Tóm tắt công thức dạng toán ôn thi thpt đầy đủ

Tài liệu ôn thi THPT theo hướng thi trắc nghiệm của BGDĐT, Công thức theo chủ đề, cấu trúc đề thi của BGDĐT.VD: Giả sử hàm số có tập xác định D.• Hàm số f đồng biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.• Hàm số f nghịch biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.• Nếu thì:+ + • Định lí về dấu của tam thức bậc hai :+ Nếu  < 0 thì luôn cùng dấu với a.+ Nếu  = 0 thì luôn cùng dấu với a (trừ )+ Nếu  > 0 thì có hai nghiệm và trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a.• So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0:+ + + • ;

PHẦN KIẾN THỨC CƠ BẢN I CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC sin  cos  Hệ thức Cơ bản: cos   cot   sin   sin 2  cos2   tan     tan   cos    cot   sin  Đối:  ;  k    sin(  k 2 )  sin  cos(  k 2 )  cos    tan cot  k     tan(  k )  tan  cot(  k )  cot   Cung Liên kết:  Khác pi:  ;    Phụ:  ;   Bù:  ;    Pi  : ;   2   sin      cos  2  Khác sin( )   sin  sin(   )  sin    sin      cos  2  cos( )  cos  cos(   )   cos    cos      sin  2  cos(   )   cos    cos       sin  2  tan( )   tan  tan(   )   tan    tan      cot  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  cot(   )  cot    cot       tan  2  Sin bù Phụ chéo Cos đối sin(   )   sin  Khác pi/2: sin bạn cos, Khác Pi: tang, cotang cos thù sin Công thức Cộng:  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b sin 2  2sin .cos  tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b Công thức Nhân đôi, Nhân ba: cos 2  cos   sin   2cos     2sin  cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  sin    cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b Công thức Hạ bậc:  cos 2 cos    cos 2 2 tan 2  tan 3  tan   tan  3tan   tan   3tan  tan    cos 2  cos 2 Biến đổi Tổng thành Tích: ab a b cos 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 cos a  cos b  2cos ab a b sin 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 cos a  cos b   2sin sin(a  b) cos a.cos b     2.sin      2.cos     4 4   tan a  tan b  sin   cos   tan a  tan b  sin(a  b) cos a.cos b     sin   cos   sin       cos      4  4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) II PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC u  v  k 2 sin u  sin v   (k  ) u    v  k 2 Nếu sin u  m   1;1    m  1;  ; ;  ;0  thì: 2   cos u  m  u   arccos m  k 2 (k  ) Nếu sin u  m   1;1 thì: sin u  m  u  Đặc biệt:  Nếu cos u  m   1;1 thì: cosu  m  u   k 2 sin u  1  u   sin u   u  k  k     ; ;  ;0  thì: Nếu cos u  m   1;1 m  1;  2   u  arcsin m  k 2 sin u  m   (k  ) u    arcsin m  k 2 sin u   u  u  v  k 2 cos u  cos v   u  v  k 2   cos u   u  k 2 k    k 2 cos u  1  u    k 2 Đặc biệt: cos u   u  k   tan u  tan v  u  v  k   ;0  thì: Nếu tan u  m   3; 1;    tan u  m  u  arctan m  k   k cot u  cot v  u  v  k  k     ;0  thì: Nếu cot u  m   3; 1;    k   k   cot u  m  u  arc cot m  k k   Lƣu ý: Điều kiện để hàm tan u có nghĩa Lƣu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa  u   k , k  Tuy vậy, phương trình tan u  m u  k , k  Tuy vậy, phương trình cot u  m ln có nghiệm, khơng cần đặt điều kiện cho ln có nghiệm, khơng cần đặt điều kiện Kỹ thuật 1: Làm dấu TRỪ Ví dụ:  sin   sin( )  cos   cos(   )  tan   tan( )  cot   cot( ) sin x x x 4 sin x x sin x sin x sin x sin( x) k2 x x k2 ( ) k (k ) Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO   sin   cos     2    cos   sin     2    tan   cot     2    cot   tan     2  Ví dụ:   k 2   x   x  k 2 x       (k  ) sin x  cos x  sin x  sin   x     2   x       x   k 2  x   k 2     2  Phƣơng trình a sin x  b cos x  c (với a  b2  c ) a sin x  b cos x  c a b c  sin x  cos x  a  b2 a  b2 a  b2 c  sin x.cos   cos x.sin   a  b2 a b , sin   (với cos   ) a  b2 a  b2  sin( x   )  sin   với sin   Phƣơng trình a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d  Trƣờng hợp 1: Xét cos x   sin x  Ta có hệ sin x  sin x    .(1) sau:   a sin x  d a  d  Trƣờng hợp 2: Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x , ta có: c a  b2 a tan x  b tan x  c  d (1  tan x)  (2)  Hợp nghiệm (1), (2) ta có tập nghiệm phương trình cho  Lƣu ý: Phương trình a sin x  b cos x  c có nghiệm a  b2  c [ III TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trƣờng hợp, ta Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta cộng kết lại nhân kết giai đoạn HOÁN VỊ  Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn  n ! với n  n!  1.2  n  1 n TỔ HỢP  Chọn k phần tử từ n phần tử  Chọn k phần tử từ n phần tử (có (khơng xếp thứ tự), ta có số cách xếp thứ tự), ta số cách chọn chọn Cnk   Quy ước sốc: 0!  Một số tính chất: XÁC SUẤT CHỈNH HỢP  Công thức: P( X )  Ank k  , n  n! C  với   n  k  !k ! 0  k  n k n *  Cnk  Cnnk Cnk  Cnk 1  Cnk11 n( X ) n ( )  Tính chất:  P( X )  Trong đó: n( X ) : số phần tử tập biến cố X ; n() : số phần tử không gian mẫu; P( X ) xác suất để biến cố X xảy với X   k  , n  n! A  với   n  k ! 0  k  n k n * Ank  k !Cnk P()  0; P()  P( X )   P( X ) với X biến cố đối X  Nếu A, B hai biến cố xung khắc với P  A  B   P  A  P  B   Khai triển dạng liệt kê: (với n  * ) Khai triển tổng quát: (với n  *   Nếu A B hai biến cố độc lập với P  A.B   P  A P  B  IV KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN n  a  b   Cn0an  Cn1an1b  Cn2a n2b2   Cnn1abn1  Cnnbn n Đặc biệt: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn1 x n1  Cnn x n (*)  Hệ 1: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn  2n (tức thay x  vào (*))  Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn   Cn0  Cn2  Cn4  Cnn  Cn1  Cn3  Cnn1 n  a  b    Cnk a nk bk Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk n  Khai triển: k 0  Phân biệt hệ số số hạng: Cnk ( 1)k a n k b k x Số hạng không chứa x ứng với   ) CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN V CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Định nghĩa:  Dãy số  un  gọi cấp số cộng  Dãy số  un  gọi cấp số nhân khi un1  un  d với n  * số  Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d với n  * Tính chất số hạng:  uk 1  uk 1  2uk với k  * k  Tổng n số hạng đầu tiên: (u  u )n  Sn  u1  u2   un  n un1  un q với n  , d * , q số  Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q Số hạng tổng quát:  un  u1.q n1 với n  * Tính chất số hạng:  uk 1.uk 1  uk2 với k  k  Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  u1  u2   un  u1 (1  q n ) với q  1 q VI GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ Giới hạn dãy số 1.1 Dãy số có giới hạn 0: 1 0 ▪ lim  ▪ lim ▪ lim  n n n n ▪ lim q  với q  1.2 Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim un  a Ta có: ▪ lim un  a lim u  a ▪ lim 0 n ▪ lim un  a với a  Cho lim un  a , lim  b Ta có: ▪ lim  un    a  b ▪ lim  un   a.b ▪ lim un a  với b  b ▪ lim  k.un   k.a 1.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S  u1  u1q  u1q   u1 1 q 1.4 Dãy số có giới hạn vô cùng: Quy tắc 1: Cho lim un  , lim   Tính lim  un  lim un lim lim  un          lim un Dấu a lim  un    + – + –      Quy tắc 2: Cho lim un  , lim  a  Tính lim  un    Quy tắc 3: Cho lim un  a  0, lim  Tính lim Dấu a (tử) Dấu (mẫu) + + – – + – + –    un lim un     2.1 Giới hạn vơ cực: Cho k dương, ta có: 0 xk 2.2 Giới hạn hữu hạn: ▪ lim x k   ▪ lim , k chaü n ▪ lim x k x  x  , k l eû x Cho lim f  x   a, lim g  x   b Ta có: x  x0 ▪ lim f  x   a x  x0 ▪ lim f  x   a x  x0 ▪ lim x  x0 ▪ lim  f  x   g  x    a  b x  x0 x  x0 f  x   a với a  ▪ lim  f  x  g  x    a.b x  x0 ▪ lim  k f  x   k.a với k số x  x0 ▪ lim x  x0 f  x a  với b khác g  x b 2.3 Quy tắc tìm giới hạn vơ cực: Quy tắc 1: Cho lim f  x   , lim g  x   a  Tính lim  f  x  g  x   x  x0 x  x0 x  x0 lim f  x    x  x0  + – + –   Giới hạn hàm số: lim  f  x  g  x   Dấu a x  x0    Quy tắc 2: Cho lim f  x   a  0, lim g  x   Tính lim x  x0 x  x0 x  x0 Dấu g  x  Dấu a f  x g  x lim x  x0 f  x g  x + +  + –  – +  – –  2.4 Bổ trợ công thức để khử dạng vô định: ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x n    x  1  x n 1  x n 2   1 x1 , x2 nghiệm tam thức bậc hai a b  a b  a2  b a b a b  a3  b a2  a b  a n  b n   a  b   a n 1  a n 2b   b n 1   b a b  a2  b a b a3  b a2  a b   b 3.1 Điều kiện tồn giới hạn: Giới hạn bên phải lim f  x  Ký hiệu lim f  x  x  x0 lim f  x   lim f  x  x  x0  x   x0   x  x0 Nghĩa Điều kiện để hàm số có giới hạn x0 Giới hạn bên trái x  x0 x  x0 Khi đó: lim f  x   lim f  x   x   x0   x  x0 x  x0 x  x0  lim f  x  x  x0 Điều kiện giới hạn điều kiện liên tục: 3.2 Điều kiện liên tục hàm số:  Hàm số f  x  liên tục x0  f  x0   lim f  x   lim f  x   f  x0   lim f  x  x  x0 x  x0 x  x0  Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục tập xác định chúng  Hàm số f  x  liên tục khoảng  a; b  liên tục với x  x0   a; b  f ( x) liê n t ục t r ê n (a; b) lim f ( x) f (a); lim f ( x)  Hàm số f  x  liên tục a; b x a x f (b) b 3.3 Điều kiện có nghiệm phƣơng trình: Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b f  a  f  b   phương trình f  x   có nghiệm  a; b  VII ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm điểm: f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 Bảng đạo hàm mở rộng:  ( x )   x   k  (với k số)   e   ex x MR    eu   eu u  sin x   cos x  tan x   MR  (u )   u 1 u    a   a x ln a x   1 MR    au   au ln a u MR    sin u   u cos u   tan x cos x u MR    tan u    u 1  tan u  cos u    x   x MR    u   2uu  ln x   x    x     x2 u   MR     u u   log a x   x ln a u u MR MR    ln u    log a u   u u ln a MR   cos u    u sin u   cos x    sin x    1  cot x  sin x u MR    cot u      u 1  cot u  sin u   cot x    Quy tắc tìm đạo hàm: ▪  u  v   u  v ▪ (k.u)  k.u ▪ (u.v)  uv  uv fx  u  uv  uv ▪   v2 v ▪ f x  fu.ux với Đạo hàm cấp cao vi phân: Đạo hàm cấp cao f   x    f   x  ; f   x    f   x  f  4  x    f   x  ; ; f  n  x    f  n1  x  Vi phân df  x   f   x  dx dy  y.dx du  u.dx VIII KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bƣớc 1: Tìm tập xác định D  Bƣớc 2: Tính y  f ( x) ; cho y  Tìm nghi ệ m x1 , x2 Tìm thêm giá trị x mà y  không xác định  Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trị x đại diện cho khoảng thay vào y  để tìm dấu y  khoảng đó)  Bƣớc 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ  Hàm số có điểm cực trị  y( x0 )  ( x0 ; y0 )    y ( x0 )  y0 (giả thiết hàm số liên tục x0 )  f ( x0 )   Nếu  hàm  f ( x0 )  số f ( x) đạt cực đại x  x0 HÀM BẬC BA y  ax  bx  cx  d (a  0)  Đạo hàm y  3ax2  2bx  c  Hàm số đồng biến tập xác định  y  0, x  a      Hàm số nghịch biến tập xác định  y  0, x  a      Lƣu ý: Nếu a chứa tham số m ta xét a  , tìm m Thay m tìm để kiểm tra dấu y  , xem y có đơn điệu khơng? CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y  ax  bx  cx  d (a  0)  Đạo hàm y  3ax2  2bx  c  Hàm số có hai cực trị (tức có a  (*) CĐ-CT)    y   Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  x1 x2   ac   Hàm số có hai điểm cực trị a  0,  y  dấu   ac   Phương trình đường thẳng qua HÀM NHẤT BIẾN ax  b y (ad  bc  0, c  0) cx  d ad  bc (cx  d )2  Hàm số đồng biến khoảng xác định  ad  bc   Hàm số nghịch biến khoảng xác định  ad  bc   Đạo hàm y   Lƣu ý: Nếu đề cho đồng biến (nghịch biến) ( ;  ) ta xét điều d kiện:   ( ;  ) c CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y  ax  bx  c (a  0)  Đạo hàm y  4ax3  2bx  Điều kiện cực trị ab  Ba cực trị ab  Một cực trị  2 a  b  Có cực trị a  b2   Cho A, B, C ba điểm cực trị, ta có: b3  8a cos BAC  b  8a hai điểm cực trị: b5 S  f ( x) f ( x) ABC 32a y  f ( x)  18a Lƣu ý: Nếu tọa độ hai cực trị rõ ràng ta nên gọi đường thẳng y  ax  b thay tọa độ hai điểm vào   Giải hệ tìm a, b TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a; b) Tìm Max-Min f ( x) đoạn  a; b  f ( x0 )   Nếu  hàm  f ( x0 )  số f ( x) đạt cực tiểu x  x0  Bƣớc 1: Tính y  f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x)  Tìm x j  (a; b) mà y  khơng xác định  Bƣớc 2: Tính giá trị f (a), f (b) f ( xi ), f ( x j ) (nếu có)  Bƣớc 3: So sánh tất giá trị bƣớc để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ  Bƣớc 1: Tính y  f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x)  Tìm x j  (a; b) mà y  không xác định  Bƣớc 2: Cần tính lim y, lim y (Nếu thay (a; b) x a x b (; ) ta tính thêm lim y ) x   Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ khoảng  Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b]  Nếu hàm f ( x) nghịch biến [a; b]  max f ( x)  f (b)  max f ( x)  f (a)  x[a ;b ]  x[a ;b ]   f ( x)  f (a) f ( x)  f (b)    x[a ;b ]  x[a ;b ] ĐẶC BIỆT TIỆM CẬN ĐỨNG  x0  x   Định nghĩa:  (x hữu hạn, y vô    y  hạn), ta có tiệm cận đứng x  x0 Lƣu ý:  x0 thay điều kiện x  x   x0 (giới hạn bên trái) x   x0 (giới hạn bên phải)  Cách tìm TCĐ: Nếu x  x0 nghiệm mẫu số mà nghiệm tử số x  x0 TCĐ đồ thị (với tập xác định có dạng D  K \  x0 ; x1;  )  Đồ thị hàm số y  TIỆM CẬN NGANG    x   Định nghĩa:  (x vơ hạn, y hữu hạn), ta có tiệm  y0  y  cận ngang y  y0  Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bƣớc 1: Nhập hàm số vào máy NEXT NEXT  X  10 ^10   Bƣớc 2: CALC  NEXT NEXT CALC   X  10 ^10   Bƣớc 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y  y0 ax  b d a với (c  0, ad  bc  0) có TCĐ: x   , TCN: y  cx  d c c  Nên nhớ, đồ thị có tối đa tiệm cận ngang SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Xét hai đồ thị (C1 ) : y  f ( x ) (C2 ) : y  g( x ) Phƣơng pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị  Bƣớc : Lập phương trình hồnh độ giao  Bƣớc : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , điểm (C1 ) & (C2 ) : f ( x)  g ( x) (*) (nếu có), suy y , y  Điều kiện để (C1 ) (C2 ) có n điểm chung phương trình (*) có n nghiệm khác  Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) phương trình (*) có nghiệm kép  f ( x)  g ( x) hệ sau có nghiệm :   f ( x)  g ( x) ax  b   (C ) : y  Tìm tham số để  cx  d cắt hai điểm phân biệt  d : y   x    Bƣớc : Viết phương trình hồnh độ giao   ax  b điểm :   x   , đưa phương trình  A  cx  d Tìm  m?  Bƣớc : Giải hệ  g  d    dạng g ( x)  Ax  Bx  C   x    c g   d      c  (C ) : y  ax  bx  cx  d Tìm tham số để  cắt ba điểm phân biệt d : y   x   (Ta áp dụng cho trường hợp phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm đẹp)  Bƣớc : Viết phương trình hồnh độ giao A   điểm : ax3  bx2  cx  d   x   , đưa Tìm  Bƣớc : Giải hệ điều kiện :  g   m? phương trình dạng   g ( x0 )    ( x  x0 )  Ax  Bx  C      Lƣu ý : Để tìm nghiệm đẹp x  x0 , ta nhập vào máy chức g ( x)   giải phương trình bậc ba với m  100 (có vận dụng kỹ chia Hoocner) PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) điểm M ( x0 ; y0 )  (C )  Bƣớc 1: Tính đạo hàm y  , từ có hệ số góc k  y( x0 )  Bƣớc : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị dạng y  k ( x  x0 )  y0 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k  Bƣớc 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính đạo hàm y   Bƣớc 2: Cho y( x0 )  k , tìm tiếp điểm ( x0 ; y0 )  Bƣớc 3: Phương trình tiếp tuyến : DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến qua A( xA ; y A )  Bƣớc 1: Tiếp tuyến có dạng : y  y( x0 )( x  x0 )  y0 (*) với y0  f ( x0 )  Bƣớc 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0 y  k ( x  x0 )  y0  Bƣớc 3: Thay x0 vào (*) để viết phương trình tiếp tuyến  Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y  ax  b có hệ số góc k  a, tiếp tuyến vng góc đường (a  0) ; tiếp tuyến tạo với Ox góc  có hệ số góc k   tan  a ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ thẳng y  ax  b có hệ số góc k   10 ▪ Đường chéo: AC BD AC BD (caïn h) a a nên I tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ▪ Diện tích: SABCD (cạn h)2 a2 ; chu vi: p  4a ▪ Vì ABN  ADM , ta chứng minh được: AM  BN IA  IB  IC  ID  Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB  a, AD  b Hình chữ nhật: ▪ Đường chéo: AC  BD  a  b2 IA  IB  IC  ID  a  b2 nên I tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D ▪ Diện tích: S ABCD  a.b ; chu vi: p  2(a  b) Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh a Hình thoi: ▪ Đường chéo: AC  BD; AC  AI  AB.sin ABI  2a.sin ABI ▪ Diện tích: S ABCD  AC.BD ; S ABCD  2SABC  2SACD  2SABD Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B  D  600 ( A  C  1200 ) ta chia hình thoi làm hai tam giác đều: ABC  ACD; AC  a SABC  SACD a2 a2  ; S ABCD  2SABC  B – THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: 7.1 Hình chóp tam giác Hình chóp: S h ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy tam giác cạnh a ▪ SH  ( ABC ) với H trọng tâm (cũng trực tam) ∆ ABC D ▪ A H Sđ SH Sđ a2 h T hểtích V a2 h C B V h.Sđ 7.2 Tứ diện đều: Góc cạnh bên mặt đáy: Góc mặt bên mặt đáy:  SA,( ABC)  SAH  (SAB),( ABC)  SMH   SC ,( ABC )   SCH   ( SBC ),( ABC )   SNH 27 ▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V 7.3 Hình chóp tứ giác đều: a3 12 ▪ Góc cạnh bên mặt   đáy: SA,( ABCD)  SAO    SB,( ABCD)  SBO 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Sđ a2 SO h h SA Sđ S ABC Thể tích V SA.S T hểtích V h.a2 Góc mặt bên mặt đáy:  (SAB),( ABCD)  SMO   ( SBC ),( ABCD)   SNO Đáy tam giác ▪ Đáy tứ giác đặc biệt ABC ▪ h SA Sđ S ABCD Thể tích V SA.S ABCD ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SB, ( ABC )  SBA    SC , ( ABC )  SCA  Đáy tam giác ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SB, ( ABCD)  SBA    SC , ( ABCD)  SCA  Đáy tứ giác đặc biệt ▪ Đường cao h  SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SA, ( ABC )  SAH    SC , ( ABC )  SCH  ▪ Đường cao h  SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SA, ( ABCD)  SAH    SC , ( ABCD)  SCH    7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy hình vuông cạnh a ▪ SO  ( ABCD) với O tâm hình vng ABCD               28 C – TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Đặc biệt: M  A Đặc biệt M  A, N  B VS ANP SN SP  VS ABC SB SC VS ABP SP  VS ABC SC Cho hình chóp có đáy tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm cạnh SA, SB, SC Ta có: VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Hình chóp có đáy hình bình hành với SM SN  x,  y, SA SB SP SQ  z, t SC SD Khi đó: VS MNPQ VS ABCD  xyz  xyt  xzt  yzt 1 1    x z y t Hình chóp có đáy đa giác Chẳng hạn: (MNPQR) (ABCDE) SM SN tỉ số: x   SA SB SP SQ SR   SC SD SE Khi đó: VS MNPQR  x3 VS ABCDE  D – THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thƣờng:  Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song  Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành  Thể tích: V h.Sđ Hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên vng góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác Đáy tam giác Đáy tứ giác V  AH SABC  AH SABC V  AH S ABCD  AH S ABCD Đáy tam giác Đáy tứ giác  Thể tích: V h.Sđ với h  AA  BB  CC  Thể tích: V h.Sđ với h  AA  BB  CC  DD 29 Hình hộp: 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành  Thể tích: V h.Sđ  Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật V  abc với a, b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật 3.2 Hình lập phƣơng:  Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh V  a3 với a cạnh hình lập phương Tỉ số thể tích lăng trụ: Lăng trụ có đáy tam giác AM BN CP x , y , z AA BB CC  Ta có: VABC MNP x  y  z  VABC ABC  Lăng trụ đáy hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng (Lăng trụ hình hộp thƣờng hình hộp chữ nhật, hình lập phƣơng) AM BN CP DQ x , y , z ,t AA BB CC  DD Ta có: VABCD.MNPQ VABCD ABC D  x y  z t x  z  y  t E – BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy hình vng, hình chữ nhật Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy tam giác  d  A,  SBC    AH  SA AK SA2  AK  d  A,  SBC    AH   d  A,  SCD    AK  SA AB SA2  AB SA AD SA2  AD  d  D,  SBC    d  B,  SCD   30 d  B,  SAC    BM ; d  C,  SAB    CN  d  SA, BC   AK      d  A,  SBD    AF   d  C ,  SBD   SA2  AE d  AD, SB   AH ; d  AB, SD   AK d  AD, SC   d  AD,  SBC    d  A,  SBC    AH d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    AK Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác  d  O,  SBC    OH   d  O,  SCD    OH  SO.OK d  A,  SBC    3d  O,  SBC    3OH  d  B,  SAC    d  C,  SAB    SO  OK d  A,  SCD    2d  O,  SCD    2OH  d  A,  SBC    d  B,  SAD    d  B,  SCD    d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    2OH d  SA, BC   IK  d  SB, AC   d  SC , AB   SO.OK  d  O,  SAB    d  O,  SBC    d  O,  SAD   SO  OK  d  O,  SAB    d  O,  SAC     SA AE  d  AB, SD   d  AD, SB   d  AD, SC   F – MẶT TRỤ, MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NĨN Các yếu tố mặt nón: S l h l A  Đƣờng cao: h  SO ( SO  Chu vi đáy: p  2 r gọi trục hình nón)  Bán kính đáy:  Diện tích đáy: Sđ   r r  OA  OB  OM l  Đƣờng sinh: l  SA  SB  SM r O B M Hình thành: Quay  vng SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h  SO  r  OM Một số cơng thức:  Góc đỉnh: ASB  Thiết diện qua trục: SAB cân S  Góc đƣờng sinh mặt 1  Thể tích: V  h.Sđ  h. r 3 (liên tưởng đến thể tích khối chóp)  Diện tích xung quanh: S xq   rl  Diện tích tồn phần: Stp  S xq  Sđ   rl   r đáy: SAO  SBO  SMO 31 MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số công thức:  Đƣờng cao: h  OO  Đƣờng sinh: l  AD  BC Ta  Diện tích đáy: Sđ   r có: l  h  Bán kính đáy: Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên MẶT CẦU  Chu vi đáy: p  2 r r  OA  OB  OC  OD  Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O, O  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD  Thể tích khối trụ: V  h.Sđ  h. r  Diện tích xung quanh: S xq  2 r.h  Diện tích tồn phần: Stp Sxq 2Sđ r h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện Một số cơng thức:  Tâm I , bán kính R  IA  IB  IM  Đƣờng kính AB  2R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường trịn tâm I , bán kính R Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình thành: Quay đường trịn  Diện tích mặt cầu: S  4 R đa diện mặt cầu đa diện mặt cầu AB  R qua tất đỉnh tiếp xúc với tất tâm I , bán kính R  quanh  Thể tích khối cầu: V  đa diện mặt đa trục AB , ta có mặt cầu hình diện vẽ CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP THƢỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh dƣới Hình chóp góc vng  Xét hình chóp có SA  ( ABC ) ABC  900  Ta có SAC  SBC  900 nên mặt cầu ngoại tiếp  Xét hình chóp có SA  ( ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vng  Ta có: SAC  SBC  SDC  900 Suy mặt cầu ngoại tiếp  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao SH  h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R b 2h  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO  h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R  b2 2h 32 hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán SC kính R  hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính SC R Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính R h Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy rñ  Nếu đáy tam giác a  Nếu đáy hình vng cạnh a rđ a  Xét hình chóp có SA cạnh a rđ (đáy) SA h ; bán kính đường trịn ngoại tiếp  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b đáy rđ rđ a2 b2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp SAB rb , d AB (SAB) (đáy) (đoạn giao tuyến)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R rđ d2 rb2 XIII HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc  Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i  (1;0;0)  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  (0;1;0)  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k  (0;0;1)  Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u  xi  y j  zk  u  ( x; y; z ) Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) Ta có:  a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )  a phương b  a  kb (k  R) a1  kb1 a a a   a2  kb2    , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 a  kb   ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) a1  b1   a  b  a2  b2 a  b  3  a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3  a   a  b  a.b   a1b1  a2b2  a3b3  2 2  a  a  a1  a2  a3 a12  a22  a22  cos(a , b )  a.b a b  a1b1  a2b2  a3b3 a  a22  a32 b12  b22  b32 33 Tọa độ điểm: M ( x; y; z )  OM  ( x; y; z ) Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:  AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )  AB   Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:  x  x y  yB z A  z B  M A B; A ;   2   Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: Chiếu điểm trục tọa độ  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2  x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC G A B C ; A ; 3     QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ  Điểm M(xM ;yM ;zM ) M1 ( xM ;0;0) Chiếu vào Oxy (Giữ nguyeân x, y) M1 (x M ;y M ;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieáu vào Oy (Giữ nguyên y) M (0; yM ;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oyz (Giữ nguyên y, z) M (0; yM ; zM )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oz (Giữ nguyên z) M (0;0; zM )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oxz (Giữ nguyên x, z) M ( xM ;0; zM ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Ox (Giữ nguyên x; đổi dấu y, z) M1 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oy (Giữ nguyên y; đổi dấu x, z) M ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oz (Giữ nguyên z; đổi dấu x, y) M ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oxy (Giữ nguyên x, y; đổi dấu z) M1 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oxz (Giữ nguyên x, z; đổi dấu y) M ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oyz (Giữ nguyên y, z; đổi dấu x) M ( xM ; yM ; zM ) Tích có hƣớng hai vectơ:  Định nghĩa: Cho a  (a1 , a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a  a , b     b2 [a, b]  a  Tính chất: a3 b3 ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2     a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b1 b2  [a, b]  a b sin  a, b  [a, b]  b  Điều kiện phƣơng hai vectơ a & b  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c  a, b   với  (0;0;0)   [a, b].c   Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD   Thể tích khối hộp: VABCD A' B 'C ' D '  [ AB, AD] AA '  Diện tích tam giác ABC: SABC   Thể tích tứ diện: VABCD   AB, AC   AB, AC  AD  6 Phƣơng trình mặt cầu: Dạng 1: (S ) : ( x  a)  ( y  b)  ( z  c)  R Mặt cầu (S) có 2 tâm I(a;b;c) R= R Dạng 2: (S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Mặt cầu (S) có 2 tâm I(a;b;c) R = a + b + c2 - d  Phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  phương trình mặt cầu  a  b2  c  d  2 Bài tốn 5.1 Viết phƣơng trình mặt cầu tâm I qua điểm M  Bƣớc 1: Tính bán kính R  IM  Bƣớc 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Bài tốn 5.2 Viết phƣơng trình mặt cầu có đƣờng kính AB  Bƣớc 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính R AB  IA  IB 34  Bƣớc 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phƣơng trình mặt phẳng:  Mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n  (a; b; c) phương trình ( P) : a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  (*)  Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng  Lƣu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng ax  by  cz  d  , mặt phẳng có VTPT n  (a; b; c) vectơ khác nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Đặc biệt: với a2 b2 c2 VTPT VTPT VTPT Mp(Oyz) : x    n(Oyz )  (1;0;0), mp(Oxz) : y    n(Oxz )  (0;1;0), mp(Oxy) : z    n(Oxy )  (0;0;1) Bài tốn 6.1 Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (Q) cho trƣớc Bài tốn 6.2 Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với với đƣờng thẳng d cho trƣớc  Mặt phẳng (P) qua M, có VTPT n( P )  n(Q ) nên  Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P )  ud nên phương trình phương trình viết theo (*) Bài tốn 6.3 Viết phƣơng trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB viết theo (*) Bài tốn 6.4 Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C  Bƣớc 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính AB  Bƣớc 1: Tính tọa độ AB, AC suy  AB, AC   Bƣớc 2: Phương trình mp( P) qua I VTPT n  AB   qua A  Bƣớc 2: Phương trình mp( P) Bài tốn 6.5 Viết phƣơng trình mặt phẳng qua M chứa đƣờng thẳng d với M  d Bài tốn 6.6 Viết phƣơng trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lƣợt A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c ) với a.b.c   Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn  Bƣớc 1: Chọn điểm A  d VTCP ud Tính  AM , ud   VTPT n   AB, AC   ( P) : x y z    a b c qua M  Bƣớc 2: Phương trình mp( P) VTPT n   AM , ud  35 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d1  (Q) : ax  by  cz  d   M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P) : ax  by  cz  d   Cho   Khi đó: d  M , ( P)    Cho hai mặt phẳng  ax0  by0  cz0  d a  b2  c Góc hai mặt phẳng ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1   (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d   Góc ( P) & (Q) tính:  nP nQ  nP nQ  d1  d a  b2  c2 với d1  d ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  Ta có:  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d  a1 b1 c1 d1    a2 b2 c2 d2 a b c d  ( P)  (Q)     a2 b2 c2 d  ( P) (Q)  a1a2  b1b2  c1c2 a12  b12  c12 a22  b22  c22  Chú ý:  ( P),(Q)  90  Khi đó: d  ( P), (Q)   Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình:  Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình: cos  ( P), (Q)   Khoảng cách hai mặt phẳng song song  ( P) & (Q) cắt  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2  ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2   Lƣu ý: Các tỉ số có nghĩa mẫu khác Ví trị tƣơng đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R  Trƣờng hợp 1: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) khơng có điểm chung  Trƣờng hợp 2: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) có  Trƣờng hợp 3: d  I , ( P)   R  ( P) cắt ( S ) theo giao điểm chung Khi ta nói ( P) tiếp xúc ( S ) ( P) tiếp diện ( S ) tuyến đƣờng trịn Đường trịn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r  R2  IH với IH  d  I ,( P)  Ta có: IM  ( P) với M tiếp điểm Phƣơng trình đƣờng thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u  (u1; u2 ; u3 )  Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác , có giá trùng với d song song với d  x  x A  u1t   Phương trình tham số d :  y  y A  u2t với t tham số z  z  u t A   Phương trình tắc d : x  xA y  y A z  z A   u1 u2 u3 với u1.u2 u3  36 a  d d có VTCP là: ud   a, b   Lƣu ý: Nếu có cặp vectơ khác không phương cho   b  d  7.1 Ví trị tƣơng đối hai đƣờng thẳng: qua M Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bƣớc I  u1 , u2 0 VTCP u2 Bƣớc II d1    u1 , MN     Hai đường thẳng d1 , d2 cắt chéo Kết luận  u1 , MN   Hai đường thẳng d1 , d2 song song trùng  u1 , u2 VTCP u1 qua N , d2 d2 d1 d2  u1 , u2 MN d1 cắt d2  u1 , u2 MN d1 & d2 chéo 7.2 Ví trị tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng: x x0 u1 t Xét vị trí tương đối đường thẳng d : y y0 u2 t mặt phẳng ( P) : ax z z0 u3 t Bƣớc I:  Thay phương trình tham số d vào phương trình ( P) , ta PT (*): a( x0 u1t ) b( y0 u2 t ) c( z0 u3t ) d by cz d Bƣớc II:Giải PT (*), ta gặp trƣờng hợp sau  PT (*) vơ nghiệm d  PT (*) có nghiệm t  t0 d cắt ( P) điểm  PT (*) có vơ số nghiệm t d Kết luận ( P) ( P) 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng:  Bƣớc 1: Chọn điểm A  d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc)  Bƣớc 2: d  M , d   ud , AM    ud 7.4 Khoảng cách hai đƣờng thẳng: Trƣờng hợp 1: Hai đƣờng thẳng song song Trƣờng hợp 2: Hai đƣờng thẳng chéo d1 , d d1 , d  Bƣớc 1: Chọn điểm M (đẹp) thuộc d1  Bƣớc 1: Ghi rõ d1  Bƣớc 2: d  d1 , d2   d  M , d2  (xem 7.3) qua A   VTCP u1     Bƣớc 2: Tính: d  d1 , d   , d2 qua B   VTCP u2    u1 , u2  AB   u1 , u2    7.5 Góc hai đƣờng thẳng:  Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP u1 , u2     Ta có: cos d1 , d  u1.u2 u1 u2 7.6 Góc đƣờng thẳng mặt phẳng: 37  Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P) có VTPT n 8.2 Tìm điểm A đối xứng với A qua (P )  Gọi d đường thẳng u.n u.n qua A  ( P) Viết pt tham số d với VTCP d VTPT (P)  Gọi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d) Cách 8.3 Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d  Hình chiếu điểm đối xứng: Phƣơng pháp Bài tốn 8.1 Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P )    Ta có: sin d , ( P)   AH  d  AH ud    Tìm t   Tọa độ H qua A Viết pt mp( P) ( P)  d  Gọi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào  Gọi ( P) Cách pt mp (P) ta tìm tọa độ H 8.4 Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d 8.5 Viết phương trình đường thẳng d  hình chiếu đường thẳng d mp ( P)  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A Trƣờng hợp 1: d song song mp (P) Trƣờng hợp 2: d cắt mp (P) điểm  Lập phương trình mp(Q) biết (Q) chứa d (Q)  ( P) : (Q) qua điểm A  d (Q) có VTPT nQ  ud , nP     Lập phương trình d  giao tuyến hai mp (P) (Q): Chọn hai điểm M, N thuộc d  cách thay Tìm x   y, z thay Tìm y   x, z (đối với hệ hai pt (P), (Q)) Viết pt d qua M, N [ XIV GẮN TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Gắn tọa độ hình chóp 1.1.Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: 38 Đáy tam giác  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB  a   Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A  0; ;0  , B   ;0;0  ,      1   C  ;0;0  , S  0; ; OH  2    SA  Đáy tam giác vuông B  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: B  O  0;0;0  , A  0; AB;0  , C  BC,0;0  ,   S  0; AB; BH   SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; AB;0  , C  AD; AB;0 , D  AD;0;0  , S  0;0; SA Đáy tam giác cân A  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm là: O(0;0;0), A  0; OA;0  , B  OB;0;0  ,   C  OC;0;0  , S  0; OA; OH   SA   Đáy tam giác vuông A  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: A  O  0;0;0  , B  0; OB;0  , C  AC;0;0  , S  0;0; SA Đáy hình thoi  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0; OB;0  , C  OC;0;0  Đáy tam giác cân B  Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC;0;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy tam giác thƣờng  Dựng đường cao BO ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC;0;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy hình thang vng  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; AB;0  , C  AH ; AB;0  , 39 D  AD;0;0  , S  0;0; SA   D  0; OD;0  , S  OA;0; OH   SA   1.2.Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác, mặt bên tam Đáy tam giác cân C (hoặc Đáy hình vng-hình chữ nhật giác thƣờng đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều)  Vẽ đường cao CO ABC Chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O  0;0;0 , A  0; OA;0  ,   B  0; OB;0  , C  OC;0;0  , S  0; OH ; OK   SH    Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O  0;0;0 , A  0; OA;0  ,  Dựng hệ trục hình, chọn a =  Ta có: A  O  0;0;0 , B  AB;0;0    C  AB; AD;0  , D  0; AD;0  , S  AH ;0; AK   SH   B  0; OB;0 , C  OC;0;0 , S  0;0; SO  1.3.Hình chóp Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ điểm: O  0;0;0  , hình vẽ a = Tọa độ điểm:        AB   BC AB AB   AB      O  0;0;0  , A  0; ;0  , B   ;0;0  , A ;0;0  , B  0; ;0  , C   ;0;0  , 2            OA  OB  OA          BC  AB   C ;0;0  , D  0;  ;0        OB    AB  S  0;0; SO  S  0; ; OK   SH   OH   Gắn tọa độ hình lăng trụ 2.1 Lăng trụ đứng Hình lập phƣơng, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: A  O  0;0;0  , B  0; AB;0  , Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình với O  0;0;0  , 40 C  AD; AB;0  , A  OA;0;0  , B  0; OB;0  , C  OC;0;0  , D  AD;0;0  , D  0; OD;0  , A  OA;0; AA , B  0; OB; AA  , A  0;0; AA  , C  OC;0; CC  , D  0; OD; DD  B  0; AB; AA , C  AD; AB; AA , D  AD;0; AA  Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  O  0;0;0  , A  ;0;0  ,    AB  B   ;0;0  , C  0; OC;0  ,   A  OA;0; AA ,  AB  B   ;0; BB  , C  0; OC; CC   Lăng trụ đứng có đáy tam giác thƣờng Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm là: O  0;0;0  , A  OA;0;0 , B  OB;0;0  , C  0; OC;0  , A  OA;0; AA , B  OB;0; BB , C  0; OC; CC 2.2.Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm cạnh tam chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm giác đáy thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA  BB  CC  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C, D, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA  BB  CC  DD 41