Chuyen de 2 cac phuong trinh trang thai do thi

Chuyên đề CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI - ĐỒ THỊ Dạng Phương trình trạng thái – Phương trình Clapâyrơn – Menđêlêép I TĨM TẮT LÝ THUYẾT – Phương trình trạng thái: p1V1 pV pV = 2 = const hay T1 T2 T Trong đó:  p1, V1, T1 áp suất, thể tích nhiệt độ khí trạng thái  p2, V2, T2 áp suất, thể tích nhiệt độ khí trạng thái m RT – Phương trình Clapâyrơn – Menđêlêép: pV = μ (m, μ khối lượng khối lượng mol khí; R số khí, có giá trị phụ thuộc vào hệ đơn vị: + Hệ SI: R = 8,31 J/mol.độ + Hệ hỗn hợp: R = 0,082 atm.l/mol.độ; R = 0,084 at.l/mol.độ II GIẢI TOÁN A Phương pháp giải - Nếu tốn có liên quan đến biến đổi khối lượng khí xác định sử dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng : P1V1 P2 V2  T1 T2 - Nếu tốn có liên quan đến khối lượng khối khí sử dụng phương trình Claypeyron – Mendeleev m PV  RT nRT  - Ngoài cịn dạng tập khác phương trình trạng thái khí lý tưởng : phương trình trạng thái áp dụng cho hỗn hợp khí hay phương trình trạng thái kết hợp với định luật Acsimet, Tùy vào điều kiện đề mà vận dụng kết hợp công thức, biến đổi hợp lý Khi giải cần:  Liệt kê trạng thái khối khí  Đổi t C  T K với T K 273  t C m RT cần ý đến giá Khi áp dụng phương trình Clapâyrơn – Menđêlêép pV = μ trị R hệ đơn vị khác (hệ SI: R = 8,31 J/mol.độ; hệ hỗn hợp: R = 0,082 atm.l/mol.độ, R = 0,084 at.l/mol.độ) B VÍ DỤ MẪU Ví dụ Trong xilanh động đốt trong, hỗn hợp khí áp suất 1atm, nhiệt độ 470C, tích 40dm3 Nén hỗn hợp khí đến thể tích 5dm 3, áp suất 15atm Tính nhiệt độ khí sau nén 262 Hướng dẫn Ta có: + Trạng thái đầu: p1 = 1atm, V1 = 40dm3, T1 = 47 + 273 = 320K + Trạng thái cuối: p2 = 15atm, V2 = 5dm3, T2 = ? p1V1 p V = 2 Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng, ta có: T1 T2  T2 = p2 V2 T1 = 15.5 320 = 600K hay t2 = 327oC p1V1 1.40 Vậy: Nhiệt độ khí sau nén 327oC Ví dụ Một ống thủy tinh đầu kín, chứa lượng khí Ấn miệng ống thẳng đứng vào chậu thủy ngân, chiều cao ống lại 10cm Ở 0C mực thủy ngân ống cao chậu 5cm Hỏi phải tăng nhiệt độ lên để mực Hg ống chậu? Biết áp suất khí p0 = 750 mmHg Mực thủy ngân chậu dâng lên khơng đáng kể Hướng dẫn – Ban đầu, khí ống tích V = S(l – h), áp suất p1 = p0 – h, nhiệt độ T1 = 273K – Khi nhiệt độ tăng lên, khí ống tích V = Sl, áp suất p1 = p0, nhiệt độ T2 p1V1 p V = 2 – Theo phương trình trạng thái khí lí tưởng, ta có: T1 T2  T2 =  T2 = p2 V2 p1V1 T1 = p0 Sl (p0 - h).S(l - h) T1 = p0 l (p0 - h).(l - h) T1 750.10 273 = 550K hay t2 = 277oC (750 - 5).(10 - 5) Vậy: Phải tăng nhiệt độ lên 277oC Ví dụ Một chất khí có khối lượng 1,0g 27 0C áp suất 0,5 atm tích 1,8 lít Hỏi khí khí gì? Biết đơn chất Hướng dẫn Theo phương trình Clapâyrơn–Menđêlêép, ta có: pV = m mRT RT  μ = μ pV với: m = 1,0g, R = 0,084m at.l/mol.K, T = 300K, p = 0,5atm, V = 1,8 lít: 1.0,084.300  μ = = 28 0,5.1,8 Đơn chất có μ = 28 ni–tơ (N2) 263 Ví dụ Bình chứa 4,0g hiđrơ 53 0C áp suất 44,4.105 N/m2 Thay hiđrơ khí khác bình chứa 8,0g khí 27 áp suất 5,0.105 N/m2 Khí thay hiđrơ khí gì? Biết khí đơn chất Hướng dẫn Với khí hiđrô: p1V =  p1 p2 = m1 μ1 RT1 ; với khí X: p2V = m2 μ2 RT2 m1 μ T1 m p1 T2 μ  μ2 = m μ1 T2 m1 p2 T1 Với: m1 = 4,0g, T1 = 53 + 273 = 326K, p1 = 44,4.105 N/m2, μ1 = 2; m2 = 8,0g, T2 = 27+273 = 300K, p2 = 5,0.105 N/m2: μ2 = 44,4.105 300 = 32 5,0.105 326 Đơn chất có μ = 32 oxi (O2) Ví dụ Khí cầu có dung tích 328m3 bơm khí hiđrơ Khi bơm xong, hiđrơ khí cầu có nhiệt độ 27 0C, áp suất 0,9atm Hỏi phải bơm lâu giây bơm 2,5g H2 vào khí cầu? Hướng dẫn Gọi m khối lượng khí bơm vào khí cầu m RT suy ra: m = μpV Từ phương trình Clapâyrơn–Menđêlêép pV = μ RT với: V = 328m3 = 328.103 lít, T = 27+273 = 300K, p = 0,9atm, R = 0,082 atm.l/mol.K; μ = 2g/mol:  m= 2.0,9.328.103 = 24000g 0,082.300 Thời gian bơm: t = m 24000 = = 9600s = 2h40ph 2,5 2,5 Vậy: Thời gian bơm khí cầu 2h40ph Ví dụ Có 10g khí ơxi 47 0C, áp suất 2,1 atm Sau đun nóng đẳng áp thể tích khí 10 lít Tìm: a) Thể tích khí trước đun b) Nhiệt độ sau đun c) Khối lượng riêng khí trước sau đun Hướng dẫn a) Thể tích khí trước đun m m RT RT  V1 = Từ phương trình Clapâyrơn–Menđêlêép: pV = μ μ p1 264 với: m = 10g, μ = 2g/mol, T1 = 47 + 273 = 320K, p1 = 2,1atm; 10 0,084.320 R = 0,084 atm.l/mol.K  V1 = = lít 2,1 Vậy: Thể tích khí trước đun V1 = lít V2 T = b) Nhiệt độ sau đun: Vì đun nóng đẳng áp nên: V1 T1 V2 T1 = 10 320 = 800K hay t2 = 527oC Vậy: Nhiệt độ khí sau đun 527oC c) Khối lượng riêng khí trước sau đun m 10 Trước đun: ρ1 = = = 2,5 g/l V1  T2 = V1 m 10 = = g/l V2 10 Vậy: Khối lượng riêng khí trước sau đun 2,5 g/l g/l Sau đun: ρ2 = Ví dụ Một xilanh đặt thẳng đứng có tiết diện thay đổi hình vẽ Giữa hai pittơng có n mol khơng khí Khối lượng diện tích tiết diện pittơng m1, m2, S1, S2 Các pittông nối với nhẹ có chiều dài l cách chỗ nối hai đầu xilanh Hỏi tăng nhiệt độ khí xilanh thêm  T pittơng dịch chuyển bao nhiêu? Cho biết áp suất khí p0 m1 m2 Hướng dẫn Gọi p áp suất ban đầu khí xilanh  – Các lực tác dụng lên m1: trọng lực P1 , lực nén khí  khí bên xilanh F1 :     P1 + F01 + F1 =  P1 + F01 – F1 = (1)  – Các lực tác dụng lên m2: trọng lực P2 , lực nén khí  khí bên xilanh F2 :     P2 + F02 + F2 =  P2 – F02 + F2 = (2)  F01 , lực đẩy  F02 , lực đẩy – Từ (1) (2) suy ra: (P1 + P2) + (F01 – F02) – (F1 – F2) = 265  F1 – F2 = (P1 + P2) + (F01 – F02)  p(S1 – S2) = P1 + P2 + p0(S1 – S2) (3) – Ban đầu, khí xilanh tích V, áp suất p, nhiệt độ T: m RT pV = (4) μ – Khi nhiệt độ khí tăng lên  T thời gian ngắn nên coi áp suất không đổi: m m RT  p(S1 – S2)x = RT p ΔV = (5) μ μ – Từ (3) (5) suy ra: P1 + P2 + p0(S1 – S2) = m RT x.μ m RΔT m RΔT = μ  p0 (S1 - S2 ) + (m1 + m )g  μ p0 (S1 - S2 ) + P1 + P2 Vậy: Khi tăng nhiệt độ khí xilanh thêm  T pittơng dịch chuyển  x= đoạn: x = m RΔT μ  p (S1 - S2 ) + (m1 + m )g  Ví dụ Xilanh hai đầu chia làm hai phần, phần dài 42cm ngăn cách pittông cách nhiệt.Mỗi phần xilanh chứa khối lượng khí, giống nhau, 270C áp suất 1,0at Cần phải nung nóng khí phần xilanh lên độ để pittông dịch chuyển 2cm? Tính áp suất khí sau nung Hướng dẫn – Ban đầu, khí phần xilanh tích V = Sl, áp suất p, nhiệt độ T – Sau nung: + phần khí bị nung nóng tích V1 = S(l + x), áp suất p1, nhiệt độ T1 = T + 50 + phần khí khơng bị nung tích V = S(l – x), áp suất p2 = p1, nhiệt độ T2 = T – Vì khí phần xilanh giống nhau, p1 = p2 nên: V1 T T l+x =  = V2 T2 T2 l- x  T1 = T2 (l + x) (l = 42cm; x = 2cm; T2 = T = 27 + 273 = 300K) l- x 300.(42 + 2)  T1 = = 330K hay t1 = 57oC 42 - – Vì nhiệt độ lượng khí phần xilanh khơng bị nung nóng khơng đổi (T = T) nên áp dụng định luật Bơi–Mariơt cho lượng khí ta được: 266 l 42 = = 1,05at l x 42  Vậy: Để pittông dịch chuyển 2cm cần phải nung nóng khí phần pV = p2V2  pSl = p2S(l – x)  p2 = p xilanh lên đến 57oC, lúc áp suất khí 1,05at Ví dụ Hai bình giống chứa chất khí đó, nối với ống ngang, ống có giọt thủy ngân Bình I có nhiệt độ T 1, bình II có nhiệt độ T2 (T2 > T1) Giọt thủy ngân di chuyển nếu: a) nhiệt độ tuyệt bình tăng gấp đơi? T2 T1 b) nhiệt bình tăng lượng  T nhau? Hướng dẫn – Ban đầu, giọt thủy ngân ống nằm ngang nên: + khí bình I tích V1, áp suất p1, nhiệt độ T1 + khí bình II tích V2 = V1, áp suất p2 = p1, nhiệt độ T2>T1 m m – Ta có: Bình I: p1V1 = RT1 ; bình II: p2V2 = RT2 μ μ Vì p2 = p1, V2 = V1 nên: m1 μ RT1 = m T m2 RT2  = m T2 μ (1) a) Khi nhiệt độ tuyệt bình tăng gấp đơi: T1' = 2T1; T2' = 2T2; p1' = p,2 nên: V2' V1' = m1 T1' m1 T1 = : giọt thủy ngân đứng yên = ' m2 T m T2 b) Khi nhiệt bình tăng lượng  T nhau: T1'' = T1 + ΔT ; T2'' = T2 + ΔT ; p1 = p2 nên: V2'' V1'' = m1 T1'' m1 T1 +ΔT = '' m2 T m T2 +ΔT > 1: giọt thủy ngân dịch sang phải Ví dụ 10 Một pittơng chuyển động khơng ma sát xilanh kín thẳng đứng Phía pittơng có hai khối lượng khí lí tưởng Tồn thể xilanh có nhiệt độ T Khi đó, tỉ số thể tích hai khối khí V1 V2 = n > V1 V2 Tính tỉ số nhiệt độ xilanh có giá trị T’>T Bỏ qua dãn nở nhiệt pittơng xilanh Hướng dẫn Gọi x tỉ số thể tích hai khối khí nhiệt độ T’ 267 – Ở nhiệt độ T: + khí phía pittơng tích V1, áp suất p1 + khí phía pittơng tích V2, áp suất p2 Vì m1 = m2, μ1 = μ (cùng loại khí), T1 = T2 = T nên: p1V1 = p2V2 =  p1 p2 = V2 V1 = m RT μ (1) V1 + V2 = V n n (2); p2 – p1 = (n – 1)p1 V n+1 Gọi S, M tiết diện khối lượng pittơng, ta có: F1 + P = F2 Mg  p1S + Mg = p2S  (3) = p2 - p1 = (n - 1)p1 S – Ở nhiệt độ T’: Tương tự nhiệt độ T, ta có: m RT' p1V1 = p2V2 = (4) μ  V1 = V1 = x V x+1 (5) Mg = (x - 1)p1 S – Từ (2) (5) suy ra: – Từ (3) (6) suy ra: (6) V1 = x n+1 x+1 n p1 = n- x- V1 p1 p1V1 n - n + x T' (n2 - 1)x = = – Từ (4) (5) suy ra: = =k T p1V1 x-1 n x+1 n(x2 - 1)  nkx2 – (n2–1)x – nk = (7) Giải (7) ta được: 2 2 T  T'2 n - + (n - 1)2 + 4n x = n - + (n + 1) + 4n k = 2nT'  T2 2nk  Vậy: Tỉ số thể tích hai khối khí nhiệt độ T’      T  2 2 T'  n + (n 1) + 4n x= 2nT'  T2   Ví dụ 11 Một bình chứa m = 0,3kg hêli Sau thời gian, bị hở, khí hêli 268 phần Nhiệt độ tuyệt đối khí giảm 10%, áp suất giảm 20% Tính số nguyên tử hêli khỏi bình Hướng dẫn – Ban đầu, khí hêli có khối lượng m, thể tích V, áp suất p1, nhiệt độ T1: m RT1 p1V = (1) μ – Sau thời gian, khí hêli có khối lượng m, thể tích V, áp suất p2, nhiệt độ T2: m' RT2 p2V = (2) μ   p2 p1 = p2 - p1 m'T2 - mT1 m'(T1 + ΔT) - mT1 m' T2 =  = m T1 p1 mT1 mT1 Δp m' - m m' ΔT = + p1 m m T1 với: (3) Δp ΔT = -0,2 ; = - 0,1 p1 T1 m m 0,9m –  m’ = m - + ( - 0,1) = m m m m 0,3  Δm = m – m = = = kg = 33,333g 9 30 Δm N A Số ngun tử hêli khỏi bình là: ΔN = μ  –0,2 =  ΔN = 33,333 6,023.1023 = 50,2.1023 Vậy: Số nguyên tử hêli khỏi bình 50,2.1023 Ví dụ 12 Người ta nối hai pit tông hai xi nguyên tử lanh giống cứng để giữ cho thể tích hai pit tơng ln hình vẽ Dưới hai pit tơng có hai lượng khí lí tưởng nhiệt độ t0 = 27 C, áp suất p0 Đun nóng xi lanh (1) lên tới nhiệt độ t1 = 1270C đồng thời làm lạnh xi lanh (2) xuống nhiệt độ t = 00C Bỏ qua trọng lượng pit tông nối, coi ma sát không đáng kể, áp suất khí p a = 105Pa, xi lanh đủ dài a Tính áp suất xi lanh 269 b Xác định độ biến thiên tương đối thể tích áp suất xi lanh Hướng dẫn a Áp suất khí hai xi lanh + Xét xi lanh 1: p V0 pV  1 T0 T1 (1) + Xét xi lanh 2: p V0 p V2  T0 T2 (2) + Pit tông cân hai trạng thái, ta có: p0 = pa ; 2p0 = p1 + p2 ; V1 = V2 (3) Từ (1) (2) (3) ta được: p1  T1 p a 1,19.105 Pa T1  T2 p2  T2 p a 0,81.105 Pa T1  T2 b Ta có: ΔV V  V0  V0 V0 Từ (1), (2), (3) (4) ta được: (4) ΔV T  T2  2T0  12% V0 2T0 Δ p2 Δ p1 p  p0 T1  T2    18,87% p0 p0 p0 T1  T2 Ví dụ 13 Một xi lanh nằm ngang dài 2l hai đầu kín, khơng khí xi lanh chia thành hai phần pit-tơng mỏng có khối lượng m Mỗi phần tích V0 , áp suất p0 Cho xi lanh quay quanh trục thẳng đứng xi lanh với vận tốc góc  Tìm  pit-tơng cách trục quay đoạn r có cân tương đối Xem nhiệt độ xi lanh không đổi Hướng dẫn Khi xi lanh đứng yên, khí phần có áp suất p0 thể tích V0 l.S (S: tiết diện) Quay xi lanh với vận tốc góc  :  p2 Phần A:  V2 (l  r ) S r B A 270   p1 V1 (l  r ) S Phần B:  Theo định lí Bơi-lơ_ Ma-ri-ốt: p0l l r pl p2V2  p0V0  p2  l r p1V1  p0V0  p1  Lực tác dụng lên pit-tông theo phương ngang: F2  p2 ; F1  p1S Khi xi lanh quay đều: F1  F2 maht p0 l l   S  p0 S m r  p0V0    m r l r l r  l  r l r  2p V p0V0  2r   p0V0  2  m r    0    m(l  r ) m(l  r ) l  r  Ví dụ 14 Trong xi lanh kín đặt thẳng đứng có hai pit tơng nặng chia xi lanh thành ngăn (hình vẽ), ngăn chứa lượng khí lí tưởng có khối lượng loại Khi nhiệt độ ngăn T1 tỉ số thể tích phần V1 : V2 : V3 4 : :1 Khi nhiệt độ ngăn ' ' ' T2 tỉ số thể tích phần V1 : V2 : V3 x : :1 Bỏ qua ma sát pit tông xi lanh a Tìm x b.Tìm tỉ số T2 T1 Hướng dẫn a) Gọi p1, p 2, p3 áp suất ngăn 1, 3; S tiết diện pit tông Ở nhiệt độ T1 pit tơng cân ta có: 271