1

3 B.h để tìm B h ACB'D' đối tượng ?

+ Tính trực tiếp thể tích ACB'D' phức tạp ? Ta phân tích lập phương thành khối tứ diện tích ?

+ Khi nhận xét VACB'D' VCB'D'C'? Suy điều ?

Lời giải:

Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’

(45)

a D'

C'

B' A'

D C

B

A nên có thể tích

Khối CB’D’C’ có

2

1

1 1

3

V  a a  a

+Khối lập phương tích:

3

V a



3 3

' '

1

4

6

ACB D

V a  a  a

Ví dụ 5 : Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a. a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC

b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE Hoạt động giáo viên:

+ Học sinh không xác định giao điểm mp(A'BE) với cạnh BC

+ Học sinh không xác định đường cao kẻ từ C đến đáy A'B'B tứ diện A'B'BC + Học sinh cách phân chia khối CA'B'FE thành khối tứ diện đơn giản để tính chiều cao dể dàng

+ Dựng lăng trụ đứng tam giác ABCA'B'C'? Tại ?

+ Phân tích V=

1

3 B.h để tìm B h A'B'BC đối tượng ?

+ Tính trực tiếp thể tích CA'B'FE phức tạp ? Ta phân tích khối chóp thành khối tứ diện mà tính thể tích đơn giản ?

J

I F

E

C'

B' A'

C

B A

Lời giải:

a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB,

' ' ' '

1

A B BC A B B

V  S CI

2

1 3

3 2 12

a a a

 

b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’

+Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên ' EF EF

1

'

A C C

V  S A A

2 EF

1

4 16

C ABC

a

S  S 

3 ' EF

3 48

A C

a V

 

(46)

nên ' ' F FB'

'

A B C C

V  S A J

2

FB' '

1

2

C CBB

a S  S 

2

' ' F

1 3

3 24

A B C

a a a V

  

+ Vậy :

3 A'B'FE

3 16

C

a

V 

Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a; AA1 = a M trung

điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = 12

2

3

a

Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vng B, SA(ABC) ACB = 60o,

BC = a, SA = a 3,M trung điểm SB.Tính thể tích MABC Đs:VMABC =

1 4a

3

Bài 3: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC và

∆SBD tam giác có cạnh Tính thể tích khối chóp SABCD Đ s: VSABCD =

6

Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: a) Cạnh đáy 1, góc ABC = 60o Đs: V =

2 12

b) AB = 1, SA = Đs: V =

11 12

Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính VA’ABC theo a? Đs: V =

3

a

Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc

đường chéo 60o, cạnh bên nghiêng với đáy góc 45o

Tính VSABCD Đs:

3 V 3 Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o,

CSA = 120o.Chứng minh ∆ABC vng Tính V

SABC Đs:

a V12

(47)

Đs:

3

S BMDN

a

v 

Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo Đs: k =

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N trung điểm cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP

Đs :

3

3 96

M CNP

a

v 

KẾT LUẬN

Với thời gian khơng nhiều , Chắc chắn cịn nhiều thiếu sót chuyên đề Chắc chắn có nhiều ý kiến để thảo luận chắn cịn có nhiều hồ nghi tính thực tiển chuyên đề Nhưng tin rằng, với “tâm” sáng người thầy, tìm giải pháp đó, để giúp HS Trung bình -Yếu đạt chuẩn kiến thức mơn hình học không gian Hãy tạo hội cho học sinh thực có nỗ lực vươn lên! Hãy giúp em vượt qua khó khăn học tập mơn hình học khơng gian lực mình! đạt kết tốt đẹp kỳ thi cuối cấp

Tơi mong ý kiến đóng góp thầy, giáo Tốn tỉnh Đồng Tháp

Sađéc, ngày 25 tháng 10 năm 2009