Động lực học chất điểm

Động lực học chất điểm 1.10 Chuyển động ô vuông (Belarus) 1) Một hạt khối lượng m chuyển động với vận tốc v0 dọc theo trục Ox vào vùng hình vng cạnh l l vị trí có tọa độ x0 0 , y0  Các trục tọa độ trùng với ranh giới hình vng (hình 1.10a) Trong l  vùng này, lực F tác dụng lên hạt có hướng dọc theo trục Ox Độ lớn vận tốc ban đầu hạt v0  ,  độ lớn lực F  2ml (trong hai công thức này,  tham số biết) 2 Hãy tìm tọa độ điểm mà hạt bay khỏi hình vng, thời gian hạt chuyển động hình vng, vẽ quỹ đạo chuyển động hạt  2) Làm lại câu với tường hợp lực F hướng dọc theo trục Oy, thay theo trục Ox trước (hình 1.10b), cịn độ lớn không thay đổi F  2ml 2  3) Vẫn câu hỏi giả thiết hai câu trên, lực F luôn hướng vuông góc với véctơ vận tốc (hình 1.10c) có độ lớn F  4mv02 l  4) Vẫn giữ điều kiện vận tốc đầu hạt phần trước lực F có độ lớn khơng v mv02 , cịn hướng thay đổi liên tục theo quy luật  2 t ,  góc tạo phương l l vận tốc chiều âm trục Oy (hình 1.10d) đổi F  Hãy tìm tọa độ điểm mà quỹ đạo hạt giao với ranh giới vùng, xác định thời điểm xảy giao nhau, vẽ quỹ đạo chuyển động hạt 1.11 Hai lực kéo (Nga) Người ta tác dụng lực F1 F2 vào hệ theo phương hình 1.11a Độ lớn lực phụ thuộc vào thời gian cho hình 1.11b 1.11c Khối lượng vật m 1 kg , hệ số ma sát vật mặt phẳng  0.4 , gia tốc rơi tự g 10 m/s Các dây nhẹ, khơng dãn đủ dài Rịng rọc khơng khối lượng Sau khoảng thời gian 10 s, vật dịch khỏi vị trí ban đầu khoảng bao nhiêu, ban đầu đứng yên? Trang 1.12 Quyển sổ hình lăng trụ (Bulgaria) Trên mặt phẳng nhẵn người ta đặt nêm hình lăng trụ khối lượng M, mặt bên tạo thành mặt nhẵn nghiêng với góc so với phương ngang hình 1.12 Từ điểm cao nêm người ta thả không vận tốc đầu hai sổ nhỏ khối lượng m1 m2 1) Tỷ số khối lượng m1 / m2 phải để nêm không dịch chuyển? 2) Tìm biểu thức gia tốc chuyển động a0 nêm với giá trị góc nêm Tương tự, tìm biểu thức gia tốc a1 , a2 sổ chuyển động dọc theo mặt nêm 3) Cho 1 30 ,  60 , m1 m 0.1 , 0.2 , gia tốc trọng trường g 10 m/s Tính giá trị số gia M M tốc a0 , a1 , a2 ? Nêm chuyển động theo hướng nào? 4) Cần thời gian để sổ thứ hai (bên phải) đến mặt phẳng ngang, quãng đường cần vượt qua d 50 cm ? 1.13 Ba ròng rọc (Nga) Hai vật nặng khối lượng m1 m2 nối với hai ròng rọc động, nhẹ Các ròng rọc vật đặt sợi dây khơng giãn hình vẽ Người ta giữ vật nặng để hệ trạng thái cân bằng, góc tạo sợi dây treo rịng rọc gắn với vật m1 so với phương nằm ngang  Thả hệ ra, tìm gia tốc vật Giả thiết bán kính rịng rọc r L Trang ĐÁP ÁN 1.10 Chuyển động ô vuông (Belarus)  1) Vì lực F vận tốc đầu hạt v0 có hướng nên hạt chuyển động thẳng biến đổi Trong l trường hợp này, quỹ đạo hạt đường thẳng AB hạt rời hình vng điểm B(l, ) xem hình 1.10Sa Để tính thời gian chuyển động hạt, ta cần tìm gia tốc F 2ml 2l   , sau sử dụng cơng thức chuyển động biến m  m  đổi đều: a l v t  a t2 l 2l t t t  l          0       (1) Nghiệm phương trình bậc hai t  1  (2) Trong ta lấy nghiệm dương ứng với dấu “+” Như hạt rời khu vực hình vng sau khoảng thời gian 51 (3)  0.62    2) Vì lực F vận tốc đầu hạt v0 , nên hạt chuyển động theo nhánh t parabol hướng lên (hình 1.10Sb) Chuyển động theo trục Oy chuyển động nhanh dần không vận tốc đầu với gia tốc a  F 2l  m 2 Như hạt lên đến ranh giới vùng sau thời gian: t2  l a  t  2 (4) Độ dời hạt theo trục x sau khoảng thời gian này: l  l x v t  x    0.71l  2 Như hạt rời vùng hình vng điểm B( t (5) l , l) sau chuyển động  theo quỹ đạo parabol 3) Nếu lực tác dụng ln ln vng góc với véctơ vận tốc v0 (lực xoay theo vận tốc), lực khơng làm thay đổi độ lớn vận tốc mà thay đổi hướng Hạt chuyển động quỹ đạo đường trịn bán kính R (hình l.l0Sc) Theo định luật II Newton cho chuyển động tròn Trang F 4mv02 mv ma   R  l R (6) Từ (6), ta thấy hạt rời vùng gốc tọa độ với vận tốc hướng ngược vận tốc ban đầu sau khoảng thời gian R    0.78 (7) v0    4) Ở thời điểm ban đầu lực F hướng vng góc với véctơ vận tốc v0 Nhưng sau góc chúng R v t  t  thay đổi liên tục theo thời gian Ta dựa chuyển động tương tự để đoán chuyển động hạt Xét chuyển động điểm  vành bánh xe lăn không trượt với vận tốc v theo phương ngang, vận tốc điểm  đỉnh quỹ đạo v , theo công thức cộng vận tốc Bây xét chuyển động  bánh xe bán kính R = l/4, có tâm chuyển động lăn khơng trượt theo  phương  ngang với vận tốc v0 /2 Khi vận tốc điểm bánh xe trùng với vận tốc ban  đầu v0 hạt hướng độ lớn Vận tốc góc bánh xe:   v0 / v 2 l/4 l (8) Lực tác dụng lên chất điểm khối lượng m vành bánh xe 2  v  l mv F ma m R m    l  l  (9) Hình chiếu lực lên trục mv 20  v  Fx  sin  t  l  l  mv0  v  Fy  cos  t  l  l  (10) Như điều kiện đầu (tọa độ vận tốc) phụ thuộc gia tốc vào thời gian hai toán giống nhau, suy quy luật chuyển động Hạt chuyển động theo quỹ đạo đường Cycloid - quỹ đạo điểm bánh xe lăn khơng trượt đường thẳng (hình l.l0Sd) Trang Từ suy hạt gặp ranh giới vùng sau quay nửa vòng với thời gian t  l 2v0   điểm B  l,  (hình 1.10Se) 4  [Có thể giải trực tiếp mà khơng cần đốn trước dạng quỹ đạo chuyển động bánh xe Chiếu  lực F lên trục tọa độ Fx  Fsin   mv02  v sin  l  l  t  Fy  F cos   mv02  v cos  l  l  t  Từ tìm phương trình chuyển động: ax  ay  v2 dv x Fx  v   sin  dt m l  l v2   v t   dv x  sin  l   l  t  dt  dv y v2   v t   dv y  cos  l   l  t  dt  dt  Fy m  v 02  v cos  l  l Lấy tích phân hai biểu thức ta được: v0  v  cos  t   l  v  v  v y (t) v oy  sin  t   l  v x (t) v ox  Sử dụng điều kiện đầu v x (0) v ; v y (0) 0 ta dễ dàng tìm số v ox  v0 voy 0 Viết lại v x (t)  v v dx v0 v0  v   v    cos  t   dx  dt  cos  t  dt dt 2 2  l   l  v y (t)  v dy  v  sin  dt  l v   v t   dy  sin  2   l  t  dt  Lấy tích phân lần ta phương trình tọa độ x x  v0  v t  sin  2  l  v y y  cos   l  t   t  Sử dụng điều kiện đầu ta tìm x 0; y0  Trang Thay vào điểu thức cho t nhận vài giá trị ta tìm vị trí hạt thời điểm khác nhau, nối chúng lại ta quỹ đạo cycloid.] Cuối ta vẽ quỹ đạo bốn trường hợp để so sánh (hình 1.10Sf) 1.11 Hai lực kéo (Nga) Ròng rọc làm tăng lực F2 lên gấp đôi Nếu chọn trục x hướng sang phải, hình chiếu tổng hợp lực lên phương ngang: Fx 2Fx  F1 Đồ thị hình chiếu Fx biểu diễn hình l.11Sa Vật bắt đầu dịch chuyển tổng ngoại lực lớn giá trị lực ma sát nghỉ Ff mg 4N Từ đồ thị thấy (Hình 1.11Sb), chuyển động bắt đầu vào thời điểm t0 = s Vật chuyển động với gia tốc không đổi a x1  Fx  F1  / m 4m / s , thời điểm t1 = s khơng tác dụng lực Vận tốc vật thời điểm v x1 a x1  F1  F0  16m / s Sau t1 = s vật chuyển động tác dụng lực ma sát với gia tốc a x  4m / s Tại thời điểm t2 =10 s vận tốc vật v x v x1  a x  t  t1  8m / s Độ dời ∆x vật diện tích chắn đồ thị v x (t) (hình 1.11Sc) Sau 10 s độ dời là: x (1/ 2) 16 4  (1/ 2) (16  8) 2 56 m 1.12 Quyển sổ hình lăng trụ (Bulgaria) 1) Khi nêm đứng yên áp lực tác dụng lên hai mặt bên nêm có giá trị N1 m1g cos 1 N m g cos  (hướng hình 1.12S) Tổng lực theo phương ngang phải không, từ điều kiện cân m1g cos 1 sin 1 m g cos  sin  hay Trang m1 cos 1 sin 1 sin 21   m cos  sin  sin 2 2) Khi góc lăng trụ nhận giá trị bất kỳ, xác định hướng chuyển động nêm Giả sử gia tốc hướng sang trái Nếu nêm chuyển động sang phải  nhận giá trị âm mà cách giải tốn khơng cần thay đổi Tiện chọn hệ quy chiếu gắn với nêm: Phương trình chuyển động hai sổ theo phương dọc mặt nêm: m1a1 m1g sin 1  m1 a cos 1 m 2a m 2g sin   m a cos  Độ lớn áp lực hai sổ lên hai mặt nêm là: N1 m1gcos1  m1 a 0sin 1 N m gcos  m a sin  Định luật hai Newton cho chuyển động theo phương ngang nêm Ma N sin   N1 sin 1 Từ ba phương trình giải a0  a1  m sin  cos  m1 sin 1cos1 g M  m1 sin  21  m sin  2 (M  m1 )sin 1  m sin  cos(1   ) g M  m1 sin  21  m sin  2 a2  (M  m ) sin   m sin  cos(1   ) g M  m1 sin  21  m sin  2 2) Thay số vào ta a0 =0.37 m/s2, a1 = 4.7 m/s2 a2 = 8.8 m/s2 a0 có giá trị dương, tức nêm chuyển động sang trái 3) Quyển sổ chuyển động nhanh dần không vận tôc đầu, d = at2/2 Từ t  2d / a 0.34 s 1.13 Ba rịng rọc (Nga) Vì dây khơng giãn ròng rọc nhẹ nên sức căng T dây điểm dọc theo dây Viết phương trình chuyển động theo phương thẳng cho vật 1, chọn chiều dương hướng xuống: m1a1 m1g  2T sin  (1) Phương trình định luật II Newton cho chuyển động theo phương thẳng đứng vật 2: m a m 2g  2T (2) Vì dây khơng giãn nên độ dịch chuyển nhỏ y1 vật (Hình 1.13Sa) độ dịch chuyển nhỏ theo phương thẳng đứng y vật liên hệ với quan hệ: 2y1 sin   2y 0 Trang [Mối liên hệ tìm cách xét chiều dài sợi dây Gọi chiều dài nửa đoạn dây treo vật m l1, quan hệ tam giác vuông cho ta: l12  y12  L2 Lấy vi phân ta được: 2l1dl1  2y1dy1 0 Suy ra: dy1  l1 dy dl1  ] y1 sin  Từ đây, chia hai vế cho t1 ta liên hệ vận tốc: v1 sin   v 0 Tiếp tục lấy vi phân biểu thức trên: (v1 sin )  v v1 sin   v1 sin   v 0 Nhưng ban đầu vận tốc v1 v 0 nên biểu thức lại: v1 sin   v 0 Chia vế cho t1 ta mối liên hệ gia tốc: a1 sin   a 0 (3) Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta có: a1 g m1  m sin  m1  m sin  ; a  g sin  m1  m sin  m1  m sin  [Có thể giải phương pháp lượng Cơ hệ thời điểm bất kỳ: 1 E  m1v12  m v22  m1gy1  m 2gy 2 Thay v  v1 sin  từ vào ta được: E  (m1  m sin )v12  m1gy1  m 2gy 2 Đạo hàm biểu thức (m1  m sin ) v1 a  m1gv1  m 2gv (m1  m sin ) v1 a1  gv1 (m1  m sin ) Từ suy a1 g m1  m sin  ; thay trở lại (10) tìm nốt a ] m1  m sin  Trang