Thông tin tài liệu
sa ng ki en SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ki nh ng hi em w n lo ad th yj uy SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ip la Đề tài : an lu MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG va GIAN 11 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ n VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT ll fu oi m LĨNH VỰC: TOÁN HỌC at nh z z vb k jm ht om l.c gm Năm học: 2022-2023 sa ng ki en SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ki nh TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU ng hi em w n lo ad th yj uy ip la SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM an lu Đề tài : MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG va n GIAN 11 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ fu ll VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT oi m at nh LĨNH VỰC: TOÁN HỌC z z vb Địa gmail: nvminh8286@gmail.com Số điện thoại: 0977733088 – 0969871676 – 0961731978 Năm học: 2022-2023 om Nhóm: Tốn Học l.c Tổ: Toán tin gm TRƯƠNG XUÂN QUANG k DƯƠNG ĐĂNG LỢI jm ht Người thực hiện: NGUYỄN VĂN MINH sa ng ki en MỤC LỤC ki nh PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ng 1.1 Lí chọn đề tài hi em 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Tính khoa học qua nhóm giải pháp nghiên cứu w 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu n 1.5 Tính đề tài, sáng kiến, giải pháp lo ad 1.6 Phương pháp nghiên cứu th yj 1.7 Cách thực uy 1.8 Tính khả thi tính cần thiết thực sáng kiến kinh nghiệm ip la Phần II NỘI DUNG an lu I Cơ sở lí luận thực tiễn Cơ sở lý luận va n 1.1 Năng lực fu ll 1.2 Các thành tố lực Toán học m oi 1.3 Năng lực giải vấn đề sáng tạo at nh 1.4 Một số vấn đề lý thuyết liên quan z Cơ sở thực tiễn 12 z vb II Một số biện pháp thực 14 jm ht 2.1 Biện pháp 1: Giải toán nhiều cách khác 14 k 2.2 Biện pháp 2: Thay đổi hình thức tốn mà khơng làm thay đổi chất tốn 18 Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50 Kết luận 50 Kiến nghị 50 B KẾ HOẠCH THỰC HIỆN 52 C TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 om III Thực nghiệm sư phạm 49 l.c gm 2.3 Biện pháp 3: Xây dựng tốn khó từ tốn 25 sa ng ki en A NỘI DUNG ki nh PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ng 1.1 Lí chọn đề tài hi em Mục tiêu giáo dục phổ thơng tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, phẩm chất lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện, trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, lực kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời w n lo ad th Nâng cao chất lượng giáo dục yêu cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phương pháp dạy học yj uy ip la Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh phẩm chất, lực người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh an lu n va fu ll Tuy nhiên trình giảng dạy nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian số lý sau: oi m at nh i) Hầu hết em học sinh gặp khó khăn việc học hình học khơng gian, em bị tâm lý khơng có lực học phần hình học khơng gian z z ii) Để học tốt phân mơn hình địi hỏi người học phải có tư nhạy bén, óc tưởng tượng phong phú, phải nắm qui ước vẽ hình Nhưng đa số học sinh lại lười tư duy, suy nghĩ, tốn khó bỏ qua khơng kiên trì tìm kiếm phương pháp giải vb k jm ht Từ lý nêu trên, định chọn đề tài nghiên cứu (SKKN) là: ‘‘Một số biện pháp dạy học chủ đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 nhằm phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh THPT” | SKKN năm học 2022-2023 om Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng l.c gm iii) Về phía giáo viên, phận giáo viên tốn dạy đến phân hình học khơng gian suy nghĩ em yếu phần này, có dạy em không học, không hiểu nên dẫn đến cách tiếp cận vấn đề sơ sài, cẩu thả làm cho em học sinh thêm phần khó khăn việc học chủ đề sa ng ki en 1.2 Mục đích nghiên cứu: ki Trong đề tài đưa số giải pháp giúp học sinh học tốt chủ đề qua giúp học sinh phát triển lực giải vấn đề sáng tạo nh ng hi Một số giải pháp đưa sau: em + Giải tốn hình học không gian theo nhiều cách + Xây dựng tốn khó từ tốn w n + Tìm mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian lo ad 1.3 Tính khoa học qua nhóm giải pháp nghiên cứu th - Năng lực học toán bao gồm thành tố: lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn yj uy ip la - Năng lực giải vấn đề sáng tạo thể qua việc thực hành động: lu an + Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học va n + Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề ll fu + Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương thích (bao gồm cơng cụ thuật tốn) để giải vấn đề đặt oi m z z Đề tài nghiên cứu đối tượng sau: at 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu nh + Đánh giá giải pháp đề khái quát hóa cho vấn đề tương tự vb k jm 1.5 Tính đề tài, sáng kiến, giải pháp ht Một số tốn hình học khơng gian lớp 11 chương 3: Quan hệ vng góc a Phương pháp quan sát: Phương pháp giúp ta nắm bắt hoạt động dạy học thầy hoạt động học tập trò hoạt động giáo dục để có biện pháp giúp học sinh có thói quen học tập, phát kịp thời khó khăn học sinh để có biện pháp giúp đỡ phù hợp b Phương pháp thực nghiệm Tiến hành khảo sát thực tế hoạt động học tập học sinh lớp qua tiết | SKKN năm học 2022-2023 om 1.6 Phương pháp nghiên cứu l.c gm Đã có nhiều tài liệu viết chủ đề hình học khơng gian này, có nhiều sáng kiến kinh nghiệm viết chủ đề giải pháp đưa cụ thể đề tài gần chưa có tài liệu trước viết sát thực sáng kiến sa ng ki en học, qua tiến hành kiểm tra học sinh Để từ thu lại tư liệu cần thiết Đây phương pháp quan trọng cần thiết nghiên cứu khoa học ki nh ng hi c Phương pháp tổng hợp kinh nghiệm: em Pháp giúp người nghiên cứu tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm giáo viên qua hoạt động học tập, từ rút học nêu biện pháp khắc phục đề xuất w n - Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết (Sách tham khảo, Chun đề tốn, tạp chí Tốn học, đề thi Học sinh giỏi Toán tỉnh) lo ad th - Tham khảo ý kiến đồng nghiệp yj uy d Phương pháp đàm thoại: ip Đây phương pháp để giáo viên gần gũi học sinh, đồng thời thăm hỏi, trị chuyện, qua nắm bắt tâm tư tình cảm, nguyện vọng em việc học lớp việc học nhà em Để từ giáo viên cần có phương pháp hình thức tổ chức dạy học thích hợp, khơi dạy niềm đam mê, tinh thần ham học hỏi tư sáng tạo học sinh để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh la an lu n va ll fu e Phương pháp thống kê, tính tốn: oi m Sử dụng phương pháp thống kê giúp ta sử lý liệu, thông tin trình nghiên cứu, điều tra thu thập Nhờ biết chất lượng học tập học sinh thời gian sau so với thời gian trước để điều chỉnh biện pháp cho phù hợp at nh z z vb 1.7 Cách thực + Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm k jm ht + Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên nhóm mơn Thơng qua khảo nghiệm nhằm khẳng định cần thiết tính khả thi số biện pháp dạy học chủ đề “Hình học khơng gian lớp 11 nhằm phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh THPT, để từ hồn thiện biện pháp cho phù hợp với thực tiễn - Đối tượng khảo nghiệm: Tác giả tiến hành trưng cầu ý kiến 50 người giáo viên Toán trường THPT Sở GD-ĐT Nghệ An - Nội dung quy trình khảo nghiệm: | SKKN năm học 2022-2023 om - Mục đích khảo nghiệm: l.c 1.8 Tính khả thi tính cần thiết thực sáng kiến kinh nghiệm gm + Thông qua việc giảng dạy trực tiếp sa ng ki en Để tiến hành khảo nghiệm cần thiết tính khả thi cầu ý kiến theo hai tiêu chí: tính cần thiết tính khả thi giải pháp đưa ki nh ng Thực đánh giá tiêu chí theo mức độ từ cao đến thấp lượng hoá điểm số hi em + Tính cần thiết: Rất cần thiết (3 điểm); Cần thiết (2 điểm); Không cần thiết (1 điểm) w + Tính khả thi: Rất khả thi (3 điểm); Khả thi (2 điểm); Không khả thi (1 điểm) n lo Sau nhận kết thu được, chúng tơi tiến hành phân tích, xử lí số liệu bảng thống kê, tính tổng điểm (Σ) điểm trung bình ( X ) biện pháp khảo sát, sau xếp theo thứ bậc để nhận xét, đánh giá rút kết luận ad th yj uy - Thời gian tiến hành khảo nghiệm: tháng 04/2022 ip - Hình thức khảo sát: Dùng google form la an lu https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfPxKTPJgMaFgoUlQFttWEQd_q PbNR93ecf2bpMxaDFr68_xA/viewform Trung Thứ bình bậc Điểm SL Điểm SL Điểm z Giải toán nhiều cách khác 35 105 10 20 5 130 2.6 Thay đổi hình thức tốn mà khơng làm thay đổi chất tốn 40 120 14 3 137 2.74 z vb k jm ht om l.c gm Tổng at Không cần nh SL Cẩn thiết oi Rất cần thiết m Biện pháp ll TT fu Mức độ đánh giá n va Kết khảo sát tính khả thi biện pháp đề tài SKKN | SKKN năm học 2022-2023 sa ng ki en ki nh Xây dựng tốn khó từ toán ng 30 13 26 7 123 2.46 315 30 60 15 15 390 2.6 hi 90 em w 105 n Trung bình chung lo ad Kết khảo sát tính cần thiết biện pháp đề tài SKKN th Mức độ đánh giá yj Rất cần uy TT Biện pháp Cẩn thiết Khơng cần SL Giải tốn nhiều cách khác 40 120 16 2 Thay đổi hình thức tốn mà khơng làm thay đổi chất toán 35 105 12 24 3 132 2.64 Xây dựng tốn khó từ toán 30 90 10 20 10 10 120 2.4 105 315 30 60 15 15 390 2.6 la Điểm k ip Trung Thứ bình bậc SL Điểm SL an lu n va 138 2.76 ll fu oi m at nh z z vb jm ht om l.c gm Trung bình Điểm Tổng | SKKN năm học 2022-2023 sa ng ki en Phần II NỘI DUNG ki nh I Cơ sở lí luận thực tiễn ng Cơ sở lý luận hi em 1.1 Năng lực Các nhà tâm lí học cho rằng, lực kết hợp kiến thức, kĩ thái độ có sẵn dạng tiềm cá nhân, tổng hợp đặc điểm thuộc tính tâm lí cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng hoạt động định nhằm đảm bảo cho hoạt động có hiệu cao Hiện nay, quan niệm chung lực nhiều người thừa nhận là: “Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” (Chương trình Giáo dục phổ thơng tổng thể (tháng 7/2017)) Như vậy: w n lo ad th yj uy ip la lu an - Năng lực kết hợp tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện người học va n - Năng lực tích hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… ll fu m oi - Năng lực hình thành, phát triển thơng qua hoạt động thể thành công hoạt động thực tiễn at nh z - Năng lực tư khả tự suy nghĩ tự giải vấn đề mang lại kết tốt Với người sở hữu lực tư người có tính linh hoạt cao, có khả lắng nghe quan sát định đắn hiệu z vb ht k jm Khái quát lại lực hiểu kết hợp kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ hành vi cá nhân để thực cơng việc có hiệu Năng lực không bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà giá trị, động cơ, đạo đức hành vi xã hội Trước hết, mục đích then chốt việc học tốn để trở thành người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ, giải vấn đề học tập đời sống Muốn vậy, người cần biết cách “chuyển dịch”, mơ tả tình (có ý nghĩa tốn học) đặt thực tiễn phong phú sang tốn hay mơ hình tốn học thích hợp, tìm cách giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập, từ đối chiếu, giải vấn đề thực tiễn đề Mặt khác, việc giải | SKKN năm học 2022-2023 om 1.2 Các thành tố lực Toán học l.c gm Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các lực cần hình thành phát triển cho người học mơn Tốn trường phổ thơng Việt Nam là: lực tư duy; lực giải vấn đề; lực mơ hình hóa; lực giao tiếp; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn; lực học tập độc lập hợp tác” sa ng ki en vấn đề toán học gắn liền với việc đọc hiểu, ghi chép, trình bày, diễn đạt nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học tương tác (thảo luận, tranh luận, phản biện) với người khác, gắn liền với việ sử dụng hiệu ngôn ngữ tốn học kết hợp với ngơn ngữ thơng thường động tác hình thể ki nh ng hi em Năng lực học toán bao gồm thành tố: lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn w n Mỗi thành tố lực toán học cần biểu cụ thể tiêu chí, báo Điều có độ phức tạp cao minh họa bảng: lo ad th Các tiêu chí, báo yj uy Các thành tố lực toán học ip la Thể qua việc thực hành động: an lu - So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái qt hóa; tương tự; quy nạp; diễn dịch n va Năng lực tư lập - Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lí trược kết luận toán học luận ll fu oi m - Giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện toán học nh at Thể qua việc thực hành động: z z - Sử dụng mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mơ tả tình tốn thực tế vb k - Giải vấn đề toán học mơ hình thiết lập jm ht Năng lực mơ hình hóa tốn học Năng lực giải vấn đề toán học - Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề - Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương thích (bao gồm cơng cụ thuật toán) để giải vấn đề đặt - Đánh giá giải pháp đề khái quát hóa cho vấn đề tương tự Năng lực Thể qua việc thực hành động: giao tiếp toán - Nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thơng tin tốn học cần học | SKKN năm học 2022-2023 om Thể qua việc thực hành động: l.c gm - Thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến mơ hình cách giải không phù hợp sa ng ki en x y z x3 y y z z x3 ki nh x6 y z 3x y 3x z y x y z 3z x 3z y x y z ng hi x3 y z em x2 y z Vậy với số dương x,y,z ta có: x3 y3 z w x2 y y n Áp dụng bất đẳng thức cho x cos2 , y cos2 , z cos2 lo ad th Ta có tốn mới: yj Bài tốn 22 Cho hình tứ diện vuông OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh: uy la an lu ip cos3 cos3 cos3 n va Dấu xảy khi: cos cos cos m ll fu + Kỹ thuật oi Lưu ý rằng, để chứng minh bất đẳng thức x3 y z ta z z x3 y3 z3 x3 y3 z3 1 1 x2 y z at nh dùng bất đẳng thức Holder: x2 y y vb Với số thực dương a,b,c,x,y,z,m,n,p, ta có: x2 3 1 y3 y3 y x3 y z 3 z3 z3 z2 3 x3 x3 38 | SKKN năm học 2022-2023 om Đặt x cos , y cos , z cos x2 y z l.c gm + Kỹ thuật Ngoài ra, sử dụng kỹ thuật cân hệ số: k a3 b3 c3 x3 y3 z3 m3 n3 n3 amx bny cpz 3 jm ht Chú ý: Bất đẳng thức Holder sa ng ki en Lưu ý rằng, đặt x cos2 , y cos2 , z cos2 x y z Dùng ý ki nh tưởng liên hệ x3 y3 z qua x y z : ng Với số dương: x, y , z x y z , áp dụng bất đẳng thức CauchySchwars, ta được: hi em x3 y z x x w y y z z x y z 2 n x x xy y yz z z 2 lo x2 y z 2 2 ad 2 1 x y z 3 th Áp dụng với x cos2 , y cos2 , z cos2 x, y, z 1; x y z ta có toán sau yj uy ip Bài toán 23 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh: la an lu n Một cách giải khác tự nhiên sau: va cos6 cos6 cos6 fu ll Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương x, y, z : x y z m oi 1 x 27 27 1 y y x3 y z 27 27 1 z3 z 27 27 at nh x3 z z vb k jm ht Tương tự, kết hợp bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM, thu được: om Với x, y, z : x y z 1 1 9 3 2 x y z x yz x y z Mặt khác: l.c gm Nhận xét Đây đánh giá hình tứ diện vng OABC 1 3 x y z x y z 12 x y z x yz 1 Từ hai bất đẳng thức suy ra: x y z x y z 39 | SKKN năm học 2022-2023 sa ng ki en ki Dấu xảy ra: x y z nh ng Ta có tốn hi Bài tốn 24 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ biểu thức: em 1 cos cos cos cos cos cos w A n lo Lưu ý: Khơng học sinh sai lầm ad th A cos cos cos 6 cos cos cos yj uy Tương tự ý tưởng toán ip la Bài tốn 25 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ biểu thức: an lu cos cos cos cos cos cos n va B ll fu Lời giải oi m Đặt x cos2 , y cos2 , z cos2 x, y, z 1; x y z at nh Ta có bất đẳng thức sau: z vb ht 1 44 xyz k gm 4 xyz Dấu xảy khi: x y z om l.c x yz jm x yz z 1 x yz xyz 3 xyz 3 Vậy giá trị nhỏ B hình tứ diện OABC vng cân O Tiếp theo, áp dụng kết quen thuộc: x x2 3 x x2 với x, y, z 3 Thật vậy, có hướng sau: Hướng Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 40 | SKKN năm học 2022-2023 sa ng ki en ki x2 x2 nh x2 x2 x2 27 ng hi Hướng Hoặc xét hàm số: f x em 3x w f ' x x 1 x ,0 x có 3 f x , f ' x x n x2 x2 lo ad Từ dẫn đến kết mạnh hơn: th ip uy x x2 x2 3 3 x ,0 x x ,0 x 2 x2 yj x2 la Sử dụng kết cho hai toán sau đây: lu an Bài toán 26 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ biểu thức: cos2 cos2 at cos2 cos2 cos2 nh cos cos oi cos2 cos2 cos2 cos m cos2 cos cos ll cos cos cos fu n P2 cos va P1 z z Lời giải vb jm ht Đặt x cos2 , y cos2 , z cos2 x, y, z Ta có: k x2 x2 y2 y2 y2 z z2 ; z2 om x2 y l.c P2 x gm P1 z2 Dễ dàng nhận thấy: Giá trị nhỏ P2 P1 x2 y z 2 y2 x z 2 3 đạt hình tứ diện vng cân O z2 y x 2 x2 1 x y2 1 y z2 1 z 3 x y3 z 41 | SKKN năm học 2022-2023 sa ng ki en ki nên Theo ta chứng minh được: x3 y3 z nh ng P1 hi 3 em cos cos cos Dấu xảy x y z w n Giá trị nhỏ P1 lo uy ad hình tứ diện vuông cân O 2 th Lưu ý: Để chứng minh x x yj 3 x x x2 3 la 3 ip x3 với x ta dùng cách sau 3 x x2 3 lu a a b a3 a 2b 2a 2b a a b3 b3 a 6 z k jm ht c5 vb a b3 c * b2 c a c b2 a b5 z Cùng với hai kết tương tự, ta có bất đẳng thức sau đây: a5 at a b2 a3 a b a b2 nh a5 2 oi Dẫn đến: a b m a3b2 ll a3 fu a b a3 a b b n a5 va Để ý rằng, với số dương a, b ta có: an Ý tưởng mạnh: Kỹ thuật Cosi ngược dấu cos5 cos2 cos2 cos5 cos2 cos2 cos5 cos cos Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (*) với a cos , b cos , c cos toán cos3 cos3 cos3 Bài tốn 28 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi 1, 1, 1 góc đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: 42 | SKKN năm học 2022-2023 om Bài tốn 27 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: l.c gm Dùng bất thức ta có tốn: sa ng ki en cot 1 cot 1 cot 1 ki nh Lời giải ng Ta có: 1 OAH sin 1 hi em OH w OB Tương tự: sin 1 OH OA2 ;sin OH OC n lo Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ta có ad th 1 OA2 OB OC 2 2 OC OA OB yj OH 9 lu OH la OC ip OH OB uy OA2 an 9 OH OH OB OC 1 9 sin 1 sin 1 sin n va ll fu OH OA2 oi m nh cot 1 cot 1 cot at cot 1 cot 1 cot z z vb Nhận xét Đó cách chứng minh trực tiếp áp dụng tính chất đường cao tứ diện vng Sau ta áp dụng tính chất khác mà lời giải ngắn gọn nhiều: Suy ra: cot 1 cot 1 cot 1 Dấu xảy cos1 cos 1 cos , tức tứ diện OABC vuông cân O Bài tốn chứng minh Có khai thác thêm? 43 | SKKN năm học 2022-2023 om 1 m 1 n 1 p 1 3 3 m n p m n p mn p l.c gm Do: 1 m 1 n 1 p m n p k Ta có: cot 1 cot 1 cot jm ht Đặt m sin 1, n sin 1, p sin 1 m, n, p : m n p sa ng ki en ki Từ bất đẳng thức nh ng số, ta suy ra: x2 y2 z xy1 yz1 zx1 x y z k hi 1 xy yz zx k em Áp dụng cho tứ diện vuông OABC, ta thu điều gì? Giả thiết gì? w n Nếu đặt lo x sin / sin '/ sin 1 , y sin / sin '/ sin 1 , z sin / sin '/ sin 1 ad th ta thấy x y z k số yj uy Nghĩa biểu thức dạng 1 sin sin sin sin sin sin N 1 sin '.sin ' sin '.sin ' sin '.sin ' P 1 sin 1.sin 1 sin 1.sin 1 sin 1.sin 1 ip M la an lu n va ll fu oi m at Bài toán sau trường hợp: nh ta đánh giá z Bài tốn 29 Cho hình tứ diện vuông OABC Gọi ', ', ' góc OH với đường thẳng OA,OB,OC.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: z vb k jm 1 sin '.sin ' sin '.sin ' sin '.sin ' ht M gm Lời giải 1 9 sin ' sin ' sin ' sin '.sin ' sin '.sin ' sin '.sin ' M sin ' sin ' sin ' Ta lại có: sin ' sin ' sin ' =2 Suy ra: M Đẳng thức xảy khi: 44 | SKKN năm học 2022-2023 om l.c Áp dụng (II), ta có: sa ng ki en sin ' sin ' sin ' cos cos cos a b c ki nh Vậy: M ng OABC tứ diện vuông cân O hi Nhận xét Lời giải cịn khơng thay biểu thức dạng em 1 cos cos cos cos cos cos N 1 cos '.cos ' cos '.cos ' cos '.cos ' P 1 cos1.cos 1 cos 1.cos 1 cos 1.cos 1 M w n lo ad th yj uy ip Khơng vậy, ta cịn nghĩ đến biểu thức có dạng hốn vị vịng quanh la an lu Bài tốn 30 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi ', ', ' góc OH , với đường thẳng OA,OB,OC Tìm giá trị nhỏ biểu thức: cos ' cos ' cos ' cos ' cos ' cos ' ll fu cos ' n cos ' cos ' va N oi m Lời giải at nh Đặt x cos ', y cos ', z cos ' x, y, z z Khi đó: x2 y z nên x y z Dấu xảy x y z k jm ht vb z x y yz zx Ta có: x y z N x y z x y z Suy ra: N 18 18 6 x yz Dấu xảy khi: x y x cos ' cos ' cos ' a b c Vậy: N OABC tứ diện vng cân Bài tốn 31 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng: 45 | SKKN năm học 2022-2023 om 1x y y z z x x y yz zx 18 3 z x y z x y l.c gm x y yz zx x y yz zx z x y z x y sa ng ki en ki nh cot cot cot cot cot cot ng Lời giải hi em Ta có: cot OI ca bc ab , cot , cot OC c a b2 a b2 c b c2 a2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: w b2 n lo cot cot ad a b2 b2 b2 b c b c 2 a b th yj Tương tự: uy c2 c2 cot cot c b a c ip la a2 a2 cot cot a b a c an lu va Cộng bất đẳng thức ta có điều cần chứng minh n Dấu xảy khi: a b c fu oi m b2 cos B at a b2 b2 c nh cot cot ll Lưu ý rằng, ta thấy ngay: z 2 cos A Nhận xét: Dùng kết áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta thu kết đẹp là: cot cot cot 2 a 2b2c a2 b2 b2 c2 c2 a2 Dấu xảy a b c Từ kết này, ta có kết sau đề nghị Olympic 30/04/2007 46 | SKKN năm học 2022-2023 om Suy ra: cot cot cot cot cot cot cos A cos B cos C l.c gm a b k a c a2 cos C jm a c 2 ht c b vb cot cot c2 z cot cot sa ng ki en Bài toán 32 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: ki nh ng cot cot cot cot cot cot 2 6cot cot cot hi em Tuy vậy, cách chứng minh khác: cot cot cot cot cot cot 2 cos A cos B cos C 2 w lo n cos A cos B cos C cot cot cot cos A cos B cos C ad th Cả hai đẳng thức xảy cot A cot B cot C A B C tứ diện vuông cân O yj uy ip Bây giờ, ta ngẫu hứng (có cố ý tạo vậy) biểu thức dạng đa thức sau mà đặc biệt nên lời giải bất ngờ: la an lu Bài toán 33 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: 6cos2 3cos2 2cos2 n va T cos 2cos 3cos fu ll Dấu xảy nào? oi m Lời giải nh at Đặt x cos2 , y cos2 , z cos2 x y z 1; x 0, y 0, z z z Ta có: vb ht T x y 3x x y x k jm x y z 15 xy 13 yz 20 zx x y z 3x y z y y z yz 2 x y z x y z 3 5 om l.c 6 x y z gm 8 x y z cos x x y z Dấu xảy ra: y z x y cos x y z 1 z cos Điều không xảy Bài toán chứng minh 47 | SKKN năm học 2022-2023 sa ng ki en Bài toán 34 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ki nh ng Q tan tan tan cot cot cot hi Lời giải em Đặt: x cos2 , y cos2 , z cos2 x y z 1; x 0, y 0, z w cos a b c Ta có: tan cos a a n lo ac ; b ad th Tương tự: tan tan ab c yj bc ca ab (i) a b c uy Ta có: ip la a b c a b c 1 3 b c c a a b b c c a a b an lu n va 1 a b c 3 bc ca ab 1 b c c a a b 3 bc ca ab 3 ii 2 15 Từ (i) (ii) suy ra: Q tan tan tan cot cot cot Dấu xảy a b c ll fu oi m at nh z z vb jm ht k Bài tốn 35 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi , , góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos2 sin sin cos2 sin sin Lời giải Đặt x sin sin , y sin sin , z sin sin Ta có ngay: x y z sin sin sin Mặt khác: cos sin sin sin x Tương tự: cos2 y 1; cos z 48 | SKKN năm học 2022-2023 om sin sin l.c gm cos2 sa ng ki en ki Bất đẳng thức tương đương với: nh x 1 y 1 z 1 1 x x y z y z ng 1 1 Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: x y z x y z hi em 1 9 x y z x yz w n Bài toán chứng minh lo ad Dấu xảy x y z cos cos cos a b c th III Thực nghiệm sư phạm yj uy Sau thực biện pháp sáng kiến kinh nghiệm này, tiến hành lấy ý kiến điều tra em học sinh kết sau: ip Tổng Không hứng thú n ll fu 150 20 160 25 120 45 15 180 430 90 30 540 10 180 oi m at nh z z vb ht 180 k jm om l.c gm Tổng số Hứng thú va Rất hứng thú an Mức độ đánh giá lu Giải toán nhiều cách khác Thay đổi hình thức tốn mà khơng làm thay đổi chất tốn Xây dựng tốn khó từ toán la TT Biện pháp 49 | SKKN năm học 2022-2023 sa ng ki en Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ki nh Kết luận ng Với cơng việc bạn muốn thành cơng địi hỏi bạn phải có đam mê yêu thích, đầu tư thời gian, trí tuệ, vật chất tinh thần cho Cơng việc giảng dạy khơng ngoại lệ Để kích thích niềm đam mê u thích mơn học phát triển tư sáng tạo cho học sinh đòi hỏi người giáo viên phải không ngừng đổi mới, đổi cách nghĩ, cách đánh giá, đổi cách làm việc giảng dạy Để ngày đến lớp ngày vui, giao tiếp thầy trị ln cởi mở ngày gắn bó thân thiện, người giáo viên phải tạo hứng thú học tập học sinh mình, giúp em học tập chủ động, học tập trải nghiệm sáng tạo, học tập hoạt động hoạt động trải nghiệm để chiếm lĩnh tri thức hi em w n lo ad th yj uy ip Đề tài: Một số biện pháp dạy học chủ đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 nhằm phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh THPT, giải pháp khả thi giúp học sinh THPT phát triển lực nói chung, lực Tốn học nói riêng đặc biệt thành tố lực tốn học lực giải vấn đề sáng tạo, áp dụng trình giảng dạy thân tác giả đơn vị trường công tác lớp mà tác giả giảng dạy từ năm học 2021-2022 2022-2023 đến gồm lớp 11A, 11I, 11N (năm học 2021-2022) lớp 11A, 11B, 11E, 11I, 11N 11A, 11B lớp mũi nhọn định hướng tổ hợp mơn Tốn - Vật lí - Hóa học, tập trung em có lực giỏi mơn Tốn, lớp 11E, 11I tập trung em có lực trung bình mơn Tốn, lớp 11N đối tượng em học sinh trung bình yếu mơn Tốn Đồng thời đồng nghiệp trường tiến hành thực nghiệm khối Quá trình triển khai áp dụng với phương thức lựa chọn kiến thức tập phù hợp nhận thấy gây hứng thú học tập cho em, em có tiến mặt tư lực giải vấn đề Toán Đây đề tài mà qua tìm hiểu thân có thầy bàn đến … khơng cụ thể không theo đường nghiên cứu xây dựng đề tài này, đề tài thân đúc rút, tích lũy từ q trình học tập giảng dạy thân học hỏi từ đồng nghiệp nên chắn có đặc trưng khác biệt mà không trùng với đề tài nghiên cứu trước la an lu n va ll fu oi m at nh z z vb k jm ht - Đối với GV: Phải thật say mê, tâm huyết u nghề, trau dồi chun mơn Tích cực chuyển đổi thay đổi thân, đặc biệt tích cực học hỏi tích lũy trau dồi cơng nghệ số để thích nghi với cơng nghệ thời đại 4.0 Chuẩn bị giáo án phù hợp với đối tượng học sinh theo mức độ đơn vị lớp Trong trình 50 | SKKN năm học 2022-2023 om Từ kinh nghiệm thân nhận thấy: Để áp dụng đề tài cách hiệu cần có yêu cầu sau giáo viên, học sinh cấp quản lí: l.c gm Kiến nghị sa ng ki en giảng dạy phải thật linh hoạt, gần gũi chia sẻ kinh nghiệm, trải nghiệm thân với học sinh Chia sẻ giúp đỡ em tháo gỡ khó khăn vướng mắc ki nh ng - Đối với học sinh: Phải nghiêm túc, chủ động trình học tập, mạnh dạn trao đổi trình bày, chia sẻ băn khoăn, chỗ chưa hiểu Luôn đặt mục tiêu phấn đấu trình học Trên lớp học học phải cởi mở, hợp tác, tranh luận xây dựng với nhóm, với bạn với thầy hi em w - Đối với cấp quản lí: Tạo điều kiện cho giáo viên học tập trao đổi, trau dồi chuyên môn cách giới thiệu, cung cấp tài liệu, tập huấn phổ biến nội dung thiết thực cho việc dạy học Đầu tư trang thiết bị dạy học phù hợp, cần sử dụng khai thác có để sử dụng n lo ad th yj Mặc dù cố gắng để hồn thành đề tài, chúng tơi mong muốn nhận góp ý, nhận xét, học hỏi thêm từ quý thầy cô bạn đồng nghiệp uy ip la Xin chân thành cảm ơn! lu an Diễn Châu, ngày 20 tháng 04 năm 2023 n va ll fu oi m at nh z z vb k jm ht om l.c gm 51 | SKKN năm học 2022-2023 sa ng ki en B KẾ HOẠCH THỰC HIỆN ki nh Thời gian Nội dung thực ng Chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm hi Tháng 10 năm 2021 em Tháng 11 năm 2021 Hoàn thành đề cương w Tháng 12 năm 2021 đến hết tháng 09 Tập trung nghiên cứu năm 2022 n Viết hoàn chỉnh sáng kiến Tháng 04 năm 2023 Nạp sáng kiến hội đồng chấm sáng kiến Trường lo Tháng 10 năm 2022 đến tháng 03 năm 2023 ad th yj uy ip la C TÀI LIỆU THAM KHẢO an lu [1] G Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD va n [2] G Polya (1997), Giải toán nào?, NXB Giáo dục, Hà Nội fu ll [3] Đào Tam(2004), Hình học sơ cấp, nhà Nhà xuất Đại học sư phạm z z vb k jm ht [8] Internet at [7] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXBGD nh [6] Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố oi [5] Đề thi THPT quốc gia mơn Tốn m [4] Sách giáo khoa Hình học 11 THPT hành, NXBGD om l.c gm 52 | SKKN năm học 2022-2023
Ngày đăng: 22/08/2023, 09:13
Xem thêm:
