Một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ

B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯNGĐ Ạ I H O C V I N H TRANLÊNAM MTSOTÍNHCHATCỦAĐƯ NGVÀMT TRONG KHƠNGGIANVIMTĐ Chunn gà nh : H ì n h h o c v T p Mãso: 62 46.10 01 TĨMTATLUNÁNTIENSĨTỐNHOC NGHA N -2015 Cơngt r ì n h đ ợchồn c h o n t h n h t ại: i : Đ ại: i h o c V i n h Ngườiih ướngdan ngdan khoahoc : PGS.TSĐ o n T h e H i e u TSNguyenDuyBình Phảnnbi¾n1: Phảnnbi¾n2: Phảnnbi¾n3: Lu¾nánđượchồncbảnov¾trướngdancHiđongchamlu¾náncaptrườinghoptại:i oh o i giời0 p h ú t , n g y tháng năm Cóthetìmhieulu¾nántại:ithưvi¾n: Thưvi¾nNguyenThúcHào–Tr ười ng Đ ại: i hocVinh Thư vi¾nquocgiaVi¾tNam MĐ A U Lýdochonđetài Đatại:pvớngdanim¾tđlàm tđ a t ại: p R i e m a n n ( Mn, g)v i m t h m trơn, dương, thường dùng làn, dươn, dương, thường dùng làng, thườing đượchồnc dùng e−fởđóflàm thàm trơn, dương, thường dùng làn, đượchoàncsản dụng làm so cho the tíchng làm so cho the ≤ tích k-chieu (1kn) Tronglu¾nán,chúngt i d ù n g c c k h i n i ¾ m f -thet í c h , f di¾nt í c h , f -đdài,f -đcong,f -đc o n g t r u n g b ì n h , f -tracđ ịa,siêu a , s i ê u m tf cựct i e u , s i ê u m tf-őn địa,siêunh lan lượchồnt đe the tích, di¾n tích, đ the tích, di¾n tích, đ d i , đ c o n g c đường a đ ời n g cong phȁng,ng,đcong trung bình, đườing trac địa,siêua, siêum tcựcc tieu,siêumtőnđịa,siêunhtheom¾tđ.Đâylàmtphại:mtrùmớngdani,cónhiengdụng làm so cho the tíchn g trongTốn hoc, V¾t lý.Đ cbi¾t,khơng gian Gauss, tác n/2 (2π) làRnvớim¾tđ e −|x|2/2,đ ượchồn c nhieunhàxácsuatquantâm.Dođó, vi¾c tìm hieu hình hoc vi phân đa tại:p vớngdani m¾t đkhơng the tích, di¾n tích, đ có ýnghĩal ý th u y e tm c ò n c ó ý n g h ĩ a th ực c ti e n Nh¾n thay vai trị quan đườnga đa tại:p vớngdani m¾t đ ,giáo sưF.Morganđ ã đ e r a m tdựcá n " r a t q u a n t r o n g " l " t o n g q u t h ó a t o n bhìnhh o c v i p h â n c o đ i e n l ê n đ a t p v i m ¾ t đ ".Tron g d ực n đ ó , ơngv c c c ngs ực đ ã đ ại: t đ ợchoàn c n h i e u k e t q u ản v e b i t o n đ ȁng, n g c h u , tőngq u t m tsođ ịa,siêu n h l ý c ő đ i e n c đường a l ý th u ye t đ ời n g l ê n m tph ȁng, ng vớngdanim¾tđ.Chȁng,ngh ại: n, C.Ivanvàcácđong nghi¾p đ ãmởrngĐ ịa,siêu nh lýG a u s s B o n e t ( x e m [ ] ) ; F Morganđ ã c h n g m i n h Đ ịa,siêu n h l ý M y e r s v ớngdani m¾tđ(xem [50]) Ho cháng minh đượchồnc nghi¾m đườnga tốnđȁng,ng chu khơng gian vớngdani m¾tđneu ton tại:i biên đườnga phảnicófđcongt r u n g b ì n h h a n g ( x e m [ ] ) D o đ ó , v i ¾ c k h ản o s t t í n h chat hình hoc đườnga siêu m tcóf-đcong trung bình hang,đ cbi¾t cácsiêum tf-cựcctieu can thiet Bên cại:nh đó, nhà nghiên cáu cũngchỉ the tích, di¾n tích, đ ram tso ket quản ve lý thuyet đườing khơng cịn đượchồnc giathêm m¾tđ Qua đó, thay rang có rat nhieu van đe ve lýthuyet đườing khơng gian vớngdani m¾t đcan đượchồnc nghiên cáu như:Địa,siêunh lý đườnga hình hoc vi phân đ ctrưng chom tphȁng,ng Ơclit?clit? Cácđịa,siêunh lý có the mở r ng lên m tphȁng,ng vớngdani m¾tđ ?Phân loại:i cácđườing cóf-đcong hang cácm tphȁng,ng vớngdani m¾tđ ,khảno sát cácđườingf-tracđ ịa,siêu a trê nđa t ại: pv ớngdan i m¾t đ Lý thuyetm t khơng gian vớngdani m¾tđ m t lĩnh vựccnghiêncáuđangratthờiisực.Nhãngnămganđây,I.Corwin,C.Ivanvàcácc n gs ực đ ã c h o m ts o v í d ụng làm so cho the tích v t í n h c h a t v e c c m tc ó f -đcongtrungbìnhhang (xem [40]) D T Hieu N M Hoang phân loại:i cácm tm tkẻtrụtrụng làm so cho the tíchf-cựcctieu,m tt ịa,siêu n h t i e n f -cựcct i e u t r o n g k h n g gianvớngdanim¾tđlog-tuyen tính (xem [32]) D T Hieu áp dụng làm so cho the tíchngphươn, dương, thường dùng làngphápdại:ngcỡchođatạpchođatại:pv ớngdan i m ¾ t đ v o k h ản o s t t í n h f őnđịa,siêunh đườnga m t so lớngdanp siêu m t đ c bi¾t(xem [33]) T H Colding, W P.Minicozzi II S.J.Kleene đưa m t so tính chat hình hoc đườngamtf-cựctieutrongkhơnggianGauss(xem[18], [45]), Mtsođ ịa,siêu nh lý cő đien đườnga hình hoc vi phân ve siêu m t c ựcc tieu đượchồnc chángminhtrongkhơnggianvớngdanim¾tđc ụng làm so cho the tích thenhư:Địa,siêunhlýBernstein,Địa,siêunhlý Liouville,batđȁng,ngthác S i m o n s ( x e m [ ] , [ ] , [ ] ) , Cáck e t q u ản cho thay lý thuyet m t nói chung, lý thuyet m t cựcc tieu nói riêngbien đői rat đa dại:ng đượchồnc gia thêm m¾tđ Do đó,vi¾ckhảno sátcácđịa,siêunhlýcủa đườngasiêumtf cựct i e u t r o n g k h ô n g g i a n v ớngdan i m ts o m ¾ t đquenthuclàđángqua ntâmvàcanthiet Vớngdani lý nêu trên, chúng tơi chon đe tài nghiên cáu cho lu¾nánlà"M tso tính chat cua đưngvàm ttrong khơng gianvi mtđ" Mncđ í c h n g h i ê n c fí u Chúng tơi nghiên cáu lý thuyet đườing lý thuyet m t khơnggianv ớngdan im¾t đt he ocácm ụng làm so cho the tích c đíchsau: (a) Khảno sát Địa,siêunh lý bon đỉ the tích, di¾n tích, đnh mở r ng Đ ịa,siêunh lý Fenchel trêncácmtph ȁng, ngv ớngdan i m¾tđ; (b) Phân loại:icácđườingcongc ó f-đc o n g h a n g p h ȁng, n g vớngdanim¾tđlog-tuyentính; m t (c) Nghiênc u c c t í n h c h a t c đường a đ ời n g f tracđ ịa,siêu a c ực c t i e u t r ê n đat ại: pv ớngdan i m¾tđ; (d) Cháng minhm tso địa,siêunh lý kieu Bernstein khơng × nRvà khơng gian vớngdani gianGauss, khơng gianG m¾tđtőngq u t ; (e) Cháng minh địa,siêunh lý kieu Bernstein cho m t f-cựcc tieu × trongkhơnggianG Rn−2,v ớngdan i n≥3 Đoitưngvàphạmvinghiêncfíu 3.1 Đoitưngnghiêncfíu Lý thuyetđườing vàlý thuyetmttrong khơnggian vớngdanim¾tđ 3.2 Phạmvinghiêncfíu etitắptrungnghiờncỏucỏcvanesau: ã Cỏca,siờunhlýcienca ngalýthuyetingtrờnmtphng,ngvngdanimắtn h : a,siờu nh lýbonđ ỉ the tích, di¾n tích, đ nh, Đ ịa,siêu nh lýFenchel; • Phânl o ại: i c c đ ời n g c o n g c ó fđc o n g h a n g tr ê nm h ȁng, n g v ớngdan i mắt; ã Khnos ỏ t t n h c h a t h ì n h h o c c đường a c c đ ời n g f -tracđ ịa,siêu a c ực c t i e u ; • Siêum tf cựct i e u t r o n g k h ô n g g i a n G a u s s v k h ô n g g i a n v ngdan i mắtt ớch; ã Cỏca,siờu nhlý k i e u B e r n s t e i n t r o n g c c k h ô n g g i a n v ớngdan i m ¾ t đ cụng làm so cho the tícht h e Phươngphápnghiêncfíu Chúng tơi sản dụng làm so cho the tíchng phươn, dương, thường dùng làng pháp nghiên cáu lý thuyet thựcchi¾nđetài.Vemtkỹthu¾t,lu¾nánsảndụng làm so cho the tíchng4phươn, dương, thường dùng làngphápchính.Đólà phươn, dương, thường dùng làngphápgiảniphươn, dương, thường dùng làngtrìnhviphânđexácđnh ịa,siêu thamsohóacủa đườngacác đườing cong cóf-đcong hang, cácm tf-cựcc tieu; phươn, dương, thường dùng làng phápbien phân đe xác địa,siêunh tham socủa đườnga đườingf-trac địa,siêua cựcc tieu, xácđịa,siêunhcácbienphânfdi¾ntích;phươn, dương, thường dùng làngphápdùngdại:ngcỡchođatạpđ e c h n g minhcáctínhchatcựcctieudi¾ ntích;phươn, dương, thường dùng làngphápdùngcácướngdanclượchồnnggradient,matr¾nc đường ad ại: ngc ơn, dương, thường dùng b ản nth áhaivàdùngnguyênlýc ực c đ ại: i đec h n gm i n h c c đ ịa,siêu n h l ý k i e u B e r n stein Ýnghĩakhoahocvàthfictien Nhưc h ú n g t a đ ã t h a y , đ a t ại: p v ớngdan i m ¾ t đ l m tl ĩ n h v ực c n g h i ê n cáuratmớngdanivàhapdan.Cácketquảnmangtínhthờiisực,cónhieng dụng làm so cho the tíchng Tốn hoc V¾t lý.Đ cbi¾t, tính chat hình hoc đườngađườingv s i ê u m tb i e n đ ő i r a t đ a d ại: n g k h i đ ợchoàn c g i a t h ê m m ¾ t đ Do đó, vi¾c nghiên cáu ve lý thuyet đườing lý thuyet m ttrên cáckhônggianv ớngdan i m¾t đl đá ng qu a ntâmvà canthi e t Nh ã ng ket q u ản đại:tđ ượchồn csẽgóp phanlàmphongphúthêmsựchieubietvehìnhhocviphânc đường a đ ười ngvà mttrongkh ơnggia nv ớngdan im ¾t đ Lu¾n án có the làm tài li¾u tham khảno cho sinh viên, hoc viên caohocvà ng h i ê n cá u si nh c h u y ê n ngà nh H ì nh h oc- T ôp ô Tongquanvàcautrúccủalunán 6.1 Tongquanmtsovanđeliênquanđenlunán Trên đatại:p vớngdani m¾tđ(Mn, g,e−fdV),D Barky - M Émery, M.Gromov (xem [3], [30]) đe xuat m r ng đcong trung bình vàđcongRiccic đường a mtsiêumtlan l ượchồn t df Hf=H+ , n−1dN Ricf= Ric+Hessf, ởđóNlàtrườingvectơn, dương, thường dùng làphápđơn, dương, thường dùng lànvịa,siêucủa đườngasiêumt.Cácmởrngtrênđãđượchồnckiem trathỏamãnamãncácbienphânthánhatvàtháhaicủa đườngaphiemhàm di¾n tích theo m¾t đ(xem [40], [47], [49], [50]).Hf,Ricfl a n l ợ t đượchoànc goi làđcongtrungbìnhtheom¾tđhayfđcongtrungbìnhvàđc o n g Ricc i th eom¾ tđ h a y f-đc o n g Ricci Kháin i ¾ m đ a t ại: p v ớngdan i m ¾ t đ đãt n g x u a t h i ¾ n t r o n g T o n h o c vớngdani tên goi khác như: đa tạp vái trongp vái trong(weighted manifolds),"khônggiancủacáckieuacáckieut h u a n n h a t "( s p a c e o f h o m o g e n e o u s t y p e ) (xem [15]), "khônggianmêtric-đđo" (metric-measure space) (xem[30]) Năm 2004,V.Bayle trình bày tőng quan ve khơng gianmêtric-đđ o v k h ản o s t b i e n p h â n t h h a i c đường a p h i e m h m f di¾nt í c h t r o n g lu¾n án đườnga ông (xem [4]) M tnăm sau đó,F.Morgan goi tên cáclớngdanp đa tại:p đa tại:p vớngdani m¾t đ(manifolds with density) (xem[49]) Trong báo đó, ơng trình bày bien phân thá nhat, thá hai đườngaphiemh m f di¾nt íc h, c c m r ngc đường a ớngdan c l ợchoàn n g t h e t í c h c đường a H e i n t z e vàK a r c h e r , t ő n g q u t b a t đ ȁng, n g t h c đ ȁng, n g c h u c đường a L e v y v G r o m o v Ơngcũngtrìnhbàychitiethơn, dương, thường dùng lànveđatại:pvớngdanim¾tđ,vaitrịcủa đườngam¾tđtrongch ángminhgiảnthuyetPoincarécủa đườngaPerelmanởcuonsáchLýthuyetđđ o hìnhhoc (p.197-201,[51]) Đa tại:p vớngdani m¾tđlà m t phại:m trù tot đe mở r ng toán vebienphântronghìnhhoc nh : bàitốnđ ȁng, ng chu, siêumtfcựctieu,főnđ ịa,siêu nh.Sauđâylàm tsoketquảnvebàitốnđ ȁng, ng chutrênđat ại: p vớngdani m¾tđ.Năm1975,C.Borellđãchángminhmtbatđ ȁng, ngthác đȁng,ng chu khơng gian Gauss Ơng the tích, di¾n tích, đ mien đȁng,ng chu trênkhơng gian nảna không gian (xem [7]) M tket quản het sác batngời Tiep theo,M.Gromov cháng minh đượchồnc hình cau tâm Olà mienđȁng,ng chu khơng gianRnvới m¾tđea|x|2, a>0,(xem [29]).S G.Bobkov vàC.Houdré tìm nghi¾m đườnga tốn đȁng,ng chu đườingthȁng,ng vớngdani m¾tđgiảnm dan (xem [6]);E A.Carlen vàC.Kerce chángminh tính nhat nghi¾m đườnga tốn đ ȁng,ng chu n ảna không gianGauss (xem [10]);C.Antonio,F.Morgan,A.Ros vàB.Vincent the tích, di¾n tích, đ rađieuk i ¾ n c a n c h o b i t o n đ ȁng, n g c h u t o n t ại: i n g h i ¾ m , t í n h c h í n h q u y đườngamiennghi¾m,chángminhrangsiêum tcau nghi¾m nhatcủa đườnga tốn đȁng,ng chu khơng gianRnvớim¾tđea|x|2, a>0,(xem[11], [4 ], [ 5] ) Đoivớngdani tốn đȁng,ng chu m tphȁng,ng vớngdani m¾tđcụng làm so cho the tích the,m t nhóm sinh viên đườnga trườing Williams, dướngdani s ực hướngdanng dan đườnga giáosưF.Morgan, cóm tso ket quản ban đau như: biên đườnga mien đȁng,ngchu m t phȁng,ng vớngdani m¾t đp h ản i c ó f-đc o n g h a n g ( x e m [ ] , [ ] ) , tính chat nghi¾m đườnga tốn bong bóng đơi khơng gian Gauss(xem[39], [11]),cácketquảnvebàitốnđȁng,ngchutrongcáchìnhquại:tGauss(xem[11], [26]), khơng tont ại: i nghi¾mbàitốnđ ȁng, ng chutrên mtphȁng,ngvớngdanim ¾tđex,tínhduynhatnghi¾mcủa đườngabàitốnđȁng,ngchutrênm h ȁng, n g v ớngdan i m ¾ t đ r p,p>0(x e m [ ] ) Theo hướngdanng mở r ng địa,siêunh lý cő đien đườnga hình hoc vi phân lênkhơnggianvàđatại:pvớngdanim¾tđ,nhieuketquảnđãđượchồnccơngbonhư:Đnh ịa,siêu lý Gauss-Bonnetsuyrng(xem[20],[40]),tínhduynhatcủa đườngađườing trac địa,siêua m t ph ȁng,ng vớngdani m¾t đcó đcong Gauss suy r ng âm (xem [12]),Địa,siêunh lý Myers m t phȁng,ng khơng gian vớngdani m¾t đ(xem[50]),Đnh ịa,siêu lýLiouvilletrênkhơnggianvớngdani m¾t đ (xem [8],[36]), .Tuynhiên,m tsođịa,siêunhlýcőđienkhơngc ò n đ ú n g k h i g i a thêmm¾tđ Ch ȁng, ng h ại: n,Đ ịa,siêu nhlýbonđ ỉ the tích, di¾n tích, đ nh trênmtph ȁng, ngv ớngdan im¾t đc a u làkhơngđúng(xem[3 1]) Ngồi hướngdanng nghiên cáu trên, vi¾c nghiên cáu lý thuyet ve siêum tf -cựct i e u , s i ê u m t c ó f -đc o n g h a n g , f đc o n g G a u s s h a n g