Truyền nhiệt

Truyền nhiệt 2.19 Hai chi tiết máy (Nga) Một bình cách nhiệt đựng nước đẩy đến tận miệng nhiệt độ t0 19 C Người ta thả nhanh nhẹ vào bình chi tiết máy làm kim loại có khối lượng riêng 1 2700kg / m nung nóng đến nhiệt độ td 99 C , sau đóng chặt nắp bình Sau khí có cân nhiệt, nhiệt độ nước bình t x 32.2 C Sau đó, người ta đổ nước đầy từ đầu nhiệt độ t0 19 C , lại thả nhanh nhẹ hai chi tiết máy giống nhiệt độ td 99 C , đóng nắp Trong trường hợp nhiệt độ cân nhiệt t y 48.8 C Nhiệt dung riêng c1 kim loại làm chi tiết bao nhiêu? Khối lượng riêng nước 0 1000kg / m Nhiệt dung riêng nước c0 4200 J / (kg.K) 2.20 Mẩu băng sợi (Nga) Một sợi luồn qua lỗ nhỏ dọc theo trục mẩu băng hình trụ, đầu sợi có buộc cầu làm từ vật liệu có độ dẫn nhiệt cao Ở đầu thí nghiệm cầu nung tới nhiệt độ t1 , nhiệt độ mẩu băng nhiệt độ môi trường t0 0 C Băng tan chảy mẩu băng tụt dần xuống, nước chảy dạng giọt nhỏ có nhiệt độ t0 Rãnh băng để lại có dạng hình trụ với diện tích đáy S 2cm 1) Tìm nhiệt độ ban đầu t1 cầu thí nghiệm mẩu ngừng tụt xuống sau cầu tạo rãnh H 10cm 2) Xác định vận tốc v0 mẩu băng giai đoạn đầu thí nghiệm, vào thời điểm rãnh sâu 2H , vận tốc mẩu băng v2 0.1mm / s Giả thiết công suất truyền nhiệt tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ cầu băng, toàn nhiệt dùng để làm tan chảy băng Nhiệt dung cầu C 59.4 J / K Nhiệt dung riêng băng  330kJ / (kg.K ) Khối lượng riêng băng  900kg / m3 2.21 Sự nguội ấm nước (Ba Lan) Người ta quan sát thấy, nhiệt độ ấm điện đổ đầy nước tới mức cố định đó, sau ngắt điện thay đổi theo thời gian theo công thức: T  t   Tp  TO  e   t  TO , Tp nhiệt độ ấm vừa ngắt điện t 0 , TO  nhiệt độ môi trường xung quanh,   số, e  số logarithm tự nhiên ( e 2.718 ) Trong đun nước, cần điện E1 để đun nước tới nhiệt độ TK từ nhiệt độ ban đầu, nhiệt độ môi trường TO Công suất điện trường hợp P1 Do điện áp cấp sụt giảm, kết cơng suất điện cịn lại P2 Trong trường hợp cần điện để đun nước đến nhiệt độ TK , nhiệt độ TO ? Trang Hãy tính số cho TO 20 C , TK 100 C , P1 500W , E1 250,000 J ,  0.001s  , thực tính tốn cho hai trường hợp P2 : 1) P2 300W 2) P2 200W Giả định rằng, nhiệt dung ấm điện, tức lượng nhiệt cần thiết để thay đổi nhiệt độ độ, không đổi, thời điểm, ấm đun nước có nhiệt độ Thanh đun bố trí ấm cho tồn nhiệt tỏa từ truyền cho ấm đun nước Lượng nước bình tất tình xem xét Lưu ý: Khi x đại lượng nhỏ, ta có cơng thức gần e x 1  x 2.22 Làm nguội điện trở (Kazhakstan) Thực nghiệm cho thấy, số điện trở phi tuyến có tính chất sau: nhiệt độ tăng, giá trị T1 100 C , điện trở thay đổi đột ngột từ R1 50 lên R2 100 , bước nhảy ngược lại xảy nhiệt độ thấp T2 90 C Nhiệt dung điện trở đo riêng có giá trị C = 4J/K Ở thời điếm ban đầu t = 0, nhiệt độ điện trờ T0 20 C nối vào nguồn điện có hiệu điện U = 10 V Để điện trở khơng q nóng khơng nóng chảy, người ta thổi quạt vào nó, cho cơng suất nhiệt mang số PQ = J/s Quạt có cảm biến nhiệt độ đồng hổ hẹn hoạt động theo nguyên lý sau: nhiệt độ điện trở đạt giá trị TC 110 C , cảm biến nhiệt bật lên quạt hoạt động thời gian t = 1.5 phút 1) Xác định thời điểm t1 , xảy bước nhảy điện trở lần 2) Xác định thời điểm t2 , quạt bật lên lần 3) Sau khoảng thời gian, hệ thiết lập biến thiên nhiệt độ tuần hồn theo thời gian Tìm nhiệt độ nhỏ Tmin điện trở dao động 4) Chu kỳ dao động  nhiệt độ bao nhiêu? 5) Tìm nhiệt lượng Q tỏa từ điện trở chu kỳ? 6) Vẽ đổ thị biểu diễn phụ thuộc cùa nhiệt độ T điện trở theo thời gian t kể từ thời điểm t = kết thúc chu kỳ dao động thứ hai 2.23 Sự nguội cốc trà (Australia) Maria người uống trà sành điệu Cô pha chế loại trà nước sôi cốc hình trụ có bán kính r = cm chiều cao h = 10 cm Cốc có nắp đậy để giữ nhiệt tốt Trong khoảng thời gian ngắn t lượng nhiệt mà trà tỏa môi trường cho công thức Q  KS  Ttea  Troom  t d (1) đó, S diện tích mặt cùa cốc d = mm chiểu dày thành cốc Khi nhiệt bị đi, nhiệt độ cúa trà thay đổi lượng t cho Q mcT , (2) m khối lượng nước Trang Số liệu: Nhiệt độ sôi cùa nước: Tbolt 100 C Độ dẫn nhiệt cùa cốc: K 1.0 W.m  K  Nhiệt độ phòng: Troom 25 C Khối lượng riêng nước:  1000kg.m  Nhiệt dung riêng nước: c 4180 J kg  K  Maria rót trà đầy cốc đậy kín nắp 1a) Tìm nhiệt độ T30 cốc trà sau 30 giây điền hàng đẩu tiên bảng 2.23 1b) Hoàn thành nốt bảng 2.23 cho thời gian tính từ 0s phút Gợi ý: sử dụng câu trả lời từ dòng trước để điền tiếp dòng sau 1c) Vẽ đồ thị Ttea theo thời gian từ 0s phút 2) Tìm thời gian để trà nguội đến 55 C 3) Maria định hâm nóng lại trà từ 55 C đến 70 C bếp điệp có cơng suất kW Cẩn thời gian để trà nóng lại tới 70 C ? Bỏ qua nhiệt trà cho mơi trường 4) Đánh giá kích cở sai số câu 3) gây nhiệt trà Sử dụng kết đánh giá để kết luận, liệu cách tính gần câu 3) có thỏa đáng khơng? Thời gian sau rót Nhiệt độ ban đầu Thay đổi nhiệt độ Nhiệt độ cuối Ttea   C  sau 30s   C  Ttea   C  0s 100 30s phút … Bảng 2.23 2.24 Đun ấm trà (Belarus) Khi đặt cốc trà nóng lên bàn, sau thời gian cốc trà nguội Đó nhiệt truyền cho mơi trường xung quanh Trong tốn này, ta xem xét việc làm nóng nước, có tính đến mát kể hai trường hợp Nước đổ đến độ cao H = 20 cm bình hình trụ thành mỏng có bán kính đáy r = 5.0 cm nhiệt dung bỏ qua Bình đặt lên bếp có cơng suất nhiệt (phần công suất truyền cho nước) p = 2.0 kW Ban đầu nhiệt độ nước nhiệt độ môi trường T1 20 C Giả thiết rằng, trình đun, khối nước nhanh chóng đạt nhiệt độ đồng Cho biết thông số: khối lượng riêng nước p 1.0 103 kg / m3 , nhiệt dung riêng c 4.2 10 J /  kg K  Trang Lưu lượng truyền nhiệt định nghĩa lượng nhiệt truyền qua đơn vị diện tích đơn vị thời gian q  Q Trong hệ SI, đơn vị đo W / m St Phần Mất nhiệt Trong phần ta giả thiết lưu lượng nhiệt số q0 8.5kW / m Ngoài ta giả thiết lưu lượng mặt nước thành bình giống 1a) Tìm thời gian cẩn thiết để làm nóng nước đến T2 50 C 1b) Độ cao cột nước bình có giá trị lớn H max để làm nóng nước đến nhiệt độ T2 50 C ? Giả thiết bình cao 1c) Người ta dùng bếp để làm nóng dịng nước chảy: giây có lượng nước chảy đến nhiệt độ T1 chảy nhiệt độ T3 , mức nước H khơng đổi Xác định lưu lượng nước (tính lít/phút) chảy qua để nhiệt độ nước nóng đầu T3 30 C Phần Mất nhiệt không Trên thực tế, lưu lượng nhiệt tăng theo độ chênh lệch nhiệt độ nước không khí Trong trường hợp đơn giản nhất, giả thiết mối quan hệ tuyến tính: q   T  T1  , T nhiệt độ nước, T1 nhiệt độ khơng khí,  gọi hệ số truyền nhiệt (ở công thức số) Ta giả sử hệ số truyền nhiệt có giá trị cho nhiệt truyền từ mặt nước hay qua thành bình 2a) Biết hệ số truyền nhiệt bình đựng nước  300W /  m K  Hãy xác định nhiệt độ cao Tmax mà nước đạt tới 2b) Hệ số truyền nhiệt, công suất nhiệt bình cụ thể, nói chung thường khơng biết trước Để tìm chúng người ta phải phân tích số liệu thực nghiệm Trong phần cơng suất có ích khơng biết trước Sử dụng đồ thị phụ thuộc nhiệt độ nước vào thời gian đây, xác định công suất nhiệt hệ số truyền nhiệt 2c) Sau 10 phút nung nóng nước, đồ thị dưới, người ta ngắt bếp Hãy xây dựng đồ thị biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ nước vào thời gian 10 phút q trình nguội nước sau Trang 2.25 Tấm kim loại bị nắng chiếu (Trung Quốc) Một kim loại mỏng có chiều dày t treo lơ lửng khơng khí nhiệt độ 300K Ánh nắng Mặt trời chiếu trực tiếp vào mặt khiến nhiệt độ 360K, cịn nhiệt độ mặt 340K Nhiệt độ khơng khí trì khơng đổi, lượng cho khơng khí từ đơn vị diện tích bề mặt kim loại đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ chúng, bỏ qua mát lượng mặt bên kim loại Nếu độ dày kim loại tăng lên gấp đôi, nhiệt độ mặt kim loại bao nhiêu? LỜI GIẢI 1.19 Hai chi tiết máy (Nga) Gọi thể tích bình chứa chi tiết máy V0 V1 Viết phương trình cân nhiệt cho hai trường hợp: c1 1V1  td  t x  c0 0  V0  V1   t x  t0  , c1 1.2V1  td  t y  c0   V0  2V1   t y  t0  Khử V0 từ hai phương trình Để làm vậy, từ hai phương trình rút c0 0V0 cho chúng nhau: c1 1V1  td  t x   c0 0V1  t x  t0  t x  t0  c1 1.2V1  td  t y   c0 0V1  t y  t0  t y  t0 Thể tích V1 triệt tiêu Sau biến đổi ta được: c1 c0 0 920 J /  kg.K  td  t y 1 td  t x 2 t x  t0 t y  t0 2.20 Mẩu băng sợi (Nga) 1) Giả sử vào thời điểm nhiệt độ cầu t , độ sâu rãnh h Phương trình cân nhiệt: C  t1  t   m  Sh (1) Ở m khối lượng băng tan chảy Từ phương trình tìm nhiệt độ ban đầu cầu t1 t0   Sh 100 C C 2) Công suất truyền nhiệt tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ cầu mẩu băng Mặt khác, vận tốc tụt xuống mẩu băng tỷ lệ với công suất tỏa nhiệt cầu  Sv   t  t0  (2) với  hệ số có thứ nguyên Từ phương trình (4) rút t thay (5) ta được: Trang  Sh    Sv   t1   t0  , C   t  t h      ,   S C  suy nghĩa vận tốc tụt xuống mẩu băng phụ thuộc tuyến tính vào chiều sâu rãnh (hình 2.20S) Ở thời điểm bắt đầu thí nghiệm, vận tốc mẩu băng 0 32 0.3mm / s 2.21 Sự nguội ấm nước (Ba Lan) Khi ngắt điện, độ thay đổi nhiệt độ ấm điện nước từ thời điểm t đến thời điểm t  t , với t nhỏ, là: T  TP  TO  e   t  t   TP  TO  e   t  e  t   TP  TO  e  t  t  TP  TO  e   t   Điều cho phép tính tốc độ nhiệt ấm có nhiệt độ T (hoặc tốc độ thu nhiệt T  TO ), C T  C  TP  TO  e   t  C  TP  TO  , t C nhiệt dung ấm nước Khi ấm điện cấp điện với công suất P , ấm có nhiệt độ T , cơng suất mà nhận để làm tăng nhiệt độ tổng  C  T  TO   P , phương trình cho tốc độ thay đổi nhiệt độ ấm C T  C  T  TO   P t Về mặt toán học, phương trình có dạng giống phương trình C thay biến số TO biến số TO  T  C  T  TO  , t P Do cắm điện, nhiệt độ ấm thay đổi theo thời gian theo C công thức P   t P  T  t   TP  TO   e  TO  C  C  Trong trường hợp TP TO ta có T  t   P  t P e  TO  C C Khi ấm thu điện E1 , nghĩa thời gian đun t1 E1 / P1 , ta có mối quan hệ sau nhiệt lượng E1 nhiệt độ TK : E1 P  P TK  e P1  TO  , C C (1) Trang Từ xác định C  E1 P1 1 e P1 C Tk  TO  Lưu ý rằng, với  E1 nhỏ, ta đơn giản biểu thức C E1 /  TK  TO  P1 Khi đun với công suất điện P2 , (1) ta thay P1 P2 , E1 E2 E2 TK  P2   P2 P e  TO  C C Từ ta tìm E2 P  C  P2  E2  ln    TO  TK   ln     P2     E     e P1   Nhận xét thấy, P1 P2 , ta có E1 E2 Nếu điều kiện P  1  P2     E1  E2 1 1 thỏa mãn, tức P1 P2 E   P  P mát lượng Cũng cần lưu ý giá trị E2 cho biểu thức    e  0 ,   P2 tương đương với việc TK  TO  P2 , cơng suất P2 khơng đủ để đun nóng nước tới nhiệt độ TK C Thay số vào ta được: E2 3.2 105 J , với P2 300W , E2 8.2 105 J , với P2 200W 2.22 Làm nguội điện trở (Kazhakstan) 1) Khi quạt chưa bật lên, công suất Joule-Lenz làm tăng nhiệt độ điện trở: U2 dt CdT R1 Từ tìm thời gian để tăng nhiệt độ đến T1 100 C T1 CR  T  T  CR t1   21 dT  12 160 s U U T0 2) Sau điện trở thay đổi phương trình nhiệt cũ, thời gian để tăng lên đến Tc 110 C Tc CR  T  T  CR t2 t1   22 dT t1  c2 200 s U U T1 3) Khi quạt bật lên, phương trình nhiệt: U2   PQ  dt CdT   R2  Tốc độ nhiệt Trang  dT  U    PQ   K / s dt C  R2  Thời gian để nguội đến T2 90 C  Tc  T2 80  26.7 s dT / dt Sau điện trở thay đổi tốc độ giảm nhiệt là:  dT  U    PQ   K / s dt C  R1  Trong thời gian hoạt động lại quạt, nhiệt độ giảm đến được: Tmin T2  dT 175       58.3K dt 4) Thời gian để điện trở nóng trở lại đến T1 100 C T1 CR  T  T0  250 CR1 dT  min2  83.3s U U Tmin t   Chu kỳ  t   t2  t1     640 213.3s 5) Nhiệt lượng Joule-Lenz tỏa chu kỳ: U2 U2 U2 Q  t   t2  t1          360 J R1 R2 R1 6) Đồ thị: 2.23 Sự nguội cốc trà (Australia) 1) Cốc Maria có diện tích xung quanh S 2 r  2 rh 350cm , bao gồm diện tích đáy nắp cốc Nước có khối lượng m  r 2h 0.50kg Phương trình cân nhiệt (1) (2) cho ta  S  Ttea  Troom  t mcT d Chuyển vế thay số vào ta T  S t 0.10  Ttea  Troom  dmc Phương trình dùng để đánh giá nhiệt độ điền vào bảng 2.23S Trang 2) Bằng cách nối điểm liệu thành đường cong, từ tìm điểm giao đường cong với nhiệt độ 55 C ta tìm thời gian cần để nguội tới 55 C phút 20s 3) Bếp cấp nhiệt để làm nóng trà: P  Q Q  t  Nhiệt cần thiết để làm nóng tới 70 C Q mcT , t P suy t mcT 28.7s P Thời gian sau rót Nhiệt độ ban đầu Thay đổi nhiệt độ Nhiệt độ cuối Ttea   C  sau 30s   C  Ttea   C  0s 100 7.5 92.5 30 s 92.5 6.8 85.7 phút 85.7 6.1 79.6 phút 30 s 79.6 5.5 74.1 phút 74.1 4.9 69.2 phút 30 s 69.2 4.4 64.8 phút 64.8 4.0 60.8 phút 30 s 60.8 3.6 57.2 phút 57.2 3.2 54.0 phút 30 s 54.0 2.9 51.1 Bảng 2.23S 4) Sau 30 s trà nhiệt độ 70 C , nhiệt độ giảm 4 C , tức vào cỡ phần tư độ tăng 15 C mà ta muốn nung nóng Điều có nghĩa thời gian đun thực tế dài phần tư, tức đáp án 7s so với thời gian thực Độ chênh lệch đáng kể cần tính đến 2.24 Đun ấm trà (Belarus) 1) Mất nhiệt 1a) Sau thời gian t , nước bình nhận lượng nhiệt Qh Pt Nhiệt mát từ thành bình mặt nước Tổng diện tích tiếp xúc nhiệt với khơng khí: S sur 2 rH   r 707cm Sau thời gian t lượng nhiệt Qloss q0 S sur t Trang m0  r H 1.57kg Lượng nước bình là: Nhiệt nhận từ bếp làm nóng nước phần bị môi trường: Qh  Qloss cm0  T2  T1  Thay biểu thức nhiệt lượng vào, ta tìm thời gian cần để làm nóng nước: t cm0  T2  T1  P  q0 S sur 141s 2.36 phút 1b) Để nước nung nóng nhiệt khơng vượt nhiệt nhận từ bếp Trong trường hợp giới hạn Qh Qloss , từ tìm độ cao cực đại mức nước: H max  P / q0   r 72.4cm 2 r 1c) Gọi lượng nước chảy qua bình đơn vị thời gian 0 Khi khoảng thời gian t nước chảy qua bình tích 0t , khối lượng 0t , cần làm nóng từ nhiệt độ T1 đến T3 : Qh  Qloss c 0t  T3  T1  Thay biểu thức nhiệt vào, bỏ qua nhiệt từ ống dẫn nước, ta có: 0  P  q0 S sur 33.3cm3 / s 2 lít/phút c   T3  T1  2) Mất nhiệt không 2a) Công suất nhiệt xác định biểu thức Ploss b  T  T1  S sur , T nhiệt độ tức thời nước Khi nước đạt đến nhiệt độ tối đa Tmax , khơng nóng thêm tồn cơng suất nhận từ bếp công suất nhiệt: Ploss b  Tmax  T1  S sur Từ tìm nhiệt độ cực đại: Tmax  P  T1 114 C  S sur Tuy nhiên điều kiện áp suất bình thường nước nung nóng đến nhiệt độ bay (ngoại trừ số trường hợp đặc biệt) Do đán án câu nhiệt độ cao nước Tvapor 100 C 2b) Từ đồ thị hình 2.24Sa ta thấy, vào thời điểm ban đầu, nhiệt độ nước T nhiệt độ T1 môi trường xung quanh Khi cơng suất nhiệt Ploss 0 Viết phương trình cân nhiệt cho khoảng thời gian t đầu giai đoạn đun, nước kịp nóng lên lượng T : Pt  cm0 T Từ ta tìm cơng suất nhiệt bếp P cm0 T t Trang 10 T tốc độ làm nóng (hoặc nguội đi) nước, xác định từ đồ thị t cách tìm tiếp tuyến điểm t 0 Khi ta chọn khoảng thời gian t tìm đoạn T tương ứng trục nhiệt độ tìm tỷ số: Tỷ số T C 22.5 t phút Khi cơng suất nhiệt bếp 0.375 C s P 2470W Từ đồ thị hình 2.24Sa ta thấy nhiệt độ cực đại nước Tmax1 50 C Do dựa vào phần 2a), ta nhận biểu thức: P b1  Tmax1  T1  S sur , từ tính hệ số truyền nhiệt: 1  P W 1160 m  C  Tmax1  T1  Ssur 2c) Viết phương trình cân nhiệt cho trình nguội nước khoảng thời gian t : b1  T  T1  S sur t cm0 T Từ đây, biết hệ số truyền nhiệt 1 đại lượng khác từ phần trên, biểu diễn độ giảm nhiệt độ theo nhiệt độ nó: T  T  : T  T   1S sur  T  T1  t cm0 Cho khoảng thời gian t giá trị đó, ví dụ, 0.5 phút, ta bước tính nhiệt độ nước theo bảng 2.24S Dùng số liệu từ bảng ta dựng đồ thị phụ thuộc nhiệt độ nước vào thời gian (hình 2.24Sb) t, phút T, C T , C T  T , C 0.0 50.000 11.194 0.5 38.806 1.0 t, phút T, C T , C T  T , C 38.806 5.5 20.176 0.066 20.110 7.017 31.789 6.0 20.110 0.041 20.069 31.789 4.399 27.390 6.5 20.069 0.026 20.043 1.5 27.390 2.758 24.633 7.0 20.043 0.016 20.027 2.0 24.633 1.729 22.904 7.5 20.027 0.010 20.017 2.5 22.904 1.084 21.821 8.0 20.017 0.006 20.011 3.0 21.821 0.679 21.141 8.5 20.011 0.004 20.007 3.5 21.141 0.426 20.715 9.0 20.007 0.003 20.004 4.0 20.715 0.267 20.449 9.5 20.004 0.001 20.003 4.5 20.449 0.167 20.281 10.0 20.003 0.001 20.002 5.0 20.281 0.105 20.176 Bảng 2.24S Trang 11 2.25 Tấm kim loại bị nắng chiếu (Trung Quốc) Ký hiệu Tt , Tb , T0 nhiệt độ mặt trên, mặt kim loại nhiệt độ môi trường Nhiệt lượng tỏa từ mặt kim loại đơn vị thời gian cA  Tt  T0  ; cA  Tb  T0  ; c số, A diện tích mặt kim loại Cơng suất nhiệt kim loại Pa cA  Tt  T0   cA  Tb  T0  Từ Tt  Tb  Pa  2cAT0 Pa   2T0 cA cA Thay số từ đề vào Tt  Tb 360 K  340 K 700 K (1) Độ dày t kim loại bé nên coi nhiệt độ biến thiên từ mặt đến mặt Công suất truyền nhiệt từ mặt kim loại xuống mặt là: Pc kA Tt  Tb , t với k số Vì nhiệt độ mặt khơng đổi nên nhiệt truyền đến xạ hết khơng khí Ta có kA Tt  Tb cA  Tb  T0  t (2) Khi tăng độ dày lên 2t , nhiệt độ hai đáy Tt, Tb thỏa mãn kA Tt  Tb cA  Tb  T0  2t (3) Từ (2) (3) kết hợp với (1) có dạng Tt Tb 700 K (4) ta có Trang 12 700 K  2Tb T  T  b  700 K  2Tb  Tb  T0 Suy Tb  700 K  Tb  T0   4TbT0 1400 K  2Tb  2T0 333.3K Thay vào (4) Tt700 K  Tb 366.7 K Trang 13