Bài tập xác xuất thống kê (hay)

Bài tập xác xuất thống kê (hay)

1

BÀI TẬP CHO MÔN HỌC XÁC SUẤT - THỐNG KÊ

PHẦN TÍNH TOÁN CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG MẪU

1-So sánh số trung bình về tiền lương giữa 2 nhóm công nhân ?

2-So sánh độ lệch chuẩn về tiền lương giữa 2 nhóm công nhân ?nhận xét

Phân tích dữ liệu bằng các tham số : số trung bình , phương sai

Bài 4 Có tài liệu về tuổi của các học viên 2 lớp đại học tại chức năm thứ 1 tại 1 trường đại học :

Số học viên Tuổi

Lớp Kế toán Lớp quản trị kinh

1-Tính số trung bình về tuổi của học viên từng lớp ?

2-So sánh độ lệch chuẩn về tuổi giữa 2 lớp ?

3 So sánh hình dáng phân phối của hai tập dữ liệu tuổi này

2

4 Bao nhiêu phần trăm học viên có tuổi trong tầm 30-34 tuổi

Bài 5

Có tài liệu về lượng nước tiêu thụ (m3/tháng) của 200 hộ gia đình tại huyện X như sau:

Lượng nước tiêu thụ (m3/tháng) Số hộ

1- Tính lượng nước tiêu thụ trung bình của các hộ gia đình tại huyện này trong 1 tháng ?

2 Tính biến thiên của lượng nước tiêu thụ của các hộ gia đình tại huyện này trong 1 tháng ?

3 Vẽ biểu đồ Histogram mô tả hình dáng phân phối về lượng nước tiêu thụ, nhận xét

1-Hãy phân tích dữ liệu bằng các tham số : số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn ?

2- Hãy đánh giá hình dáng phân phối của tập dữ liệu về năng suất lao động này

3- Mức năng suất nào phổ biến nhất, chiếm bao nhiêu % số công nhân có năng suất đó Bài 7

Chiều cao của trẻ em tại một trường học được lập bảng như sau

Tính khả năng chọn ngẫu nhiên được một trẻ có chiều cao trên 150cm trong trường này Tính khả năng chọn ngẫu nhiên được một trẻ có chiều cao trên 120-130cm trong trường này Bài 8

Ban biên tập của một tờ báo ngày A tiến hành khảo sát 200 người về số tờ báo A mà họ đã đọc trong tuần

1- Tính trung bình và phương sai của số tờ báo dân cư ở đây đọc mỗi tuần

2- Các đáp số tìm được có tính thực tế hay không?

PHẦN ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Bài 9

Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) vào một bàn dài 6 chỗ

a) có bao nhiêu cách?

b) Có bao nhiêu cách sao cho ngồi 2 đầu bàn là 2 học sinh nam

c) Có bao nhiêu cách sao cho ngồi hai đầu bàn là 1 nam, 1 nữ

d) Có bao nhiêu cách sao cho nam nữ ngồi xen kẽ

ĐS : a 720 b 144 c 432 d 72

Bài 10

Biển đăng kí xe gắn máy gồm 2 phần: phần chữ gồm hai chữ cái và phần số gồm 4 chữ số chẳng hạn AE 1612 và không được sử dụng chữ số 0

a) có thể đăng kí được bao nhiêu xe?

b) có bao nhiêu biển số mà phần số là một số chẵn?

c) có bao nhiêu biển số mà gồm các chữ và các số hoàn toàn khác nhau?

d) giải quyết lại câu a với điều kiện mở rộng hơn là chỉ không dùng những biển có 4 số 0 liền nhau

a) Có bao nhiêu cách thực hiện việc này?

b) Có bao nhiêu cách thực hiện nếu ai đã đã tham gia ca thì không tham gia múa?

3

30C C C

4

Bài 13

Lớp có 50 sinh viên trong đó có A và B

a) có mấy cách để cử 4 sinh viên đi du học ở cùng một đất nước?

b) ở 4 nước khác nhau mỗi nước có một người?

c) ở 4 nước khác nhau một nước một người, trong 4 người có A và B?

b có mấy cách xếp để số chẵn luôn cạnh nhau

2!*3! 3*(2!*3!) 48+ = ( Giải thích vì số cách sắp xếp ở phần tử đầu tiên là số chẵn thì phần tử thứ 2 bắt buộc là số chẵn có , các số lẻ còn lại là một hoán vị của 3 phần tử (1,3,5)

c có mấy cách xếp để số chẵn và số lẻ riêng biệt

2 Th xảy ra

Th1 Số chẵn sắp trước sau đó mới đến số lẻ : 2!*3!=12

Th2: Số lẻ đứng trước sau đó mới đến số chẵn: 3!*2!=12

Vậy có 12+12=24 cách xếp để số chẵn và số lẻ riêng biệt

Một em bé có 5 chữ số đồ chơi tiện bằng gỗ 1, 2, 3, 4, 5 tính xác suất

a Em bé này nhặt ngẫu nhiên 3 chữ số mà tổng các chữ số cộng lại là số chẵn

b Em bé lấy có thứ tự 3 con số đặt cạnh nhau được 1 số chẵn

ĐS: a 6/10 b 2/5

Bài 24

Xếp ngẫu nhiên 5 người lên 1 đoàn tàu có 7 toa, tính xác suất để

a 5 người cùng lên toa đầu

b 5 người lên cùng toa

c 5 người lên 5 toa đầu tiên

d 5 người lên 5 toa khác nhau

e A và B lên cùng toa đầu

Một hộp có 80 tách pha trà,trong đó có 3 cái mẻ miệng, 4 cái gẫy quai và trong những cái này

có 2 cái vừa mẻ miệng vừa gãy quai Lấy ngẫu nhiên 1 cái tách trong hộp Tính xác suất để cái đó có khuyết tật

ĐS : 5/80

Bài 27

Theo thống kê trung bình một năm (365 ngày) có 60 ngày có mưa thật to, 40 ngày có gió thật lớn và 20 ngày có bão (vừa mưa thật to vừa gió thật lớn) tính xác suất để một ngày chọn ngẫu nhiên trong năm là có thời tiết bất thường

ĐS : 80/365

Bài 28

Một thiết bị gồm 3 cụm chi tiết, mỗi cụm bị hỏng không ảnh hưởng gì đến các cụm khác và chỉ cần một cụm hỏng là thiết bị ngừng hoạt động Xác suất để cụm thứ nhất bị hỏng trong ngày làm việc là 0,1, tương tự cho 2 cụm còn lại là 0,5 ; 0,15 Tính xs để thiết bị không bị ngừng hoạt động trong ngày

ĐS : 0,72675

Bài 29

Có 5 linh kiển điện tử, xác suất để mỗi linh kiện hỏng trong một thời điểm bất kì lần lượt là 0,01; 0,02; 0,02; 0,01; 0,04 5 linh kiển đó được lắp vào mạch theo các sơ đồ dưới đây Trong mỗi trường hợp hãy tính xác suất để trong mạch có dòng điện chạy qua

là 90% của nhà máy thứ 2 là 85% Lấy ngẫu nhiên một chi tiết trên dây chuyền và thấy rằng

nó tốt, tìm xác suất để chi tiết đó do nhà máy thứ nhất sản xuất

Một cửa hàng máy tính chuyên kinh doanh 3 loại nhãn hiệu là IBM, Dell và Toshiba Trong

cơ cấu hàng bán, máy IBM chiếm 50%; Dell 30% và còn lại là máy Toshiba Tất cả máy bán

ra có thời hạn bảo hành là 12 tháng Kinh nghiệm kinh doanh của chủ cửa hàng cho thấy 10% máy IBM phải sửa chữa trong hạn bảo hành; tỷ lệ sản phẩm cần sửa chữa của hai hiệu còn lại lần lượt là 20% và 25%

a Nếu có khách hàng mua một máy tính, tìm khả năng để máy tính của khách hàng đó phải đem lại sửa chữa trong hạn bảo hành

b Có một khách hàng mua máy tính mới 9 tháng đã phải đem lại vì có trục trặc, tính xác suất mà máy của Khách này hiệu Toshiba

ĐS: a Công thức đầy đủ b Công thức Bayes

Bài 36

Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta chọn mẫu ngẫu nhiên 200 khách hàng, cho thử

về sản phẩm mới, phỏng vấn họ thì có 34 người trả lời “sẽ mua”, 96 người trả lời “có thể

8

mua”, 70 người trả lời “không mua” Kinh nghiệm sale của công ty cho biết là khoảng 40% khách hàng trả lời “sẽ mua” sẽ thực sự mua sản phẩm đó, tương ứng là 20% và 1% cho hai cách trả lời còn lại

Yêu cầu

a Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm mới

b Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm của công ty, bao nhiêu % thuộc nhóm trả lời chắc “sẽ mua”

ĐS: a Công thức đầy đủ 16,75% b Công thức Bayes 0,406

Bài 37

Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p=0,7

a Bắn liên tiếp 3 viên, tính xác suất để có ít nhất một lần trúng bia

b Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất 1 lần trúng bia ≥ 0,9

a tính xs để anh ta giải được 3 bài

b tính xs để anh ta giải được ít nhất một bài

c tính số bài có khả năng nhất mà anh này giải được

9

Nguồn tham khảo

Sách Xác suất Thống kê của PGS Đặng Hấn, NXB Thống kê

Bài tập Xác suất Thống kê của PGS Đinh Ngọc Thanh, lưu hành nội bộ

Bài tập Thống kê ứng dụng của Đinh Bá Nhẫn, Trần Thái Hoàng, NXB Thống kê

Xác định biến ngẫu nhiên

Bài 1 Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng

Bài 2 Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với

b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi

Bài 3 Trọng lượng của một con vịt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính là

(i) trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi,

(ii) hàm phân phối xác suất của X,

(iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt 6 tháng tuổi chậm lớn là vịt có trọng lượng nhỏ hơn 2Kg

Bài 4 Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng

b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng ,

Vectơ ngẫu nhiên

Bài 6 Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu

nhiên có phân bố xác suất là

a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y

a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y

b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y

c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y

Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Bài 8 Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như

Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và ρ(X, Y)

Bài 10 Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau

Bài 11 Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang

số 2, 3 bi mang số 3 Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số

3 Rút từ mỗi hộp 1 bi Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút

ra từ hộp hai

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của V =(X, Y)

b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y

c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y

d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan

Bài 12 Tung ba lần độc lập một con xúc xắc Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y

là số lần mặt lẻ xuất hiện

a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y

b) Tính hệ số tương quan ρ(X, Y) Nhận xét?

d) A =3, µX =3

2, σ =

2 X

2 b) M od x[ ]=0, M e x[ ]=0,  π

Vectơ ngẫu nhiên

a) µX = −0.467, µY =0, cov(X, Y)= 0, ρ(X, Y)= 0 b) X và Y độc lập

X 0 1 2 3

PX 0.125 0.375 0.375 0.125

PY 0.125 0.375 0.375 0.125 b) ρ(X, Y)= −1, X và Y phụ thuộc chặt, nghịch biến

1

Bài 1 Có 8000 sản phẩm trong đó có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Lấy

ngẫu nhiên (không hoàn lại) 10 sản phẩm Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn

Bài 2 Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn, kỳ

vọng 20mm, phương sai 2

(0, 2mm) Lấy ngẫu nhiên 1 chi tiết máy Tính xác suất để a) có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm,

b) có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3mm

Bài 3 Một máy dệt có 4000 ống sợi Xác suất để mỗi ống sợi bị đứt trong 1 phút là

0,0005 Tính xác suất để trong 1 phút

a) có 3 ống sợi bị đứt,

b) có ít nhất 2 ống sợi bị đứt

Bài 4 Một cửa hàng cho thuê xe ôtô nhận thấy rằng số người đến thuê xe ôtô vào ngày

thứ bảy cuối tuần là một đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số 2

λ = Giả sử cửa hàng có 4 chiếc ôtô Hãy Tìm xác suất để

a) không phải tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê,

b) tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê,

c) cửa hàng không đáp ứng được yêu cầu,

d) trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê,

e) cửa hàng cần có ít nhất bao nhiêu ôtô để xác suất không đáp ứng được nhu cầu thuê bé hơn 2%

Bài 5 Một tổng đài bưu điện có các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc

lập với nhau và có tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút Tìm xác suất để

a) có đúng 5 cuộc điện thoại trong 2 phút,

b) không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây,

c) có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây

Bài 6 Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong một cuộc bầu cử là 60% Người ta hỏi ý

kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên Gọi X là số người bỏ phiếu cho A trong

Bài 7 Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là 0.02

a) Tính xác suất để trong 10 sản phẩm do máy sản xuất có không quá 1 phế phẩm

2

b) Một ngày máy sản xuất được 250 sản phẩm Tìm số phế phẩm trung bình và số phế phẩm tin chắc nhất của máy đó trong một ngày

Bài 8 Một máy sản xuất ra sản phẩm loại A với xác suất 0.485 Tính xác suất sao có

trong 200 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 95 sản phẩm loại A

Bài 9 Xác suất để một máy sản xuất ra sản phẩm loại A là 0.25 Tính xác suất để trong

80 sản phẩm do máy sản xuất ra có từ 25 đến 30 sản phẩm loại A

Bài 10 Gieo 100 hạt giống của một loại nông sản Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0.8

Tính xác suất để có ít nhất 90 hạt nảy mầm

Bài 11 Một sọt cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư Lấy ngẫu nhiên ra 3 trái

a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư

b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư

c) Tính xác suất lấy được ít nhất 1 trái hư

d) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư

Bài 12 Giả sử tỷ lệ dân cư mắc bệnh A trong vùng là 10% Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm 400

người

a) Viết công thức tính xác suất để trong nhóm có nhiều nhất 50 người mắc bệnh A b) Tính xấp xỉ xác suất đó bằng phân phối chuẩn

Bài 13 Một nhà xã hội học cho rằng 12% số dân của thành phố ưa thích một bộ phim A

mới chiếu trên tivi Để khẳng định dự đoán này, ông ta chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm

500 người để hỏi ý kiến và thấy 75 người trả lời ưa thích bộ phim đó Tính xác suất để trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người, số người ưa thích bộ phim ít nhất là 75 nếu giả thuyết p = 12% là đúng

Bài 14 Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Bài 15 Xác suất để một con gà đẻ trong ngày là 0,6 Nuôi 5 con

1) Tính xác suất để trong một ngày :

a) không con nào đẻ,

3

Bài 16 Sản phẩm sau khi hoàn tất được đóng thành kiện, mỗi kiện gồm 10 sản phẩm với

tỷ lệ thứ phẩm là 20% Trước khi mua hàng, khách hàng muốn kiểm tra bằng cách từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm

a) Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra

b) Nếu cả 3 sản phẩm được lấy ra đều là sản phẩm tốt thì khách hàng sẽ đồng ý mua kiện hàng đó Tính xác suất để khi kiểm tra 100 kiện có ít nhất 60 kiện được mua

Bài 17 Xác suất trúng số là 1% Mỗi tuần mua một vé số Hỏi phải mua vé số liên tiếp

trong tối thiểu bao nhiêu tuần để có không ít hơn 95% hy vọng trúng số ít nhất 1 lần (cho l g 99=1, 9956 ; l g 5=0, 6990)

Bài 18 Bưu điện dùng một máy tự động đọc địa chỉ trên bì thư để phân loại từng khu vực

gởi đi, máy có khả năng đọc được 5000 bì thư trong 1 phút Khả năng đọc sai 1 địa chỉ trên bì thư là 0,04% (xem như việc đọc 5000 bì thư này là 5000 phép thử độc lập)

a) Tính số bì thư trung bình mỗi phút máy đọc sai

b) Tính số bì thư tin chắc nhất trong mỗi phút máy đọc sai

c) Tính xác suất để trong một phút máy đọc sai ít nhất 3 bì thư

Bài 19 Xác suất để một máy sản xuất ra một phế phẩm là 0.001 Tính xác suất để trong

4000 sản phẩm do máy này sản xuất ra có không quá 5 phế phẩm

Bài 20 Tại một điểm bán vé máy bay, trung bình trong 10 phút có 4 người đến mua vé

Tính xác suất để:

a) Trong 10 phút có 7 người đến mua vé

b) Trong 10 phút có không quá 3 người đến mua vé

Bài 21 Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2000 được coi như 1 đại lượng ngẫu

nhiên phân phối theo quy luật chuẩn Theo đánh giá của uỷ ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác suất 0,1587, và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228 Vậy khả năng đầu

tư mà không bị thua lỗ là bao nhiêu?

N ( cm ; (0, 2cm) )µ Sản phẩm coi là đạt nếu độ dài sai lệch so với độ dài trung bình không quá 0,3cm

a) Tính xác suất chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm yêu cầu

b) Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tính xác suất có ít nhất 2 sản phẩm đạt yêu cầu

Bài 23 Trọng lượng của 1 loại trái cây có quy luật phân phối chuẩn với trọng lượng

trung bình là 250g, độ lệch chuẩn về trọng lượng là 5g Một người lấy 1 trái từ trong sọt trái cây ra

a) Tính xác suất người này lấy được trái loại 1 (trái loại 1 là trái có trọng lượng > 260g)

b) Nếu lấy được trái loại 1 thì người này sẽ mua sọt đó Người này kiểm tra 100 sọt, tính xác suất mua được 6 sọt