Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 77 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN Th.S Bùi Đình Thắng GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỒNG KÊ TOÁN Lƣu hành nội Nghệ An, tháng năm 2015 LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết xác suất thống kê tốn học ngành toán học đời khoảng kỷ XVII, đối tƣợng nghiên cứu tƣợng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên thƣờng gặp thực tế Lý thuyết xác suất thống kê phát triển mạnh mẽ kỷ XX, xác suất thống kê đƣợc áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, có kinh tế, xã hội, điều khiển học, y học Do đó, ngày lý thuyết Xác suất thống kê toán đƣợc đƣa vào giảng dạy hầu hết ngành đào tạo trƣờng Đại học Cao đẳng nƣớc giới Để kịp thời phục vụ việc học tập sinh viên, Khoa sở Trƣờng Đại học Kinh tế Nghệ An tổ chức biên soạn giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê tốn Đây giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng hệ Đại học, dựa vào chƣơng trình giảng dạy môn Khoa học tự nhiên – Khoa sở lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ hệ đào tạo Trong giáo trình chúng tơi khơng sâu vào việc chứng minh lý thuyết tốn học phức tạp mà trình bày kiến thức xác suất thống kê toán nhằm đảm bảo phần sở toán học cho q trình thu thập xử lý thơng tin kinh tế - xã hội đƣợc tiếp tục nghiên cứu mơn học khác Giáo trình đƣợc trình bày gồm chƣơng: Chương Biến cố ngẫu nhiên xác suất Chương Đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Chương Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp Chương Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều Chương Các định lý giới hạn Chương Lý thuyết mẫu Chương Bài toán ước lượng tham số Chương Bài tốn kiểm định giả thuyết Giáo trình "Lý thuyết xác suất thống kê toán" đƣợc biên soạn lần đầu thời gian ngắn nên chắn giáo trình khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc góp ý bạn đọc để giáo trình ngày đƣợc hồn thiện Tác giả Chƣơng BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1.1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên loại biến cố ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên thuật ngữ để phép thử hay thực nghiệm hay quan sát mà kết ngẫu nhiên, trƣớc cách chắn Các kết (ký hiệu ) phép thử ngẫu nhiên gọi biến cố ngẫu nhiên sơ cấp (biến cố sơ cấp) 1.1.1.1 Định nghĩa Tập hợp tất biến cố ngẫu nhiên sơ cấp gọi không gian mẫu phép thử, ký hiệu là: Ω Số biến cố sơ cấp Ω ta ký hiệu Card(Ω) Ví dụ 1) Gieo đồng xu thực phép thử ngẫu nhiên Các kết S = "Xuất mặt sấp", N = "Xuất mặt ngửa" biến cố sơ cấp Không gian mẫu = {S, N} Card() = 2) Gieo ngẫu nhiên xúc xắc mặt thực phép thử ngẫu nhiên Các kết Mi: “Xúc xắc xuất mặt i chấm” (i = 1, 2, , 6) biến cố sơ cấp Không gian mẫu Ω = {M1, M2, M3, M4, M5, M6} Card(Ω) = 3) Từ hộp có 13 viên bi khác ta lấy ngẫu nhiên bi, hành động thực phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết lấy đƣợc viên bi 13 viên bi biến cố sơ cấp Do khơng gian mẫu Ω tập hợp tổ hợp chập 13 phần tử Card(Ω) = C134 = 715 1.1.1.2 Định nghĩa Một tập hợp A đƣợc gọi biến cố ngẫu nhiên (biến cố) Các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp A đƣợc gọi biến cố ngẫu nhiên sơ cấp thuận lợi cho A Biến cố A đƣợc gọi xảy xảy biến cố ngẫu nhiên sơ cấp A Nhƣ A có, khơng xảy thực phép thử Biến cố không xảy thực phép thử đƣợc gọi biến cố không thể, ký hiệu Biến cố định xảy thực phép thử đƣợc gọi biến cố chắn Ví dụ 1) Xét phép thử gieo ngẫu nhiên xúc xắc mặt Các kết quả: Ac: “Xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn”; Al: “Xúc xắc xuất mặt có số chấm lẻ”; Ant: “Xúc xắc xuất mặt có số chấm số nguyên tố”; B: "Xúc xắc xuất mặt có số chấm lớn 4"; C: "Xúc xắc xuất mặt có số chấm bé thua 5" biến cố ngẫu nhiên Biến cố "Xúc xắc xuất có số chấm lớn 0" biến cố chắn Biến cố “Xúc xắc xuất mặt có số chấm lớn 6” biến cố khơng thể 2) Một hộp có 13 viên bi có viên bi xanh, viên viên đỏ Xét phép thử lấy viên bi Các kết quả: A = "Lấy đƣợc bi xanh, bi đỏ"; B = "Lấy đƣợc bi xanh, bi đỏ"; C = "Lấy đƣợc bi đỏ"; D = "Lấy đƣợc nhiều bi xanh" biến cố ngẫu nhiên Biến cố "Lấy đƣợc viên bi màu vàng" biến cố 1.1.2 Quan hệ biến cố Giả sử A, B hai biến cố phép thử 1.1.2.1 Quan hệ kéo theo Ta nói biến cố A kéo theo (hay thuận lợi) biến cố B biến cố A xảy biến cố B xảy Ký hiệu A ⊂ B Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc, ta có: M1⊂ Al, M4 ⊂ Ac 2) Chọn ngẫu nhiên tú-lơ-khơ gồm 52 quân Gọi A biến cố chọn đƣợc chất rô; B biến cố chọn đƣợc màu đỏ Khi A ⊂ B 3) Chọn ngẫu nhiên sản phẩm kho hàng có hai loại sản phẩm loại loại Gọi A biến cố chọn đƣợc sản phẩm loại; B biến cố chọn đƣợc sản phẩm loại Khi B ⊂ A C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.2.2 Quan hệ đồng Ta nói biến cố A đồng (hay tương đương) với biến cố B phép thử biến cố A xảy biến cố B xảy Ký hiệu: A = B Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc Gọi B biến cố "con xúc xắc xuất mặt có số chấm bội 3”, B = M6 2) Thầy giáo chấm sinh viên cho điểm theo thang điểm 10 Gọi A biến cố sinh viên đạt điểm nhỏ thua 5; B biến cố sinh viên khơng đạt u cầu Khi ta có: A = B 1.1.2.3 Quan hệ xung khắc Hai biến cố A B đƣợc gọi xung khắc chúng đồng thời xảy thực phép thử Trƣờng hợp ngƣợc lại, hai biến cố xảy phép thử đƣợc gọi khơng xung khắc Dãy biến cố A1, A2, …, An dãy biến cố xung khắc đôi Ai, Aj (i j, i, j) xung khắc Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc Các cặp biến cố Mi Mj (i ≠ j), M1 Ant, Ac Al xung khắc với 2) Hai ngƣời bắn vào mục tiêu Gọi A biến cố "ngƣời thứ bắn trúng"; B biến cố "ngƣời thứ hai bắn trúng" Khi A, B hai biến cố khơng xung khắc, thực phép thử cho hai ngƣời bắn vào mục tiêu ngƣời thứ ngƣời thứ hai bắn trúng nên A, B đồng thời xảy 3) Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp có bi xanh, bi vàng, bi đỏ Gọi A1 biến cố chọn đƣợc bi xanh; A2 biến cố chọn đƣợc bi vàng; A3 biến cố chọn đƣợc bi khác màu Khi A1; A2; A3 xung khắc đôi 1.1.2.4 Quan hệ đối lập Hai biến cố A, B đƣợc gọi đối lập với phép thử A xảy B không xảy Ký hiệu biến cố đối lập biến cố A A Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc Al = A c Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2) Bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi A biến cố: "bắn trúng mục tiêu", A biến cố "bắn trƣợt mục tiêu" A A hai biến cố đối lập với 3) Chọn ngẫu nhiên hai viên bi hộp có viên bi xanh, viên bi vàng viên bi đỏ Gọi A biến cố viên bi đƣợc chọn có viên bi màu xanh Gọi A biến cố viên bi chọn khơng có viên bi màu xanh 1.1.3 Các phép toán biến cố Giả sử A, B hai biến cố phép thử 1.1.3.1 Tổng, tích hai biến cố Tổng (Hợp) hai biến cố A B biến cố, ký hiệu A + B (hoặc A B ), biến cố A + B xảy có hai biến cố A, B xảy Tích (Giao) hai biến cố A B biến cố, ký hiệu AB (hoặc A B ), biến cố AB xảy hai biến cố A B đồng thời xảy Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc, ta có: M2 = AcAnt; = Ac + Al; = MiMj (i j; i, j 6) 2) Bắn hai viên đạn vào mục tiêu Gọi A biến cố "viên thứ trúng mục tiêu", B biến cố "viên thứ hai trúng mục tiêu" Khi A + B biến cố "mục tiêu trúng đạn" AB biến cố "cả viên đạn trúng mục tiêu" 3) Một sinh viên chọn ngẫu nhiên câu hỏi Gọi A biến cố "đƣợc câu lý thuyết", B biến cố "đƣợc câu khó" Khi AB biến cố "đƣợc câu lý thuyết khó" 1.1.3.2 Hiệu biến cố Hiệu biến cố A với biến cố B biến cố, ký hiệu A\B, biến cố A\B xảy biến cố A xảy nhƣng biến cố B khơng xảy Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc, ta có: M2 = Ant\Al, Ant\Ac = M5 + M3, Ac\Ant = M4 + M6 2) Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp có viên bi màu xanh, viên bi màu vàng, viên bi màu đỏ Gọi A biến cố chọn đƣợc viên màu xanh; B biến cố chọn đƣợc viên bi khác Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an màu A\B biến cố chọn đƣợc viên bi màu xanh B\A biến cố 1.1.3.3 Hệ đầy đủ Các biến cố A1 , A2 , , An đƣợc gọi hệ đầy đủ thỏa mãn: i) A1 A2 An ; ii) A1 , A2 , , An đôi xung khắc Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc, ta có: Hệ {Ac, Al}, {M1, M2, …, M6} {Al, Ant, M4, M6} hệ đầy đủ 2) Cho A biến cố Khi {A, Ā} hệ đầy đủ 3) Gieo hạt giống, gọi Ai biến cố có số i hạt nảy mầm (i = 0, 1, 2) Ta có {A0, A1, A2} hệ đầy đủ 1.1.4 Các tính chất phép tốn biến cố Các phép toán biến cố A + B, AB, A tƣơng ứng với phép tốn tập hợp nên chúng có tính chất tƣơng tự i) Giao hoán: A + B = B + A; AB = BA; ii) Kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C; A(BC) = (AB)C = ABC; iii) Phân phối: A(B + C) = AB + AC; iv) Lũy đẳng: A + A = A, AA = A; v) A ; A A; A A;A ; vi) A = A ; vii) Luật đối ngẫu De Morgan: A B = A.B; AB = A B; viii) A\B = AB Đặc biệt A B hai biến cố xung khắc A\B = A B\A = B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Xác suất biến cố khái niệm lý thuyết xác suất, đại lƣợng xác định (về số lƣợng) đƣợc dùng để biểu thị cho khả xảy biến cố phép thử Biến cố có khả xảy nhiều gán cho giá trị lớn hơn, khả xảy nhƣ gán cho giá trị Qua trình phát triển lý thuyết xác suất tùy theo đặc điểm phép thử, có định nghĩa xác suất nhƣ sau: 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất 1.2.1.1 Định nghĩa Xét phép thử, không gian mẫu 1 , 2 , n hữu hạn (gồm số hữu hạn biến cố sơ cấp) Giả sử biến cố sơ cấp 1, 2, , n có đồng khả xảy (khả xảy biến cố thực phép thử nhƣ nhau) A biến cố ngẫu nhiên bất kỳ, m = Card(A) số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A xảy m Card(A) Khi xác suất để biến cố A xảy là: P(A) = n Card() 1.2.1.2 Tính chất xác suất Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta suy tính chất sau đây: i) P(A) 1; ii) P() = 0; P() = Chứng minh: Card(A) P(A) i) Vì Card(A) n n ii) Vì Card() = Card() = n P() 0, P() = 1. Ví dụ 1) Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố: A biến cố "xúc xắc xuất mặt có số chấm số chẵn"; B biến cố "xúc xắc xuất mặt có số chấm nhỏ thua 3" Giải Gọi Mi biến cố xuất mặt có số chấm i (i = 1, 2, …, 6) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Khi khơng gian biến cố sơ cấp đồng khả có phần tử: = {A1, A2, A3, A4, A5, A6} Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A gồm {A2, A4, A6} Do xác suất để biến cố A xảy là: P(A) 0,5 Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B gồm {A1, A2} Do xác suất để biến cố B xảy P(B) = 2/6 = 1/3 0,333 2) Một lơ hàng gồm 15 sản phẩm có 12 sản phẩm tốt sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất trƣờng hợp sau: a) Một sản phẩm tốt sản phẩm xấu; b) Cả hai sản phẩm xấu Giải Số biến cố sơ cấp đồng khả : C15 105 a) Gọi A biến cố hai sản phẩm lấy có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A : C113C12 36 36 0,343 105 b) Gọi B biến cố có hai sản phẩm tốt đƣợc lấy Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B C12 66 Vậy xác suất để biến cố A xảy là: P(A) 66 0,629 105 1.2.1.3 Ưu điểm hạn chế định nghĩa cổ điển xác suất Ƣu điểm: Khi tìm xác suất biến cố ta không cần phải tiến hành thực nghiệm (phép thử tiến hành cách giả định); kết xác suất tìm xác đáp ứng đƣợc yêu cầu định nghĩa Nhƣợc điểm: Chỉ áp dụng đƣợc cho phép thử có số biến cố sơ cấp hữu hạn biến cố đồng khả xảy ra; thực tế nhiều không biểu diễn đƣợc kết phép thử dƣới dạng biến cố sơ cấp đồng khả (Ví dụ: Khi tung xúc xắc ta giả Vậy xác suất để biến cố B xảy là: P(B) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 10 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2 Ví dụ (Tra bảng 3b) χ 0,05 (24) 42,980 (14) 23,685 ; χ 0,01 3.2.3 Quy luật phân phối Student – T(n) 3.2.3.1 Định nghĩa Nếu U N(0, 1), χ T U χ (n) ĐLNN phân phối theo quy luật Student với n bậc tự do, ký hiệu χ n là: T T(n) 3.2.3.2 Các tham số đặc trưng Cho T ĐLNN có phân phối Student với n bậc tự do, đó: n E(T) = 0; D(T) = n2 3.2.3.3 Định nghĩa Cho T T(n) < α < cho trƣớc Khi giá trị t α (n) cho P(T > t α (n)) = α đƣợc gọi phân vị Student n bậc tự với mức ý nghĩa α Các giá trị phân vị t α (n) đƣợc tính sẵn thành bảng Nhận xét: i) t α (n) = t1α (n) ; ii) Với n 30 t α (n) = Uα Ví dụ t 0,025 (8) 2,306 ; t 0,99 (24) t10,01 (24) t 0,01 (24) 2,492 ; t 0,005 (35) U0,005 =2,57 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 63 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an BÀI TẬP CHƢƠNG Bài 3.1 Gieo xúc xắc đối xứng đồng chất Tìm quy luật phân phối xác suất tham số đặc trƣng số lần xuất mặt chấm Đ/s: Gọi X số lần xuất mặt chấm gieo xúc xắc E(X) ;D(X) 36 Bài 3.2 Điều tra ý kiến khách hàng sản phẩm doanh nghiệp thấy có 60% khách hàng thích sản phẩm Tìm quy luật phân phối xác suất tham số đặc trƣng thái độ ƣa thích khách hàng sản phẩm Đ/s: Gọi X ĐLNN thái độ ƣa thích khách hàng sản phẩm X A(0,6) E(X) = 0,6 D(X) = 0,24 Bài 3.3 Bắn viên đạn vào mục tiêu Xác xuất trúng đích lần bắn nhƣ 0,2 Muốn phá hủy mục tiêu phải có viên trúng mục tiêu Tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy Đ/s: P = 0,0579 Bài 3.4 Gieo 10.000 hạt giống với xác suất để hạt giống nảy mầm 0,85 Gọi X số hạt nảy mầm Hỏi X tuân theo quy luật phân phối xác suất gì? Tìm E(X), D(X) Bài 3.5 Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại Xác suất để phút máy gọi đến tổng đài 0,02 Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình phút Đ/s: máy Bài 3.6 Cho U N(0, 1) Tìm xác suất sau: a P(U > 1,96) b P(U > 1,64) c P(U < - 1,64) d P(U < 1,64) e P(1 < U < 1,5) d P(-1 < U < 2) Bài 3.7 Cho X N(10, 25) Tìm xác suất sau: a P(X > 20) b P(20 < X < 25) c P(X < 10) d P(12 < X < 24) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 64 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài 3.8 Trong hệ thống tỷ giá hối đoái thả nổi, biến động tỷ giá hối đoái chịu tác động nhiều nhân tố xem nhƣ biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giả sử giai đoạn tỷ giá USD với VNĐ có trung bình 15000đ độ lệch chuẩn 500đ Tìm xác suất để ngày a Tỷ giá cao 16000đ b Tỷ giá thấp 14500đ c Tỷ giá nằm khoảng từ 14500 đến 16500đ Bài 3.9 Trọng lƣợng sản phẩm X máy tự động sản xuất ĐLNN tuân theo quy luật chuẩn với E(X) = 100 gam độ lệch chuẩn gam Sản phẩm đƣợc coi đạt tiêu chuẩn kỹ thuật trọng lƣợng đạt từ 98 đến 102 gam a Tìm tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn nhà máy b Tìm tỷ lệ phế phẩm nhà máy Đ/s: a 95,44%; b 4,56% Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 65 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chƣơng ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Ở chƣơng trƣớc xét ĐLNN mà tập giá trị chúng đƣợc biểu diễn số thực, ĐLNN chiều Ngoài ĐLNN chiều, thực tế gặp biến số mà tập giá trị đƣợc xác định n số (x1, x2, , xn) với n 2, ĐLNN gọi ĐLNN n chiều Việc nghiên cứu ĐLNN nhiều chiều cho ta xác định đƣợc quy luật xác suất nhƣ việc tác động qua lại thành phần với Trong kinh tế xã hội điều quan trọng, chẳng hạn muốn đánh giá ảnh hƣởng thu nhập đến tiêu dùng nhƣ ta xét ĐLNN hai chiều thu nhập tiêu dùng 4.1 ĐỊNH NGHĨA Cho X1, X2, , Xn n ĐLNN liên kết với phép thử có khơng gian mẫu Bộ (X1, X2, , Xn) đƣợc gọi đại lượng ngẫu nhiên n chiều, x1, x2, , xn n giá trị tƣơng ứng X1, X2, , Xn số thực (x1, x2, , xn) gọi giá trị ĐLNN n chiều (X1, X2, , Xn) Ví dụ Gieo ngẫu nhiên lần xúc xắc, gọi X1, X2 ĐLNN tƣơng ứng số chấm xuất xúc xắc thứ thứ Khi ĐLNN (X1, X2) có 36 giá trị (x1, x2) = {(1, 1); (1, 2); ; (6, 6)} ĐLNN n chiều (X1, X2, , Xn) đƣợc gọi ĐLNN n chiều rời rạc X1, X2, , Xn ĐLNN rời rạc; gọi ĐLNN n chiều liên tục X1, X2, , Xn ĐLNN liên tục Trong chƣơng nghiên cứu ĐLNN hai chiều 4.2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 4.2.1 Định nghĩa Cho (X, Y) ĐLNN hai chiều Hàm số hai biến số ký hiệu xác định nhƣ sau gọi hàm phân phối xác suất ĐLNN hai chiều F(x, y) P(X x;Y y), x, y biến cố (X x;Y y) (X x) (Y y) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 4.2.2 Tính chất 66 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an i) F(x, y) ; ii) F(x, y) hàm không giảm theo biến, nghĩa là: F(x1 , y) F(x , y), x1 x F(x, y1 ) F(x, y2 ), y1 y ; F(x, y) 0; lim F(x, y) 0; lim F(x, y) ; iii) xlim y x y lim F(x, y) F(y); lim F(x, y) F(x); lim F(x, y) x y x y 4.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 4.3.1 Bảng phân phối xác suất ĐLNN hai chiều rời rạc 4.3.1.1 Định nghĩa Cho X, Y hai ĐLNN ngẫu nhiên liên kết với phép thử có miền giá trị lần lƣợt DX = {x1, x2, , xn} DY = {y1, y2, , ym} Đặt pij = P(X = xi; Y = yj), i 1, n; j 1, m Khi bảng số có dạng dƣới gọi bảng phân phối xác suất ĐLNN hai chiều (X, Y) X Y y1 y2 yj ym x1 x2 xi xn p11 p12 p1j p1m p21 p22 p2j p2m pi1 pi2 pij pim pn1 pn2 pnj pnm Ví dụ Cho X, Y ĐLNN số mặt ngửa xuất đồng tiền thứ thứ gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối Ta có tập giá trị X DX = {0, 1}; DY = {0, 1} p11 P(X 0; Y 0) P(SS) ; p21 P(X 1; Y 0) P(NS) ; 67 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an p12 P(X 0; Y 1) P(SN) ; p22 P(X 1; Y 1) P(NN) Vậy bảng phân phối ĐLNN ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) là: X Y 1 4 4 4.3.1.2 Tính chất Cho (X, Y) ĐLNN hai chiều rời rạc có bảng phân phối nhƣ mục 4.3.1.1 Khi ta có: i) pij 1, i 1, n, j 1, m ; m ii) n n p p j1 i 1 n iii) m p i 1 ij ij i 1 j1 ij 1; q j P(Y y j ) ; m p j1 ij pi P(X x i ) Qua tính chất iii) ta thấy biết phân phối ĐLNN hai chiều (X, Y) ta biết luật phân phối biến ngẫu nhiên X, Y Ví dụ Cho X, Y ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất nhƣ sau: X Y 0,4 0,3 0,12 0,18 Khi đó: P(X = 0) = 0,4 + = 0,4 P(X = 1) = 0,3 + 0,12 = 0,42 P(X = 2) = + 0,18 = 0,18 Vậy bảng phân phối ĐLNN X là: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 68 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an X P 0,4 0,42 0,18 Tƣơng tự bảng phân phối ĐLNN Y là: Y P 0,7 0,3 4.3.1.3 Định lý Điều kiện cần đủ để hai ĐLNN rời rạc X Y độc lập với pij = P(X = xi; Y = yj) = P(X = xi).P(Y = yj) = piqj , i 1, n; j 1, m Ví dụ Cho X, Y ĐLNN số mặt ngửa xuất đồng tiền thứ thứ gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối Khi X Y độc lập với Ví dụ Cho X, Y ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất nhƣ sau: X Y 0,4 0,3 0,12 0,18 Ta thấy X Y phụ thuộc nhau, P(X = 0; Y = 1) = 0,4 P(X = 0)P(Y = 1) = 0,4.0,7 4.3.2 Hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN hai chiều liên tục 4.3.2.1 Định nghĩa Cho ĐLNN hai chiều liên tục (X, Y) có hàm phân phối xác suất F(x, y) Nếu tồn hàm hai biến f(x, y) khơng âm, khả tích thỏa mãn đẳng thức: x F(x, y) y f u, v dudv hàm f(x, y) đƣợc gọi hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN liên tục hai chiều (X, Y) 4.3.2.2 Tính chất Cho f(x, y) hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN hai chiều (X, Y) Khi ta có: i) f x, y dxdy ; Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 69 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ii) P (X, Y) D f x, y dxdy, D ; D iii) Nếu F(x, y) có đạo hàm riêng cấp hỗn hợp điểm (x, y) " (x, y) f (x, y) ; Fxy iv) Gọi fX(x), fY(y) hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN X, Y Khi đó: f X (x) f x, y dy ; f Y (y) f x, y dx Ví dụ Tìm hàm mật độ ĐLNN chiều (X, Y) có hàm phân phối xác suất là: 1 1 F(x, y) arctan x arctan y , x, y 2 Giải Ta có: Fx' (x, y) 1 1 arctan y (1 x ) 2 1 (1 x ) (1 y ) Hàm mật độ ĐLNN chiều (X, Y) là: f (x, y) (1 x )(1 y ) Ví dụ Cho ĐLNN chiều (X, Y) có hàm mật độ phân phối xác suất: A f (x, y) 2 (16 x )(25 y ) a) Xác định số A; b) Tìm hàm phân phối (X, Y); c) Tìm hàm phân phối X Y Giải A dxdy a) Ta có: f x, y dxdy 2 (16 x )(25 y ) Fxy'' (x, y) A 1 dx (16 x ) (25 y2 ) dy Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 70 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an A x y arctan arctan 4 5 Vậy f (x, y) A A A = 20 ( ) ( ) 202 2 2 20 20 2 (16 x )(25 y ) b) Ta có: x y y x 20 1 F(x, y) f x, y dxdy dx dy 2 (16 x ) (25 y ) 1 x y arctan arctan 2 c) Ta có: 1 x y FX (x) lim F(x, y) lim arctan arctan y y 1 x x arctan arctan 2 2 2 1 y FY (y) lim F(x, y) arctan x 2 4.3.2.3 Định lý Giả sử f X (x),f Y (y) lần lƣợt hàm mật độ ĐLNN X Y; f(x, y) hàm mật độ phân phối ĐLNN (X, Y) Điều kiện cần đủ để X Y độc lập với f(x, y) = fX(x).fY(y) 4.4 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 4.4.1 Phân phối có điều kiện ĐLNN hai chiều rời rạc Cho X, Y hai ĐLNN ngẫu nhiên liên kết với phép thử có miền giá trị lần lƣợt DX = {x1, x2, , xn} DY = {y1, y2, , ym} Gọi P x i y j P X x i Y y j i 1, n; j 1, m xác suất có điều kiện để thành phần X nhận giá trị xi với điều kiện thành phần Y nhận giá trị yj Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 71 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bảng phân phối xác suất có điều kiện thành phần X với điều kiện Y = yj có dạng: X yj x1 x2 xi xn P P x1 y j P x2 y j P xi y j P xn y j xác suất có điều kiện đƣợc tính cơng thức: P xi y j P xi , y j P(Y y j ) pij P(Y y j ) i 1, n; j 1, m Tƣơng tự, ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện thành phần Y với điều kiện X = xi có dạng: Y xi y1 y2 yj ym P P y1 x i P y2 x i P y j xi P ym x i xác suất có điều kiện đƣợc tính cơng thức: P y j xi P xi , y j P(X x i ) pij P(X x i ) i 1, n; j 1, m Ví dụ Phân phối xác suất lƣơng tháng Y (triệu đồng) giới tính X công nhân công ty nhƣ sau: Y X Nữ: Nam: 0,5 1,5 0,1 0,06 0,3 0,18 0,2 0,16 Tìm phân phối xác suất lƣơng tháng nữ cơng nhân Giải Trƣớc hết ta tìm P(x1) = P(X = 0) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6 P(x1 , y1 ) 0,1 từ đó: P y1 x1 ; P(x1 ) 0,6 P y x1 P(x1, y ) 0,3 ; P(x1 ) 0,6 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 72 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an P(x1 , y3 ) 0,2 P(x1 ) 0,6 Vậy bảng phân phối xác suất lƣơng tháng nữ công nhân là: P y3 x1 Y x1 P 0,5 1,5 4.4.2 Phân phối có điều kiện ĐLNN hai chiều liên tục Giả sử (X, Y) ĐLNN hai chiều liên tục có hàm mật độ phân phối xác suất f(x, y) Hàm mật độ xác suất có điều kiện thành phần X với Y = y, ký hiệu f(x/y) biểu thức: f (x, y) f x y f X (x) Tƣơng tự, hàm mật độ xác suất có điều kiện thành phần Y với X = x, ký hiệu f(y/x) biểu thức: f (x, y) f y x f Y (y) fX(x), fY(y) lần lƣợt hàm mật độ phân phối xác suất X, Y Ví dụ Cho ĐLNN chiều (X, Y) có hàm mật độ phân phối xác suất: 2 x y r f x, y r 0 x y r Tìm hàm mật độ phân phối xác suất có điều kiện thành phần Giải Với x y2 r , ta có f(x, y) = nên fX(x) = Với x y2 r x r y2 , ta có f x, y 1 f X (x) f (x, y)dx dx r r r y2 r y2 2 dx r r y Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 73 nên r C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an r y2 2 x y r f X (x) r x y r x r y 2 f (x, y) Do f x y 2 r y f X (x) x r y Tƣơng tự, ta xác định đƣợc: y r x f (x, y) 2 f y x 2 r x f Y (y) y r x 4.5 KỲ VỌNG CĨ ĐIỀU KIỆN 4.5.1 Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN hai chiều rời rạc Cho X, Y hai ĐLNN ngẫu nhiên liên kết với phép thử có miền giá trị lần lƣợt DX = {x1, x2, , xn} DY = {y1, y2, , ym} - Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN X với điều kiện (Y = yj) số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau: E X / y j x i P x i / y j ; j 1, m n i 1 - Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN Y với điều kiện (X = xi) số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau: E Y / x i y jP y j / x i ;i 1, n m j1 Ví dụ Tìm kỳ vọng có điều kiện ĐLNN rời rạc hai chiều có bảng phân phối xác suất sau đây: X Y 2 0,4 0,3 0,12 0,18 Giải Ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 74 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an X y1 1 3 Do E X y1 1 2.0 7 Tƣơng tự ta có: E X y ; E Y x1 1; E Y x 1 ; E Y x 4.5.2 Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN hai chiều liên tục Giả sử (X, Y) ĐLNN hai chiều liên tục có hàm mật độ xác suất có điều kiện f(x/y) f(y/x) - Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN X với điều kiện Y = y số P(xi/1) đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau: E X / y x.f (x / y)dx - Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN Y với điều kiện X = x số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau: E Y / x y.f (y / x)dy Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 75 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an BÀI TẬP CHƢƠNG Bài 4.1 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời ĐLNN chiều rời rạc X 26 30 41 50 Y 2,3 0,05 0,08 0,12 0,04 2,7 0,09 0,3 0,11 0,21 a Tìm bảng phân phối xác suất thành phần X, Y Tính E(X); EY) b Hỏi X, Y có độc lập khơng? Vì sao? c Tìm bảng phân phối xác suất có điều kiện Y X = 26 X Y = 2,7 Đ/s: b X, Y không độc lập với c Y/X = 26 2,3 2,7 P 0,357 0,643 X/Y = 2,7 P 26 0,1268 30 0,4225 41 0,1549 50 0,2958 Bài 4.2 Thống kê dân số nƣớc theo trình độ học vấn X lứa tuổi Y cho kết sau: Y X Thất học Tiểu học (25 – 35) 30 0,01 0,03 (35 – 55) 45 0,02 0,06 (55 – 100) 70 0,05 0,10 Trung học 0,18 0,21 0,15 Đại học 0,07 0,08 0,04 a Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên ngƣời ngƣời độ tuổi 40 học Đại học Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 76 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn