Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 65 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN QUỐC TUẤN TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG VINH - 2010 65 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN QUỐC TUẤN TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2010 66 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng SỐ NGUYÊN TỐ 1.1 Các định lý Số nguyên tố 1.2 Giới thiệu số loại Số nguyên tố Chƣơng TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN KIỂM TRA 27 SỐ NGUYÊN TỐ 2.1 Cơng thức thuật tốn sàng Số ngun tố 27 2.2 Phƣơng pháp kiểm tra nguyên tố theo xác suất 30 2.3 Các phép kiểm tra tất định 38 Chƣơng GIỚI THIỆU MỘT SỐ CHƢƠNG TRÌNH KIỂM TRA 40 SỐ NGUYÊN TỐ TRÊN MÁY TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 3.1 Một số chƣơng trình kiểm tra Số nguyên tố 41 3.2 Vài ứng dụng số nguyên tố lĩnh vực khoa học khác 48 3.2.1 Mật mã hóa khóa cơng khai 48 3.2.2 Phần mềm tốn học áp dụng kiểm tra Số nguyên tố 58 Giới thiệu số toán Số nguyên tố 60 3.3 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 67 MỞ ĐẦU Một nội dung Số học nghiên cứu số nguyên tố Có thể nói “Tập hợp số nguyên tố mỏ vàng Số học” Đề tài số nguyên tố tiếp tục phát triển ngày hấp dẫn nhà Toán học: Carl Fiedrich Gauss dự đoán kết định lý số nguyên tố học sinh trung học Chebyshev (1850) đƣa chặn cho số số nguyên tố hai giới hạn cho trƣớc Riemann giới thiệu Giải tích phức thành lý thuyết hàm zeta Riemann dẫn đến mối quan hệ không điểm hàm zeta phân bố số nguyên tố Bài toán xác định số cho trƣớc có phải số nguyên tố hay khơng có nhiều ứng dụng thực tiễn Đối với số nhỏ, tốn dĩ nhiên khơng khó Tuy nhiên làm việc với số lớn, ta cần tìm thuật tốn hữu hiệu nghĩa thực đƣợc máy tính khoảng thời gian chấp nhận đƣợc Khi nói đến ―những số lớn‖ ta thƣờng hiểu số nguyên dƣơng có khoảng 100 chữ số thập phân trở lên Ngày nay, kết số nguyên tố có ứng dụng trực tiếp lý thuyết mật mã số lĩnh vực khác Hiện nay, kỳ thi học sinh giỏi Toán – Tin học Quốc gia Quốc tế toán số nguyên tố mảng kiến thức quan trọng cấu trúc đề thi để giải đƣợc toán ln trăn trở học sinh nhƣ thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy trƣờng THPT, trƣờng THPT Chuyên nƣớc Luận văn “Tiêu chuẩn thuật toán kiểm tra số nguyên tố” đƣợc chia làm ba chƣơng với nội dung giới thiệu kết số nguyên tố; số thuật toán ứng dụng số nguyên tố lý thuyết mật mã Chƣơng 1: Trình bày khái niệm số nguyên tố, hợp số, số hoàn thiện số định lý số học nhƣ định lí Wilson, định lí vơ hạn 68 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tập số nguyên tố, định lí Fermat …và giới thiệu số số nguyên tố đặc biệt Chƣơng 2: Trình bày số thuật tốn kiểm tra số nguyên tố nhƣ thuật toán sàng số nguyên tố, phƣơng pháp kiểm tra theo xác suất, phép kiểm tra tất định số điểm khác có liên quan Chƣơng 3: Giới thiệu số chƣơng trình kiểm tra số nguyên tố máy tính ứng dụng, số chƣơng trình kiểm tra số nguyên tố; ứng dụng mật mã hóa khóa cơng khai số toán số nguyên tố Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang – ngƣời hƣớng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình cho tác giả viết luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan đọc thảo, góp nhiều ý kiến q báu để tác giả hồn thành luận văn Tác giả cảm ơn động viên, ủng hộ Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên trƣờng THPT Đào Duy Từ - TP Thanh Hóa tạo điều kiện thuận lợi mặt q trình cơng tác, học tập nghiên cứu Nội dung luận văn hƣớng đến vấn đề chuyên sâu Số học, liên hệ với chƣơng trình tốn phổ thơng cập nhật lí thuyết mật mã … Tuy nhiên với điều kiện thực tế có nhiều cố gắng nhƣng không tránh khỏi hạn chế thiếu sót, tác giả mong muốn đƣợc góp ý bảo thầy, cô đồng nghiệp Vinh, ngày 18 tháng 11 năm 2010 Học viên Nguyễn Quốc Tuấn 69 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an CHƢƠNG SỐ NGUYÊN TỐ 1.1 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 1.1.1 Định nghĩa Số tự nhiên p > khơng có ƣớc số dƣơng khác đƣợc gọi số ngun tố Số tự nhiên q > có ƣớc số dƣơng khác đƣợc gọi hợp số Nếu có số tự nhiên d để n = d2 n đƣợc gọi số phương 1.1.2 Định lý Số học Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố, phân tích không kể đến thứ tự thừa số 1.1.3 Định lý Euler Tập hợp tất số nguyên tố tập vô hạn 1.1.4 Định lý giá trị nguyên tố đa thức Không tồn đa thức f x a0 x m a1 x m1 am với hệ số nguyên a0 0, m , thỏa mãn f n số nguyên tố cho n 1,2, Chứng minh Với đa thức f x a0 xm a1 xm1 am , hiển nhiên f n0 với số nguyên dƣơng đủ lớn n0 Chọn số nguyên tố p chia hết f n0 khai triển f n0 kp f n0 kpg n0 , p, k Số g n0 , p, k số nguyên Nhƣ ba số hạng hệ thức chia hết cho p với k = 1, 2, … Với k đủ lớn ta có f n0 kp p f n0 kp chia hết cho p Ta suy điều phải chứng minh ■ 1.1.5 Định lý Wilson Cho p số tự nhiên lớn 1, p số nguyên tố (p-1)!+1 chia hết cho p 70 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.6 Định lý Fermat nhỏ Cho p số nguyên tố, a tùy ý Khi a p a mod p 1.2 GIỚI THIỆU MỘT SỐ LOẠI SỐ NGUYÊN TỐ 1.2.1 Danh sách số loại số nguyên tố Số nguyên tố Fermat Số nguyên tố Mersenne Số nguyên tố Ramanujan Số nguyên tố Chen Các số nguyên tố họ hàng Số nguyên tố giai thừa Số nguyên tố Fibonacci Số nguyên tố Gauss Số nguyên tố quy 10 Số ngun tố có dạng 10k 1, k (Centered decagonal primes) 11 Số nguyên tố có dạng 7k 1, k (Centered heptagonal primes) 12 Số nguyên tố có dạng 4k 1, k (Centered square primes) 13 Số nguyên tố có dạng 3k 1, k (Centered triangular primes) 14 Các số nguyên tố Cuban 15 Số nguyên tố Dirichlet 16 Số ngun tố Eisenstein khơng có phần ảo 17 Số nguyên tố Lucky 18 Các số nguyên tố song sinh 19 Các bốn số nguyên tố 20 Các ba số nguyên tố Trong phần ta tìm hiểu kĩ số loại số nguyên tố, số nhiều loại số nguyên tố đƣợc nhà Toán học giới tiếp tục 71 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an nghiên cứu Đó Số nguyên tố Fermat, Số nguyên tố Mersenne, Số nguyên tố Ramanujan… 1.2.1.1 Số nguyên tố Fermat Số Fermat khái niệm toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, ngƣời đƣa khái niệm Nó số nguyên dƣơng có dạng Fn 1, với n số không âm n F0 = 21 + = F1 = 22 + = F2 = 24 + = 17 F3 = 28 + = 257 F4 = 216 + = 65.537 F5 = 232 + = 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417 F6 = 264 + = 18.446.744.073.709.551.617 = 274.177 × 67.280.421.310.721 F7 = 2128 + = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 = 59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721 F8 = 2256 + = = 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.26 9.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 1.238.926.361.552.897× 93.461.639.715.357.977.769.163 558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321 Bảng 1.2.1 Bảng số Fermat 72 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Các công thức thiết lập số Fermat: Với n ≥ Các hệ thức chứng minh cách quy nạp tốn học Ta tính gần số chữ số chúng hệ thức gần sau: 1.2.1.2 Số nguyên tố Mersenne Sơ lƣợc lịch sử số nguyên tố Mersenne Một số nguyên tố Mersenne số nguyên tố có dạng M p p , p số nguyên tố Bốn số nguyên tố Mersenne M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 M7 = 127 đƣợc biết từ cổ xƣa Số thứ năm, M13 = 8191, đƣợc tìm thấy vào trƣớc năm 1461; hai số M17 M19 tìm đƣợc năm 1588 Sau kỷ M31 đƣợc kiểm tra Euler vào năm 1750 Số M127, E.Lucas tìm thấy vào năm 1876, sau M61 Pervushin tìm vào năm 1883 Hai số M89 M107 đƣợc tìm thấy Powers vào năm 1911 1914 Số M1398269 phát năm 1996 Từ kỷ 17, số đƣợc mang tên nhà toán học Pháp Marin Mersenne, ngƣời chứng minh loạt số nguyên tố Mersenne với số mũ lên tới 257 Danh sách ơng có số nhầm lẫn nhƣ bao gồm M67, M257, bỏ quên M61, M89, M107 Các số nguyên tố lớn đƣợc tìm thấy thƣờng số nguyên tố Mersenne Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với số hoàn thiện Trong lịch sử, việc nghiên cứu số nguyên tố Mersenne bị thay đổi liên quan này; vào kỷ TCN, Euclid phát biểu M số nguyên tố Mersenne M M 1 số hồn thiện Vào kỷ 18, Leonhard Euler chứng minh 73 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tất số hồn thiện chẵn có dạng Ngƣời ta nghi ngờ khơng tồn số hồn thiện lẻ Tìm số nguyên tố Mersenne Ta biết rằng, Mn số nguyên tố n số nguyên tố Tuy nhiên, mệnh đề đảo nói chung sai Chẳng hạn số Mersenne 2047=211−1 không nguyên tố chia hết cho 89 23, số 11 số nguyên tố Điều làm giản lƣợc bớt việc tìm số nguyên tố Mersenne Phƣơng pháp tốt để kiểm tra tính nguyên tố số Mersenne đƣợc dựa vào tính tốn dãy tuần hoàn, đƣợc phát biểu Lucas năm 1878 chứng minh Lehmer vào năm 1930 đƣợc gọi kiểm tra Lucas-Lehmer Đặc biệt, ta chứng minh (với n > 2) Mn = 2n − số nguyên tố Mn chia hết cho Sn-2, S0 = với k > 0, Sk Sk21 Hiện nay, nhà toán học tìm nhiều thuật tốn nhanh để tìm số nguyên tố Mersenne Việc tìm số nguyên tố Mersenne thực đƣợc cách mạng máy tính điện tử số Thành công tƣ tƣởng thuộc số nguyên tố Mersenne M521, vào lúc 10:00 P.M ngày 30/1/1952 sử dụng máy tính tự động Western U.S National Bureau of Standards (SWAC) Institute for Numerical Analysis thuộc Đại học California Los Angeles, dƣới điều khiển trực tiếp Lehmer, sử dụng chƣơng trình viết chạy GS R.M Robinson Nó số nguyên tố Mersenne tìm thấy sau 38 năm; số M607, đƣợc tìm thấy computer sau gần hai chạy máy Ba số M1279, M2203, M2281 đƣợc tìm thấy với chƣơng trình sau nhiều tháng Hiện biết số nguyên tố Mersenne lớn Dù vậy, đến tháng năm 2009, biết 47 số nguyên tố Mersenne, số lớn biết số (243 112 609 − 1) Cũng nhƣ nhiều số ngun tố Mersenne trƣớc đó, đƣợc tìm nhờ dự 74 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Hiện nay, mật mã hóa khóa cơng khai có nhiều ứng dụng, nhiều thuật tốn mã hóa đƣợc thiết kế sử dụng có hiệu cao, nhƣ: RSA, SHA, MD5, … Ở đây, xin giới thiệu thuật toán đƣợc đánh giá cao đƣợc sử dụng nhiều hoạt động thƣơng mại, tiền tệ, quân … RSA HỆ MẬT MÃ RSA Sơ lƣợc lịch sử Thuật toán đƣợc Ron Rivest, Adi Shamir Len Adleman mô tả lần vào năm 1977 Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT) Tên thuật toán lấy từ chữ đầu tên tác giả Tuy nhiên, phát minh đƣợc công bố vào năm 1997 đƣợc xếp vào loại tuyệt mật Sơ lƣợc hoạt động Thuật toán RSA có hai khóa: khóa cơng khai (hay khóa cơng cộng) khóa bí mật (hay khóa cá nhân) Mỗi khóa số cố định sử dụng trình mã hóa giải mã Nhƣ vậy, ngƣời mã hóa nhƣng có ngƣời biết khóa cá nhân (bí mật) giải mã đƣợc Tạo khóa Giả sử A B cần trao đổi thơng tin bí mật thơng qua kênh khơng an tồn Với thuật tốn RSA, A cần tạo cho cặp khóa gồm khóa cơng khai khóa bí mật theo bƣớc sau: Chọn số nguyên tố lớn p q với p q , lựa chọn ngẫu nhiên độc lập Tính: n pq Tính: giá trị hàm số Ơle n p 1 q 1 Chọn số tự nhiên e cho e n số nguyên tố với n Tính: d cho de 1 mod n 115 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Một số lưu ý: * Các số nguyên tố thƣờng đƣợc chọn phƣơng pháp thử xác suất * Các bƣớc đƣợc thực giải thuật Euclid mở rộng * Bƣớc viết cách khác: Tìm số tự nhiên cho d x p 1 q 1 e số tự nhiên Khi sử dụng giá trị d mod p 1 q 1 * Từ bƣớc 3, sử dụng LCM p 1, q 1 thay cho p 1 q 1 Khóa cơng khai bao gồm: * n, môđun * e, số mũ công khai (cũng gọi số mũ mã hóa) Khóa bí mật bao gồm: * n, mơđun, xuất khóa cơng khai khóa bí mật, * d, số mũ bí mật (cũng gọi số mũ giải mã) Một dạng khác khóa bí mật bao gồm: * p q, hai số nguyên tố chọn ban đầu, * d mod (p-1) d mod (q-1) Mã hóa Giả sử B muốn gửi đoạn thông tin M cho A Đầu tiên B chuyển M thành số m < n theo hàm đảo ngƣợc đƣợc thỏa thuận trƣớc Lúc B có m biết n nhƣ e A gửi B tính c mã hóa m theo cơng thức: c me mod n Cuối B gửi c cho A Giải mã A nhận c từ B biết khóa bí mật d A tìm đƣợc m từ c theo công thức sau: m c d mod n Biết m, A tìm lại M theo phƣơng pháp thỏa thuận trƣớc Quá trình giải mã hoạt động ta có c d me med mod n d Do ed ≡ (mod p-1) ed ≡ (mod q-1), (theo Định lý Fermat nhỏ) nên: 116 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an med m mod p med m mod q Vì p q nguyên tố nhau, ta có: med m mod pq hay: c d m mod n Ví dụ: Lấy p = 61 q = 53 n = pq = 3233 e = 17 d = 2753 — số nguyên tố thứ (giữ bí mật hủy sau tạo khóa) — số ngun tố thứ hai (giữ bí mật hủy sau tạo khóa) — mơđun (cơng bố công khai) — số mũ công khai — số mũ bí mật Khóa cơng khai cặp (e, n) Khóa bí mật d; m hàm văn rõ Hàm mã hóa là: encrypt(m) = me mod n = m17 mod 3233 Hàm giải mã là: decrypt(c) = cd mod n = c2753 mod 3233; với c văn mã Để mã hóa văn có giá trị 123, ta thực phép tính: encrypt(123) = 12317 mod 3233 = 855 Để giải mã văn có giá trị 855, ta thực phép tính: decrypt(855) = 8552753 mod 3233 = 123 Cả hai phép tính đƣợc thực hiệu nhờ giải thuật bình phƣơng nhân Chuyển đổi văn rõ Trƣớc thực mã hóa, phải thực việc chuyển đổi văn rõ (chuyển đổi từ M sang m) cho khơng có giá trị M tạo văn mã khơng an tồn Để đảm bảo an toàn, RSA thực tế thƣờng bao gồm hình thức chuyển đổi ngẫu nhiên hóa m trƣớc mã hóa Q trình chuyển đổi phải đảm bảo m không rơi vào giá trị khơng an tồn Một số tiêu chuẩn, chẳng hạn nhƣ PKCS, đƣợc thiết kế để chuyển đổi rõ trƣớc mã hóa RSA Các phƣơng pháp chuyển đổi bổ sung thêm bít vào M Tạo chữ ký số cho văn 117 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Thuật tốn RSA cịn đƣợc dùng để tạo chữ ký số cho văn Giả sử A muốn gửi cho B văn có chữ ký Để làm việc này, A tạo giá trị băm văn cần ký tính giá trị mũ d mod n Giá trị cuối chữ ký điện tử văn xét Khi B nhận đƣợc văn với chữ ký điện tử, tính giá trị mũ e mod n chữ ký đồng thời với việc tính giá trị băm văn Nếu giá trị nhƣ B biết ngƣời tạo chữ ký biết khóa bí mật A văn không bị thay đổi sau ký An ninh Độ an toàn hệ thống RSA dựa vấn đề toán học: tốn phân tích thừa số ngun tố số nguyên lớn toán RSA Nếu toán khó khơng thể thực đƣợc việc phá mã toàn RSA Phá mã phần phải đƣợc ngăn chặn phƣơng pháp chuyển đổi rõ an tồn Bài tốn RSA tốn tính bậc e mơđun n (với n hợp số): Tìm số m cho me=c mod n, (e, n) khóa cơng khai c mã Nếu kẻ cơng tìm đƣợc số nguyên tố p q cho: n = pq dễ dàng tìm đƣợc giá trị (p-1)(q-1) qua xác định d từ e Chƣa có phƣơng pháp đƣợc tìm máy tính để giải tốn thời gian đa thức Tuy nhiên ngƣời ta chƣa chứng minh đƣợc khơng tồn thuật tốn Một số chun gia cho khóa 1024 bít sớm bị phá vỡ Với khóa 4096 bít hầu nhƣ khơng có khả bị phá vỡ tƣơng lai gần Do đó, ngƣời ta thƣờng cho RSA đảm bảo an toàn với điều kiện n đƣợc chọn đủ lớn Ngƣời ta khuyến cáo sử dụng khóa có độ dài tối thiểu 2048 bít Các vấn đề đặt thực tế a Q trình tạo khóa Việc tìm số nguyên tố đủ lớn p q thƣờng đƣợc thực cách thử xác suất số ngẫu nhiên có độ lớn phù hợp (dùng phép kiểm tra nguyên tố cho phép loại bỏ hầu hết hợp số) p q cần đƣợc chọn khơng q gần để phịng trƣờng hợp phân tích n phƣơng pháp phân tích Fermat Ngồi 118 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ra, p-1 q-1 có thừa số ngun tố nhỏ n dễ dàng bị phân tích p q cần đƣợc thử để tránh khả Giá trị d thƣờng dùng 65537 đƣợc xem đủ lớn khơng lớn ảnh hƣởng tới việc thực hàm mũ b Tốc độ RSA có tốc độ thực chậm đáng kể so với DES thuật toán mã hóa đối xứng khác Trên thực tế, sử dụng thuật tốn mã hóa đối xứng để mã hóa văn cần gửi sử dụng RSA để mã hóa khóa để giải mã Phƣơng thức tạo vấn đề an ninh cần tạo khóa đối xứng thật ngẫu nhiên để đảm bảo an toàn cho RSA c Phân phối khóa Cũng giống nhƣ thuật tốn mã hóa khác, cách thức phân phối khóa cơng khai yếu tố định độ an tồn RSA Q trình phân phối khóa cần chống lại đƣợc dạng công đứng Các phƣơng pháp chống lại dạng công thƣờng dựa chứng thực khóa cơng khai thành phần hạ tầng khóa cơng khai d Tấn cơng dựa thời gian Vào năm 1995, Paul Kocher mô tả dạng công lên RSA thông qua xác định đƣợc thời gian giải mã số mã lựa chọn để tìm khóa d Năm 2003, Dan Boneh David Brumley chứng minh dạng cơng thực tế hơn: phân tích thừa số RSA dùng mạng máy tính Để chống lại cơng dựa thời gian, hầu hết ứng dụng RSA sử dụng kỹ thuật gọi che mắt Kỹ thuật dựa tính nhân RSA Vì vậy, thời gian giải mã khơng cịn phụ thuộc vào giá trị văn mã e Tấn công lựa chọn thích nghi mã 119 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Năm 1981, Daniel Bleichenbacher mô tả dạng công lựa chọn thích nghi mã thực thực tế văn mã hóa RSA dựa tiêu chuẩn PKCS #1 Do khiếm khuyết PKCS #1, nên phòng nghiên cứu RSA đƣa phiên PKCS #1 có khả chống lại dạng cơng nói 3.2.2 Phần mềm tốn học áp dụng kiểm tra số nguyên tố 3.2.2.1 Giới thiệu sơ lƣợc Maple Maple hệ thống tính tốn biểu thức đại số minh họa toán học công ty Warterloo Maple Inc, đời khoảng năm 1991 Sự phát triển Maple đƣợc tiến hành nhanh Những nhà nghiên cứu thử nghiệm loại bỏ nhiều ý tƣởng khác để tạo hệ thống liên tục cải tiến Vào năm 2008, Maple 12 thêm tính năn giao diện ngƣời dùng giống nhƣ Mathematica, gồm có kiểu trình bày theo mục đích đặc biệt, quản lý phần đầu cuối trang, so trùng mở đóng ngoặc, vùng thực tự động, mẫu hoàn thành lệnh, kiểm tra cú pháp vùng tự động khởi tạo Những tính khác đƣợc thêm để làm cho Maple dễ dùng nhƣ hộp công cụ Maple Maple cài đặt đơn giản, chạy tất hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt, để sử dụng tối ƣu cấu hình máy đặc biết có dịch vụ trợ giúp dễ sử dụng, phù hợp việc dạy toán học tốn góp phần vào phát triển giáo dục a Các tính Maple Có thể nêu vắn tắt chức Maple nhƣ sau: 1/ Là hệ thống tính tốn biểu thức đại số 2/ Có thể thực đƣợc hầu hết phép toán chƣơng trình tốn đại học phổ thơng 3/ Cung cấp cơng cụ minh họa hình học thuận tiện 120 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 4/ Có ngơn ngữ lập bảng chọn đơn giản mạnh, có khả tƣơng tác với ngơn ngữ lập trình khác 5/ Cho phép trích xuất định dạng khác 6/ Một công cụ biên soạn giáo án giảng điện tử 7/ Là trợ giáo hữu ích cho học sinh sinh viên việc tự học b Lệnh Maple Lệnh đƣợc gõ vào trang làm việc dấu nhắc lệnh ―>‖ theo ngầm định đƣợc hiển thị phông Courier màu đỏ Một lệnh đƣợc kết thúc dấu ―:‖ ―;‖ đƣợc lệnh thực việc nhấn Enter trỏ dịng lệnh Kí hiệu phép toán Maple: Phép nhân đƣợc biểu thị dấu * Phép chia đƣợc biểu thị dấu / Phép lũy thừa đƣợc biểu thị dấu ^ Phép khai đƣợc biểu thị dấu Sqrt 3.2.2.2 Vài lệnh phép tốn số học phổ thơng Tìm ƣớc số chung lớn Tìm bội số chung nhỏ Phân tích số Fermat Nhà toán học Fermat dự đoán Fn 22 số nguyên tố với số tự nhiên n n Điều với n = 1, 2, 3, Tuy nhiên, vào năm 1732, Euler với n = điều khơng đúng: Số F5 có ƣớc nguyên tố 641 Với Maple ta thực dễ dàng nhanh chóng Thật vậy: >FermatPrime:=2^(2^n)+1; >[ifacor (2^(2^6)+1)]; (67280421310721)(274177) >[seq(FermatPrime,n=1 6)]; 121 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an [5, 17, 257, 65537, 4294067297, 18446744073709551617] Tìm số nguyên tố đứng trƣớc sau số cho trƣớc Để thực tìm số đứng trƣớc ta dùng lệnh prevprime(.); thực tìm số đứng sau ta dùng lệnh nextprime(.); Ví dụ: Tìm số ngun tố đứng trƣớc số 3335 >[prevprime(3335)]; 3331 3.2.2.3 Kiểm tra số số nguyên tố, hợp số máy tính cầm tay Casio Cơ sở nội dung Định lí sau: “a số ngun tố không chia hết cho số nguyên tố không vượt a ” Cách làm: Tính a Lấy phần nguyên b kết Lấy số lẻ lớn c không vƣợt b Lập quy trình c→A Gán số lẻ c vào nhớ A làm biến chạy a A→B Dòng lệnh B biến chứa A–2→A Dòng lệnh A biến chạy # SHIFT # Lặp dòng lệnh trên, ấn dấu quan sát đến A = dừng Trong trình ấn : - Nếu tồn kết qủa nguyên khẳng định a hợp số - Nếu khơng tồn kết qủa nguyên khẳng định a số nguyên tố Ví dụ: Xét xem 8191 số nguyên tố hay hợp số? Tính 8191 đƣợc 90,50414355 Lấy phần nguyên đƣợc 90 122 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lấy số lẻ lớn khơng vƣợt q 89 Lập quy trình: 89 → A 8191 A → B A–2→A # SHIFT # Quan sát kết ta thấy không nguyên, nên 8191 số nguyên tố 3.3 GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Phần này, giới thiệu số toán số nguyên tố có liên quan đến dãy số đặc biệt định lí, tính chất số nguyên tố Bài 1(Russia 2000) Cho M 101 1,102 1, ,102000 1 Chứng minh rắng có 99% phần tử M số nguyên tố Lời giải: Giả sử n số nguyên dƣơng, không lũy thừa Khi đó, n biểu diễn n 2k l với l số lẻ Ta có: 1 10 10n 102 k l 2k 102 l 1 102 l 2 k k 102 k số ngun tố Vì 1, 2, , 2000 có 11 lũy thừa là: 20 ,2 21 ,4 22 ,8 23 , ,1024 210 Nên có 2000 – 11 = 1989 phần tử M số nguyên tố Ta lại có: 1989 1980 99% 2000 2000 Nên suy điều phải chứng minh ■ Bài Biết p p số nguyên tố Chứng minh p số nguyên tố Lời giải: 123 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Rõ ràng p > Vì p = p 33 số nguyên tố Ta xét hai khả sau: 1) Nếu p > p (do p nguyên tố) Vì p nên p 3k , suy ra: p 3k 1 3k 16 3k Do (8 p 1) Kết hợp với 2 điều kiện p , suy p số nguyên tố 2) Nếu p = p 73 số nguyên tố Khi p 71 số nguyên tố Đó điều phải chứng minh ■ Bài Biết 2m số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố Lời giải: Trƣớc hết ta chứng minh 2m số nguyên tố m Thật vậy, trái lại m 1, 2m 21 số nguyên tố, nên mâu thuẫn với giả thiết 2m số nguyên tố Nhƣ m Bây ta chứng minh từ 2m số nguyên tố, m hợp số Thật vậy, trái lại m hợp số, m có dạng: m pq với p , q , p 1, q Ta có: 2m pq p 1q p 1 2 p q1 p q 2 p 1 q 1 Do p , q , p 1, q 1, suy thừa số 2m nguyên dƣơng lớn 1, nên từ (1) ta thấy 2m hợp số Điều mâu thuẫn với tính nguyên tố 2m theo giả thiết Vậy giả thiết m hợp số sai Do ta có điều phải chứng minh ■ Bài Tìm ước số nguyên tố p số Mersenne M 37 237 137438953471 Biết p 300 Lời giải: Trƣớc hết ta chứng minh bổ đề sau: 124 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bổ đề: Nếu 2m 2n chia hết cho số nguyên tố p, mà n số nguyên dƣơng nhỏ m chia hết cho n Chứng minh: Giả sử m nt r với số nguyên dƣơng t ,0 r n ta có: 2m 2nt r 2t 2n 1 2r (1) Dựa vào đẳng thức a k bk a b a k 1 a k 2b abk 2 bk 1 Suy 2nt 1 2n Theo giả thiết 2nt 1 p , từ (1) ta đến: 2r 1 p theo giả thiét n số nguyên dƣơng nhỏ mà 2n 1 p , kết hợp với r n suy r Từ thu đƣợc: m nt (2) Từ (2) suy m n Bổ đề đƣợc chứng minh Giả sử p ƣớc nguyên tố M 37 237 p 300 Chọn m = 37 Gọi n số nguyên dƣơng nhỏ mà 2n 1 p Theo bổ đề ta có m 37 nt , nhƣng 37 số nguyên tố nên n 37 Lại n nên n = 37 Do p số nguyên tố, nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: p 1 1 p (3) Từ (3) theo bổ đề với m p 1, n 37, ta có p 37t Vì p nguyên tố lẻ nên p 74t1 với số nguyên dƣơng t1 Do 74t1 300 74t1 299 (4) Từ (4) suy t1 1, 2, Bằng cách kiểm tra trực tiếp t1 1, t1 khơng thỏa mãn Với t1 p 243 Kiểm tra lại ta thấy 243 số nguyên tố ƣớc M 37 nên thỏa mãn Vậy có ƣớc nguyên tố p 300 M 37 243 ■ Bài Tìm dãy số tự nhiên liên tiếp nhiều số hạng cho số hạng dãy tổng hai số nguyên tố Lời giải: Vì số hạng dãy tổng hai số nguyên tố, nên số lẻ dãy tổng số nguyên tố lẻ 125 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Giả sử dãy số lẻ dãy số tự nhiên liên tiếp là: x1 p; x2 p 2; x3 p 4; Khi p, p 2, p số nguyên tố lẻ liên tiếp Vậy, số phải có số chia hết cho Từ suy p 3, p 5, p 7, p , (để ý p số ngun tố khơng phải ngun tố) Vậy dãy số lẻ dãy số tự nhiên có nhiều số hạng: x1 5; x2 7; x3 Mặt khác, ta lại có: 2;6 3;8 5;10 Từ ta thấy dãy số có nhiều số hạng dãy số thỏa mãn đề bài, mà dãy số lẻ gồm số lẻ liên tiếp Vậy dãy số tự nhiên liên tiếp có nhiều số hạng thỏa mãn đề dãy số sau: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ■ Bài Cho abc số nguyên tố Chứng minh phương trình ax bx c khơng có nghiệm hữu tỉ Lời giải: Ta có a, b, c ; a 9; b 9; c (Vì abc số nên a , c abc 10 abc số nguyên tố) Giả sử kết luận tốn khơng đúng, tức phƣơng trình cho có nghiệm hữu tỉ Vì thế: b2 4ac d , với d Ta có: b2 d 4ac b d Mặt khác ta lại thấy: 4a.abc 4a 100a 10b c 20a b b 4ac 20a b d 20a b d 20a b d Vì abc số nguyên tố, nên suy abc ƣớc số 20a b d 20a b d Tuy nhiên, lại có: 20a b d 100a b d 100a 10b c abc 20a b d 100a b 100a 10b c abc (1) (2) Nhƣ từ (1) (2) suy điều vơ lí Điều vơ lí chứng tỏ phƣơng trình cho khơng có nghiệm hữu tỉ ■ 126 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an KẾT LUẬN Việc tìm tịi, nghiên cứu số học nói chung chuyên sâu số ngun tố nói riêng đƣợc nhiều nhà Tốn học nƣớc giới đặc biệt quan tâm Trong đó, nói: “Tập hợp số nguyên tố mỏ vàng Số học” Bởi vai trò nhƣ ứng dụng quan trọng Số nguyên tố nhiều lĩnh vực đời sống, khoa học khác Luận văn sâu nghiên cứu “Tiêu chuẩn thuật toán kiểm tra số nguyên tố” vài ứng dụng tốn “Tìm số ngun tố” Tốn học phổ thơng, “Mật mã hóa khóa cơng khai” có liên quan đến lĩnh vực Tin học Bài tốn đặt là: “Cho n số tự nhiên lớn Hãy tìm tiêu chuẩn xác định thuật tốn để kiểm tra n có phải số ngun tố hay khơng?” Nội dung luận văn giải tốn đặt qua giới thiệu vài thuật toán kiểm tra Số nguyên tố, nhƣ ứng dụng quan trọng Số nguyên tố lĩnh vực mật mã mà điển hình “Mật mã hóa khóa cơng khai” Cơng cụ để giải toán đặt luận văn Lí thuyết số nguyên tố, Định lý số học, Định lí số nguyên tố, Định lí Wilson, Định lí Fermat nhỏ số lí thuyết hợp số, số hồn thiện, Định lí thặng dư Trung hoa … Kết luận văn có tác dụng nghiên cứu chuyên sâu Số nguyên tố ứng dụng Số nguyên tố Tốn học phổ thơng, xây dựng thuật tốn viết chƣơng trình theo ngơn ngữ lập trình Pascal, C , C … Luận văn tiếp tục phát triển theo hƣớng nghiên cứu loại Số nguyên tố cụ thể, phân bố Số nguyên tố số ứng dụng lĩnh vực khoa học khác 127 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an TÀI LIỆU THAM KHẢO A TIẾNG VIỆT [1] Hoàng Chúng (1996), Số học Bà chúa Toán học, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Đễ - Nguyễn Khánh Nguyên (1993), Các đề thi vơ địch Tốn nước, Nhà xuất Hải Phịng [3] Hà Huy Khối - Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán – Cơ sở lý thuyết tính tốn thực hành, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học - Chuyên đề 3: Các toán số học, 119 – 186, Nhà xuất Giáo dục [5] Đàm Văn Nhĩ – Lƣu Bá Thắng - Nguyễn Việt Hải (2006), Số học, 24 – 34, Nhà xuất Hải Phòng [6] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trƣờng Đại học Vinh [7] Hội Toán học Việt Nam (2000), Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ, Nhà xuất Giáo dục [8] http://vi.wikipedia.org , Bách khoa toàn thư mở Wikipedia, Việt Nam [9] http://mathworld.wolfram.com, Các nguồn tài nguyên Toán học B TIẾNG ANH [10] M Burton (2002), Elementary Number Theory, McGraw – Hill, India [11] H.G Diamond (1982), Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers, Bull Amer Math Soc 7, 553 - 589 [12] G.H Hardy, E.M Wright (1960), An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, London [13] H.L Keng (1982), Introduction to number theory, Springer [14] B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer [15] S.G Telang (2001), Number Theory, McGraw – Hill, India 128 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn