Skkn 2023.Docx

MỤC LỤC NỘI DUNG TRAN G PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 2 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục tiêu nghiên cứu 2 3 Đối tượng nghiên cứu 3 4 Phương pháp nghiên cứu 3 5 Phạm vi nghiên cứu 3 PHẦN II NỘI DUNG 4 1 Cơ sở lý luận[.]

MỤC LỤC NỘI DUNG PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU TRAN G Lý chọn đề tài 2 Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận 2.Cơ sở thực tiễn Các biện pháp giải vấn đề Hiệu việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn 22 PHẦN III KẾT LUẬN 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Quan hệ vng góc khơng gian nội dung hình học khơng gian chìa khóa để học sinh tiếp thu kiến thức hình học khơng gian lớp 12 Trong chương toán khoảng cách khơng gian giữ vai trị quan trọng Nó xuất hầu hết đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi đề thi tốt nghiệp năm gần Mặc dù phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Tuy nhiên cách giải cịn rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Mà học sinh chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm đề 50 câu có 90 phút, tức thời gian giải câu hỏi Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập nhiều song dừng việc cung cấp tập cách giải, chưa có tài liệu phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách khơng gian Trước lí trên, tơi định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Định hướng tư giúp học sinh học tốt tốn khoảng cách khơng gian” Đề tài nhằm cung cấp cho học sinh nhìn tổng qt có hệ thống tốn tính khoảng cách không gian, hệ thống tập phân loại cách tương đối tốt Qua giúp học sinh khơng phải e sợ phần quan trọng hơn, đứng trước toán học sinh bật cách giải, định hướng trước làm qua có cách giải tối ưu cho tốn để tốn thời gian Mục tiêu nghiên cứu Xuất phát từ thực tế em học sinh ngại khó giải tốn khoảng cách khơng gian, tơi thấy cần phải tạo cho em có niềm u thích say mê học tập, ln tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời Khi gặp tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn cảm thấy dễ dàng việc giải tốn khoảng cách khơng gian, thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách kỹ càng, đặc biệt phân loại dạng tốn tính khoảng cách với phương pháp giải tương ứng Điều giúp em khơng cịn “sợ” gặp toán Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu học sinh khối 11, 12 năm học 2020 - 2021 3 Phương pháp nghiên cứu Từ phương pháp lý luận xây dựng việc phân loại tốn khoảng cách khơng gian đến phương pháp nghiên cứu thực tiễn áp dụng vào q trình dạy học cho học sinh từ rút kinh nghiệm giảng dạy toán cho học sinh để đạt hiệu cao Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu kinh nghiệm phương pháp tính khoảng cách khơng gian hình học 11, 12 4 PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lý luận 1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng  Gọi H hình chiếu O  Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  Kí hiệu d (O , Δ) * Nhận xét - ∀ M ∈ Δ , OM ≥ d (O, Δ) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta + Xác định hình chiếu H O  tính OH + Áp dụng cơng thức 1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng () Gọi H hình chiếu O () Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () Kí hiệu d (O ,(α )) * Nhận xét: ∀ M ∈(α ), OM ≥ d (O ,(α )) 1.3 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng () khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng () Kí hiệu d ( Δ ,(α )) * Nhận xét - ∀ M ∈ Δ, N ∈(α ), MN ≥ d ( Δ ,(α )) - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d ((α ) ;( β )) * Nhận xét - ∀ M ∈(α ), N ∈( β) , MN ≥ d ((α );(β )) - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng  cắt a b đồng thời vng góc với a b gọi đường vuông góc chung a b Đường vng góc chung  cắt a M cắt b N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d ( a ,b) * Nhận xét - ∀ M ∈ a , N ∈ b , MN ≥ d(a , b) 5 - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta có cách sau: + Tìm M N từ suy d ( a , b ) =MN (MN đường vng góc chung a b) + Tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi d ( a ,b)=d (b ,(P)) + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi d ( a ,b)=d ((P),(Q)) + Sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt Nếu a ⊥ b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d ( a ,b)=IH Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD Chú ý: Trong tốn tính khoảng cách tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mấu chốt nhất, tốn tính khoảng cách khác đưa hai toán Cơ sở thực tiễn Từ năm 2008 chuyển công tác trường THPT Tân Quang thường xuyên dạy ba khối 10, 11, 12 Trong chương trình tốn 11 có tốn khoảng cách khơng gian học sinh khối 12 gặp tốn kì thi THPT quốc gia Đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm khối lượng kiến thức học sinh ngày lớn thời gian giải câu hỏi ngắn nên việc nắm vững phương pháp, nhận dạng tốn quan trọng Tơi thấy gặp tốn liên quan đến việc tính khoảng cách không gian đa số học sinh chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng làm dẫn đến việc học sinh sợ gặp dạng tốn có giải thời gian giải tốn lâu mà chưa có tài liệu phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách khơng gian Trước thực tiễn tơi viết đề tài với mong muốn giúp em học sinh có phương pháp tốt , tiết kiệm thời gian giải toán liên quan đến khoảng cách Các biện pháp giải vấn đề Để giúp học sinh học tốt tốn khoảng cách khơng gian tơi làm theo bước sau: Thứ nhất: Dùng nhiều hình ảnh, mơ hình trực quan cho học sinh dễ hình dung nhất, bên cạnh cố gắng cho học sinh nắm vững khái niệm, tính chất để học sinh phải thuộc khái niệm, tính chất Thứ hai: Cho học sinh tốn từ dễ đến khó, hạn chế đưa tốn q khó, q phức tạp gây chán nản học sinh Với học sinh giỏi có niềm đam mê với tốn khoảng cách cho học sinh thêm tập giới thiệu sách tham khảo cho học sinh tự nghiên cứu Thứ ba: Khi dạy nên phân tích kĩ cho học sinh dạng phương pháp làm (sử dụng phương pháp tư ngược) Giáo viên nên hướng dẫn học sinh nẵm vững nội dung kiến thức trọng tâm cách ngắn gọn, số toán mấu chốt để tốn nhỏ khác đưa Đây vấn đề trọng tâm giúp học sinh học tốt khơng cịn “ sợ” gặp tốn khoảng cách khơng gian Theo kinh nghiệm giảng dạy trước đưa phương pháp giải tốn khoảng cách tơi hướng dẫn học sinh cách xác định khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng toán sau: Cho hình chóp S.ABC có SA đường cao Xác định khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) a Tam giác ABC tam giác thường b Tam giác ABC tam giác vuông C c Tam giác ABC tam giác vuông B Lời giải Trước giải tốn tơi nhắc em “mẹo” để xác định chân đường cao hạ từ A xuống (SBC) : “Ngang – Xuống – Lên” tức từ A kẻ đường vng góc AI ngang xuống BC, từ đỉnh S kéo xuống I từ A kẻ đường vng góc lên SI a S K C A I B b Khi tam giác ABC tam giác vng C I trùng với C Khi ta có cách xác định chân đường vng góc hạ từ A hình vẽ S K B A C c Khi tam giác ABC tam giác vng B I trùng với B Khi ta có cách xác định chân đường vng góc hạ từ A hình vẽ S K C A B Trong tốn khơng phải điểm cần tính khoảng cách chân đường vng góc Do để áp dụng quy tắc dựa vào phương pháp trượt đỉnh để đưa chân đường vng góc Đặc biệt : Nếu tam giác ABC vng A S ABC tứ diện vng để tính khoảng cách từ A tới mặt (SBC) ta sử dụng tính chất sau tứ diện vuông: Giả sử OABC tứ diện vuông O (OA ⊥OB , OB ⊥OC , OC ⊥OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) A Khi đường cao OH tính cơng thức: 1 1 = + + 2 O H O A O B OC Chứng minh Giả sử AH ∩ BC= D, OH ⊥( ABC )⇒ OH ⊥ BC H O C (1) OA ⊥OB , OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥OD Trong tam giác vng OAD OBC ta có 1 1 1 = + , = + 2 2 O H O A O D O D O B O C2 D B Vì 1 1 = + + 2 O H O A O B OC Mục tiêu áp dụng phương pháp sử dụng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ đỉnh tam diện vuông đến mặt huyền áp dụng tính chất Sau tơi xin trình bày số phương pháp để giải tốn khoảng cách khơng gian: 3.1 Phương pháp tính trực tiếp: Xác định hình chiếu H O () tính OH * Phương pháp chung - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với () - Tìm giao tuyến  (P) () - Kẻ OH   ( H ∈ Δ) Khi d (O ,(α ))=OH Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy Ví dụ (Đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH=a √ Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Lời giải Ta có: ΔMAD= ΔNCD ⇒ g óc( ADM )=g óc (DCN ) ⇒ MD ⊥ NC Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MD ⊥ SH ⇒ MD ⊥ ( SHC ) Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) S Suy HK đoạn vng góc chung DM SC nên d ( DM , SC )=HK Ta có: C D2 a = CN √ SH ⋅ HC 3a HK = = √ ⋅ 2 √ S H + H C √19 HC= K N A D H M B C Vậyd ( DM , SC )= √3 a √19 3.2 Phương pháp trượt đỉnh Đây phương pháp quan trọng áp dụng nhiều giải toán khoảng cách không gian Khi áp dụng phương pháp ta thường đưa điểm cần tính khoảng cách chân đường vng góc hình chóp thơng qua quy tắc đổi điểm để tìm khoảng cách cần tính Ý tưởng phương pháp cách trượt đỉnh O đường thẳng đến vị trí thuận lợi O ' , ta quy việc tính d (O ,(α )) việc tính d (O ' ,(α )) Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () M, N   d ( M ;( α ))=d (N ;(α )) Kết 2.(Quy tắc đổi điểm) Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () điểm I M, N   (M, N không trùng với I) thì: d ( M ; (α )) MI = d (N ;( α )) ¿ Đặc biệt: Nếu M trung điểm NI d ( M ;( α ))= d (N ; (α )) Nếu I trung điểm MN d ( M ;( α ))=d (N ;(α )) Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, ^ BAD=6 00, có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Lời giải S a Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK ) Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒OH ⊥ ( SBC ) F ⇒ d ( O , ( SBC ) )=OH a Ta có ΔABD ⇒ BD=a ⇒ BO= ; AC=a √ Trong tam giác vng OBC có: 1 13 a 39 = + = ⇔ OK = √ O K2 O B2 O C2 a2 E 13 Trong tam giác vng SOK có: H A K O B D 1 16 a = + = ⇔OH = √ 2 OH OS O K 3a a Vậy d ( O , ( SBC ) ) =OH = √ b Ta có AD /¿ BC ⇒ AD /¿ ( SBC ) ⇒d ( AD , ( SBC ) )=d ( E , ( SBC ) ) Kẻ EF /¿ OH ( F ∈ SK ) DoOH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( AD , ( SBC ) )=d ( E , ( SBC ) ) =EF=2 OH = D B a √3 Ở ý (b) ta cịn sử dụng phép trượt đỉnh để làm sau C 10 Ta có AD /¿ BC ⇒ AD /¿ ( SBC ) ⇒d ( AD , ( SBC ) )=d ( E , ( SBC ) ) Do EO ∩ ( SBC ) =K d ( E , ( SBC ) ) EK a = =2 ⇔d ( E , ( SBC ) )=2 d ( O , ( SBC ) ) = √ nên d ( O , ( SBC ) ) OK Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mp(ABCD) SA = a √ O tâm hình vng ABCD a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC); b Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC); c G1 trọng tâm ∆SAC Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB I Tính khoảng cách từ điểm G1 đến mp(SBC), khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC); d J trung điểm SD, tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC); e Gọi G2 trọng tâm ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(SBC); Lời giải a Kẻ AH  SB(1); Ta có SA  AD ( SA(ABCD)) Mà AB  AD (ABCD hình vng) suy AD  (SAB) Vì BC // AD nên BC  (SAB) Lại có AH  (SBC) nên BC  AH (2) Từ (1) (2) ta suy AH  (SBC) Khi d(A, (SBC)) = AH Xét ∆SAD vuông A Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có 1 1 = + = 2+ 2 2 AH S A AB 3a a a Suy AH = √ b O trung điểm AC nên d(O, (SBC)) = d(A,(SBC)) hay 11 a d(O,(SBC)) = √ c G1 trọng tâm ∆SAC nên S G1 = Khi SO d (G ,( SBC ))= d (O ,(SBC )) hay d (G1 ,( SBC ))= a √ = a √ 3 a Vì G1I // SB nên d(I, (SBC)) = d(G1, (SBC)) = √ d J, O trung điểm SD, DB nên JO đường trung bình tam giác SDB Suy JO // SB a Do d ( J ,( SBC ))=d (O ,(SBC ))= √ C G2 = e G2 trọng tâm ∆SDC nên CJ 2 a a Khi d (G2 ,( SBC ))= d (J ,(SBC ))= √ Vậy d (G2 ,( SBC ))= √ 3 Bài toán phù hợp với học sinh trung bình Ta lược bớt câu hỏi để tốn trở nên phức tạp phù hợp với học sinh giỏi Cụ thể ta có tốn sau: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mp(ABCD) SA = a√ O tâm hình vng ABCD a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) b Gọi J trung điểm SD, G2 trọng tâm ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(SBC) Ví dụ (Đề thi ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC Lời giải: ¿ MP/¿ AD ¿ NC /¿ AD Ta có: ¿ MP= AD ; ¿ NC= AD nên tứ giác MNCP hình bình hành 2 ⇒ MN /¿ ( SAC ) ¿ BO ⊥ SO Do hình chóp SABCD ⇒ ¿ BO ⊥ AC ⇒ BO ⊥ ( SAC ) { { { 1 a ⇒ d ( MN ; AC )=d ( N ; ( SAC ) )= d ( B ; ( SAC ) )= BO = BD= √ 2 4 12 S E M P a A D a O B N C Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA=a √3 vng góc với mặt phẳng (ABCD) a Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) Phân tích: Do OA ∩ ( SBC )=C , nên thay việc tính d ( O , ( SBC ) )ta tính d ( A , ( SBC ) ), tương tự ta quy việc tính d ( G , ( SAC ) ) thông qua việc tính d ( E , ( SAC ) ) hay d ( B , ( SAC ) ) Lời giải a Ta có: OA ∩ ( SBC )=C nên: d ( O, ( SBC ) ) OC S = = d ( A , ( SBC ) ) AC ⇔ d ( O , ( SBC ) )= d ( A , ( SBC ) ) Gọi H hình chiếu A SB ta có: AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) {¿¿ AH ⊥ BC Trong tam giác vng SAB có: 1 a = + = ⇔ AH = √ AH SA 2 G H A D F E O AB 3a 1 a ⇒ d ( O , ( SBC ) )= d ( A , ( SBC ) ) = AH = √ 2 C B b Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB Do EG ∩ ( SAB )=S nên d ( G , ( SAC ) ) GS 2 = = ⇔d ( G , ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) d ( E , ( SAC ) ) ES {¿ BO ⊥ AC Ta có: ¿ BO ⊥ SA ⇒BO ⊥ ( SAC ) ; BE ∩ ( SAC ) =A 1 a 2 a a ⇒ d ( E , ( SAC ) )= d ( B , ( SAC ) ) = BO= √ ⇒ d ( G , ( SAC ) )= ⋅ √ = √ 2 4 13 3.3 Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích Ở phương pháp thơng qua tính thể tích khối đa diện ta tính khoảng cách Cơ sở phương pháp dựa vào nhận xét: 3V Thể tích khối chóp V = S h ⇔ h= S Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a √ Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) S Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP dễ dàng Vậy ta nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) việc tính thể tích M N khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) thay khoảng cách từ C D P đến (SAB) Lời giải O A Gọi O tâm hình vng ABCD, B SO  (ABCD) 1 a2 √ M, N trung điểm SA SB nên S AMN = S ANS= S AB S= PC/¿ ( AMN )⇒ d ((P ,( AMN )) ) =d ((C ,(AMN )) ) 1 Vậy:V P AMN = S AMN d (( P ,( AMN )) )= S|¿|.d ((C ,( AMN )))= V 4 1 C |¿|= V S ABC = S ABC SO ¿ 4 16 ¿ a S ABC = a , SO=√ S A 2−A O2= √ 2 Vậy V AMNP = V PAMN 1 a √ a3 √ ⇒ d ( (P , ( AMN )) )= =a a = S AMN 12 2 48 Ta sử dụng quy tắc đổi điểm để làm sau: CO ∩ ( AMN ) =A d ( C , ( AMN )) nên d ( O , ( SBC ) ) = √ CA =2 ⇔ d ( C , ( AMN ) ) =2 d ( O , ( AMN )) OA 3.4 Phương pháp sử dụng tính chất tứ diện vng Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O (OA ⊥OB , OB ⊥OC , OC ⊥OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức 1 1 = + + 2 O H O A O B OC C 14 Ví dụ Cho lăng trụ ABC A ' B' C ' có tất C' cạnh a Gọi M, N trung điểm AA ' BB' Tính khoảng cách B' M B' CN Phân tích Để tính khoảng cách B' M N CN ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với D B' M , ta dùng phép trượt để quy việc C tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng O việc tính khoảng cách tứ diện vng B Lời giải Gọi O, D trung điểm BC CN OACD tứ diện vng O AMB ' N hình bình hành ⇒ NA /¿ B ' M Mặt phẳng (ACN) chứa CN song song với B' M nên A' M A d ( B ' M , CN )=d ( B ' M ,( ACN ))=d( B ' ,( ACN ))=d ( B ,( ACN ))=2 d (O ,( ACD))=2 h Áp dụng tính chất tứ diện vng ta 1 1 64 a = + + = ⇔ h= √ Vậy d ( B ' M , CN )= a √3 h2 O A2 O C O D a2 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CM A ' D Lời giải Gọi N trung điểm BB' D' C' A ' NCM hình bình hành nên A ' N /¿ CM Mặt phẳng ( A ' ND) chứa A ' D song song với CM nên A' B' M d (CM , A ' D)=d (CM ,( A ' ND)) ¿ d (M ,( A ' ND))=d ( M ,( A ' DE )) E=AB ∩ A ' N với O G D N Gọi O= AD ' ∩ A ' D, G= AD ' ∩ AM G A B trọng tâm tam giác ADD ' d ( M ,(A ' DE)) GM Do d ( A ,( A ' DE)) = GA = Tứ diện AA ' DE vuông A nên 1 1 2a = + + = ⇒ d ( A ,( A ' DE))= 2 2 d (A ,( A ' DE)) AA ' A D A E a a Vậy d (CM , A ' D)=d (M ,( A ' DE ))= d (A ,( A ' DE))= 3.5 Sử dụng phương pháp tọa độ * Phương pháp: Bước 1: Chọn hệ toạ độ Oxyz gắn với hình xét C E 15 Bước 2: Chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ toạ độ Bước 3: Giải tốn phương pháp toạ độ, chuyển sang ngôn ngữ hình học Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng công thức sau: | A x + B y 0+ C z 0+ D| d ( M ;( α ))= √ A 2+ B2 +C với M (x ; y ; z ), (α ): Ax+ By+Cz + D=0 d ( M , Δ)=¿ ¿ với  đường thẳng qua A có vectơ phương u⃗ d ( Δ , Δ' )=¿ ¿ với Δ' đường thẳng qua A ' có vtcp ⃗ u ' Ví dụ Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng ( α )bất kì qua đường chéo B’D a Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) b Xác định vị trí mặt phẳng ( α ) cho diện tích thiết diện cắt mp( α ) hình lập phương bé A N B z Phân tích: Với hình lập phương ta ln chọn hệ toạ độ thích hợp, tạo độ đỉnh biết D C H nên việc tính khoảng cách hai mặt y phẳng (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính diện A' B' tích thiết diện việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’ x Lời giải D' C' M Chọn hệ toạ độ cho gốc toạ độ O ≡ D ' ( ; ; 0) A ' ( ; ; ) , B ' ( 1; ; ) , C ' ( ; ; ) , A ( ; ; ) ,C (1 ; ; )Gọi M điểm đoạn thẳng C’D’, tức M ( x ; ; ) ; ≤ x ≤1 a Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) ⇒ d ( ( ACD ' ) , ( A ' BC ' ) )=d ( A ' , ( ACD ' ) ) Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y−z=0 ⇒ d ( ( ACD ' ) , ( A ' BC ' ) )=d ( A ' , ( ACD ' ) ) = √3 b Giả sử ( α ) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có mặt đối diện song song với nên( α ) cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N// DM DN//MB’ Vậy thiết diện hình bình hành DMB’N Gọi H hình chiếu M DB’ Khi đó: S DMB ' N =DB ' ⋅ MH =DB ' ⋅ d ( M , DB ' ) Ta có: DB ' =√ 16 d ( M , DB ' )= |[⃗ MD ; ⃗ DB ' ]| √2 x 2−2 x +2 = √3 |⃗ DB '| 1 3 Dấu đẳng thức xảy x= S DMB ' N =√2 x −2 x+2= x− + ≥ 2 2 √( ) √ Nên diện tích S DMB ' N nhỏ M ; ; , hay M trung điểm D’C’ ( ) Hoàn toàn tương tự M ( 0; y ; ) ⇒ M ; ; Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ M trung điểm D’C’ M trung điểm D’A’ Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) , SA=a Gọi M điểm di động cạnh CD Xác định vị trí M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ Lời giải Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ( ) O ≡ A ( ; ; ) , B ( ; ; ) ,C ( 1; ; ) , D ( ; ; ) , S ( 0; 0; ) M điểm di động CD nên M ( t ; 1; ) với ≤ t ≤1 ⃗ BM = ( t−1 ; ; ) |[ S⃗B , ⃗ BM ]| t 2−2t +3 ( ) d S , BM = = |⃗ BM | t −2t ++2 √ t −2t +3 Xét hàm số f ( t )= [0;1] t −2 t++2 f ' ( t )= −2 ( t−1 ) ( t 2−2 t+2 ) Ta có bảng biến thiên: 17 Từ bảng biến thiên ta có f ( t )= , đạt t = [ ;1] max f (t )=2, đạt t = [ ;1 ] Do d ( S , MB ) lớn M ≡ C∧d ( S , BM ) =√ d ( S , MB ) nhỏ M ≡ D∧d ( S , BM )= √ 3.6 Sử dụng phương pháp véc tơ Ví dụ (Đề thi ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC Lời giải: S E M P a A N → ❑ → ❑ a O B ❑ D C → Đặt : OA =a , OB =b , OS=c → → → → → → → → → Ta có : a c =0, b c =0, a b =0 1 ⃗ MN =⃗ MA+ ⃗ AC + ⃗ CN = ⃗ SD+ ⃗ AC+ ⃗ CB 2 1 ⃗ ⃗ ⃗ ¿ (⃗ SO+ O D )+⃗ AC + ( C O+ OB ) ¿− ⃗a − ⃗c 2 2 ❑ → → AC =−2 a Gọi PQ đoạn vng góc chung MN AC , ta có: 18 ⃗ PQ =⃗ PM +⃗ MA +⃗ AQ=x ⃗ MN + ⃗ SD+ y ⃗ AO −3 1 1 ¿x a⃗ − ⃗c + ( −⃗c −b⃗ )− y ⃗a ¿− y + x ⃗a− ( x +1 ) ⃗c − ⃗b 2 2 2 ( ) ( ) 3 2 ¿ y + x a⃗ + ( x +1 ) ⃗a =0 ¿ x=−1 ⃗ ⃗ ¿ PQ ⋅ MN =0 ⇒ 2 ⇒ ¿ y= ¿⃗ PQ ⋅ ⃗ AC =0 2 ¿ y + x a⃗ =0 { { ( ) ( { ) −1 ⃗ a2 a √2 2 ⃗ ⇒ PQ= b ⇒ P Q = O B = ⇔ PQ= * Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc quan trọng giải toán phương pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải ba véc tơ không đồng phẳng + Hệ véc tơ gốc nên hệ véc tơ mà chuyển u cầu tốn thành ngôn ngữ véc tơ cách đơn giản Mỗi phương pháp tơi đưa vài ví dụ điển hình Tuy nhiên với tốn khơng phải có cách mà có nhiều cách Quan trọng ta dùng cách để giải để tìm kết nhanh nhất, xác mà em thi toán theo hướng trắc nghiệm Sau tơi xin trình bày số ví dụ với cách giải khác để tham khảo giúp em xác định phương pháp tối ưu giải tốn khoảng cách Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a √ Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK) Phân tích Khối chóp AOHK ASBD có chung đỉnh, đáy nằm mặt phẳng nên ta tính thể tích khối chóp OAHK, tam giác AHK cân nên ta tính diện tích Lời giải V OAHK = S AHK d ( O; ( AHK ) ) S Trong đó: +1 1 a = + = ⇒ AH = √ ; 2 AH AB A S 2a ΔSAD=ΔSAB ⇒ AK = AH = a √6 Ta có HK BD đồng phẳng vng góc với SC nên HK // BD AI cắt SO G trọng tâm tam giác SAC, G thuộc HK nên J G I K D H A O B C 19 HK SG 2 2a = = ⇒ HK = BD= √ Tam giác AHK cân tai A, G trung BD SO 3 2 1 2a điểm HK nên AG  HK AG= AI = SC= 2a= 1 a √2 a √ 2a S AHK = AG HK = = 2 3 1 +V OAHK =V AOHK = d ( A ; ( OHK ) ) S ΔOHK = d ( A ; ( SBD ) ) S ΔOHK = h S ΔOHK 3 Tứ diện ASBD vuông A nên: 1 1 a 10 = + + = ⇒ h= √ h2 A S2 A B2 A D2 a2 Tam giác OHK cân O nên có diện tích S 1 a √10 √2 a √ a2 √ a3 S= OG HK = = ⇒V = S h= 2 OAHK 27 √ 2a V OAHK ⋅ 27 a ⇒ d ( O ; ( AHK ) )= = = S AHK 2√ a Cách 2: Ta chứng minh V OAHK = V SABD 1 2 Ta có: HK = BD ; OG= SO ⇒ SOHK = HK ⋅OG= ⋅ BD ⋅ SO= S SBD 2 1 a3 √ ⇒ V AOHK = V SABD = ⋅ SA ⋅ AB ⋅ AD= 9 27 Cách 3: Giải phương pháp tọa độ sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O  A, B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; ; a √ 2) a a a a √2 2a a √2 ;0; Tính SH, SK suy tọa độ H ; ; ,K , O ; ;0 3 3 ( ) ( ) ( ) AH , ⃗ AK ] ⃗ AO| Áp dụng công thức V = |[ ⃗ Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vng góc hạ từ O xng (AHK) xác định theo phương SC * AH  SB, AH  BC (do BC  (SAB))  AH  SC Tương tự AK  SC Vậy SC  (AHK) * Giả sử (AHK) cắt SC I, gọi J trung điểm AI, OJ // SC  OJ  (AHK) SA = AC = a √  SAC cân A  I trung điểm SC 1 a Vậy OJ= IC= SC= a= Ví dụ (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a , AD=a √ Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) 20 trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Phân tích Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 vị trí thuận lợi C quy việc tính d ( B1 ; ( A BD ) ) thành tính d ( C ; ( A BD ) ) Lời giải B1 * Gọi O giao điểm AC BD ⇒ A1 O⊥ ( ABCD ) Gọi E trung điểm AD A1 D1 ⇒ OE ⊥ AD∧ A1 E ⊥ AD ⇒ goc ( A EO )=6 0 A1 O=OE tan(¿ A1 EO)= a √3 ¿ S ABCD =a2 √ 3; B C K 3a V ¿ = A1 O S ABCD = * Tính d ( B1 ; ( A BD ) ): O H A E Cách 1: Do B1C // (A1BD)⇒ d ( B1 ; ( A BD ) ) =d ( C ; ( A BD ) ) Hạ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ ( A1 BD ) ⇒ d ( C ; ( A BD ) ) =CH = D CB CD a = √ 2 √C B +C D Cách 2: d ( B1 ; ( A BD ) ) =d ( C ; ( A1 BD ) ) =d ( A ; ( A BD ) )= V A ABD S A BD 1 a 1 a √3 a2 √ ⋅2 a= Trong đó: V A ABD = V ¿ = ; S Δ A BD = A O BD= ⋅ 2 2 a 3⋅ a √3 ⇒ d ( B1 ; ( A BD ) ) = = a √3 1 Ví dụ (Đề thi đại học khối D năm 2007) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ^ ABC= ^ BAD=9 00 , BA=BC=a, AD=2 a Cạnh bên SA vng góc với đáy S SA=a √ Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD) N Lời giải E H Cách 1: D K A Q P B M C C1