TỔNG HỢP CÔNG THỨC LTXS + BÀI TẬP (CÓ ĐÁP ÁN) Trong 100 người được phỏng vấn có 40 người thích dùng nước hoa A;28 người thích dùng nước hoa B; 10 người thích dùng cả 2 loại nước hoa A, B. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số 100 người trên. Tính xác suất để người này a) Thích dùng ít nhất một loại nước hoa trên. b) Không thích dùng loại nước hoa nào cả.
TỔNG KẾT LÝ THUYẾT XÁC SUẤT I XÁC SUẤT Định nghĩa XS Gọi n = n() số tất trường hợp đồng khả xẩy sau phép thử (số phép thử không gian mẫu); n(A) số trường hợp thuận lợi cho biến cố A xẩy Khi xác suất P(A) A định nghĩa tỷ số số trường hợp thuận lợi số tất trường hợp Tức P( A) = n( A) n ( ) Các cơng thức tính xác suất A, B không xung khắc Công thức cộng A, B xung khắc A, B độc lập Công thức nhân & XS điều kiện A, B không độc lập Công thức XSĐĐ & Bayes hệ đầy đủ B biến cố tùy ý Lặp phép thử n lần độc lập, XS lần thành công số p (0 < p < 1), XS lần thất bại q = – p • XS n lần thử k lần thành cơng • XS n lần thử số lần thành cơng từ k1 đến k2 • Số nhiều khả k0 = [np – q] + (Hoặc np – q np – q + chúng số nguyên) Công thức Bernoulli Lược đồ giải toán xác suất Để giải toán xác suất, ta cần tuân thủ lược đồ • Bước Đọc đề (chưa cần ý đến số liệu cụ thể), nhanh chóng phát hành động (tức phép thử) toán - Nếu thấy hành động lặp lặp lại nhiều lần độc lập lần XS thành cơng dùng cơng thức Bernoulli Chỉ cần xác định số lần lặp n, XS thành cơng lần thứ p tính tốn XS theo yêu cầu dề - Nếu hành động không lặp lại lặp lại không độc lâp cần vào kết cục xẩy sau hành động vào yêu cầu đề để đặt tên biến cố tóm tắt u cầu cần tính xác suất • Bước Xét quan hệ biến cố cần tính xác suất biến cố đơn giản để định cần dùng công thức công thức cộng , nhân xác suất đầy đủ hay Bayes - Rõ ràng gặp biến cố tổng hay tích dùng cơng thức cộng, nhân xác suất - Khi thấy xuất hệ đầy đủ biến cố thấy hành động chia hai giai đoạn, kết cục giai đoạn sau phụ thuộc vào kết cục giai đoạn đầu nói chung dùng cơng thức xác suất đầy đủ Bayes • Bước3 Đọc kỹ số liệu cho giả thiết toán để ráp vào cơng thức dùng tính tốn đến đáp số II ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Khái niệm ĐLNN (Biến ngẫu nhiên) Đại lượng ngẫu nhiên (còn gọi biến ngẫu nhiên) đại lượng (tức cân, đong, đo đếm được) mà nhận giá trị thuộc tập hợp số xác định cách ngẫu nhiên với xác suất định ĐLNN thường ký hiệu chữ X, Y, Z , … Các giá trị ĐLNN thường ký hiệu x, y, z, … Phân loại ĐLNN (theo tập giá trị) 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đó ĐLNN mà tập giá trị tập rời rạc, tức đánh số thành dãy (hữu hạn hay vơ hạn) 2.2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đó ĐLNN mà tập giá trị đoạn hay khoảng (hữu hạn hay vô hạn) Chú ý: Mỗi ĐLNN gắn với quy luật PPXS Chính quy luật PPXS làm nên chất ĐLNN ĐLNN RỜI RẠC Bảng PPXS X … xi … P … pi … XS tương ứng Tính chất đặc trưng pi pi ĐLNN LIÊN TỤC Không thể liệt kê thành bảng Hàm mật độ f(x) vai trị XS tương ứng Tính chất đặc trưng f ( x) f ( x)dx i Chú ý: P(X = x) = 0, x x = xi p Chú ý: P(X = x) = i P(a a− ) = 0,5 + ( a− Tra bảng có đáp số Chú ý: (x) 1; x (x) 0,5; x Các xấp xỉ phân phối • Khi n nhỏ so với N (n < < N): H(N, M, n) B(n, p) với p = M/N Tức với X H(N, M, n) P(X = k) Cnk M N k N M n k N ; k = 0, 1, …, n • Khi n lớn p bé (< 0,1): B(n, p) P(np) Tức với X B(n, p) P(X = k) (np)k e k! np ; k = 0, 1, …, n Suy ra: Khi n lớn p lớn (> 0,9): X B(n, p) Y = n – X B(n, q) Y P(nq) với q = – p < 0,1 Từ P(X = k) = P(Y = n – k) ) b a = ( ) – ( ) (nq) n k e (n k )! nq ; k = 0, 1, …, n • Khi n lớn 0,1 p 0,9: B(n, p) N(np, npq) với q = – p Tức với X B(n, p) ) P(X = k) k np ; k = 0, 1, …, n f hàm mật độ Gauss f npq npq a P(a X b) = P np npq X Y np npq b np npq b np npq a np npq với hàm PP Gauss • P(a) N(a, a) a ≥ Tức X P(a) P(X = k) k a f ; k = 0, 1, 2, … f hàm mật độ Gauss a a P( X ) = P a Y a X a a a a a a a a với hàm PP Gauss • Nhờ định lý giới hạn trung tâm, X1, X2, …, Xn n ĐLNN độc lập có phân phối với E(Xi) = , Var(Xi) = 2 n đủ lớn ta có U n : n X i N(n, n2) i Điều có nghĩa P(Un = x) n f P( X ) = P a n ; k = 0, 1, 2, … f hàm mật độ Gauss n x n n U n n Un b n n b n n n n a với hàm PP Gauss III VÉC TƠ NGẪU NHIÊN (2 CHIỀU) Chính cặp Z = (X, Y) hai ĐLNN X, Y (độc lập phụ thuộc, rời rạc liên tục) Để đơn giản, ta chủ yếu xét cặp X, Y rời rạc hữu hạn Bảng PP đồng thời PP lề (biên) ĐLNN) Y y1 y2 … yn PX x1 p11 p12 … p1n p1 X Cộng XS dòng lại x2 … p21 … p22 … … xm pm1 PY q1 Cộng XS cột lại … p2n … p2 … pm2 … pmn q2 … qn pm Cộng tất XS đồng thời • Nhận PP XS riêng X, Y từ lề tương ứng (gọi PP lề) Từ tính EX, VarX EY, VarY • Từ bảng lập PP điều kiện X/(Y = yj) cách lấy XS cột yj chia cho XS lề qj tương ứng ; PP Y/(X = xi) cách lấy XS dòng xi chia cho XS lề pi tương ứng Từ tính kỳ vọng điều kiện E(X/Y=yj) E(Y/X=xi) • Điều kiện độc lập (X, Y độc lập) (pij = P(X = xi ; Y = yj) = P(X = xi).P(Y = yj) ; i, j ) Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên - Kỳ vọng tích E(XY) = xi y j pij ; X, Y độc lập E(XY) = E(X)E(Y) i, j - Hiệp phương sai Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y) Nói riêng Cov(X, X) = D(X); Cov(Y, Y) = D(Y); Cov(X, Y) = Cov(Y, X) - Ma trận tương quan hay ma trận hiệp phương sai Var(X,Y) = - Hệ số tương quan RXY (hay rXY) = D( X ) Cov( X , Y ) Cov( X , Y ) D(Y ) E ( XY ) EX EY D( X ) D(Y ) Cov( X , Y ) D( X ) D(Y ) Tính chất - (X, Y độc lập) Cov(X, Y) = ( RXY = 0) - Cov(X, Y) = ( RXY = 0) nói chung khơng suy X, Y độc lập - – RXY hay RXY - Khi RXY ta nói X, Y tương quan với Hơn nữa, RXY > ta nói X, Y tương quan thuận (cùng chiều); RXY < ta nói X, Y tương quan nghịch (trái chiều) - Khi RXY = ta nói X, Y không tương quan với (dù chưa X, Y độc lập) - RXY đo mức độ phụ thuộc tuyến tính X, Y theo nghĩa • RXY = X, Y phụ thuộc tuyến tính, nghĩa biểu diễn Y hàm nhị thức bậc (hàm tuyến tính) X • RXY gần phụ thuộc X, Y gần với tuyến tính • RXY gần phụ thuộc X, Y khác với tuyến tính GIẢI BÀI TẬP LTXS CHƯƠNG TRONG BÀI GIẢNG Trong 100 người vấn có 40 người thích dùng nước hoa A;28 người thích dùng nước hoa B; 10 người thích dùng loại nước hoa A, B Chọn ngẫu nhiên người số 100 người Tính xác suất để người a) Thích dùng loại nước hoa b) Khơng thích dùng loại nước hoa Nhận xét: Bài dễ, dùng công thức tổng trường hợp không xung khắc Gọi - Ta, Tb T biến cố người chọn thích nước hoa A, B loại nước hoa - K biến cố người chọn khơng thích loại nước hoa a) Ta cần tính P(T)? Ta có T = Ta + Tb (không xung khắc) Công thức cộng XS cho ta P(T) = P(Ta) + P(Tb) – P(TaTb) = 40 28 10 58 58% 100 100 100 100 b) Ta cần tính P(K)? Ta có K = T Do P(K) = – P(T) = 42% Một hộp chứa 10 sản phẩm có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu a) Chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất chọn sản phẩm xấu b) Chọn ngẫu nhiên (không hồn lại) hai sản phẩm Tính xác suất sản phẩm chọn lần sau sản phẩm xấu c) Chọn ngẫu nhiên (có hồn lại) hai sản phẩm Tính xác suất sản phẩm chọn lần sau sản phẩm xấu Nhận xét: - Câu a) sơ cấp hiển nhiên dùng định nghĩa cổ điển XS - Câu b) chọn khơng hồn lại nên lần sau khơng độc lập với lần đầu Dùng công thức nhân biến cố không độc lập - Câu c) chọn có hồn lại nên lần sau độc lập với lần đầu Dùng công thức nhân biến cố độc lập Giải: Gọi Ti, Xi biến cố chọn sản phẩm tốt, xấu ở lần thứ i; i = 1, a) Cần tính P(X1)? Hiển nhiên P(X1) = 3/10 = 0,3 b) Cần tính P(X2)? Rõ ràng biến cố mà khác số phụ thuộc chọn khơng hồn lại; cịn Ti, Xi cặp đối lập (i = 1, 2) Ta có X2 = T1X2 + X1X2 (dùng CT cộng xung khắc, CT nhân không độc lập) P(X2) = P(T1X2) + P(X1X2) = P(T1)P(X2/T1) + P(X1)P(X2/X1) = 10 10 = 0,3 10 c) Cần tính P(X2)? Rõ ràng biến cố mà khác số độc lập chọn có hồn lại; cịn Ti, Xi cặp đối lập (i = 1, 2) Ta có X2 = T1X2 + X1X2 (dùng CT cộng xung khắc, CT nhân độc lập) P(X2) = P(T1X2) + P(X1X2) = P(T1)P(X2) + P(X1)P(X2) = 10 10 3 10 10 = 0,3 10 Một hộp phấn có 12 phấn trắng; phấn xanh; 10 phấn vàng Chọn ngẫu nhiên viên phấn Tính xác suất viên phấn màu trắng biết viên phấn màu vàng Nhận xét: Quá sơ cấp Hiển nhiên dùng định nghĩa cổ điển XS công thức XS điều kiện Giải Gọi T, V biến cố viên phấn đã chọn mầu trắng, vàng Khi đó, biến cố chọn viên phấn khơng vàng V Ta cần tính P(T/ V )? Ta có P(T/ V ) = P(VT ) P(T ) = P (V ) P(V ) 12 10 : (1 ) 30 30 12 = 0,6 20 Lưu ý: Mấu chốt nhận VT = T Có ba người, người bắn viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng 0,6 ; 0,7 ; 0,8 Tìm xác suất a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng b) Có người bắn trúng c) Chỉ có người thứ ba bắn trượt d) Có hai người bắn trúng e) Cả ba người bắn trúng f) Khơng có bắn trúng g) Có người bắn trúng h) Có khơng q hai người bắn trúng i) Có hai người bắn trúng Nhận xét: Từ giả thiết suy người độc lập bắn Ta vào kết cục người để gọi tên biến cố Rõ ràng dùng phối hợp CT cộng (xung khắc) CT nhân (độc lập) Giải Gọi Ti biến cố người thứ i bắn trúng; i = 1, 2, Chúng biến cố đọc lập Khi biến cố người thứ I bắn trượt Ti ; i = 1, 2, Gọi A, B, C, D, E, F, G, H, I biến cố ở câu a), b), c), d), e), f), g), h), i) Ta có a) A = T1T2 T3 P(A) = (1 – 0,6)0,7(1 – 0,8) = 0,056 b) B = T1T2 T3 T1T2 T3 T1T2T3 P(B) = 0,6(1 – 0,7)(1 – 0,8) + (1 – 0,6)0,7(1 – 0,8) + (1 – 0,6)(1 – 0,7)0,8 = 0,188 c) C = T1T2 T3 P(C) = 0,6.0,7(1 – 0,8) = 0,084 d) D = T1T2 T3 T1T2T3 T1T2T3 P(D) = 0,6.0,7(1 – 0,8) + 0,6(1 – 0,7)0,8 + (1 – 0,6)0,7.0,8 = 0,452 e) E = T1T2T3 P(E) = 0,6.0,7.0,8 = 0,336 f) F = T1 T2 T3 P(F) = (1 – 0,6)(1 – 0,7)(1 – 0,8) = 0,024 g) G = F P(G) = – P(F) = – 0,024 = 0,976 h) H = E P(H) = – P(E) = – 0,336 = 0,664 i) I = D + E P(I) = P(D) + P(E) = 0,452 + 0,336 = 0,788 Chọn khơng hồn lại sản phẩm từ hộp chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Tính xác suất để a) Chọn sản phẩm tốt lần 2, lần chọn sản phẩm xấu b) Trong sản phẩm chọn có sản phẩm tốt biết lần thứ chọn sản phẩm tốt Nhận xét: Vì chọn khơng hồn lại nên lần chọn khơng độc lập, lần sau phụ thuộc (các) lần trước Do đó, ta dùng phối hợp CT cộng (xung khắc) CT nhân không độc lập Giải Gọi Ti, Xi biến cố chọn sản phẩm tốt, xấu ở lần thứ i; i = 1, 2, Các biến cố mà khác số khơng độc lập; cịn cặp biễn cố số cặp đối lập a) Cần tính P(T1T2X3) Ta có P(T1T2X3) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2) 10 15 14 13 = 15 16,48% 91 b) Gọi B biến cố lần chọn đúng sản phẩm tốt Cần tính P(B/T1) Ta có P(B/T1) = Mà P(T1) = P(T1 B ) P(T1 ) (1) 10 = 15 P(T1B) = P(T1T2X3 + T1X2T3) = P(T1T2X3) + P(T1X2T3) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2) + P(T1)P(X1/T1)P(T3/T1X2) = 10 15 14 13 10 15 14 13 30 91 Thay vào (1) ta P(B/T1) = P(T1 B ) 45 = 49,45% 91 P(T1 ) Nhận xét thêm B = T1T2X3 + T1X2T3 + X1T2T3 P(B) = 10 15 14 13 10 15 14 13 10 15 14 13 45 91 Ở việc P(B) = P(B/T1) sự tình cờ khơng phải thiết ln Khi giữ ngun cấu trúc tốn, đổi dữ liệu nói chung P(B) P(B/T1) sẽ khác Ta nhấn mạnh rằng B T1 hai biến cố nói chung phụ thuộc Nhưng riêng tốn chúng độc lập rõ ràng P(B) = P(B/T1) = 45 P(T1) = P(T1/B) = 91 Nếu ta giữ nguyên cấu trúc tốn, thay số liệu hộp gờm 10 sản phẩm gờm tốt xấu lúc B, T1 phụ thuộc với P(B/T1) P(B) khác Có hai hộp bi, hộp I có bi trắng, bi đen; hộp II có bi đen, bi trắng Từ hộp chọn ngẫu nhiên viên bi, số bi lại hộp bỏ chung vào hộp III Sau từ hộp III chọn ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi chọn từ hộp III bi trắng Nhận xét: Hành động toán (phép thử) chia giai đoạn (GĐ): GĐ1 lấy bi từ hai hộp I, II đổ bi lại vào hộp III GĐ2 lấy bi từ hộp III Đương nhiên kết cục GĐ2 phụ thuộc vào kết cục GĐ1 Do cần sử dụng cơng thức XSĐĐ và/hoặc Bayes Trước tiên, ta cần kể hết (đầy đủ) trường hợp có GĐ1 làm hệ đầy đủ, rời từ tính XS biến cố đúng u cầu đề Tốt nhất, ta sẽ kiểm soát đầy đủ trường hợp GĐ1 bằng số bi trắng (hoặc đen – không trắng) viên bi đã bỏ vào hộp III Giải Gọi Ti biến cố số có đúng i bi trắng viên đã lấy từ hộp I II; i = 0, 1, Rõ ràng {T0, T1, T2} hệ đầy đủ biến cố Hộp III ln có 20 bi số lượng đen, trắng phụ thuộc vào trường hợp T0, T1 hay T2 xẩy Cụ thể - Nếu T0 xẩy hộp III có 10 đen, 10 trắng - Nếu T1 xẩy hộp III có 11 đen, trắng - Cịn T2 xẩy hộp III có 12 đen, trắng Gọi T biến cố viên bi lấy sau từ hộp III bi trắng Cần tính P(T) Theo cơng thức XSĐĐ ta có P(T) = P(T0)P(T/T0) + P(T1)P(T/T1) + P(T2)P(T/T2) (1) Dễ thấy 32 68 ; P(T1) = ; P(T2) = 121 11 11 11 11 121 11 11 10 P(T/T0) = ; P(T/T1) = ; P(T/T2) = 20 20 20 Thay vào (1) ta P(T) = 45,45% 11 P(T0) = 11 11 21 121 Đội tuyển bóng bàn Thành phố có ba vận động viên A, B, C vận động viên thi đấu trận, với xác suất thắng trận là: 0,7; 0,8; 0,9 Tính xác suất để: a) Sinh viên đạt yêu cầu môn b) Sinh viên đạt yêu cầu môn thứ hai c) Sinh viên đạt u cầu mơn d) Sinh viên không đạt yêu cầu hai môn Nhận xét: Theo đề bài, rõ ràng SV thi hai môn không độc lập Do sẽ dùng phối hợp CT cộng (có thể xung khắc hoặc khơng tùy vào ý) với CT nhân không độc lập Giải: Gọi - Đi, Ki biến cố sinh viên thi đạt, không đạt môn thứ i; i = 1, - A, B, C, D lượt biến cố ở câu a), b), c) d) Từ giả thiết, dễ thấy biến cố mà khác số sẽ khơng độc lập, cịn cặp biến cố số cặp đối lập Ta có a) A = Đ1.Đ2 P(A) = P(Đ1)P(Đ2/Đ1) = 0,8 0,6 = 0,48 = 48% b) B = Đ2 = Đ1.Đ2 + K1.Đ2 P(B) = P(Đ1)P(Đ2/Đ1) + P(K1)P(Đ2/K1) = 0,8.0,6 + (1 – 0,8)0,3 = 0,54 = 54% c) C = Đ1 + Đ2, ở hai biến cố không xung khắc Do P(C) = P(Đ1) + P(Đ2) – P(Đ1Đ2) = 0,8 + 0,54 – 0,48 = 0,86 = 86% d) D = C P(D) = – P(C) = – 0,86 = 0,14 = 14% Nhận xét: Cũng tính P(D) trực tiếp trước D = K1K2 P(D) = (1 – 0,8)(1 – 0,3) = 0,14 Sau suy P(C) = – P(D) = 0,86 = 86% 11.Một lơ hàng có 50 sản phẩm gồm 40 sản phẩm loại A 10 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lơ hàng để kiểm tra Sau từ số sản phẩm cịn lại lơ hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất sản phẩm lấy sau có sản phẩm loại B biết 10 sản phẩm lấy lúc đầu loại A Nhận xét: Hành động toán chia hai giai đoạn mà kết quả giai đoạn sau lệ thuộc vào giai đoạn đầu nên dùng cơng thức XSĐĐ Bayes Tuy nhiên, số trường hợp giai đoạn đầu nhiều nên ta tránh bằng cách dùng cơng thức XS Điều kiện Giải Gọi B biến cố sản phẩm lấy sau có sản phẩm loại B A biến cố cả 10 sản phẩm lấy lúc đầu loại A Ta cần tính P(B/A)? Ta có P(B/A) = C 10 C C 10 609 P( AB) = 4010 (1 305 ) : 4010 = C50 C40 C50 2812 P( A) 2203 2812 78, 34% 12.Một phân xưởng có ba máy Xác suất để máy sản xuất sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật 0,9; 0,8; 0,7 Trong máy sản suất sản phẩm Tính xác suất để ba máy sản suất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Nhận xét: Đây tốn áp dụng cơng thức Bernoulli cho máy với số lần lặp n = XS đạt tiêu chuẩn lần cho máy p1 = 0,9; p2 = 0,8; p3 = 0,7 Lúc q1 = 01; q2 = 0,2; q3 = 0,3 Giải Gọi A, B biến cố cả ba máy sản xuất đúng 15, 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn Khi A + B biến cố cả ba máy sản suất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Ta cần tính P(A + B)? Rõ ràng A, B xung khắc Do ta có P(A + B) = P(A) + P(B) Mà công thức Bernoulli cho ta P(A) = P5(5; p1)P5(5; p2)P5(5; p3) P(B) = P5(4; p1)P5(5; p2)P5(5; p3) + P5(5; p1)P5(4; p2)P5(5; p3) + + P5(5; p1)P5(5; p2)P5(4; p3) Ở P5(5; p1) = 0,95; P5(5; p2) = 0,85; P5(5; p3) = 0,75; P5(4; p1) = 5.0,940,1; P5(4; p2) = 5.0,840,2; P5(5; p3) = 5.0,740,3 Thay vào tính tốn ta đáp số (tự bấm máy) 13.Có hai hộp thuốc Hộp thứ có 10 chai thuốc có chai phẩm chất Hộp thứ hai có 10 chai thuốc có chai phẩm chất Lấy ngẫu nhiên từ hộp chai a) Tính xác suất lấy chai thuốc tốt b) Tính xác suất lấy chai thuốc tốt chai thuốc phẩm chất c) Giả sử lấy chai thuốc tốt chai thuốc phẩm chất Tính xác suất để chai thuốc phẩm chất hộp thứ Nhận xét: Vì hai hộp riêng biệt nên kết quả việc chọn chai thuốc từ hộp độc lập với kết quả việc chọn chọn chai thuốc từ hộp Giải Gọi Ti, Ki biến cố chai thuốc lấy từ hộp thứ i chai thuốc tốt, kém phẩm chất; i = 1, Đương nhiên Ti, Ki đối lập biến cố mà khác số độc lập Gọi A, B biến cố ở câu a), b) a) Ta cần tính P(A) Ta có A = T1T2 P(A) = P(T1)P(T2) = b) Ta cần tính P(B) Ta có B = T1K2 + K1T2 = 0,56 = 56% 10 10 P(B) = P(T1K2 + K1T2) = 10 10 = 0,38 = 38% 10 10 c) Ta cần tính P(K1/B) Ta có P(K1/B) = 24 P( K1T2 ) P( BK1 ) = = : 0,38 = 63,16% 10 10 38 P( B) P( B) 14.Có hai hộp sản phẩm Hộp thứ có sản phẩm loại I sản phẩm loại II Hộp thứ hai có sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp thứ bỏ vào hộp thứ hai, từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy từ hộp thứ hai sản phẩm từ hộp thứ bỏ vào biết sản phẩm lấy từ hộp thứ hai sản phẩm loại I Nhận xét: Sản phẩm (sp) lấy từ hộp thứ bỏ vào hoặc loại I, hoặc loại II Mỗi sp hộp thứ hai (sau đã bỏ sp hộp thứ vào) phân biệt bởi nguồn gốc chất lượng Về nguồn gốc: Sản phẩm hộp thứ bỏ vào, hộp thứ hai cũ (khi chưa bỏ phẩm hộp thứ vào) Theo tỉ lệ 1:8 Về chất lượng: Sản phẩm loại I, loại II Vì chắn sử dụng công thức XSĐĐ và/hoặc Bayes đồng thời phối hợp thêm cơng thức XS điều kiện câu hỏi tính XS có cụm từ “biết rằng …” Giải: Gọi - N, H tương ứng biến cố sp lấy từ hộp thứ hai sp hộp thứ hoặc hộp thứ hai cũ - M biến cố sp lấy từ hộp thứ hai sp loại I - Li biến cố sp lấy từ hộp thứ bỏ vào hộp thứ hai sp loại I (i = 1, 2) Ta cần tính P(N/M)? Đương nhiên {L1, L2} hệ đầy đủ Ta có P(N/M) = P( MN ) P( M ) MN = L1N biến cố sp lấy từ hộp hai sp hộp thứ bỏ vào sp loại I Do 10 P(MN) = Theo cơng thức XSĐĐ ta có P(M) = P(L1)P(M/L1) + P(L2)P(M/L2) = 10 10 90 57 90 Vậy xác suất cần tính P(N/M) = 57 : 90 90 57 12, 28% 15.Có hai lơ sản phẩm Lơ thứ có tỷ lệ sản phẩm loại I 90% Lơ thứ hai có tỷ lệ sản phẩm loại I 70% Chọn ngẫu nhiên lô, từ lơ lấy nhẫu nhiên có hồn lại, lần sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai sản phẩm loại I biết lần thứ lấy sản phẩm loại I Nhận xét (Hãy xem kỹ giảng cho lớp TO0705 – K224022C thầy nhầm!!!) Hành động chia hai giai đoạn (GĐ): GĐ1 chọn lô, GĐ2 từ lô đã chọn lấy sản phẩm (sp) Đương nhiên kết cục GĐ2 phụ thuộc vào GĐ1 nên ta sẽ dùng công thức XSĐĐ và/hoặc Bayes Riêng GĐ2 lại gồm hai lần độc lập có hồn lại nên GGD ta sẽ dùng công thức nhân trường hợp biến cố độc lập Giải Gọi: - Li biến cố chọn lô thứ i; i = 1, - Mi biến cố lần thứ i chọn sản phẩm loại I; i = 1, Ta cần tính P(M2/M1)? (Ở cần chú ý, đã kết thúc GĐ1 (tức chọn xong lơ rời) M1, M2 độc lập Nhưng trước thực GĐ1 chưa thể biết M1, M2 có độc lập tình tổng thể hay khơng Rất M1, M2 bị phụ thuộc cách gián tiếp thông qua GĐ1 chọn lô Cụ thể ta cần tính xong XS biết xác) Trong trường hợp ta có P(M2/M1) = P( M 1M ) (*) P( M ) Lưu ý rằng công thức XS điều kiện (*) không bắt buộc hai biến cố phụ thuộc, hai biến cố độc lập tử mẫu sẽ giản ước cho thừa số chung mẫu Vì {L1, L2} hệ đầy đủ nên theo công thức XSĐĐ ta có P(M1) = P(L1)P(M1/L1) + P(L2)P(M1/L2) = 90% 70% 80% 0, P(M1M2) = P(L1)P(M1M2/L1) + P(L2)P(M1M2/L2) = 90%.90% 70%.70% 65% 0, 65 Thay vào (*) ta XS cần tính P(M2/M1) = 0,65: 0,8 = 0,8125 = 81,25% Như vậy, sau tính tốn ta thấy M1, M2 khơng độc lập tình tổng thể, chúng đã phụ thuộc gián tiếp thông qua việc chọn lô (GĐ1) Nhận xét thêm: Nếu giữ nguyên dữ liệu đề sửa tình đề thành: Chọn ngẫu nhiên lơ, từ lơ lấy nhẫu nhiên sản phẩm kiểm tra chất lượng xong hoàn trả lại lô hàng Thực việc liên tiếp lần Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai sản phẩm loại I biết lần thứ lấy sản phẩm loại I Khi hiển nhiên M1, M2 độc lập toàn cục kết quả việc chọn lơ bởi việc chọn lô nằm hành động tổng được thực lặp lại n = thử độc lập với XS thành công lần p = P(M1) Bởi ta phối hợp công thức XSĐĐ với công thức Bernoulli (n = 2; p, q = – p) Ta có p = P(M2) = P(M1) = P(L1)P(M1/L1) + P(L2)P(M1/L2) = 90% 70% 80% 0, q = – p = 0,2 P(M1M2) = P2(2; 0,8) = C22 0,82 0, 222 0,82 Không ngạc nhiên P(M2/M1) = P( M 1M ) 0,82 = = 0,8 = 80% Nghĩa P( M ) 0,8 chắn M1, M2 độc lập toàn cục kết quả việc chọn lô 16.Có hộp, hộp có sản phẩm Hộp thứ có sản phẩm loại B; hộp thứ hai có sản phẩm loại B; hộp thứ ba có sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm a) Tính xác suất để lấy sản phẩm loại B b) Giả sử có sản phẩm loại B sản phẩm lấy Tính xác suất để sản phẩm loại B hộp thứ Nhận xét: hộp riêng biệt nên việc lấy sản phẩm (sp) từ hộp độc lập với Giải Gọi Bi biến cố sp chọn từ hộp thứ i sp loại B; i = 1, 2, Các biến cố hiển nhiên độc lập Gọi M biến cố sp đã lấy có đúng sp loại B a) Cần tính P(B1B2B3) Theo cơng thức nhân ta có 5 P(B1B2B3) = P(B1)P(B2)P(B3) = 4,8% 125 b) Cần tính P(B1/M) Ta có P(B1/M) = Mà M = B1 B2 B3 B1 B2 B3 5 P( MB1 ) P( M ) B1 B2 B3 2 5 3 58 5 125 MB1 = B1 B2 B3 P(MB1) = 5 125 58 : Vậy xác suất cần tính P(B1/M) = 125 125 P(M) = 10,34% 29 17.Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có phân xưởng Phân xưởng I sản xuất 40%; Phân xưởng II sản xuất 30%; Phân xưởng III sản xuất 20%; Phân xưởng IV sản xuất 10% sản phẩm toàn xí nghiệp Tỷ lệ phế phẩm phân xưởng I; phân xưởng II; phân xưởng III; phân xưởng IV tương ứng 1%; 2%; 3%; 4% Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy sản xuất a) Tính xác suất để sản phẩm lấy kiểm tra sản phẩm tốt b) Cho biết sản phẩm lấy kiểm tra phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm phân xưởng I sản xuất c) Nếu lấy phế phẩm, theo bạn sản phẩm phân xưởng sản xuất? Vì sao? Nhận xét: Đây tốn điển hình sử dụng cơng thức XSĐĐ Bayes bởi hành động chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy chia thuộc tính: ng̀n gốc chất lượng Về mặt ng̀n gốc (và một) phân xưởng sản xuất; mặt chất lượng lại tốt hoặc phế phẩm Hơn nữa chất lượng phụ thuộc vào nguồn gốc (từng phân xưởng) Giải: Gọi - Xi biến cố sản phẩm kiểm tra phân xưởng thứ i sản xuất; i = 1, 2, 3, - T biến cố sản phẩm kiểm tra sản phẩm tốt Rõ ràng {X1, X2, X3, X4} hệ đầy đủ; T biến cố sản phẩm kiểm tra phế phẩm a) Cần tính P(T) Theo cơng thức XSĐĐ ta có P(T) = P(X1)P(T/X1) + P(X2)P(T/X2) + P(X3)P(T/X3) + P(X4)P(T/X4) = 40%.(1–1%) + 30%.(1–2%) + 20%.(1–3%) + 10%.(1– 4%) = 98% b) Cần tính P(X1/ T ) Theo cơng thức Bayes ta có P(X1/ T ) = P( X ) P(T / X ) P(T ) P( X ) P (T / X ) P(T ) 40%.1% 98% 20% c) Cần so sánh tìm xác suất lớn xác suất P(Xi/ T ); i = 1, 2, 3, Theo cơng thức Bayes ta có P(X1/ T ) = P( X ) P(T / X ) P(T ) 40%.1% P(T ) 0, 004 ; P(T ) P(X2/ T ) = P ( X ) P (T / X ) P (T ) 30%.2% P(T ) 0, 006 ; P(T ) P(X3/ T ) = P ( X ) P (T / X ) P (T ) 20%.3% P (T ) 0, 006 ; P(T ) P(X4/ T ) = P ( X ) P (T / X ) P (T ) 10%.4% P(T ) 0, 004 P(T ) So sánh ta thấy hai xác suất P(X2/ T ) = P(X3/ T ) bằng lớn Vậy, nhiều khả phế phẩm đã chọn phân xưởng II hoặc phân xưởng III sản xuất 18.Một thi trắc nghiệm nhiều lựa chọn gồm 12 câu hỏi Mỗi câu có phương án trả lời, có phương án Cho biết câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm Một sinh viên không học nên làm cách chọn ngẫu nhiên phương án trả lời câu hỏi Tìm xác suất anh ta: a) Được 13 điểm b) Bị điểm âm Nhận xét: Đây toán điển hình dùng cơng thức Bernoulli hành động trả lời câu hỏi thi lặp lặp lại với XS thành công (trả lời đúng) không đổi Giải: Gọi p xác suất để trả lời đúng cho câu hỏi Vì SV khơng học chọn hú họa phương án cho câu nên xác suất trả lời đúng câu đương nhiên p = 1/5 = 0,2 Ta sẽ dùng công thức Bernoulli với n = 12; p = 0,2; q = – 0,2 = 0,8 Gọi Đ điểm SV k (0 k 12) số câu SV trả lời đúng Tất nhiên số câu sai phải 12 – k Ta có Đ = 4k – (12 – k) = 5k – 12 (0 k 12) a) Cần tính P(Đ = 13) Ta có (Đ = 13) 5k – 12 = 13 k = Suy P(Đ = 13) = P12(5) = C125 0, 250,88 = … … (Tự bấm máy) b) Cần tính P(Đ < 0) Ta có (Đ < 0) 5k – 12 < k < 2,4 k (vì k tự nhiên) Suy P(Đ < 0) = P12(0;2) = P12(0) + P12(1) +P12(2) = 0,812 + C121 2.0,2.0,811 + C122 0,22.0,810 = … … (Tự bấm máy) 19.Một người bắn ba viên đạn Xác suất để ba viên trúng vòng 10 0,008 Xác suất để viên trúng vòng 0,15 Xác suất để viên trúng vịng 0,4 Tìm xác suất để người đạt 28 điểm Nhận xét: Bài dùng tổng hợp công thức cộng nhân Giải Gọi Mi, Ci, Ti, Di biến cố người bắn viên thứ i trúng vịng mười, chín, tám tám; i = 1, 2, Gọi A biến cố người đạt 28 điểm Gọi B, C, D biến cố người đạt 30, 29, 28 điểm Ta có - {Mi, Ci, Ti, Di} hệ đầy đủ với i = 1, 2, - A = B + C + D (các biến cố đôi xung khắc) - B = M1M2M3 - C = M1M2C3 + M1C2M3 + C1M2M3 - D = M1M2T3 + M1T2M3 + T1M2M3 + M1C2C3 + C1M2C3 + C1C2M3 Hiển nhiên P(M1) = P(M2) = P(M3); nữa 0,008 = P(B) = P(M1M2M3) = P(M1)P(M2)P(M3) = P(M1)3 P(M1) = P(M2) = P(M3) = 0,2 Mà P(Mi) + P(Ci) + P(Ti) + P(Di) = 1; i =1, 2, nên P(Ci) = – P(Mi) – P(Ti) – P(Di) = – 0,2 – 0,15 – 0,4 = 0,25; i =1, 2, Suy P(C) = 3.0,22.0,25 = 0,03 P(D) = 3.0,22.0,15 + 3.0,2.0,252 = 0,0555 Vậy P(A) = P(B) + P(C) + P(D) = 0,008 + 0,03 + 0,0555 = 0,0935 = 9,35% 20.Một máy bay có động cơ, có động cánh phải, động cánh trái Mỗi động cánh phải có xác suất bị hỏng 0,1; cánh trái 0,05 Các động hoạt động độc lập Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn trường hợp sau a) Máy bay bay có hai động làm việc b) Máy bay bay cánh động hoạt động Hướng dẫn: Dùng công thức Bernoulli cho cánh rồi phối hợp công thức cộng, nhân xác suất kết hợp cả cánh Giải Ta sẽ dùng công thức Bernoulli cho cách Cụ thể - Cánh phải với n1 = 3; q1 = 0,1; p1 = – 0,1 = 0,9 - Cánh trái với n2 = 2; q2 = 0,05; p2 = – 0,05 = 0,95 Gọi A, B biến cố ở câu a), b) Ta cần tính P(A), P(B) a) P(A) = – [P3(0; 0,9)P2(0;0,95) + P3(1;0,9)P2(0;0,95) + + P3(0;0,9)P2(1;0,95)] 2 = – (0,1 0,05 + C3 0,9.0,1 0,05 + 0,1 C2 0,95.0,05) = 0,999835 = 99,9835% b) P(B) = P3(1;3; 0,9)P2(1;2; 0,95) = [1 – P3(0; 0,9)][1 – P2(0; 0,95)] = (1 – 0,13)(1 – 0,052) = 0,9965025 = 99,65025% 21.Có hai lơ hàng, lơ thứ có 10 sản phẩm loại A, sản phẩm loại B; lơ thứ hai có 16 sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Từ lô ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm Sau đó, hai sản phẩm thu lại lấy sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy sau sản phẩm loại A Nhận xét: Đây toán điển hình dùng cơng thức XSĐĐ Cụ thể hành động chia giai đoạn (GĐ): GĐ1 chọn sản phẩm (sp) từ hai lô (mỗi lô sp), GĐ2 chọn sp từ sp đã chọn trước Hiển nhiên GĐ2 phụ thuộc GĐ1 Ta cần đặt biến cố để kiểm soát tất cả (đầy đủ) trường hợp GĐ1 mà tốt kiểm soát theo số sp loại A (hoặc B) sp đã chọn từ hai lô Giải: Gọi - Ai biến cố sp lấy có i sp loại A; i = 0, 1, - A biến cố sp lấy sau loại A Rõ ràng {A0, A1, A2} hệ đầy đủ Cần tính P(A)? Theo Cơng thức XSĐĐ ta có P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) = 12 20 ( 10 12 20 16 ) 12 20 10 16 12 20 49 81,67% 60 22.Có ba hộp đựng bút Hộp thứ có bút đỏ, 10 bút xanh Hộp thứ hai có bút đỏ, bút xanh Hộp thứ ba có bút đỏ, bút xanh Từ hộp thứ lấy bút, từ hộp thứ hai lấy cái, bỏ vào hộp thứ ba a) Tìm xác suất để hộp thứ ba số bút đỏ nhiều số bút xanh b) Từ hộp thứ ba lấy bút Tìm xác suất lấy bút màu Nhận xét: Rõ ràng hành động chia giai đoạn (GĐ): GĐ1 chọn bút từ hộp thứ bút từ hộp thứ hai để bỏ vào hộp thứ Câu a) gắn với GĐ1 Còn GĐ2 từ hộp thứ ba (sau đã bỏ thêm bút từ hai hộp vào) Hiển nhiên GĐ2 phụ thuộc GĐ1 Do cần dùng cơng thức XSĐĐ Ta cần đặt biến cố để kiểm soát tất cả (đầy đủ) trường hợp GĐ1 mà tốt kiểm soát theo số bút màu xanh (hoặc đỏ) bút bỏ vào hộp thứ ba Giải: Gọi - Xi biến cố bút lấy từ hộp thứ nhất, thứ hai đổ vào hộp thứ ba có i bút xanh (và đương nhiên – i bút đỏ); i = 0, 1, 2, - A biến cố hộp thứ ba (sau đã thêm vào cái) số bút đỏ nhiều số bút xanh - M biến cố hai bút lấy từ hộp thứ ba màu Rõ ràng {X0, X1, X2, X3} hệ đầy đủ Tổng số bút hộp thứ ba + + = 10 với lượng đỏ, xanh sẽ kiểm soát trường hợp, tức biết Xi xẩy ra; i = 0, 1, 2, Cụ thể - Khi X0 xẩy ra, hộp ba có 10 gờm đỏ, xanh - Khi X1 xẩy ra, hộp ba có 10 gờm đỏ, xanh - Khi X2 xẩy ra, hộp ba có 10 gồm đỏ, xanh - Khi X3 xẩy ra, hộp ba có 10 gờm đỏ, xanh a) Cần tính P(A) Rõ ràng A xảy bút bỏ vào hộp thứ ba phải màu đỏ, tức A = X0 Do C32 P(A) = P(X0) = = 2,22% 45 15 C10 b) Cần tính P(M) Theo cơng thức XSĐĐ ta có P(M) = P(X0)P(M/X0)+ P(X1)P(M/X1)+ P(X2)P(M/X2)+ P(X3)P(M/X3) Ở ta có P(X0) = C32 = ; 45 15 C10 P(X2) = C72 15 C102 P(M/X0) = P(X1) = 10 C31C71 21 = 15 C10 45 C62 C42 21 = ; C10 45 C31C71 = 15 C10 45 10 C32 15 C102 ; 15 P(X3) = P(M/X1) = ; 10 C72 14 = 45 15 C10 C52 C52 20 = ; C10 45 C42 C62 21 P(M/X2) = = ; C10 45 Vậy P(M) = 21 45 45 20 45 45 C32 C72 24 P(M/X3) = = C10 45 21 21 45 45 14 24 45 45 326 48,3% 675 23.Một tín hiệu vơ tuyến phát lần Xác suất thu lần phát 0,4 a) Tìm xác suất để nơi thu nhận tín hiệu b) Muốn xác suất thu tín hiệu khơng bé 95% phải phát tối thiểu lần? Nhận xét: Đây tốn điển hình dùng cơng thức Bernoulli Giải a) Dùng công thức Bernoulli với n = 4, p = 0,4, q = – 0,4 = 0,6 XS cần tính P4(1; 4) = – P4(0) = – 0,64 = … (tự bấm máy) b) Gọi số lần cần phát tín hiệu n (?) Khi XS thu tín hiệu Pn(1; n) = – Pn(0) = – 0,6n Pn(1; n) ≥ 0,95 0,6n 0,05 n ≥ (vì n ngun dương) Kết luận: Cần phát tín hiệu tối thiểu lần để đảm bảo XS nhận tín hiệu khơng bé 95% 24 Giả sử xác suất sinh trai 0,51 Một gia đình có người Tìm xác suất để gia đình có a) Hai trai b) Khơng q trai c) Nếu muốn có trai với xác suất 80% gia đình phải sinh tối thiểu con? Nhận xét: Đây tốn điển hình dùng cơng thức Bernoulli Giải: Ta sẽ dùng công thức Bernoulli với n = 4; p = 0,51; q = – p = 0,49 cho hai ý đầu a), b) Ý c) cần tìm số lần lặp n dựa vào bất đẳng thức a) P4(2) = C42 0,5120, 492 = 0,37470006 b) P4(0;1) = C40 0,5100, 494 C41 0,5110, 493 = 0,29765197 c) Gọi n số cần sinh Ta có Pn(1;n) > 80% – Pn(0) > 0,8 0,49n < 0,2 n (vì n nguyên dương) Kết luận: Cần sinh tối thiểu để xác suất có trai 80% 25 Một xạ thủ có xác suất bắn trúng đích lần bắn 0,7 Anh ta bắn lần, lần viên đạn a) Tìm xác suất có viên trúng đích b) Tìm xác suất có khơng viên trúng c) Trong viên đạn khả viên trúng nhiều d) Muốn xác suất có viên đạn trúng đích khơng nhỏ 99% xạ thủ phải bắn tối thiểu viên đạn? Nhận xét: Đây tốn điển hình dùng cơng thức Bernoulli Giải: Vì hành động bắn xạ thủ lặp lại lần độc lập với XS trúng lần 0,7 nên ta dùng công thức Bernoulli với n = 5; p = 0,7; q = – p = 0,3 cho ý đầu a), b), c) Ý d) cần tìm số lần lặp n dựa vào bất đẳng thức Gọi A, B biến cố ở câu a), b) Ta cần tính P(A), P(B) a) P(A) = P5(3) = C53 0, 730,32 = 0,3087 = 30,87% b) P(B) = P5(0;3) = – P5(4;5) = – ( C54 0, 740,3 C55 0, 750,30 ) = 0,47178 = 47,178% c) Số lần trúng nhiều khả k0 = [np – q] + = d) Gọi n số viên đạn cần bắn Khi xác suất viên trúng Pn(1; n) = – Pn(0) = – 0,3n Pn(1; n) 99% – 0,3n 0,99 0,3n 0,01 n (vì n nguyên dương) Kết luận: Tối thiểu phải bắn viên để xác suất trúng viên khơng nhỏ 99% 26 Cho mơ hình đơn giản chứng khoán Trong phiên giao dịch, xác suất giá tăng lên đơn vị p, xác suất giá giảm đơn vị q = 1– p Sự thay đổi giá phiên giao dịch độc lập a) Tính xác suất để sau phiên giao dịch liên tiếp giá tăng lên đơn vị b) Giả sử sau phiên giao dịch liên tục giá tăng lên đơn vị Tính xác suất giá tăng phiên thứ hai Nhận xét a) Có thể dùng cơng thức Bernoulli hoặc lập luận để dùng công thức cộng nhân XS b) Dùng XS điều kiện Giải: Gọi - A biến cố phiên giá tăng lên đơn vị - Ti, Gi biến cố giá tăng, giảm phiên thứ i; i = 1, 2, a) Cần tính P(A)? Rõ ràng giá tăng lên đơn vị sau phiên liên tiếp tương đương với giá tăng phiên, phiên lại giảm Do đó, dùng cơng thức Bernoulli cho n = 3, p q = – p P(A) = P3(2) = C32 p2 q = 3p2q (XS phiên tăng phiên) Nếu lập luận trực tiếp ta có A = T1T2G3 + T1G2T3 + G1T2T3 P(A) = ppq + pqp + qpp = 3p2q b) Cần tính P(T2/A) Cơng thức XS điều kiện cho ta ppq qpp P( AT2 ) P(T1T2G3 G1T2T3 ) P(T2/A) = = = P( A) P( A) p2 q p2 q p2 q 27.Tại xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm, xác suất để sản phẩm lò bị khuyết tật 10% Người ta dùng thiết bị tự động kiểm tra chất lượng loại sản phẩm Thiết bị có khả phát sản phẩm có khuyết tật với xác suất 85% phát sản phẩm không bị khuyết tật với xác suất 95% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm qua kiểm tra a) Tính xác suất để sản phẩm bị kết luận sai chất lượng b) Biết sản phẩm bị kết luận có khuyết tật, tính xác suất để sản phẩm thực chất khơng bị khuyết tật Nhận xét: Ở hành động “chọn ngẫu nhiên sản phẩm (sp)” rõ ràng chia thuộc tính - Thứ nhất, chất lượng thật vốn có, sp xấu (có khuyết tật) hoặc tốt (khơng khuyết tật) - Thứ hai, đánh giá thiết bị sp xấu (có khuyết tật) hoặc tốt (khơng có khuyết tật) Đánh giá thiết bị SAI: nhầm sp tốt thành xấu ngược lại Theo đề bài, thuộc tính thứ hai lệ thuộc vào thuộc tính thứ Bởi ta sẽ dùng công thức XSĐĐ và/hoặc Bayes Bài dễ làm cho ta RỐI hai tḥc tính trên, khơng tinh tế, dễ nhầm lẫn với Giải: Gọi - X biến cố sp chất lượng vốn tự có khuyết tật (xấu); - T biến cố sp chất lượng vốn tự khơng có khuyết tật (tốt); - S biến cố sp bị kết luận SAI (khơng quan tâm đến việc xấu hay tốt); - K biến cố sp bị kết luận có khuyết tật (khơng quan tâm đến chuyện kết luận đúng hay sai) Ta có {X, T} hệ đầy đủ Hơn nữa theo giả thiết P(X) = 0,1; P(T) = 0,9 a) Cần tính P(S)? Theo cơng thức XSĐĐ, ta có P(S) = P(X)P(S/X) + P(T)P(S/T) = 0,1(1 – 0,85) + 0,9(1 – 0,95); b) Cần tính P(T/K)? Theo ơng thức Bayes, ta có P(T ) P( K / T ) 0,9(1 – 0,95) 0, 045 P(T/K) = = P( K ) P( K ) P( K ) Mà công thức XSĐĐ cho ta P(K) = P(X)P(K/X) + P(T)P(K/T) = 0,1.0,85 + 0,9(1 – 0,95) = 0,13 Vậy P(T/K) = 0,045 : 0,13 0,3462 = 34,62% 28.Một hộp có sản phẩm gồm hai loại phẩm phế phẩm Mọi giả thiết số phẩm có hộp đồng khả Một khách hàng rút ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp để kiểm tra thấy phẩm Khách hàng dự định mua hộp sản phẩm kiểm tra ngẫu nhiên thêm sản phẩm phẩm Tính xác suất để khách hàng mua hộp sản phẩm Nhận xét: Đây thuộc loại KHĨ (cấp độ 3) Cần phân tích kỹ làm Giải: Vì hộp có sản phẩm (sp) nên số phẩm số 0, 1, 2, …, Gọi Ti biến cố hộp có đúng i phẩm; i = 0, 1, 2, …, Đương nhiên {T0, T1, …, T9} nhóm đầy đủ, nghĩa chúng xung khắc đôi tổng chúng biến cố chắn Do ta có = P(T0 + T1 + … + T9) = P(T0) + P(T1) + … + P(T9) (1) Theo đề bài, giả thiết số phẩm có hộp đồng khả nên P(T0) = P(T1) = … = P(T9) (2) Từ (1), (2) suy P(T0) = P(T1) = … = P(T9) = 1/10 = 0,1 Gọi: - Ci biến cố lần thứ i khách hàng chọn phẩm; i = 1, - M biến cố khách hàng mua hộp sp Ta cần tính P(M)? Rõ ràng, theo đề bài, xác suất P(M) để khách hàng mua hộp sp xác suất để chọn được phẩm lần thứ hai điều kiện lần thứ nhất chọn được phẩm rời Nghĩa P(M) = P(C2/C1) Ta có P(M) = P(C2/C1) = P(C1C2 ) P(C1 ) (3) Vì có nhóm đầy đủ {T0, T1, …, T9} nên ta sẽ áp dụng cơng thức XSĐĐ để tính cả tử mẫu ở (3) Tính mẫu số P(C1) Ta có P(C1) = P(T0)P(C1/T0) + P(T1)P(C1/T1) + P(T2)P(C1/T2) + … + P(T9)P(C1/T9) (4) Chú ý rằng P(Ti) = 0,1 (i = 0, 1, 2, …, 9) Hơn nữa, điều kiện Ti đã xẩy ra, tức hộp gờm sp với i phẩm – i phế phẩm P(C1/Ti) = i ; i = 1, 2, …, P(C1/T0) = P() = (vì hộp khơng có phẩm đương nhiên biến cố lấy phẩm khơng thể có) Thay vào (4) ta P(C1) = 0,1(0 + ) = 0,5 9 Tính tử số P(C1C2) Ta có P(C1C2) = P(T0)P(C1C2/T0) + P(T1)P(C1C2/T1) + P(T2)P(C1C2/T2) + + … + P(T9)P(C1C2/T9) (5) Chú ý rằng điều kiện Ti xẩy ra, tức hộp có i phẩm – i phế phẩm, ta sẽ có i i 1 ; i = 2, 3, …, 9 P(C1C2/Ti) = P(C1)P(C2/C1) = P(C1C2/T0) = P(C1C2/T1) = P() = (vì hộp có khơng q phẩm biến cố hai lần lấy phẩm đương nhiên khơng thể có) Thay vào (5) ta 9 9 Thay tử mẫu vào (3) ta P(C2/C1) = : 0,5 3 P(C1C2) = 0,1(0 + + 0) = 0,1 Vậy xác suất khách hàng mua hộp sản phẩm P(M) = 240 9.8 66,67% 29.Có hai hộp bút Hộp thứ có bút tím, bút xanh bút đỏ Hộp thứ hai có bút tím, bút xanh bút đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ bút bút khác mầu Bỏ bút vào hộp thứ hai Tính xác suất để hộp thứ hai mới, số bút xanh khác số bút đỏ Nhận xét Thực chất, yêu cầu đề là: Tính xác suất để hộp thứ hai mới, số bút xanh khác số bút đỏ biết rằng bút lấy từ hộp thứ bỏ vào hộp thứ hai bút khác mầu Giải: Gọi - A biến cố bút lấy từ hộp thứ khác mầu - B biến cố hộp thứ hai mới, số bút xanh khác số bút đỏ Chú ý rằng, biến cố AB thực chất biến cố bút khác màu bỏ từ hộp thứ vào hộp thứ hai phải tím & xanh hoặc xanh & đỏ (vì tím & đỏ hộp thứ hai sẽ có số bút đỏ số bút xanh 3, tức – Loại!) Ta có P(B/A) = P(AB)/P(A) với C71C61 C71C21 C61C21 C71C61 C61C21 P(A) = ; P(AB) = C72 C72 Vậy P(B/A) = … … (Tự bấm máy) 30.Một ngân hàng cần tuyển nhân viên số 10 ứng viên gồm sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, sinh viên tốt nghiệp loại sinh viên tốt nghiệp loại trung bình khoa Tài Ngân hàng trường ĐHKTL Xác suất để sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, khá, trung bình tuyển 0,9 ; 0,7 ; 0,5 Biết ngân hàng tuyển nhân viên Tính xác suất để nhân viên sinh viên tốt nghiệp loại Hướng dẫn: Dùng CT Bernoulli cho loại Giỏi, Khá, Trung bình Giải: Gọi - M biến cố ngân hàng tuyển nhân viên - G, K, T biến cố SV tuyển thuộc nhóm giỏi, khá, trung bình Ta cần tính P(K/M)? Ta có P(K/M) = P( MK ) P( M ) (1) Tính mẫu số P(M) Ta có M = GKT GKT GKT (tổng xung khắc đơi, tích độc lập) Hơn nữa, theo cơng thức Bernoulli ta có P(G) = P2(1; 0,9), P(K) = P3(1; 0,7), P(T) = P5(1; 0,5) P( G ) = P2(0; 0,9), P( K ) = P3(0; 0,7), P( T ) = P5(0; 0,5) Dó ta có P(M) = P(G)P( K )P( T ) + P( G )P(K) P( T ) + P( G )P( K )P(T) = P2(1; 0,9) P3(0; 0,7) P5(0; 0,5) + P2(0; 0,9) P3(1; 0,7) P5(0; 0,5) + P2(0; 0,9) P3(0; 0,7) P5(1; 0,5) = C21 0,9.0,10,330,55 + 0,12 C31 0,7.0,320,55 + + 0,120,33 C51 0,5.0,54 = … … (Tự bấm máy) Tính tử số P(MK): Hiển nhiên MK = GKT Do ta có P(MK) = P( GKT ) = P2(0; 0,9) P3(1; 0,7) P5(0; 0,5) = 0,12 C31 0,7.0,320,55 = … … (Tự bấm máy) Thay vào (1) ta đáp số P(K/M) = … … (Tự bấm máy) Nhận xét thêm: Khi khơng phân tích kỹ đề bài, SV dễ nhầm với tập mà lời giải lại dùng công thức XSĐĐ Bayes “Có 10 SV gồm giỏi, trung bình dự tuyển vào ngân hàng XS tuyển SV thuộc nhóm giỏi, khá, trung bình 0,9; 0,7; 0,5 Chọn ngẫu ngẫu nhiên SV Tính XS để SV tuyển”