754 bai on thi dai hoc toan 12

on thi

Trang 1

NGUYÊN SINH NGUYÊN G.V trường PFH chuyên Lê Quý Đôn

(Chủ biên)

NGUYÊN CUNG NGHỊ- NGUYÊN VĂN THÔNG - VỎ QUANG DA - LE HOANH PHO

TUYỂN TẬP

BÀI TẬP TOÁN

GUI MC 12

+ 500 bai toan giai tich 12

+ 250 bài toán trắc nghiệm giải tích 12

NHÀ XUẤT BẢN ĐÀ NẴNG

Trang 2

DAO HAM - VI PHAN

x £ ‘ * yA ^ ki “ Ẩ

Cho ham so y = f(x) xdc định tại lân cận của xụ„, với \x: sô gia

£ ` `

biến số; \y: số gia hàm số

Đạo hàm của hàm sé tai x, : f’(x,) = lim f(x, + Ax) ~ f(x,) x

Ax -3 0

§ 1 DAO HAM TONG ~ HIEU

a.y=x° — 4x° 42x -3 c y = 5x°(3x - 1) 1 2,3 ey= X xỉ st xì _x -x #1 gy 5 2 2 xX ,m,x on i.Yy=—+—+z+-z mx n2 x7

Qui tắc: (a+v} = ư+yv (u~vy = ư-v (C.u} = Cav

Dao ham cơ bản

+ 1

= >= 0 =— =——

y=C=y y=> =Y a

Y=x—y=l y=x > yet

2x y= x" => v = nx?! VÍ DỤ (1.1.1) Tính đạo hàm các hàm số sau: - 1-1 v2 dự 4 by=2 sX+X 9%

Trang 3

GIẢI

a.y = (x5) - (4x°) + (2x) - 3” = 5x! ~ 4x) + 2x -— 0

= õx! ~ 4.8x2 + 2.1 = 5x! - 12x” +2

1 1

so 1 _1 , 2„_ 1 4y _1 1_Ï 3 1 _ 3

b.y = (2} gt) +) ge) =0 g.1+2x 5 4k = 3 tox 2x c Trước hết ta khai triển y= 5x? (3x - 1) = 15x" - 5x’

Suy ra y’ = 15(x")’ - 5(x”) = 15.3x? - 5.2x = 45x” - 10x d.y = 5a(x3)’ - 4a2(x2)’ + 3a°(x) - (2a'y = 15ax? ~ 8a2x + 3a”

e Trước hết, ta viết lại y = 2x? +3x3 x x’ x x

, 1 -3 -4 14 9 =yVy = z+4x ` -9X = z†tr-nsTri x’ x x x! f y = 18x? ~ 2x 3 «2 g Ta viết lại y = =X 42.258 Ey kệ sự = 2x c2 „ ¿-1 5 sy 5 3 hy =65% +43x '+2.1=21xÊ + 10x” +2 : ea Xm, xX on? 1 1, 1 2 2 -2 i Ta viet lai y = —-+—+=5+—=—x+m—+-px tnx m x 72% x m xX n 2 =y=L-mkL+21x-2nx 9-1 2E 2m n m x" n x 3 5 3 1 2 5 3 1

j Trước hết viết lại y = ax? bE Lad bx 2_x 6

Trang 4

*(1.1.8) Cho Ñx) = ax” + bx + c thỏa mân If(x)l < 1 véi moi

xe[0, 1] Chứng minh rằng f0) < 8 DH HUE 2000

GIAI

Ta có f{x) = 2ax + b = f'(0) = b Bài toán trở thanh chitng minh b <8

Từ gia thiết IẤx)! < 1, Vx e [0, 1]

Lay x = 0, 1, 3 = IÑ0)1 <1 lecl<1@-l<e<1

=~-c<l1>-8c<3 cos (1)

IẤUI<1ela+bx+cl<1l@Ằ-l<a+b+ec<l :

=-a—=b—c<l - (2)

Fat (ÿJ<+=|2a+sb+e <l=a+2b+ác<4 (3) Cộng (1), (2), (3) về theo về thì được

b = (-3c) + (a - b—c) + (a + 2b + Ác) <3 + 1+ 4= 8 = đpcm BÀI TẬP TỰ LUYỆN

01 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

ay = ax -1

b y = a + 5a%t? - at? (a: hang số, t: bién số)

cy = bet xi + Sx? Ex 41 dy =tx*+ 5 x ta 'x— e.y =x + 8x" -6 fy= ex gy = 2ax? - X40 hy = Vox+% +3 3 iy = Ve - vx +5 ¡y- St x2

_ 3x a by= 10a°*t ~ 3at” HD: aly = 2x’ + 9x2

+]

Trang 5

3 2 3x 5 » 8.2, 40 9.3 >= Ox? - ex _2 py = 2x? + 4x43 c.y`= 2x” - 2x" + 2a d.y ae +o a 4 3 › 5x 2x w`= 4x f =— - -1 e y = 4x" + 6x y 2b a-b 2 E y = 6ax? _ 2X hy À8 1y 3 b 2 X 3 x” 2-7 1 35 3-3 3-3 3-3

v.2vy3 L Swan dye By 23, 2_ 3, 2

1 y= 5x Ee jy ax 2x ax 2x

02 Cho hàm số Ñx) = 3xŠ ~ 4x” + 5x? Tính f (0); £’(—2) AD: f’(0) = 0; f\(-2) = 268

§ 2 DAO HAM TICH THUONG

(u.v} = uv + vu (u.v.w) = V.W + u.V.W +uv.w'

Trang 6

d y = x(2x2 + 1(8x” + 9) + (2x2 + 1).x(3x” + 2) + (3x” + 2).x(2x” + 1) = (2x? + 13x” + 2) + 4x.x(3x" + 2) + 9x? x(2x? + 1) = 86x” + 12x” + 12x” + 2 ey = (xŠ + 13 - 2x2) + (3 - 2x77? + D = 5x'(3 ~ 2x2) — 4x(x® + 1) = 14x° + 15x! - 4x

(1.2.2) Tinh dao hàm các hàm số sau:

Trang 7

BAI TAP TU LUYEN 01 Tính đạo hàm các hàm số sau: a y = (x? - 6x + pa-x) ce y = (x - 3x + 4)(x - 5) e.y = (x + 1x + 2x + 3) gy = 24+Vx 1+2Vx _ l-x “Y= thx HD: a y = -4x” + 18x” - 6 c y = 3x" - 8x +7 ° = 8x2 + 12x 4 11 eyez , 3 gy = ——— oNx(1 + 2Vk) - 4-2 1 = ——- (l+x) b y = 5x(8x - 1) d.y =(x”- 3x + L(1 - 2x) ty-X -3x+4 x”-x+1 h y3#-6x+1 ` 2x+1 iy= 1+x~x2 1-x+x2 b y’ = 45x” - 10x d y’ = -Bx” + 3x2 + 12x - 5 „— 2x?—6x+1 f = y (x2-x+ ĐỀ h ,_ 6x +6x—8 ~ —————— (2x + 1) ~2(2x ~ 1) (x? -x+ 1)”

§ 3 DAO HAM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC :

= sinx > y = cosx y = arcsinx - y = Ị

1-x? = cosx > y’ = -sinx y = arccosx > y’ = - 1

V1 =x?

- ee _ 2 _ , 1

=tex > Vy = m=l+tgx y = arctgx > y = 5

COS“X l+x

_— > > 1 — _ , 1

= cotgx > y = ~—- = (1 + cotg“x) y = arcecotgx > y’ »- 5

Trang 8

VÍ DỤ (1.8.1) Tính đạo hàm các hàm số sau:

a y = 5sinx - 3cosx b y = x.cotgx c y= x_SInx 1+tgx d = tsint + cost

sinx

ey= > 1 + cosx f y = arcsinx arccosx

gy = Vx arctgx h y = 2zesink arccosx

1L.V= —s + arctgx j y = sinx + arcsinx l+x

GIẢI

> = 5eosx - 3(—sinx) = 5cosx + 3sinx

°” = x`cotgx + (cotgx)’ x = cotgx - x(1 + cotg2x) cy = (xsinx)` (1 + tgx) - (1+ tgx)(xsinX)

(1+tgx)Ÿ

- {x' sinx + (sinx} xI( + tgx)-( +tg’x)x sinx

(1 + tex)”

_ (sinx + x.cosx)(1 + tgx)-x(1+tgˆx) Sinx (A+ tex)”

d.y =t’ sint + (sint).t - sint = sint + t.cost ~ sint = t.cost ey = (sinx) (1 + cosx) - (1+ cosx)’ sinx

(1+ cosx)ˆ

_ OSX (1 + cosx) — (-sinx) sinx _ 1L+cosx _ 1 (1 + cosx)” (1+cosx)” 1+ cosx f y’ = (arcsinx) arccosx + (arccosx)’.arcsinx =

1 1 : arccosx — arcsinx

~ — 4+ _arccosx- —===—a resi nx = ˆ

Trang 9

arctgx + Vx ovx l+x g.V= vx y arcfgx + (actgx)` Vx =

hy = (arcsinxy’ (arcccosx) — (arccosx) (arcsinx) _ _arccosx + arcsinx

(arccosx)” V1~x? (arecosx)?

iy’ _X(+x)-(4+x7) x, 1 - 2

, (1+x?2? 1+x - (1+x??

J ` = cosx+ 1 1-x?

(1.8.2) Cho ham sé y = ffx) = —°0S%¥_ l+sinx

Tính f%); f0); £œ) f'();f'(T) - TNPT 97

GIẢI

Ta có

.s £(x) = =sinx( + sinx) - cosx €osx l+sinx 1

(1+sinx) (1+sinx}Ê 1+ sinx

Xa

« £(0)=-1; £%n) = -1; f{3)=-ÿ: (p=

BAI TAP TU LUYEN

01 Tính đạo hàm các hàm số sau: sinx + cosx sinx x

a.Y =———— bo y = 4+ — cy=—f

sinx — cosx X sSlnx 1-coso

d y = 1+sinx 2 sinx e y = tgx + cotgx f y = x.arcsinx

& y = xsinx.aretgx h y = — 1L.V.= in J Y = tgx.arctgx 12

Trang 10

HD: a y = -2 b y’ = X.Cosx— sinx , sink — xX cosx

(sinx — cosx)? x? sin?x

,_ Locos -g sing ,_ _— 3eosx

c.Vy= 5 d.y=———mrạ (1- cos @}" y (2 - sinx)* ey = 1 - 1 f y’ = arcsinx + —— cos*x sin“x 1-x2 gy = sinx.arctgx + x.cosx.arctgx + am l+x h y' = ( ——— - arccosx + 1-x* x - , 1 tgx_ _ arctgx ;: _ 8rctlgx tex Ly =e tg?x l+x“ 2T cosx 2 - Ly =2 TT cosx 1+x 5 ` ` <£ ~

§ 4 DAO HAM HAM SO MU LOGA

x , X 1

y=e ¬y=e€ y=lnx>y =V y =a“ > y’ = a* Ina y = log,x > y = 2 x.Ìna 1

VÍ DỤ (1.4.1) Tính đạo hàm các hàm số sau: x a y = (x? - 2x + 3).e* b.y= 2 e`+l1 e +2 1 Inx cys d y = -— + 2inx- — sinx x x

e y = lge.Ìnx - Ina.log,x fiy= x’ Inx Ìnx ~ 1

= * = 1

BY Inx + 1 h.y = xin

i y = e*.tex j y = (x? + 2x”) Inx

13

Trang 11

b y’ Ly GIAI = (x? - 2x + 3).e% + (e*)(x? - 2x + 3) = (2x - 2) e® + eX (x? — 2x + 3) = eX (x? + 1)

- (e*- 1) (e* +1) -(e* +1) (e*- 1)

(e* + 1

_@ 5.(e+1)-e`.(e`-1)_ 2e"

(e* + 1ÿ (e* +1)”

(e" + 2) sinx ~ (sinx)’ (e° +2) _ e* sinx —cosx (e* + 2)

sin2x sin2x 1 oot ee 1 1 In 2xzln =-+2 x x c7 — 7+3 x x x † x x e 1 1 1 = —~ == =1

lge x Ina x In: x (lee )

= 2x Inx+xẺ., Š=x ( nXẺ + 1) 1 1 x (inx + 1) - X (nx - 1) 2 (Inx + 1) _x.(Inx+ 1 = 1 Inx + 2 = lnx + 1

e*.tgx + eŸ(1 + tg2x) = e*(tg2x + tgx +

(3x? + 4x)Inx + (x? + 2x) : = (3x? + 4x)Ìnx + x” + 2x

BÀI TAP TU LUYEN

01 Tinh dao ham cdc ham sé sau:

a y = e*(sinx — cosx) b y = (x - le* c.V=

Trang 12

ey = tse e fy = 1px x g y = Inx(Inx + 1)

hyix y o cosx iy =(e-

Ly Inx J y = (e* + x).Inx

- X

HD: a y = e*.2sinx b y’ = xe* cy = sœ-2)

x

3 > 1 2x 1 - Inx

d y’ = 2*In2 ey =-—+2e" fys«

2lnx + 1 1-x

yoo hy’ =

E Y : Y=

cosx

~sinx Inx + x x

i.y ` =———————— jey = (e% +1) Inx+£ 7%

In*x x

§ 5 DAO HAM CUA HAM HOP

Công thức tổng quat y’, = y’, wy,

veu "oy =n ly

y=Voys yxly

2Vu u u

y = sinu = y’ = w.cosu y=e">y = ve"

= cosu > y’ = -u’sinu y=a"=>y’ =wa"lna

y=tgu>y= a = w(1 + teu) y=lnu =y = 3

cos“u u

y = cotgu => y’ = — = -u’(1 + cotg”u) y=lÌoguu= y`= u sin“u 1,Ìna

1ỗ

Trang 13

VÍ DỤ

(1.5.1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 1 a y = (x’ + x)? b.y=———_ cyt (2x +1)! a 8 ~ 3 — d y = (x° +7)? ey = (2+3) fy = V1-2x x

gy = Vx7-x41 hy = Vi+vk lye Vsin?x

GIAI

a y’ = Ax! + x) "(x 4 x) = Ax" + x(TxẺ + 1) = (14xổ + 2)(x' + x) = 14xÌỞ + 16x” + 3x b Ta viết lại hàm số đã cho y = (2x+ 1)!

-8 =y`= -Ã4(2x + 1 (2x + 1} = -8(2x + 1° -_ 2 _

(2x +1)°

1

2

c Ta viết lại hàm số đã cho y = (x2 + 1) 3

=y`= -F 24 1) 708 +1 =-F œ2 +Ð) « t2[ 2 -x .2x=— , 1 2 d.y'= 3 2+7) (8x?) = Va 7 2 2 ey’ = 82 + 3x)? (-@x 5) „ =18 (2 +3) x x , 2x-1 gy = QVx7 x41 1 2x 1 1 2 1+Wx avg M1 + x _4xXtxXx i Ta viét lai ham sé da cho y = (sinx)

Trang 14

(1.5.2) Tính đạo hàm các hàm số sau:

a y = sin2x — cosx b y = cos"2x

c y = sin2xcos3x diy = a Veos2x e y = Incosx

fy = @f#5

gy = e* sing h y =e

iy = In(x* + 4)

j y = 2sinx + cos3x k log) (3x 41) HVNH 98

ly = arctg(x”) m.y= aretg (+) DHNN 98 -

GIAI

a y = (2x)cos(2x) ~ (~sinx) = 2cos2x + sinx >:

b y’ = 8cos?x (cos2x)’ = 3cos?x _ (-2)sin2x = ~6sin2xcos2x

= (sin2x)’cos3x + sin2x(cos3x) = 2cos2x.cos3x — đsin3x.sin2x

a 4 i

d y' - q (c082x)’ =a _~2sIn2x - ~asin2x

: 2Vcos2x 2Veos2x Vcos2x

» (COSX)’ -sinx

_.—— cosx ~ ‘8%

Ey’ = (4x + 5) eft 2 ga txes

>> | (sinx)’ = -sin?xe°* 4 cosy œ°osx

= (fOSX ~ sin^x)e°9x h y’ - 1 Vx e 2Vx 204s L y = (X + 2x x?+1 x?+1

j-y = 2cosx — 3sin3x

k Ta viét lai ham sé y = loð; (3x + 1) = Tản

3 1

3x +1Ìn(2x) ˆš In(3x + 1)

=>y’ = Ìn”:2x) - 3XÌn(2x) - (3x + TÌn(3x + 1) x(3x + 1)Ìn?/2xì

Trang 15

,;_ 3x Ì.y`= y x°+1 -4 _m Ta viết lại hàm số y = arctg(x ”) = y’ = —

x +1

(1.5.8) Cho ham sé f(x) = sinx + Lsin3x+ —-2—— Tính đạo ham f(x) va’ 3 5sin6x giải phương trình f(x) = 0

HVQHQT 2000

GIẢI

Ta có f x) = cosx + cosäx + 2cos5x

f’(x) = 0 < cos5x + cosx + cos3x + cos5x = 0 & cos3x.cos2x + cos4x.cosx = 0

o cos2x(4cos”x ~ đcosx) + cos4x.cosx = Ơ c© cosx[cos2x(4cos2x - 8) + cos22x - 1] = 0

cosx = 0 (1)

2cos2x (cos2x + 1) +eos22x-1=0 (2) _

©x=z+kz

cos2x = ~1 x=s+km

(2) © 3cos22x + 2cos2x - 1 = 0 © ie

—| seSÐX=2 | yee Elen _ 6

Vậy nghiệm của phương trình: x = gtke ; x = +a+km

Trang 16

Jy V1 + Inx ki y= sins ly= sinV1 +x" m y= cotg”5x ny= asin® Ỹ `0, V= asin’ 5

SIIX x°+2x- 1

p.y=e `” q.y=z=e r.y = ln(l + 2x)

s.y=lnx2+8x~7) t.y= In ¥x? + 9x -1

HD: a.y = 10x(x"+3)' b.y= 3_ vk +1? se y’ = 16x(2x? = 3)° 2xx

2 *

d.y=x? a+? ey Ê.(1+2Wx £y'= ——— vx ON Bx +2

2 2

ey =e ny = iy = Zeh ae" +1) 9

2x? - 2x? +3 4x xin »

kự=———— k y = - cos! ly= X —cos N1+x?

2xV1 + Inx x x ^h+x?

»_ _=10 > — asin? 2 cos 2 - 2asin? X cos ¥

m y’ = cin? 5x cotg5x n y’ = asin g co 3° y = 2asin 7 8 5

sinX 2 ox~1 p y’ = cosx e”"* g y = xt le™

, 2 2x+3 , 2x +9

r.V =——-_ s.y ==> ty = ——

y 1+ 2x y x?°+3x-~7 y 3(x? + 9x - 1)

* > ~

§ 6 TINH DAO HAM BANG DINH NGHIA

e Tinh Ay = flx + \x) — fix);

e Lập tỉ số Ay AX

e Tìm giới hạn của at khi Ax > 0

VÍ DỤ

(1.6.1) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm 36:

a fix) = x? - 4x + 3 taix, = 1; b f(x) = VI-x tai x, = -2 cy=fix)= x? -x41 d y = fix) = Vx? +1

19

Trang 17

GIẢI

a \y =1 + Ax) - ÑU) = [( + Ax)Ê ~4(1 + Ax) + 3) - (1? - 4.1 + 3)

= Ax(\x ~ 2)

: A

AY 2 x-2, lim “` = lim (Ax - 2) = — ‘x Ax 90°" Ax 90 Vay f£(1) = Cok no b.Ay= R8 + A) ~ f9) = mm" \x) - V1 - (-2) 3-\x -V3 = (8 - ~ at Ax x + V8) TA =ẮK vỏ , X+ 3) — 8= AX Bh im z lim ——————m : -—— % pw AX +8) - AX vi \x "aie AX 43) _ 2x3 -1 Pel eg Vay f 41) = a3

ce Ay = ffx + Ax) - f(x) = [(x + Ax)? - (e+ Ax) + 1]-(x?—x+ 1) = Ax(Ax + 2x - 1)

SỞ =Av+2x—1; lim 2Y =lim (Ax + 2x - =2x-1 Ax 3077) Ax +0

Vay f(x) = 2x - 1

d Ay = f(x + \ x) - f(x) = Nœ+.w)2+1- Äx2+1 _ (V(x +.Ax)? + 1_ yx" + Ly + Ax)” + 1 4 VX" + 1)

Trang 18

Ạ.y= N1+Ìnx k y = sin 1 y= sinVl+x2

m y= cotg”5x ny= asin® 3 `0, V= asin! 5

BÌIX x +2x- 1

p.Yy=e ^ q.y=z=e r y = In(1 + 2x)

s y = In(x? + 8x-7) t.y=Ìn Wx? + 9x -1 HD: a.y =10x(x2 +3)! by = HV +1)? cy’ = 16x(2x” - 3)? 2wx 2 d.y’=x 3(1+ x)? ey’ = 8 +2Vx)) fy = 2% 53 x — #9Nvx?-8x+2 „ 2 3x2 ~ 4x › 3 - 5 2 ox 75x “3 gy = —== Oh y= i y = Se*(2e* +1) * 2x - 2x" +3 4x "— 3 -

¡jy=——— k y = -cos+ Ly X_— cos N1+x°

2xV1 + Inx x x 1+xˆ2

; _ _=10 › - asin Ÿ cosf = in’ Š cos Š m y = Sn? bx cotg5x n y’ = asin 3 cos 3 o9 y = 2asin 5 cos 5

SIIX xÃ+2x— 1

p y’ = cosx e" q.y`= 2 + 1)e

, 2 2x+3 › 2x+9

Yr = —-—- 8 = —.r—— t = -——rz——

Ÿï =1+2x y x743x-7 3074+ 9x-1)

2 ` _ Boe ~

§ 6 TINH DAO HAM BANG DINH NGHIA

e Tinh Ay = f(x + \x) - ẤN);

e Lap ti sé Ay AX

+ Tim gidi hạn của “¥ khi x > 0

vi DU

(1.6.1) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm 36:

a flx) = x7 - 4x + 3 taix,=1; b fx) = Ý1-x tai x, = -2

coy=fix)=x?-x+ 1: d y = flx) = Vx? +1

19

Trang 19

-20

GIẢI

a Sy = f(1 + Ax) - fC) = [(1 + Ax)* -4(1 + Ax) + 8) - (1? - 4.14 3)

= Ax(Ax - 2)

AY lay a; lim?” = lim (\x - 2) = -

AX Ax 90 x Ax -3 0

Vậy f1) =

b Ay = f(-2 + Ax) - f(-2) = Vi - (-2 + Ax) - Vi “ca

TwW.j.@8-w v Huấn - ¿V3 ate (VS Ax + V3) ~ (NB - Ax + ¥8)

lim a - _—1

“B= AX ree | Ax vơ \x TR= aoe 243

¬ ll x

Vậy f*%1) = 2N3

c Ay fx + Ax) - flx)-= [(x + Ax)? - (x + Ax) + 1] -(@?-x+ 1) Äx(Ax + 2x — 1)

'J=w+2x-1; — lim Slim (Ax +2x-1) = 2x -1

° Ax 307 Ax >» 0

Vay f(x) = 2x - 1

d Ay = flx + Ax)T Ñx) = YŒ+.W)2+1~ Yx”+1

Trang 20

(1.6.2) Cho hàm số f xác định bởi để fx) = xcos{ 5) nếu xz0 0 nếu x=0 a Chứng mỉnh rằng f liên tục trên tập số thực R

b Hàm số f có đạo hàm tại những điểm nào? Tính đạo hàm của

f tại các điểm đó DH HUE 99

GIAI

a Ta có với x z 0

x x0 ow: x0

=> lim xcos ( +) = 0 = f(0)

x30 x

Do đó hàm số liên tục tại x = 0

Ngoài ra, với x z 0, fx) = xcos (4) la hàm số sơ cấp xác định với mọi x

x z 0 nên liên tục tại mọi x z 0

Vậy hàm số liên tục trên cả R

b Với x z 0 ham s6 cé dao ham f(x) = cos (5) +4sin(4) xe xề x

Với x = 0: , +

2y - cos ( +) khơng có giới hạn khi x — 0, nên hàm số khơng có đao

Ax Ax? : ‘

*

ham tai x = 0

! “x Ẩ 0

(1.6.8) Cho hàm số ấy) = (&*De™ nêu x»

lxỞ-ax+1 nếu x<0 Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0 ĐHGTVT 2000 GIẢI -h -h oq

Ta co: © lim tHrh R0, - lim mate -1_ lim (i+Ê = 1)

hod h s0 h.›0

21

Trang 21

+0:h) _ a0

= im1+lim h =1+(e*Y với x=0=1-1=0

h-+0 bh>0*

h) - f(0 2 _

+ tim CĐ () _ m [@+h) MO thị +1 Ì _ lìm(h ~a) =~a

hoo ` h>0 - h-o

Dé dao ham tai x = 0 tồn tại: lim fx) = im fx) © -a = 0 © a = 0

hoo hoo (1.6.4) Tìm các giới hạn sau x sin2x sinx a lim3—=£°S¥ DHSPHN 2000 b.limŠ———`— HHH 99 x0 * x30 sinx , GIAI 2 2 3X - 3% -1,1- ,

a im ——P = lim ( 5 io), Trong đó:

x>0 x>0 eli L-cosx _ 1 và x70 x 2 2 x O+ x 0

xo * x 30 x

3* - cosx 1

Vậy lim 28% - 5 + In’

x70 x

co, " e8in2x _ „sinx sin2x _ sink

x0 SIDX x50 Sinx sInx,

sin2x _ sin2x 0+sin2x_ „0

Ta có s lim elim 2eosx £——_* = 2lim cosx lim 2&———*

x0 sinx x0 sn4x x70 x70 sin2x

= 2 (ey, 9 = 2(e),-9 = 2-1 = 2

sinx _ 0+sinx _ =0

elim £——==lim £ f= (e'„~o= @Ÿ)„ „=1

Trang 22

BAI TAP TU LUYEN

01 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau tại xụ: a f(x) = V3x+4 x, = -L ” pb f(x) = ad X, = 3; 3 1 cC.V=X) d.y = hs ay x? +1 V4 +8 - Vy +4 +8 _ ex? +4 +4 khi 2

08 Hãy tính f'(0) biét f{x) =} inde —SSC«* *° veIBevT 99

2.1 ¿

08 Cho ham sé f dinh bai fix) = (* #7 BU **9

(0 nếu xe0

a Tính đạo hàm của hàm số tại x e R

b Chứng minh rằng đạo hàm f' không liên tục tại x = 0 ĐH HUẾ 2000

§7 ĐẠO HẦM CẤP CAO - VI PHÂN

* Đạo hàm cấp cao

e (y} = y° được gọi là đạo hàm cấp hai cua y

e (y” = y” được gọi là đạo hàm cấp ba của y

e(y”) = yỦŸ) được gọi là đạo hàm cấp bến của y

* Nếu hàm số y = fx) có dao’ ham f(x) thi vi phân của hàm số là

dy = f®)dx VÍ DỤ 3 sin’x + cos°*x _ 7

(1.7.1) a Cho y = Tw sinxeosx: Chứng minh rằng y” = -y TNPTTH97 b Cho y = 2e sinx Chứng minh rằng 2y - 2y’ + y”=

Trang 23

_ (sinx + cosx)(sin® X ~ sinxcosx + cos’ 2x) _ _ 1 - sinxcosx

y sinx + cosx”

Nén y’ = cosx - sinx; y” = -sinx ~ cosx = (sinx + cosx) = y”= ~y b y' = 2l(eŸYsinx + (sinx)’e*] = 2e*(sinx + cosx)

y” = 2[(e*)(sinx + cosx) + (e*)\(sinx + cosx)’] = 2eÏ(sinx + cosx + cosx - sinx) = 4e cosx

Từ đó 2y - By" + iy = 2e"(2sinx ~ 2sinx ~ 2cosx + 2cosx) = 0

*(1 72) Cho hàm sd y = f(x) = x! + 2m +m, m là tham số

> a Tim tất cả giá trị của m để fx) > 0 với mọix

b Chứng minh rằng:với mọi m vừa tìm, ta có với mọi x fix) + fx) + f”%) + f”œ) + Ỳ\x) >0 ĐHBKHN 98

GIẢI ˆ

a Trước hết, nếu ffx) > 0 với mọi x, thì với x = 0 ta cũng có fO) >0 m>0

Đảo lại, nếu m > 0 Thế thì với mọi x:ta có

xt >0; 2mx* > 0 va m > 0 = Ñx) = x' + 2mx2 + m> 0

Vay, flx) > 0 véi moi x khi va chi khi m > 0

b Ta có lần lượt: f{x) = 4x” + 4mwx ; f”{x) = 12x? + 4m; f(x) = 24x ; fx) - 24, Suy ra Đx) + f'Œ®) + f”@) + f”Œ) + M(x) = = x4 + 2mx? +m + 4x? + 4mx + 12x” + 4m + 24x + 24 “= (xt + 4x? + 4x?) + (8x2 + 24x + 24) + (2mx2 + 4mx +-2m) + 3m x*(x + 2)? + 8[(x+3)' Ÿ]+ 2m + ĐẺ + 3m > 0, với mọi x

(1.7.3) Cho ham sé f{x) = xe Chứng minh rằng đạo hàm cấp n X +X—

Trang 24

GIẢI 1¬ Ta có fx) 5 + i xe Từ đó nà f(x) = -—1 +4 Cfo? ` (2x-1y (x +1) : \ (2x Yo’ w+)" Giả định mệnh đề đúng đến n, tức là n- t

fx = ("at |——-—— x n (2x — 1° + (x+ net! sae

{ n Ì Thế thì Ế!) z [f4 š (-05n|——2——- : (2x - 1"? i 2 i _& + 1” + (-1".nt |2 -2)- (+ Ù 2 CỤ m+ 1) (2x- 1" (+1)? (-1)"*1 (n+ Dt 2 : dpem (2x- 1)? (ee yr 7]

BAI TAP TU LUYEN

01 Cho y = 2x? + 16cosx - cos2x

a Tim f(x) va £"(x); ti đó tính f0) và f”(x) b Giải phương trình f”(%) =0 TNPTTH 95

02 Biết rang ham sé y = ax’ + bx” + cx + d (a,b, ¢, d JA những hằng số)

có f%x) = 0 tại xị, xạ Chứng minh rằng Po i HỆ với x #X,

VAX#X | ĐHBKHN 97

CAU HOI TRAC NGHIEM

cốt Dao ham cua ham số y = cotg”x bằng

3

A.y=~ cotg x B y’=-3 cote’ x C y = 3cotg’x

sin?x sin^x

MÀ

Ð e

D.y=-8g°9#X SIn“x gy’ = ~3 Sota x Cosx

25

Trang 25

02 Dao ham cua ham sé y = log,(2x” -8x+1)]a A y= 4x -3 B a 4x -3 C ›_ (4x-3).ln2 , (2x2 - 3x + 1) In2 (2x? - 3x + 1) 2x? -3x+1

D y’ = (4x - 3)(2x? - 3x + 1) E y’ = (4x - 8)(2x - 3x + 1).In2

08 Dao ham cua ham sé y = sinVx

A.y= cosÝx B y= cosÝx C.y= cosVx

2xx vx SỐ

D.y = cos Vx x E.y = Vxcos Vx

04 Đạo hàm của hàm số y = (2x” - B)tgx 2x”-5 2x3 _ 5 A y = 6x"t B.y= TT” C.y= y me y cosx y cos2x 3 D y’ = 6x"tgx + a5 E y= 6x7 (tg’x + 1) cos^x

05 Dao ham cua ham sé y = Vinx

1 1 1

Ay=— B.y=——— €C.y`= ————

Trang 26

21-1 10 Giới hạn lm bằng x30 , A.1 B In2 G 2 D « E 0 ;

11 Giới han lim £1 bang

x-»0

A 1 B 0 C.e D E 2

12 Giới hạn lim In + X) bằng

x »0 x oe : -

A.0 B 1 C D ind ˆ E.Íoge

18 Đạo hàm cấp 2000 của hàm số y = sin(-x) bằng

A -sin(-x) B sin(-x) C -cos(-x) D cos(-x) _E -cosx 14 Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = = ¡ bằng 1 1 2 3 6 A - B - CŒ.—`——-: Đ—-—r È- x+1 (x +1)? +2? +h" «+14 15 Cho các hàm số Ñx) = x” - 2x2 + x+5, g(x) = 3x? - 2x +5 A 5-8 ,„.5+V18 2 2 B.ocx.B-\18 «x5 DENIS 2 2 c.x.5-Ý18 hay ¬ 2 2 D.x<j hay x>3 3 E 5 - Vis <x <3 2

16 Đạo hàm của hàm số y = 2 cos”x là

3

A.Y= 2cos2x B.y= 3 sin2x C.y =~2cos7x.sinx

D.y = ~2cosxsin’x E Một kết quả khác

17 Hàm số y = x” có đạo hàm là

A y =Inx+1 B vy = (nx - 1) C y= x*"

D.y =xÌdnx + 1) _ E Một kết quả khác

Trang 27

18 Đạo hàm của hàm số y = fsinˆx) + cos?x) là A y’ = sin2x[f(sin’x) + f(cos?x)]

B y’ = sin2x{f (sin’x) - £(cos”x)]

C.y = (sin^x ~ cos2x)[f (sin’x) + f '(cos2x)] D y’ = (sin?x - cos*x)[f (sin?x) ~ f'(cos2x)] -

E y’ = (cos”x - sin®x)[f (sin?x) - f'(cos2x)]

19 Cho ham sé f(x) = sinx + § sindx+ sindx +4 sin 7xthi £ (2) bang

A Sle Bs C.-3 D i E 1

20 Ham sé f(x) cé dao ham tại mọi x Mệnh đề nào sau đây đúng A Néu ffx) 18 ham sé chan thi f’(x) 14 ham sé chan

B Nếu Ñx) là hàm số lẻ thì f'{x) là hàm số lẻ

C Néu f(x) 1a ham sé chan thi f(x) là hàm số lẻ

D Tất cả các câu trên đều đúng E Tat cả các câu trên đều sai

Đáp án: 01 B, 02 A; 03 A; 04 D;, 05 E; 06 B; 07 B; 08 E; 10 1n2; 11 1; 12 1; 13 B; 14 E; 15 D; 16 C; 17 D; 18 B; 19 A; 20.C 21 Ham sé f(x) cé dao ham tai moi x Ménh dé nao sau day dung

A Néu ffx) la ham sé chin thi f(x) la ham sé chan

B Néu f(x) 1a ham sé lé thi f(x) la hàm sế lẻ

C Néu f(x) la ham sé 1é thi f(x) là ham sé chan D Tat cả các câu trên đều đúng

E Tất cả các câu trên đều sai

22 Nếu Đx) có đạo hàm bậc n thì đạo hàm bac n cua y = flax + b) la A y™ = af (ax + b) B y' = fax + b)

1

Cy = + ax + b) D y™ = af(ax + b)

a

E Một kết quả khác

Trang 28

928 Khảo sát tính liên tục và khả đạo của hàm số y = vần ta có kết quả

nào sau đây:

A Ham sé không liên tục và khơng có đạo ham tai x = 0

B Ham số liên tuc va cé dao ham taix=0 ®= C Hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm tại x ='0

D Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tai x = 0

E Các kết quả trên đều sai -

Ø4 Cho hàm 86 f(x) = K+ 141 ai có £0) bang 1 1, 1 A Bg Cg? to E =3 mle 25 Cho ham sd flx) =

A Ham sé lién tuc tai x = 0 B Hàm số gián đoạn tai x = 0

C Hàm số liên tục tại x = 2 D Hàm số có đạo hàm tại x = 2

£ 2 ^ n ^ *

E Tất cả các câu trên đều sai

96 Cho hàm số Ñx) = xsine khixzÖ tá tị giá trị f(0) bằng

0 khix=0 Tản

A =1 B.0 C.1

D Không tồn tại E Một kết quả khác

Trang 29

EE REESE 0000 00 0 002080 TIẾP TUYẾN

« Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y = ftx) khả vị ở lân cận xạ, có đồ thị (C) Giá trị đạo -

ham tai x,: f'(x,) 1a hé số góc của

tiếp tuyến đồ thị (C) tại điểm hoành

do x,

« Nhac lại: hai đường thang song song thì hệ số góc bằng nhau; hai - đường thẳng vng góc thì tích hệ

số góc của chúng bằng -1

« Phương trình tiếp tuyến: của đồ

thị (C) của hàm số y = fx) tại điểm a

(xq, fx,)) € (C):

O Y~ÿ7o = y¥ (xx - x,) )

§1 TIẾP TUYẾN CÓ TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM

s Tính y„ (hoặc x„) nếu biết x, (hoặc y,)

s Tính y, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = y4) -e© Thay vào phương trình tiếp tuyến y - y, = y(x,)(x - x,)

VÍ DỤ

(2.1.1) Cho f(x) = x4 + mx? - m - 5 Với m = -2 hãy viết phương trình

Trang 30

“hy,

f(x) = 4x? - 4x => hé sé géc cua tiép tuyén k = 4.2 -.42 = 24

Phương trình tiếp tuyến: y - 5 = 24(x - 2) © y = 24x - 43

x? -3x-4 x-1,

tại giao điểm của đồ thị vớitrueOy ˆ ĐH NNDN 95

(2.1.2) Viét phương trình tiếp tuyến của đồ thị ham sé y =

GIAI

Giao điểm của đồ thị với trục Oy:x =0 >y= 4

! " _

y= x? -2x+7 = hệ số góc của tiếp tuyến k = 9-2.0+7 (x-1y | (0-1) „ Phương trình tiếp tuyến: y - 4 = 7(x - 0) ©y = 7x +4

(2.1.3) Cho ham số y = xỶ + 3x? ~ 9x + õ Trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hảy tìm tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất Đ/NT 98

GIẢI

Ta có D - R, ° = 8x” + 6x - 9 ¬

Nên hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm xạ bất kỳ là k = 3x2+6x,-9 = 3(x, + I? - 12 > ~12

Dấu "=" xảy ra khi x = -1 Vay

min k=-19, khi x=-1

Đó là tiếp tuyến tại điểm uốn

(2.1.4) Cho điểm A(x,,y„) thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x”- 3x + 1

Tiếp tuyến cua (C) tai A cat (C) tai diém B z A Tìm hoành độ của

điểm B theo xạ DHTM 2000

GIAI

Ta có y = 3x? - 3 => hệ số góc của tiếp tuyến tại A(,, x3 ~ 3x4 + 1)

k«3x-3

Từ đó, phương trình tiếp tuyến tại A:

31

Trang 31

y= (3x5 ~ 3)(x — x4) + x5 - 3x, + 1 = (8x5 — 3)x - 2x8 +1 Phương trình hồnh độ giao điểm của tiếp tuyến và (C): (3x2 ~ 8tx- 2x) +1 = x” ~ 3x + 1© x”- đx2x + 2x) =0 > (x - x,)*(x + 2x,) =0 =x =x, hayx = -2x Vậy hoành độ B: Xp = ~2X, o

(2.1.5) Tìm phương trình của tất ca các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3

z

y-* = 1 biết mỗi tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ các điện tích

bang 5 DHKTQD 2000 GIAI ? 7 3 5 ~

Xét điêm M(m, —— 1) trên đồ thị hàm số Ta có y' = 2x Ì Nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M:

3 3 3 3

y= 2m = 1 ym) +2 +1_ 2m oly =m +2

m m

Giao điểm A, B của tiếp tuyến này lần lượt với trục Ox, Oy có

Xa = -m +2 42, Ye - mớ - m ) -_m)) ˆ

m ° 2m? - 1

Theo gia thiét:

— 1.1 -m? +2) | m(2-m)| _

o> (2-m*)?=1-2m hay (2 - m*)? = 2m?-1

Ta được hai tiếp tuyến thỏa điều kiện đề bài:

y=x+hy=giex-2

V5 đã

Trang 32

x°+2x+2

*(2.1.6) Cho hàm số y = sei

a Goi A la diém trén dd thị có hồnh dé a Viết phương trình tiếp tuyến t„ của đồ thị hàm số tại điểm A

b Xác định a để t„ qua (1, 0) Chứng minh rằng có hai giá trị của a thỏa mân điều kiện bài toán và hai tiếp tuyến tưởng

ứng là vng góc với nhau

GIẢI a2+Đ9a+2 a Ta có tung độ A: y = a+l

;_Ắx t2 = hệ số góc của tiếp tuyến k = aig ae Phương trình tiếp a+

-w+1 tuyến tạ:

2 > 2

a?+ 9a a +3a+2 _ a? +2a x+4 +4a+2

y = 52 x-a)t+ (a +1)

b Đường thắng t, qua (1, 0):

a+1 (athe (a + 1)ˆ

2 2

9= nể Tạo HỆ S8 vận v1 =0 (a + 1) (a + 1)? (1)

(1) là phương trình bậc hai theo a, có \ = 9 ~ 4 = 5 > 0 = có hai giá tri a thoa mân điều kién bai toán, gọi là a; và a¿ Theo định lý Viète:

a, + a, = -3; ay.A¿ = 1

Hai hệ số góc của hai tiếp tuyến tương ứng:

2 2

ai+2a a2 + 2ao 2

`ki,= —_ 1; k= chúng thỏa

Ị (a,+ J 2 (ag + 1 ,

ae + 2a, a2 + 2a, _ (aya„)° + 2a,ao(a; +a) + 4a,a,

(ai + UP: (aq + NT (aya) +a, ta, +1)"

Ẩ12+2.1.(3)+4.1_-

(1-341)

= hai tiếp tuyến vng góc

kịk; =

Trang 33

**#(2.1.7) Cho ham sé y = x’ - 6x2 +5

Cho điểm M trên đồ thi (C) của hàm số có hồnh độ xạ; = a Tìm

những giá trị của a đề tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm

khác M DHDN 99

GIẢI:

Ta có M(a, a4 ~ 6a? + 5) và y' = 4x7 - 12x = hệ số góc k = 4a” - 12a

Phương trình tiếp tuyến tại M:

Xét phương trình hồnh độ giao điểm

x' - 6x2 + 5 — + 6a? + 5

= (x - a)*(x" + 9ax + 3a? ~ 6) = (1)

Đề, tiếp tuyến tại A lại cắt (C) tại thêm hai điểm khác, thì phương trình x? + 2ax + 3a? ~6 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác a Muốn vậy,

ly =e? - (8a -6)>0 5 lai <3 và lai z1 la? +92a2 + 3a2 ~ 6 #0

**(2.1.8) Cho hàm số y = x” - 3x + 2, có đồ thị (C)

Xét ba điểm A, B, C thang hang va thudc (C) Goi A,, B,, C, lần

lượt là giao điểm của (C) với tiếp tuyến cua dé thi (C) tai A, B, C Chứng minh rằng A,, B,, C, cing thang hàng HVCNBCVT 99

GIAI

Goi a, b, c lần lượt là hoành độ của các điểm A, B, C

Phương trình tiếp tuyến tại A: y = 3(a? ~ 1) - a) + a” - 3a + 2 Phương trình hồnh độ giao điểm của tiếp tuyến trên với (C):

x? — 3x + 2 = 8(a? ~ 1)x - a) + a” - 3a + 2 œ (x - a) (x + 2a) = 0 => hoanh dé A,: x = -2a; tung độ y = -BaŸ + 6a + 2

= toa 46 A,(-2a, -8a” + 6a + 2) Tương tự, tọa độ Bị, Cy:

B,(-2b, -8bŸ + 6b + 2); C¡(-2c, -8c” + 6c + 2)

Sau đó, điều kiện thang hàng của A(a, a° - 3a + 2); Bib, b? ~ 3b + 2);

C(c, c? - 3c + 2):

(c - a)[bŠ - 3b + 2 -{aŠ - 3a + 2)] = (Œb ~ a)[cỦ - 3e + 2 - (a” - 3a + 2)]

Trang 34

Mà (-2c + 2a)(-8b? + 6b + 2 - (-8a” + 6a + 2)] = = (-8b + 2a)[~8c” + 6c + 2 - (-8a” + 6a + 2)]

BÀI TAP TU LUYEN

(81iát phương trình tiếp tuyến tủa đồ thị hàm số y = 2x+1 tại các điểm x+1

có hoành độ x = -Š TNPT 98

- 4,42

Ae y= 3x*3

(93, iết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xổ - 3x2 + 3 tại

điểm uốn TNPT 97

HD: y=-3x+4

Cữầ-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1) (x - 2) tại

các điêm có hoành độ x = 1

HD: y=-8x+4

04 Cho hàm số y = x + Nx? - 4x+5 Lập phương trình tiếp tuyến của đường

cong tại giao điêm của nó với trục tung -

HD: y=(n Êk+

05 Cho hàm số y = x(3 - x)? Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại

điêm uốn ĐHTN 2000

HD: y = ~24x + 26

06 Cho ham số y = x” - 3mx2 - 2m + 1 Với m = 1, tìm trên đồ thị điểm

mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bé nhất DHNN 2000

HD: (1, -3), hệ số góc bé nhất k = -3

07 Cho hàm số y =x + 8x? + mx + 1 Xác định m để đồ thị (C) của hàm

số cắt đường thăng y = 1 tại ba điểm phân biệt A(0, 1), B; C Tìm m để tiếp tuyến tại B, C vng góc với nhau

Trang 35

HD: hệ số góc kị„ = 3X) ¿ + 6Xị ¿ với xị + xạ = -6; xịX; = m Ta được 14

3 El

phương trình 9m - 72m + 1= 0 =m= 4+

08 Tìm các điểm M trên đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = xŸ + ax” + bx +c

sao cho qua M chỉ kê được một tiếp tuyến duy nhất với (C)

HD: phương trình tiếp tuyến tại M, hoành độ x„ = m, trên đồ thị: = = (8m? + 2am + b\x ~ m) + m? + am’ + bm +c Phương trình hồnh độ

vino diém: (x - m)*(x + a + 2m) = 0

09 Cho hàm số y = in Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục Oy tại A(0, ~1)

và tiếp tuyến tại A có hệ số ) góc bằng -3

HD: a=2, b=1 `

§ 2 TIẾP TUYẾN TẠI GIAO DIEM CUA

pO THỊ VÀ TRỤC HOÀNH HẦM SỐ HỮU TỈ

Hàm số hữu tỉ y = vo cắt trục hồnh

tại điểm có hồnh độ x„ thì hệ số góc

của tiếp tuyến tại đó là

k = y(x,) = we’) v(x°) VI DU

(2.2.1) Cho hàm số y = — Chứng minh rằng nếu đồ thị

` £ ý : 5 2(x, +m)

ham sô cắt trục Ox tai x = X,, thi y(x,) = JIT BKTPHCM 94

sO 0

GIAI

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm hồnh độ %„ thì x,z lvà + 5

Trang 36

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

01 Cho hàm số y = x.-mx:m tổ có đồ thị cắt trục hoành tại điểm A 2x, —m xyt+1 Chứng minh rằng y(x,) = ĐHDN 96 HD: xem (2.2.1) —— x+m

02 Cho ham số y = (m # 0) Véi gid tri nào của m thi tai giáo điểm của đồ thị với: trục hoành tiếp tuyển, se song song với đường thẳng y+10=x Viết phương trình tiếp tuyến ấy

HD: m = -1, m = ~Ƒ

03 Cho ham sé y = ete Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số tại giao điểm của đồ thị với trục hoành TNPT 9 HT): y = 1; y = -x + 1

04 Cho hàm số y = x - 2x +m Tim tat ca gid tri m để đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến tại hai điểm đó vng góc với nhau

HD: m = 5

§ 3 TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC k

CHO TRƯỚC

e Tính y`;

e Giải phương trinhk =y > x, ; e Thay vào hàm số đã cho để tính Yo>

e Thay vao phương trình tiếp tuyến y - y„ = kí - x,) Để ý rằng: Đường thẳng song song với y = ax + b có hệ số góc

1 k = a Đường thang vng góc với y = ax + b có hệ số góc k= —— a

Trang 37

VÍ DỤ

(2.3.1) Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thang y = -x 5

của đồ thi ham sé y = ot HVBCVT 2000

GIAI

a.Tacó y= x + 2x Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1:

(x+1) cure es : Jig

-1 = %t4x 1

(x+1) 2

« Với x=-l Lo =y -31 2 ta được phương trình tiếp tuyến: Vay 51-2 — |

y = -(x+1-B)+3 Ve y = -x-442V2

« Véix=- Boy =-3 1 uw ta được phương trình tiếp tuyến:

| _ V2 1+ V2 _

yo - -(x+1+%2)-3 Ve @ y = -x-4-2V2

x’ +8x+4a Với những giá trị nào của a thì

.8.2) C a by =

(2.8.2) Cho ham so y = xai

đồ thị hàm số có tiếp tuyến vng góc với đường phân giác góc thứ

nhất? DHQGHN 97

GIAI

Ta có y = x2 + 2x + 3 -— 4a (x+ 1

Tiếp tuyến vng góc với phân giác góc phần tư i thi? nhất y = x "ĂẶ-.`._ , + 2x+ 2 - 2a = 0

(x+ 1?

Điều kiện tồn tại tiếp tuyến: V = 1- 2+ 2a>0«€<az> 5

Trang 38

(2.8.8) Cho hàm số y = 2x” - 3x” + 5

a Tìm các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó song song với

đường thang y= Sx

b Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thăng y = kx DHDN 98

GIAI

foo

a Ta cé y’ = 6x? - 6x Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = = x

G3

ingv=#x (4 119, (.1 114 -

thang y = 5 x: (3 27) 7 ( 3 a)

: ` " <A

Điêu kiện có nghiệm:

©2jb9

(3.8.4) Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = X ty +2 các điểm sao

+1

cho tiếp tuyến tại đó vng góc với tiệm cận xiên (hệ số góc tiệm

cận xiên bang 1) ĐHKTTC HN 2000

GIẢI

Ta có y = xi + 2x Tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên

Trang 39

=x=-2+ V8

Vậy, những điểm trên đồ thị có tiếp tuyến vng góc tiệm cận xiên là những điểm có hồnh độ: x = -2+xs

(2.3.5) Cho ham Na”

a Chứng minh rằng trên đồ thị luôn tồn tại võ số cặp điểm mà

tại các cặp điêm đó tiếp tuyến song song với nhau

b Tìm những điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó song song

trục hoành SEES aie fee

GIAI

a Ta cd y = ated Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k x-2)

—X =4 2= ke (k— 1XÊ + 4(1 ~ k)x + 4k + 2 = 0

(x - 2)"

Điều kiện tồn tại hai tiếp tuyến:

= có vơ số cặp tại đó tiếp tuyến song song với nhau

b Khi tiếp tuyến song song trục hoành

X-# 20x? -4w-2=0=x=2+6

(x- 2) ,

Vậy các điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó song song trục hồnh là những điêm có hoành độ

x=2+1 ; x=2-V6

(2.8.6) Cho hàm số y = x” + 8x? +3 +ỗ

Chứng minh rằng trên đồ thị ham số không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hai điểm á ây vuông góc với nhau

GIẢI

Ta có y = 3x” + 6x + 3 Tiếp tuyến tại một diém hoanh độ x có hệ số góc là:` k = 3x* + Gx + 3 = B(x + 1)? 20

Trang 40

Nên không thể tồn tại hai điểm mà hệ số góc của hai tiếp tuyến đó

có tích bằng —1

Vậy đồ thị hàm số đã cho khơng thé « có hai tiếp tuyến vng góc

(2.8.7) Cho hàm số Ñx) = x+3 #2

a Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = Ấx) song song với đường thắng y = kx (k € R)

b Tim gid trị lớn nhất của khoảng cách giữa đường thắng y = kx va tiép tuyén noi trén khi k < 0,5 ĐHXD 98

GIẢI

a Ta có y` = 1+ £' :Khi tiếp tuyến song song với đường thắng y = kx

x

£ k1 (1)

> Lr_=k =>

« Nếu k = 1: (1) vô nghiệm = khơng có tiếp tuyến

‹ Nếu kz 1: (1) > x= ` : ta được một tiếp tuyến

= +7

y= kx 2(k- 1

b Vì đường thang y = kx qua gic toa độ và song song với tiếp tuyến nên khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ 0 đến tiếp tuyến

_ 1

2(x~ LẺ Yk? + 1 _ 2 ok

Định dạng
Số trang	119
Dung lượng	2,44 MB