ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TỈNH ĐỒNG THÁP

ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP

HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TÓAN

NGUYỄN HỒNG LẬP TRƯỜNG THPT CHÂU THÀNH 2

NGÔ PHONG PHÚ CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU

TRẦN THỊ THU THỦY THPT TP CAO LÃNH

CHUYÊN ĐỀ : ÔN THI ĐẠI HỌC NH 2013-2014 Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và bài toán liên quan

1) Hàm số y = f(x) có cực trị  y’ đổi dấu

2) Hàm số y = f(x) không có cực trị  y’ không đổi dấu

3) Hàm số y = f(x) chỉ có một cực trị  y’ đổi dấu một lần

4) Hàm số y = f(x) chỉ có hai cực trị y’ đổi dấu hai lần

5) Hàm số y = f(x) chỉ có ba cực trị  y’ đổi dấu ba lần

6) Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x0 nếu 0

Chú ý : đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại

đó đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định

2 Một số hàm số thường gặp.

a) Hàm số bậc ba: y = ax3+bx2+cx+d

y’= 3ax2+2bx+c Đặt g(x) = 3ax2+2bx+c

(1) Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với Ox:

Hàm số có hai cực trị trái dấu  '

0 Gọi M1(x1;y1), M2 (x2,y2) là hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị

Đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu ở hai phía đối với ( D ) 

1 2

' 00

1 2

' 00

(2) Hàm số có đúng một cực trị  (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0b =

y’ = 0  g(x) = ab’x2+2ac’x+bc’-b’c = 0

(1) Hàm số có cực đại và cực tiểu  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

(1) Ta có f’(x1) = 0, f’(x2) = 0 Suy ra giá trị cực trị là: 1 1

( )( )

y = x+ là phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực trị của ( C )

( ) '( ) 2( )

'

ax b a

 Vậy

y = 2

'

ax b a



là phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực trị của ( C )

B2 Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị ( C ).

1 Vẽ đồ thị ( C1) : y1= f x( ) Ta có : y1= f x( ) nê f(x) 0f x( ) nê f(x)<0u u 



 Vì y10 nên ( C1) nằm ở

phía trên trục Ox Đồ thị ( C1) được suy ra từ đồ thị ( C ) bằng cách:

- Phần ( C ) ở phía trên Ox giử nguyên

- Bỏ phần của ( C ) ở dưới trục Ox và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox

2 Vẽ đồ thị ( C1) : y1= f( x ) Ta có : f( x ) = f( x ) Đây là hàm số chẳn nên ( C1) nhân

trục tung là trục đối xứng Đồ thị ( C1) được suy ra từ đồ thị ( C ) bằng cách:

- Phần của ( C ) ở phía bên phải trục Oy giử nguyên

- Bỏ phần của ( C ) ở phía bên trái trục Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của ( C ) qua trục Oy

3 Vẽ đồ thị ( C1) : y1 = f(x)

a) Nếu y10 thì y1=f(x): ( C1)=(C) trên trục Ox

b) Nếu y10 thì y1= -f(x): ( C1) đối xứng với (C) qua trục Ox Đố thị ( C1) suy từ đồ thị ( C ) bằng cách:

- Phần của ( C ) ở phía trên trục Ox giử nguyên

- Bỏ phần của ( C ) ở phía bên dưới trục Ox và lấy phần đối xứng của ( C ) ở dưới trục Ox qua trục Ox

4 Cho đồ thị hàm số y = q x p x( )( ) có đồ thị ( C ).

4.1 Vẽ đồ thị ( C1) : y1= q x p x( )( ) Ta có : y1=

( )

ê q(x)>0( )

( )

ê q(x)<0( )

- Bỏ phần của ( C ) ở ở miền q(x)<0 và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox.

( )

ê p(x)<0( )

- Phần của ( C ) ở miền p(x) 0 giử nguyên

- Bỏ phần của ( C ) ở ở miền p(x)<0 và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox

Chú ý : dạng toán này thường đi kèm với biện luận số nghiệm của phương trình có chứa dấu

giá trị tuyệt đối

B3 Giao điểm và sự tiếp xúc của hai đồ thị Cho hai đồ thị (C1) y =f(x) và ( C2 ) y = g(x)

B3.1 Giao điểm của hai đồ thị Các đồ thị của hai hàm số y =f(x) và y = g(x) cắt nhau tại

điểm M(x0;y0) khi và chỉ khi y0=f(x0) và y0=g(x0) tức (x0;y0) là một nghiệm của hệ phương trình y y g xf x( )( )

- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và ( C2 ) là f(x) = g(x) (1)

- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và ( C2 )

4 ( C ) và Ox tiếp xúc  (1) có nghiệm kép (hoặc bội )

 (2) có hai nghiệm kép hoặc có nghiệm x0

0

0( ) 0

và (Dm): y=(m), y=kx+m là đường chuyển động khi m thay đổi.

- Dựa vào đồ thị, số điểm chung của (CF) và (Dm) chính là số nghiệm của của phương trình (1)

Cách 2: Dựa vào đồ thị ( C ) và phương pháp dời trục Ox, Oy

1 2

' 0 có 2 nghiê pb x ,

(0) 00

1 2

' 0 có 2 nghiê pb x ,

(0) 00

' 0 có 2 nghiê x

(0) 00



1 2 min max

' 0 có 2 nghiê x

(0) 00

Chú ý: vẽ đồ thị minh họa cách giải

Chú ý: Vấn đề khó khăn nhất trong các dạng toán trên là tính ymin.ymax; ta làm theo thứ tự sau: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y = x+

Nếu x1, x2 đơn giản thì tính x1, x2;

Khi đó ymin.ymax= y(x1)y(x2) = (x1+ )(x2+ )

Nếu x1, x2 phức tạp thì áp dụng định lý Viét : ymin.ymax= ( x1+)( x2+) =  P2+  S+

 2

B3.2 Sự tiếp xúc của hai đồ thị Cho hai đồ thị (C1) y =f(x) và ( C2 ) y = g(x)

1 Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x0 Ta nói rằng hai đường cong (C1) y =f(x)

và

( C2 ) y = g(x) tiếp xúc nhau tại điểm M(x0;y0) nếu M là điểm chung của chúng và hai đường cong có tiếp tuyến chung tại điểm M Điểm M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho

 có nghiệm và nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó

II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

1 Dạng 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Phương pháp :

Bước 1 : Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên (1) Giới hạn, tiệm cận ( nếu có) (2) Chiều biến thiên: Đạo

hàm, nghiệm đạo hàm và bảng biến thiên (3) Khoảng đồng biến, nghịch biến (4) Cực đại, cực tiểu

Bước 3: Đồ thị (1) Điểm đặc biệt (2) đồ thị.

Chú ý hàm số bậc ba, trùng phương, nhất biến.

2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.

2.1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) y = f(x)

Phương pháp :

Bước 1 : Dạng pttt y - y0= f’(x0)(x-x0), trong đó hệ số góc k = f’(x0)

Bước 2: Tìm các yếu tố chưa biết x0, y0 và f’(x0)

Bước 3: kết luận.

Chú ý 1) Loại 1: pttt của đồ thị tại một điểm Loại 2: pttt của đồ thị biết hệ số góc Loại 3:

pttt của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm

Chú ý 2) Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc Hai đường thẳng vuông góc thì

tích hệ số góc của chúng bằng -1

Chú ý 3): điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.

2.2 Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.

a Sự tương giao của hai đồ thị ( C1 ) y = f(x) và ( C2 ) y = g(x).

a) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình (1) bằng đồ thị.

Phương pháp :

Bước 1 : Biến đổi pt(1) về dạng f(x) = m (*) hay g(m)=am+b….

Bước 2: Lập luận : số nghiệm của pt là số giao điểm của hai đồ thị (C) và (d) y= m

hay g(m)

Bước 3: Biện luận theo tham số m số nghiệm của pt(1) bằng đồ thị.

Chú ý 1) So sánh tham số m với các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.

b) Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị( C1 ) y=f(x) và (C2) y = g(x).

Phương pháp :

Bước 1 : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường f(x) = g(x) (1)

Bước 2: Lập luận : số nghiệm của pt là số giao điểm của hai đồ thị (C) và (d) y= m

hay g(m)

Bước 3: Biện luận theo tham số m số nghiệm của pt(1) suy ra số giao điểm của hai

đường

Chú ý 1) Giải và biện luận phương trình bậc hai.

c) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị( C1 ) y=f(x) và (C2) y = g(x).

Phương pháp :

Bước 1 : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường f(x) = g(x) (1)

Bước 2: Giải pt (1) tìm nghiệm Lập luận : số nghiệm của pt là số giao điểm của hai

đồ thị

Bước 3: suy ra tọa độ giao điểm của hai đường.

Chú ý 1) Giải và biện luận phương trình bậc hai, bậc ba…

2.3 Định tham số, biết điều kiện cho trước của hàm số hay đồ thị.

Chú ý điều kiện của bài toán về hàm số 1) đồng biến, nghích biến 2) Cực trị:cực đại, cực

tiểu hay giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (lồi, lỏm, điểm uốn ( nâng cao)) 3) Tiệm cận 4) sự tương giao của hai đường : số giao điểm, số nghiệm, tiếp xúc của hai đồ thị…5) điều kiện

Chú ý tính tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2.5 Đồ thị ( C’) hàm số y = g(x) chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa vào đồ thị

( C ) y=f(x).

Phương pháp :

Bước 1 : Xét dấu biểu thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối, suy ra hàm số không còn

dấu giá trị tuyệt đối ( hàm nhiều biểu thức chứa f(x))

Bước 2: Từ đồ thị ( C ) suy ra đồ thị ( C’) bằng phép đối xứng qua các trục.

Bước 3: Vẽ đồ thị (C’).

Chú ý: Đồ thị hàm số chẳn nhân trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhân gốc

tọa độ làm tâm đối xứng Đồ thị hàm số nhất biến nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Chú ý : 1) đồ thị hàm số y =f( x ) là hàm số chẳn đối với x nên nhận trục tung làm trục đối

xứng 2) đồ thị hàm số y = f x( ) 3) y = q x p x( )( ) hoặc y = ( )

( )

p x

2.6 Dạng khác của bài toán có liên quan đến khảo sát hàm số.

III MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Vấn đề : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

 Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( ) ax2bx c a (  0):

+ Nếu  < 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a.

+ Nếu  = 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a (trừ x b

a

 )+ Nếu  > 0 thì g x( ) có hai nghiệm x x1, 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g x( ) khác dấu

với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x( ) cùng dấu với a.

 So sánh các nghiệm x x1, 2 của tam thức bậc hai g x( ) ax2bx c với số 0:

*Một số dạng câu hỏi thường gặp

1 Tìm điều kiện để hàm số y f x ( ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định).

 Hàm số f đồng biến trên D  y   0, x D và y 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểmthuộc D

 Hàm số f nghịch biến trên D  y   0, x D và y 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểmthuộc D

– Hàm số f đồng biến trên khoảng ( ; ) a  g t( ) 0,  t 0 

a a

S P

S P

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ; ) a  g t( ) 0,  t 0 

a a

S P

S P

 f đơn điệu trên khoảng ( ; )x x1 2  y 0  có 2 nghiệm phân biệt x x1 2,   a 0 0



 (1)

 Biến đổi x1 x2 d thành (x1x2)2 4x x1 2d2 (2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Trường hợp 1 Trường hợp 2

Nếu: f x( ) 0   g x( ) h m( ) ( )i Nếu bpt: f x( ) 0  không đưa được về dạng (i)

thì ta đặt: t x   Khi đó bpt: f x( ) 0  trở thành: g t( ) 0  , với:

g t( ) adt2 2 (a d e t ad)  2 2ae be dca) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )   

 Lập bảng xét dấu f’(x) Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.

Phương pháp 2

 Tìm f’(x)

 Giải phương trình f’(x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2,…)

 Tính f’’(xi)

Nếu f’’(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

Nếu f’’(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số: f(x) = sinx + cosx với x    ( ; )

Giải: f’(x) = cosx – sinx; f’’(x) = - sinx – cosx ;

xcos x sin x 0 tan x 1 4

f '(x) 0

x4

( ; )   hàm số đạt cực đại tại điểm x

Giải: TXĐ: D = R y ' mx 2 2(m 1)x 3(m 2)   Hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

3

Ví dụ 3: Cho hàm số y x 4 2mx22m m 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

có hai nghiệm phân biệt khác 0  m > 0 Khi đó:

cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó

 phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0

4 a) Cho hàm số y x 32(m 1)x 2(m2 4m 1)x 2(m  21) Tìm m để hàm số đạt cực đại vàcực tiểu tại hai điểm x1, x2 thỏa điều kiện: 1 2

      Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại

và cực tiểu đồng thời hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị đó thỏa mãn điều kiện:

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 và x 1  x 2  2 m  1

b) Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = x

Vấn đề : SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

1 Giao điểm của hai đồ thị

 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C1) và (C2)

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’) và có đạo hàm tại điểm xo

 Hai đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc với nhau tại một điểm chung M(xo;yo), nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến Khi đó M gọi là tiếp điểm

 Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi và chi khi hệ phương trình sau có nghiệm:

 

   



→ phương trình (*) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác – 1

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của M

và N thì x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) Ta có: 1 2 1 2

        Vậy MNmin =2 5, đạt được khi m = 3

Ví dụ 2: Cho hàm sốy x 3 6x29x 6 (C) Định m để đường thẳng (d): y mx 2m 4   cắt

đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 9x m 0 (*)  Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độx , x , x (x1 2 3 1x2 x )3 thì x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình (*) Khi đó: 3 2

y '' 0  x m  y m  m Điểm uốn I(m; m2 m)

Điều kiện cần: đồ thị (Cm) của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cắt đều nhau I Ox

Ví dụ 6: Cho hàm sốy 2x 3 3x21 (C) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D sao cho AB = BD Khi đó chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm2x3 3x2 1 ax b  2x3 3x2 ax 1 b 0 (*)   Giả sử (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D có hoành độ lần lượt là

 Khi 2

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:x42(m 2)x 2 2m 3 0 (1)  Đặtt x , t 0 2 

Giải: Đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (Cm) có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu Ta có: y '3x22mx 3

Vấn đề: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

 Tiếp tuyến của (C) : y = f(x) tại điểm M (xo;yo)  (C) có hệ số góc k = f’(xo) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có dạng: y = f’(xo)(x – xo) + yo

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b có hệ số góc là a Thì tiếp tuyến

và (d) có cùng hệ số góc hay f’(xo) = a

 Tiếp tuyến vuông góc với (d) thì tích hai hệ số góc là bằng -1

 Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục hoành một góc α thì hệ số góc là tanα

Ví dụ 1: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 1 3 m 2 1

   Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành

độ bằng – 1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M có dạng: y y 0 y '(x )(x x )0  0



 

nghiệm phân biệt khác 1 vậy d luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B

Gọi x1, x2 (x1 ≠ x2) lần lượt là hoành độ của A và B thì x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) Ta có: 1 2

Thế (2) vào (1), ta có: 1 4 2 3 3 3 2 2

(2) (2) (2)

 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến

đi qua điểm

43

y M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào MGiải: x 1 (C)

2

43

2

x

x x

x x

a b

1121

12

1

;1

1

a A

d d

Tiệm cận xiên của (C) là (d2) :     

1

 A B y M

a

a a

a y

31

22

12

12

1Vậy M là trung điểm của AB

Giao điểm của 2 tiệm cận là I  S IAB  y A  y I x B  x I

1

;1

1

2 2

Vậy SIAB không phụ thuộc vào M

Ví dụ 10:Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm) Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt

A(0; 1) , B, C sao cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)

x3 + mx2 + 1 = – x + 1

 x(x2 + mx + 1) = 0 (*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

 g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

10

04

2

m

m g

m g

C B x x P

m x

x S

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc

 m (nhận so với điều kiện)

DẠNG 1: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác.

Ví dụ 1 ( KB-2004 ) Cho hàm số yx4  2m x2 2  1 C m(1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1

2 Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

- Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị là :

2.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn điqua ba điểm này có bán kính bằng 1

; 0 ( , ) 1

; ( , ) 1

;

- Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung

) 1 (

0

0 2

y y

) 0

; 0 (

5 1 1 0

0 2

1 ) 1

m m m m

m m m m

Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m =

Câu1 Cho hàm số y x 42mx2  m 1 (1) , với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1

2 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành mộttam giác có diện tích bằng 4 2

Câu 2 Cho hàm số y x  4  2m x2 2  1 (1), trong đó m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có

diện tích bằng 32

Câu 3 Cho hàm số y x 4 2mx2m2 m (1) , với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 2

2 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành

2 Tìm m để đồ thị h/s (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Câu 6 Cho hàm số y x 4 2x2 2 m có đồ thị (Cm) với m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).của hàm số khi m = 0

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị (

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2.Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân

Câu 8 Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 (1)

1 Khảo sát và và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2 Xác định m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một

tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Câu 9 Cho hàm số yx4  2mx2  2m2  m (1) với m là tham số thực.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m =  1.

2 Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.

Câu 10 Cho hàm số y=x4- 2mx2+2m m+ 4 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của

đồ thị hàm số (1) lập thành một tam giác đều

DẠNG 2 : Hai điểm cực trị và một điểm khác tao thành một tam giác.

3 3

13

3 3

13

- Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu Gọi A x y 1; 1;B x y 2; 2 là hai điểm cực

đại ,cực tiểu của hàm số Nếu A, B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OA vuông góc với OB : OA OB   0

Ví dụ 2 Cho hàm số y x 3 3x23 1  m x  1 3m C m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m = 1

2 Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

GIẢI

1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

2 Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 x2 – 2x + (1 – m) = 0 có 2 nghiệm phân biệt   '  0 1 – (1 – m) > 0  m > 0 (*)

- Với điều kiện (*), hàm số có CĐ, CT Gọi A x y 1; 1;B x y là hai điểm cực trị Với  2; 2 x x1, 2

là hai nghiệm của phương trình (x2 2x 1 m)= 0 (1)

- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được :

2 2 2 ' 3

| 2 2

|

m

m h

| 2 2

| 4 1

|

| 2

1

2

1

1 2 2

2 1

x h

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và gốc tọa

độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

Bài 2 Cho hàm số y x 3 3mx23(m2 1)x m 3m (1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1

2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị và các điểm cực trị đó với gốc tọa độ tạo thành một tam giácvuông tại O

Câu 3 Cho hàm số 1 3 2

3

y x  x  x (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộctrục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2

Câu 4 Cho hàm số yx3  3x2  3m2  1x 3m2  1 (1), với m là tham số thực.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với

gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.

2.Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

DẠNG 3 : Giao điểm của các đồ thị và một điểm khác tao thành tam giác.

Ví dụ 1.Cho hàm số y x 3 3x24  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc là k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C ( B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

4 )

Với điều kiện : (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C Với A(-1;0) , do đó B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0

- Gọi B x y 1 ; 1;C x y 2 ; 2với x x1; 2là hai nghiệm của phương trình : x2  4x 4 k 0 Còn

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) với m = 1

2 Tìm m để đường thẳng d : 2x + 2y - 1= 0 cắt H m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tamgiác OAB có diện tích bằng 83

x x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2.Tìm tham số m để đường thẳng d : y = - 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3

GIẢI

1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

2 Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình :

) 1 ( 0 1

) 4 ( 2 ) ( ) 1 ( 2

m x x g x

m x

)

1

(

0 ) 1 ( 8

)

4

g m g

m

Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B

- Gọi : A x 1; 2 x1m B x;  2; 2 x2m Với : x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m = 2

2 Tìm m để đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C saocho tam giác MBC có diện tích bằng 4 ( Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) )

GIẢI

1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

2 Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A,B,C có hoành độ là nghiệm của phương trình :

          Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4) , còn hai điểm B,C có hoành độ là hai

nghiệm của phương trình :

Kết luận : với m thỏa mãn : m 2 m 3 m3( chọn )

Bài 5 Cho hàm số y x 32mx23(m 1)x2 (1), m là tham số thực

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0

2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :y x 2 tại 3 điểm phân biệt A(0; 2); B; Csao cho tam giác MBCcó diện tích 2 2, với M(3;1)

Đường thẳng ( ) cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C 

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

MBC

S BC

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Cho d là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm) tại

ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Bài 2 Cho hàm số y x 32mx23(m1)x2 (1), m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0

2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : yx2 tại 3 điểm phân biệt (0; 2)A ; B; C

sao cho tam giác MBCcó diện tích 2 2, với M(3;1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O ( O là gốc tọa độ)

y có đồ thị là (H m), với m là tham số thực.

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m 1

2.Tìm m để đường thẳng d: 2x 2y 1  0 cắt (H m) tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạothành một tam giác có diện tích là .

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi d k là đường thẳng đi qua điểm A( 1;0) với hệ số góc k k( ¡ ) Tìm k đểđường thẳngk

d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Câu 6 Cho hàm số y x 3 3x22 có đồ thị là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại bađiểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2

Câu 7 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d: y x m  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OABvuông tại O

DẠNG 4: Tiếp tuyến cùng với các trục tọa đô tạo thành tam giác.

Ví dụ 1 (KA-2009) Cho hàm số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tai hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

2 2

1 1

x

x x

;(0

)1(1

2)(

0 0 0

0 0

2

0

x A x x x

x x x x

x x

| 2

| 4 0

2 0

4 0 4

0

2 2

0

2 0 2

0

)1(

4)1()

1(

4)

1(

2

;

x

x x x

x x

AB x

x x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại O

2

0     

 x x x x x x y

- d cắt trục Ox tại A :

0

2 0

2 0

3 0 2

0

3 0 0 0

2 0

23

12

)1(

))(

23(0

x x

x x x x

x x x x

12

0

2 0

2 0

3 0

x x

x x A

- d cắt trục Oy tại B: ( 3 2 )( 0 ) ( 1 ) 2 2 1

0

3 0

2 0

3 0 0 0

; 0

1

0

3 0 0

2 0

2 0

3 0

x x

1 )

1 2

(

) 1 ( 0 1 2 3

1 )

1 2

( 1

2 2

3

1 2

1 2

2

3

1 2

0

2 0

2 0

3 0

0

2 0

2 0

3 0

2 0

3 0 0

3 0 0

x

x x x

x x

x x

x

x

x

x x x

x

x

0 1 2 3

0 1

0 2

0

2 0 3

3

1 ,

1

1 0

1 2 3

0 1 2

0 0

0 0

0

0 2

0

2 0 3

0

x

x x

x

x x

x

x x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0

2 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 23

2 2

|

||

| 2

3

|

||

| 2

1 2

2

3 2

m

m m





x x

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 61

Bài 2 Cho hàm số: y2(x x 11)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2.Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0

Câu 3 Cho hàm số

3

1 ) 2 ( ) 1 2 ( 3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2

2 Gọi A là giao điểm của (Cm) với trục tung Tìm m sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 31

DẠNG 5 : Tiếp tuyến cùng với các tiệm cận tạo thành tam giác.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2 Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất Với I là giao hai tiệm cận

x x

- d cắt tiệm cận ngang : y = 2 tại B

. IA IB AB

R R

AB IB IA

1 ) 2 (

1 ) 2 ( 4 2 2

1 4

) 2 (

1 )

2 ( 4

| 2

| 2

| 2

|

1

2 0

2 0

2 0

2 0 0

x x

x x

Dấu bằng xáy ra khi :

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2 Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân

x x

2 2 1 1

1 1

1

1 )

2 2 (

0 0

0

0 0

0 2

0

0 2 0 2

2

x x

x

x x

x x

x x

IB

IA

0 0

0 2

) ( 0 2 2

0 0

0 0

y x

x

x

VN x

x

Với x = 0 và y = 0 , ta có tiếp tuyến : y = x

Với x = -2 và y = 2/3 , ta có tiếp tuyến : y = x+8/3

Ví dụ 3 Cho hàm số

2

32

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại

A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn

ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

GIẢI

1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

2x

3x

;x

1)

x('y

3x)xx(2x

1y

:

0

0 0

2x2

;2

2

2x22

xx

2x

3x22

yy

Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

1)

2x(2

2x

3x)

2x(

0

2 0 2

0

0 2

0 2

1x)

2x(

1)

2x(

0

0 2

0

2 0

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A

và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

y có đồ thị (C)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2.Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A

và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếptam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

Bài tập tổng hợp:

1) Cho hàm sốy x 3 3x2 x 2 Chứng minh rằng từ mỗi điểm trên đường thẳng x = 1,

ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị

2) Cho hàm sốy x 3 3x21 Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà qua đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị

6) Cho hàm sốyx33x2 2 (C) Tìm tập hợp các điểm M thuộc đường thẳng y = 2 mà

từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số

7) Cho hàm sốy 2x 3 3(m 3)x 2 18mx 8 Chứng minh rằng trên đường congy x 2 có hai điểm không thuộc đồ thị với mọi m

8) Cho hàm số 1 2 2

y (x m)(x 1)4

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho tiếp tuyến tại hai điểm này song song với nhau

 Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiép tuyến tại M của (C) cắt

Ox, Oy tại A & B sao cho OAB

1S

4

  13)Cho hàm sôy x 33x2mx 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3

b) Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D và E đồng thời tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.

c) Chứng tỏ với mọi m, đồ thị hàm số luôn cắt đồ thị (C) y x 32x27 tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi

b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng – 1 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại

M song song với đường thẳng 5x – y = 0

b) Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểmM(-2, 5)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=1

2 Tính k để phương trình:  x3 3x2 k3  3k2 0 có 3 ngiệm phân biệt

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị của hàm số (1)

HD:1) 2 cực trị 2) Pt có 1 nghiệm x=k :–1<k<3 , k0 ;k1 3)d: y=2x+m-m2

………

Đề 2 (BGD&ĐT KB 2002)

Câu I ( ĐH : 2,0 điểm;CĐ : 2,5 điểm).

Cho hàm số : y=mx4+(m2-9) x2+10 (1) (m là tham số )

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=1

mx)m(

(1) (m là tham số )

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=-1

2.Tính diện tích hình phẳng giói hạn bởi đường cong ( C ) và hai trục tọa độ

3.Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x

HD:1)Hs tăng 2)S=4ln

3

4-1 2)m1

(1) (m là tham số )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m= -1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành

(1) 2)Tìm m để đường thẳng d m: y=mx+2-2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.HD:1) 2 ct 2) m>1

………

III.NĂM HỌC 2004.

Đề 7 (BGD&ĐT KA 2004)

Câu I ( 2,0 điểm).(2b)

Cho hàm số : y=

2 3 32( 1)

x

  

 (1)1) Khảo sát hàm số (1)

2) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1

HD:1)2ct 2)m=

2

51

1 (1c) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị của hàm số ( * ) với m=

4

1.2.(2a) Tìm m để hàm số ( * ) có cực trị và khõang cách từ điểm cực tiểu của ( Cm) đến tiệmcận xiên của ( Cm) bằng

2

1.HD:1)2 ct ,hsg >0 2) m=1

1(

(*) ( m là tham số)

1) (1c) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị của hàm số ( * ) với m=1

2)(2a) Chứng minh rằng với m bất kỳ ,đồ thị ( Cm) luôn luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu và khoảng cách giửa hai điểm đó bằng 20

HD:1)2 ct ,hsg >0 2) A(0;m+1) ;B(-2;m-2)

x2+3

1 (*) ( m là tham số)

1) (1c) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị của hàm số ( * ) với m=2

2)(2a)Gọi M là một điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1.Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0

HD:1)2 ct 2) m=-4

-V NĂM HỌC 2006.

Đề 13 (BGD&ĐT KA 2006)

Câu I ( 2,0 điểm) (2a)

3 (1c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=2x3-9x2+12x -4

4 (2a) Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt 2 x 3-9 x 2+12 x =m

HD:1) 2) m=

-Đề 14 (BGD&ĐT KB&T 2006)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I ( 2,0 điểm) (2a)

.1) (1c) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho

2)(2a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của ( C )

HD:1)2 ct ,hsg >0 2) y= -x-2 2-5

-Đề 15 (BGD&ĐT KD 2006)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I ( 2,0 điểm) (2a)

Cho hàm số y=x3-3x+2

1) (1c) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2)(2a)Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số góc là m.Tìm m để đường thẳng d cắt

đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

1(

(1)

5 (1c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= -1

6 (2a) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

HD:1) 2) m=

Đề 17 (BGD&ĐT KB&T 2007)