ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỢT 1 - NĂM 2013 Môn Toán TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1 KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỢT 1 - NĂM 2013 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể giao đề Phần I: (Chung cho mọi thí sinh) Câu 1 : Cho hàm số y = x 3 - 6x 2 + 9x -2, gọi đồ thị là (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M, biết M cùng với hai điểm cực trị A, B của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6 (đơn vị diện tích). Câu 2 : 1) Giải phương trình: sinxcos2x + cos 2 x (tan 2 x-1) + 2sin 3 x = 0. 2) Giải hệ phương trình : 3 2 2 2 2 2 4 1 2 1 6 2 2 4 1 1 x y x x x y y x x Câu 3 : Tìm nguyên hàm sin 2 1 cos2 x x dx x . Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a (a>0) SA = a, SB = a 3 , góc BAC bằng 60 0 , mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC 1) Tính thể tích khối tứ diện NSDC. 2) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Câu 5 : Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = 3 3 3 2 2 2 a b c b c a c a b c a b . Phần II (Thí sinh chỉ được chọn phần A hoặc B) Phần A : 6a) Tìm giới hạn: 3 2 2 x 2 6 x x 4 lim x 4 . 7a) 1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD, biết phân giác trong của <ABC đi qua trung điểm M của AD, đường thẳng BM có phương trình: x – y + 2= 0, điểm D thuộc đường thẳng d: x + y – 9 = 0, điểm E (- 1; 2) thuộc cạnh AB và điểm B có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó. 2. Trong không gian Oxyz cho H(2; 1; 1). Tìm tọa độ các diểm A, B, C lần lượt thuộc các trục 0x, 0y, 0z sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phần B: 6b) Trên bàn có 4 quyển sách toán, 5 quyển sách lý và 3 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển, tính xác suất của biến cố chỉ lấy được 3 quyển sách về hai môn học. 7b) 1. Trong mặt phẳng 0xy cho hình vuông ABCD với C(3; -3), M là trung điểm của BC, đường thẳng DM có phương trình: x – y – 2 = 0, điểm A có hoành độ âm và thuộc đường thẳng d: 3x + y – 2= 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D. 2. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 2; 3), B(4; 5; 7). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất. ------- Hết ------- ĐỀ CHÍNH THỨC Cảm ơn bạn Khánh Hòa (k.hoa94@zing.com ) gửi tới www.laisac.page.tl Sở GD& ĐT Nghệ An Trường THPT Quỳnh Lưu 1 ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút) (Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) Câu Đáp án Điểm 1) (1,0 điểm) TXĐ: D = R Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: , 2 , 1 3 12 9, 0 3 x y x x y x 0,25 - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1) và (3; ) , Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x =1 và y CĐ =2, đạt cực tiểu tại x=3 và y CT = -2 - Giới hạn: lim ; lim x x 0,25 - Bảng biển thiên: X - 1 3 + y , + 0 - 0 + Y 2 + - -2 0,25 Đồ thị: ,, ,, 6 12, 0 2y x y x Điểm uốn I(2;0), I là tâm đối xứng của (C) Giao điểm với Ox: I(2;0), giao điểm với Oy: M(0;-2) 4 2 -2 -4 -5 5 10 15 3 1 0,25 2) (1,0 điểm) Điểm cực đại của (C): A(1,2). Điểm cực tiểu của (C): B(3;-2) 2 5.AB và đường thẳng : 2 4 0AB x y 3 2 3 2 6 11 6 ( ) ( ; 6 9 2) ( , ) 5 a a a M C M a a a a d M AB 0,25 Gọi 1 , . ( , ) 6 2 MAB S S S AB d M AB 0,25 3 2 6 11 6 6(1)a a a 3 2 3 2 6 11 0 0 (1) 4 6 11 12 0 a a a a a a a a *) a = 0 M(0;-2) TT tại M: y = 9x-2 0,25 I (2,0 điểm) *) a = 4 M(4;2) TT tại M: y = 9x-34 0,25 Câu Đáp án Điểm 1) (1 điểm) ĐK: cos 0 , 2 x x k k (*) 2 2 2 3 (1) sinx(1 2sin ) sin os 2sin 0x x c x x 0,25 2 2 3 sinx(1 2sin ) 2sin 1 2sin 0x x x 2 sinx 1 2sin sinx 1 0 1 sinx 2 x 0,25 *) sinx 1 2 , 2 x k k (loại do ĐK (*)) 0,25 *) 2 1 6 sinx , 52 2 6 x k k x k (thỏa mãn đk (*)) 0,25 2) (1,0 điểm) ĐK: 0x . Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình => x>0 Với ĐK đó, từ hệ suy ra: 2 2 2 1 0 2 2 4 1 0x x x y y 0y 0,25 Chia cả 2 vế của PT thứ 2 của hệ cho x 2 0 => 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1y y y x x x (3) Xét hàm số 2 ( ) 1f t t t t trên (0;+ ). Ta có: 2 , 2 2 ( ) 1 1 0, 0 1 t f t t t t ( )f t dồng biến trên (0;+ ) 1 (3) 2y x 0,25 Thế 1 2 y x vào (2): 3 2 2( 1) 6x x x x (4) Dễ thấy vế trái (4) là hàm số đồng biến trên (0;+ ) x = 1 là nghiệm duy nhất của (4) 0,25 II (2,0 điểm) 1 ( ; ) (1; ) 2 x y là nghiệm duy nhất của hệ PT đã cho. 0,25 2 sin 2 sin 2 1 os2 2cos 1 os2 x x x x dx dx dx c x x c x . Đặt 1 2 . 2cos x I dx x 2 sin 2 1 os2 x I dx c x 0,25 *) Tính I 1 . Đặt: 2 1 , 2cos u x dv dx x 1 , t anx 2 du dx v 1 1 1 1 1 cos tan tan x tan 2 2 2 2 cos d x I x x dx x x x 1 1 1 t anx ln cos 2 2 x x C 0,25 *) Tính I 2 : 2 2 1 (1 os2 ) 1 ln 1 os2 2 1 os2 2 d c x I c x C c x 0,25 III (1,0 điểm) sin 2 1 1 1 tan cos ln 1 os2 1 os2 2 2 2 x x dx x x ln x c x c x 1 1 1 tan ln 2 2 2cos x x C x 0,25 IV (1,0 điểm) B C A D S I N M Q H 1) (0,5 điểm) *) Do 2 2 2 2 4AB a SB SA SAB vuông tại S 1 2 SM AB a *) N là trung điểm BC 2 0 1 1 3 . .sin 60 4 4 2 NCD ABCD a S S AB AD *) Vẽ đường cao SH của tam giác SAB (dễ thấy H AM và H là trung điểm của AM) Do ( ) ( ) ( )SAB ABCD SH ABCD SH là đường cao của hình chóp S.DCN. Do tam giác SAM đều cạnh bằng a 3 2 a SH 0,25 *) 3 . 1 . 3 4 S DCN DNC a V S SH (đvtt) 0,25 2) (0,5điểm) *) Gọi I là trung điểm của AD, Q là trung điểm AI, 1 / / 2 MQ ND , do ABD đều BI AD 0,25 ( , ) ( , )SM DN SM MQ Kẻ HK // AD, ( , )SM MQ SMK 1 1 7 13 ; ; 2 4 4 4 a a MK MQ BI SK SM a ;=> 2 2 2 5 os 2 . 4 7 SM MK SK c SMK SM MK 0.25 Đặt x = b+c-a, y = c+a-b, z = a+b-c. Suy ra: x, y, z >0 và x+y+z = 3 3 3 3 x y z Q y z x z x y 0,25 V (1,0 điểm) Ta có 3 2 ( ) 4 x x y z x y z . Dấu “=”xảy ra khi: y + z = 2x Tương tự: 3 2 ( ) 4 y y x z y x z . Dấu “=” xảy ra khi x+z=2y 0,25 3 2 ( ) 4 z z y x z y x . Dấu “=” xảy ra khi y+x=2z 2 2 2 1 ( ) 2 Q x y z xy yz zx (dấu “=” xảy ra khi x=y=z) 0,25 Mà: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x y z xy yz zx xy yz zx x y z 2 2 2 2 1 1 3 ( ) . 2 2 3 2 x y z Q x y z Vậy 3 min , : 1 2 Q khi x y z a b c . Chú ý: Bài này có thể giải theo phương pháp tiếp tuyến. 0,25 I = 3 2 3 2 2 2 2 2 6 2 4 2 6 4 lim lim 4 4 x x x x x x x x 0,25 = 44244 4 4)26( 2 3 2 2 3 22 2 2 2 lim xxx x xx x x ( , )SM MQ SMK 0,25 2 2 32 2 3 1 1 lim 2 6 2 4 2 4 4 x x x x x 0,25 VI.A (1,0 điểm) Do 12 1 4424 1 , 16 1 262 1 3 3 2 2 2 2x2 limlim xx xx x Vây kết quả giới hạn I 7 48 0,25 1) (1,0 điểm) H E ' M E D C B A Gọi E ’ đối xứng với E qua BM suy ra E ’ thuộc đường thẳng BC và E ’ (0;1) Do B đường thẳng BC nên B(t;t+2) ' ( 1 ; ) ( ; 1)BE t t BE t t 0,25 Do ' . 0 ( 1;1) 0 B BE BE B do x 0,25 VII.A (2,0 điểm) AB: x = -1, BC: y = 1 suy ra A(-1;a), (a 1) 0,25 Do D đường thẳng d D(d;9-d), M là trung điểm AD 1 9 ; 2 2 d d a M Mặt khác M đường thẳng BM a-2d+6 = 0 (1) ( 1;9 ), (0;1 )AD d d a AB a Do . 0 9 0AB AD a d (2) Giải hệ (1) và (2) suy ra a = 4, d = 5. Vậy A(-1;4), D(5;4) 0,25 2) (1,0điểm) Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), abc 0, (2 ;1;1), (0; ; )AH a BC b c . 0AH BC b c (1) 0,25 (2;1 ;1), ( ;0; )BH b AC a c , . 0 2BH AC c a (2) 0,25 Do , ,AH AB AC đồng phẳng AH mAB nAC (*) ( ; ;0), n ( ;0; )mAB ma mb AC a c 2 ( ) (*) 1 1 a a m n mb nc kết hợp (1), (2)suy ra 1 1 , , 3 2 2 m n a a a 0,25 Vậy A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;6) 0,25 3 12 220 C 0,25 Gọi A là biến cố trong 3 quyển lấy ra chỉ có đúng hai loại sách về hai môn học 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 5 4 3 3 4 3 5 5 4 5 3 . . . . . . 145A C C C C C C C C C C C C 0,5 VI.B (1,0 điểm) 145 29 ( ) 220 44 P A 0,25 1) (1,0 điểm) C d G D B A M I Gọi ,I AC BD G AC DM G là trọng tâm tam giác CDB Do 1 2 2 IG GC AG GC 0,25 VII.B (2,0 điểm) 4 8 ( , ) 2 ( , ) 2 2 2 d A DM d C DM 0,25 Gọi 3 8 ( ;2 3 ) ( , ) 4 4 8 1 2 a A a a d d A DM a a ( 1;5)( o <0) I(1;1) A A d x Do ,DB AC đi qua I suy ra DB: x-2y+1 = 0 0,25 Tọa độ điểm D là nghiệm hệ PT: 2 1 0 (5;3) 2 0 x y D x y Do I là trung điểm BD nên B(-3;-1) 0,25 2) (1,0 điểm) Từ 3 0, 7 0 , A B Z Z A B nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (Oxy) 0,25 (0 )M xy MA MB AB . Dấu “=” có M, A, B thẳng hàng ,MA MB cùng phương. 0,25 (0 ) ( ; ;0) (1 ;2 ;3), (4 ;5 ;7)M xy M x y MA x y MB x y ,MA MB cùng phương 5 1 2 3 4 14 5 7 4 x x y x y y 0,25 Vậy tọa độ điểm 5 1 ( ; ;0) 4 4 M 0,25 --------------Hết------------ Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án mà đúng thì cho điểm tối đa của câu đó Cảm ơn bạn Khánh Hòa (k.hoa94@zing.com ) gửi tới www.laisac.page.tl