(Tt luận án) Nghiên cứu các mã đối ngẫu của mã xyclic cục bộ

BỘGIÁODỤCĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHỊNGVIỆNKHOAHỌCVÀCƠNGNGHỆQNS Ự NGUYỄNVĂNTRUNG NGHIÊN CỨU CÁC MÃ ĐỐI NGẪU CỦA MÃXYCLICCỤCBỘ Chuyênngành: họcMãsố: Cơ sở toán học cho tin 62 46 01 10 TĨMTẮT LUẬNÁNTIẾNSĨTỐN HỌC HÀNỘI – 2016 CƠNGTRÌNHĐƯỢCHỒNTHÀNHTẠI VIỆNKHOAHỌCVÀCƠNGNGHỆQNSỰ-BỘ QUỐC PHỊNG Ngườihướngdẫnkhoahọc: Phảnbiện1: GS TS Nguyễn BìnhTS.PhạmViệtTru ng PGS.TS.LêMỹTú Phảnbiện2: PGS.TS.Đ ỗ T r u n g T u ấ n Phảnbiện3: TS.NguyễnMạnhLinh LuậnánđượcbảovệtạiHộiđồngbảovệcấpViệntheoquyếtđịnhsố489/ QĐVKHCNQSngày25tháng4năm2016củaGiámđốcViệnKhoahọcvàCơngnghệq nsự,họptạiViệnKhoahọcvàCơngnghệqn vào hồi… giờ…ngày tháng… năm… Cóthểtìmhiểu luận ántại - Thưviện Viện KH-CNQS - ThưviệnQuốc gia PHẦNMỞ ĐẦU Tính cấpthiếtcủa đềtài Thơng tin vấn đề mã hóa thơng tin ln mộttrongnhữnglĩnhvựcđượcnhiềuchungiahàngđầutrênthếgiớitiếptục nghiên cứuvàpháttriểndựatrênnềntảngcủalýthuyếtmãhóa(được bắt đầu nghiên cứu từ năm 40 kỉ trước) Cácnghiên cứu lĩnh vực thường nghiên cứu độ tin cậycủatruyềntintrêncáckênhtruyềncónhiễu,xâydựngcácbộ mã tốtvàcácphươngphápgiảimãhiệuquả.Mộttrongnhữngkếtquảnổibậtnhấtvềlýth uyếtmãhóaứngdụngtrongtruyềntinlàcáclớpmãtuyếntính,đặcbiệtlà lớp mã xyclic Tiếp tục kế thừa phát triển theo hướng phát triển mã khốituyếntínhvàmãxyclic,mãxycliccụcbộbắtđầuđượcnghiêncứuvàpháttr iển.Đâylàmộtloạimãkhơngnhữngbaohàmmọitínhchấtcủamãxyclictruyềnt hống mànócịncón h i ề u u đ i ể m n ổ i t r ộ i v thiết thực như: khả lựa chọn mã đa dạng, tốc độ lập mã giảimã nhanh Xuấtpháttừthựctếnghiêncứuvềmãxycliccụcbộtừkhirađời đến nay, nghiên cứu sinh định lựa chọn đề tài “Nghiên cứu cácmã đối ngẫu mã xyclic cục bộ” làm đề tài nghiên cứu cho luận áncủamình.Việcnghiêncứucácmãđốingẫucủamãxycliccụcbộngồimụcđíchb ổsung,hồnthiệnvàlàmphongphúthêmvềmặtlýthuyếtcủamãxycliccụcbộ,cịncóthể giúpchoviệcxâydựng,đánhgiávàlựachọntrênđócácbộmãtốttrongviệcmãhóavàgiảimãthơngtinmột cáchchính xác,hạn chếsaisót trongqtrình truyềntin Mụctiêu nghiêncứu củaluậnán - Nghiên cứu sâu mã xyclic cục bộ, tập trung vào mã xycliccục bộxâydựngtừ mộtlớpkề xyclic - Nghiêncứukhảosátđặcđiểmcủamãxycliccụcbộxâydựngtừmộtlớpkềx yclictrênphânhoạchvànhđathức,làmcơsởđềxuấtphươngán,cáchtiếpcận đểxâydựngmãđốingẫucủalớpmãxycliccụcbộxâydựngtrênnhómnhânxycli c Đốitượngvàphạm vinghiêncứu Luậnánthuộcphạmvilýthuyếtcơsở,tậptrungnghiêncứukhảosátvàc hứngminhchặtchẽvềmặttốnhọccáctínhchấtcủanhómnhânxyclic,cấpsốnhâ nxyclicvàcáclớpmãxycliccụcbộxâydựngtừmộtlớpkềxyclictrênphânhoạchvà nhđathức,đềxuấtcáchxâydựngmãđốingẫucủamãxycliccụcbộxâydựngtheon hómnhânxyclic Phươngphápnghiêncứu Phương pháp nghiên cứu tổng hợp, phân tích kết hợp với xâydựng chương trình khảo sát ngơn ngữ lập trình Matlab để tìm ranhững tính chất mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhânxyclic phân hoạch vành đa thức, sử dụng kiến thức toán học đểchứngminhtínhđúngđắncủacáctínhchấttrên,từđóđềxuấtphươngán xây dựng lớp mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng theonhómnhân xyclictrên phânhoạch vành đa thức Luận án sử dụng kết nghiên cứu cấu trúc đại sốtrong lý thuyết đại số tuyến tính, kết nghiên cứu mã xycliccụcbộvàlýthuyếtmãkếthợpvớikếtquảkhảosátđểchứngminhchotínhđún gđắn nhữngtính chấtcủamã xyclic cụcbộ Ýnghĩakhoa họcvàthực tiễncủaluậnán Luậnánlàmộtcơngtrìnhnghiêncứutươngđốihồnchỉnhvềcáclớpmãxycli ccụcbộxâydựngtheonhómnhânxyclictrênphânhoạchvànhđathức.Nhữngđón ggópmớicủaluậnán:xácđịnhđ ợ c t í n h c h ấ t c ủ a nhómnhânxyclic: cấpcủanhịthứctrênphânhoạchvànhđathức;xâydựngvàxácđịnhcấpcủanhó mnhânxyclictíchbằngcáchkiếnthiết thơngquacácnhómnhânxyclicthànhphần;chứngminhcácmãxycliccục xây dựng từ lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức làmãxyclic;xácđịnhtínhchấtcủamãxyclictrênmộtlớpvànhđathứcđặcbiệt:Và nhMersenne.Vớicáctínhchấtđãđượcxâydựngđểthiếtlậpvàtìmkiếmmãđốin gẫucủamãxycliccụcbộtrêncácphânhoạchvànhđa thức Cấu trúccủa luậnán Luậnánbao gồmphầnmởđầu,kết luận và3chươngnội dung Chương1trìnhbàytổngquanvềmãkhốngchếsai,cácquanđiểmvà xu hướng xâydựngmãkhốngchếsai,cáctiêuchuẩnđánhgiávềmột mã tốt, tập trung chủ yếu vào mã xyclic cục kiểuphânhoạch vành đathức để xâydựngmã xyclic cục Chương2trìnhbàyvềcáctínhchấtcủanhómnhânxyclic,vànhđat hứcvàmãxyclic,khảosátvàchứngminhnhữngtínhchấtmớicủanhómnhânxycli cvàcấpsốnhânxyclictrênphânhoạchvànhđathức Chương3trìnhbàychứngminhcácmãxycliccụcbộxâydựngtừ mộtlớpkềxycliclàmãxyclic,tínhchấtcủacácmãxyclicxâydựngtrênv n h M e r s e n n e v c c k i ế n t h ứ c c s , n ề n t ả n g v ề m ã đ ố i ngẫu mã tuyến tính nói chung mã xyclic nói riêng, từ đềxuấtphươngánvàthuậttốnxâydựngmãđốingẫucủamãxycliccụcbộtrên vành đathức CHƯƠNG TỔNGQUANVỀMÃ KHỐNGCHẾSAI 1.1 Những vấnđề bảnvàcáchướngnghiêncứuvề 1.2 1.3 1.4 mãkhốngchếsai Các quanđiểmxâydựngmãcókiểmtrasai Các tiêuchuẩnđánh giámãkhốngchếsai Cácloạimã khốngchế saiđiển hình 1.5 Mãxycliccụcbộ Trong phần tác giả trình bày định nghĩa mã xyclic cụcbộ,cáchbiểudiễnmãxycliccụcbộ,cáccáchphânhoạchvànhđathứcđể dựng biểu diễn mã xyclic cục mối liên xây hệ giữamãxycliccụcbộvớicácbộmãtuyếntínhđượcxâydựngtrêncáccấutrúcđạisố cũngnhưcáckếtquảđạtđượcvàcáchướngnghiêncứumởđối vớimã xycliccục Các dạng phân hoạch vành đa thức sử dụng để xây dựng mãxycliccục bộ: - Phânhoạchchuẩn - Phânhoạch cực đại - Phânhoạchcựctiểu - Phân hoạch vành thànhcáccấpsốnhâncó cùngtrọngsố - Phânhoạchvànhthànhcácphầntửcócùngtínhchẵnlẻcủatrọngsố - Phân hoạch vành thànhcáccấp sốnhântheomodulo… Đối với mã xyclic cục mã tuyến tính xây dựng cáccấu trúc đại số, khái quát phân loại dạng mã thuyến tínhtheohình1.6 Qua thời gian dài nghiên cứu, thành tựu mã xyclic cục bộđãcóđượcnhữngkếtquảnhấtđịnhgópphànkhơngnhỏvàolĩnhvựcnghiên cứumộtdạngmãkhốngchếsaiđượcứngdụngvàđưavàothựctiễn, kể đến thànhtựutrongquátrìnhnghiêncứuvềmãxyclic cụcbộnhư: - Xâydựngđượccácdạngphânhoạchkhácnhauvàcáckiểuphân hoạch khác vành đa thức làm sở để xây dựng mãxyclic cục - Xâydựngmộtsốmãxycliccụcbộtựtrựcgiaovàmãxycliccụcbộ có khả năngtựtrực giao - Xâydựngmộtsốmãxycliccụcbộđốixứngvàtựđốixứngtrêncáclớp kề (cấpsố nhân) đối xứngvà tự đốixứng - Xâydựngđượcmộtsốlớpmãxycliccụcbộvàmãxyclictrên n1 cácphần tửliênhợpcủalũyđẳngnuốt ex xi  trêncác i0 phần tử liênhợpcủa zerotrên vành chẵn - Xâydựngmộtsốmãxycliccụcbộtrêncácphânhoạchhỗnhợp - Xâydựngđượchệmậtđabiểuvàtrườnghợpriêngcủanólàhệmậtluânho àntrênmộtsốloạivànhđặcbiệt(vànhđathứccó n2kvà vành đa thứccóhailớpkềxyclic) Mã tuyến tính Khơng có cấu trúc Vànhsố MãANcylic Có cấu trúc Mãtuyếntính ngẫunhiên Vànhđathức Z2[x]/xn+1 Vành ma trận Ma trậnCau chy MãGopa nchẵn Vànhcáclớp liênhợp n lẻ Phân hoạch vành theo nhóm nhân cyclic Ma trận Vandermon Vành Mã đồng dư cycliccụ Mã BCH Trên vành Trên vành Mã cyclic theo Ideal I= Phân hoạch cực tiểu Phân hoạch chuẩn Phân hoạch Vành cực đạivành ước vành Hai vành Mã cyclic cục đa tốc độ Mã cyclic cục Mãliên tựahợp cyclic cục Mã cyclic đơn nhịp Mã cyclic với Mã cyclic với nhịp x: I={ximod h(x)} nhịp đa thức Hình1.6: Phân hoạchcácloạimãtuyếntính Với kết đạt nói, mã xyclic cục cũngđã nghiên cứu khoàn chỉnh mặt lý thuyết, nhiên vẫncịn có hướng nghiên cứu mở để hoàn thiện mặt lý thuyết mãxyclic cụcbộnhư: - Nghiêncứu phổ trọngsố mãxycliccụcbộ - Khảo sát kỹ cấu trúc nhóm nhân xyclic cấp số nhânxyclictrongvành.Tìmtiêuchuẩnnhậnbiếtchocácđathứccócấpcực đạitrongvành - Xâydựngcác matrận kiểmtracủacác mã xycliccụcbộ - Nghiêncứucácmãxycliccụcbộtheoquanđiểmlýthuyếthệthống -  NghiêncứucácmãxycliccụcbộtrêntrườngmởrộngG F 2n - Nghiêncứulýthuyếtphổcho mã xycliccụcbộ - Nghiêncứucácmãđốingẫucủamãxycliccụcbộ - Nghiêncứutrênvànhchẵnvàcácmãđượcxâydựngtrênvànhnày KẾTLUẬN CHƯƠNG1 Chương đề cấp đến xu hướng quan điểm xây dựng mãkhơngchếsaihiệnnaytrênthếgiới,cácbộmãkhốngchếsaiđiểnhìnhxâydựngtr êncấutrúcđạisốvàmốiquanhệcủanhữngbộmãnàyđốivớimãxycliccụcbộ,cáccáchxây dựng vàbiểubiễnmãxycliccụcbộ phân hoạch vành đa thức, phương pháp phân hoạch vànhđa thức để xây dựng mã xyclic cục với thành tựu quantrọng trình nghiên cứu mã xyclic cục cáchướng nghiên cứu cho mã xyclic cục bộ, hướng nghiên cứucủa tác giả mã xyclic cục Nội dung chương đềcấpđếnmốiliênhệcủamãxycliccụcbộvàcácbộmãtuyếntínhtrongbảngphân loạicácbộ mã tuyến tính CHƯƠNG2 NHĨMNHÂNXYCLICTRÊNPHÂNHOẠCHVÀNHĐATHỨC 2.1 Cơ sở đạisố Phầnnàyđềcậpđếncácđịnhnghĩavàtínhchấtcủacáccấutrúcđạisốliên quanđếnluận án:nhómvành trường 2.2 Vànhđathứcvàtrường Galois Phần nàyđềcập đến kháiniệm, cácđịnh nghĩa cơbản tínhchấtcủavành đathứctrêntrườngGalois,đa thức bất khả quy 2.3 Lũyđẳngtrênvànhđathứctheomodulo x n 1 2.3.1 Kháiniệm vàcáctínhchất Địnhnghĩa2.16:T r o n g vànhđathức,R  x  n ế u tồntạimộtđa thứcmàbìnhphươngcủanólạibằngchínhnóthìđathứcđóđượcgọilà lũyđẳngcủa vành x / x n  1,kýhiệu:e x 2    exe 2 xe x  Tínhchấtcủalũyđẳngtrênvànhđathức: (i) Tậpcáclũyđẳng củavànhđathức n x  1lậpthànhmộtvànhcon (2.11) x / (ii) exl mộtlũy đẳng trênvànhđathức,khiđóg c d ex,1l c khôngtầmthườngcủa x n 1 Trongmỗivànhđathức n1  x  / x n  1đ ề u tồntạimộtlũyđẳng e0 x xi, l ũ y đ ẳ n g n y đ ợ c g ọ i l l ũ y đ ẳ n g n u ố t ( S w a l l o w i ng i0 Idempotent)  x  / x n  1bấtkì,với nl ẻ lntồn tạimộtlớpkềchỉchứamộtlũyđẳngnuốt e 0 x Trongmộtvànhđathức Tínhchấtcủa lũyđẳng nuốt: - Nếua x   x/  x n  1v W axl ax  e0 x e0 x  m ộ t s ố l ẻ t h ì - Nếu  x  / x n  1 ax    a x  vàW làm ộ t s ố c h ẵ n t hì ax  e0 x 0 Các lũyđẳng nguyên thủy vàcáchxác định 2.3.2 2.3.2.1 Cácchutrình n Cácc hu trình C s (cyclotomiccoset)theomodul o n t r ê n trư ờn g GF  đ ợ c xácđịnhtheocơngthứcsau:  1 C s,2s,22s, ms s Trongđó2  (2.12) ms1 smodn Khiđó,tậpcácsốnguyêntheomodulo n đ ợ c phânhoạchthành chutrình Tacó:1,2, ,n Cs s Sốc c p h ầ n t c ủ a c hu tr ì nh C s đượcg ọi l lựcl ợng c h u trình,kýhiệu:# Cs Tínhchấtcủachutrình Nếunlẻ,tậpcácquỹđạoCCs:s n  tạothànhmộtphânhoạchtrên vành #C0 1, s , tacó: C1c ó lựclượnglớnnhất 2.3.2.2 n n #Cs| #C1.Nóimộtcáchkhác,chutrình Sựtồntạicủalũyđẳng ngun thủytrênvànhđathức Bổ đề 2.1:Đa thứcexlà lũy đẳng tập chỉsố với hệ số khác khơng trùng với hợp cácchutrình Vídụ2.5: Xétvành x  /2 x7 1,theođịnhnghĩavềchutrình,tacó: C00e0x1 C 1,2,4e xxx2 x4 1 Chứngminh: Đểc h ứ n g m i n h c h o t r n g h ợ p t r ê n , t a c ầ n p h ả i c h ứ n gminh k k Thậtvậy,vớik  2,do:  0  (với0l l ũ y đẳngnuốttrên vànhđathức) nên:  2  2 2      2  Giảsửđẳngthứctrênđúngvớigiátrịkcó nghĩalàk k Khiđóta có:  k    k1 k0   k   02    k1 k 1 k1  k Từtínhchấtchẵnlẻvềtrọngsốcủađathức,tacó   k chất chẵnlẻvàdođó  1làđa thức cótrọngsố lẻ Từtính chấtcủalũyđẳngnuốt,ta có:  k 1  Suyra: Do đó: cùngtính k11  k1   k 1 , 30, A ,   , , A  , 2 3  Bổđềđược chứngminh Vídụ2.11:Cho n5, 1x 0,1     0,1 ,  0,2  ,  0,1,2,3 ,  0,4  ,1,4  , 0,1,2,4  ,3,4  A   0,3 ,  0,1,3,4  ,  2,3 , 2,4  , 0,2,3,4  ,1,2  ,1,3 ,1,2,3,4   2,3,4  , 1,3,4  ,  1,2,3 ,  0,2,3 , 3 , 0,1,2   A 1,2,4 , , 0,1,4 , 0,1,3 , , 0,3,4 , 0,2,4 ,         A A orda x15 Cácphầntử cócùngcấp15trênA: 1x,1x 2,1x 3,1x 4,xx 2,xx 3,xx Các phầntửcó cùngcấp 15trênA : x2 x 3x 4,xx 3x 4,xx 2 x 3,1x 2 x 4,1x 2 x 2.4.5 Tíchcủacácnhóm nhânxyclictrên phânhoạchvànhđathức Địnhlý2.7.Cho  .R*v   R*.Kíhiệuk  ord v 1n Rn 2n hord.R Khi đótacó: n (i) ordR |k.h (2.27) n  g c d k,h (ii) Nếu   khi12  k.h ord n   ord   R*  khi 1 2 R 12 n  Vídụ2.12:Trênvành  x  / x91 xéthainhómnhânxyclic có cácphầntửsinh:   x2x5x6x8x2 x3x6x7 ~ ~ 2,5,6,8 2,3,6,7   Tacó: G1 2,5,6,8,1,3,4,7,1,2,3,4,5,6,7,8  ordG1 3 G2  2,3,6,7,3,4,5,6,1,3,6,8,2,7,1,8,1,2,3,4,5,6,7,8 ordG2 7 Nhậnthấyhainhómnhântrêncócấplànguyêntốcùngnhauvàcó cùnglũyđẳng   1,2,3,4,5,6,7,8,dựavàoĐịnhlý2.7vừachứngminhđ ợ c t r ê n , t a c ó n h ó m n h â n s i n h b i p h ầ n t s i n h   1,6,7,8s ẽ cócấp o r d  ord   3.721 Kiểmtralại:  1,6,7,8,2,3,5,7,4,5,1,4,5,6 ,0,1,3,6,81,8,2,5,6,8,1,2,3,8    G  2,4 , , ,0,2 , , , , ,3,4 , , 2,72,7,0,1,3,4 , , ,1,3,4 , ,2,3,6 ,7  2,4, , ,0,2 , , , , ,1,3,6,8,0,1,3,6,7,8,0,3,4 , , , , , , , Rõràng o r d G21 1,2 ,  ,  Nhưvậy,theođịnhlý2.7nêutrên,cóthểnhậnthấy,từcácphầntửcó cấpnhỏ,tacóthểxâydựngđượccácphầntửcócấplànnếucácphầntửđượcchọnc ócấpnguntốcùngnhauvàcócùngđathứclũyđẳng 2.5 Thuậttốntìmcấpcủađathứctrong F  x  / x n  1 Địnhlý2.8: R F  x  / x n  1v i F l trư n g đ ặc q,n q q sốph ữ u hạnvàn k h ô n g làbộicủap ,tacó ord  |p ord p 1 (2.28) n Rq,n Thuật tốn xácđịnhcấpcủa nhómnhânxyclic Input:a xFx/xn 1vớip charF ,n khô nglàbộicủap q q Output:d  ordax   mod  F, x  n mordnp d pm q1 k1 Phânt í c h r a c c t h a s ố n g u y ê n t ố c ủ a d pcii vàl u v o mảngk c h i ề u Pc ặ p số  pi,ci  i0  e a dm o d F, xn q If a ereturn1 Fori 0t o k 1do 6.1 p,cP i 6.2 6.3 td/p j0 6.4 While a mod  F,xq  1e andj cdo  t n  6.4.1 d t/ / d l u ô n làbộicủa o r d amodF, xn 1 q 6.4.2.6.4.2 6.4.3.6.4.3 td/p//Ứngvới jj 1 jc1thìtkh ngun ơngphảilàsố Returnd KẾTLUẬN CHƯƠNG2 Mãxyclicvàmãxycliccụcbộđềuxâydựngtrêncơsởcủacáccấutrúcđạisố:n hóm,vànhtrường.Tronglýthuyếtmãđãchỉralàmãđượcxâydựngtrêncơsởc ấutrúcđạisốcàngphứctạpsẽcàngcóđiềukiệnđểxâydựngnêncáclớpmãtốt Cáckếtquảtrìnhbàytrongchương2: Xácđịnhcấpcủacácnhómnhânxyclictrênphânhoạchvànhđathứcbằngcá chkiếnthiếtthơngquahaiphươngán: - Xácđịnhcấpcủađathứcthơngquaviệcxácđịnhcấpcủacácnhịthứctrênphâ nhoạchvànhđathức - Xácđịnhcấpcủađathứctíchthơngquaviệcxácđịnhcấpcủacácđathứcthà nhphầnvớiđiềukiệncácđathứcthànhphầncócùngđathứclũyđẳngvàcócấ pnguntốcùngnhau - Chứngminhcáctínhchấtvàđềxuấtthuậttốnhiệuquảxácđịnhcấpcủađat hứctrênmộtvànhhữuhạnbấtkì CHƯƠNG CÁCMÃĐỐINGẪUCỦANHĨMNHÂNXYCLIC 3.1 Cácmãđốingẫu củamã khốituyếntính Phầnnàytácgiảđềcậpđếncấutrúccủamộtmãkhốituyếntínhxâydựng khơng giankchiều khơng gian tuyến tínhnchiều, mã khốituyếntínhhệthốngvàphươngphápxâydựngmãđốingẫucủamãkhốituy ếntínhtơngquaviệcbiếnđổimãtuyếntìnhvềdạnghệthống 3.2 Cácmãđốingẫu củamãxyclic Nộidungphầnnàytậptrungvàođịnhnghĩamãxyclic,matrậnsinhvàma trận kiểmtracủa mã xyclictrênmộtvành đa thức 3.3 Cácmãxyclic cục xâydựng từmộtlớp kề xyclic Đối với mã xyclic, việc khảo sát lựa chọn để tìm mãtốiưutrêncácvànhđathứccógiátrị nlớnlàrấtphứctạpvàkhó