Tuyển tập các bài toán về elip ôn thi đại học, cao đẳng
Trang 1MỘT SỐ DẠNG TOÁN ELIP I) Lý thuyết
Phương trình chính tắc của Elip x22 y22 1
a b (a >b)
- Tiêu điểm : F1 ( ;0) c , F c2 ( ;0) : c2 a2 b2
- Đỉnh trục lớn : A1 ( ;0), a A a2( ;0)
- Đỉnh trục bé : B1 ( ;0), b B b2( ;0)
- Tâm sai : e c 1
a
- Phương trình đường chuẩn :
Đường thẳng 1 :x a
e
là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F1 ( ;0) c
Đường thẳng 2 :x a
e
là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F c2 ( ;0)
1, ( ) ( ; ) ( ; )
d M d M
Điều kiện tiếp xúc của (E) và : Ax+By+C=0 là A a2 2 B b2 2 C2
- Hình chữ nhật cơ sở A B A B1 1 2 2
- Độ dài trục lớn : 2a
- Độ dài trục bé : 2c
- Bán kính qua tiêu điểm M x( M;y M) ( ) E là: 1 e M ,
M
cx
a
M
cx
a
II) Bài tập
Dạng 1: Viết phương trình chính tắc của elip
Ta luôn gọi PT chính tắc của elip là x22 y22 1 (a b 0)
a b ; chú ý quan hệ giữa a,b,c là
2 2
Trang 2Thí dụ 1: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong các trường hợp sau:
1) (E) đi qua điểm 3 ; 4
5 5
và M nhìn hai tiêu điểm F F1 , 2 dưới một góc vuông
2) (E) đi qua 3; 6
2
M
và một tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60 0 3) Hai tiêu điểm, hai đỉnh nằm trên trục nhỏ của E cùng nằm trên một đường tròn C' sao cho C' tiếp xúc với đường tròn C :x2 y2 8x 12 0
9 16
1
5a 5b (1); Lại có
0
1
2
Như vậy ta có hệ điều kiện 2 2
2 2
9 16
1
5
Giải hệ ta được 2 9; 2 4 ( ) : 2 2 1
Trường hợp tổng quát khi F MF1 2 cho trước dành cho bạn đọc
2) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 0
60 nên tam giác FB B1 2 đều (B B1 , 2 là hai đỉnh trên
trục nhỏ), suy ra c b 3 a 2b, từ đó tìm ra
2 2
9 9 4
(trường hợp B FB1 2 ta vẫn
làm tương tự)
3) Ta có ngay b c Đường tròn C có tâm I4;0, bán kính R=2 và đường tròn C' có tâm O0;0, bán kính R' b
+) Nếu (C) và (C') tiếp xúc trong thì OI R b 4 b 2 b 6 a 6 2
Do đó PT của : 2 2 1
72 36
+) Nếu (C) và (C') tiếp xúc ngoài nhau thì OI R b 4 b 2 b 2 a 8
Do đó PT của : 2 2 1
Bài tương tự: Cho đường tròn C :x2 y2 2x 2y 0 Hãy viết phương trình chính tắc của elip E ; biết rằng hai tiêu điểm, hai đỉnh nằm trên trục nhỏ của E cùng nằm trên một đường tròn C' và đường tròn C' cắt đường tròn C tại hai điểm A B, sao cho đường thẳng AB đi qua điểmM1;1
Trang 3Dạng 2: Tìm các điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Với dạng bài này ta chú ý tới công thức bán kính qua tiêu: M x y( ; ) ( ) E thì
MF a ex MF a ex
Thí dụ 2: Cho elíp ( ) : 2 2 1
1) Tìm điểm M ( )E sao cho MF1 2MF2
2) Tìm điểm M ( )E sao cho M nhìn hai tiêu điểm F F1 , 2 một góc 0
120
1 2 120
MF F
4 2
3 3
3 3
3 3 3 3
Ta được một PT bậc hai ẩn x
3) Trong trường hợp này trước hết ta xét điểm M nằm phía trên trục hoành.
Khi đó có hệ số góc là k tan120 0 3 nên viết được PT đường thẳngMF1 Từ đó tìm ra một điểm M1
Ta sẽ có hai đáp số đó là M1 và điểm M2 đối xứng với M1 qua trục hoành
Nhận xét: Trong cả hai trường hợp trên ta đều có thể thay góc F MF1 2 và MF F1 2 với bất kì
Thí dụ 3 (ĐH KA năm 2011) Cho elíp ( ) : 2 2 1
(E) , có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
Lời giải Gọi A x y( ; ) B x y x( ; ); 0 Ta có AB 2 y 4 x2
OAB
Đẳng thức xảy ra khi x 2 Vậy 2; 2 ; 2; 2
Trang 4Nhận xét: Việc đánh giá maxS khá thuận lợi vì hoành độ của A và B dương Trong những
trường hợp khác ta có thể đưa về khảo sát hàm số Ta minh họa điều này bằng một bài toán tương tự sau:
Thí dụ 4 Cho elip ( ) : 2 2 1
E và điểm C(2;0) Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) sao cho tam giác CAB cân tại C và có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn Gọi A x y( ; ) B x y( ; ) Tính được S ABC (2 x y)
(2 ) (2 )
4
ABC
x
( ) (2 ) ; 2 2
4
x
Khảo sát hàm f(x) suy ra f(x) đạt max tại x=1 Từ đó suy ra tọa độ các điểm cần tìm A,B Trong hai thí dụ 3 và 4 ta đều sử dụng tính chất đối xứng của elip, cụ thể là gọi A x y( ; )thì ta suy ra B x y( ; )
Tuy nhiên nếu không sử dụng được tính chất này nữa thì vấn đề sẽ khó khăn hơn rất nhiều
Ta tiếp tục xét bài toán sau
Thí dụ 5 Cho elip ( ) : 2 2 1
E Tìm tọa độ hai điểm A,B trên (E) sao cho tam giác OAB
vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất
Hướng dẫn Ta hoàn toàn không thể xử lí bài toán như trong thí dụ 3 và 4 Tuy nhiên dấu
hiệu tam giác OAB vuông tại O gợi ta nhớ đến một kết quả cơ bản trong elip:
Nếu A và B là hai điểm di động trên elip ( ) :E x22 y22 1
a b sao cho OA OB thì
OA OB a b không đổi (Kết quả này xin dành cho bạn đọc)
Áp dụng kết quả này ta được:
2 2
a b S
OA OB không đổi ta suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc
OH
tức là AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R 2ab 2
Bài toán 7.b trong đề thi ĐH khối B năm 2012 cũng dựa trên tư tưởng này
Trang 5Dạng 3: Tương giao giữa đường thẳng và elip
Thí dụ 6 Cho elip ( ) : 2 2 1
100 36
E và điểm M(3; 2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua
M cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho MA MB
Lời giải Nếu elip (E) được thay bởi một đường tròn (C) thì đây là bài toán dễ Tuy nhiên
với elip thì phức tạp hơn hẳn Ta có thể giải như sau:
Gọi ( ; ) ( ) 2 2 1
100 36
B E (2) Từ (1) và (2) ta được 27x 50y 131 0 (*)
Do tọa độ A,B đều thỏa mãn (*) nên phương trình (*) chính là PT đường thẳng d cần tìm.
Nhận xét: Bằng cách này ta có thể giải được bài toán tổng quát khi thay giả thiết MA MB
bằng giả thiết M chia đoạn AB theo tỉ số k nào đó.
Thí dụ 7 Cho elip ( ) : 2 2 1
E và đường thẳng d x: 2y 2 0 Chứng minh rằng d cắt (E) tại hai điểm phân biệt B và C Tìm điểm A thuộc (E) sao cho tam giác ABC cân tại A.
Lời giải Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:
2 2
2 2 2 8 2
2 2 0
y y y (định lý Viét)
Từ đó tìm ra x I 1 Vậy 1; 2
2
I
Khi đã có I ta sẽ viết được phương trình trung trực của đoạn BC, từ đó tìm ra tọa độ điểm A cần tìm
Cuối cùng là một số bài tập cho các bạn luyện tập
Bài 1: (ĐH KB- 2010) Cho elip ( ) : 2 2 1
E và điểm A(2; 3) Gọi M là giao điểm có tung độ dương của AF1 với (E) N đối xứng với F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2
Trang 6Bài 2: Cho hai elip ( ) :1 x22 y22 1
E
a b và ( ) :2 2 2 1
12 3
1 , 2
F F và cùng đi qua điểm M nằm trên đường thẳng x y 6 0 Tìm vị trí điểm M để độ dài trục lớn của ( )E1 là nhỏ nhất
Bài 3: Cho elip
2 2
E và điểm A(3;0) Tìm toạ độ B và C thuộc (E) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
bốn giao điểm của hai elip ( ),( )E1 E2